Употребата на равенки е широко распространета во нашите животи. Тие се користат во многу пресметки, изградба на структури, па дури и спорт. Човекот користел равенки во античко време, и оттогаш нивната употреба само се зголемува. За јасност, да го решиме следниов проблем:

Пресметајте \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ако \

Пред сè, да обрнеме внимание на фактот дека едниот број е претставен во алгебарска форма, другиот во тригонометриска форма. Треба да се поедностави и доведе до следната форма

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Изразот \ вели дека најпрво правиме множење и подигање до 10-та сила користејќи ја формулата Moivre. Оваа формула е формулирана за тригонометриска форма на комплексен број. Добиваме:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3) \]

Следејќи ги правилата за множење сложени броеви во тригонометриска форма, го правиме следново:

Во нашиот случај:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ пи) (3).\]

Правејќи ја точната дропка \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\], доаѓаме до заклучок дека можеме да „извртиме“ 4 вртења \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Одговор: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Оваа равенка може да се реши на друг начин, што се сведува на доведување на вториот број во алгебарска форма, потоа извршување на множењето во алгебарска форма, претворање на резултатот во тригонометриска форма и примена на формулата на Моивр:

Каде можам да решам систем на равенки со сложени броеви онлајн?

Можете да го решите системот на равенки на нашата веб-страница https://site. Бесплатниот онлајн решавач ќе ви овозможи да решавате онлајн равенки од секаква сложеност за неколку секунди. Сè што треба да направите е едноставно да ги внесете вашите податоци во решавачот. Можете исто така да гледате видео инструкции и да научите како да ја решите равенката на нашата веб-страница. И ако сè уште имате прашања, можете да ги поставите во нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Придружете се на нашата група, ние секогаш сме среќни да ви помогнеме.

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЈА ЗА ОБРАЗОВАНИЕ

ДРЖАВНА ОБРАЗОВНА ИНСТИТУЦИЈА

ВИСОКО СТРУЧНО ОБРАЗОВАНИЕ

„ВОРОНЕЖ ДРЖАВЕН ПЕДАГОШКИ УНИВЕРЗИТЕТ“

ОДДЕЛЕНИЕ ЗА АГЛЕБРА И ГЕОМЕТРИЈА

Комплексни броеви

(избрани задачи)

ДИПЛОМСКИ КВАЛИФИКАЦИСКИ РАБОТИ

специјалност 050201.65 математика

(со дополнителна специјалност 050202.65 информатика)

Завршил: ученик од 5-та година

физички и математички

факултет

Научен советник:

ВОРОНЕЖ – 2008 г

1. Вовед……………………………………………………...…………..…

2. Сложени броеви (избрани проблеми)

2.1. Сложени броеви во алгебарска форма………………………….

2.2. Геометриска интерпретација на сложени броеви…………………

2.3. Тригонометриска форма на сложени броеви

2.4. Примена на теоријата на сложени броеви за решавање на равенки од 3 и 4 степен………………………………………………………………………………………

2.5. Комплексни броеви и параметри…………………………………………….

3. Заклучок……………………………………………………………………………….

4. Список на референци…………………………………………………………

1. Вовед

Во училишната програма по математика се воведува теорија на броеви со употреба на примери на множества природни броеви, цели броеви, рационални, ирационални, т.е. на множеството реални броеви, чии слики ја исполнуваат целата нумеричка линија. Но, веќе во 8-мо одделение нема доволно понуда на реални броеви, решавање на квадратни равенки со негативна дискриминаторна. Затоа, беше неопходно да се надополни залихата на реални броеви со помош на сложени броеви, за кои има смисла квадратниот корен на негативен број.

Изборот на темата „Сложени броеви“ како тема на мојата завршна квалификациска работа е дека концептот комплексен број го проширува знаењето на учениците за броевите системи, за решавање на широка класа проблеми и од алгебарска и од геометриска содржина, за решавање на алгебарски равенки од кој било степен и за решавање проблеми со параметри.

Оваа теза го испитува решението на 82 проблеми.

