Во оваа лекција, ќе се потсетиме на сите претходно проучени методи за факторинг на полином и ќе разгледаме примери за нивна примена, покрај тоа, ќе проучуваме нов метод - методот на изолирање на целосен квадрат и ќе научиме како да го користиме при решавање на разни проблеми .
Предмет:Факторинг полиноми
Лекција:Факторинг полиноми. Начин за избор на целосен квадрат. Комбинација на методи
Да се потсетиме на основните методи за факторинг на полином што беа проучувани претходно:
Начин на ставање заеднички фактор надвор од загради, односно фактор кој е присутен во сите членови на полиномот. Ајде да погледнеме на пример:
Потсетете се дека мономот е производ на моќи и броеви. Во нашиот пример, двата поима имаат некои заеднички, идентични елементи.
Значи, да го извадиме заедничкиот фактор од загради:
;
Да потсетиме, со множење на извадениот фактор со заграда, можете да ја проверите исправноста на извадениот фактор.
Метод на групирање. Не е секогаш можно да се извлече заеднички фактор во полином. Во овој случај, треба да ги поделите нејзините членови во групи на тој начин што во секоја група можете да извадите заеднички фактор и да се обидете да го разложите така што откако ќе ги извадите факторите во групите, да се појави заеднички фактор во целиот израз, и можете да продолжите со распаѓањето. Ајде да погледнеме на пример:
Да го групираме првиот член со четвртиот, вториот со петтиот и третиот со шестиот:
Ајде да ги извадиме заедничките фактори во групите:
Изразот сега има заеднички фактор. Ајде да го извадиме:
Примена на скратени формули за множење. Ајде да погледнеме на пример:
;
Да го напишеме изразот детално:
Очигледно, ова е формулата за квадратната разлика, бидејќи таа е збир на квадратите на два изрази и од него се одзема нивниот двоен производ. Ајде да ја користиме формулата:
Денес ќе научиме уште еден метод - методот на избор на целосен квадрат. Се заснова на формулите на квадратот на збирот и квадратот на разликата. Да ги потсетиме:
Формула за квадрат на збирот (разлика);
Особеноста на овие формули е што ги содржат квадратите на два изрази и нивниот двоен производ. Ајде да погледнеме на пример:
Ајде да го запишеме изразот:
Значи, првиот израз е , а вториот е .
За да се создаде формула за квадрат на збир или разлика, не е доволен двапати производ од изразите. Треба да се додаде и одземе:
Да го пополниме квадратот на збирот:
Ајде да го трансформираме добиениот израз:
Да ја примениме формулата за разликата на квадратите, да потсетиме дека разликата на квадратите на два изрази е производ од и збирот на нивната разлика:
Значи, овој метод се состои, пред сè, во идентификување на изразите a и b кои се квадратни, односно одредување кои изрази се квадратни во овој пример. По ова, треба да проверите за присуство на двоен производ и ако го нема, потоа додадете го и одземете го, тоа нема да го промени значењето на примерот, но полиномот може да се факторизира со помош на формулите за квадратот на збирот или разликата и разликата на квадратите, ако е можно.
Ајде да продолжиме со решавање на примери.
Пример 1 - факторизирајте:
Ајде да најдеме изрази кои се на квадрат:
Ајде да запишеме каков треба да биде нивниот двоен производ:
Да го додадеме и одземаме двојно производот:
Да го дополниме квадратот на збирот и да дадеме слични:
Ајде да го напишеме користејќи ја формулата за разлика на квадрати:
Пример 2 - реши ја равенката:
;
На левата страна од равенката е трином. Треба да го земете во фактори. Ја користиме формулата за квадратна разлика:
Го имаме квадратот на првиот израз и двојниот производ, квадратот на вториот израз недостасува, да го собереме и одземеме:
Ајде да свиткаме целосен квадрат и да дадеме слични термини:
Да ја примениме формулата за разлика на квадрати:
Значи ја имаме равенката 
Знаеме дека производот е еднаков на нула само ако барем еден од факторите е еднаков на нула. Ајде да ги создадеме следните равенки врз основа на ова:
Да ја решиме првата равенка:
Да ја решиме втората равенка:
Одговор: или
;
Постапуваме слично на претходниот пример - изберете го квадратот на разликата.
Скратените формули за множење се многу погодна алатка за операции со полиноми. Вообичаено, ова ви овозможува да ги намалите сложените полиномни конструкции на мал израз претставен со бином. Или, по различен редослед, компактниот бином лесно се добива од производот на два полиноми.
Ваквите дејствија се неопходни при решавање на тривијални равенки и нееднаквости, како и за различни доказни проблеми.
