ಬೆಲಾರಸ್ ಗಣರಾಜ್ಯದ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಚಿವಾಲಯ
ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆ
"ಗೋಮೆಲ್ ರಾಜ್ಯ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಅವರು. ಎಫ್. ಸ್ಕೋರಿನಾ"
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿ
ಎಂಪಿಎಂ ಇಲಾಖೆ
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕೆಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಕಲಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು
ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಾಹಕ:
ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಸ್ಟಾರೊಡುಬೊವಾ A.Yu.
ಕ್ಯಾಂಡ್. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನ, ಅಸೋಸಿಯೇಟ್ ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ಲೆಬೆಡೆವಾ ಎಂ.ಟಿ.
ಗೋಮೆಲ್ 2007
ಪರಿಚಯ
1 ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಗಳು ಮತ್ತು ಅವರ ಅಧ್ಯಯನದ ಹಂತಗಳು. ರೂಪಾಂತರಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಹಂತಗಳು
ತೀರ್ಮಾನ
ಸಾಹಿತ್ಯ
ಪರಿಚಯ
ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳ ಸರಳ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಮತ್ತು 5 ಮತ್ತು 6 ನೇ ತರಗತಿಗಳು. ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳ ರಚನೆಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. ಇದು ನಡೆಸಲ್ಪಡುತ್ತಿರುವ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ವೈವಿಧ್ಯತೆಯ ತೀವ್ರ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುವ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ, ಗುರುತಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರ, ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರ.
1. ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಗಳು ಮತ್ತು ಅವರ ಅಧ್ಯಯನದ ಹಂತಗಳು. ರೂಪಾಂತರಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಹಂತಗಳು
1. ಬೀಜಗಣಿತದ ಆರಂಭ
ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅವಿಭಜಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸೂತ್ರದ ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಲ್ಲಿ ನಿರರ್ಗಳತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದು, ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು.
ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:
ಎ) ; ಬಿ) ; ವಿ)
ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರ (ಎ); ಸಮಾನ ಮತ್ತು ಒಂದೇ (ಬಿ).
2. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಲ್ಲಿ ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ರಚನೆ
ತೀರ್ಮಾನಗಳು: ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು; ಘಾತೀಯತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ರೂಪಾಂತರಗಳು; ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿವಿಧ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ರೂಪಾಂತರಗಳು.
ಸಂಸ್ಥೆ ಇಡೀ ವ್ಯವಸ್ಥೆರೂಪಾಂತರಗಳು (ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆ)
ವಿವಿಧ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯುತ ಸಾಧನವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಗಳು . ಈ ಹಂತಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಅಂತಿಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ ತಿಳಿದಿರುವ ವಸ್ತುಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಕಲಿತರು, ಮೂಲಕ ಕೆಲವು ವಿಧಗಳುರೂಪಾಂತರಗಳು ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಪ್ರಕಾರಗಳಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು "ಬೀಜಗಣಿತ" ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು; "ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ" ರೂಪಾಂತರಗಳು ವಿಭಿನ್ನತೆ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣದ ನಿಯಮಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಹಾದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕಾರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಗಳಲ್ಲಿನ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳು (ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು) ಮೂಲಕ ಚಲಿಸುವ ಗುಂಪಿನ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.
ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
I - ಸಂಕ್ಷೇಪಿತ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತುಗಳು ಮತ್ತು ಗುರುತುಗಳು
ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಜಾತ್ರೆ.
II - ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಗುರುತುಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳುಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು.
2 ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಘಟನೆಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು
ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಘಟಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ತತ್ವವೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳದಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವುದು.
ವ್ಯಾಯಾಮ ಚಕ್ರ- ಅಧ್ಯಯನದ ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಯಾಮದ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು. ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ವ್ಯಾಯಾಮದ ಚಕ್ರವು ಒಂದು ಗುರುತಿನ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಇತರ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.ಚಕ್ರವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಾಹಕ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಗುರುತಿನ ಅನ್ವಯದ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುರುತನ್ನು ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಚಕ್ರದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. TO ಪ್ರಥಮಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಚಯದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಇವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಅವರು ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸುತ್ತಾರೆ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವಸ್ತುಒಂದು ವಿಷಯದ ಮೂಲಕ ಒಂದಾದ ಹಲವಾರು ಸತತ ಪಾಠಗಳಿಗಾಗಿ.
ಎರಡನೇ ಗುಂಪುವ್ಯಾಯಾಮಗಳು ವಿವಿಧ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿರುವ ಗುರುತನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಂಪು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಏಕತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ - ಇಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು ವಿವಿಧ ವಿಷಯಗಳ ಮೇಲೆ ಹರಡಿಕೊಂಡಿವೆ.
ವಿವರಿಸಿದ ಚಕ್ರ ರಚನೆಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಹಂತವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ.
ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಚಕ್ರಗಳು ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ, ವಿವಿಧ ಗುರುತುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಚಕ್ರಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ವಿಲೀನದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುರುತಿನ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಗುರುತಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಚಕ್ರ:
ನಾನು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪು:
ಎ) ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ:
ಬಿ) ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:
ಸಿ) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಆವರಣವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ:
.
ಡಿ) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:
ಇ) ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸು:
ಎಫ್) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:
.
ಗುರುತಿನ ಸೂತ್ರೀಕರಣ, ಗುರುತಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅದರ ಬರವಣಿಗೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪುರಾವೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈಗಷ್ಟೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದಾರೆ.
ಕಾರ್ಯ ಎ) ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಗುರುತಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ಗಳು(ಗುರುತಿನ ಚಿಹ್ನೆ ರಚನೆಗಳ ಹೋಲಿಕೆ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ; ಗುರುತಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಕ್ಷರದ ಬದಲಿ). IN ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಅದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಜಾತಿಗಳಿಗೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು ಇನ್ನೂ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ (ಇ ಮತ್ತು ಜಿ) ಉಂಟಾಗುವ ತೊಡಕು ಇದೆ ಅನ್ವಯಿಕ ಪಾತ್ರಚಿಹ್ನೆಯ ರಚನೆಯ ಗುರುತು ಮತ್ತು ತೊಡಕು.
ಬಿ) ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಬದಲಿ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ 
ಮೇಲೆ . ಕಾರ್ಯದ ಪಾತ್ರ ಸಿ) ಹೋಲುತ್ತದೆ.
ಮಾದರಿ d ನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು), ಇದರಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರದ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ, ಈ ಕಲ್ಪನೆಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ.
ಗ್ರೂಪ್ I ಕಾರ್ಯಗಳು ಗುರುತಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದರ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿವೆ, ಸರಳವಾದ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಪ್ರಮುಖ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಮತ್ತು ಗುರುತಿನ ಮೂಲಕ ನಡೆಸಲಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಹಿಮ್ಮುಖತೆಯ ಕಲ್ಪನೆ. ತುಂಬಾ ಪ್ರಮುಖಪುಷ್ಟೀಕರಣವನ್ನೂ ಹೊಂದಿದೆ ಭಾಷಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಅರ್ಥತೋರಿಸುತ್ತಿದೆ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳುಗುರುತುಗಳು. ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಯ ಪಠ್ಯಗಳು ಈ ಅಂಶಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.
