Etter hvert som samfunnet utviklet seg og produksjonen ble mer kompleks, utviklet også matematikken seg. Bevegelse fra enkelt til komplekst. Fra konvensjonell regnskap ved metoden for addisjon og subtraksjon, med deres gjentas mange ganger, kom til begrepet multiplikasjon og divisjon. Å redusere den gjentatte operasjonen av multiplikasjon ble begrepet eksponentiering. De første tabellene over talls avhengighet av basen og antall eksponentiering ble kompilert tilbake på 800-tallet av den indiske matematikeren Varasena. Fra dem kan du telle tidspunktet for forekomsten av logaritmer.
Historisk skisse
Gjenopplivingen av Europa på 1500-tallet stimulerte også utviklingen av mekanikk. T krevde mye beregning knyttet til multiplikasjon og divisjon flersifrede tall. De gamle bordene var til god service. De gjorde det mulig å erstatte komplekse operasjoner med enklere - addisjon og subtraksjon. Stort skritt Arbeidet til matematikeren Michael Stiefel, publisert i 1544, tok ledelsen, der han realiserte ideen til mange matematikere. Dette gjorde det mulig å bruke tabeller ikke bare for grader i skjemaet primtall, men også for vilkårlige rasjonelle.
I 1614 ble skotten John Napier, som utviklet disse ideene, først introdusert ny termin"logaritme av et tall." Ny komplekse tabeller for beregning av logaritmer av sinus og cosinus, samt tangenter. Dette reduserte astronomenes arbeid kraftig.
Nye tabeller begynte å dukke opp, som ble brukt av forskere hele veien tre århundrer. Det gikk mye tid før den nye operasjonen i algebra fikk sin ferdige form. Definisjonen av logaritmen ble gitt og dens egenskaper ble studert.
Først på 1900-tallet, med fremkomsten av kalkulatoren og datamaskinen, forlot menneskeheten de eldgamle tabellene som hadde fungert vellykket gjennom det 13. århundre.
I dag kaller vi logaritmen til b for å basere a tallet x som er potensen til a for å lage b. Dette skrives som en formel: x = log a(b).
For eksempel vil log 3(9) være lik 2. Dette er åpenbart hvis du følger definisjonen. Hvis vi hever 3 til 2, får vi 9.
Dermed setter den formulerte definisjonen kun én begrensning: tallene a og b må være reelle.
Typer logaritmer
Den klassiske definisjonen kalles den reelle logaritmen og er egentlig løsningen på ligningen a x = b. Alternativ a = 1 er borderline og er ikke av interesse. Oppmerksomhet: 1 til enhver potens er lik 1.
Virkelig verdi av logaritmen definert bare når grunntallet og argumentet er større enn 0, og grunntallet ikke må være lik 1.
Spesiell plass innen matematikk spill logaritmer, som vil bli navngitt avhengig av størrelsen på basen deres:
Regler og begrensninger
Den grunnleggende egenskapen til logaritmer er regelen: logaritmen til et produkt er lik den logaritmiske summen. log abp = log a(b) + log a(p).
Som en variant av denne setningen vil det være: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), kvotientfunksjonen er lik forskjellen mellom funksjonene.
Fra de to foregående reglene er det lett å se at: log a(b p) = p * log a(b).
Andre eiendommer inkluderer:
Kommentar. Ikke gjør en vanlig feil - logaritmen til summen er det ikke lik summen logaritmer.
I mange århundrer var operasjonen med å finne en logaritme en ganske tidkrevende oppgave. Matematikere brukt velkjent formel logaritmisk teori for polynomutvidelse:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), hvor n - naturlig tall større enn 1, som bestemmer nøyaktigheten av beregningen.
Logaritmer med andre baser ble beregnet ved å bruke teoremet om overgangen fra en base til en annen og egenskapen til logaritmen til produktet.
Siden denne metoden er svært arbeidskrevende og når man bestemmer seg praktiske problemer vanskelig å implementere brukte vi forhåndskompilerte tabeller med logaritmer, noe som gjorde alt arbeidet betydelig raskere.