Првиот дел од главниот дел „Сложени броеви“ дава решенија за проблеми со сложени броеви во алгебарска форма, ги дефинира операциите собирање, одземање, множење, делење, операцијата за конјугација за сложени броеви во алгебарска форма, моќта на имагинарна единица , модулот на комплексен број, а исто така го поставува правилото за извлекување на квадратен корен од комплексен број.

Во вториот дел се решаваат задачи за геометриско толкување на сложени броеви во вид на точки или вектори на сложената рамнина.

Третиот дел ги испитува операциите на сложени броеви во тригонометриска форма. Формулите што се користат се: Moivre и извлекување на коренот на комплексен број.

Четвртиот дел е посветен на решавање равенки од 3 и 4 степени.

При решавање на проблеми во последниот дел, „Сложени броеви и параметри“, се користат и се консолидираат информациите дадени во претходните делови. Низа проблеми во поглавјето се посветени на одредување фамилии на прави во сложената рамнина дефинирана со равенки (неравенки) со параметар. Во дел од вежбите треба да решавате равенки со параметар (над полето В). Постојат задачи каде сложената променлива истовремено задоволува голем број услови. Посебна карактеристика на решавањето проблеми во овој дел е намалувањето на многу од нив на решение на равенки (неравенки, системи) од втор степен, ирационални, тригонометриски со параметар.

Карактеристика на презентацијата на материјалот во секој дел е првичното воведување на теоретските основи, а потоа и нивната практична примена во решавањето на проблемите.

На крајот од тезата има список на користени референци. Повеќето од нив го презентираат теоретскиот материјал доволно детално и на пристапен начин, дискутираат за решенија на некои проблеми и даваат практични задачи за самостојно решавање. Би сакал да обрнам посебно внимание на такви извори како што се:

1. Гордиенко Н.А., Бељаева Е.С., Фиртов В.Е., Серебриакова И.В. Комплексни броеви и нивни примени: Учебник. . Материјалот на учебникот е претставен во форма на предавања и практични вежби.

2. Шклиарски Д.О., Ченцов Н.Н., Јаглом И.М. Избрани задачи и теореми на елементарната математика. Аритметика и алгебра. Книгата содржи 320 проблеми поврзани со алгебра, аритметика и теорија на броеви. Овие задачи значително се разликуваат по природа од стандардните училишни задачи.

2. Сложени броеви (избрани проблеми)

2.1. Сложени броеви во алгебарска форма

Решението на многу проблеми во математиката и физиката се сведува на решавање на алгебарски равенки, т.е. равенки на формата

,

каде што a0, a1, …, an се реални броеви. Затоа, изучувањето на алгебарските равенки е едно од најважните прашања во математиката. На пример, квадратна равенка со негативна дискриминанта нема вистински корени. Наједноставната таква равенка е равенката

.

За да може оваа равенка да има решение, потребно е да се прошири множеството на реални броеви со додавање на коренот на равенката

.

Да го означиме овој корен со

. Така, по дефиниција, или,

оттука,

. наречена имагинарна единица. Со негова помош и со помош на пар реални броеви се составува израз на формата.

Резултирачкиот израз беше наречен сложени броеви бидејќи тие содржеа и реални и имагинарни делови.

Значи, сложените броеви се изрази на формата

, и се реални броеви и е одреден симбол кој го задоволува условот . Бројот се нарекува реален дел од сложениот број, а бројот е неговиот имагинарен дел. Симболите , се користат за нивно означување.

Комплексни броеви на формуларот

се реални броеви и, според тоа, множеството сложени броеви го содржи множеството реални броеви.

Комплексни броеви на формуларот

се нарекуваат чисто имагинарни. Два сложени броја на формата и се вели дека се еднакви ако нивните реални и имагинарни делови се еднакви, т.е. ако еднаквости , .

Алгебарското запишување на сложени броеви дозволува операции на нив според вообичаените правила на алгебрата.

Изрази, равенки и системи на равенки
со сложени броеви

Денес на час ќе вежбаме типични операции со сложени броеви, а исто така ќе ја совладаме техниката на решавање изрази, равенки и системи на равенки кои ги содржат овие броеви. Оваа работилница е продолжение на лекцијата и затоа доколку не сте добро упатени во темата, тогаш ве молиме следете ја врската погоре. Па, за поподготвени читатели ви предлагам веднаш да се загреете:

Пример 1

Поедностави израз , Ако . Претстави го резултатот во тригонометриска форма и нацртај го на сложената рамнина.

