Синус остар аголα на правоаголен триаголник е односот спротивнонога до хипотенуза.
Се означува на следниов начин: sin α.

КосинусотОстриот агол α на правоаголен триаголник е односот на соседната катета и хипотенузата.
Се означува на следниов начин: cos α.

Тангентаостар агол α е односот спротивна странадо соседната нога.
Се означува на следниов начин: tg α.

Котангенсостар агол α е односот соседната ногана спротивната.
Се означува на следниов начин: ctg α.

Синус, косинус, тангента и котангента на агол зависат само од големината на аголот.

Правила:

Основни тригонометриски идентитети во правоаголен триаголник:

(α – остар агол спротивен на ногата б и во непосредна близина на ногата а . Страна Со - хипотенуза. β – втор акутен агол).

б грев α = - в	sin 2 α + cos 2 α = 1
а cos α = - в	1 1 + тен 2 α = -- cos 2 α
б тен α = - а	1 1 + ctg 2 α = -- грев 2 α
а ctg α = - б	1 1 1 + -- = -- тен 2 α грев 2 α
грев α tg α = -- cos α

Како што се зголемува акутниот аголгрев α иtan α зголемување, иcos α се намалува.

За секој остар агол α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = грев α

Пример-објаснување:

Нека влезе правоаголен триаголник ABC
AB = 6,
п.н.е. = 3,
агол А = 30º.

Ајде да ги дознаеме синусите на аголот А и косинусот на аголот Б.

Решение .

1) Прво, ја наоѓаме вредноста на аголот Б. Овде сè е едноставно: бидејќи во правоаголен триаголник збирот на острите агли е 90º, тогаш аголот B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Да го пресметаме гревот А. Ние го знаеме тој синус еднаков на односотспротивна страна на хипотенузата. За аголот А, спротивната страна е страната BC. Значи:

п.н.е. 3 1
грев А = -- = - = -
AB 6 2

3) Сега да пресметаме cos B. Знаеме дека косинусот е еднаков на односот на соседната катета и хипотенузата. За аголот Б, соседниот крак е иста страна BC. Ова значи дека повторно треба да го поделиме BC со AB - односно да ги извршиме истите дејства како при пресметување на синусот на аголот А:

п.н.е. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Резултатот е:
sin A = cos B = 1/2.

грев 30º = cos 60º = 1/2.

Од ова произлегува дека во правоаголен триаголник синусот на еден остар агол е еднакво на косинусдруг остар агол - и обратно. Ова е токму она што значат нашите две формули:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = грев α

Ајде повторно да се увериме во ова:

1) Нека α = 60º. Заменувајќи ја вредноста на α во синусната формула, добиваме:
грев (90º – 60º) = cos 60º.
грев 30º = цена 60º.

2) Нека α = 30º. Заменувајќи ја вредноста на α во косинусната формула, добиваме:
cos (90° – 30º) = грев 30º.
cos 60° = грев 30º.

(За повеќе информации за тригонометријата, видете го делот Алгебра)

Мислам дека заслужуваш повеќе од ова. Еве го мојот клуч за тригонометријата:

• Нацртајте ја куполата, ѕидот и таванот
• Тригонометриски функциине е ништо повеќе од процентот на овие три форми.

Метафора за синус и косинус: купола

Наместо само да ги гледате самите триаголници, замислете ги во акција така што ќе пронајдете некои посебен примерод животот.

Замислете дека сте среде купола и сакате да обесите екран од филмски проектор. Го вперувате прстот кон куполата под одреден агол „x“ и екранот треба да биде суспендиран од оваа точка.

Аголот на кој покажувате одредува:

• синус (x) = грев (x) = висина на екранот (од подот до точката за монтирање на куполата)
• косинус (x) = cos (x) = растојание од вас до екранот (по кат)
• хипотенуза, растојанието од вас до врвот на екранот, секогаш исто, еднакво на радиусот на куполата

Дали сакате екранот да биде што поголем? Закачете го директно над вас.

Дали сакате екранот да виси што подалеку од вас? Закачете го директно нормално. Екранот ќе има нула висина во оваа позиција и ќе виси најдалеку, како што прашавте.

Висината и растојанието од екранот се обратно пропорционални: колку поблиску виси екранот, толку е поголема неговата висина.

Синус и косинус се проценти

Никој во текот на моите години студирање, за жал, не ми објасни дека тригонометриските функции синус и косинус не се ништо повеќе од проценти. Нивните вредности се движат од +100% до 0 до -100%, или од позитивен максимум до нула до негативен максимум.

Да речеме дека платив данок од 14 рубли. Не знаеш колку е. Но, ако кажеш дека сум платил 95% данок, ќе разбереш дека едноставно сум бил со руно.

Апсолутна висина не значи ништо. Но, ако синусната вредност е 0,95, тогаш разбирам дека телевизорот виси речиси на врвот на куполата. Многу брзо ќе стигне максимална висинаво центарот на куполата, а потоа повторно почнува да опаѓа.

Како можеме да го пресметаме овој процент? Многу е едноставно: поделете ја тековната висина на екранот со максималната можна (радиусот на куполата, исто така наречена хипотенуза).

Затоани е кажано дека „косинус = спротивна страна / хипотенуза“. Се работи за добивање камата! Најдобро е да се дефинира синус како „процент на тековната висина од максималното можно“. (Синусот станува негативен ако вашиот агол покажува „под земја“. Косинусот станува негативен ако аголот е насочен кон точката на куполата зад вас.)

Ајде да ги поедноставиме пресметките со претпоставка дека сме во центарот единица круг(радиус = 1). Можеме да ја прескокнеме поделбата и само да го земеме синусот еднаков на висината.

Секој круг е во суштина единица, зголемена или намалена во размер до вистинската големина. Затоа, одредете ги врските на кругот на единицата и применете ги резултатите на вашата специфична големина на кругот.

Експериментирајте: земете кој било агол и видете што процентотвисина до ширина се прикажува:

Графикот на растот на синусната вредност не е само права линија. Првите 45 степени покриваат 70% од висината, но последните 10 степени (од 80° до 90°) покриваат само 2%.

Така ќе ви биде појасно: ако одите во круг, на 0° се кревате речиси вертикално, но како што се приближувате до врвот на куполата, висината се менува сè помалку.

Тангента и секанта. Ѕид

Еден ден сосед изгради ѕид веднаш еден до другдо твојата купола. Плачеше вашиот поглед од прозорецот и добра цена за препродажба!

Но, дали е можно некако да се победи во оваа ситуација?

Се разбира да. Што ако закачиме филмско платно токму на ѕидот на соседот? Го насочувате аголот (x) и добивате:

• tan(x) = tan(x) = висина на екранот на ѕидот
• растојание од вас до ѕидот: 1 (ова е радиусот на вашата купола, ѕидот не се движи никаде од вас, нели?)
• секант(x) = сек(x) = „должина на скалата“ од вас што стоите во центарот на куполата до врвот на висениот екран

Ајде да разјасниме неколку точки во врска со тангентата или висината на екранот.