I noen tilfeller ble det brukt spesialdesignede logaritmegrafer, som ga mindre nøyaktighet, men gjorde søket betydelig raskere ønsket verdi. Kurven til funksjonen y = log a(x), konstruert over flere punkter, lar deg bruke en vanlig linjal for å finne verdien av funksjonen på et hvilket som helst annet punkt. Ingeniører lang tid Til disse formålene ble det brukt såkalt millimeterpapir.
På 1600-tallet dukket de første ekstra analoge databehandlingsforholdene opp, som 1800-tallet fått et ferdig utseende. Den mest vellykkede enheten ble kalt lysbilderegelen. Til tross for enkelheten til enheten, akselererte utseendet betydelig prosessen med alle tekniske beregninger, og dette er vanskelig å overvurdere. For øyeblikket er det få som er kjent med denne enheten.
Fremkomsten av kalkulatorer og datamaskiner gjorde bruken av andre enheter meningsløs.
Ligninger og ulikheter
For løsninger forskjellige ligninger og ulikheter ved bruk av logaritmer, brukes følgende formler:
- Flytte fra en base til en annen: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Som en konsekvens av det forrige alternativet: log a(b) = 1 / log b(a).
For å løse ulikheter er det nyttig å vite:
- Verdien av logaritmen vil bare være positiv hvis basen og argumentet begge er større eller mindre enn én; hvis minst én betingelse brytes, vil logaritmeverdien være negativ.
- Hvis logaritmefunksjonen brukes på høyre og venstre side av en ulikhet, og basen til logaritmen er større enn én, så beholdes tegnet på ulikheten; V ellers han forandrer seg.
Prøveproblemer
La oss vurdere flere alternativer for bruk av logaritmer og deres egenskaper. Eksempler på å løse ligninger:
Vurder muligheten for å plassere logaritmen i en potens:
- Oppgave 3. Regn ut 25^log 5(3). Løsning: under betingelsene for problemet ligner oppføringen på følgende (5^2)^log5(3) eller 5^(2 * log 5(3)). La oss skrive det annerledes: 5^log 5(3*2), eller kvadratet av et tall som funksjonsargument kan skrives som kvadratet til selve funksjonen (5^log 5(3))^2. Ved å bruke egenskapene til logaritmer er dette uttrykket lik 3^2. Svar: Som et resultat av beregningen får vi 9.
Praktisk bruk
Å være et rent matematisk verktøy, virker det langt fra det virkelige liv som logaritmen plutselig fikk veldig viktigå beskrive objekter virkelige verden. Det er vanskelig å finne en vitenskap der den ikke brukes. Dette gjelder fullt ut ikke bare naturlige, men også humanitære kunnskapsfelt.
Logaritmiske avhengigheter
Her er noen eksempler på numeriske avhengigheter:
Mekanikk og fysikk
Historisk har mekanikk og fysikk alltid utviklet seg ved hjelp av matematiske metoder forskning og fungerte samtidig som et insentiv for utvikling av matematikk, inkludert logaritmer. Teorien om de fleste fysikkens lover er skrevet på matematikkspråket. La oss bare gi to eksempler på beskrivelser fysiske lover ved hjelp av logaritme.
Løs et regneproblem som dette kompleks størrelse Hvordan hastigheten til en rakett kan bestemmes ved å bruke Tsiolkovsky-formelen, som la grunnlaget for teorien om romutforskning:
V = I * ln (M1/M2), hvor
- V – endelig hastighet fly.
- I – spesifikk impuls av motoren.
- M 1 – startmassen til raketten.
- M 2 – sluttmasse.
En annen viktig eksempel - Dette brukes i formelen til en annen stor vitenskapsmann Max Planck, som tjener til å evaluere likevektstilstanden i termodynamikk.
S = k * ln (Ω), hvor
- S – termodynamisk egenskap.
- k – Boltzmann konstant.
- Ω er den statistiske vekten av forskjellige tilstander.
Kjemi
Mindre åpenbart er bruken av formler i kjemi som inneholder forholdet mellom logaritmer. La oss bare gi to eksempler:
- Nernst-ligning, tilstanden til redokspotensialet til mediet i forhold til aktiviteten til stoffer og likevektskonstanten.
- Beregningen av slike konstanter som autolyseindeksen og surheten til løsningen kan heller ikke gjøres uten vår funksjon.