Решение: значи, треба да ја замените фракцијата во „страшната“ фракција, да извршите поедноставувања и да го претворите резултатот комплексен бројВ тригонометриска форма. Плус цртеж.

Кој е најдобриот начин да се формализира одлуката? Попрофитабилно е да се справиме со „софистициран“ алгебарски израз чекор по чекор. Прво, вниманието е помалку расеано, и второ, ако задачата не се прифати, ќе биде многу полесно да се најде грешката.

1) Прво, да го поедноставиме броителот. Ајде да ја замениме вредноста во неа, да ги отвориме заградите и да ја поправиме фризурата:

...Да, таквото квазимодо дојде од сложени броеви...

Да потсетам дека при трансформациите се користат сосема едноставни работи - правилото за множење на полиномите и еднаквоста која веќе станала банална. Главната работа е да бидете внимателни и да не се збуните од знаците.

2) Сега доаѓа именителот. Ако тогаш:

Забележете во какво необично толкување се користи Формула за квадратна сума. Алтернативно, можете да извршите преуредување овде подформула Резултатите природно ќе бидат исти.

3) И конечно, целиот израз. Ако тогаш:

За да се ослободите од дропка, помножете ги броителот и именителот со конјугираниот израз на именителот. Во исто време, за целите на примена формули за квадратна разликамора прво (и веќе мора!)стави го негативниот реален дел на второ место:

И сега клучното правило:

НЕ ИЗБРЗАМЕ! Подобро е да играте на сигурно и да направите дополнителен чекор.
Во изрази, равенки и системи со сложени броеви, дрскости вербални пресметки пополн од кога било!

Имаше добро намалување во последниот чекор и тоа е само одличен знак.

Забелешка : строго кажано, овде се случи делењето на комплексен број со комплексниот број 50 (запомнете дека). За оваа нијанса до сега молчев, а за тоа ќе зборуваме малку подоцна.

Со буквата да го означиме нашето достигнување

Да го претставиме добиениот резултат во тригонометриска форма. Општо земено, овде можете да направите без цртеж, но бидејќи тоа е потребно, нешто порационално е да го направите токму сега:

Да го пресметаме модулот на комплексен број:

Ако цртате на скала од 1 единица. = 1 cm (2 ќелии од тетратка), тогаш добиената вредност може лесно да се провери со помош на обичен линијар.

Ајде да најдеме аргумент. Бидејќи бројот се наоѓа во втората координатна четвртина, тогаш:

Аголот лесно може да се провери со транспортер. Ова е несомнената предност на цртежот.

Така: – потребниот број во тригонометриска форма.

Ајде да провериме:
, што требаше да се потврди.

Удобно е да се најдат непознати вредности на синус и косинус со користење тригонометриска табела.

Одговори:

Сличен пример за независно решение:

Пример 2

Поедностави израз , Каде. Нацртајте го добиениот број на сложената рамнина и запишете го во експоненцијална форма.

Обидете се да не ги прескокнувате упатствата. Можеби изгледаат едноставно, но без обука, „влегувањето во локва“ не е само лесно, туку и многу лесно. Затоа, ние „го фаќаме рацете“.

Честопати, проблемот има повеќе од едно решение:

Пример 3

Пресметајте ако,

Решение: најпрво, да обрнеме внимание на првобитната состојба - едниот број е претставен во алгебарски, а другиот во тригонометриска форма, па дури и со степени. Ајде веднаш да го преработиме во попозната форма: .

Во каква форма треба да се извршат пресметките? Изразот очигледно вклучува прво множење и дополнително подигање до 10-та сила Формулата на Моивр, кој е формулиран за тригонометриската форма на комплексен број. Така, изгледа пологично да се конвертира првиот број. Ајде да го најдеме неговиот модул и аргумент:

Го користиме правилото за множење сложени броеви во тригонометриска форма:
ако тогаш

Правејќи ја дропката точна, доаѓаме до заклучок дека можеме да „извртиме“ 4 кривини (драго.):

Второ решениее да се претвори вториот број во алгебарска форма , изведете го множењето во алгебарска форма, претворете го резултатот во тригонометриска форма и користете ја формулата на Моивр.