• почнува на 0 и може да оди бесконечно високо. Можете да го истегнете екранот повисоко и повисоко на ѕидот за да создадете бескрајно платно за гледање на вашиот омилен филм! (За толку огромен, се разбира, ќе треба да потрошите многу пари).
• тангентата е само поголема верзија на синус! И додека зголемувањето на синусот се забавува додека се движите кон врвот на куполата, тангентата продолжува да расте!

Секансу исто така има со што да се пофали:

• Секантот започнува во 1 (скалата е на подот, од вас до ѕидот) и почнува да се крева од таму
• Секантата е секогаш подолга од тангентата. Закосената скала што ја користите за да го закачите екранот треба да биде подолга од самиот екран, нели? (Со нереални големини, кога екранот е многу долг и скалата треба да се постави речиси вертикално, нивните големини се речиси исти. Но и тогаш секантот ќе биде малку подолг).

Запомнете, вредностите се проценти. Ако одлучите да го закачите екранот под агол од 50 степени, tan(50)=1,19. Вашиот екран е 19% поголем од растојанието до ѕидот (радиус на куполата).

(Внесете x=0 и проверете ја вашата интуиција - tan(0) = 0 и sec(0) = 1.)

Котангенс и косекант. Таванот

Неверојатно, вашиот сосед сега одлучи да изгради покрив над вашата купола. (Што му е? Очигледно не сака да го шпионирате додека шета гол низ дворот...)

Па, време е да изградите излез до покривот и да разговарате со вашиот сосед. Го избирате аголот на наклон и започнувате со изградба:

• вертикалното растојание помеѓу излезот на покривот и подот е секогаш 1 (радиусот на куполата)
• котангента(x) = креветче(x) = растојание помеѓу врвот на куполата и излезната точка
• cosecant(x) = csc(x) = должина на вашата патека до покривот

Тангентата и секантата го опишуваат ѕидот, а COtangent и COsecant го опишуваат таванот.

Нашите интуитивни заклучоци овојпат се слични на претходните:

• Ако го земете аголот еднаков на 0°, вашиот излез до покривот ќе трае вечно, бидејќи никогаш нема да стигне до таванот. Проблем.
• Најкратката „скала“ до покривот ќе ја добиете ако ја изградите под агол од 90 степени во однос на подот. Котангенсот ќе биде еднаков на 0 (воопшто не се движиме по покривот, излегуваме строго нормално), а косекантот ќе биде еднаков на 1 („должината на скалата“ ќе биде минимална).

Визуелизирајте врски

Ако сите три случаи се нацртани во комбинација купола-ѕид-таван, резултатот ќе биде следниот:

Па, сепак е истиот триаголник, зголемен во големина за да стигне до ѕидот и таванот. Имаме вертикални страни (синус, тангента), хоризонтални страни (косинус, котангента) и „хипотенуси“ (секанта, косекантна). (Со стрелките можете да видите до каде достигнува секој елемент. Косекантот е вкупното растојание од вас до покривот).

Малку магија. Сите триаголници делат исти еднаквости:

Од Питагоровата теорема (a 2 + b 2 = c 2) гледаме како страните на секој триаголник се поврзани. Дополнително, односот „висина до ширина“ исто така треба да биде ист за сите триаголници. (Само повлечете се од самиот почеток голем триаголникна помалку. Да, големината е променета, но соодносите ќе останат исти).

Знаејќи која страна во секој триаголник е еднаква на 1 (радиусот на куполата), лесно можеме да пресметаме дека „sin/cos = tan/1“.

Отсекогаш сум се трудел да се сетам на овие факти преку едноставна визуелизација. На сликата јасно ги гледате овие зависности и разбирате од каде доаѓаат. Оваа техника е многу подобро од меморирањесуви формули.

Не заборавајте за другите агли

Псст... Не се заглавувајте на еден график, мислејќи дека тангентата е секогаш помала од 1. Ако го зголемите аголот, можете да стигнете до таванот без да стигнете до ѕидот:

Питагорејските врски секогаш функционираат, но релативни големиниможе да бидат различни.

(Можеби сте забележале дека односот на синус и косинус се секогаш најмали бидејќи се содржани во куполата).

Да резимираме: што треба да запомниме?

За повеќето од нас, би рекол дека ова ќе биде доволно:

• тригонометријата ја објаснува анатомијата на математичките предмети како што се кругови и интервали за повторување
• Аналогијата на купола/ѕид/покрив ја покажува врската помеѓу различните тригонометриски функции
• Тригонометриските функции резултираат со проценти, кои ги применуваме на нашето сценарио.

Не треба да меморирате формули како 1 2 + креветче 2 = csc 2 . Тие се погодни само за глупави тестови, во кој знаењето за некој факт се пренесува како негово разбирање. Одвојте една минута за да нацртате полукруг во форма на купола, ѕид и покрив, означете ги елементите и сите формули ќе ви дојдат на хартија.

Примена: Инверзни функции

Секоја тригонометриска функција зема агол како влезен параметар и го враќа резултатот како процент. sin (30) = 0,5. Тоа значи дека аголот од 30 степени зафаќа 50% од максималната висина.

Инверзната тригонометриска функција е напишана како sin -1 или arcsin. Исто така често се пишува asin in разни јазиципрограмирање.

Ако нашата висина е 25% од висината на куполата, кој е нашиот агол?

Во нашата табела со пропорции можете да најдете сооднос каде што секантата е поделена со 1. На пример, секантата со 1 (хипотенуза до хоризонталата) ќе биде еднаква на 1 поделена со косинус:

Да речеме дека нашиот секант е 3,5, т.е. 350% од радиусот на единица круг. На кој агол на наклон кон ѕидот одговара оваа вредност?

Додаток: Некои примери

Пример: Најдете го синусот на аголот x.

Досадна задача. Ајде да го комплицираме баналното „пронајди го синусот“ до „Колкава е висината како процент од максимумот (хипотенуза)?

Прво, забележете дека триаголникот се ротира. Нема ништо лошо во тоа. Триаголникот има и висина, на сликата е означен со зелено.

На што е еднаква хипотенузата? Според Питагоровата теорема, знаеме дека:

3 2 + 4 2 = хипотенуза 2 25 = хипотенуза 2 5 = хипотенуза

Добро! Синус е процентот на висината на најдолгата страна на триаголникот или хипотенуза. Во нашиот пример, синусот е 3/5 или 0,60.

Се разбира, можеме да одиме на неколку начини. Сега знаеме дека синусот е 0,60, едноставно можеме да го најдеме лаксинот:

Асин(0,6)=36,9

Еве уште еден пристап. Забележете дека триаголникот е „свртен кон ѕидот“, така што можеме да ја користиме тангентата наместо синусот. Висината е 3, растојанието до ѕидот е 4, така што тангентата е ¾ или 75%. Можеме да го користиме арктангенсот за да се вратиме од процентуалната вредност на аголот:

Тан = 3/4 = 0,75 атан (0,75) = 36,9 Пример: Дали ќе допливаш до брегот?