Psykologi og biologi
Og det er slett ikke klart hva psykologi har med det å gjøre. Det viser seg at sansestyrken er godt beskrevet av denne funksjonen som omvendt relasjon stimulusintensitetsverdier til den lavere intensitetsverdien.
Etter eksemplene ovenfor er det ikke lenger overraskende at temaet logaritmer er mye brukt i biologi. Hele bind kunne skrives om biologiske former som tilsvarer logaritmiske spiraler.
Andre områder
Det ser ut til at verdens eksistens er umulig uten forbindelse med denne funksjonen, og den styrer alle lover. Spesielt når naturlovene er knyttet til geometrisk progresjon. Det er verdt å gå til MatProfi-nettstedet, og det er mange slike eksempler på følgende aktivitetsområder:
Listen kan være uendelig. Etter å ha mestret de grunnleggende prinsippene for denne funksjonen, kan du stupe inn i en verden av uendelig visdom.
Vi fortsetter å studere logaritmer. I denne artikkelen vil vi snakke om beregne logaritmer, kalles denne prosessen logaritme. Først vil vi forstå beregningen av logaritmer per definisjon. Deretter, la oss se på hvordan verdiene til logaritmer blir funnet ved å bruke egenskapene deres. Etter dette vil vi fokusere på å beregne logaritmer gjennom innledningsvis angi verdier andre logaritmer. Til slutt, la oss lære hvordan du bruker logaritmetabeller. Hele teorien er forsynt med eksempler med detaljerte løsninger.
Sidenavigering.
Beregning av logaritmer per definisjon
I de enkleste tilfellene er det mulig å utføre ganske raskt og enkelt finne logaritmen per definisjon. La oss se nærmere på hvordan denne prosessen skjer.
Dens essens er å representere tallet b i formen a c, hvorfra, ved definisjonen av en logaritme, tallet c er verdien av logaritmen. Det vil si, per definisjon, tilsvarer følgende kjede av likheter å finne logaritmen: log a b=log a a c =c.
Så, å beregne en logaritme per definisjon kommer ned til å finne et tall c slik at a c = b, og tallet c i seg selv er den ønskede verdien av logaritmen.
Ved å ta hensyn til informasjonen i de foregående avsnittene, når tallet under logaritmetegnet er gitt av en viss potens av logaritmebasen, kan du umiddelbart indikere hva logaritmen er lik - den lik indikatoren grader. La oss vise løsninger på eksempler.
Eksempel.
Finn log 2 2 −3, og beregn også den naturlige logaritmen til tallet e 5,3.
Løsning.
Definisjonen av logaritmen lar oss umiddelbart si at log 2 2 −3 =−3. Faktisk er tallet under logaritmetegnet lik base 2 til −3 potens.
På samme måte finner vi den andre logaritmen: lne 5.3 =5.3.
Svar:
log 2 2 −3 =−3 og lne 5,3 =5,3.
Hvis tallet b under logaritmetegnet ikke er spesifisert som en potens av basen til logaritmen, må du se nøye etter om det er mulig å komme opp med en representasjon av tallet b i formen a c . Ofte er denne representasjonen ganske åpenbar, spesielt når tallet under logaritmetegnet er lik basen i potensen 1, eller 2, eller 3, ...
Eksempel.
Beregn logaritmene log 5 25 , og .
Løsning.
Det er lett å se at 25=5 2, dette lar deg beregne den første logaritmen: log 5 25=log 5 5 2 =2.
La oss gå videre til å beregne den andre logaritmen. Tallet kan representeres som en potens av 7: 
(se om nødvendig). Derfor, 
.
La oss omskrive den tredje logaritmen inn følgende skjema. Nå kan du se det 
, hvorfra vi konkluderer med det 
. Derfor, ved definisjonen av logaritme 
.
Kort fortalt kan løsningen skrives slik: .
Svar:
log 5 25=2 , 
Og .
Når det er et tilstrekkelig stort naturlig tall under logaritmetegnet, skader det ikke å utvide det til primære faktorer. Det hjelper ofte å representere et slikt tall som en potens av basen til logaritmen, og derfor beregne denne logaritmen per definisjon.
Eksempel.
Finn verdien av logaritmen.
Løsning.
