Siden du kom hit, har du sannsynligvis allerede sett denne formelen i læreboken
og lag et ansikt som dette:
Venn, ikke bekymre deg! Faktisk er alt rett og slett opprørende. Du vil definitivt forstå alt. Bare en forespørsel - les artikkelen sakte, prøv å forstå hvert trinn. Jeg skrev så enkelt og tydelig som mulig, men du må fortsatt forstå ideen. Og sørg for å løse oppgavene fra artikkelen.
Hva er en kompleks funksjon?
Tenk deg at du flytter til en annen leilighet og derfor pakker ting i store esker. Tenk deg at du trenger å samle noen små gjenstander, for eksempel skoleskrivemateriell. Hvis du bare kaster dem i en diger boks, vil de blant annet gå seg vill. For å unngå dette legger du dem først for eksempel i en pose, som du så legger i en stor boks, hvorpå du forsegler den. Denne "komplekse" prosessen er presentert i diagrammet nedenfor:
Det ser ut til, hva har matematikk med det å gjøre? Ja, til tross for at en kompleks funksjon dannes på NØYAKTIG SAMME måte! Bare vi "pakker" ikke notatbøker og penner, men \(x\), mens "pakkene" og "boksene" er forskjellige.
La oss for eksempel ta x og "pakke" den inn i en funksjon:
Som et resultat får vi selvfølgelig \(\cosx\). Dette er vår "bag med ting". La oss nå legge den i en "boks" - pakke den for eksempel inn i en kubisk funksjon.
Hva vil skje til slutt? Ja, det stemmer, det vil være en "pose med ting i en boks", det vil si "kosinus med X i terninger."
Det resulterende designet er en kompleks funksjon. Den skiller seg fra den enkle i det FLERE "påvirkninger" (pakker) brukes på én X på rad og det viser seg som om "funksjon fra funksjon" - "emballasje i emballasje".
I skolekurs Det er svært få typer av disse "pakkene", bare fire:
La oss nå "pakke" X først inn i en eksponentiell funksjon med base 7, og deretter inn i en trigonometrisk funksjon. Vi får:
\(x → 7^x → tg(7^x)\)
La oss nå "pakke" X to ganger inn trigonometriske funksjoner, først i , og deretter i:
\(x → sinx → cotg (sinx)\)
Enkelt, ikke sant?
Skriv nå funksjonene selv, hvor x:
- først "pakkes" den inn i en cosinus, og deretter i en eksponentiell funksjon med base \(3\);
- først til femte potens, og deretter til tangenten;
- først til logaritmen til grunntallet \(4\)
, deretter til makten \(-2\).
Finn svarene på denne oppgaven på slutten av artikkelen.
Kan vi "pakke" X ikke to, men tre ganger? Ikke noe problem! Og fire, og fem og tjuefem ganger. Her er for eksempel en funksjon der x er "pakket" \(4\) ganger:
\(y=5^(\log_2(\sin(x^4))))\)
Men slike formler vil ikke bli funnet i skolens praksis (elevene er heldigere - deres kan være mer kompliserte☺).
"Utpakke" en kompleks funksjon
Se på forrige funksjon igjen. Kan du finne ut "pakke"-sekvensen? Hva X ble stappet inn i først, hva så, og så videre helt til slutten. Det vil si hvilken funksjon er nestet innenfor hvilken? Ta et stykke papir og skriv ned hva du synes. Du kan gjøre dette med en kjede med piler som vi skrev ovenfor eller på annen måte.
Nå er det riktige svaret: først ble x "pakket" inn i \(4\)te potens, deretter ble resultatet pakket inn i en sinus, det ble på sin side plassert i logaritmen til grunntallet \(2\) , og til slutt ble hele denne konstruksjonen fylt inn i en femmer.
Det vil si at du må slappe av sekvensen I OVERSIKTET. Og her er et hint om hvordan du gjør det enklere: se umiddelbart på X-en – du bør danse fra den. La oss se på noen få eksempler.