Се наоѓате во чамец и имате доволно гориво за да поминете 2 км. Сега сте на 0,25 км од брегот. Под кој максимален агол на брегот можете да допливате до него за да имате доволно гориво? Дополнување на изјавата за проблемот: имаме само табела со косинусни вредности на лакот.

Што имаме? крајбрежјеможе да се претстави како „ѕид“ во нашиот познат триаголник, а „должината на скалата“ прикачена на ѕидот е максималното можно растојание што треба да се помине со брод до брегот (2 км). Се појавува секант.

Прво, треба да отидете на проценти. Имаме 2 / 0,25 = 8, односно можеме да пливаме растојание што е 8 пати поголемо од директното растојание до брегот (или до ѕидот).

Се поставува прашањето: „Која е секантата на 8? Но, не можеме да одговориме, бидејќи имаме само лачни косинуси.

Ги користиме нашите претходно изведени зависности за да ја поврземе секантата со косинус: „sec/1 = 1/cos“

Секантата од 8 е еднаква на косинусот од ⅛. Аголот чиј косинус е ⅛ е еднаков на acos(1/8) = 82,8. И ова е најголемиот агол што можеме да си го дозволиме на брод со одредената количина гориво.

Не е лошо, нели? Без аналогијата купола-ѕид-таван, ќе се изгубев во еден куп формули и пресметки. Визуелизирањето на проблемот во голема мера го поедноставува барањето решение, а исто така е интересно да се види која тригонометриска функција на крајот ќе помогне.

Размислете кога го решавате секој проблем на следниот начин: Дали сум заинтересиран за купола (sin/cos), ѕид (тен/сек) или таван (креветче/цсц)?

И тригонометријата ќе стане многу попријатна. Лесни пресметки за вас!

Единствен државен испит за 4? Нема да пукнеш од среќа?

Прашањето, како што велат, е интересно... Можно е, може да се помине и со 4! А притоа да не пукне... Главен услов е редовно да вежбате. Еве ја основната подготовка за Единствениот државен испит по математика. Со сите тајни и мистерии на Единствениот државен испит, за кои нема да читате во учебниците... Проучете го овој дел, одлучете повеќе задачиод различни извори- и сè ќе успее! Се претпоставува дека основниот дел "A C е доволно за вас!" не ти прави никакви проблеми. Но, ако одеднаш... Следете ги линковите, не бидете мрзливи!

И ќе почнеме со одлична и страшна тема.

Тригонометрија

Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)

Оваа тема предизвикува многу проблеми кај студентите. Се смета за еден од најтешките. Што се синус и косинус? Што се тангента и котангента? Што се случи круг со број? Штом ги поставите овие безопасни прашања, личноста пребледува и се обидува да го пренасочи разговорот... Но залудно. Ова едноставни концепти. И оваа тема не е потешка од другите. Само треба јасно да ги разберете одговорите на овие прашања уште од самиот почеток. Тоа е многу важно. Ако разбирате, ќе ви се допадне тригонометријата. Значи,

Што се синус и косинус? Што се тангента и котангента?

Да почнеме со античко време. Не грижете се, ќе ги поминеме сите 20 века тригонометрија за околу 15 минути и, без да забележиме, ќе повториме дел од геометријата од 8-мо одделение.

Ајде да нацртаме правоаголен триаголник со страни а, б, ви агол X. Еве го.

Да ве потсетам дека страните што формираат прав агол се нарекуваат нозе. а и в– нозе. Има два од нив. Преостанатата страна се нарекува хипотенуза. Со- хипотенуза.

Триаголник и триаголник, само размислете! Што да се прави со него? Но, старите луѓе знаеле што да прават! Да ги повториме нивните постапки. Ајде да ја измериме страната В. На сликата, ќелиите се специјално нацртани, како во Задачи за унифициран државен испитСе случува. Страна Веднакво на четири ќелии. ДОБРО. Ајде да ја измериме страната А.Три клетки.

Сега да ја поделиме должината на страната Апо должина на страна В. Или, како што исто така велат, да го заземеме ставот АДо В. а/в= 3/4.

Напротив, можете да поделите Вна А.Добиваме 4/3. Може Вподели со Со.Хипотенуза СоНевозможно е да се брои по ќелии, но е еднакво на 5. Добиваме висок квалитет= 4/5. Накратко, можете да ги поделите должините на страните една со друга и да добиете неколку броеви.

Па што? Која е поентата во ова интересна активност? Сè уште нема. Бесмислена вежба, отворено кажано.)

Сега да го направиме ова. Ајде да го зголемиме триаголникот. Ајде да ги прошириме страните во и со, но така што триаголникот останува правоаголен. Катче X, се разбира, не се менува. За да го видите ова, поставете го глувчето над сликата или допрете ја (ако имате таблет). Забави а, б и вќе се претвори во m, n, k, и, се разбира, должините на страните ќе се променат.

Но, нивната врска не е така!

Став а/вбеше: а/в= 3/4, стана m/n= 6/8 = 3/4. Односите на другите релевантни страни се исто така нема да се промени . Можете да ги менувате должините на страните во правоаголен триаголник како што сакате, да зголемувате, намалувате, без промена на аголот x – односот меѓу релевантните страни нема да се промени . Можете да го проверите, или можете да го прифатите зборот на античките луѓе.

Но, ова е веќе многу важно! Односите на страните во правоаголен триаголник во никој случај не зависат од должините на страните (по ист агол). Ова е толку важно што односот меѓу страните доби свое посебно име. Вашите имиња, така да се каже.) Запознајте ме.

Колку изнесува синусот на аголот x ? Ова е односот на спротивната страна со хипотенузата:

sinx = a/c

Колку изнесува косинусот на аголот x ? Ова е односот на соседната нога и хипотенузата:

Соosx= висок квалитет

Колку е тангента x ? Ова е односот на спротивната страна со соседната страна:

tgx =а/в

Колку изнесува котангенсот на аголот x ? Ова е односот на соседната страна со спротивната:

ctgx = v/a

Сè е многу едноставно. Синус, косинус, тангента и котангента се некои броеви. Бездимензионални. Само бројки. Секој агол има свој.

Зошто сè повторувам толку досадно? Тогаш што е ова треба да се запамети. Важно е да се запамети. Меморирањето може да се олесни. Дали е позната фразата „Да почнеме од далеку…“? Затоа почнете од далеку.

Синусаголот е сооднос далечнаод аголот на ногата до хипотенузата. Косинусот– односот на соседот со хипотенузата.

Тангентааголот е сооднос далечнаод аголот на ногата до блискиот. Котангенс- Обратно.

Полесно е, нели?

