При проучување на својствата квадратна равенкапоставено е ограничување - за дискриминатор помал од нула нема решение. Веднаш беше констатирано дека зборуваме заза множеството реални броеви. Истражувачкиот ум на математичарот ќе го интересира која тајна е содржана во клаузулата за вистинските вредности?

Со текот на времето, математичарите го воведоа концептот на сложени броеви, каде што еден се зема како условно значењевториот корен од минус еден.

Историска референца

Математичка теоријасе развива последователно, од едноставни до сложени. Ајде да откриеме како се појави концептот наречен „комплексен број“ и зошто е потребен.

Од памтивек, основата на математиката е обичното броење. Истражувачите го знаеле само природниот збир на вредности. Собирањето и одземањето беа едноставни. Како што економските односи стануваат покомплексни, наместо да додаваат идентични вредностипочна да користи множење. Се појави инверзната операција до множење - делење.

Концептот на природен број ја ограничи употребата аритметички операции. Невозможно е да се решат сите проблеми со делење на множество цели броеви. доведе прво до концептот рационални вредности, а потоа и да ирационални вредности. Ако за рационално е можно да се означи точната локација на точка на права, тогаш за ирационално е невозможно да се означи таква точка. Можете само приближно да го наведете интервалот на локацијата. Комбинирање на рационални и ирационални броевиформираше вистинско множество, кое може да се претстави како одредена линија со дадена скала. Секој чекор по линијата е природен број, а меѓу нив има рационални и ирационални вредности.

Започна една ера теоретска математика. Развојот на астрономијата, механиката и физиката бараше решенија за сè повеќе сложени равенки. Во општа форма, пронајдени се корените на квадратната равенка. При решавање на посложени кубен полиномнаучниците се соочени со контрадикторност. Концепт коцка коренод негативно има смисла, но за квадрат резултира со неизвесност. Во овој случај, квадратната равенка е само посебен случајкубни.

Во 1545 година, Италијанецот Г. Кардано предложил да се воведе концептот на имагинарен број.

Овој број стана вториот корен од минус еден. Терминот комплексен број конечно беше формиран само триста години подоцна, во делата познат математичарГаус. Тој предложи формално да се прошират сите закони на алгебрата на имагинарен број. Вистинската линија се прошири на авион. Светот стана поголем.

Основни концепти

Да се ​​потсетиме на голем број функции кои имаат ограничувања на вистинското множество:

• y = arcsin(x), дефиниран во опсегот на вредности помеѓу негативното и позитивното единство.
• y = ln(x), има смисла за позитивни аргументи.
• Квадратен корен y = √x, пресметано само за x ≥ 0.

Со означување i = √(-1), воведуваме таков концепт како имагинарен број, што ќе ни овозможи да ги отстраниме сите ограничувања од доменот на дефиниција на горенаведените функции. Изразите како y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) добиваат значење во одреден простор од сложени броеви.

Алгебарската форма може да се напише како z = x + i×y на множеството реални вредности x и y, а i 2 = -1.

Новиот концепт ги отстранува сите ограничувања за употреба на која било алгебарска функција и нејзиниот изглед наликува на график на права линија во координатите на реалните и имагинарните вредности.

Комплексен авион

Геометриска формакомплексните броеви овозможуваат да се визуелизираат многу од нивните својства. По оската Re(z) ги означуваме реалните вредности на x, по Im(z) - имагинарните вредности на y, тогаш точката z на рамнината ќе ја прикаже потребната комплексна вредност.

Дефиниции:

• Re(z) - реална оска.
• Im(z) - значи замислена оска.
• z е условна точка на комплексен број.
• Нумеричка вредноствекторска должина од нулта точкадо z се нарекува модул.
• Вистинската и имагинарната оска ја делат рамнината на четвртини. На позитивна вредносткоординати - I четвртина. Кога аргументот на реалната оска е помал од 0, а имагинарната оска е поголема од 0 - втората четвртина. Кога координатите се негативни - III четвртина. Последниот, IV квартал содржи многу позитивни реални вредности и негативни имагинарни вредности.

Така, на рамнина со координатни вредности x и y, секогаш можете визуелно да прикажете точка од комплексен број. Симболот i е воведен за да се одвои вистинскиот од имагинарниот дел.

Својства

1. Со нулта вредност на имагинарниот аргумент, едноставно добиваме број (z = x), кој се наоѓа на реалната оска и припаѓа на вистинското множество.
2. Посебен случај, кога вредноста на реалниот аргумент станува нула, изразот z = i×y одговара на локацијата на точката на имагинарната оска.
3. Општата форма z = x + i×y ќе биде за не-нула вредности на аргументите. Ја означува локацијата на точката што карактеризира сложен број во една од четвртините.