For eksempel, her er følgende funksjon: \(y=tg(\log_2x)\). Vi ser på X - hva skjer med den først? Tatt fra ham. Og så? Tangensen til resultatet tas. Rekkefølgen vil være den samme:
\(x → \log_2x → tg(\log_2x)\)
Et annet eksempel: \(y=\cos((x^3))\). La oss analysere - først kuttet vi X, og tok deretter cosinus til resultatet. Dette betyr at sekvensen vil være: \(x → x^3 → \cos((x^3))\). Vær oppmerksom, funksjonen ser ut til å være lik den aller første (hvor den har bilder). Men dette er en helt annen funksjon: her i kuben er x (det vil si \(\cos((x·x·x)))\), og der i kuben er cosinus \(x\) ( det vil si \(\cos x·\cosx·\cosx\)). Denne forskjellen oppstår fra forskjellige "pakke"-sekvenser.
Det siste eksemplet (med viktig informasjon i den): \(y=\sin((2x+5))\). Det er tydelig hva de gjorde her først aritmetiske operasjoner med x, tok deretter sinusen til resultatet: \(x → 2x+5 → \sin((2x+5))\). Og dette viktig poeng: til tross for at aritmetiske operasjoner ikke er funksjoner i seg selv, fungerer de også her som en måte å "pakke". La oss gå litt dypere inn i denne subtiliteten.
Som jeg sa ovenfor, i enkle funksjoner er x "pakket" en gang, og i komplekse funksjoner - to eller flere. Dessuten er enhver kombinasjon av enkle funksjoner (det vil si summen, differansen, multiplikasjonen eller divisjonen deres) også enkel funksjon. For eksempel er \(x^7\) en enkel funksjon og det samme er \(ctg x\). Dette betyr at alle kombinasjonene deres er enkle funksjoner:
\(x^7+ ctg x\) - enkel,
\(x^7· barneseng x\) – enkelt,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – enkelt osv.
Men hvis en funksjon til blir brukt på en slik kombinasjon, vil det bli en kompleks funksjon, siden det vil være to "pakker". Se diagram:
Ok, fortsett nå. Skriv sekvensen av "innpaknings"-funksjoner:
\(y=cos((sinx))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg(11^x)\)
\(y=log_2(1+x)\)
Svarene er igjen på slutten av artikkelen.
Interne og eksterne funksjoner
Hvorfor trenger vi å forstå funksjonshekking? Hva gir dette oss? Faktum er at uten en slik analyse vil vi ikke være i stand til pålitelig å finne derivater av funksjonene diskutert ovenfor.
Og for å komme videre, trenger vi ytterligere to konsepter: interne og eksterne funksjoner. Dette er veldig enkel ting, dessuten har vi faktisk allerede analysert dem ovenfor: hvis vi husker analogien vår helt i begynnelsen, er den interne funksjonen en "pakke", og den eksterne funksjonen er en "boks". De. det X først er "pakket inn" i er en intern funksjon, og det den interne funksjonen er "pakket inn" i er allerede ekstern. Vel, det er klart hvorfor - hun er utenfor, det betyr ekstern.
I dette eksemplet: \(y=tg(log_2x)\), er funksjonen \(\log_2x\) intern, og 
- ekstern.
Og i denne: \(y=\cos((x^3+2x+1))\), er \(x^3+2x+1\) intern, og 
- ekstern.
Fullfør den siste praksisen med å analysere komplekse funksjoner, og la oss til slutt gå videre til det vi alle ble startet for - vi vil finne derivater av komplekse funksjoner:
Fyll ut de tomme feltene i tabellen:
Derivat av en kompleks funksjon
Bravo til oss, vi kom endelig til "sjefen" for dette emnet - faktisk et derivat kompleks funksjon, og spesifikt til den veldig forferdelige formelen fra begynnelsen av artikkelen.☺
\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)
Denne formelen lyder slik:
Den deriverte av en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av den eksterne funksjonen med hensyn til en konstant intern funksjon og den deriverte av den interne funksjonen.
Og se umiddelbart på analysediagrammet, i henhold til ordene, slik at du forstår hva du skal gjøre med hva:
Jeg håper begrepene "derivat" og "produkt" ikke forårsaker noen vanskeligheter. "Kompleks funksjon" - vi har allerede ordnet det. Fangsten i "derivatet" ekstern funksjon ifølge en uendret intern." Hva det er?
Svar: Dette er den vanlige deriverte av en ekstern funksjon, der bare den eksterne funksjonen endres, og den interne forblir den samme. Fortsatt ikke klart? Ok, la oss bruke et eksempel.
La oss ha en funksjon \(y=\sin(x^3)\). Det er tydelig at den interne funksjonen her er \(x^3\), og den eksterne 
. La oss nå finne den deriverte av det ytre med hensyn til det konstante indre.