Како што можете да видите, постои една „дополнителна“ акција. Оние кои сакаат можат да ја следат одлуката и да се погрижат резултатите да бидат исти.

Условот не кажува ништо за формата на конечниот комплексен број, така што:

Одговори:

Но, „за убавина“ или на барање, резултатот не е тешко да се замисли во алгебарска форма:

Самостојно:

Пример 4

Поедностави израз

Тука треба да се потсетиме дејства со степени, иако нема едно корисно правило во прирачникот, еве го: .

И уште една важна забелешка: примерот може да се реши во два стила. Првата опција е да работите со дваброеви и да се биде во ред со дропките. Втората опција е да се претстави секој број како количник од два броја: И ослободете се од четирикатната структура. Од формална гледна точка, не е важно како ќе одлучите, но постои суштинска разлика! Ве молиме размислете внимателно за:
е комплексен број;
е количник на два сложени броја ( и ), но во зависност од контекстот, можете да го кажете и ова: број претставен како количник на два сложени броја.

Кратко решение и одговор на крајот од часот.

Изразите се добри, но равенките се подобри:

Равенки со сложени коефициенти

Како тие се разликуваат од „обичните“ равенки? Шансите =)

Во светлината на горенаведениот коментар, да започнеме со овој пример:

Пример 5

Решете ја равенката

И непосредна преамбула „жешко на петиците“: на почетокотдесната страна на равенката е позиционирана како количник на два сложени броеви (и 13), и затоа би било лоша форма да се препише условот со бројот (иако ова нема да предизвика грешка). Оваа разлика, патем, е појасно видлива во дропката - ако, релативно кажано, тогаш оваа вредност првенствено се подразбира како „полн“ комплексен корен на равенката, а не како делител на број, а особено не како дел од број!

Решение, во принцип, исто така може да се направи чекор по чекор, но во овој случај играта не вреди за свеќата. Почетната задача е да се поедностави сè што не содржи непознатото „z“, што резултира со тоа равенката да се сведе на формата:

Ние самоуверено ја поедноставуваме средната дропка:

Го пренесуваме резултатот на десната страна и ја наоѓаме разликата:

Забелешка : и повторно ви го привлекувам вниманието на значајната точка - овде не одземавме број од број, туку дропките ги доведовме до заеднички именител! Треба да се напомене дека веќе во НАПРЕДОК на решавање не е забрането да се работи со бројки: , сепак, во примерот што се разгледува овој стил е повеќе штетен отколку корисен =)

Според правилото за пропорција, изразуваме „зет“:

Сега можете повторно да делите и множите со конјугатот, но сомнително сличните броеви во броителот и именителот го сугерираат следниот потег:

Одговори:

За да провериме, да ја замениме добиената вредност во левата страна на оригиналната равенка и да извршиме поедноставувања:

– се добива десната страна од првобитната равенка, со што правилно се наоѓа коренот.

...Сега, сега... Ќе најдам нешто поинтересно за тебе... еве:

Пример 6

Решете ја равенката

Оваа равенка се сведува на формата, што значи дека е линеарна. Мислам дека навестувањето е јасно - оди по тоа!

Секако... како можеш да живееш без него:

Квадратна равенка со сложени коефициенти

На лекцијата Комплексни броеви за куклидознавме дека квадратната равенка со реални коефициенти може да има конјугирани сложени корени, по што се поставува логично прашање: зошто, всушност, самите коефициенти не можат да бидат сложени? Дозволете ми да формулирам еден општ случај:

Квадратна равенка со произволни сложени коефициенти (1 или 2 од кои или сите три може да бидат, особено, валидни)Тоа има два и само двакомплексен корен (можеби едното или и двете се валидни). Во исто време, корените (и реален и со имагинарен дел без нула)може да се совпадне (да биде повеќекратно).