Во претходните видео лекции ги разгледавме формулите за разлика на квадрати и разлика на коцки. Ајде да се обидеме да изведеме формула од уште повисок ред - ајде да откриеме колку е еднаква разликата на изразите до четвртата сила:
Овој израз е релативно лесно да се трансформира со замена наместо x 4 и y 4 идентични квадратни изрази (x 2) 2 и (y 2) 2:
x 4 - y 4 = (x 2) 2 - (y 2) 2
Како резултат на тоа, ја добиваме разликата на квадратите, која може да се претстави со користење на елементарен FSU како:
(x 2) 2 - (y 2) 2 = (x 2 + y 2) (x 2 - y 2)
Од друга страна, втората заграда на добиениот израз ја содржи разликата на квадратите, која лесно може да се конвертира:
(x 2 + y 2) (x 2 - y 2) = (x 2 + y 2) ((x + y) (x - y))
Го следи тоа:
x 4 - y 4 = (x 2 + y 2) (x + y) (x - y)
Да го оставиме основниот заеднички дел (x - y) и да ги помножиме преостанатите два израза во загради:
x 4 - y 4 = (x 2 + y 2) (x + y) (x - y) = (x - y) (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3)
Зошто е потребно да се избере (x - y) ќе биде прикажано подоцна. Значи, најдовме друга формула за разликата на изразите на моќ. Оваа еднаквост е доста тешко да се изрази - сепак, вреди да се разбере дека сосема логично се вклопува во голем број слични формули за одредување на разликата помеѓу квадратите и коцките. Ајде да ги споредиме овие формули едни со други за да најдеме општи обрасци:
x 2 - y 2 = (x - y) (x + y)
x 3 - y 3 = (x - y) (x 2 + 2xy + y 2)
x 4 - y 4 = (x - y)(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3)
Видеото јасно покажува дека разликите во променливите во различен степен имаат одредени модели. Сите изрази од десната страна на еднаквоста се состојат од производ на два полиноми, а еден од нив секогаш има форма x - y (оригиналната разлика на изразите). Вториот е формиран од одреден сложен полином, чиј број на мономи се зголемува со степенот.
За да се изведе општа формула која ќе помогне да се трансформира разликата на променливите со кој било степен во производ на полиноми, важно е да се разберат општите трендови во еднаквостите од почетен ред. Забележете дека вториот полином во нашиот производ е збир на парни производи од два израза. Покрај тоа, степените на променливите се во инверзна врска. За полесно да се разберат овие обрасци, да ја преработиме еднаквоста за разликата на изразите од четвртиот степен на овој начин:
x 4 - y 4 = (x - y)(x 3 y 0 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 0 y 3)
Секој број со нулта моќ е нужно еднаков на еден. Затоа, можете безбедно да додадете конструкција со нула степен на која било реална променлива. Се сеќаваме и дека секоја променлива има степен - ако не е наведен, тогаш е еднаков на еден. Овие правила за ракување со степени овозможија да се прикаже еднаквоста во поразбирлива форма.
Имајте предвид дека бројот на членовите во полиномот од втората заграда е еднаков на главниот степен (кој го имаат променливите во разликата). Според серијата на полином, степенот на еден израз се намалува алгебарски, а степенот на вториот се зголемува. Во овој случај, екстремните точки за степените се 0 и највисокиот степен на почетната разлика на изразите.
Користејќи ги овие размислувања, извлекуваме формула за наоѓање на разликата на изразите од петтиот степен:
x 5 - y 5 = (x - y)(x 4 y 0 + x 3 y 1 + x 2 y 2 + x 1 y 3 + x 0 y 4)
За почеток, го запишуваме првиот фактор (x - y) без промени. Вториот полином ќе претставува збир од пет елементи (до највисок степен). Елементите, пак, се формираат од производ на променливи со алгебарски, инверзни и меѓусебно поврзани промени во моќите. Во полином:
x 4 y 0 + x 3 y 1 + x 2 y 2 + x 1 y 3 + x 0 y 4
x го намалува степенот од 4 на 0, y се зголемува од 0 на 4. За само-тестирање, корисно е да се знае дека збирот на степените на кој било моном, во овој случај, ќе биде еднаков на истиот највисок степен - 5 .
Останува само правилно да се напише формулата, ослободувајќи се од нула степени:
x 5 - y 5 = (x - y)(x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4)
Општо земено, за кој било степен n еднаквоста е вистинита:
(x) n - (y) n = (x - y) ((x) n + (x) n-1 y…+x(y) n - 1 + y n)
Универзалната формула за наоѓање на збир на два изрази со n-та разлика е изведена преку трансформација на формата:
x n + y n = x n - (-y n)
Користејќи ја формулата за разликата на изразите добиени погоре, ја изведуваме еднаквоста:
x n + y n = x n - (-y n) = (x + y) ((x) n-1 - (x) n-2 y…- x (y) n - 2 + y n-1)
Поради фактот што квадратот на кој било израз ја елиминира неговата негативност, невозможно е со достапни средства да се претстави збирот на квадрати (или кои било дури и моќи) на променливите како производ на два полиноми.