Тригонометриска нотација

Да се ​​потсетиме на поларниот координатен систем и дефиниција на гревоти кос. Очигледно, користејќи ги овие функции, можете да ја опишете локацијата на која било точка на авионот. За да го направите ова, доволно е да се знае должината на поларниот зрак и аголот на наклон кон вистинската оска.

Дефиниција. Означување на формата ∣z ∣, помножено со збирот на тригонометриските cos функции(ϴ) и имагинарниот дел i ×sin(ϴ), се нарекува тригонометриски комплексен број. Овде го користиме нотациониот агол на наклон кон реалната оска

ϴ = arg(z), и r = ∣z∣, должината на зракот.

Од дефиницијата и својствата на тригонометриските функции, следува многу важна формула Moivre:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin (n × ϴ)).

Користејќи ја оваа формула, погодно е да се решат многу системи на равенки кои содржат тригонометриски функции. Особено кога ќе се појави проблемот со експоненција.

Модул и фаза

За да го комплетирате описот комплексен сетќе понудиме два важни дефиниции.

Знаејќи ја Питагоровата теорема, лесно е да се пресмета должината на зракот внатре поларен системкоординати

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), таквата нотација во сложениот простор се нарекува „модул“ и го карактеризира растојанието од 0 до точка на рамнината.

Аголот на наклонетост на сложениот зрак кон реалната линија ϴ обично се нарекува фаза.

Од дефиницијата е јасно дека реалните и имагинарните делови се опишани со користење на циклични функции. Имено:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

Спротивно на тоа, фазата има врска со алгебарски вредностипреку формулата:

ϴ = арктан(x / y) + µ, корекцијата µ се воведува за да се земе предвид периодичноста геометриски функции.

Ојлерова формула

Математичарите често користат експоненцијална форма. Броевите на сложената рамнина се запишуваат како израз

z = r × e i × ϴ, што следи од формулата на Ојлер.

Го добив овој запис широка употребаза практично пресметување физичките величини. Формата на претставување во форма на експоненцијални сложени броеви е особено погодна за инженерски пресметки, каде што има потреба да се пресметаат кола со синусоидни струи и потребно е да се знае вредноста на интегралите на функциите со даден период. Самите пресметки служат како алатка во дизајнирањето на различни машини и механизми.

Дефинирање на операции

Како што веќе беше забележано, сите алгебарски закони за работа со основни математички функции важат за сложени броеви.

Збирна операција

Кога се собираат сложени вредности, се собираат и нивните реални и имагинарни делови.

z = z 1 + z 2, каде што z 1 и z 2 се сложени броеви општ поглед. Трансформирајќи го изразот, по отворањето на заградите и поедноставувањето на ознаката, добиваме вистински аргумент x=(x 1 + x 2), имагинарен аргумент y = (y 1 + y 2).

На графиконот изгледа како собирање на два вектори, според добро познатото правило за паралелограм.

Операција за одземање

Се смета за посебен случај на собирање, кога еден број е позитивен, другиот е негативен, односно се наоѓа во четвртината на огледалото. Алгебарската нотација изгледа како разлика помеѓу реалните и имагинарните делови.

z = z 1 - z 2, или, земајќи ги предвид вредностите на аргументите, слично на операцијата за собирање, добиваме за реални вредности x = (x 1 - x 2) и имагинарни вредности y = (y 1 - y 2).

Множење во сложената рамнина

Користејќи ги правилата за работа со полиноми, ќе изведеме формула за решавање на сложени броеви.

Следејќи ги општите алгебарски правила z=z 1 ×z 2, го опишуваме секој аргумент и презентираме слични. Вистинските и имагинарните делови може да се напишат на следниов начин:

• x = x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Изгледа поубаво ако користиме експоненцијални сложени броеви.

Изразот изгледа вака: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Поделба

Кога операцијата делење ја разгледуваме како инверзна операција на множење, во експоненцијалната нотација добиваме едноставен израз. Поделбата на вредноста на z 1 со z 2 е резултат на делењето на нивните модули и фазната разлика. Формално, кога се користи експоненцијалната форма на сложени броеви, изгледа вака:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

Во форма на алгебарска нотација, операцијата на делење броеви во сложената рамнина е напишана малку посложена:

Со опишување на аргументите и спроведување на трансформации на полиноми, лесно е да се добијат вредностите x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2, соодветно y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2, сепак , во рамките на опишаниот простор овој израз има смисла, ако z 2 ≠ 0.