Квадратна равенка со сложени коефициенти се решава со користење на истата шема како равенка „училиште“., со некои разлики во техниката на пресметка:

Пример 7

Најдете ги корените на квадратната равенка

Решение: имагинарната единица е на прво место и, во принцип, можете да се ослободите од неа (множете ги двете страни со), сепак, нема посебна потреба за ова.

За погодност, ги запишуваме коефициентите:

Да не го изгубиме „минусот“ на слободен член! ...Можеби не им е јасно на сите - ќе ја препишам равенката во стандардна форма :

Да ја пресметаме дискриминаторот:

И тука е главната пречка:

Примена на Општата формула за извлекување на коренот (видете го последниот став од статијата Комплексни броеви за кукли) комплицирано со сериозни тешкотии поврзани со аргументот на радикалниот комплексен број (Види и самиот). Но, постои уште еден, „алгебарски“ начин! Ќе го бараме коренот во форма:

Ајде да ги квадратиме двете страни:

Два сложени броја се еднакви ако нивните реални и имагинарни делови се еднакви. Така, го добиваме следниот систем:

Системот полесно се решава со избирање (потемелен начин е да се изрази од 2-та равенка - да се замени во 1-та, да се добие и реши биквадратична равенка). Под претпоставка дека авторот на проблемот не е чудовиште, ја поставуваме хипотезата дека и се цели броеви. Од првата равенка следува дека „x“ модулоповеќе од „Y“. Покрај тоа, позитивниот производ ни кажува дека непознатите се од ист знак. Врз основа на горенаведеното, и фокусирајќи се на 2-та равенка, ги запишуваме сите парови што одговараат на неа:

Очигледно е дека првата равенка на системот е задоволена со последните два пара, така што:

Средна проверка нема да наштети:

што требаше да се провери.

Можете да изберете како „работен“ корен било којзначење. Јасно е дека е подобро да се земе верзијата без „против“:

Ги наоѓаме корените, не заборавајќи, патем, дека:

Одговори:

Ајде да провериме дали пронајдените корени ја задоволуваат равенката :

1) Да го замениме:

вистинска еднаквост.

2) Да го замениме:

вистинска еднаквост.

Така, решението беше пронајдено правилно.

Врз основа на проблемот што штотуку разговаравме:

Пример 8

Најдете ги корените на равенката

Треба да се напомене дека квадратниот корен на чисто сложеноброевите може лесно да се извлечат со помош на општата формула , Каде , така што двата методи се прикажани во примерокот. Втората корисна забелешка се однесува на фактот дека прелиминарното извлекување на коренот на константата воопшто не го поедноставува решението.

Сега можете да се опуштите - во овој пример ќе се извлечете со благ страв :)

Пример 9

Решете ја равенката и проверете

Решенија и одговори на крајот од часот.

Последниот став од статијата е посветен на

систем на равенки со сложени броеви

Ајде да се опуштиме и... не се напнувај =) Да го разгледаме наједноставниот случај - систем од две линеарни равенки со две непознати:

Пример 10

Решете го системот на равенки. Претставете го одговорот во алгебарски и експоненцијални форми, прикажете ги корените на цртежот.

Решение: самиот услов сугерира дека системот има единствено решение, односно треба да најдеме два броја кои задоволуваат на секојравенка на системот.

Системот навистина може да се реши на „детски“ начин (изрази една променлива во однос на друга) , сепак е многу поудобно за користење Формулите на Крамер. Ајде да пресметаме главна одредницасистеми:

, што значи дека системот има уникатно решение.

Повторувам дека е подобро да одвоите време и да ги напишете чекорите што е можно подетално:

Ги множиме броителот и именителот со имагинарна единица и го добиваме првиот корен:

Исто така:

Се добиваат соодветните десни страни итн.