II ಗುಂಪು ಕಾರ್ಯಗಳು.
g) ಗಾಗಿ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸುವುದು , ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಅಂಶ .
h) ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ನಿವಾರಿಸಿ.
i) ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರೆ - ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.
j) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ
.
ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು: , .
ಕೆ) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 
.
ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬಳಕೆಮತ್ತು ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುರುತಿನ ನಿಶ್ಚಿತಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸುವಲ್ಲಿ ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿ. ಗುರುತಿನ ವಿವಿಧ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಆಳಗೊಳಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ ವಿವಿಧ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳು, ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಇತರ ವಿಷಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಸ್ತುಗಳ ಬಳಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಅಥವಾ 
.
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಗುರುತುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಾರ್ಯ ಚಕ್ರಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು:
1) ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಸ್ತುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ;
2) ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನ ಗುರುತುಗಳು ನಂತರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಈಗಾಗಲೇ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಚಕ್ರದಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಈ ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲ ಪ್ರದೇಶದ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:
;
.
ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದ್ದೇಶವು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ದಾಖಲೆಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಸದುಪಯೋಗಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಭಾಷಣ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವುದು.
ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಳಕೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಹಂತಗಳ ಅನುಕ್ರಮ:
a) ಇದಕ್ಕಾಗಿ φ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ f(x)=0 ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:
b) y=φ(x) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
c) ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ φ(x)=y k, ಇಲ್ಲಿ y k ಎಂಬುದು F(y)=0 ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.
ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, φ(x) ಗಾಗಿ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸದೆಯೇ ಹಂತ ಬಿ) ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೊತೆಗೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತಾರೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಉತ್ತರವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ವೇಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾರಣವಾಗುವ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆ. 4 x -3*2=0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
2)(2 2) x -3*2 x =0 (ಹಂತ a)
(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2 x -3=0. (ಹಂತ ಬಿ)
ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:
a) 2 2x -3*2 x +2=0;
ಬಿ) 2 2x -3*2 x -4=0;
ಸಿ) 2 2x -3*2 x +1=0.
(ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂಚಿಸಿ.)
ಸೇರಿದಂತೆ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಚಕ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ:
1) x =y 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ತಗ್ಗಿಸುವ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು:
2) a x = a k ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ತಗ್ಗಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಅಲ್ಲಿ k ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಅಥವಾ a x = b, ಅಲ್ಲಿ b≤0.
3) x =y 0 ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ತಗ್ಗಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ y 0 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾದ ರೂಪ.
ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳುಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವಾಗ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
a) y= ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡಿ;
b) lgx+lg(x-3)=1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
ಸಿ) ಯಾವ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಫಾರ್ಮುಲಾ ಲಾಗ್(x-5)+ ಲಾಗ್(x+5)= ಲಾಗ್(x 2 -25) ಗುರುತಾಗಿದೆ?
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಬಳಕೆ. (ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಅಟ್ ಸ್ಕೂಲ್, ನಂ. 4, 1983, ಪುಟ 45)
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ಕಾರ್ಯವನ್ನು y=0.3x 2 +4.64x-6 ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. x=1.2 ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
y(1,2)=0.3*1.2 2 +4.64*1.2-6=1.2(0.3*1.2+4.64)-6=1.2(0 .36+4.64)-6=1.2*5-6=0.
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಕಾಲಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ, ಅದರ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಉದ್ದವು 3.6 ಸೆಂ.ಮೀ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಕಾಲು 2.16 ಸೆಂ.ಮೀ.
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 3. ಕಥಾವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರದೇಶ ಯಾವುದು ಆಯತಾಕಾರದ ಆಕಾರ, ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ a) 0.64 m ಮತ್ತು 6.25 m; b) 99.8m ಮತ್ತು 2.6m?
a)0.64*6.25=0.8 2 *2.5 2 =(0.8*2.5) 2;
b)99.8*2.6=(100-0.2)2.6=100*2.6-0.2*2.6=260-0.52.
ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಳಕೆಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ರೂಪಾಂತರದ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಬೇಕು (ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ).
| |
- ಬಹುಪದದ ಚಿತ್ರ, ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದವು ಸುತ್ತಿನ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. (ರೇಖಾಚಿತ್ರ 1)
-
ಏಕಪದದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. (ಯೋಜನೆ 2)
-
ಇಲ್ಲಿ ಛಾಯೆಗಳು ಸಮಾನ ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. (ಸ್ಕೀಮ್ 3)
| |
| |
- ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ.
ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಬಹುದು:
ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು:
2) 
3) 0.7a 2 +0.2b 2 ;
5) 6,3*0,4+3,4*6,3;
6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ;
7) 0,21+0,22+0,23.
ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ತೃಪ್ತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಒಂದು ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಲು ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸೂಕ್ತವಾಗಿವೆ:
ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ:
ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರ 4 ರಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ:
4) 2a*a 2 *a 2;
5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;
8) 15ab 2 +5a 2 b;
10) 12,4*-1,24*0,7;
11) 4,9*3,5+1,7*10,5;
12) 10,8 2 -108;
13) 
14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;
15) 2*3 4 -3*2 4 +6;
18) 3,2/0,7-1,8*
"ಒಂದೇ ರೂಪಾಂತರ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವಾಗ, ರೂಪಾಂತರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನೀಡಿದ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅಕ್ಷರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು. ಆದರೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಸ್ಕೀಮ್ 5 (ಮೊನೊಮಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ನಿಯಮ) ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು
0.5a(b+c) ಅಥವಾ 3.8(0.7+).
ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು:
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:
a) 4.59*0.25+1.27*0.25+2.3-0.25;
b) a=0.96 ನಲ್ಲಿ a+bc; b=4.8; c=9.8
c) a(a+c)-c(a+b) ಜೊತೆಗೆ a=1.4; b=2.8; c=5.2.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿನ ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸೋಣ. (ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಅಟ್ ಸ್ಕೂಲ್, ನಂ. 5, 1984, ಪುಟ 30)
1) ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ರಚನೆಯು ಜಾಗೃತ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಂಭವಿಸಿದರೆ ( ನೀತಿಬೋಧಕ ತತ್ವಪ್ರಜ್ಞೆ).
1) ಛೇದಕಗಳು ಅಥವಾ ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ನೀವು ನಿಯಮವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಸಮಾನ ಷೇರುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.
2) ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವಾಗ, ಇದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಮುಖ್ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕತದನಂತರ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ. ಮೊದಲ ವ್ಯಾಯಾಮವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ಬಹುಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವು ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:
3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2.
ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಏಕಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆದಾಗ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ:
II. ಮೊದಲ ಹಂತಕೌಶಲ್ಯದ ರಚನೆ - ಕೌಶಲ್ಯದ ಪಾಂಡಿತ್ಯ (ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಗಳುಮತ್ತು ದಾಖಲೆಗಳು)
(ಚಿಹ್ನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ)
ಎರಡನೇ ಹಂತ- ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತಗೊಳಿಸುವ ಹಂತ
III. ವಿಷಯ ಮತ್ತು ರೂಪ ಎರಡರಲ್ಲೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ಬಲವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವಿಷಯ: "ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಆವರಣದಿಂದ ಹೊರಗೆ ಹಾಕುವುದು."