Па, ако се сеќавате дека во тангента и котангента има само нозе, а во синус и косинус се појавува хипотенузата, тогаш сè ќе стане прилично едноставно.

Се нарекува и целото ова славно семејство - синус, косинус, тангента и котангента тригонометриски функции.

Сега прашање за разгледување.

Зошто велиме синус, косинус, тангента и котангента агол?Зборуваме за односот меѓу страните, како... Каква врска има тоа? агол?

Ајде да ја погледнеме втората слика. Сосема исто како и првиот.

Поставете го глувчето над сликата. Го сменив аголот X. Го зголеми од x до x.Сите односи се сменија! Став а/вбеше 3/4, а соодветниот сооднос телевизијастана 6/4.

И сите други врски станаа поинакви!

Затоа, соодносите на страните не зависат никако од нивните должини (по еден агол x), туку нагло зависат токму од овој агол! И само од него.Затоа, термините синус, косинус, тангента и котангенс се однесуваат агол.Аголот овде е главниот.

Мора јасно да се разбере дека аголот е нераскинливо поврзан со неговите тригонометриски функции. Секој агол има свој синус и косинус. И скоро секој има своја тангента и котангента.Тоа е важно. Се верува дека ако ни се даде агол, тогаш неговиот синус, косинус, тангента и котангента знаеме ! И обратно. Со оглед на синус или која било друга тригонометриска функција, тоа значи дека го знаеме аголот.

Постојат посебни табели каде што за секој агол се опишани неговите тригонометриски функции. Тие се нарекуваат Брадис маси. Тие беа составени многу одамна. Кога сè уште немаше калкулатори или компјутери...

Се разбира, невозможно е да се запамети тригонометриските функции на сите агли. Од вас се бара да ги знаете само за неколку агли, повеќе за ова подоцна. Но, магијата Знам агол, што значи дека ги знам неговите тригонометриски функции“ -секогаш функционира!

Така, повторивме дел од геометријата од 8-мо одделение. Дали ни треба за обединет државен испит? Неопходно. Еве еден типичен проблем од Единствениот државен испит. За да се реши овој проблем доволно е 8 одделение. Дадена слика:

Сите. Нема повеќе податоци. Треба да ја најдеме должината на страната на авионот.

Клетките не помагаат многу, триаголникот е некако неправилно поставен... Намерно претпоставувам... Од информацијата е должината на хипотенузата. 8 клетки. Поради некоја причина, аголот беше даден.

Ова е местото каде што треба веднаш да запомните за тригонометријата. Има агол, што значи дека ги знаеме сите негови тригонометриски функции. Која од четирите функции треба да ја користиме? Ајде да видиме, што знаеме? Ги знаеме хипотенузата и аголот, но треба да најдеме соседнитекатетер до овој агол! Јасно е, косинусот треба да се стави во акција! Еве одиме. Ние едноставно пишуваме, според дефиницијата за косинус (односот соседнитенога до хипотенуза):

cosC = BC/8

Нашиот агол C е 60 степени, неговиот косинус е 1/2. Треба да го знаете ова, без никакви табели! Тоа е:

1/2 = п.н.е./8

Основно линеарна равенка. Непознато - Сонцето. Тие што заборавиле да решаваат равенки, погледнете го линкот, останатите решаваат:

п.н.е. = 4

Кога античките луѓе сфатија дека секој агол има свој сет на тригонометриски функции, имаа разумно прашање. Дали синус, косинус, тангента и котангента се некако поврзани едни со други?Така што знаејќи ја функцијата на еден агол, можете да ги најдете другите? Без да се пресмета самиот агол?

Беа толку немирни...)

Врска помеѓу тригонометриските функции од еден агол.

Се разбира, синус, косинус, тангента и котангента од ист агол се поврзани едни со други. Секоја врска помеѓу изразите е дадена во математиката со формули. Во тригонометријата има огромен број формули. Но, овде ќе ги разгледаме најосновните. Овие формули се нарекуваат: основни тригонометриски идентитети.Тука се:

Треба да ги знаете овие формули темелно. Без нив, генерално нема што да се прави во тригонометријата. Од овие основни идентитети следуваат уште три помошни идентитети:

Веднаш ве предупредувам дека последните три формули брзо испаѓаат од вашата меморија. Поради некоја причина.) Се разбира, можете да ги изведете овие формули од првите три. Но во Тешко време... Ти разбираш.)

ВО стандардни задачи, како и оние подолу, постои начин да се направи без овие формули кои се забораваат. И драматично ги намалуваат грешкитепоради заборавот, а и во пресметките. Оваа практика е во Дел 555, лекција „Односи помеѓу тригонометриски функции од ист агол“.

Во кои задачи и како се користат основните тригонометриски идентитети? Најпопуларната задача е да се најде некоја аголна функција ако е дадена друга. Во обединетиот државен испит таква задача е присутна од година во година.) На пример:

Најдете sinx вредност, ако x е остар агол и cosx=0,8.

Задачата е речиси елементарна. Бараме формула која содржи синус и косинус. Еве ја формулата:

грев 2 x + cos 2 x = 1

Заменете овде позната количина, имено, 0,8 наместо косинус:

грев 2 x + 0,8 2 = 1

Па, сметаме како и обично:

грев 2 x + 0,64 = 1

грев 2 x = 1 - 0,64

Тоа е практично сè. Го пресметавме квадратот на синусот, останува само да го извадиме квадратниот корен и одговорот е готов! Коренот на 0,36 е 0,6.

Задачата е речиси елементарна. Но, зборот „скоро“ го има со причина... Факт е дека одговорот sinx= - 0,6 е исто така погоден... (-0,6) 2 исто така ќе биде 0,36.

Постојат два различни одговори. И ти треба еден. Вториот е неточен. Како да се биде!? Да, како и обично.) Внимателно прочитајте ја задачата. Поради некоја причина вели:... ако x е остар агол...А во задачите секој збор има значење, да... Оваа фраза е дополнителна информација за решението.

Акутен агол е агол помал од 90°. И на такви ќошиња Ситетригонометриски функции - синус, косинус и тангента со котангента - позитивен.Оние. Овде едноставно го отфрламе негативниот одговор. Имаме право.

Всушност, на осмоодделенците не им се потребни такви суптилности. Тие работат само со правоаголни триаголници, каде што аглите можат да бидат само остри. И тие не знаат, среќни, дека има и негативни агли и агли од 1000°... И сите овие страшни агли имаат свои тригонометриски функции, плус и минус...

Но, за средношколците, без да се земе предвид знакот - нема шанси. Многу знаење ги умножува тагите, да...) И за правилна одлукаЗадачата мора да содржи дополнителни информации (доколку е потребно). На пример, може да се даде со следниов запис:

Или на некој друг начин. Ќе видите во примерите подолу.) За да решите такви примери треба да знаете во која четвртина спаѓа? одреден агол x и кој е знакот на саканата тригонометриска функција во овој квадрант.