Ајде да го направиме цртежот:

Да ги претставиме корените во експоненцијална форма. За да го направите ова, треба да ги најдете нивните модули и аргументи:

1) – арктангенсот на „два“ се пресметува „лошо“, па го оставаме вака:

За да решите проблеми со сложени броеви, треба да ги разберете основните дефиниции. Главната цел на оваа статија за преглед е да објасни што се сложени броеви и да претстави методи за решавање на основни проблеми со сложени броеви. Значи, комплексен број ќе се нарече број на формата z = a + bi, Каде а, б- реални броеви, кои се нарекуваат реални и имагинарни делови на сложен број, соодветно, и означуваат a = Re(z), b=Im(z).
јаснаречена имагинарна единица. јас 2 = -1. Конкретно, секој реален број може да се смета за сложен: a = a + 0i, каде што а е реално. Ако a = 0И b ≠ 0, тогаш бројот обично се нарекува чисто имагинарен.

Сега да воведеме операции на сложени броеви.
Размислете за два сложени броеви z 1 = a 1 + b 1 iИ z 2 = a 2 + b 2 i.

Ајде да размислиме z = a + bi.

Множеството сложени броеви го проширува множеството на реални броеви, што пак го продолжува множеството рационални броеви итн. Овој синџир на вложувања може да се види на сликата: N – природни броеви, Z – цели броеви, Q – рационални, R – реални, C – сложени.

Претставување на сложени броеви

Алгебарска нотација.

Размислете за сложен број z = a + bi, оваа форма на пишување сложен број се нарекува алгебарски. Веќе детално разговаравме за оваа форма на снимање во претходниот дел. Следниот визуелен цртеж се користи доста често

Тригонометриска форма.

Од сликата се гледа дека бројот z = a + biможе да се пишува поинаку. Очигледно е дека a = rcos (φ), b = rsin (φ), r=|z|, оттука z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) се нарекува аргумент на сложен број. Ова претставување на комплексен број се нарекува тригонометриска форма. Тригонометриската форма на нотација понекогаш е многу погодна. На пример, погодно е да се користи за да се подигне комплексен број до цела сила, имено, ако z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Тоа z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, оваа формула се нарекува Формулата на Моивр.

Демонстративна форма.

Ајде да размислиме z = rcos(φ) + rsin(φ)i- комплексен број во тригонометриска форма, запиши го во друга форма z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, последната еднаквост следи од формулата на Ојлер, така што добивме нова форма на пишување комплексен број: z = reiφ, кој се нарекува индикативно. Оваа форма на нотација е исто така многу погодна за подигнување на комплексен број на моќност: z n = r n e inφ, Еве nне мора да е цел број, но може да биде произволен реален број. Оваа форма на нотација доста често се користи за решавање проблеми.

Основна теорема на вишата алгебра

Да замислиме дека имаме квадратна равенка x 2 + x + 1 = 0. Очигледно, дискриминаторот на оваа равенка е негативен и нема вистински корени, но излегува дека оваа равенка има два различни сложени корени. Значи, основната теорема на повисоката алгебра вели дека секој полином со степен n има барем еден сложен корен. Од ова произлегува дека секој полином со степен n има точно n сложени корени, земајќи ја предвид нивната мноштво. Оваа теорема е многу важен резултат во математиката и е широко користен. Едноставна последица на оваа теорема е дека има точно n различни корени на степенот n на единството.

Главни типови на задачи

Овој дел ќе ги разгледа главните типови на едноставни проблеми кои вклучуваат сложени броеви. Конвенционално, проблемите што вклучуваат сложени броеви може да се поделат во следните категории.

• Вршење едноставни аритметички операции на сложени броеви.
• Наоѓање на корените на полиномите во сложени броеви.
• Подигнување на сложени броеви на моќи.
• Извлекување корени од сложени броеви.
• Користење на сложени броеви за решавање на други проблеми.

Сега да ги разгледаме општите методи за решавање на овие проблеми.

Наједноставните аритметички операции со сложени броеви се изведуваат според правилата опишани во првиот дел, но ако сложените броеви се претставени во тригонометриски или експоненцијални форми, тогаш во овој случај можете да ги претворите во алгебарска форма и да извршите операции според познати правила.