Definisjon. La funksjonen \(y = f(x)\) være definert i et bestemt intervall som inneholder punktet \(x_0\). La oss gi argumentet en økning \(\Delta x \) slik at det ikke forlater dette intervallet. La oss finne den tilsvarende økningen av funksjonen \(\Delta y \) (når vi flytter fra punktet \(x_0 \) til punktet \(x_0 + \Delta x \)) og komponere relasjonen \(\frac(\Delta) y)(\Delta x) \). Hvis det er en grense for dette forholdet ved \(\Delta x \rightarrow 0\), kalles den angitte grensen avledet av en funksjon\(y=f(x) \) ved punktet \(x_0 \) og angi \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Symbolet y brukes ofte for å betegne den deriverte." Merk at y" = f(x) er ny funksjon, men naturlig assosiert med funksjonen y = f(x), definert ved alle punkter x hvor grensen ovenfor eksisterer. Denne funksjonen kalles slik: deriverte av funksjonen y = f(x).
Geometrisk betydning av derivat er som følgende. Hvis det er mulig å tegne en tangent til grafen til funksjonen y = f(x) i punktet med abscisse x=a, som ikke er parallell med y-aksen, så uttrykker f(a) helningen til tangenten :
\(k = f"(a)\)
Siden \(k = tg(a) \), så er likheten \(f"(a) = tan(a) \) sann.
La oss nå tolke definisjonen av derivat fra synspunktet om omtrentlige likheter. La funksjonen \(y = f(x)\) ha en derivert i et spesifikt punkt \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Dette betyr at nær punktet x den omtrentlige likheten \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), dvs. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Den meningsfulle betydningen av den resulterende omtrentlige likheten er som følger: økningen av funksjonen er "nesten proporsjonal" med økningen av argumentet, og proporsjonalitetskoeffisienten er verdien av den deriverte i gitt poeng X. For eksempel, for funksjonen \(y = x^2\) er den omtrentlige likheten \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) gyldig. Hvis vi nøye analyserer definisjonen av en derivert, vil vi finne at den inneholder en algoritme for å finne den.
La oss formulere det.
Hvordan finne den deriverte av funksjonen y = f(x)?
1. Fiks verdien av \(x\), finn \(f(x)\)
2. Gi argumentet \(x\) en økning \(\Delta x\), gå til nytt punkt\(x+ \Delta x \), finn \(f(x+ \Delta x) \)
3. Finn inkrementet til funksjonen: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Opprett relasjonen \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Beregn $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Denne grensen er den deriverte av funksjonen i punkt x.
Hvis en funksjon y = f(x) har en derivert i et punkt x, kalles den differensierbar i et punkt x. Prosedyren for å finne den deriverte av funksjonen y = f(x) kalles differensiering funksjoner y = f(x).
La oss diskutere følgende spørsmål: hvordan er kontinuitet og differensierbarhet av en funksjon på et punkt relatert til hverandre?
La funksjonen y = f(x) være differensierbar i punktet x. Deretter kan en tangent trekkes til grafen til funksjonen i punktet M(x; f(x)), og husk at vinkelkoeffisienten til tangenten er lik f "(x). En slik graf kan ikke "bryte" ved punkt M, dvs. funksjonen må være kontinuerlig i punkt x.
Dette var "hands-on" argumenter. La oss gi en mer streng begrunnelse. Hvis funksjonen y = f(x) er differensierbar i punktet x, så gjelder den omtrentlige likheten \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\). Hvis i denne likheten \(\Delta x \) har en tendens til null, så vil \(\Delta y \) ha en tendens til null, og dette er betingelsen for kontinuiteten til funksjonen i et punkt.
Så, hvis en funksjon er differensierbar i et punkt x, så er den kontinuerlig i det punktet.
Det motsatte utsagnet er ikke sant. For eksempel: funksjon y = |x| er kontinuerlig overalt, spesielt i punktet x = 0, men tangenten til grafen til funksjonen ved "krysspunktet" (0; 0) eksisterer ikke. Hvis en tangent på et tidspunkt ikke kan trekkes til grafen til en funksjon, eksisterer ikke den deriverte på det punktet.