Овие основи на тригонометријата се дискутирани во лекциите за тоа што е тригонометриски круг, мерење на аглите на овој круг, радијанска мерка на агол. Понекогаш треба да ја знаете табелата на синуси, косинуси на тангенти и котангенти.

Значи, да ја забележиме најважната работа:

Практичен совет:

1. Запомнете ги дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента. Тоа ќе биде многу корисно.

2. Јасно разбираме: синус, косинус, тангента и котангента се цврсто поврзани со агли. Знаеме едно, што значи дека знаеме друго.

3. Јасно разбираме: синус, косинус, тангента и котангента на еден агол се поврзани едни со други по основни тригонометриски идентитети. Знаеме една функција, што значи дека можеме (ако ги имаме потребните дополнителни информации) да ги пресметаме сите други.

Сега да одлучиме, како и обично. Прво, задачи од опфатот на 8 одделение. Но, и средношколците можат да го направат тоа...)

1. Пресметајте ја вредноста на tgA ако ctgA = 0,4.

2. β е агол во правоаголен триаголник. Најдете ја вредноста на tanβ ако sinβ = 12/13.

3. Да се ​​определи синусот на остриот агол x ако tgх = 4/3.

4. Најдете го значењето на изразот:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Најдете го значењето на изразот:

(1-cosx)(1+cosx), ако sinx = 0,3

Одговори (одделени со точка-запирка, во неред):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Се случи? Одлично! Учениците од осмо одделение веќе можат да одат да го добијат своето А.)

Зарем сè не успеа? Задачите 2 и 3 некако не се многу добри...? Нема проблем! Постои еден прекрасен трик за слични задачи. Сè може да се реши практично без формули воопшто! И, според тоа, без грешки. Оваа техника е опишана во лекцијата: „Односи меѓу тригонометриските функции од еден агол“ во Дел 555. Таму се решаваат и сите други задачи.

Тоа беа проблеми Тип на унифициран државен испит, но во соголена верзија. Единствен државен испит – светло). И сега речиси истите задачи, но во полноправен формат. За средношколците оптоварени со знаење.)

6. Најдете ја вредноста на tanβ ако sinβ = 12/13, и

7. Одреди го sinх ако tgх = 4/3, а x припаѓа на интервалот (- 540°; - 450°).

8. Најдете ја вредноста на изразот sinβ cosβ ако ctgβ = 1.

Одговори (во неред):

0,8; 0,5; -2,4.

Овде во задача 6 аголот не е многу јасно наведен... Но во задачата 8 воопшто не е наведен! Ова е намерно). дополнителни информациине само земено од задачата, туку и од главата.) Но, ако одлучите, една правилна задача е загарантирана!

Што ако не сте одлучиле? Хм... Па, делот 555 ќе помогне овде. Таму решенијата за сите овие задачи се детално опишани, тешко е да не се разбере.

Оваа лекција обезбедува многу ограничено разбирање на тригонометриските функции. Во рамките на 8 одделение. А постарите сè уште имаат прашања ...

На пример, ако аголот X(погледнете ја втората слика на оваа страница) - направете го тоа глупаво!? Триаголникот целосно ќе се распадне! Па што треба да правиме? Нема да има нога, нема хипотенуза... Синусот исчезна...

Ако древните луѓе не најдоа излез од оваа ситуација, сега немаше да имаме мобилни телефони, ТВ или струја. Да Да! Теоретска основасите овие работи без тригонометриски функции се нула без стап. Но, античките луѓе не разочараа. Како излегле е во следната лекција.

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Една од областите на математиката со која студентите најмногу се борат е тригонометријата. Не е изненадувачки: за слободно да ја совладате оваа област на знаење, потребно ви е просторно размислување, способност да пронајдете синуси, косинуси, тангенти, котангенти користејќи формули, да ги поедноставите изразите и да можете да го користите бројот пи во пресметки. Дополнително, треба да бидете способни да користите тригонометрија при докажување теореми, а за тоа е потребна или развиена математичка меморија или способност за изведување сложени логички синџири.

Потекло на тригонометријата

Запознавањето со оваа наука треба да започне со дефиниција на синус, косинус и тангента на агол, но прво треба да разберете што прави тригонометријата воопшто.

Историски, главниот предмет на проучување во овој дел математичка наукабеа правоаголни триаголници. Присуството на агол од 90 степени овозможува да се извршат различни операции кои овозможуваат да се одредат вредностите на сите параметри на предметната фигура користејќи две страни и еден агол или два агли и една страна. Во минатото, луѓето ја забележаа оваа шема и почнаа активно да ја користат во изградбата на згради, навигацијата, астрономијата, па дури и во уметноста.

Прва фаза

Првично, луѓето зборуваа за односот помеѓу аглите и страните исклучиво користејќи го примерот на правоаголни триаголници. Потоа беа откриени специјални формули кои овозможија проширување на границите на употреба во Секојдневниот животоваа гранка од математиката.

Изучувањето на тригонометријата во училиште денес започнува со правоаголни триаголници, по што учениците го користат стекнатото знаење по физика и решавање апстрактни проблеми. тригонометриски равенки, работа со која започнува во средно училиште.

Сферична тригонометрија

Подоцна, кога науката го достигнала следното ниво на развој, формулите со синус, косинус, тангента и котангента почнале да се користат во сферичната геометрија, каде што важат различни правила, а збирот на аглите во триаголникот е секогаш повеќе од 180 степени. Овој делне се изучува на училиште, но потребно е да се знае за неговото постоење барем затоа што површината на земјата, а површината на која било друга планета е конвексна, што значи дека секоја површинска ознака ќе биде внатре тридимензионален простор„во облик на лак“.

Земете го глобусот и конецот. Прицврстете го конецот на кои било две точки на глобусот така што ќе биде затегнато. Ве молиме имајте предвид - доби форма на лак. Со такви форми се занимава сферичната геометрија, која се користи во геодезијата, астрономијата и други теоретски и применети области.

Правоаголен триаголник

Откако научивме малку за начините на користење на тригонометријата, да се вратиме на основната тригонометрија со цел дополнително да разбереме што се синус, косинус, тангента, кои пресметки може да се извршат со нивна помош и кои формули да се користат.

Првиот чекор е да се разберат концептите поврзани со правоаголен триаголник. Прво, хипотенузата е страната спротивна на аголот од 90 степени. Тоа е најдолго. Се сеќаваме дека според Питагоровата теорема, нејзиниот нумеричка вредностеднаков на коренот на збирот на квадратите на другите две страни.

На пример, ако двете страни се 3 и 4 сантиметри соодветно, должината на хипотенузата ќе биде 5 сантиметри. Патем, старите Египќани знаеле за ова пред околу четири и пол илјади години.

Двете преостанати страни, кои формираат прав агол, се нарекуваат нозе. Покрај тоа, мораме да запомниме дека збирот на аглите во триаголник во правоаголен координатен систем е еднаков на 180 степени.