Извлекување на коренот

Сето горенаведено може да се користи за дефинирање на посложени алгебарски функции - подигање до која било моќ и негова инверзна - извлекување на коренот.

Искористува општ концептподигање на моќта n, ја добиваме дефиницијата:

z n = (r × e i ϴ) n .

Користејќи општи својства, го препишуваме во форма:

z n = r n × e i ϴ n .

Добив едноставна формулаподигање комплексен број на моќност.

Од дефиницијата на степенот добиваме многу важна последица. Парната моќност на имагинарната единица е секогаш еднаква на 1. Секоја непарна моќност на имагинарната единица е секогаш еднаква на -1.

Сега ајде да учиме инверзна функција- екстракција на корен.

За едноставност на нотирањето, земаме n = 2. Квадратниот корен w од сложената вредност z на сложената рамнина C обично се смета за израз z = ±, валиден за секој реален аргумент поголем од или еднаква на нула. За w ≤ 0 нема решение.

Да ја погледнеме наједноставната квадратна равенка z 2 = 1. Користејќи ги формулите за сложени броеви, повторно запишуваме r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0. Од записот е јасно дека r 2 = 1 и ϴ = 0, според тоа, имаме единствена одлука, еднакво на 1. Но, ова е во спротивност со концептот дека z = -1, исто така во согласност со дефиницијата за квадратен корен.

Ајде да откриеме што не земаме предвид. Ако се потсетиме тригонометриска нотација, тогаш ја враќаме изјавата - кога периодична променафаза ϴ комплексниот број не се менува. Да ја означиме вредноста на периодот со симболот p, тогаш точно е следново: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p), од кои 2ϴ = 0 + p, или ϴ = p / 2. Затоа, e i 0 = 1 и e i p /2 = -1 . Го добивме второто решение, кое одговара на заедничко разбирањеквадратен корен.

Значи, за да најдеме произволен корен на сложен број, ќе ја следиме постапката.

• Да ја напишеме експоненцијалната форма w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk), k е произволен цел број.
• Потребниот број можеме да го претставиме и во Ојлеровата форма z = r × e i ϴ .
• Да ги искористиме предностите општа дефиницијаФункции за екстракција на коренот r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• Од општи својстваеднаквост на модули и аргументи, пишуваме r n = ∣w∣ и nϴ = arg (w) + p×k.
• Конечната нотација за коренот на комплексен број е опишана со формулата z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n.
• Коментар. Вредноста ∣w∣, по дефиниција, е позитивен реален број, што значи дека коренот на која било моќ има смисла.

Поле и другар

Како заклучок, даваме две важни дефиниции кои имаат мало значење за решението применети проблемисо сложени броеви, но се значајни за понатамошно развивањематематичка теорија.

Се вели дека изразите за собирање и множење формираат поле ако ги задоволуваат аксиомите за кој било елемент од сложената рамнина z:

1. Промената на местата на сложените поими не ја менува сложената сума.
2. Изјавата е вистинита - во сложено изразувањекој било збир од два броја може да се замени со нивната вредност.
3. Постои неутрална вредност 0 за која z + 0 = 0 + z = z е точно.
4. За секое z има спротивно - z, чие собирање дава нула.
5. При менување на местата на сложените фактори, сложениот производ не се менува.
6. Множењето на кои било два броја може да се замени со нивната вредност.
7. Има неутрална вредност 1, множење со која не го менува комплексниот број.
8. За секој z ≠ 0, има инверзна вредност z -1, множејќи се со која резултира со 1.
9. Множењето на збирот на два броја со една третина е еквивалентно на операцијата за множење на секој од нив со овој број и собирање на резултатите.
10. 0 ≠ 1.

Броевите z 1 = x + i×y и z 2 = x - i×y се нарекуваат конјугирани.

Теорема.За спарување, следнава изјава е точно:

• Коњугатот на збирот е еднаков на збирот на конјугираните елементи.
• Коњугатот на производот е еднаков на производот на конјугатите.
• еднаков на самиот број.

Во општа алгебра, таквите својства обично се нарекуваат теренски автоморфизми.

Примери

Следејќи ги дадените правила и формули за сложени броеви, можете лесно да работите со нив.

Да ги погледнеме наједноставните примери.

Задача 1.Користејќи ја равенката 3y +5 x i= 15 - 7i, определи x и y.

