En vektor forstås vanligvis som en mengde som har 2 hovedegenskaper:
- modul;
- retning.
Dermed anses to vektorer som like dersom modulene, samt retningene til begge, faller sammen. Den aktuelle verdien er oftest skrevet som en bokstav med en pil tegnet over.
Blant de vanligste mengdene av tilsvarende type er hastighet, kraft og også for eksempel akselerasjon.
Fra et geometrisk synspunkt kan en vektor være et rettet segment, hvis lengde korrelerer med modulen.
Hvis vi vurderer en vektormengde separat fra dens retning, kan den i prinsippet måles. Riktignok vil dette på en eller annen måte være en delvis karakteristikk av den tilsvarende mengden. Full - oppnås bare hvis den er supplert med parametrene til retningssegmentet.
Hva er en skalar mengde?
Med skalar mener vi vanligvis en mengde som kun har én egenskap, nemlig en tallverdi. I dette tilfellet kan verdien som vurderes ha en positiv eller negativ verdi.
Vanlige skalare mengder inkluderer masse, frekvens, spenning og temperatur. Med dem er det mulig å utføre ulike matematiske operasjoner - addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon.
Retning (som en karakteristikk) er ikke typisk for skalare mengder.
Sammenligning
Hovedforskjellen mellom en vektormengde og en skalarmengde er at den første har nøkkelegenskaper - størrelse og retning, mens den andre har en numerisk verdi. Det er verdt å merke seg at en vektormengde, som en skalarmengde, i prinsippet kan måles, men i dette tilfellet vil dens egenskaper bare bli delvis bestemt, siden det vil være mangel på retning.
Etter å ha bestemt hva forskjellen er mellom en vektor og en skalar mengde, vil vi vise konklusjonene i en liten tabell.
De to ordene som skremmer skolebarn – vektor og skalar – er faktisk ikke skumle. Hvis du nærmer deg emnet med interesse, kan alt forstås. I denne artikkelen vil vi vurdere hvilken mengde som er vektor og hvilken som er skalar. Mer presist vil vi gi eksempler. Hver student har sannsynligvis lagt merke til at i fysikk er noen mengder ikke bare angitt med et symbol, men også med en pil på toppen. Hva mener de? Dette vil bli diskutert nedenfor. La oss prøve å finne ut hvordan det skiller seg fra skalar.
Eksempler på vektorer. Hvordan er de utpekt?
Hva menes med vektor? Det som kjennetegner bevegelse. Det spiller ingen rolle om det er i verdensrommet eller på et fly. Hvilken mengde er en vektormengde generelt? For eksempel flyr et fly med en viss hastighet i en viss høyde, har en bestemt masse og begynte å bevege seg fra flyplassen med den nødvendige akselerasjonen. Hva med bevegelsen til et fly? Hva fikk ham til å fly? Selvfølgelig, akselerasjon, hastighet. Vektormengder fra fysikkkurset er klare eksempler. For å si det rett ut, er en vektormengde assosiert med bevegelse, forskyvning.
Vann beveger seg også med en viss hastighet fra høyden av fjellet. Ser du? Bevegelse utføres ikke etter volum eller masse, men etter hastighet. En tennisspiller lar ballen bevege seg ved hjelp av en racket. Det setter akselerasjonen. Forresten, kraften som brukes i dette tilfellet er også en vektormengde. Fordi det oppnås som et resultat av gitte hastigheter og akselerasjoner. Makt kan også endre og utføre spesifikke handlinger. Vinden som beveger bladene på trærne kan også betraktes som et eksempel. For det er fart.
Positive og negative mengder
En vektormengde er en størrelse som har en retning i det omkringliggende rommet og en størrelse. Det skumle ordet dukket opp igjen, denne gangen modulen. Tenk deg at du må løse et problem der en negativ akselerasjonsverdi vil bli registrert. I naturen finnes det ikke negative betydninger. Hvordan kan hastighet være negativ?
En vektor har et slikt konsept. Dette gjelder for eksempel krefter som påføres kroppen, men som har ulike retninger. Husk den tredje hvor handling er lik reaksjon. Gutta spiller dragkamp. Det ene laget har på seg blå T-skjorter, det andre laget har på seg gule T-skjorter. Sistnevnte viser seg å være sterkere. La oss anta at kraftvektoren deres er rettet positivt. Samtidig kan ikke de første trekke i tauet, men de prøver. En motstridende kraft oppstår.
