ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ತಂತ್ರ. ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ

ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು: ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನ

8-9 ಶ್ರೇಣಿಗಳು

ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಲೇಖನವು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ, ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಸ್ಥಾಪಿಸಬೇಕಾದಾಗ ಇದು ತುಂಬಾ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಎ.

ಸಮಸ್ಯೆ 1. ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ? | | x | – 2 | = ಎ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಎ?

ಪರಿಹಾರ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ (x; y) ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ y = | | x | – 2 | ಮತ್ತು y = ಎ. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = | | x | – 2 | ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

y = a ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ = 0).

ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಇದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು:

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ= 0, ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆ y = ಎಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು y = | ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ | x | – 2 | ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳು; ಇದರರ್ಥ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು: x 1,2 = d 2).
0 ಆಗಿದ್ದರೆ< ಎ < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ= 2, ನಂತರ ಸಾಲು y = 2 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಂತರ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ> 2, ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆ y = ಎಮೂಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ < 0, то корней нет;
ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ = 0, ಎ> 2, ನಂತರ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ;
ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ= 2, ನಂತರ ಮೂರು ಬೇರುಗಳು;
0 ಆಗಿದ್ದರೆ< ಎ < 2, то четыре корня.

ಸಮಸ್ಯೆ 2. ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ? | x 2 – 2| x | – 3 | = ಎ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಎ?

ಪರಿಹಾರ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ (x; y) ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ y = | x 2 – 2| x | – 3 | ಮತ್ತು y = ಎ.

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = | x 2 – 2| x | – 3 | ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. y = a ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಕ್ಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಯಾವಾಗ ಎ = 0).

ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ನೀವು ನೋಡಬಹುದು:

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ= 0, ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆ y = ಎಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು y = | ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ x2 – 2| x | – 3 | ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ನೇರ ರೇಖೆ y = ಎ y = | ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ x 2 – 2| x | – 3 | ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳು ಎ> 4. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವಾಗ ಎ= 0 ಮತ್ತು ಎ> 4 ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
0 ಆಗಿದ್ದರೆ< ಎ < 3, то прямая y = ಎ y = | ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿದೆ x 2 – 2| x | – 3 | ನಾಲ್ಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ನೇರ ರೇಖೆ y= ಎನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನೊಂದಿಗೆ ನಾಲ್ಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎ= 4. ಆದ್ದರಿಂದ, 0 ನಲ್ಲಿ< ಎ < 3, ಎ= 4 ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ನಾಲ್ಕು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ= 3, ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆ y = ಎಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಐದು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣವು ಐದು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಒಂದು ವೇಳೆ 3< ಎ < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ < 0, то корней нет;
ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ = 0, ಎ> 4, ನಂತರ ಎರಡು ಬೇರುಗಳು;
0 ಆಗಿದ್ದರೆ< ಎ < 3, ಎ= 4, ನಂತರ ನಾಲ್ಕು ಬೇರುಗಳು;
ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ= 3, ನಂತರ ಐದು ಬೇರುಗಳು;
ಒಂದು ವೇಳೆ 3< ಎ < 4, то шесть корней.

ಸಮಸ್ಯೆ 3. ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಎ?

ಪರಿಹಾರ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ (x; y) ಆದರೆ ಮೊದಲು ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ:

x = 1, y = 1 ಸಾಲುಗಳು ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = | x | + ಎ y = | ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ x | Oy ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಘಟಕದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರ.

ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಎ> – 1; ಇದರರ್ಥ ಈ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ (1) ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ನಲ್ಲಿ ಎ = – 1, ಎ= - 2 ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ; ಇದರರ್ಥ ಈ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಸಮೀಕರಣ (1) ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ನಲ್ಲಿ - 2< ಎ < – 1, ಎ < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ> – 1, ನಂತರ ಒಂದು ಪರಿಹಾರ;
ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ = – 1, ಎ= - 2, ನಂತರ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ;
ವೇಳೆ - 2< ಎ < – 1, ಎ < – 1, то три решения.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಸಮಸ್ಯೆ 3 ರ ಸಮೀಕರಣ (1) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಯಾವಾಗ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ವಿಶೇಷ ಗಮನ ನೀಡಬೇಕು ಎ= – 2, ಪಾಯಿಂಟ್ (– 1; – 1) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಆದರೆ y = | ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ x | + ಎ.

ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೋಗೋಣ.

ಸಮಸ್ಯೆ 4. ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

x + 2 = ಎ| x – 1 | (2)

ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಎ?

ಪರಿಹಾರ. x = 1 ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಾನತೆ 3 = ಎ· ಯಾವುದೇ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ 0 ಸರಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು | ನಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ x – 1 |(| x – 1 | No. 0), ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ (2) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ xOy ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = ಎಎತ್ತು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ = 0).

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎЈ - 1, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ;
ವೇಳೆ - 1< ಎЈ 1, ನಂತರ ಒಂದು ಮೂಲ;
ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ> 1, ನಂತರ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ.

ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಸಮಸ್ಯೆ 5. ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎಸಮೀಕರಣ

ಎ x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

ಮೂರು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ. 1. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕದ ನಿಯಂತ್ರಣ ಮೌಲ್ಯವು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ= 0, ಯಾವ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (3) 0 + | ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ x – 1 | = 0, ಎಲ್ಲಿಂದ x = 1. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವಾಗ ಎ= 0, ಸಮೀಕರಣ (3) ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ.

2. ಯಾವಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಎ № 0.

ನಾವು ಸಮೀಕರಣ (3) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ: ಎ x 2 = – | x – 1 |. ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಎ < 0.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ xOy ನಾವು y = | ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ x – 1 | ಮತ್ತು y = ಎ x 2 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = | x – 1 | ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = ಎ x 2 ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

y = – x + 1 ನೇರ ರೇಖೆಯು y= ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಮೀಕರಣ (3) ಮೂರು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎ x 2

x 0 ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ abscissa ಆಗಿರಲಿ y = – x + 1 ಜೊತೆಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = ಎ x 2 ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

ಸ್ಪರ್ಶ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸದೆಯೇ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನೇರ ರೇಖೆ y = kx + b ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನಾವು ಬಳಸೋಣ. ಎ x 2 + px + q, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ ಎ x 2 + px + q = kx + b ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಅದರ ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎ x 2 = – x + 1 ( ಎಸಂಖ್ಯೆ 0). ತಾರತಮ್ಯ ಸಮೀಕರಣ

ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

6. ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎ?

1)| | x | – 3 | = ಎ;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = ಎ;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = ಎ;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = ಎ.

1) ವೇಳೆ ಎ<0, то корней нет; если ಎ=0, ಎ>3, ನಂತರ ಎರಡು ಬೇರುಗಳು; ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ=3, ನಂತರ ಮೂರು ಬೇರುಗಳು; 0 ಆಗಿದ್ದರೆ<ಎ<3, то четыре корня;
2) ವೇಳೆ ಎ<1, то корней нет; если ಎ=1, ನಂತರ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅನಂತ ಸೆಟ್ ಇರುತ್ತದೆ [– 2; - 1]; ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ> 1, ನಂತರ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ;
3) ವೇಳೆ ಎ<0, то корней нет; если ಎ=0, ಎ<3, то четыре корня; если 0<ಎ<1, то восемь корней; если ಎ=1, ನಂತರ ಆರು ಬೇರುಗಳು; ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ=3, ನಂತರ ಮೂರು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ; ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ>3, ನಂತರ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ;
4) ವೇಳೆ ಎ<0, то корней нет; если ಎ=0, 4<ಎ<5, то четыре корня; если 0<ಎ< 4, то восемь корней; если ಎ=4, ನಂತರ ಆರು ಬೇರುಗಳು; ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ=5, ನಂತರ ಮೂರು ಬೇರುಗಳು; ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ>5, ನಂತರ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ.

7. ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ | x + 1 | = ಎ(x - 1) ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಎ?

ಸೂಚನೆ. x = 1 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು .

ಉತ್ತರ: ವೇಳೆ ಎಜೆ -1, ಎ > 1, ಎ=0, ನಂತರ ಒಂದು ಮೂಲ; ವೇಳೆ - 1<ಎ<0, то два корня; если 0<ಎЈ 1, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

8. x + 1 = ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎ| x – 1 |ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಎ?

ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ (ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ).

ಉತ್ತರ: ವೇಳೆ ಎЈ -1, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ; ವೇಳೆ - 1<ಎЈ 1, ನಂತರ ಒಂದು ಮೂಲ; ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ>1, ನಂತರ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ.

9. ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

2| x | – 1 = a(x – 1)

ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಎ?

ಸೂಚನೆ. ರೂಪಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ

ಉತ್ತರ: ವೇಳೆ ಎಜೆ -2, ಎ>2, ಎ=1, ನಂತರ ಒಂದು ಮೂಲ; ವೇಳೆ -2<ಎ<1, то два корня; если 1<ಎ 2, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

10. ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಎ?

ಉತ್ತರ: ವೇಳೆ ಎЈ 0, ಎ i 2, ನಂತರ ಒಂದು ಮೂಲ; 0 ಆಗಿದ್ದರೆ<ಎ<2, то два корня.

11. ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎಸಮೀಕರಣ

x 2 + ಎ| x – 2 | = 0

ಮೂರು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ?

ಸೂಚನೆ. x 2 = – ರೂಪಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ ಎ| x – 2 |.

ಉತ್ತರ: ಯಾವಾಗ ಎಜೆ –8.

12. ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎಸಮೀಕರಣ

ಎ x 2 + | x + 1 | = 0

ಮೂರು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ?

ಸೂಚನೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ 5. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮೂರು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎ x 2 + x + 1 = 0 ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಕರಣ ಎ= 0 ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ

13. ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

x | x – 2 | = 1 - ಎ

ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಎ?

ಸೂಚನೆ. -x |x – 2| ರೂಪಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ + 1 = ಎ

ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಎ?

ಸೂಚನೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಭಾಗಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಉತ್ತರ: ವೇಳೆ ಎ<0, ಎ>2, ನಂತರ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ; 0Ј ವೇಳೆ ಎЈ 2, ನಂತರ ಒಂದು ಮೂಲ.

16. ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಎ?

ಸೂಚನೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಭಾಗಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡಲು x + 2 ಮತ್ತು x ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಉತ್ತರ: ವೇಳೆ ಎ>– 1, ನಂತರ ಒಂದು ಪರಿಹಾರ; ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ= – 1, ನಂತರ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ; ವೇಳೆ - 3<ಎ<–1, то четыре решения; если ಎЈ -3, ನಂತರ ಮೂರು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ.

ಓಲ್ಗಾ ಒಟ್ಡೆಲ್ಕಿನಾ, 9 ನೇ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ

ಈ ವಿಷಯವು ಶಾಲಾ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಲಸದ ಉದ್ದೇಶವು ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು, ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಅತ್ಯಂತ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು. ಈ ಪ್ರಬಂಧವು ಇತರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಈ ವಿಧಾನದ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಡೌನ್‌ಲೋಡ್:

ಮುನ್ನೋಟ:

ಪರಿಚಯ 2

ಅಧ್ಯಾಯ 1. ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ 3 ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯ ಇತಿಹಾಸ

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ 4

ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು 5

ಅಧ್ಯಾಯ 2. ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಧಗಳು.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು 6

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ……………………………………………………………… 7

ಅಧ್ಯಾಯ 3. ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ …………………………………………………… 8

ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿಧಾನ. ಮೂಲದ ಇತಿಹಾಸ ………………………………… 9

ಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.............................................10

ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ ………………………………………………………… 11

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಭಾಗ …………………………………………………………… 12

ತೀರ್ಮಾನ ………………………………………………………………………………………….19

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ……………………………………………………………… 20

ಪರಿಚಯ.