Решение. Да се ​​потсетиме на дефиницијата за сложени еднаквости, тогаш 3y = 15, 5x = -7. Затоа x = -7 / 5, y = 5.

Задача 2.Пресметајте ги вредностите на 2 + i 28 и 1 + i 135.

Решение. Очигледно 28 - парен број, од последицата на дефиницијата за комплексен број до моќта имаме i 28 = 1, што значи изразот е 2 + i 28 = 3. Втората вредност, i 135 = -1, потоа 1 + i 135 = 0 .

Задача 3.Пресметајте го производот на вредностите 2 + 5i и 4 + 3i.

Решение. Од општите својства на множење на сложени броеви добиваме (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Новата вредност ќе биде -7 + 26i.

Задача 4.Пресметај ги корените на равенката z 3 = -i.

Решение. Може да има неколку опции за наоѓање комплексен број. Да разгледаме еден од можните. По дефиниција, ∣ - i∣ = 1, фазата за -i е -p / 4. Оригиналната равенка може да се препише како r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk, од каде z = e - p / 12 + pk /3 , за кој било цел број k.

Множеството решенија има форма (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

Зошто се потребни сложени броеви?

Историјата знае многу примери кога научниците, работејќи на теорија, не ни размислуваат за практична примена на нивните резултати. Математиката е, пред сè, игра на умот, строго придржување кон причинско-последичните односи. Речиси сите математички конструкциисе сведуваат на решавање на интеграл и диференцијални равенки, а тие пак, со одредено приближување, се решаваат со наоѓање на корените на полиномите. Овде прво се среќаваме со парадоксот на имагинарни броеви.

Природни научници, одлучувајќи целосно практични проблеми, прибегнување кон решенија различни равенки, откриваат математички парадокси. Толкувањето на овие парадокси води до сосема изненадувачки откритија. Двојна природа електромагнетни брановиеден таков пример. Комплексни броевииграат одлучувачка улога во разбирањето на нивните својства.

Ова, пак, се најде практична употребаво оптика, радио електроника, енергија и многу други технолошки области. Друг пример, многу потежок за разбирање физички феномени. Антиматеријата беше предвидена на врвот на пенкалото. И само многу години подоцна започнуваат обиди за физичка синтетизација.

Не треба да се мисли дека такви ситуации постојат само во физиката. Не помалку интересни откритијасе јавуваат во жива природа, при синтеза на макромолекули, при проучување на вештачката интелигенција. И сето тоа благодарение на проширувањето на нашата свест, оддалечувањето од едноставното собирање и одземање на природните количини.

ВО модерна математикакомплексниот број е еден од најфундаменталните концепти, наоѓајќи примена во „ чиста наука“, и во применети области. Јасно е дека тоа не било секогаш така. Во античко време, кога дури и обичните негативни броеви изгледале како чудна и сомнителна иновација, потребата да се прошири операцијата на квадратен корен на нив воопшто не била очигледна. Меѓутоа, во средината на 16 веквек математичар Рафаел Бомбели воведува комплекс (во во овој случајпоточно имагинарни) броеви во оптек. Всушност, предлагам да погледнеме која е суштината на тешкотиите што на крајот го доведоа угледниот Италијанец до такви крајности.

Постои вообичаена заблуда дека сложените броеви биле потребни за да се решат квадратните равенки. Всушност, ова е сосема погрешно: задачата да се пронајдат корените на квадратната равенка во никој случај не го мотивира воведувањето на сложени броеви. Тоа е перфектно.

Ајде да видиме сами. Секоја квадратна равенка може да се претстави како:
.
Геометриски, тоа значи дека сакаме да ги најдеме пресечните точки на одредена права и парабола
Дури направив слика овде за илустрација.

Како што сите добро знаеме од училиште, корените на квадратната равенка (во горните ознаки) се наоѓаат со следнава формула:

Постојат 3 можни опции:
1. Радикалниот израз е позитивен.
2. Радикалниот израз е еднаков на нула.
3. Радикалниот израз е негативен.

Во првиот случај има 2 разни корени, во втората има две коинцидираат, во третата равенката „не е решена“. Сите овие случаи имаат многу јасна геометриска интерпретација:
1. Права линија пресекува парабола (сина линија на сликата).
2. Права линија допира парабола.
3. Правата линија нема врска со параболата заеднички точки(јоргована линија на сликата).

Ситуацијата е едноставна, логична и конзистентна. Апсолутно нема причина да се обидете да земете квадратен корен од негативен број. Никој не се ни обиде.