Noen egenskaper til logaritmer lar deg spesifisere verdien av logaritmer umiddelbart. Disse egenskapene inkluderer egenskapen til logaritmen til en enhet og egenskapen til logaritmen til et tall, lik basen: log 1 1=log a a 0 =0 og log a a=log a a 1 =1 . Det vil si at når det under fortegnet til logaritmen er et tall 1 eller et tall a lik basen til logaritmen, så er i disse tilfellene logaritmene lik henholdsvis 0 og 1.
Eksempel.
Hva er logaritmer og log10 lik?
Løsning.
Siden , så følger det fra definisjonen av logaritme 
.
I det andre eksemplet faller tallet 10 under logaritmetegnet sammen med basen, så desimallogaritmen på ti lik en, det vil si log10=lg101=1.
Svar:
OG lg10=1 .
Merk at beregningen av logaritmer per definisjon (som vi diskuterte i forrige avsnitt) innebærer bruk av likhetsloggen a a p =p, som er en av egenskapene til logaritmer.
I praksis, når et tall under logaritmetegnet og basen av logaritmen lett kan representeres som en potens av et bestemt tall, er det veldig praktisk å bruke formelen 
, som tilsvarer en av egenskapene til logaritmer. La oss se på et eksempel på å finne en logaritme som illustrerer bruken av denne formelen.
Eksempel.
Regn ut logaritmen.
Løsning.
Svar:
.
Egenskaper til logaritmer som ikke er nevnt ovenfor, brukes også i beregninger, men vi vil snakke om dette i de følgende avsnittene.
Finne logaritmer gjennom andre kjente logaritmer
Informasjonen i dette avsnittet fortsetter temaet om å bruke egenskapene til logaritmer når de beregnes. Men her er hovedforskjellen at egenskapene til logaritmene brukes til å uttrykke den opprinnelige logaritmen i form av en annen logaritme, hvis verdi er kjent. La oss gi et eksempel for avklaring. La oss si at vi vet at log 2 3≈1.584963, så kan vi finne for eksempel log 2 6 ved å gjøre en liten transformasjon ved å bruke egenskapene til logaritmen: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
I eksemplet ovenfor var det nok for oss å bruke egenskapen til logaritmen til et produkt. Imidlertid er det mye oftere nødvendig å bruke et bredere arsenal av egenskaper til logaritmer for å beregne den opprinnelige logaritmen gjennom de gitte.
Eksempel.
Beregn logaritmen av 27 til grunntallet 60 hvis du vet at log 60 2=a og log 60 5=b.
Løsning.
Så vi må finne logg 60 27 . Det er lett å se at 27 = 3 3, og den opprinnelige logaritmen, på grunn av egenskapen til potensens logaritme, kan skrives om til 3·log 60 3.
La oss nå se hvordan du uttrykker log 60 3 i form av kjente logaritmer. Egenskapen til logaritmen til et tall lik grunntallet lar oss skrive likhetsloggen 60 60=1. På den annen side, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Dermed, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Derfor, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
Til slutt beregner vi den opprinnelige logaritmen: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Svar:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Separat er det verdt å nevne betydningen av formelen for overgang til en ny base av logaritmen til formen 
. Den lar deg gå fra logaritmer med hvilken som helst base til logaritmer med en spesifikk base, hvis verdier er kjent eller det er mulig å finne dem. Vanligvis, fra den opprinnelige logaritmen, ved hjelp av overgangsformelen, flytter de til logaritmer i en av basene 2, e eller 10, siden for disse basene er det tabeller med logaritmer som lar verdiene deres beregnes med en viss grad av nøyaktighet. I neste punkt vi viser deg hvordan det gjøres.
Logaritmetabeller og deres bruk
For omtrentlig beregning av logaritmeverdier kan brukes logaritmetabeller. Den mest brukte base 2-logaritmetabellen er tabellen naturlige logaritmer og en tabell med desimallogaritmer. Når du jobber i desimalsystem For kalkulering er det praktisk å bruke en tabell med logaritmer basert på basis ti. Med dens hjelp vil vi lære å finne verdiene til logaritmer.