1. ಬಹುಪದದ ಬದಲಿಗೆ ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:
2. ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡಿ ಆದ್ದರಿಂದ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಮೊದಲು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ ಇರುತ್ತದೆ:
3. ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್:
4. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:
IV. ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಅಥವಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿದಾಗ ಕೌಶಲ್ಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ.
(ಮೌಖಿಕವಾಗಿ);
ವಿ. ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳು ಹಿಂದೆ ರೂಪುಗೊಂಡ ಜ್ಞಾನ, ಕೌಶಲ್ಯ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭಾಗವಾಗಿರಬೇಕು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಸುವಾಗ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿ:
VI. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮರಣದಂಡನೆಯ ಅಗತ್ಯತೆ.
ವಿ)ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:
ವೈಚಾರಿಕತೆಯು ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆಯುವುದರಲ್ಲಿ ಅಡಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ
VII. ಘಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು.
ಸಂಖ್ಯೆ 1011 (Alg.9) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:
ಸಂಖ್ಯೆ 1012 (Alg.9) ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುಣಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ:
ಸಂಖ್ಯೆ 1013 (Alg.9) ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ:
ಸಂಖ್ಯೆ 1014 (Alg.9) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:
ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಮೊದಲು ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶದ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ ಅಥವಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಡಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು "ನೋಡಿ".
ಸಂಖ್ಯೆ 1015 (Alg.9) ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ:
ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತಾರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ:
ಆದ್ದರಿಂದ, ರೂಪದ ವಿವರವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ ಅಥವಾ 
ಅಥವಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಗೆ ಹೋಗಿ.
ಸಂಖ್ಯೆ 1018 (Alg.9) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
ಸಂಖ್ಯೆ 1019 (Alg.9) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:
2.285 (ಸ್ಕನವಿ) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ
ತದನಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ ವೈಫಾರ್
ಸಂ. 2.299 (ಸ್ಕನವಿ) ಸಮಾನತೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:
ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರವು ಬಹುಪದಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ ಕೌಶಲ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ.
ಸಂ. 2.320 (ಸ್ಕನವಿ) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:
ಬೀಜಗಣಿತ 7 ಕೋರ್ಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.
ಡೆಫ್. ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಡೆಫ್. ಎಂಬ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಗುರುತು.
ಸಂಖ್ಯೆ 94 (Alg.7) ಸಮಾನತೆ:
a) 
ಸಿ) 
d) 
ವಿವರಣೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಾನವಾದ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವುದನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಂ. (Alg.7) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ
ಒಂದೇ ಸಮನಾದವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ವಿಷಯ: "ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು" (ಪ್ರಶ್ನೆ ತಂತ್ರ)
"ಬೀಜಗಣಿತ -7" ನ ಮೊದಲ ವಿಷಯ - "ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು" 5-6 ಶ್ರೇಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳುವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ಗೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಔಪಚಾರಿಕ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು 5-6 ಶ್ರೇಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಿದ ಅದೇ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಏರುತ್ತಾರೆ. "ಒಂದೇ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು", "ಗುರುತು", "ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೂಪಾಂತರಗಳು" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ವಿವಿಧ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಅದರ ವಿಷಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬಹಿರಂಗಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಳವಾಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು. ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಆಧಾರವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳಲಾಗಿದೆ.
"ಬಹುಪದಗಳು" ಎಂಬ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಮುಂದಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುತ್ತವೆ; ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಬಹುಪದಗಳ ಅಪವರ್ತನ ಎರಡಕ್ಕೂ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. , ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳು.
8 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ವರ್ಗ ಮೂಲಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು.
ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ತಂತ್ರಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ.
ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವಿಶೇಷ ಗುಂಪು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳುಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು.
7-9 ಶ್ರೇಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ಗೆ ಕಡ್ಡಾಯ ಕಲಿಕೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸೇರಿವೆ:
1) ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳು
a) ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚುವುದು;
ಬಿ) ಇದೇ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ತರುವುದು;
ಸಿ) ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ, ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ;
ಡಿ) ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದು;
ಇ) ವಿಭಜನೆ ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಗುಣಕಗಳಿಂದ.
"ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತ" (B.U.M.) p.110
2) ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು: ಸೇರ್ಪಡೆ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವಿಭಜನೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಸರಳ ಸಂಯೋಜಿತ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ [ಪು. 111]
3) ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪದವಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. (ಪುಟ 111-112)
ಮುಖ್ಯ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಗುರಿಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ.
1) 
- ಸರಳೀಕರಣ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು
2) ಯಾವ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು: (1) 
ಅಥವಾ (2) ಈ ಆಯ್ಕೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಒಂದು ಪ್ರೇರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಆದ್ಯತೆ (1), ಏಕೆಂದರೆ (2) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ)
3) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:
ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಅಪವರ್ತನ.
4) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:
ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:
(101-1) (101+1)=100102=102000
5) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:
ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಪ್ರತಿ ಭಾಗವನ್ನು ಅದರ ಸಂಯೋಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ:
6) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡಿ:
ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ: .
ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ದೋಷಗಳ ತಡೆಗಟ್ಟುವಿಕೆ ಅವುಗಳ ಅನುಷ್ಠಾನದ ವಿವಿಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, "ಸಣ್ಣ" ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಘಟಕಗಳಾಗಿ, ದೊಡ್ಡ ರೂಪಾಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದೇಶನಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು: ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರ; ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ - ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ. ಎಡಬದಿಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.
ವಿಭಿನ್ನ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು ಗುರುತುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕ್ಷಮೆ.
ಮುಂದಿನ ತಂತ್ರವು ಗುರುತುಗಳ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ.
ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು, ನಾವು ಹುಡುಕುವಿಕೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹರಿಸುವ.
ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಪಾಠಗಳನ್ನು ನೀವು ವಿನಿಯೋಗಿಸಿದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿಕರವಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದೆ .
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 1) ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ:
3) "ಸಂಕೀರ್ಣ ರಾಡಿಕಲ್" ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:
-
ಸಂಯೋಜಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತ. ಅವುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ನಮ್ಮನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆ, ಅದರ ಛೇದವು ರಾಡಿಕಲ್ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.
ಗುರುತಿನ ಮೊದಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಬಹುದು:
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪಾಠ №3.
ವಿಷಯ: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು (ಪ್ರಶ್ನೆ ತಂತ್ರ).
ಸಾಹಿತ್ಯ: "ಎಂಪಿಎಂನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಗಾರ", ಪುಟಗಳು 87-93.
ಸಹಿ ಮಾಡಿ ಉನ್ನತ ಸಂಸ್ಕೃತಿವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಘನ ಜ್ಞಾನನಿಖರವಾದ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕೌಶಲ್ಯಪೂರ್ಣ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್; ತರ್ಕಬದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳುಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಶೀಲನೆ; ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ, ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ದೋಷ-ಮುಕ್ತ ಮರಣದಂಡನೆಯ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು.
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಯಾವ ದರ್ಜೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು?