Ситуацијата значително се промени кога испитувачката математичка мисла достигна кубни равенки. Малку помалку очигледно, користејќи некоја едноставна замена , секоја кубна равенка може да се сведе на формата: . Од геометриска гледна точка, ситуацијата е слична на претходната: ја бараме пресечната точка на права линија и кубна парабола.
Погледнете ја сликата:

Значајната разлика од случајот на квадратна равенка е во тоа што без разлика каква права ќе земеме, таа секогаш ќе ја пресекува параболата. Односно, од чисто геометриски размислувања, кубната равенка секогаш има барем едно решение.
Можете да го најдете користејќи ја формулата Кардано:

Каде
.
Малку гломазна, но досега изгледа дека се е во ред. Или не?

Во принцип, формулата Кардано е светол пример„Принципот на Арнолд“ на дело. А она што е карактеристично е дека Кардано никогаш не тврдел дека е авторство на формулата.

Меѓутоа, да се вратиме на нашите овци. Формулата е извонредно, без претерување, големо достигнување на математиката од почетокот до средината на 16 век. Но, таа има една нијанса.
Ајде да земеме класичен пример, што исто така беше разгледано од Бомбели:
.
Одеднаш,
,
и соодветно,
.
Стигнавме. Штета е за формулата, но формулата е добра. Ќорсокак. И покрај тоа што равенката секако има решение.

Идејата на Рафаел Бомбели беше следнава: да се преправаме дека сме црево и да се преправаме дека коренот на негативата е некој вид број. Ние, секако, знаеме дека нема такви бројки, но сепак, да замислиме дека постои и како обични броеви, може да се додаде со други, да се множи, да се подигне на моќ итн.

Користејќи сличен пристап, Бомбели откри, особено, дека
,
И
.
Ајде да провериме:
.
Имајте предвид дека во пресметките не беа направени претпоставки за својствата на квадратните корени на негативните броеви, освен претпоставката спомената погоре дека тие се однесуваат како „обични“ броеви.

Вкупно добиваме. Што е сосема точен одговор, кој лесно може да се потврди со директна замена. Тоа беше вистински пробив. Пробив во комплексната рамнина.

Сепак, ваквите пресметки изгледаат како некаква магија, математички трик. Односот кон нив како некаков трик опстојуваше меѓу математичарите многу долго. Всушност, името „имагинарни броеви“, измислено од Рене Декарт за корените на негативните броеви, целосно го одразува ставот на математичарите од тоа време кон таквата забава.

Меѓутоа, како што одминуваше времето, „трикот“ се користеше континуиран успех, авторитетот на „имагинарните броеви“ во очите на математичката заедница растеше, воздржан, сепак, од непријатностите на нивната употреба. Само Леонхард Ојлер (патем, тој ја воведе сега најчесто користената нотација за имагинарната единица) ја доби познатата формула

го отвори патот за сложените броеви во различни области од математиката и нејзините примени. Но, тоа е сосема друга приказна.

Комплексни броеви

Имагинарен И сложени броеви. Апциса и ординати

комплексен број. Конјугирајте сложени броеви.

Операции со сложени броеви. Геометриски

претставување на сложени броеви. Комплексен авион.

Модул и аргумент на комплексен број. Тригонометриски

форма на сложени броеви. Операции со комплекс

броеви во тригонометриска форма. Формулата на Моивр.

Првични информацииО имагинарен И сложени броеви се дадени во делот „Имагинарни и сложени броеви“. Потребата за овие броеви од нов тип се појави при решавање на квадратни равенки за случајотД< 0 (здесь Д– дискриминатор на квадратна равенка). Долго време овие бројки не беа пронајдени физичка примена, поради што биле наречени „имагинарни“ броеви. Сепак, сега тие се многу широко користени во различни области на физиката.

и технологија: електротехника, хидро- и аеродинамика, теорија на еластичност итн.

Комплексни броеви се напишани во форма:а+би. Еве аИ б – реални броеви , А јас – имагинарна единица, т.е.д. јас 2 = –1. Број аповикани апсциса, а б – ординатикомплексен броја + би.Два сложени бројаа+биИ а–би се нарекуваат конјугираатсложени броеви.

Главни договори:

1. Реален бројАможе да се запише и во формакомплексен број:a+ 0 јасили а - 0 јас. На пример, записи 5 + 0јаси 5-0 јасзначи ист број 5 .

2. Комплекс број 0 + биповикани чисто имагинарен број. Снимајтебизначи исто како 0 + би.