Наоѓањето на корените на полиномите обично се сведува на наоѓање корени на квадратна равенка. Да претпоставиме дека имаме квадратна равенка, ако нејзината дискриминаторна е ненегативна, тогаш нејзините корени ќе бидат реални и може да се најдат според добро позната формула. Ако дискриминаторот е негативен, т.е. D = -1∙a 2, Каде ае одредена бројка, тогаш дискриминаторот може да се претстави како D = (ia) 2, оттука √D = i|a|, а потоа можете да ја користите веќе познатата формула за корените на квадратна равенка.

Пример. Да се ​​вратиме на квадратната равенка спомената погоре x 2 + x + 1 = 0.
Дискриминаторски - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Сега лесно можеме да ги најдеме корените:

Подигнувањето на сложените броеви до моќи може да се направи на неколку начини. Ако треба да подигнете комплексен број во алгебарска форма на мала моќност (2 или 3), тогаш тоа можете да го направите со директно множење, но ако моќноста е поголема (во проблеми често е многу поголема), тогаш треба да запишете го овој број во тригонометриски или експоненцијални форми и користете веќе познати методи.

Пример. Размислете за z = 1 + i и подигнете го до десеттата моќност.
Да го запишеме z во експоненцијална форма: z = √2 e iπ/4.
Потоа z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Да се ​​вратиме на алгебарската форма: z 10 = -32i.

Извлекувањето корени од сложени броеви е инверзна операција на степенување и затоа се изведува на сличен начин. За да се извлечат корени, често се користи експоненцијалната форма на пишување број.

Пример. Ајде да ги најдеме сите корени на степенот 3 на единството. За да го направите ова, ќе ги најдеме сите корени на равенката z 3 = 1, ќе ги бараме корените во експоненцијална форма.
Да ја замениме во равенката: r 3 e 3iφ = 1 или r 3 e 3iφ = e 0 .
Оттука: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, затоа φ = 2πk/3.
Различни корени се добиваат при φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Затоа 1, e i2π/3, e i4π/3 се корени.
Или во алгебарска форма:

Последниот тип на проблеми вклучува огромна разновидност на проблеми и не постојат општи методи за нивно решавање. Ајде да дадеме едноставен пример за таква задача:

Најдете ја сумата грев (x) + грев (2x) + грев (2x) + … + грев (nx).

Иако формулацијата на овој проблем не вклучува сложени броеви, може лесно да се реши со нивна помош. За да се реши, се користат следниве претстави:


Ако сега го замениме ова претставување со збир, тогаш проблемот се сведува на сумирање на вообичаената геометриска прогресија.

Заклучок

Сложените броеви се широко користени во математиката; овој напис за преглед ги испитуваше основните операции на сложени броеви, опиша неколку типови стандардни проблеми и накратко опиша општи методи за нивно решавање; за подетално проучување на способностите на сложените броеви, се препорачува користат специјализирана литература.