Vektor eller skalær mengde?
La oss snakke om hvordan en vektormengde skiller seg fra en skalarmengde. Hvilken parameter har ingen retning, men har sin egen betydning? La oss liste noen skalarmengder nedenfor:
Har de alle en retning? Nei. Hvilken mengde som er vektor og hvilken som er skalar kan kun vises med visuelle eksempler. I fysikk er det slike konsepter ikke bare i avsnittet "Mekanikk, dynamikk og kinematikk", men også i avsnittet "Elektrisitet og magnetisme". Lorentz-kraften er også en vektormengde.
Vektor og skalar i formler
Lærebøker i fysikk inneholder ofte formler som har en pil øverst. Husk Newtons andre lov. Kraft ("F" med en pil på toppen) er lik produktet av masse ("m") og akselerasjon ("a" med en pil på toppen). Som nevnt ovenfor er kraft og akselerasjon vektormengder, men masse er skalar.
Dessverre er det ikke alle publikasjoner som har betegnelsen på disse mengdene. Dette ble trolig gjort for å forenkle slik at skoleelever ikke skulle bli villedet. Det er best å kjøpe de bøkene og oppslagsbøkene som indikerer vektorer i formler.
Illustrasjonen vil vise hvilken mengde som er en vektor. Det anbefales å ta hensyn til bilder og diagrammer i fysikktimer. Vektormengder har en retning. Hvor er det rettet selvfølgelig ned? Dette betyr at pilen vises i samme retning.
Fysikk studeres i dybden ved tekniske universiteter. I mange disipliner snakker lærere om hvilke mengder som er skalare og vektorer. Slik kunnskap er nødvendig innen følgende områder: bygg, transport, naturvitenskap.
I fysikk er det flere kategorier av mengder: vektor og skalar.
Hva er en vektormengde?
En vektormengde har to hovedegenskaper: retning og modul. To vektorer vil være like hvis deres absolutte verdi og retning er den samme. For å betegne en vektormengde, brukes oftest bokstaver med en pil over dem. Et eksempel på en vektormengde er kraft, hastighet eller akselerasjon.
For å forstå essensen av en vektormengde, bør man vurdere den fra et geometrisk synspunkt. En vektor er et segment som har en retning. Lengden på et slikt segment korrelerer med verdien av dets modul. Et fysisk eksempel på en vektormengde er forskyvningen av et materialpunkt som beveger seg i rommet. Parametere som akselerasjonen til dette punktet, hastigheten og kreftene som virker på det, det elektromagnetiske feltet vil også vises som vektorstørrelser.
Hvis vi vurderer en vektormengde uavhengig av retning, så kan et slikt segment måles. Men det resulterende resultatet vil gjenspeile bare delvise egenskaper ved mengden. For å måle den fullt ut, bør verdien suppleres med andre parametere for retningssegmentet.
I vektoralgebra er det et konsept null vektor. Dette konseptet betyr et poeng. Når det gjelder retningen til nullvektoren, anses den som usikker. For å betegne nullvektoren brukes den aritmetiske null, skrevet med fet skrift.
Hvis vi analyserer alt ovenfor, kan vi konkludere med at alle dirigerte segmenter definerer vektorer. To segmenter vil definere en vektor bare hvis de er like. Ved sammenligning av vektorer gjelder samme regel som ved sammenligning av skalare mengder. Likestilling betyr fullstendig enighet i alle henseender.
Hva er en skalar mengde?
I motsetning til en vektor, har en skalar mengde bare én parameter - denne dens numeriske verdi. Det er verdt å merke seg at den analyserte verdien kan ha enten en positiv numerisk verdi eller en negativ.
Eksempler inkluderer masse, spenning, frekvens eller temperatur. Med slike mengder kan du utføre ulike aritmetiske operasjoner: addisjon, divisjon, subtraksjon, multiplikasjon. For en skalar mengde er en slik karakteristikk som retning ikke typisk.