Et eksempel til. Funksjonen \(y=\sqrt(x)\) er kontinuerlig på hele tallinjen, inkludert i punktet x = 0. Og tangenten til grafen til funksjonen eksisterer på et hvilket som helst punkt, inkludert i punktet x = 0 Men på dette tidspunktet faller tangenten sammen med y-aksen, dvs. den er vinkelrett på abscisseaksen, dens ligning har formen x = 0. Helningskoeffisient en slik linje har ikke, noe som betyr at \(f"(0) \) heller ikke eksisterer
Så vi ble kjent med en ny egenskap til en funksjon - differensieringsevne. Hvordan kan man konkludere fra grafen til en funksjon at den er differensierbar?
Svaret er faktisk gitt ovenfor. Hvis det på et tidspunkt er mulig å tegne en tangent til grafen til en funksjon som ikke er vinkelrett på abscisseaksen, så er funksjonen på dette punktet differensierbar. Hvis tangenten til grafen til en funksjon på et tidspunkt ikke eksisterer eller den er vinkelrett på abscisseaksen, er funksjonen på dette tidspunktet ikke differensierbar.
Regler for differensiering
Operasjonen med å finne den deriverte kalles differensiering. Når du utfører denne operasjonen, må du ofte jobbe med kvotienter, summer, produkter av funksjoner, så vel som "funksjoner av funksjoner", det vil si komplekse funksjoner. Ut fra definisjonen av derivat kan vi utlede differensieringsregler som gjør dette arbeidet enklere. Hvis C - konstant antall og f=f(x), g=g(x) er noen differensierbare funksjoner, så er følgende sanne differensieringsregler:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Tabell over derivater av noen funksjoner
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $På hvilken vi analyserte de enkleste derivatene, og også ble kjent med reglene for differensiering og noen tekniske metoder finne derivater. Derfor, hvis du ikke er veldig god med avledede funksjoner eller noen punkter i denne artikkelen ikke er helt klare, så les først leksjonen ovenfor. Vær så snill å kom i seriøst humør - materialet er ikke enkelt, men jeg vil likevel prøve å presentere det enkelt og tydelig.
I praksis må du forholde deg til den deriverte av en kompleks funksjon veldig ofte, jeg vil til og med si, nesten alltid, når du får oppgaver med å finne deriverte.
Vi ser på tabellen ved regelen (nr. 5) for å differensiere en kompleks funksjon:
La oss finne ut av det. Først av alt, la oss ta hensyn til oppføringen. Her har vi to funksjoner - og , og funksjonen er billedlig talt nestet i funksjonen . En funksjon av denne typen (når en funksjon er nestet i en annen) kalles en kompleks funksjon.
Jeg vil kalle funksjonen ekstern funksjon, og funksjonen – intern (eller nestet) funksjon.
! Disse definisjonene er ikke teoretiske og skal ikke fremkomme i den endelige utformingen av oppgavene. jeg søker uformelle uttrykk"ekstern funksjon", "intern" funksjon kun for å gjøre det lettere for deg å forstå materialet.
For å avklare situasjonen, vurder:
Eksempel 1
Finn den deriverte av en funksjon
Under sinusen har vi ikke bare bokstaven "X", men et helt uttrykk, så det vil ikke fungere å finne den deriverte med en gang fra tabellen. Vi legger også merke til at det er umulig å bruke de fire første reglene her, det ser ut til å være en forskjell, men faktum er at sinusen ikke kan "reves i stykker":
I i dette eksemplet Det er allerede intuitivt klart fra mine forklaringer at en funksjon er en kompleks funksjon, og polynomet er en intern funksjon (embedding), og en ekstern funksjon.
Første skritt det du må gjøre når du finner den deriverte av en kompleks funksjon er å forstå hvilken funksjon som er intern og hvilken som er ekstern.
Når enkle eksempler Det virker klart at et polynom er innebygd under sinusen. Men hva om alt ikke er åpenbart? Hvordan bestemme nøyaktig hvilken funksjon som er ekstern og hvilken som er intern? For å gjøre dette foreslår jeg å bruke følgende teknikk, som kan gjøres mentalt eller i et utkast.
La oss forestille oss at vi må beregne verdien av uttrykket på en kalkulator (i stedet for en kan det være et hvilket som helst tall).
Hva skal vi beregne først? Først av alt du må utføre følgende handling: , derfor vil polynomet være en intern funksjon: 
for det andre må finnes, så sinus – vil være en ekstern funksjon: 
Etter vi UTSOLGT med interne og eksterne funksjoner er det på tide å bruke regelen om differensiering av komplekse funksjoner 
.