3. Два сложени бројаа+би Ив + дисе сметаат за еднакви акоa = cИ b = d. ВО во спротивно комплексните броеви не се еднакви.

Додаток. Збир на сложени броевиа+биИ в + дисе нарекува комплексен број (a+c ) + (б+г ) јас.Така, при додавање сложените броеви, нивните апсциси и ординати се додаваат посебно.

Оваа дефиниција одговара на правилата за операции со обични полиноми.

Одземање. Разликата на два сложени бројаа+би(намалена) и в + ди(подзавртка) се нарекува комплексен број (а–в ) + (b–d ) јас.

Така, При одземање на два сложени броја, нивните апсциси и ординати се одземаат посебно.

Множење. Производ на сложени броевиа+биИ в + ди се нарекува комплексен број:

(ac–bd ) + (реклама + п.н.е ) јас.Оваа дефиниција произлегува од две барања:

1) броеви а+биИ в + димора да се множи како алгебарскибиноми,

2) број јасго има главниот имот:јас 2 = – 1.

ПРИМЕР ( а+ би )(а–би) = а 2 +б 2 . Оттука, работа

два конјугирани комплексни броја е еднаков на реалниот

позитивен број.

Поделба. Поделете комплексен броја+би (делив) со другв + ди(разделник) - значи да се најде третиот бројe + f i(чет), кој кога се множи со делителв + ди, резултира со дивидендаа + би.

Ако делителот не е еднаква на нула, поделбата е секогаш можна.

ПРИМЕР Најдете (8 +јас ) : (2 – 3 јас) .

Решение Ајде да го преработиме овој сооднос како дропка:

Множење на неговиот броител и именителот со 2 + 3јас

И Откако ги извршивме сите трансформации, добиваме:

Геометриски приказ на сложени броеви. Реалните броеви се претставени со точки на бројната права:

Тука е поентата Азначи бројот –3, точкаБ– број 2 и О- нула. Спротивно на тоа, сложените броеви се претставени со точки на координатна рамнина. За таа цел избираме правоаголни (декартови) координати со исти размери на двете оски. Потоа комплексниот броја+би ќе биде претставена со точка П со апсциса а и ордината б (види слика). Овој координатен систем се нарекува комплексен авион .

Модул комплексен број е должината на векторотОП, претставувајќи комплексен број на координатата ( сеопфатен) рамнина. Модул на комплексен броја+биозначено | а+би| или писмо р

Нова страна 1

Комплексни броеви за кукли Лекција 1. Што се тие и со што се јадат. Имагинарна единица.

За да разбереме што се сложени броеви, да се потсетиме на обичните броеви и да ги разгледаме сеопфатно. И така, наједноставната работа е природноброеви. Тие се нарекуваат природни затоа што преку нив нешто може да се изрази „во вид“, односно нешто да се изброи. Еве две јаболка. Тие можат да се бројат. Има пет кутии со чоколади. Можеме да ги изброиме. Со други зборови, цели броеви- ова се бројки со кои можеме да сметаме конкретни ставки. Добро знаете дека овие броеви може да се собираат, одземаат, множат и делат. Сè е јасно со собирање и множење. Имаше две јаболка, додадоа три, стана пет. Зедовме три кутии чоколади, по 10 парчиња, што значи вкупно триесет чоколади. Сега да продолжиме на целинаброеви. Ако природните броеви означуваат одреден број предмети, тогаш апстракциите се воведуваат во множеството цели броеви. Ова нулаИ негативенброеви. Зошто се овие апстракции? Нула е отсуство на нешто. Но, дали можеме да допреме, да го почувствуваме она што го нема? Можеме да допреме две јаболка, еве ги. Можеме дури и да ги јадеме. Што значат нула јаболка? Можеме ли да допреме, да ја почувствуваме оваа нула? Не, не можеме. Значи ова е апстракција. Мора некако да укажете на отсуство на нешто. Значи ја одредивме нулата како број. Но, зошто ова некако се означува? Да замислиме дека имавме две јаболка. Изедовме две. Колку ни останува? Така е, никако. Оваа операција (изеде две јаболка) ќе ја запишеме како одземање 2-2. И со што завршивме? Како да го означиме резултатот? Само со воведување на нова апстракција (нула), која ќе укаже дека како резултат на одземање (јадење), излегува дека не ни останува ниту едно јаболко. Но, можеме да одземеме не 2, туку 3 од два Се чини дека оваа операција е бесмислена. Ако имаме само две јаболка, како можеме да јадеме три?