Литература

Онлајн услугата за решавање равенки ќе ви помогне да ја решите секоја равенка. Користејќи ја нашата веб-страница, ќе го добиете не само одговорот на равенката, туку ќе видите и детално решение, односно чекор-по-чекор приказ на процесот на добивање на резултатот. Нашата услуга ќе биде корисна за средношколците и нивните родители. Учениците ќе можат да се подготвуваат за тестови и испити, да го тестираат своето знаење, а родителите ќе можат да го следат решавањето на математичките равенки од страна на нивните деца. Способноста за решавање равенки е задолжителен услов за учениците од училиштата. Услугата ќе ви помогне да се едуцирате и да го подобрите вашето знаење од областа на математичките равенки. Со негова помош можете да решите која било равенка: квадратна, кубна, ирационална, тригонометриска итн. Придобивките од онлајн услугата се бесценети, бидејќи покрај точниот одговор добивате и детално решение за секоја равенка. Придобивките од решавањето равенки преку Интернет. Можете да решите која било равенка онлајн на нашата веб-страница апсолутно бесплатно. Услугата е целосно автоматска, не мора да инсталирате ништо на вашиот компјутер, само треба да ги внесете податоците и програмата ќе ви даде решение. Сите грешки во пресметките или печатните грешки се исклучени. Кај нас, решавањето на која било равенка онлајн е многу лесно, затоа не заборавајте да ја користите нашата страница за да решите секаков вид равенки. Потребно е само да ги внесете податоците и пресметката ќе биде завршена за неколку секунди. Програмата работи самостојно, без човечка интервенција и добивате точен и детален одговор. Решение на равенката во општа форма. Во таква равенка, променливите коефициенти и саканите корени се меѓусебно поврзани. Највисоката моќност на променливата го одредува редоследот на таквата равенка. Врз основа на ова, се користат различни методи и теореми за равенки за наоѓање решенија. Решавањето на равенките од овој тип значи наоѓање на потребните корени во општа форма. Нашата услуга ви овозможува да ја решите дури и најсложената алгебарска равенка онлајн. Можете да добиете и општо решение за равенката и конкретно за нумеричките вредности на коефициентите што ќе ги наведете. За да се реши алгебарска равенка на веб-страницата, доволно е правилно да се пополнат само две полиња: левата и десната страна на дадената равенка. Алгебарските равенки со променливи коефициенти имаат бесконечен број решенија, а со поставување на одредени услови се избираат парцијални од множеството решенија. Квадратна равенка. Квадратната равенка има форма ax^2+bx+c=0 за a>0. Решавањето на квадратни равенки вклучува наоѓање на вредностите на x при кои важи еднаквоста ax^2+bx+c=0. За да го направите ова, пронајдете ја дискриминаторната вредност користејќи ја формулата D=b^2-4ac. Ако дискриминантата е помала од нула, тогаш равенката нема вистински корени (корените се од полето на сложени броеви), ако е еднаква на нула, тогаш равенката има еден реален корен, а ако дискриминантата е поголема од нула , тогаш равенката има два реални корени, кои се наоѓаат по формулата: D = -b+-sqrt/2a. За да решите квадратна равенка на интернет, само треба да ги внесете коефициентите на равенката (цели броеви, фракции или децимали). Ако има знаци за одземање во равенката, мора да ставите знак минус пред соодветните членови на равенката. Можете да решите квадратна равенка онлајн во зависност од параметарот, односно променливите во коефициентите на равенката. Нашата онлајн услуга за изнаоѓање општи решенија добро се справува со оваа задача. Линеарни равенки. За решавање на линеарни равенки (или системи на равенки), во пракса се користат четири главни методи. Ние ќе го опишеме секој метод детално. Метод на замена. Решавањето равенки со помош на методот на замена бара изразување на една променлива во однос на другите. После ова, изразот се заменува со други равенки на системот. Оттука и името на методот на решение, односно наместо променлива, неговиот израз се заменува преку останатите променливи. Во пракса, методот бара сложени пресметки, иако е лесно да се разбере, така што решавањето на таквата равенка онлајн ќе помогне да заштедите време и да ги олесните пресметките. Треба само да го наведете бројот на непознати во равенката и да ги пополните податоците од линеарните равенки, а потоа услугата ќе ја направи пресметката. Гаусовиот метод. Методот се заснова на наједноставните трансформации на системот со цел да се дојде до еквивалентен триаголен систем. Од него една по една се одредуваат непознатите. Во пракса, треба да решите таква равенка онлајн со детален опис, благодарение на што ќе имате добро разбирање за Гаусовиот метод за решавање системи на линеарни равенки. Запишете го системот на линеарни равенки во правилен формат и земете го предвид бројот на непознати за точно да го решите системот. Крамеровиот метод. Овој метод решава системи на равенки во случаи кога системот има единствено решение. Главната математичка акција овде е пресметката на матричните детерминанти. Решавањето равенки со помош на методот Крамер се врши онлајн, резултатот го добивате веднаш со целосен и детален опис. Доволно е само да се пополни системот со коефициенти и да се избере бројот на непознати променливи. Матричен метод. Овој метод се состои од собирање на коефициентите на непознатите во матрицата А, непознатите во колоната X и слободните членови во колоната Б. Така, системот на линеарни равенки се сведува на матрична равенка од формата AxX=B. Оваа равенка има единствено решение само ако детерминантата на матрицата А е различна од нула, инаку системот нема решенија или бесконечен број решенија. Решавањето равенки со помош на методот на матрица вклучува наоѓање на инверзната матрица А.