La oss begynne å bestemme oss. Fra leksjonen Hvordan finne den deriverte? vi husker at utformingen av en løsning til en hvilken som helst derivat alltid begynner slik - vi omslutter uttrykket i parentes og setter et strøk øverst til høyre:
Først finn den deriverte av den ytre funksjonen (sinus), se på tabellen med deriverte elementære funksjoner og det merker vi. Alle tabellformler kan også brukes hvis "x" erstattes med et komplekst uttrykk, V i dette tilfellet:
Vær oppmerksom på at den indre funksjonen har ikke endret seg, vi rører den ikke.
Vel, det er ganske åpenbart det
Resultatet av å bruke formelen 
i sin endelige form ser det slik ut:
Konstant multiplikator vanligvis plassert i begynnelsen av uttrykket:
Hvis det er noen misforståelser, skriv ned løsningen på papir og les forklaringene på nytt.
Eksempel 2
Finn den deriverte av en funksjon
Eksempel 3
Finn den deriverte av en funksjon
Som alltid skriver vi ned: 
La oss finne ut hvor vi har en ekstern funksjon og hvor vi har en intern. For å gjøre dette prøver vi (mentalt eller i et utkast) å beregne verdien av uttrykket ved . Hva bør du gjøre først? Først av alt må du beregne hva basen er lik: derfor er polynomet den interne funksjonen: 
Og først da utføres eksponentiering, derfor, strømfunksjon er en ekstern funksjon: 
I henhold til formelen 
, først må du finne den deriverte av den eksterne funksjonen, i dette tilfellet graden. Leter etter i tabellen den nødvendige formelen: . Vi gjentar igjen: noen tabellformel gyldig ikke bare for "x", men også for komplekse uttrykk. Dermed resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon 
neste:
Jeg understreker igjen at når vi tar den deriverte av den eksterne funksjonen, endres ikke vår interne funksjon: 
Nå gjenstår det bare å finne en veldig enkel avledning av den interne funksjonen og justere resultatet litt:
Eksempel 4
Finn den deriverte av en funksjon
Dette er et eksempel for uavhengig avgjørelse(svar på slutten av leksjonen).
For å konsolidere din forståelse av den deriverte av en kompleks funksjon, vil jeg gi et eksempel uten kommentarer, prøve å finne ut av det på egen hånd, begrunne hvor den eksterne og hvor den interne funksjonen er, hvorfor oppgavene løses på denne måten?
Eksempel 5
a) Finn den deriverte av funksjonen
b) Finn den deriverte av funksjonen
Eksempel 6
Finn den deriverte av en funksjon 
Her har vi en rot, og for å skille roten må den representeres som en kraft. Derfor bringer vi først funksjonen til den formen som passer for differensiering:
Ved å analysere funksjonen kommer vi til at summen av de tre leddene er en intern funksjon, og å heve til en potens er en ekstern funksjon. Vi bruker regelen om differensiering av komplekse funksjoner 
:
Vi representerer igjen graden som en radikal (rot), og for den deriverte av den interne funksjonen bruker vi en enkel regel for å differensiere summen:
Klar. Du kan også gi uttrykket i parentes til fellesnevner og skriv alt ned som én brøk. Det er selvfølgelig vakkert, men når du får tungvinte lange derivater, er det bedre å ikke gjøre dette (det er lett å bli forvirret, gjøre en unødvendig feil, og det vil være upraktisk for læreren å sjekke).
Eksempel 7
Finn den deriverte av en funksjon
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).
Det er interessant å merke seg at noen ganger i stedet for regelen for å differensiere en kompleks funksjon, kan du bruke regelen for å differensiere en kvotient 
, men en slik løsning vil se ut som en uvanlig perversjon. Her typisk eksempel:
Eksempel 8
Finn den deriverte av en funksjon
Her kan du bruke regelen om differensiering av kvotienten 
, men det er mye mer lønnsomt å finne den deriverte gjennom regelen for differensiering av en kompleks funksjon:
Vi forbereder funksjonen for differensiering - vi flytter minus ut av det deriverte tegnet, og hever cosinus til telleren:
Cosinus er en intern funksjon, eksponentiering er en ekstern funksjon.