Den presenterte tabellen lar deg finne verdiene til desimallogaritmene til tall fra 1000 til 9999 (med tre desimaler) med en nøyaktighet på en ti tusendel. Vi vil analysere prinsippet for å finne verdien av en logaritme ved å bruke en tabell med desimallogaritmer i spesifikt eksempel– Det er tydeligere på den måten. La oss finne log1.256.
I venstre kolonne i tabellen med desimallogaritmer finner vi de to første sifrene i tallet 1,256, det vil si at vi finner 1,2 (dette tallet er sirklet inn i blått for klarhetens skyld). Vi finner det tredje sifferet på 1,256 (siffer 5) i det første eller siste linje til venstre for den doble linjen (dette tallet er ringt inn med rødt). Det fjerde sifferet i det opprinnelige tallet 1.256 (siffer 6) finnes i den første eller siste linjen til høyre for den doble linjen (dette tallet er omringet med en grønn linje). Nå finner vi tallene i cellene i logaritmetabellen i skjæringspunktet mellom den merkede raden og markerte kolonner (disse tallene er uthevet oransje). Summen av de markerte tallene gir ønsket verdi desimal logaritme nøyaktig til fjerde desimal, det vil si log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.
Er det mulig, ved å bruke tabellen ovenfor, å finne verdiene til desimallogaritmer for tall som har mer enn tre sifre etter desimaltegnet, så vel som de som går utover området fra 1 til 9,999? Ja det kan du. La oss vise hvordan dette gjøres med et eksempel.
La oss beregne lg102.76332. Først må du skrive ned nummer inn standard skjema : 102,76332=1,0276332·10 2. Etter dette skal mantissen avrundes til tredje desimal, vi har 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, mens den opprinnelige desimallogaritmen er omtrentlig lik logaritmen det resulterende tallet, det vil si at vi tar log102.76332≈lg1.028·10 2. Nå bruker vi egenskapene til logaritmen: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Til slutt finner vi verdien av logaritmen lg1.028 fra tabellen med desimallogaritmer lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Som et resultat ser hele prosessen med å beregne logaritmen slik ut: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.
Avslutningsvis er det verdt å merke seg at ved å bruke en tabell med desimallogaritmer kan du beregne den omtrentlige verdien av enhver logaritme. For å gjøre dette er det nok å bruke overgangsformelen for å gå til desimallogaritmer, finne verdiene deres i tabellen og utføre de resterende beregningene.
La oss for eksempel beregne log 2 3 . I henhold til formelen for overgang til en ny base av logaritmen har vi . Fra tabellen med desimallogaritmer finner vi log3≈0,4771 og log2≈0,3010. Dermed, 
.
Bibliografi.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. og andre Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok for 10. - 11. klassetrinn ved allmennutdanningsinstitusjoner.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler).
I forhold til
oppgaven med å finne hvilket som helst av de tre tallene fra de to andre gitte kan settes. Hvis a og deretter N er gitt, blir de funnet ved eksponentiering. Hvis N og deretter a gis ved å ta roten av graden x (eller heve den til potensen). Tenk nå på tilfellet når vi, gitt a og N, må finne x.
La tallet N være positivt: tallet a være positivt og ikke lik en: .
Definisjon. Logaritmen av tallet N til grunntallet a er eksponenten som a må heves til for å få tallet N; logaritmen er betegnet med
Således, i likhet (26.1) er eksponenten funnet som logaritmen av N til base a. Innlegg
ha samme betydning. Likhet (26.1) kalles noen ganger hovedidentiteten til logaritmeteorien; i virkeligheten uttrykker det definisjonen av begrepet logaritme. Av denne definisjonen Grunnlaget for logaritmen a er alltid positiv og forskjellig fra enhet; det logaritmiske tallet N er positivt. Negative tall og null har ingen logaritmer. Det kan bevises at ethvert tall med en gitt base har en veldefinert logaritme. Derfor innebærer likhet. Legg merke til at betingelsen er avgjørende her, ellers ville konklusjonen ikke være berettiget, siden likheten er sann for alle verdier av x og y.
Eksempel 1. Finn
Løsning. For å få et tall, må du heve grunntallet 2 til potensen Derfor.
Du kan gjøre notater når du løser slike eksempler i følgende skjema:
Eksempel 2. Finn .