Ајде да погледнеме друг пример. Одиме во продавница на пиво. Имаме 100 рубли со нас. Пивото чини 60 рубли по шише. Сакаме да купиме две шишиња, но немаме доволно пари. Ни требаат 120 рубли. И тогаш се среќаваме со нашиот стар пријател и позајмуваме дваесет од него. Ние купуваме пиво. Прашање. Колку пари ни остануваат? Здрав разумсугерира дека воопшто не. Но, од математичка гледна точка ова би било апсурдно. Зошто? Затоа што за да добиете нула како резултат, треба да одземете 100 од 100. А ние правиме 100-120. Тука треба да добиеме нешто поинакво. Што добивме? И фактот дека сè уште му должиме на нашиот пријател 20 рубли. Следниот пат кога ќе имаме 140 рубли со нас, ќе дојдеме во продавницата на пиво, ќе се сретнеме со пријател, ќе ги отплатиме долговите со него и ќе можеме да купиме уште две шишиња пиво. Како резултат на тоа, добиваме 140-120-20=0. Забелешка -20. Ова е уште една апстракција - негативен број . Односно, нашиот долг кон пријател е бројка со знак минус, бидејќи кога го враќаме долгот, ја одземаме оваа сума. Ќе кажам повеќе, ова е уште поголема апстракција од нула. Нула значи нешто што не постои. А негативна бројка е како нешто што ќе ни биде одземено во иднина.

И така, користејќи пример, покажав како се раѓаат апстракциите во математиката. И дека, се чини, и покрај сета апсурдност на ваквите апстракции (како одземање повеќе отколку што беше), тие наоѓаат примена во вистински живот. Во случај на делење цели броеви, се појавува друга апстракција - дробни броеви.Нема да се задржувам подетално на нив, а јасно е дека се потребни во случај кога имаме цели броеви кои не се делат со цел број. На пример, имаме четири јаболка, но треба да ги поделиме на три лица. Овде е јасно дека преостанатото јаболко го делиме на три дела и добиваме фракции.

Сега многу непречено да дојдеме до самите сложени броеви. Но, прво, запомнете дека кога ќе помножите два негативни броја, ќе добиете позитивен број. Некој праша - зошто е тоа така? Ајде прво да разбереме множење на негативен број со позитивен. Да речеме дека помножиме -20 со 2. Односно, треба да додадеме -20+-20. Резултатот е -40, бидејќи додавањето негативен број е одземање. Зошто одземање - види погоре, негативен број е долг кога го одземаме, нешто ни се одзема; Има уште едно секојдневно значење. Што ќе се случи ако долгот се зголеми? На пример, во случајот кога ни дадоа заем со камата? Како резултат на тоа, остана истиот број со знак минус, оној што стана поголем по минусот. Што значи да се множи со негативен број? Што значи 3*-2? Ова значи дека бројот три мора да се земе минус два пати. Тоа е, ставете минус пред резултатот од множењето. Патем, ова е исто како -3 * 2, бидејќи преуредувањето на факторите не го менува производот. Сега обрнете внимание. Помножете го -3 со -2. Го земаме бројот -3 минус два пати. Ако го земеме бројот -3 двапати, тогаш резултатот ќе биде -6, го разбирате тоа. Што ако земеме минус два пати? Но, што значи да се земе минус пати? Ако земете позитивен бројминус пати, тогаш резултатот ќе биде негативен, неговиот знак се менува. Ако земеме негативен број минус пати, тогаш неговиот знак се менува и станува позитивен.

Зошто зборувавме за множење минус со минус? А со цел да се разгледа уште една апстракција, овојпат таа е директно поврзана со сложените броеви. Ова имагинарна единица. Имагинарната единица е еднаква на квадратниот корен од минус 1:

Да ве потсетам што е квадратен корен. Ова е инверзна операција на квадрат. А квадратот е множење број само по себе. Значи квадратниот корен од 4 е 2 затоа што 2*2=4. Квадратниот корен на 9 е 3, бидејќи 3*3=9. Квадратниот корен на еден, исто така, излегува дека е еден, а квадратниот корен од нула е нула. Но, како да го земеме квадратниот корен од минус еден? Кој број треба да се помножи со себе за да се добие -1? Но, таков број нема! Ако помножиме -1 само по себе, на крајот ќе добиеме 1. Ако помножиме 1 со 1, ќе добиеме 1. Но, на овој начин нема да добиеме минус -1. Но, сепак, може да наидеме на ситуација кога под коренот има негативен број. Што да се прави? Се разбира, можете да кажете дека нема решение. Тоа е како делење со нула. До некое време сите верувавме дека е невозможно да се подели со нула. Но, тогаш научивме за таква апстракција како бесконечност, и се покажа дека делењето со нула е сè уште можно. Покрај тоа, апстракциите како што се делењето со нула или несигурноста добиена со делење на нула со нула или бесконечноста со бесконечност, како и други слични операции, се широко користени во вишата математика (), и виша математика- ова е основата на многумина точни науки, кои се движат напред технички напредок Значи, можеби во имагинарната единица има некој вид на тајно значење? Јадете. И ќе го разберете со читање на моите понатамошни лекции за сложени броеви. Во меѓувреме, ќе зборувам за некои области каде што се користат сложени броеви (броеви кои содржат имагинарна единица).