En skalar mengde måles med en numerisk verdi, slik at den kan vises på en koordinatakse. For eksempel konstrueres svært ofte aksen for tilbakelagt avstand, temperatur eller tid.
Hovedforskjeller mellom skalar- og vektormengder
Fra beskrivelsene gitt ovenfor er det klart at hovedforskjellen mellom vektormengder og skalarmengder er deres kjennetegn. En vektormengde har en retning og størrelse, mens en skalarmengde kun har en numerisk verdi. Selvfølgelig kan en vektormengde, som en skalær mengde, måles, men en slik karakteristikk vil ikke være fullstendig, siden det ikke er noen retning.
For å tydeligere forestille seg forskjellen mellom en skalær mengde og en vektormengde, bør det gis et eksempel. For å gjøre dette, la oss ta et slikt kunnskapsområde som klimatologi. Hvis vi sier at vinden blåser med en hastighet på 8 meter per sekund, vil en skalar mengde bli introdusert. Men hvis vi sier at nordavinden blåser med en hastighet på 8 meter per sekund, så snakker vi om en vektorverdi.
Vektorer spiller en stor rolle i moderne matematikk, så vel som på mange områder innen mekanikk og fysikk. De fleste fysiske størrelser kan representeres som vektorer. Dette lar oss generalisere og betydelig forenkle formlene og resultatene som brukes. Ofte identifiseres vektorverdier og vektorer med hverandre. For eksempel, i fysikk kan du høre at hastighet eller kraft er en vektor.
Vektor- et rent matematisk konsept som kun brukes i fysikk eller andre anvendte vitenskaper og som lar en forenkle løsningen av noen komplekse problemer.
Vektor− rettet rett segment.
I et kurs i elementær fysikk må man operere med to kategorier av størrelser − skalar og vektor
.
Skalar mengder (skalarer) er mengder karakterisert ved en numerisk verdi og fortegn. Skalarene er lengde − l, masse − m, sti - s, tid − t, temperatur − T, elektrisk ladning − q, energi − W, koordinater osv.
Alle algebraiske operasjoner (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon osv.) gjelder for skalare størrelser.
Eksempel 1.
Bestem den totale ladningen til systemet, bestående av ladningene som er inkludert i det, hvis q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC.
Full systemlading
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C.
Eksempel 2.
For en andregradsligning av formen
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).
Vektor Mengder (vektorer) er mengder, for å bestemme hvilke det er nødvendig å angi, i tillegg til den numeriske verdien, retningen. Vektorer − hastighet v, kraft F, impuls s, elektrisk feltstyrke E, magnetisk induksjon B og så videre.
Den numeriske verdien til en vektor (modul) er angitt med en bokstav uten et vektorsymbol eller vektoren er innelukket mellom vertikale streker r = |r|.
Grafisk er vektoren representert med en pil (fig. 1),
Lengden som på en gitt skala er lik dens størrelse, og retningen faller sammen med retningen til vektoren.
To vektorer er like hvis deres størrelser og retninger faller sammen.
Vektormengder legges til geometrisk (i henhold til vektoralgebraregelen).
Å finne en vektorsum fra gitte komponentvektorer kalles vektoraddisjon.
Addisjonen av to vektorer utføres i henhold til parallellogram- eller trekantregelen. Sumvektor
c = a + b
lik diagonalen til et parallellogram bygget på vektorer en Og b. Moduler det
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (fig. 2). 
Ved α = 90°, er c = √(a 2 + b 2 ) Pythagoras teorem.
Den samme vektoren c kan oppnås ved å bruke trekantregelen hvis fra slutten av vektoren en sett til side vektor b. Etterfølgende vektor c (forbinder begynnelsen av vektoren en og slutten av vektoren b) er vektorsummen av ledd (komponentvektorer en Og b).
Den resulterende vektoren er funnet som baklinjen til den brutte linjen hvis lenker er komponentvektorene (fig. 3). 
Eksempel 3.
Legg til to krefter F 1 = 3 N og F 2 = 4 N, vektorer F 1 Og F 2 lag vinklene α 1 = 10° og α 2 = 40° med henholdsvis horisonten
F = F 1 + F 2(Fig. 4). 