Løsning. Vi har
I eksempel 1 og 2 fant vi enkelt ønsket logaritme ved å representere logaritmetallet som en potens av grunntallet med rasjonell indikator. I generell sak, for eksempel for etc., kan dette ikke gjøres, siden logaritmen har irrasjonell mening. La oss ta hensyn til ett problem knyttet til denne uttalelsen. I avsnitt 12 ga vi begrepet muligheten for å bestemme evt reell grad gitt positivt tall. Dette var nødvendig for innføringen av logaritmer, som generelt sett kan være irrasjonelle tall.
La oss se på noen egenskaper ved logaritmer.
Egenskap 1. Hvis tallet og grunntallet er like, så er logaritmen lik én, og omvendt, hvis logaritmen er lik én, så er tallet og grunntallet like.
Bevis. La Ved definisjonen av en logaritme har vi og hvorfra
Omvendt, la Then per definisjon
Egenskap 2. Logaritme av en til en hvilken som helst base lik null.
Bevis. Etter definisjon av logaritme ( null grader enhver positiv base er lik én, se (10.1)). Herfra
Q.E.D.
Det motsatte utsagnet er også sant: hvis , så N = 1. Vi har faktisk .
Før du formulerer den neste egenskapen til logaritmer, la oss bli enige om å si at to tall a og b ligger på samme side av det tredje tallet c hvis de begge er større enn c eller mindre enn c. Hvis ett av disse tallene er større enn c, og det andre er mindre enn c, vil vi si at de ligger langs forskjellige sider fra bygda
Egenskap 3. Hvis tallet og grunntallet ligger på samme side av en, så er logaritmen positiv; Hvis tallet og grunntallet ligger på motsatte sider av én, er logaritmen negativ.
Beviset for egenskap 3 er basert på det faktum at potensen til a er større enn én hvis grunntallet er større enn én og eksponenten er positiv eller grunntallet er mindre enn én og eksponenten er negativ. En potens er mindre enn én hvis grunntallet er større enn én og eksponenten er negativ eller grunntallet er mindre enn én og eksponenten er positiv.
Det er fire saker å vurdere:
Vi vil begrense oss til å analysere den første av dem, leseren vil vurdere resten på egen hånd.
La da i likhet eksponenten verken være negativ eller lik null, derfor er det positivt, dvs. som kreves for å bli bevist.
Eksempel 3. Finn ut hvilke av logaritmene nedenfor som er positive og hvilke som er negative:
Løsning, a) siden tallet 15 og basen 12 er plassert på samme side av en;
b) siden 1000 og 2 er plassert på den ene siden av enheten; i dette tilfellet er det ikke viktig at grunntallet er større enn det logaritmiske tallet;
c) siden 3.1 og 0.8 ligger på motsatte sider av enheten;
G); Hvorfor?
d) ; Hvorfor?
Følgende egenskaper 4-6 kalles ofte logaritmeringsreglene: de tillater, ved å kjenne logaritmene til noen tall, å finne logaritmene til deres produkt, kvotient og grad av hvert av dem.
Egenskap 4 (produktlogaritmeregel). Logaritme av produktet av flere positive tall ved dette grunnlaget lik summen av logaritmene til disse tallene til samme grunntall.
Bevis. La de gitte tallene være positive.
For logaritmen til produktet deres skriver vi likheten (26.1) som definerer logaritmen:
Herfra finner vi
Sammenligning av eksponentene til den første og siste uttrykk, oppnår vi den nødvendige likheten:
Merk at tilstanden er essensiell; logaritme av produktet av to negative tall fornuftig, men i dette tilfellet får vi
Generelt, hvis produktet av flere faktorer er positivt, er logaritmen lik summen av logaritmene til de absolutte verdiene til disse faktorene.
Egenskap 5 (regel for å ta logaritmer av kvotienter). Logaritmen til en kvotient av positive tall er lik differansen mellom logaritmene til utbyttet og divisoren, tatt til samme base. Bevis. Vi finner konsekvent
Q.E.D.
Egenskap 6 (potenslogaritmeregel). Logaritmen av potensen til ethvert positivt tall er lik logaritmen til det tallet multiplisert med eksponenten.
Bevis. La oss skrive igjen hovedidentiteten (26.1) for nummeret:
Q.E.D.