И така, еве список на области каде што се користат сложени броеви:

Електротехника. Пресметка на кола на наизменична струја.Употребата на сложени броеви во овој случај значително ја поедноставува пресметката без нив, би требало да се користат диференцијални и интегрални равенки.

Квантна механика.Накратко - во квантна механикапостои такво нешто како бранова функција, кој сам по себе има сложена вредност и чиј квадрат (веќе реален број) е еднаков на густината на веројатноста да се најде честичка во дадена точка. Видете ја и серијата лекции

Дигитална обработка на сигнали.Теорија дигитална обработкасигналите вклучува таков концепт како што е z-трансформацијата, што во голема мера ги олеснува различните пресметки поврзани со пресметката на карактеристиките на различни сигнали, како што се карактеристиките на фреквенцијата и амплитудата итн.

Опис на процесите на рамномерен проток на течности.

Проток на течност околу профилите.

Бранови движења на течност.

И ова е далеку од исцрпна листа каде се користат сложените броеви. Ова го комплетира првото запознавање со сложените броеви, додека повторно не се сретнеме.

Сложени или имагинарни броевиза прв пат се појави во познатото дело на Кардано, Големата уметност или алгебарски правила» 1545 година. Според мислењето на авторот, овие бројки не биле соодветни за употреба. Сепак, ова тврдење подоцна беше побиено. Конкретно, Бомбели во 1572 год., при одлучувањето кубна равенкаја оправда употребата на имагинарни броеви. Тој ги составил основните правила за работа со сложени броеви.

Но сепак за долго времеВ математички светнемаше заедничка идеја за суштината на сложените броеви.

Прво беше предложен симболот за имагинарни броеви извонреден математичарОјлер. Предложената симболика изгледаше како на следниот начин: i = sqr -1, каде што i е имагинариус, што значи фиктивно. Заслугата на Ојлер ја вклучува и идејата за алгебарската затвореност на полето на сложени броеви.

Значи, потребата за броеви од нов тип се појавила при решавање на квадратни равенки за случајот Д< 0 (где D - дискриминант квадратного уравнения). В настоящее время комплексные числа нашли широкое применение в физике и технике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и т.п.

Графичката ознака на сложените броеви има форма: a + bi, каде што a и b се реални броеви, а i е имагинарна единица, т.е. јас 2 = -1. Бројот a се нарекува апсциса, а b е ордината на сложениот број a + bi. Два сложени броја a + bi и a - bi се нарекуваат конјугирани сложени броеви.

Постојат голем број правила поврзани со сложените броеви:

• Прво, реален броја може да се запише во форма на сложен број: a+ 0 i или a - 0 i. На пример, 5 + 0 i и 5 - 0 значи истиот број 5.
• Второ, комплексниот број 0+ bi се нарекува чисто имагинарен број. Ознаката bi значи исто како 0+ bi .
• Трето, два комплексни броја a + bi и c + di се сметаат за еднакви ако a = c и b = d. Во спротивно, сложените броеви не се еднакви.

Основните операции на сложени броеви вклучуваат:

Во геометриското претставување, сложените броеви, за разлика од реалните броеви, кои се претставени на бројната права по точки, се означени со точки на координатната рамнина. За ова земаме правоаголни (декартови) координати со идентични скали на оските. Во овој случај, комплексниот број a + bi ќе биде претставен со точка P со апсциса a и ордината b. Овој координатен систем се нарекува комплексен авион.

Модулкомплексен број е должината на векторот OP што го претставува комплексниот број на сложената рамнина. Модулот на комплексен број a + bi се запишува како |a + bi| или буквата r и е еднаква на: r = |a + ib| = sqr a 2 + b 2 .

Конјугираните комплексни броеви имаат ист модул.