ನಾನು ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಶಾಲೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುವಾಗ, ನಾನು ಈ ವಿಷಯದ ಆಳವಾದ ಅಧ್ಯಯನದ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ, ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಅತ್ಯಂತ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇನೆ. ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಈ ವಿಧಾನದ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ನನ್ನ ಪ್ರಬಂಧವು ಇತರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಆಧುನಿಕ ಜೀವನದಲ್ಲಿ, ಅನೇಕ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾದರಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, α ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದಾಗ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವು ತುಂಬಾ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ.

ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಬೌದ್ಧಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ಉತ್ತಮ ವಸ್ತುವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಅವರು ರೋಗನಿರ್ಣಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮುಖ್ಯ ಶಾಖೆಗಳ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಂತನೆಯ ಮಟ್ಟ, ಆರಂಭಿಕ ಸಂಶೋಧನಾ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಭರವಸೆಯ ಅವಕಾಶಗಳು.

ನನ್ನ ಪ್ರಬಂಧವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಎದುರಾಗುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲಸದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾನು ಪಡೆದ ಜ್ಞಾನವು ಶಾಲಾ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾದಾಗ ನನಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳುಶಾಲೆಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯ ಇತಿಹಾಸ

ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆರ್ಯಭಟ್ಟರಿಂದ 499 ರಲ್ಲಿ ಸಂಕಲಿಸಲಾದ "ಆರ್ಯಭಟ್ಟಿಯಂ" ಎಂಬ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಎದುರಾಗಿವೆ. ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಭಾರತೀಯ ವಿಜ್ಞಾನಿ, ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ (7 ನೇ ಶತಮಾನ), ಒಂದೇ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರು:

αx 2 + bx = c, α>0

ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಋಣಾತ್ಮಕವೂ ಆಗಿರಬಹುದು.

ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿಯಿಂದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಅಲ್-ಖೋರೆಜ್ಮಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗ್ರಂಥವು ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಲೇಖಕರು 6 ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ:

1) "ಚೌಕಗಳು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ," ಅಂದರೆ αx 2 = ಬಿಎಕ್ಸ್.

2) "ಚೌಕಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಮ", ಅಂದರೆ αx 2 = ಸಿ.

3) "ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ," ಅಂದರೆ αx = c.

4) "ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ," ಅಂದರೆ αx 2 + ಸಿ = ಬಿಎಕ್ಸ್.

5) "ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ", ಅಂದರೆ αx 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್ = ಸಿ.

6) "ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಚೌಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ," ಅಂದರೆ bx + c = αx 2 .

ಯುರೋಪ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ಪ್ರಕಾರ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಅವರು 1202 ರಲ್ಲಿ ಬರೆದ “ಬುಕ್ ಆಫ್ ಅಬಾಕಸ್” ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವಿಯೆಟಾದಿಂದ ಲಭ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ವಿಯೆಟಾ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗುರುತಿಸಿದೆ. ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಟಾರ್ಟಾಗ್ಲಿಯಾ, ಕಾರ್ಡಾನೊ, ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ 12 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರು. ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಹ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಗಿರಾರ್ಡ್, ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್, ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಅದರ ಆಧುನಿಕ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿತು.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ

ವಿಯೆಟಾ ಹೆಸರಿನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು, ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಬೇರುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅವನು ಮೊದಲು 1591 ರಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಿದನು: “b + d ಅನ್ನು α ಮೈನಸ್ α ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ 2 , bc ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ α b ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು d ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಯೆಟಾವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, α, ಯಾವುದೇ ಸ್ವರ ಅಕ್ಷರದಂತೆ ಅಜ್ಞಾತ (ನಮ್ಮ x) ಅನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸ್ವರಗಳು b, d ಅಜ್ಞಾತಕ್ಕೆ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ವಿಯೆಟಾ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಅರ್ಥ:

ಇದ್ದರೆ

(α + b)x - x 2 = αb,

ಅಂದರೆ, x 2 - (α -b)x + αb =0,

ನಂತರ x 1 = α, x 2 = b.

ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಬರೆಯಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ವಿಯೆಟಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಯೆಟ್‌ನ ಸಂಕೇತವು ಇನ್ನೂ ಅದರ ಆಧುನಿಕ ರೂಪದಿಂದ ದೂರವಿದೆ. ಅವರು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವರು ಪರಿಗಣಿಸಿದರು.

ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ - ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಅಥವಾ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಸಂಖ್ಯೆ.

ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ- ಗಣಿತಸಮೀಕರಣ, ನೋಟ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ಧರಿಸಿ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅರ್ಥಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ x ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಸಹ:

1. ಯಾವ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎಷ್ಟು ಇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ.
2. ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ α(x+k)= α +c, ಇಲ್ಲಿ α, c, k, x ವೇರಿಯಬಲ್ ಪ್ರಮಾಣಗಳಾಗಿವೆ.

α, c, k, x ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ.

A ಎಂಬುದು α ನ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ, K ನ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್, X x ನ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್, C ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್. A, K, C, X ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು α, k, c ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಸರಿಪಡಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು x ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ಜೊತೆ ಸಮೀಕರಣ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ α, k, c ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ವತಃ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: α, b, c, d, ..., k, l, m, n, ಮತ್ತು ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು x, y, z ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದೇ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ:

a) ಅದೇ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ;

ಬಿ) ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ ಪರಿಹಾರವು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಧಗಳು

ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು: ರೇಖೀಯಮತ್ತು ಚದರ.

1) ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ:

α x = b, ಅಲ್ಲಿ x ತಿಳಿದಿಲ್ಲ;α, b - ನಿಯತಾಂಕಗಳು.

ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಿಯತಾಂಕದ ವಿಶೇಷ ಅಥವಾ ನಿಯಂತ್ರಣ ಮೌಲ್ಯವು ಅಜ್ಞಾತದ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಿಯತಾಂಕವು ಅದರ ವಿಶೇಷ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದಾಗ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಯತಾಂಕ α ನ ವಿಶೇಷ ಮೌಲ್ಯವು ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆα = 0.

1. ವೇಳೆ, ಮತ್ತು ≠0, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳಿಗೆα ಮತ್ತು ಬಿ ಇದು ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ x = .

2. ವೇಳೆ, ಮತ್ತು =0, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: 0 x = ಬಿ . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಬಿ = 0 ವಿಶೇಷ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆಬಿ.

2.1. ಬಿ ನಲ್ಲಿ ≠ 0 ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

2.2 ಬಿ ನಲ್ಲಿ =0 ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: 0 x =0.

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ:

α x 2 + bx + c = 0

ಅಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ α ≠0, b ಮತ್ತು c - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಒಂದು ವೇಳೆ α =1, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ D = b 2 - 4 α c ತಾರತಮ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

1. D> 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

2. ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ< 0 — уравнение не имеет корней.

3. D = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಸಮಾನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು:

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ - ನೇರ ಪರಿಹಾರದ ವಿಧಾನ, ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದು.
ಗ್ರಾಫಿಕ್ - ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ

ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

ನೀವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಿಯತಾಂಕದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, α =1 ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಿ: ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ α =1 ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿ X m ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ:

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅರ್ಥದ ಪ್ರಕಾರ (m-1)(x+3) = 0, ಅಂದರೆ m= 1, x = -3.

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು (m-1)(x+3) ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, m= 2.25 ನಲ್ಲಿ.

ಈಗ ನಾವು m ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ

x ನ ಮೌಲ್ಯವು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ -3.

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, x m = -0.4 ನೊಂದಿಗೆ -3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: m=1, m =2.25 ಜೊತೆಗೆ.

ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿಧಾನ. ಮೂಲದ ಇತಿಹಾಸ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಲಂಬನೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು 14 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು. ಮಧ್ಯಕಾಲೀನ ವಿಜ್ಞಾನವು ಪಾಂಡಿತ್ಯಪೂರ್ಣವಾಗಿತ್ತು. ಈ ಸ್ವಭಾವದೊಂದಿಗೆ, ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳವಿಲ್ಲ; ಇದು ವಸ್ತುಗಳ ಗುಣಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ. ಆದರೆ ವಿದ್ವಾಂಸರ ನಡುವೆ ಗುಣಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ತೀವ್ರವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ವಾದಿಸುವ ಶಾಲೆ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು (ನದಿಯಲ್ಲಿ ಬಿದ್ದ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಉಡುಗೆ ಮಳೆಯಲ್ಲಿ ಸಿಕ್ಕಿಬಿದ್ದವರಿಗಿಂತ ಒದ್ದೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ)

ಫ್ರೆಂಚ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ನಿಕೊಲಾಯ್ ಒರೆಸ್ಮೆ ಅವರು ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಅವನು ಈ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಇರಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ತುದಿಗಳು ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದವು, ಅದನ್ನು ಅವನು "ತೀವ್ರತೆಯ ರೇಖೆ" ಅಥವಾ "ಮೇಲಿನ ಅಂಚಿನ ರೇಖೆ" (ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯ ಗ್ರಾಫ್) ಎಂದು ಕರೆದನು. ” ಮತ್ತು “ಭೌತಿಕ” ಗುಣಗಳು, ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಯಗಳು , ಎರಡು ಅಥವಾ ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ.

ಒರೆಸ್ಮೆ ಅವರ ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನೆಯು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಅವರ ಪ್ರಯತ್ನವಾಗಿದೆ. ಅವರು ಮೂರು ವಿಧದ ಗುಣಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದ್ದಾರೆ: ಏಕರೂಪ (ನಿರಂತರ ತೀವ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ), ಏಕರೂಪದ-ಅಸಮ (ತೀವ್ರತೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ನಿರಂತರ ದರದೊಂದಿಗೆ) ಮತ್ತು ಅಸಮ-ಅಸಮಾನ (ಎಲ್ಲಾ ಇತರ), ಹಾಗೆಯೇ ಅಂತಹ ಗುಣಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಲು, ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಫ್ರೆಂಚ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ (1596-1650) ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಏಕತೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪಾತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ವಿಚಾರಗಳಿಗೆ ಬಂದವರು ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್; ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಸ್ಥಿರ ಘಟಕ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಇತರ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅವುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಹಲವಾರು ಮೂಲಭೂತ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗಿವೆ, ಅದು ನಾವು ಒಗ್ಗಿಕೊಂಡಿರುವ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತ ಅಥವಾ ಹಂತವು ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಇತಿಹಾಸದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವಾಗಿದೆ.

ಅದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಗ್ರಾಫ್ - ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾಮಾನ್ಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಎ ಆದೇಶಿಸುತ್ತದೆ- ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳುಕಾರ್ಯಗಳು.

ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ನಾವು α ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ x ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ.
ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆα (x) ಈ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ x ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ.
ರೇಖೆಯ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದುα =с, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನೊಂದಿಗೆ

α(x) ಸಾಲು α ವೇಳೆ =с ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ದಾಟುತ್ತದೆα (x), ನಂತರ ನಾವು ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕು c = α (x) x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ

ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ

ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕದ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, │х│= a,

ಉತ್ತರ: ಒಂದು ವೇಳೆ < 0, то нет корней, a > 0, ನಂತರ x = a, x = - a, a = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ x = 0.

ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹರಿಸುವ.

ಸಮಸ್ಯೆ 1. ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?| | x | - 2 | = ಎ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಒಂದು?