Konsekvens. Logaritmen til en rot av et positivt tall er lik logaritmen til radikalet delt på eksponenten til roten:
Gyldigheten av denne konsekvensen kan bevises ved å forestille seg hvordan og bruke egenskap 6.
Eksempel 4. Ta logaritmen til å basere a:
a) (det antas at alle verdier b, c, d, e er positive);
b) (det antas at ).
Løsning, a) Det er praktisk å gå til dette uttrykket til brøkpotenser:
Basert på likheter (26.5)-(26.7), kan vi nå skrive:
Vi legger merke til at enklere operasjoner utføres på logaritmene til tallene enn på tallene i seg selv: når tall multipliseres, blir logaritmene deres lagt til, når de divideres, trekkes de fra osv.
Det er derfor logaritmer brukes i beregningspraksis (se avsnitt 29).
Den inverse handlingen til logaritmen kalles potensering, nemlig: potensering er handlingen som tallet i seg selv blir funnet fra en gitt logaritme av et tall. Potensering er i hovedsak ikke noen spesiell handling: det kommer ned til å heve en base til en potens (lik logaritmen til et tall). Begrepet "potensiale" kan betraktes som synonymt med begrepet "eksponentiering".
Ved potensiering må du bruke reglene invers til logaritmeringsreglene: erstatt summen av logaritmene med logaritmen til produktet, forskjellen av logaritmene med logaritmen til kvotienten osv. Spesielt hvis det er en faktor foran av logaritmens fortegn, så må det under potensieringen overføres til eksponentgradene under logaritmens fortegn.
Eksempel 5. Finn N hvis det er kjent at
Løsning. I forbindelse med den nettopp nevnte potenseringsregelen vil vi overføre faktorene 2/3 og 1/3 som står foran logaritmenes tegn på høyre side av denne likheten til eksponenter under disse logaritmenes fortegn; vi får
Nå erstatter vi forskjellen av logaritmer med logaritmen til kvotienten:
for å få den siste brøken i denne likhetskjeden, frigjorde vi den forrige brøken fra irrasjonalitet i nevneren (klausul 25).
Eiendom 7. Hvis basen er større enn én, da større antall har en større logaritme (og et mindre tall har en mindre), hvis grunntallet er mindre enn én, så har et større tall en mindre logaritme (og et mindre tall har en større).
Denne egenskapen er også formulert som en regel for å ta logaritmer av ulikheter, hvor begge sider er positive:
Når du tar logaritmer av ulikheter til basen, større enn én, er tegnet på ulikhet bevart, og når du tar en logaritme til en base mindre enn én, endres tegnet på ulikhet til det motsatte (se også avsnitt 80).
Beviset er basert på egenskapene 5 og 3. Tenk på tilfellet når If , then og, med logaritmer, får vi
(a og N/M ligger på samme side av enheten). Herfra
I tilfelle a følger, vil leseren finne ut av det på egen hånd.
I dag skal vi snakke om logaritmiske formler og vi vil gi veiledende eksempler på løsninger.
De antyder selv løsningsmønstre i henhold til logaritmenes grunnleggende egenskaper. Før du bruker logaritmeformler for å løse, la oss minne deg på alle egenskapene:
Nå, basert på disse formlene (egenskapene), vil vi vise eksempler på løsning av logaritmer.
Eksempler på løsning av logaritmer basert på formler.
Logaritme et positivt tall b for å basere a (betegnet med log a b) er en eksponent som a må heves til for å få b, med b > 0, a > 0 og 1.
I følge definisjoner av logg a b = x, som tilsvarer a x = b, så log a a x = x.
Logaritmer, eksempler:
log 2 8 = 3, fordi 2 3 = 8
log 7 49 = 2, fordi 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, fordi 5 -1 = 1/5
Desimallogaritme- dette er en vanlig logaritme, hvis basis er 10. Den er betegnet som lg.
log 10 100 = 2, fordi 10 2 = 100
Naturlig logaritme- også den vanlige logaritmelogaritmen, men med grunntallet e (e = 2,71828... - irrasjonelt tall). Betegnes som ln.
Det er tilrådelig å huske formlene eller egenskapene til logaritmer, fordi vi vil trenge dem senere når vi løser logaritmer, logaritmiske ligninger og ulikheter. La oss gå gjennom hver formel på nytt med eksempler.