La oss bruke vår regel 
:
Vi finner den deriverte av den interne funksjonen og tilbakestiller cosinus:
Klar. I det betraktede eksemplet er det viktig å ikke bli forvirret i skiltene. Forresten, prøv å løse det ved å bruke regelen 
, må svarene samsvare.
Eksempel 9
Finn den deriverte av en funksjon
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).
Så langt har vi sett på tilfeller der vi kun hadde én hekking i en kompleks funksjon. I praktiske oppgaver kan du ofte finne derivater, der, som hekkende dukker, den ene inne i den andre, 3 eller til og med 4-5 funksjoner er nestet samtidig.
Eksempel 10
Finn den deriverte av en funksjon
La oss forstå vedleggene til denne funksjonen. La oss prøve å beregne uttrykket ved å bruke den eksperimentelle verdien. Hvordan vil vi regne med en kalkulator?
Først må du finne , som betyr at arcsine er den dypeste innebyggingen:
Denne arcsinen til en skal da kvadrateres:
Og til slutt hever vi syv til en makt: 
Det vil si at i dette eksemplet har vi tre ulike funksjoner og to embeddings, der den innerste funksjonen er arcsine og den ytterste funksjonen er den eksponentielle funksjonen.
La oss begynne å bestemme oss
I følge regelen 
Først må du ta den deriverte av den ytre funksjonen. Vi ser på tabellen over deriverte og finner den deriverte eksponentiell funksjon: Den eneste forskjellen er at vi har i stedet for "X". komplekst uttrykk, som ikke avviser gyldigheten av denne formelen. Så resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon 
neste.
Etter foreløpig artilleriforberedelse vil eksempler med 3-4-5 hekker av funksjoner være mindre skumle. Kanskje de følgende to eksemplene vil virke kompliserte for noen, men hvis du forstår dem (noen vil lide), så vil nesten alt annet i differensialregning Det vil virke som en barnespøk.
Eksempel 2
Finn den deriverte av en funksjon
Som allerede nevnt, når du finner derivatet av en kompleks funksjon, er det først og fremst nødvendig Ikke sant FORSTÅ investeringene dine. I tilfeller der det er tvil minner jeg deg på nyttig triks: vi tar for eksempel den eksperimentelle betydningen av "x", og prøver (mentalt eller i et utkast) å erstatte denne betydningen med det "forferdelige uttrykket".
1) Først må vi beregne uttrykket, som betyr at summen er den dypeste innebyggingen.
2) Deretter må du beregne logaritmen:
4) Deretter kuber cosinus:
5) På det femte trinnet er forskjellen:
6) Og til slutt, den ytterste funksjonen er kvadratroten: 
Formel for å differensiere en kompleks funksjon 
vil bli brukt i omvendt rekkefølge, fra den ytterste funksjonen til den innerste. Vi bestemmer:
Det virker uten feil:
1) Ta den deriverte av kvadratroten.
2) Ta den deriverte av differansen ved å bruke regelen 
3) Den deriverte av en trippel er null. I andre ledd tar vi den deriverte av graden (kuben).
4) Ta derivatet av cosinus.
6) Og til slutt tar vi derivatet av den dypeste innebyggingen.
Det kan virke for vanskelig, men dette er ikke det mest brutale eksemplet. Ta for eksempel Kuznetsovs samling, og du vil sette pris på all skjønnheten og enkelheten til det analyserte derivatet. Jeg la merke til at de liker å gi en lignende ting i en eksamen for å sjekke om en student forstår hvordan man finner den deriverte av en kompleks funksjon eller ikke forstår.
Følgende eksempel er for deg å løse på egen hånd.
Eksempel 3
Finn den deriverte av en funksjon
Hint: Først bruker vi linearitetsreglene og produktdifferensieringsregelen
Full løsning og svar på slutten av timen.
Det er på tide å gå videre til noe mindre og finere.
Det er ikke uvanlig at et eksempel viser produktet av ikke to, men tre funksjoner. Hvordan finne den deriverte av produkter av tre multiplikatorer?
Eksempel 4
Finn den deriverte av en funksjon 
Først ser vi, er det mulig å gjøre produktet av tre funksjoner til produktet av to funksjoner? For eksempel, hvis vi hadde to polynomer i produktet, så kunne vi åpne parentesene. Men i eksemplet under vurdering er alle funksjonene forskjellige: grad, eksponent og logaritme.