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಾಲು ತಂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ತಂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. (5 ನೇ ತರಗತಿ)
ಅಂತಹ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಶಾಲೆಯ ಕೋರ್ಸ್ಅವರಿಗೆ ಗಣಿತವನ್ನು ನೀಡಬೇಕು ವಿಶೇಷ ಗಮನ!
ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಪ್ರಜ್ಞಾಪೂರ್ವಕ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯಿಂದ ಸುಗಮಗೊಳಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿ, ಅವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ದಾಖಲೆಗಳಾಗಿವೆ. ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳು (ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು) ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿವೆ; ಬೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದನ್ನು ತಡೆಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿಷಯವಲ್ಲ; ಅವುಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೋರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
1-5 ಶ್ರೇಣಿಗಳ ಗಣಿತ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರೊಪೆಡ್ಯೂಟಿಕ್ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ.
7ನೇ ತರಗತಿಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ. ಗುರುತು ಮತ್ತು ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಡೆಫ್.ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ODA. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿರುವ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಗುರುತಿನ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
ಡೆಫ್.ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಾನವಾದ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು.
ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಆಧಾರವನ್ನು ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.
ODA. ಎರಡು ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇನ್ನೊಂದರ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನ.
ODA. ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ವಾಕ್ಯವನ್ನು A ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸ್ಥಿರ B ಯೊಂದಿಗಿನ ವಾಕ್ಯದ ಪರಿಣಾಮ, ಸತ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಬಿ ಸತ್ಯದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ.
ಸಮಾನ ವಾಕ್ಯಗಳ ಇನ್ನೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು: ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಎರಡು ವಾಕ್ಯಗಳು ಅವುಗಳ ಸತ್ಯದ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
a) B: x-1=0 ಮೇಲೆ R; A: (x-1) 2 ಮೇಲೆ R => A~B, ಏಕೆಂದರೆ ಸತ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು (ಪರಿಹಾರ) ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (x=1)
b) A: x=2 ಮೇಲೆ R; B: x 2 =4 ಮೇಲೆ R => ಸತ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ A: x = 2; ಸತ್ಯ ಡೊಮೇನ್ ಬಿ: x=-2, x=2; ಏಕೆಂದರೆ A ಯ ಸತ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ B ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ: x 2 =4 ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ x = 2 ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.
ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಆಧಾರವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವಾಗಿದೆ ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
-
"ಭಿನ್ನಾಂಶಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು" ಎಂಬ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತವೆ: "ಎ = 0.5, ಬಿ = 2/3 ನೊಂದಿಗೆ 2a 3 +3ab+b 2 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ," ಇದನ್ನು ಗ್ರೇಡ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. 5 ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರೊಪೆಡ್ಯೂಟಿಕ್ಸ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ.
ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ನೀವು ಅವರ ಆಳವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಬಲವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:
| |
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)
ಪ್ರಶ್ನೆ: ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಸೂತ್ರಗಳ ಸಾರವನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ವಿವರಿಸುವುದು?
"ಮೊತ್ತದ ಚೌಕ" ಮತ್ತು "ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತ" ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪು. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಶಿಕ್ಷಕರ ಸೂಚನೆಯು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಫಲಿತಾಂಶವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ.
ನಿಯೋಜನೆ: ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ದೋಷಗಳಿಲ್ಲದೆ ಬಳಸುವಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಮೌಖಿಕ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಈ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಹೇಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಹೇಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು?
ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಓರಿಯಂಟ್ ಮಾಡಲು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಉದ್ದೇಶದ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಜ್ಞಾನ (ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣ) ಅವರ ಅರಿವಿನ ಮೇಲೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ, ಮೂಲವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಬೃಹತ್ ದೋಷಗಳುವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು. ವಿವಿಧ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಗುರಿಗಳನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ವಿವರಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವಾಗಿದೆಅವುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು.
ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಪ್ರೇರಣೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
1. ಸ್ಥಳದ ಸರಳೀಕರಣ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು;
2. ಮೂಲ ನಷ್ಟಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗದ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಆರಿಸುವುದು;
3. ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಅದರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು;
4. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಬಳಕೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 99 2 -1=(99-1)(99+1);
ನಿರ್ಧಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಮಾಡಿದ ತಪ್ಪಿನ ಸಾರವನ್ನು ನಿಖರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಹೊಂದಿರುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಿಖರವಾದ ದೋಷ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಪ್ರಮುಖವಾಗಿದೆ ಸರಿಯಾದ ಆಯ್ಕೆಶಿಕ್ಷಕರು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಂತರದ ಕ್ರಮಗಳು.
ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ತಪ್ಪುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
1. ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು: ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ -54abx 6 (7 ಕೋಶಗಳು) ಪಡೆದರು;
2. ಪವರ್ (3x 2) 3 ಗೆ ಏರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ 3x 6 (7 ಗ್ರೇಡ್‌ಗಳು) ಪಡೆದರು;
3. (m + n) 2 ಅನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು m 2 + n 2 (7 ನೇ ತರಗತಿ) ಪಡೆದರು;
4. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ (8 ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು);
5. ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು: 
, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಬರೆಯುತ್ತಾನೆ (8 ನೇ ತರಗತಿ)
6. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ: 
(8 ಶ್ರೇಣಿಗಳು);
7. ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು x-1 (ಗ್ರೇಡ್ 9) ಪಡೆದರು;
8. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (9 ನೇ ತರಗತಿ);
9. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾನೆ: (9 ನೇ ತರಗತಿ).
ತೀರ್ಮಾನ
ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮೊದಲಿಗೆ, ರೂಪಾಂತರದ ಪ್ರತಿ ಹಂತವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ಅನ್ವಯವಾಗುವ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ನೀವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯನ್ನು ಕೇಳಬೇಕು.
ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಪರ್ಯಾಯ ಮತ್ತು ಸಮಾನದಿಂದ ಬದಲಿ. ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. a=5 ಮತ್ತು b=-3 ನೊಂದಿಗೆ a*b ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಆಗಾಗ್ಗೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ ಆವರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತಾರೆ, ಗುಣಾಕಾರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ನಮೂದು ಸಾಧ್ಯ: 5*-3.
ಸಾಹಿತ್ಯ
1. ಎ.ಐ. ಅಜರೋವ್, ಎಸ್.ಎ. ಬಾರ್ವೆನೋವ್ “ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿಧಾನಗಳುಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು”, Mn..Aversev, 2004
2. O.N. ಪಿರ್ಯುಟ್ಕೊ “ವಿಶಿಷ್ಟ ತಪ್ಪುಗಳು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಪರೀಕ್ಷೆ", Mn..Aversev, 2006
3. ಎ.ಐ. ಅಜರೋವ್, ಎಸ್.ಎ. ಬಾರ್ವೆನೋವ್ "ಟ್ರ್ಯಾಪ್ ಟಾಸ್ಕ್ ಇನ್ ಸೆಂಟ್ರಲೈಸ್ಡ್ ಟೆಸ್ಟಿಂಗ್", Mn..Aversev, 2006
4. ಎ.ಐ. ಅಜರೋವ್, ಎಸ್.ಎ. ಬಾರ್ವೆನೋವ್ “ಪರಿಹಾರದ ವಿಧಾನಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು", Mn..Aversev, 2005
ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ವಿವಿಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಏಕಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪ್ರಮುಖ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
ಏಕಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಬಹುಪದದ ಪದಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳೆಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಏಕಪದವನ್ನು ಒಂದು ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದು.
ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಏಕಪದಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ ಪ್ರಮಾಣಿತ ನೋಟ:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
ಫಲಿತಾಂಶವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಏಕಪದಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳು.
ಹಿಂದೆ ಬಹುಪದದ ಪದವಿಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವು ಅದರ ಸದಸ್ಯರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ದ್ವಿಪದವು \(12a^2b - 7b\) ಮೂರನೇ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ \(2b^2 -7b + 6\) ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ಪದಗಳು ಘಾತಾಂಕಗಳ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
ಹಲವಾರು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು (ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು).
ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಹುಪದದ ಪದಗಳನ್ನು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಗುಂಪನ್ನು ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಆವರಣಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚುವುದು ತೆರೆಯುವ ಆವರಣಗಳ ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವ ನಿಯಮಗಳು:
ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಮುಂದೆ “+” ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪದಗಳನ್ನು ಅದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಮುಂದೆ “-” ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪದಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಏಕಪದ ಮತ್ತು ಬಹುಪದದ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪಾಂತರ (ಸರಳೀಕರಣ).
ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಏಕಪದ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು (ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು). ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
ಏಕಪದ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಏಕಪದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಬಹುಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಯಮದಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಏಕಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಆ ಏಕಪದವನ್ನು ಬಹುಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು.
ಮೊತ್ತದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ.
ಬಹುಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ. ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪಾಂತರ (ಸರಳೀಕರಣ).
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎರಡು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಪದದ ಪ್ರತಿ ಪದದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಒಂದು ಬಹುಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಪ್ರತಿ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು.
ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು. ಒಟ್ಟು ಚೌಕಗಳು, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
ಕೆಲವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪಾಂತರಗಳುಇತರರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವ್ಯವಹರಿಸಬೇಕು. ಬಹುಶಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ಮತ್ತು \(a^2 - b^2 \), ಅಂದರೆ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ, ವರ್ಗ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಹೆಸರುಗಳು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \((a + b)^2 \) ಎಂಬುದು ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವಲ್ಲ, ಆದರೆ a ಮತ್ತು b ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ . ಆದಾಗ್ಯೂ, a ಮತ್ತು b ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ನಿಯಮದಂತೆ, a ಮತ್ತು b ಅಕ್ಷರಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಇದು ವಿವಿಧ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ಅನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು (ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು); ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ಕೆಲಸವನ್ನು ಎದುರಿಸಿದ್ದೀರಿ:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಲ್ಲದೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಮೌಖಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿ.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವು ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡ ಉತ್ಪನ್ನವಿಲ್ಲದೆ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ಮೂರು ಗುರುತುಗಳು ಅದರ ಎಡಭಾಗದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಬಲಗೈಯ ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ - ಬಲಭಾಗದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಎಡಗೈಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಅನುಗುಣವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಪ್ರಮುಖ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು!
1. ನೀವು ಸೂತ್ರಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಗಾಬಲ್ಡಿಗೂಕ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ತೆರವುಗೊಳಿಸಿ. ನಿಮ್ಮ ಬ್ರೌಸರ್‌ನಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಇಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:
2. ನೀವು ಲೇಖನವನ್ನು ಓದುವುದನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಮ್ಮ ನ್ಯಾವಿಗೇಟರ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಮನ ಕೊಡಿ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಂಪನ್ಮೂಲಫಾರ್
ಇದನ್ನು ನಾವು ಆಗಾಗ ಕೇಳುತ್ತಿರುತ್ತೇವೆ ಅಹಿತಕರ ನುಡಿಗಟ್ಟು: "ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ."ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಾವು ಈ ರೀತಿಯ ರಾಕ್ಷಸರನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ:
"ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿದೆ," ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಉತ್ತರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.
ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೆದರಬೇಡಿ ಎಂದು ಈಗ ನಾನು ನಿಮಗೆ ಕಲಿಸುತ್ತೇನೆ.
ಇದಲ್ಲದೆ, ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುತ್ತೀರಿ (ಕೇವಲ!) ನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ(ಹೌದು, ಈ ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ ನರಕಕ್ಕೆ).
ಆದರೆ ನೀವು ಈ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿಮತ್ತು ಅಂಶ ಬಹುಪದಗಳು.
ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಮಾಡದಿದ್ದರೆ, "" ಮತ್ತು "" ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮರೆಯದಿರಿ.
ನೀವು ಅದನ್ನು ಓದಿದ್ದೀರಾ? ಹೌದು ಎಂದಾದರೆ, ಈಗ ನೀವು ಸಿದ್ಧರಾಗಿರುವಿರಿ.
ಹೋಗೋಣ! (ಹೋಗೋಣ!)
ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸರಳೀಕರಣ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು
ಈಗ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಮೂಲ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದದ್ದು
1. ಇದೇ ತರುವುದು
ಏನು ಹೋಲುತ್ತದೆ? ನೀವು ಇದನ್ನು 7 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ, ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅಕ್ಷರಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಾಗ.
ಇದೇ- ಇವು ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರದ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳು (ಮೊನೊಮಿಯಲ್‌ಗಳು).
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳು- ಇದು ನಾನು.
ನಿನಗೆ ನೆನಪಿದೆಯಾ?
ಇದೇ ರೀತಿ ನೀಡಿ- ಎಂದರೆ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು.
ನಾವು ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಜೋಡಿಸಬಹುದು? - ನೀನು ಕೇಳು.
ಅಕ್ಷರಗಳು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ವಸ್ತುಗಳು ಎಂದು ನೀವು ಊಹಿಸಿದರೆ ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪತ್ರವು ಕುರ್ಚಿಯಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ?
ಎರಡು ಕುರ್ಚಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಕುರ್ಚಿಗಳು, ಅದು ಎಷ್ಟು? ಅದು ಸರಿ, ಕುರ್ಚಿಗಳು: .
ಈಗ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ: .
ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಅವಕಾಶ ವಿವಿಧ ಅಕ್ಷರಗಳುವಿವಿಧ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, - (ಎಂದಿನಂತೆ) ಒಂದು ಕುರ್ಚಿ, ಮತ್ತು - ಒಂದು ಟೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ.
ಕುರ್ಚಿಗಳು ಮೇಜುಗಳು ಕುರ್ಚಿ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಕುರ್ಚಿಗಳು ಕುರ್ಚಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು
ಅಂತಹ ಪದಗಳಲ್ಲಿನ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗುಣಾಂಕಗಳು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕಪದದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದೇ ತರಹದ ನಿಯಮಗಳು:
ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ಸಮಾನವಾದವುಗಳನ್ನು ನೀಡಿ:
ಉತ್ತರಗಳು:
2. (ಮತ್ತು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಪದಗಳು ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರದ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ).
2. ಅಪವರ್ತನ
ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅತ್ಯಂತ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವಲ್ಲಿ.
ನೀವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ನೀಡಿದ ನಂತರ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸು, ಅಂದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.
ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಇದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ:ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕು.
ನೀವು "" ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಅಪವರ್ತನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವಿಧಾನಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗಿದ್ದೀರಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಲಿತದ್ದನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.
ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ)
ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ಪರಿಹಾರಗಳು:
3. ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು.
ಸರಿ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಭಾಗವನ್ನು ದಾಟಿ ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಜೀವನದಿಂದ ಹೊರಹಾಕುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾದದ್ದು ಯಾವುದು?
ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದರ ಸೌಂದರ್ಯ ಅದು.
ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ:
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಈ ನಿಯಮವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:
ಅಂದರೆ, ಕಡಿತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ ಅದು ನಾವು ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ (ಅಥವಾ ಅದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ) ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:
1) ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸು
2) ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳು, ಅವುಗಳನ್ನು ದಾಟಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ತತ್ವ, ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ?
ನಾನು ಒಂದು ವಿಷಯಕ್ಕೆ ನಿಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ತಪ್ಪುಒಪ್ಪಂದ ಮಾಡುವಾಗ. ಈ ವಿಷಯವು ಸರಳವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅನೇಕ ಜನರು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ತಪ್ಪಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಅದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ- ಇದರರ್ಥ ಭಾಗಿಸಿಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಅಂಶ ಅಥವಾ ಛೇದವು ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಕ್ಷೇಪಣಗಳಿಲ್ಲ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ನಾವು ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
ಕೆಲವರು ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ: ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಪ್ಪು.
ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ: ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.
"ಬುದ್ಧಿವಂತ" ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ:
ಇಲ್ಲಿ ಏನು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಹೇಳಿ? ಇದು ತೋರುತ್ತದೆ: - ಇದು ಗುಣಕ, ಅಂದರೆ ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು.
ಆದರೆ ಇಲ್ಲ: - ಇದು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಪದದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಅಂಶವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.
ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ: .
ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅಪವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ:
ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಅದನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು:
ಅಂತಹ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ನೆನಪಿಡಿ ಸುಲಭ ದಾರಿಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅಪವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು:
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಕೊನೆಯದಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು "ಮಾಸ್ಟರ್" ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ.
ಅಂದರೆ, ನೀವು ಅಕ್ಷರಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಕೆಲವು (ಯಾವುದೇ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ, ಆಗ ಕೊನೆಯ ಕ್ರಿಯೆಗುಣಾಕಾರ ಇರುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅಪವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ).
ಕೊನೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸಂಕಲನ ಅಥವಾ ವ್ಯವಕಲನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದರರ್ಥ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅಪವರ್ತನೀಯವಾಗಿಲ್ಲ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ).
ಇದನ್ನು ಬಲಪಡಿಸಲು, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಿ:
ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ಪರಿಹಾರಗಳು:
4. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು.
ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು- ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿದೆ: ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ, ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶದಿಂದ ಪ್ರತಿ ಭಾಗವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ/ಕಳೆಯಿರಿ.
ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ:
ಉತ್ತರಗಳು:
1. ಛೇದಗಳು ಮತ್ತು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
2. ಇಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವು:
3. ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ವಿಷಯ ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳುನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ, ತದನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ:
ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
ಸರಳವಾದ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:
ಎ) ಛೇದಗಳು ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ
ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು: ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶದಿಂದ ಪ್ರತಿ ಭಾಗವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ/ಕಳೆಯಿರಿ:
ಈಗ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯವುಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು:
ನೀವೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:
ಉತ್ತರಗಳು:
ಬಿ) ಛೇದಗಳು ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ
ಅಕ್ಷರಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ತತ್ವವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ:
· ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ;
· ನಂತರ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ;
· ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.
ಛೇದಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ:
ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳೋಣ:
ಈಗ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ (ಅಂಡರ್‌ಲೈನ್ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ) ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ:
ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.
ಅಕ್ಷರಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ಛೇದಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:
· ಛೇದಕಗಳ ಅಂಶ;
· ಸಾಮಾನ್ಯ (ಒಂದೇ) ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ;
ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಬರೆಯಿರಿ;
· ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ:
1) ಛೇದಗಳ ಅಂಶ:
2) ಸಾಮಾನ್ಯ (ಒಂದೇ) ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:
3) ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ (ಒತ್ತು ನೀಡದ) ಅಂಶಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ:
ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವಿದೆ. ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕು, ಎರಡನೆಯದು - ಇವರಿಂದ:
ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಟ್ರಿಕ್ ಇದೆ:
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: .
ಛೇದಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಎಲ್ಲವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ವಿವಿಧ ಸೂಚಕಗಳು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:
ಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ
ಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ
ಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ
ಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ.
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ:
ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಒಂದೇ ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದುವಂತೆ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ?
ಒಂದು ಭಾಗದ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ:
ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದಿಂದ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯಬಹುದು (ಅಥವಾ ಸೇರಿಸಬಹುದು) ಎಂದು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ!
ನಿಮಗಾಗಿ ನೋಡಿ: ಯಾವುದೇ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, . ನೀನು ಏನನ್ನು ಕಲಿತೆ?
ಆದ್ದರಿಂದ, ಮತ್ತೊಂದು ಅಚಲ ನಿಯಮ:
ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ, ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿ!
ಆದರೆ ಪಡೆಯಲು ನೀವು ಏನು ಗುಣಿಸಬೇಕು?
ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿ:
ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಲಾಗದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಾವು "ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಂಶಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, - ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. - ಅದೇ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲ: ಇದನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕವೇ?
ಇಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು:
(ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ "" ವಿಷಯದ ಅಪವರ್ತನದ ಬಗ್ಗೆ ಓದಿದ್ದೀರಿ).
ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಂಶಗಳು ಅನಲಾಗ್ ಆಗಿದೆ ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೊಳೆಯುತ್ತೀರಿ. ಮತ್ತು ನಾವು ಅವರೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಎರಡೂ ಛೇದಗಳು ಗುಣಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ (ಏಕೆ ನೆನಪಿದೆ?).
ಅಂಶವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಅದರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:
ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ:
ಪರಿಹಾರ:
ನೀವು ಭಯಭೀತರಾಗಿ ಈ ಛೇದಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೊದಲು, ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಂಶ ಮಾಡುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನೀವು ಯೋಚಿಸಬೇಕೇ? ಇಬ್ಬರೂ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತಾರೆ:
ಗ್ರೇಟ್! ನಂತರ:
ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ:
ಪರಿಹಾರ:
ಎಂದಿನಂತೆ, ಛೇದಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸೋಣ. ಮೊದಲ ಛೇದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ; ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ - ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:
ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡಿದರೆ, ಅವುಗಳು ಹೋಲುತ್ತವೆ ... ಮತ್ತು ಇದು ನಿಜ:
ಆದ್ದರಿಂದ ಬರೆಯೋಣ:
ಅಂದರೆ, ಇದು ಈ ರೀತಿ ಬದಲಾಯಿತು: ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಒಳಗೆ ನಾವು ಪದಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮುಂದೆ ಇರುವ ಚಿಹ್ನೆಯು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿತು. ಗಮನಿಸಿ, ನೀವು ಇದನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
ಈಗ ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರೋಣ:
ಅರ್ಥವಾಯಿತು? ಈಗ ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.
ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು:
ಉತ್ತರಗಳು:
5. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ.