- Grunnleggende logaritmisk identitet
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Logaritmen til kvotienten er lik differansen til logaritmene
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Egenskaper for potensen til et logaritmisk tall og basisen til logaritmen
Eksponent for det logaritmiske tallet log a b m = mlog a b
Eksponent for basen til logaritmen log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
hvis m = n, får vi log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Overgang til ny stiftelse
log a b = log c b/log c a,hvis c = b, får vi log b b = 1
så log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Som du kan se, er ikke formlene for logaritmer så kompliserte som de ser ut til. Nå, etter å ha sett på eksempler på løsning av logaritmer, kan vi gå videre til logaritmiske ligninger. Vi vil se nærmere på eksempler på løsning av logaritmiske ligninger i artikkelen: "". Ikke gå glipp!
Hvis du fortsatt har spørsmål om løsningen, skriv dem i kommentarene til artikkelen.
Merk: vi bestemte oss for å få en annen utdanningsklasse og studere i utlandet som et alternativ.
Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer er ikke akkurat vanlige tall, det er regler her, som kalles hovedegenskaper.
Du trenger definitivt å kjenne disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig problem løses. logaritmisk problem. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.
Legge til og subtrahere logaritmer
Tenk på to logaritmer med samme base: log en x og logg en y. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:
- Logg en x+logg en y= logg en (x · y);
- Logg en x− logg en y= logg en (x : y).
Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Merk: nøkkel øyeblikk Her - identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!
Disse formlene vil hjelpe deg å beregne logaritmisk uttrykk selv når dens individuelle deler ikke telles (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:
Logg 6 4 + logg 6 9.
Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Oppgave. Finn verdien til uttrykket: log 2 48 − log 2 3.
Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 3 135 − log 3 5.
Igjen er basene de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene viser de seg ganske normale tall. Mange er bygget på dette faktum testpapirer. Hva med kontrollene? lignende uttrykk i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) tilbys på Unified State Examination.
Trekker ut eksponenten fra logaritmen
La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:
Det er lett å legge merke til det siste regel følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.
Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: en > 0, en ≠ 1, x> 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt, dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Dette er det som oftest kreves.
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 7 49 6 .
La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:
[Tekst til bildet]
Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:
[Tekst til bildet] jeg tenker å siste eksempel avklaring nødvendig. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.
La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log 2 7. Siden log 2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.
Overgang til ny stiftelse
Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om årsakene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?
Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:
La logaritmeloggen gis en x. Deretter for et hvilket som helst tall c slik at c> 0 og c≠ 1, likheten er sann:
[Tekst til bildet]
Spesielt hvis vi setter c = x, vi får:
[Tekst til bildet]
Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.
Disse formlene finnes sjelden i konvensjonelle numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.
Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 5 16 log 2 25.
Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
La oss nå "reversere" den andre logaritmen:
[Tekst til bildet]Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 9 100 lg 3.
Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:
[Tekst til bildet]La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:
[Tekst til bildet]Grunnleggende logaritmisk identitet
Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:
I det første tilfellet, nummeret n blir en indikator på graden stående i argumentasjonen. Antall n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.
Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det er det det kalles: den grunnleggende logaritmiske identiteten.
Faktisk, hva vil skje hvis nummeret b heve til en slik styrke at tallet b til denne potensen gir tallet en? Det stemmer: du får det samme nummeret en. Les denne paragrafen nøye igjen - mange setter seg fast i den.
Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.
Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:
[Tekst til bildet]
Merk at log 25 64 = log 5 8 - tok bare kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Vurderer reglene for å multiplisere potenser med samme grunnlag, vi får:
[Tekst til bildet]Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)
Logaritmisk enhet og logaritmisk null
Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som vanskelig kan kalles egenskaper – snarere er de konsekvenser av definisjonen av logaritmen. De dukker stadig opp i problemer og, overraskende nok, skaper de problemer selv for "avanserte" studenter.
- Logg en en= 1 er logaritmisk enhet. Husk en gang for alle: logaritme til hvilken som helst base en fra denne grunnen er lik en.
- Logg en 1 = 0 er logaritmisk null. Utgangspunkt en kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder én, er logaritmen lik null! Fordi en 0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.
Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs oppgavene.