Факторирање на полином. Дел 1
Факторизацијае универзална техника која помага во решавање на сложени равенки и неравенки. Првата мисла што треба да ни падне на ум при решавање на равенки и неравенки во кои има нула на десната страна е да се обидеме да ја факторизираме левата страна.
Да ги наведеме главните начини за факторизирање на полином:
- ставајќи го заедничкиот фактор надвор од заградите
- користејќи скратени формули за множење
- користејќи ја формулата за факторинг на квадратен трином
- метод на групирање
- делење на полином со бином
- метод на неизвесни коефициенти
Во оваа статија детално ќе се осврнеме на првите три методи, а останатите ќе ги разгледаме во следните статии.
1. Вадење на заедничкиот фактор од загради.
За да го извадите заедничкиот фактор од загради, прво мора да го најдете. Заеднички фактор на мултипликатореднаков на најголемиот заеднички делител на сите коефициенти.
Дел од писмотозаедничкиот фактор е еднаков на производот од изразите вклучени во секој член со најмал експонент.
Шемата за доделување заеднички множител изгледа вака:
Внимание!
Бројот на поими во загради е еднаков на бројот на поими во оригиналниот израз. Ако еден од поимите се совпаѓа со заедничкиот фактор, тогаш кога го делиме со заедничкиот фактор, добиваме еден.
Пример 1.
Факторирајте го полиномот:
Да го извадиме заедничкиот фактор од загради. За да го направите ова, прво ќе го најдеме.
1. Најдете го најголемиот заеднички делител на сите коефициенти на полиномот, т.е. броеви 20, 35 и 15. Тоа е еднакво на 5.
2. Утврдуваме дека променливата е содржана во сите членови, а најмалиот од нејзините експоненти е еднаков на 2. Променливата е содржана во сите членови, а најмалиот од нејзините експоненти е 3.
Променливата е содржана само во вториот член, па затоа не е дел од заедничкиот фактор.
Значи вкупниот фактор е
3. Го вадиме множителот од заградите користејќи го дијаграмот даден погоре:
Пример 2.Реши ја равенката:
Решение. Да ја факторизираме левата страна на равенката. Да го извадиме факторот од загради:
Значи ја добиваме равенката 
Ајде да го изедначиме секој фактор со нула:
Добиваме - коренот на првата равенка.
Корени:
Одговор: -1, 2, 4
2. Факторизација со помош на скратени формули за множење.
Ако бројот на членовите во полиномот што ќе го множиме е помал или еднаков на три, тогаш се обидуваме да ги примениме скратените формули за множење.
1. Ако полиномот еразлика од два поими, потоа се обидуваме да аплицираме формула за квадратна разлика:
или разлика на формулата на коцки:
Еве ги буквите и означува број или алгебарски израз.
2. Ако полиномот е збир од два члена, тогаш можеби тој може да се факторизира со користење формули збир на коцки:
3. Ако полиномот се состои од три члена, тогаш се обидуваме да примениме формула за квадратна сума:
или формула за квадратна разлика:
Или се обидуваме да се факторизираме со формула за факторинг на квадратен трином:
Еве ги и корените на квадратната равенка 
Пример 3.Факторирајте го изразот:
Решение. Пред нас е збирот од два члена. Ајде да се обидеме да ја примениме формулата за збир на коцки. За да го направите ова, прво треба да го претставите секој член како коцка од некој израз, а потоа да ја примените формулата за збирот на коцките:
Пример 4.Факторирајте го изразот: 
Одлука. Овде ја имаме разликата на квадратите на два израза. Прв израз: , втор израз:
Да ја примениме формулата за разликата на квадратите:
Ајде да ги отвориме заградите и да додадеме слични термини, добиваме:
Ајде да погледнеме конкретни примери за тоа како да се факторизира полиномот.
Ќе ги прошириме полиномите во согласност со .
Факторски полиноми:
Ајде да провериме дали има заеднички фактор. да, тоа е еднакво на 7cd. Ајде да го извадиме од загради:
Изразот во заграда се состои од два члена. Веќе нема заеднички фактор, изразот не е формула за збир на коцки, што значи дека распаѓањето е завршено.