ಸರಿ, ಕಷ್ಟದ ಭಾಗವು ಈಗ ಮುಗಿದಿದೆ. ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ:
ವಿಧಾನ
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ ಯಾವುದು? ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನೆನಪಿಡಿ:
ನೀವು ಎಣಿಸಿದ್ದೀರಾ?
ಇದು ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕು.
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ.
ಪದವಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಮೊದಲ ಹಂತವಾಗಿದೆ.
ಎರಡನೆಯದು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ. ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಗಳು ಇದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು.
ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತೆ, ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ.
ಆದರೆ: ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರದಿಯಿಂದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ!
ಹಲವಾರು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಮೊದಲು ಪ್ರತಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ತದನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿ.
ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಒಳಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿದ್ದರೆ ಏನು? ಸರಿ, ನಾವು ಯೋಚಿಸೋಣ: ಕೆಲವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ನೀವು ಮೊದಲು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಅದು ಸರಿ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಸರಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: ಮೊದಲು ನಾವು ಆಂತರಿಕ ಆವರಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲವೂ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ (ಪ್ರಸ್ತುತ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ನಾನು ಇದೀಗ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಿಯೆ):
ಸರಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ.
ಆದರೆ ಇದು ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಂತೆಯೇ ಅಲ್ಲವೇ?
ಇಲ್ಲ, ಅದೇ! ಬದಲಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳುನೀವು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಕ್ರಿಯೆಗಳು: ಇದೇ ತರುವುದು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಪವರ್ತನ ಬಹುಪದಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯು ಒಂದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ (ಭಿನ್ನಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ನಾವು ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ). ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಲು, ನೀವು I ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹಾಕಬೇಕು.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಮ್ಮ ಗುರಿಯು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಅಂಶವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ.
1) ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಅಂಶವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವುದು ನಮ್ಮ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ; ಇಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿವೆ (ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದು ನಿಮಗೆ ಇನ್ನೂ ನೆನಪಿದೆಯೇ?).
2) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು: ಯಾವುದು ಸರಳವಾಗಿರಬಹುದು.
3) ಈಗ ನೀವು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು:
ಸರಿ ಈಗ ಎಲ್ಲಾ ಮುಗಿದಿದೆ. ಏನೂ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ, ಸರಿ?
ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ:
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ.
ಮೊದಲಿಗೆ, ಅದನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.
ಮೊದಲಿಗೆ, ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ನಂತರ ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸರಿ, ಕೊನೆಯ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ.
ನಾನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಹಂತಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತೇನೆ:
ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾನು ನಿಮಗೆ ಎರಡು ನೀಡುತ್ತೇನೆ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಲಹೆ:
1. ಇದೇ ರೀತಿಯವುಗಳಿದ್ದರೆ, ತಕ್ಷಣವೇ ತರಬೇಕು. ನಮ್ಮ ದೇಶದಲ್ಲಿ ಅಂತಹವುಗಳು ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸಿದರೂ, ಅವುಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ತರಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
2. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ: ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಅವಕಾಶವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ತಕ್ಷಣ, ಅದರ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು. ನೀವು ಸೇರಿಸುವ ಅಥವಾ ಕಳೆಯುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ವಿನಾಯಿತಿ: ಅವುಗಳು ಈಗ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದೇ ಛೇದಗಳು, ನಂತರ ಕಡಿತವನ್ನು ನಂತರ ಬಿಡಬೇಕು.
ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:
ಮತ್ತು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಏನು ಭರವಸೆ ನೀಡಲಾಯಿತು:
ಉತ್ತರಗಳು:
ಪರಿಹಾರಗಳು (ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ):
ನೀವು ಕನಿಷ್ಟ ಮೊದಲ ಮೂರು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಭಾಯಿಸಿದ್ದರೆ, ನೀವು ವಿಷಯವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ.
ಈಗ ಕಲಿಕೆಗೆ!
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು. ಸಾರಾಂಶ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು
ಮೂಲ ಸರಳೀಕರಣ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು:
- ಇದೇ ತರುವುದು: ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು (ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲು), ನೀವು ಅವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರದ ಭಾಗವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಬೇಕು.
- ಅಪವರ್ತನ:ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರಗೆ ಹಾಕುವುದು, ಅದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಇತ್ಯಾದಿ.
- ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು: ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಇದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
1) ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸು
2) ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ದಾಟಬಹುದು.ಪ್ರಮುಖ: ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು!
- ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು:
; - ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸುವುದು:
;
ಸರಿ, ವಿಷಯ ಮುಗಿದಿದೆ. ನೀವು ಈ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಓದುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನೀವು ತುಂಬಾ ಕೂಲ್ ಆಗಿದ್ದೀರಿ ಎಂದರ್ಥ.
ಏಕೆಂದರೆ ಕೇವಲ 5% ಜನರು ಮಾತ್ರ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಮೇಲೆ ಏನನ್ನಾದರೂ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಮರ್ಥರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಮತ್ತು ನೀವು ಕೊನೆಯವರೆಗೂ ಓದಿದರೆ, ನೀವು ಈ 5% ನಲ್ಲಿರುತ್ತೀರಿ!
ಈಗ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯ.
ಈ ವಿಷಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ. ಮತ್ತು, ನಾನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ, ಇದು ... ಇದು ಕೇವಲ ಸೂಪರ್ ಆಗಿದೆ! ನಿಮ್ಮ ಬಹುಪಾಲು ಗೆಳೆಯರಿಗಿಂತ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಉತ್ತಮವಾಗಿದ್ದೀರಿ.
ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಇದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ...
ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ?
ಯಶಸ್ವಿಗಾಗಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಿದ್ದಾರೆ, ಬಜೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾಲೇಜಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಜೀವನಕ್ಕಾಗಿ.
ನಾನು ನಿಮಗೆ ಏನನ್ನೂ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ನಾನು ಒಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇನೆ ...
ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಜನರು ಉತ್ತಮ ಶಿಕ್ಷಣ, ಅದನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸದವರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗಳಿಸಿ. ಇದು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು.
ಆದರೆ ಇದು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವಲ್ಲ.
ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅವರು ಹೆಚ್ಚು ಸಂತೋಷವಾಗಿರುತ್ತಾರೆ (ಅಂತಹ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಇವೆ). ಬಹುಶಃ ಅವರ ಮುಂದೆ ಹೆಚ್ಚು ತೆರೆದಿರುವುದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳುಮತ್ತು ಜೀವನವು ಪ್ರಕಾಶಮಾನವಾಗುತ್ತದೆಯೇ? ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ...
ಆದರೆ ನೀವೇ ಯೋಚಿಸಿ...
ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಇತರರಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿರಲು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ... ಸಂತೋಷವಾಗಿರಲು ಏನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ?
ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿಮ್ಮ ಕೈಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.
ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಾಗಿ ಕೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಸಮಯದ ವಿರುದ್ಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
ಮತ್ತು, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸದಿದ್ದರೆ (ಬಹಳಷ್ಟು!), ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಎಲ್ಲೋ ಒಂದು ಅವಿವೇಕಿ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೀರಿ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಸಮಯ ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ಇದು ಕ್ರೀಡೆಯಂತೆಯೇ - ಖಚಿತವಾಗಿ ಗೆಲ್ಲಲು ನೀವು ಅದನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
ನೀವು ಎಲ್ಲಿ ಬೇಕಾದರೂ ಸಂಗ್ರಹಣೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ, ವಿವರವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ನಿರ್ಧರಿಸಿ!