Resultatet av addisjonen av disse to kreftene er en kraft som kalles resultanten. Vektor F rettet langs diagonalen til et parallellogram bygget på vektorer F 1 Og F 2, begge sider, og er lik i modul med lengden.
Vektormodul F finn ved cosinussetningen
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Hvis
(α 2 − α 1) = 90°, så F = √(F 1 2 + F 2 2 ).
Vinkel som er vektor F er lik okseaksen, finner vi den ved hjelp av formelen
α = arctan((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctan((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = arctan0.51, α ≈ 0.47 rad.
Projeksjonen av vektor a på Ox (Oy) aksen er en skalar størrelse avhengig av vinkelen α mellom retningen til vektoren en og Ox (Oy) aksen. (Fig. 5) 
Vektorprojeksjoner en på Ox- og Oy-aksene til det rektangulære koordinatsystemet. (Fig. 6) 
For å unngå feil når du bestemmer tegnet for projeksjonen av en vektor på en akse, er det nyttig å huske følgende regel: hvis retningen til komponenten sammenfaller med retningen til aksen, så projeksjonen av vektoren på denne aksen er positiv, men hvis retningen til komponenten er motsatt av retningen til aksen, er projeksjonen av vektoren negativ. (Fig. 7) 
Subtraksjon av vektorer er en addisjon der en vektor legges til den første vektoren, numerisk lik den andre, i motsatt retning
a − b = a + (−b) = d(Fig. 8). 
La det være nødvendig fra vektoren en trekke fra vektor b, deres forskjell − d. For å finne forskjellen mellom to vektorer, må du gå til vektoren en legg til vektor ( −b), det vil si en vektor d = a − b vil være en vektor rettet fra begynnelsen av vektoren en til slutten av vektoren ( −b) (Fig. 9). 
I et parallellogram bygget på vektorer en Og b begge sider, en diagonal c har betydningen av summen, og den andre d− vektorforskjeller en Og b(Fig. 9).
Produkt av en vektor en ved skalar er k lik vektoren b= k en, hvis modul er k ganger større enn modulen til vektoren en, og retningen sammenfaller med retningen en for positiv k og det motsatte for negativ k.
Eksempel 4.
Bestem farten til en kropp som veier 2 kg som beveger seg med en hastighet på 5 m/s. (Fig. 10) 
Kroppsimpuls s= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s og rettet mot hastigheten v.
Eksempel 5.
En ladning q = −7,5 nC plasseres i et elektrisk felt med en styrke på E = 400 V/m. Finn størrelsen og retningen til kraften som virker på ladningen.
Kraften er F= q E. Siden ladningen er negativ, er kraftvektoren rettet i motsatt retning av vektoren E. (Fig. 11) 
Inndeling vektor en med en skalar tilsvarer k å multiplisere en med 1/k.
Prikk produkt vektorer en Og b kalt skalaren "c", lik produktet av modulene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (fig. 12) 
Eksempel 6.
Finn arbeidet utført av en konstant kraft F = 20 N, hvis forskyvningen S = 7,5 m, og vinkelen α mellom kraften og forskyvningen α = 120°.
Arbeidet som utføres av en kraft er per definisjon lik skalarproduktet av kraft og forskyvning
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J.
Vektor kunstverk vektorer en Og b kalt en vektor c, numerisk lik produktet av de absolutte verdiene til vektorene a og b multiplisert med sinusen til vinkelen mellom dem:
c = a × b = ,
с = ab × sinα.
Vektor c vinkelrett på planet som vektorene ligger i en Og b, og retningen er relatert til retningen til vektorene en Og b høyre skrueregel (fig. 13). 
Eksempel 7.
Bestem kraften som virker på en leder 0,2 m lang, plassert i et magnetfelt, hvis induksjon er 5 T, hvis strømstyrken i lederen er 10 A og den danner en vinkel α = 30° med feltets retning .
Ampere kraft
dF = I = Idl × B eller F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.
Vurder problemløsning.
1. Hvordan styres to vektorer, hvis moduler er identiske og lik a, hvis modulen til summen deres er lik: a) 0; b) 2a; c) a; d) a√(2); e) a√(3)?