I slike tilfeller er det nødvendig sekvensielt bruke produktdifferensieringsregelen 
to ganger
Trikset er at vi med «y» betegner produktet av to funksjoner: , og med «ve» betegner vi logaritmen: . Hvorfor kan dette gjøres? Er det virkelig 
- dette er ikke et produkt av to faktorer og regelen fungerer ikke?! Det er ikke noe komplisert:
Nå gjenstår det å bruke regelen en gang til til brakett:
Du kan også bli vridd og sette noe ut av parentes, men i dette tilfellet er det bedre å la svaret nøyaktig i dette skjemaet - det vil være lettere å sjekke.
Det betraktede eksemplet kan løses på den andre måten:
Begge løsningene er helt like.
Eksempel 5
Finn den deriverte av en funksjon
Dette er et eksempel på en uavhengig løsning i utvalget det er løst ved hjelp av den første metoden.
La oss se på lignende eksempler med brøker.
Eksempel 6
Finn den deriverte av en funksjon 
Det er flere måter du kan gå her:
Eller slik:
Men løsningen vil skrives mer kompakt hvis vi først bruker regelen om differensiering av kvotienten 
, tar for hele telleren:
I prinsippet er eksemplet løst, og hvis det blir stående som det er, vil det ikke være en feil. Men hvis du har tid, er det alltid lurt å sjekke et utkast for å se om svaret kan forenkles?
La oss redusere uttrykket av telleren til en fellesnevner og bli kvitt den tre-etasjes strukturen til brøken:
Ulempen med ytterligere forenklinger er at det er en risiko for å gjøre feil ikke når man finner den deriverte, men under banale skoletransformasjoner. På den annen side avviser lærere ofte oppgaven og ber om å "minne det på det" avledet.
Et enklere eksempel å løse på egen hånd:
Eksempel 7
Finn den deriverte av en funksjon
Vi fortsetter å mestre metodene for å finne den deriverte, og nå vil vi vurdere et typisk tilfelle når den "forferdelige" logaritmen foreslås for differensiering
I denne artikkelen vil vi snakke om et så viktig matematisk konsept som en kompleks funksjon, og lære hvordan du finner den deriverte av en kompleks funksjon.
Før vi lærer å finne derivatet av en kompleks funksjon, la oss forstå konseptet med en kompleks funksjon, hva det er, "hva det spises med" og "hvordan lage det riktig."
La oss vurdere vilkårlig funksjon for eksempel slik:
Merk at argumentet på høyre og venstre side av funksjonslikningen er det samme tallet eller uttrykket.
I stedet for en variabel kan vi for eksempel sette inn følgende uttrykk: . Og så får vi funksjonen
La oss kalle uttrykket et mellomargument, og funksjonen en ytre funksjon. Det er ikke strengt matematiske begreper, men de bidrar til å forstå betydningen av begrepet en kompleks funksjon.
En streng definisjon av begrepet en kompleks funksjon høres slik ut:
La en funksjon være definert på et sett og være settet med verdier for denne funksjonen. La mengden (eller dens delmengde) være definisjonsdomenet til funksjonen. La oss tildele et nummer til hver av dem. Dermed vil funksjonen bli definert på settet. Det kalles funksjonssammensetning eller kompleks funksjon.
I denne definisjonen, hvis vi bruker vår terminologi, er en ekstern funksjon et mellomargument.
Den deriverte av en kompleks funksjon er funnet i henhold til følgende regel:
For å gjøre det mer tydelig, liker jeg å skrive denne regelen som følger:
I dette uttrykket betyr bruk en mellomfunksjon.
Så. For å finne den deriverte av en kompleks funksjon, trenger du
1. Bestem hvilken funksjon som er ekstern og finn den tilsvarende deriverte fra tabellen over deriverte.
2. Definer et mellomargument.
I denne prosedyren er den største vanskeligheten å finne den eksterne funksjonen. En enkel algoritme brukes til dette:
EN. Skriv ned ligningen til funksjonen.
b. Tenk deg at du må beregne verdien av en funksjon for en verdi av x. For å gjøre dette, erstatter du denne x-verdien i funksjonslikningen og utfører aritmetikk. Den siste handlingen du gjør er den eksterne funksjonen.
For eksempel i funksjonen
Den siste handlingen er eksponentiering.
La oss finne den deriverte av denne funksjonen. For å gjøre dette skriver vi et mellomargument