Дефиниција

Конечно, со цврсто разбирање на геометриската основа, може да се свртиме кон дефиницијата на синус, косинус и тангента на аголот.

Синус на аголот е односот на спротивната катета (т.е. страната спроти саканиот агол) со хипотенузата. Косинусот на аголот е односот на соседната страна со хипотенузата.

Запомнете дека ниту синус ниту косинус не може да биде повеќе од еден! Зошто? Бидејќи хипотенузата е стандардно најдолга, без разлика колку е долга ногата, таа ќе биде пократка од хипотенузата, што значи дека нивниот сооднос секогаш ќе биде помал од еден. Така, ако во вашиот одговор на проблем добиете синус или косинус со вредност поголема од 1, побарајте грешка во пресметките или расудувањето. Овој одговор е очигледно неточен.

Конечно, тангентата на аголот е односот на спротивната страна со соседната страна. Поделувањето на синусот со косинус ќе го даде истиот резултат. Погледнете: според формулата, ја делиме должината на страната со хипотенузата, потоа ја делиме со должината на втората страна и се множиме со хипотенузата. Така, ја добиваме истата врска како во дефиницијата за тангента.

Котангента, соодветно, е односот на страната во непосредна близина на аголот до спротивната страна. Истиот резултат го добиваме со делење на една со тангента.

Значи, ги разгледавме дефинициите за тоа што се синус, косинус, тангента и котангента и можеме да преминеме на формули.

Наједноставните формули

Во тригонометријата не можете без формули - како да најдете синус, косинус, тангента, котангента без нив? Но, тоа е токму она што се бара при решавање на проблемите.

Првата формула што треба да ја знаете кога започнувате да ја проучувате тригонометријата вели дека збирот на квадратите на синусот и косинусот на аголот е еднаков на еден. Оваа формулае директна последица на Питагоровата теорема, но заштедува време ако треба да ја знаете големината на аголот, а не на страната.

Многу ученици не можат да се сетат на втората формула, која е исто така многу популарна при решавање училишни задачи: збирот на еден и квадратот на тангентата на аголот е еднаков на еден поделен со квадратот на косинусот на аголот. Погледнете подетално: ова е истата изјава како во првата формула, само двете страни на идентитетот беа поделени со квадратот на косинус. Излегува дека прави едноставна математичка операција тригонометриска формулацелосно непрепознатлив. Запомнете: знаејќи што се синус, косинус, тангента и котангента, правила за конверзија и неколку основни формулиможете во секое време да го повлечете потребното повеќе сложени формулина парче хартија.

Формули за двојни агли и собирање аргументи

Уште две формули што треба да ги научите се поврзани со вредностите на синус и косинус за збирот и разликата на аглите. Тие се претставени на сликата подолу. Забележете дека во првиот случај, синусот и косинусот се множат и двата пати, а во вториот, се додава парниот производ на синус и косинус.

Исто така, постојат формули поврзани со аргументи во формата двоен агол. Целосно се изведени од претходните - како практика, обидете се сами да ги добиете земајќи го алфа аголот еднаков на бета аголот.

Конечно, забележете дека формулите со двоен агол може да се преуредат за да се намали моќта на синус, косинус, тангентна алфа.

Теореми

Двете главни теореми во основната тригонометрија се синусната теорема и косинусовата теорема. Со помош на овие теореми, можете лесно да разберете како да ги пронајдете синусот, косинусот и тангентата, а со тоа и површината на фигурата и големината на секоја страна итн.

Синусната теорема вели дека со делење на должината на секоја страна на триаголникот со спротивниот агол, добиваме истиот број. Покрај тоа, овој број ќе биде еднаков на два радиуси на ограничената кружница, односно кругот што ги содржи сите точки на даден триаголник.

Теоремата на косинус ја генерализира Питагоровата теорема, проектирајќи ја на кој било триаголник. Излегува дека од збирот на квадратите на двете страни, одземете го нивниот производ помножен со двојниот косинус на соседниот агол - добиената вредност ќе биде еднаква на квадратот на третата страна. Така, Питагоровата теорема се покажува како посебен случај на косинусовата теорема.

Невнимателни грешки

Дури и знаејќи што се синус, косинус и тангента, лесно е да се направи грешка поради отсутност или грешка во наједноставните пресметки. За да избегнеме вакви грешки, да ги погледнеме најпопуларните.

Прво, не треба да ги претворате дропките во децимали додека не го добиете конечниот резултат - можете да го оставите одговорот како заедничка дропка, освен ако поинаку не е наведено во условите. Таквата трансформација не може да се нарече грешка, но треба да се запомни дека во секоја фаза од проблемот може да се појават нови корени, кои, според идејата на авторот, треба да се намалат. Во овој случај, ќе го трошите вашето време на непотребни математички операции. Ова е особено точно за вредности како што се коренот на три или коренот на два, бидејќи тие се наоѓаат во проблеми на секој чекор. Истото важи и за заокружување на „грди“ броеви.

Понатаму, забележете дека косинусовата теорема се применува на кој било триаголник, но не и на Питагоровата теорема! Ако погрешно заборавите да одземе двапати од производот на страните помножен со косинус на аголот меѓу нив, не само што ќе добиете сосема погрешен резултат, туку и ќе покажете целосно недоволно разбирање на темата. Ова е полошо од невнимателна грешка.

Трето, не мешајте ги вредностите за агли од 30 и 60 степени за синуси, косинуси, тангенти, котангенти. Запомнете ги овие вредности, бидејќи синусот од 30 степени е еднаков на косинусот од 60, и обратно. Лесно е да ги збуните, како резултат на што неизбежно ќе добиете погрешен резултат.

Апликација

Многу студенти не брзаат да започнат со изучување на тригонометријата бидејќи не го разбираат нејзиното практично значење. Што е синус, косинус, тангента за инженер или астроном? Ова се концепти благодарение на кои можете да го пресметате растојанието до далечни ѕвезди, предвиди пад на метеорит, испрати истражувачка сонда на друга планета. Без нив, невозможно е да се изгради зграда, да се дизајнира автомобил, да се пресмета оптоварувањето на површината или траекторијата на објектот. И ова се само најмногу очигледни примери! На крајот на краиштата, тригонометријата во една или друга форма се користи насекаде, од музика до медицина.

Конечно

Значи ти си синус, косинус, тангента. Можете да ги користите во пресметките и успешно да ги решавате училишните проблеми.

Целата поента на тригонометријата се сведува на фактот дека користејќи ги познатите параметри на триаголникот треба да ги пресметате непознатите. Вкупно има шест параметри: должина тристрани и големини три агли. Единствената разлика во задачите лежи во тоа што се дадени различни влезни податоци.

Сега знаете како да најдете синус, косинус, тангента врз основа на познатите должини на нозете или хипотенузата. Бидејќи овие поими не значат ништо повеќе од однос, а односот е дропка, главна цел тригонометриски проблеме наоѓање на корените на обична равенка или систем на равенки. И тука ќе ви помогне редовната училишна математика.