ನೀವು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (ಐಚ್ಛಿಕ) ಮತ್ತು ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಲು, ನೀವು ಪ್ರಸ್ತುತ ಓದುತ್ತಿರುವ YouClever ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಜೀವನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ನೀವು ಸಹಾಯ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
ಹೇಗೆ? ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ:
- ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗುಪ್ತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅನ್ಲಾಕ್ ಮಾಡಿ -
- ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಎಲ್ಲಾ 99 ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗುಪ್ತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಅನ್ಲಾಕ್ ಮಾಡಿ - ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಖರೀದಿಸಿ - 499 RUR
ಹೌದು, ನಮ್ಮ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂತಹ 99 ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗುಪ್ತ ಪಠ್ಯಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ತೆರೆಯಬಹುದು.
ಸೈಟ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜೀವನಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಗುಪ್ತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ...
ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿಮಗೆ ಇಷ್ಟವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಇತರರನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಕೇವಲ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಬೇಡಿ.
"ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದೆ" ಮತ್ತು "ನಾನು ಪರಿಹರಿಸಬಲ್ಲೆ" ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು. ನಿಮಗೆ ಎರಡೂ ಬೇಕು.
ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ!
ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿವರ್ತಕ ಆಸ್ತಿ: ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದರಿಂದ ಮೊತ್ತದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ
ಸಂಕಲನದ ಸಂಯೋಜಿತ ಆಸ್ತಿ: ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮೂರನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a, b ಮತ್ತು c ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ
ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿವರ್ತಕ ಆಸ್ತಿ: ಅಂಶಗಳ ಮರುಜೋಡಣೆಯು ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a, b ಮತ್ತು c ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ
ಗುಣಾಕಾರದ ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಣ: ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇಯ ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು.
ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a, b ಮತ್ತು c ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ
ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿ: ಮೊತ್ತದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a, b ಮತ್ತು c ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ
ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ಯಾವುದೇ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ನೀವು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 1 1.23+13.5+4.27 ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.
ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಮೂರನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ನೀವು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 2 1.8·0.25·64·0.5 ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ನಾಲ್ಕನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಮೂರನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
1.8·0.25·64·0.5=(1.8·0.5)·(0.25·64)=0.9·16=14.4.
ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿ ಕೂಡ ನಿಜ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a, b, c ಮತ್ತು d ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
ಸಬ್‌ಟ್ರಾಹೆಂಡ್‌ನ ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೈನ್ಯಾಂಡ್‌ಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ:
ಇದು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎ-ಬಿ ಟೈಪ್ ಮಾಡಿ a ಮತ್ತು -b ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, a+b-c-d ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ a, b, -c, -d, ಇತ್ಯಾದಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಂತಹ ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3 3.27-6.5-2.5+1.73 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 3.27, -6.5, -2.5 ಮತ್ತು 1.73 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.
ಉದಾಹರಣೆ 4 ಉತ್ಪನ್ನ 36·() ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.
ಗುಣಕವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು - ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
36()=36·-36·=9-10=-1.
ಗುರುತುಗಳು
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿರುವ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
x=5, y=4 ಗಾಗಿ 3(x+y) ಮತ್ತು 3x+3y ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.
ನಾವು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, 3(x+y) ಮತ್ತು 3x+3y ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈಗ ನಾವು 2x+y ಮತ್ತು 2xy ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಯಾವಾಗ x=1, y=2 ಅವು ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ:
ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು x ಮತ್ತು y ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು ಅಂದರೆ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x=3, y=4 ಆಗಿದ್ದರೆ
3(x+y) ಮತ್ತು 3x+3y ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ 2x+y ಮತ್ತು 2xy ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ಸಮಾನತೆ 3(x+y)=x+3y, x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸರಿ, ಒಂದು ಗುರುತು.
ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಗುರುತುಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಗುರುತುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿವೆ:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
ಗುರುತಿನ ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು
ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಾನವಾದ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರ ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
xy-xz ಯಾವಾಗ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ x, y, z, ನೀವು ಮೂರು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x=2.3, y=0.8, z=0.2 ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
xy-xz=2.3·0.8-2.3·0.2=1.84-0.46=1.38.
ನೀವು x(y-z) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಕೇವಲ ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದು xy-xz ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3·0.6=1.38.
xy-xz ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ x(y-z)
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರುವುದು, ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು. ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:
ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರಲು, ನೀವು ಅವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಕ್ಷರದ ಭಾಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು;
ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಮೊದಲು ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದ್ದರೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಬಹುದು;
ಆವರಣದ ಮೊದಲು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆವರಣವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 1 ನಾವು 5x+2x-3x ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.
ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
ಈ ರೂಪಾಂತರವು ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2 2a+(b-3c) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ.
ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುವುದು:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
ನಡೆಸಿದ ರೂಪಾಂತರವು ಆಧರಿಸಿದೆ ಸಹಾಯಕ ಆಸ್ತಿಜೊತೆಗೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ a-(4b-c) ನಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ.
ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಮೊದಲು ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:
a-(4b-c)=a-4b+c.
ರೂಪಾಂತರವು ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿ ಮತ್ತು ಸಂಕಲನದ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಅದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ. ಒಳಗೆ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಎರಡನೇ ಪದ -(4b-c) ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ (-1)(4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
ಅರ್ಜಿ ಸಲ್ಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಕ್ರಿಯೆಗಳು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರವು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3+x ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು 1+2 ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಇದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ (1+2)+x, ಇದು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ: 1+a 5 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, a 5 ಅನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a·a 4 ರೂಪ. ಇದು ನಮಗೆ 1+a·a 4 ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.
ಈ ರೂಪಾಂತರವು ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ ಕೃತಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸಿದ್ಧತೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 4 x 3 +2 x 2 ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ, ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, 4 x 3 ಎಂಬ ಪದವನ್ನು 2 x 2 2 x ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಈ ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 2 x 2 2 x+2 x 2 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿನ ನಿಯಮಗಳು 2 x 2 ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು - ಬ್ರಾಕೆಟ್. ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ: 2 x 2 (2 x+1) .
ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ಕೃತಕ ರೂಪಾಂತರವೆಂದರೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಏಕಕಾಲಿಕ ವ್ಯವಕಲನ. ಈ ರೂಪಾಂತರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. x 2 +2·x ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನೀವು ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಒಂದನ್ನು ಕಳೆದರೆ, ಇದು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ - ದ್ವಿಪದದ ಚೌಕ: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 -1.
ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.
- ಬೀಜಗಣಿತ:ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 7 ನೇ ತರಗತಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ. - 17 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2008. - 240 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- ಬೀಜಗಣಿತ:ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 8 ನೇ ತರಗತಿಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ. - 16 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2008. - 271 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಬೀಜಗಣಿತ. 7 ನೇ ತರಗತಿ. ಮಧ್ಯಾಹ್ನ 2 ಗಂಟೆಗೆ ಭಾಗ 1. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು/ ಎ.ಜಿ. ಮೊರ್ಡ್ಕೋವಿಚ್. - 17 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಸೇರಿಸಿ. - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2013. - 175 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 978-5-346-02432-3.