Løsning.
a) To vektorer er rettet langs en rett linje i motsatte retninger. Summen av disse vektorene er null. 
b) To vektorer er rettet langs en rett linje i samme retning. Summen av disse vektorene er 2a. 
c) To vektorer er rettet i en vinkel på 120° til hverandre. Summen av vektorene er a. Den resulterende vektoren er funnet ved å bruke cosinussetningen: 
a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = −1/2 og α = 120°.
d) To vektorer er rettet i en vinkel på 90° til hverandre. Modulen til summen er lik
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 og α = 90°. 
e) To vektorer er rettet i en vinkel på 60° til hverandre. Modulen til summen er lik
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 og α = 60°.
Svar: Vinkelen α mellom vektorene er lik: a) 180°; b) 0; c) 120°; d) 90°; e) 60°.
2. Hvis a = a 1 + a 2 orientering av vektorer, hva kan sies om gjensidig orientering av vektorer en 1 Og en 2 hvis: a) a = a1 + a2; b) a2 = a12 + a22; c) a 1 + a 2 = a 1 − a 2?
Løsning.
a) Hvis summen av vektorer er funnet som summen av modulene til disse vektorene, er vektorene rettet langs en rett linje, parallelt med hverandre a 1 ||a 2.
b) Hvis vektorene er rettet i en vinkel til hverandre, blir summen deres funnet ved å bruke cosinussetningen for et parallellogram
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 og α = 90°.
vektorer står vinkelrett på hverandre a 1 ⊥ a 2.
c) Tilstand a 1 + a 2 = a 1 − a 2 kan utføres hvis en 2− nullvektor, så a 1 + a 2 = a 1 .
Svar. EN) a 1 ||a 2; b) a 1 ⊥ a 2; V) en 2− nullvektor.
3. To krefter på 1,42 N hver påføres ett punkt på kroppen i en vinkel på 60° i forhold til hverandre. I hvilken vinkel skal to krefter på 1,75 N hver påføres på samme punkt på kroppen slik at deres virkning balanserer virkningen av de to første kreftene?
Løsning.
I henhold til betingelsene for problemet balanserer to krefter på 1,75 N hver to krefter på 1,42 N. Dette er mulig hvis modulene til de resulterende kraftparene er like. Vi bestemmer den resulterende vektoren ved å bruke cosinussetningen for et parallellogram. For det første kraftparet:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
for det andre kraftparet
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Sette likhetstegn mellom venstre side av ligningene
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
La oss finne den nødvendige vinkelen β mellom vektorene
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Etter beregninger,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° - 2.1.752)/(2.1.752) = -0.0124,
β ≈ 90,7°.
Andre løsning.
La oss vurdere projeksjonen av vektorer på koordinataksen OX (fig.). 
Ved å bruke forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant får vi
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
hvor
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) og β ≈ 90,7°.
4. Vektor a = 3i − 4j. Hva må være skalarmengden c for |c en| = 7,5?
Løsning.
c en= c( 3i − 4j) = 7,5
Vektormodul en vil være lik
a 2 = 3 2 + 4 2, og a = ±5,
deretter fra
c.(±5) = 7,5,
la oss finne det
c = ±1,5.
5. Vektorer en 1 Og en 2 gå ut fra origo og har henholdsvis kartesiske endekoordinater (6, 0) og (1, 4). Finn vektoren en 3 slik at: a) en 1 + en 2 + en 3= 0; b) en 1 − en 2 + en 3 = 0.
Løsning.
La oss skildre vektorene i det kartesiske koordinatsystemet (fig.) 
a) Den resulterende vektoren langs Ox-aksen er
a x = 6 + 1 = 7.
Den resulterende vektoren langs Oy-aksen er
a y = 4 + 0 = 4.
For at summen av vektorer skal være lik null, er det nødvendig at betingelsen er oppfylt
en 1 + en 2 = −en 3.
Vektor en 3 modulo vil være lik den totale vektoren en 1 + en 2, men rettet i motsatt retning. Vektorendekoordinat en 3 er lik (−7, −4), og modulen
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8,1.
B) Den resulterende vektoren langs Ox-aksen er
a x = 6 − 1 = 5,
og den resulterende vektoren langs Oy-aksen
a y = 4 − 0 = 4.