Ајде да провериме дали има заеднички фактор. Бр. Полиномот се состои од три члена, па проверуваме дали има формула за целосен квадрат. Два члена се квадратите на изразите: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², третиот член е еднаков на двојниот производ на овие изрази: 2∙5x∙3y=30xy. Ова значи дека овој полином е совршен квадрат. Бидејќи двојниот производ има знак минус, тоа е:
Проверуваме дали е можно да се извади заедничкиот фактор од загради. Постои заеднички фактор, тој е еднаков на a. Ајде да го извадиме од загради:
Во загради има два термина. Проверуваме дали има формула за разлика на квадрати или разлика на коцки. a² е квадрат на a, 1=1². Ова значи дека изразот во загради може да се напише користејќи ја формулата за разлика од квадрати:
Има заеднички фактор, тој е еднаков на 5. Да го извадиме од загради:
во загради има три поими. Проверуваме дали изразот е совршен квадрат. Два члена се квадрати: 16=4² и a² - квадратот на a, третиот член е еднаков на двојниот производ од 4 и a: 2∙4∙a=8a. Затоа, тоа е совршен квадрат. Бидејќи сите поими имаат знак „+“, изразот во загради е совршен квадрат од збирот:
Го вадиме целокупниот множител -2x од заградите:
Во загради е збирот на два члена. Проверуваме дали овој израз е збир од коцки. 64=4³, x³- коцка x. Ова значи дека биномот може да се прошири со помош на формулата:
Постои заеднички мултипликатор. Но, бидејќи полиномот се состои од 4 члена, прво, па дури потоа, ќе го извадиме заедничкиот фактор од загради. Да го групираме првиот член со четвртиот, а вториот со третиот:
Од првите загради го вадиме заедничкиот фактор 4а, од вториот - 8б:
Сè уште нема заеднички множител. За да го добиеме, го вадиме „-“ од вторите загради и секој знак во заградите се менува во спротивното:
Сега да го извадиме заедничкиот фактор (1-3а) од заградите:
Во втората заграда има заеднички фактор 4 (ова е истиот фактор што не го ставивме надвор од заградите на почетокот на примерот):
Бидејќи полиномот се состои од четири члена, вршиме групирање. Да го групираме првиот член со вториот, третиот со четвртиот:
Во првите загради нема заеднички фактор, но има формула за разликата на квадратите, во вторите загради заедничкиот фактор е -5:
Се појави заеднички множител (4m-3n). Ајде да го извадиме од равенката.
Полином е израз кој се состои од збир на мономи. Последните се производ на константа (број) и коренот (или корените) на изразот со моќност на k. Во овој случај, зборуваме за полином со степен k. Проширувањето на полиномот вклучува трансформација на изразот во кој поимите се заменуваат со фактори. Ајде да ги разгледаме главните начини за извршување на овој вид трансформација.
Начин на проширување на полином со изолирање на заеднички фактор
Овој метод се заснова на законите на законот за распределба. Значи, mn + mk = m * (n + k).
- Пример:прошири 7y 2 + 2uy и 2m 3 – 12m 2 + 4lm.
7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),
2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l).
Меѓутоа, факторот што е нужно присутен во секој полином не може секогаш да се најде, така што овој метод не е универзален.
Метод на полиномско проширување врз основа на скратени формули за множење
Скратените формули за множење важат за полиноми од кој било степен. Во принцип, изразот за трансформација изгледа вака:
u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), каде k е претставник на природни броеви .
Формулите кои најчесто се користат во пракса се за полиноми од втор и трет ред:
u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),
u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),
u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 – ul + l 2).
- Пример:прошири 25p 2 – 144b 2 и 64m 3 – 8l 3.
25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),
64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).
Метод на полином експанзија - групирање поими на израз
Овој метод на некој начин има нешто заедничко со техниката на изведување на заедничкиот фактор, но има некои разлики. Особено, пред да се изолира заеднички фактор, мономите треба да се групираат. Групирањето се заснова на правилата на комбинираните и комутативните закони.
Сите мономи претставени во изразот се поделени во групи, од кои секоја е дадена заедничка вредност така што вториот фактор ќе биде ист во сите групи. Општо земено, овој метод на распаѓање може да се претстави како израз:
pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),
pl + ks + kl + ps = (p + k) (l + s).
- Пример:распоредени 14mn + 16ln – 49m – 56l.
14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).
Метод на полиномско проширување - формирање на совршен квадрат
Овој метод е еден од најефикасните за проширување на полином. Во почетната фаза, неопходно е да се одредат мономи што можат да се „срушат“ во квадратот на разликата или збирот. За да го направите ова, користете една од врските:
(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2,
- Пример:прошири го изразот u 4 + 4u 2 – 1.
Меѓу неговите мономи, ги избираме поимите што формираат целосен квадрат: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =
= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.
Завршете ја трансформацијата користејќи ги скратените правила за множење: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
Тоа. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