Во оваа статија ќе покажеме како да дадеме дефиниции за синус, косинус, тангента и котангента на агол и број во тригонометријата. Овде ќе зборуваме за нотации, ќе дадеме примери на записи и ќе дадеме графички илустрации. Како заклучок, да направиме паралела помеѓу дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента во тригонометријата и геометријата.

Навигација на страницата.

Дефиниција на синус, косинус, тангента и котангента

Ајде да видиме како се формира идејата за синус, косинус, тангента и котангента училишен курсматематика. Во лекциите по геометрија, дадена е дефиниција за синус, косинус, тангента и котангента на остар агол во правоаголен триаголник. А подоцна се изучува тригонометријата, која зборува за синус, косинус, тангента и котангента на аголот на ротација и број. Да ги претставиме сите овие дефиниции, да дадеме примери и да ги дадеме потребните коментари.

Остар агол во правоаголен триаголник

Од курсот по геометрија ги знаеме дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента на остар агол во правоаголен триаголник. Тие се дадени како однос на страните на правоаголен триаголник. Да ги дадеме нивните формулации.

Дефиниција.

Синус од остар агол во правоаголен триаголнике односот на спротивната страна со хипотенузата.

Дефиниција.

Косинусот на остар агол во правоаголен триаголнике односот на соседната нога со хипотенузата.

Дефиниција.

Тангента на остар агол во правоаголен триаголник– ова е односот на спротивната страна со соседната страна.

Дефиниција.

Котангенс на остар агол во правоаголен триаголник- ова е односот на соседната страна со спротивната страна.

Таму се воведени и ознаките за синус, косинус, тангента и котангента - sin, cos, tg и ctg, соодветно.

На пример, ако ABC е правоаголен триаголник со прав агол C, тогаш синусот на акутниот агол A е еднаков на односот на спротивната страна BC со хипотенузата AB, односно sin∠A=BC/AB.

Овие дефиниции ви овозможуваат да ги пресметате вредностите на синус, косинус, тангента и котангента на остар агол од познатите должини на страните на правоаголен триаголник, како и од познати вредностинајдете ги должините на другите страни користејќи синус, косинус, тангента, котангента и должината на една од страните. На пример, ако знаевме дека во правоаголен триаголник кракот AC е еднаков на 3, а хипотенузата AB е еднаква на 7, тогаш би можеле да ја пресметаме вредноста на косинусот на акутниот агол A по дефиниција: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Агол на ротација

Во тригонометријата, тие почнуваат да гледаат на аголот пошироко - тие го воведуваат концептот на агол на ротација. Големината на аголот на ротација, за разлика од остриот агол, не е ограничена на 0 до 90 степени, аголот на ротација во степени (и во радијани) може да се изрази со кој било реален број од -∞ до +∞.

Во оваа светлина, дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента се дадени не за остар агол, туку за агол со произволна големина - агол на ротација. Тие се дадени преку x и y координатите на точката A 1, до која оди таканаречената почетна точка A(1, 0) по нејзиното ротирање за агол α околу точката O - почеток на правоаголниот Декартов координатен систем. и центарот на единечниот круг.

Дефиниција.

Синус на агол на ротацијаα е ордината на точката A 1, односно sinα=y.

Дефиниција.

Косинусот на аголот на ротацијаα се нарекува апсциса на точката A 1, односно cosα=x.

Дефиниција.

Тангента на аголот на ротацијаα е односот на ординатата на точката A 1 со нејзината апсциса, односно tanα=y/x.

Дефиниција.

Котангенс на аголот на ротацијаα е односот на апсцисата на точката A 1 со нејзината ордината, односно ctgα=x/y.

Синус и косинус се дефинирани за секој агол α, бидејќи секогаш можеме да ја одредиме апсцисата и ординатата на точката, кои се добиваат со ротирање на почетната точка по агол α. Но тангента и котангента не се дефинирани за ниту еден агол. Тангентата не е дефинирана за аглите α на кои почетната точка оди до точка со нула апсциса (0, 1) или (0, −1), а тоа се случува при агли 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Навистина, при такви агли на ротација, изразот tgα=y/x нема смисла, бидејќи содржи делење со нула. Што се однесува до котангенсот, тој не е дефиниран за аглите α на кои почетната точка оди до точката со нулта ордината (1, 0) или (−1, 0), а тоа се случува за аглите 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Значи, синус и косинус се дефинирани за сите агли на ротација, тангента е дефинирана за сите агли освен 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), а котангента е дефинирана за сите агли освен 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Дефинициите ги вклучуваат ознаките што веќе ни се познати sin, cos, tg и ctg, тие се користат и за означување на синус, косинус, тангента и котангента на аголот на ротација (понекогаш можете да ги најдете ознаките tan и cot што одговараат на тангента и котангента) . Значи синусот на аголот на ротација од 30 степени може да се запише како sin30°, записите tg(−24°17′) и ctgα одговараат на тангентата на аголот на ротација −24 степени 17 минути и котангента на аголот на ротација α . Потсетете се дека кога се пишува радијанска мерка на агол, ознаката „рад“ често се испушта. На пример, косинус на агол на ротација од три pi rad обично се означува cos3·π.

Како заклучок на оваа точка, вреди да се напомене дека кога се зборува за синус, косинус, тангента и котангента на аголот на ротација, често се испушта фразата „агол на ротација“ или зборот „ротација“. Односно, наместо фразата „синус на аголот на ротација алфа“, обично се користи фразата „синус на алфа аголот“ или, уште пократко, „синус алфа“. Истото важи и за косинус, тангента и котангента.

Исто така, ќе кажеме дека дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента на остар агол во правоаголен триаголник се конзистентни со дефинициите штотуку дадени за синус, косинус, тангента и котангента на агол на ротација што се движи од 0 до 90 степени. Ова ќе го оправдаме.

Броеви

Дефиниција.

Синус, косинус, тангента и котангента на број t е бројот еднаков на синус, косинус, тангента и котангента на аголот на ротација во t радијани, соодветно.

На пример, косинус на бројот 8 π по дефиниција е бројот еднакво на косинусагол од 8·π rad. А косинусот на аголот е 8 π rad еднаков на еден, значи, косинусот на бројот 8·π е еднаков на 1.

Постои уште еден пристап за одредување на синус, косинус, тангента и котангента на број. Се состои во тоа што секој реален број t се доделува на точка на единечната кружница со центар на почетокот правоаголен системкоординати, а синус, косинус, тангента и котангента се одредуваат преку координатите на оваа точка. Ајде да го разгледаме ова подетално.

Да покажеме како се воспоставува кореспонденција помеѓу реалните броеви и точките на кругот:

• на бројот 0 му се доделува почетна точка A(1, 0);
• позитивен број t е поврзана со точката на единечната кружница до која ќе дојдеме ако се движиме по кругот од почетната точка во спротивна насока од стрелките на часовникот и да одиме по патекатадолжина t;
• негативен број t се поврзува со точката на единечната кружница, до која ќе дојдеме ако се движиме по кругот од почетната точка во насока на стрелките на часовникот и одиме по патека со должина |t| .