Når vilkåret er oppfylt
en 1 − en 2 = −en 3,
vektor en 3 vil ha koordinatene til enden av vektoren a x = –5 og a y = −4, og dens modul er lik
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6,4.
6. En budbringer går 30 m mot nord, 25 m mot øst, 12 m mot sør, og tar deretter en heis til en høyde på 36 m i en bygning. Hva er avstanden L tilbakelagt av ham og forskyvningen S ?
Løsning.
La oss skildre situasjonen beskrevet i problemet på et plan i en vilkårlig skala (fig.). 
Slutt på vektor O.A. har koordinater 25 m mot øst, 18 m mot nord og 36 opp (25; 18; 36). Avstanden tilbakelagt av en person er lik
L = 30 m + 25 m + 12 m +36 m = 103 m.
Vi finner størrelsen på forskyvningsvektoren ved å bruke formelen
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
hvor x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (m).
Svar: L = 103 m, S = 47,4 m.
7. Vinkel α mellom to vektorer en Og b tilsvarer 60°. Bestem lengden på vektoren c = a + b og vinkel β mellom vektorer en Og c. Størrelsen på vektorene er a = 3,0 og b = 2,0.
Løsning.
Lengden på vektoren lik summen av vektorene en Og b La oss bestemme ved å bruke cosinussetningen for et parallellogram (fig.). 
с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Etter bytte
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4,4.
For å bestemme vinkelen β bruker vi sinussetningen for trekant ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
Samtidig bør du vite det
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Ved å løse en enkel trigonometrisk ligning kommer vi til uttrykket
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
derfor,
β = arctan(bsina/(a + bcosα)),
β = arctan(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
La oss sjekke ved å bruke cosinussetningen for en trekant:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
hvor
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
Og
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4,4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
Svar: c = 4,4; β ≈ 23°.
Løse problemer.
8. For vektorer en Og b definert i eksempel 7, finn lengden på vektoren d = a − b hjørne γ
mellom en Og d.
9. Finn projeksjonen av vektoren a = 4,0i + 7,0j til en rett linje, hvis retning gjør en vinkel α = 30° med Ox-aksen. Vektor en og den rette linjen ligger i xOy-planet.
10. Vektor en gjør en vinkel α = 30° med rett linje AB, a = 3,0. I hvilken vinkel β til linjen AB skal vektoren rettes? b(b = √(3)) slik at vektoren c = a + b var parallell med AB? Finn lengden på vektoren c.
11. Tre vektorer er gitt: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; c = i + 3j. Finn en) a+b; b) a+c; V) (a, b); G) (a, c)b − (a, b)c.
12. Vinkel mellom vektorer en Og b er lik α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Finn lengdene på vektorene c = (a, b)a + b Og d = 2b − a/2.
13. Bevis at vektorene en Og b er vinkelrett hvis a = (2, 1, −5) og b = (5, −5, 1).
14. Finn vinkelen α mellom vektorene en Og b, hvis a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).
15. Vektor en gjør en vinkel α = 30° med Ox-aksen, er projeksjonen av denne vektoren på Oy-aksen lik a y = 2,0. Vektor b vinkelrett på vektoren en og b = 3,0 (se figur). 
Vektor c = a + b. Finn: a) projeksjoner av vektoren b på Ox and Oy-aksen; b) verdien av c og vinkelen β mellom vektoren c og okseaksen; drosje); d) (a, c).
Svar:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. p = 300°; c = 3,5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j - 2k; c) 15i − 18j + 9 k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. a = 44,4°.
15. a) b x = -1,5; b y = 2,6; b) c = 5; β ≈ 67°; c) 0; d) 16,0.
Ved å studere fysikk har du store muligheter til å videreutdanne deg ved et teknisk universitet. Dette vil kreve en parallell fordypning av kunnskap i matematikk, kjemi, språk og sjeldnere andre fag. Vinneren av den republikanske olympiaden, Savich Egor, er uteksaminert fra et av fakultetene til MIPT, hvor det stilles store krav til kunnskap i kjemi. Hvis du trenger hjelp ved Statens vitenskapsakademi i kjemi, så ta kontakt med fagfolkene du vil definitivt motta kvalifisert og rettidig assistanse.