Сега преминуваме на дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента на бројот t. Да претпоставиме дека бројот t одговара на точка на кругот A 1 (x, y) (на пример, бројот &pi/2; одговара на точката A 1 (0, 1) ).

Дефиниција.

Синус на бројот t е ордината на точката на единечната кружница што одговара на бројот t, односно sint=y.

Дефиниција.

Косинусот на бројот t се нарекува апсциса на точката на единечниот круг што одговара на бројот t, односно чинење=x.

Дефиниција.

Тангента на бројот t е односот на ординатата и апсцисата на точка на единечната кружница што одговара на бројот t, односно tgt=y/x. Во друга еквивалентна формулација, тангентата на бројот t е односот на синусот на овој број со косинусот, односно tgt=sint/cost.

Дефиниција.

Котангенс на бројот t е односот на апсцисата со ординатата на точка на единечната кружница што одговара на бројот t, односно ctgt=x/y. Друга формулација е оваа: тангента на бројот t е односот на косинус на бројот t со синусот на бројот t: ctgt=cost/sint.

Овде забележуваме дека штотуку дадените дефиниции се конзистентни со дефиницијата дадена на почетокот на овој став. Навистина, точката на единечниот круг што одговара на бројот t се совпаѓа со точката добиена со ротирање на почетната точка за агол од t радијани.

Сè уште вреди да се разјасни оваа точка. Да речеме дека го имаме записот sin3. Како можеме да разбереме дали зборуваме за синус на бројот 3 или за синус на аголот на ротација од 3 радијани? Ова обично е јасно од контекстот, во во спротивноова најверојатно не е од фундаментално значење.

Тригонометриски функции на аголен и нумерички аргумент

Според податоците во претходниот ставдефиниции, секој агол на ротација α одговара целосно специфична вредност sinα е иста со вредноста на cosα. Дополнително, сите агли на ротација различни од 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) одговараат на вредностите tgα и вредностите кои не се 180°k, k∈Z (πk rad ) – вредности на ctgα. Затоа sinα, cosα, tanα и ctgα се функции на аголот α. Со други зборови, ова се функции на аголниот аргумент.

Слично, можеме да зборуваме за функциите синус, косинус, тангента и котангента нумерички аргумент. Навистина, секој реален број t одговара на многу специфична вредност sint, како и на трошоците. Покрај тоа, сите броеви освен π/2+π·k, k∈Z одговараат на вредностите tgt, а броевите π·k, k∈Z - вредности ctgt.

Функциите синус, косинус, тангента и котангенс се нарекуваат основни тригонометриски функции.

Обично од контекстот е јасно дали имаме работа со тригонометриски функции на аголен аргумент или нумерички аргумент. Во спротивно, независната променлива можеме да ја замислиме и како мерка на аголот (аголен аргумент) и како нумерички аргумент.

Меѓутоа, на училиште главно проучуваме нумерички функции, односно функции чии аргументи, како и нивните соодветни функционални вредности се броеви. Затоа, ако ние зборуваме заКонкретно за функциите, препорачливо е да се земат предвид тригонометриските функции како функции на нумерички аргументи.

Врска помеѓу дефинициите од геометријата и тригонометријата

Ако го земеме предвид аголот на ротација α кој се движи од 0 до 90 степени, тогаш дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента на аголот на ротација во контекст на тригонометријата се целосно конзистентни со дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента на остар агол во правоаголен триаголник, кои се дадени во курсот по геометрија. Да го оправдаме ова.

Ајде да го прикажеме во правоаголна форма Декартов системкоординати Окси единица круг. Да ја означиме почетната точка A(1, 0) . Да го ротираме за агол α кој се движи од 0 до 90 степени, добиваме точка A 1 (x, y). Да ја спуштиме нормалната A 1 H од точката A 1 до оската Ox.

Лесно е да се види дека во правоаголен триаголник агол A 1 OH еднаков на аголотротација α, должината на кракот OH во непосредна близина на овој агол е еднаква на апсцисата на точката A 1, односно |OH|=x, должината на кракот A 1 H спроти аголот е еднаква на ординатата на точка A 1, односно |A 1 H|=y, а должината на хипотенузата OA 1 е еднаква на една, бидејќи е радиусот на единечната кружница. Тогаш, по дефиниција од геометријата, синусот на остар агол α во правоаголен триаголник A 1 OH е еднаков на односот на спротивната катета со хипотенузата, односно sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. И по дефиниција од тригонометријата, синусот на аголот на ротација α е еднаков на ординатата на точката A 1, односно sinα=y. Ова покажува дека одредувањето на синусот на остар агол во правоаголен триаголник е еквивалентно на одредувањето на синусот на аголот на ротација α кога α е од 0 до 90 степени.

Слично, може да се покаже дека дефинициите за косинус, тангента и котангента на остар агол α се конзистентни со дефинициите за косинус, тангента и котангента на аголот на ротација α.

Библиографија.

1. Геометрија. 7-9 одделение: тетратка за општо образование институции / [Л. С. Атанасјан, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, итн.]. - 20-ти изд. М.: Образование, 2010. - 384 стр.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Погорелов А.В.Геометрија: Учебник. за 7-9 одделение. општо образование институции / А. В. Погорелов. - 2-ри изд - М.: Образование, 2001. - 224 стр.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Алгебра и елементарни функции : Упатствоза учениците од 9-то одделение средно школо/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Изменето од доктор по физичко-математички науки О. Н. Головин - 4-то издание. М.: Образование, 1969 година.
4. Алгебра:Тетратка за 9-то одделение. просечно училиште/Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Ед. S. A. Telyakovsky - М.: Образование, 1990. - 272 стр.: ISBN 5-09-002727
5. Алгебраи почеток на анализа: Проц. за 10-11 одделение. општо образование институции / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn и други; Ед. А. Н. Колмогоров - 14-то издание - М.: Образование, 2004. - 384 стр.
6. Мордкович А.Г.Алгебра и почетоците на анализата. Одделение 10. На 2 стр. Дел 1: упатство за образовните институции (ниво на профил)/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4. изд., додај. - М.: Мнемозина, 2007. - 424 стр.: илустрација. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Алгебраи започна математичка анализа. 10-то одделение: учебник. за општо образование институции: основни и профил. нивоа /[Ју. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; Изменето од А.Б. Жижченко. - 3-то издание. - I.: Образование, 2010.- 368 стр.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Башмаков М.И.Алгебра и почетоците на анализата: Учебник. за 10-11 одделение. просечно училиште - 3-то издание. - М .: Образование, 1993. - 351 стр.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта): Проц. додаток.- М.; Повисоко училиште, 1984.-351 стр., ил.