ಪರಿಹಾರ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ (x; y) ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ y = | | x | - 2 | ಮತ್ತು y =ಎ . ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = | | x | - 2 | ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y =α a = 0).

ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಇದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು:

a = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆ y = a ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು y = | ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ | x | - 2 | ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳು; ಇದರರ್ಥ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು: x 1,2 = + 2).
0 ಆಗಿದ್ದರೆ< a < 2, то прямая y = α y = | ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿದೆ | x | - 2 | ನಾಲ್ಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ನಾಲ್ಕು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಒಂದು ವೇಳೆಎ = 2, ನಂತರ ಸಾಲು y = 2 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಂತರ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಒಂದು ವೇಳೆ a > 2, ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆ y = a ಮೂಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: ಒಂದು ವೇಳೆ < 0, то корней нет;
a = 0, a > 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿರುತ್ತವೆ;
a = 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮೂರು ಬೇರುಗಳಿವೆ;
0 ಆಗಿದ್ದರೆ< a < 2, то четыре корня.

ಸಮಸ್ಯೆ 2. ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?| x 2 - 2| x | - 3 | = ಎ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಒಂದು?

ಪರಿಹಾರ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ (x; y) ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ y = | X 2 - 2| x | - 3 | ಮತ್ತು y = a.

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = | X 2 - 2| x | - 3 | ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y =α ಆಕ್ಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಯಾವಾಗ a = 0).

ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ನೀವು ನೋಡಬಹುದು:

a = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆ y = a ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು y = | ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ x2 - 2| x | - 3 | ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ನೇರ ರೇಖೆ y =ಎ y = | ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ X 2 - 2| x | - 3 | ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳು a > 4. ಆದ್ದರಿಂದ, a = 0 ಮತ್ತು a ಗಾಗಿ > 4 ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
0 ಆಗಿದ್ದರೆ< ಎ< 3, то прямая y = a y = | ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿದೆ X 2 - 2| x | - 3 | ನಾಲ್ಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ನೇರ ರೇಖೆ y=ಎ ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನೊಂದಿಗೆ ನಾಲ್ಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ a = 4. ಆದ್ದರಿಂದ, 0 ನಲ್ಲಿ< a < 3, a = 4 ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ನಾಲ್ಕು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಒಂದು ವೇಳೆ a = 3, ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆ y = a ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಐದು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣವು ಐದು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಒಂದು ವೇಳೆ 3< ಎ< 4, прямая y = α ಆರು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ; ಇದರರ್ಥ ಈ ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಆರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಒಂದು ವೇಳೆಎ < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α y = | ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ X 2 - 2| x | - 3 |.

ಉತ್ತರ: ಒಂದು ವೇಳೆ < 0, то корней нет;
a = 0, a > 4 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿರುತ್ತವೆ;
0 ಆಗಿದ್ದರೆ< a < 3, a = 4, ನಂತರ ನಾಲ್ಕು ಬೇರುಗಳು;

ಒಂದು ವೇಳೆ = 3, ನಂತರ ಐದು ಬೇರುಗಳು;
ಒಂದು ವೇಳೆ 3< a < 4, то шесть корней.

ಸಮಸ್ಯೆ 3. ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಒಂದು?

ಪರಿಹಾರ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ (x; y)

ಆದರೆ ಮೊದಲು ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ:

x = 1, y = 1 ಸಾಲುಗಳು ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y = | x | +ಎ y = | ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ x | Oy ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಘಟಕದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರ.

ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆಎ > - 1; ಇದರರ್ಥ ಈ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ (1) ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಯಾವಾಗ a = - 1, a = - 2 ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ; ಇದರರ್ಥ ಈ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಸಮೀಕರಣ (1) ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ನಲ್ಲಿ - 2< ಎ< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

ಉತ್ತರ: ಒಂದು ವೇಳೆ > - 1, ನಂತರ ಒಂದು ಪರಿಹಾರ;
a = - 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, a = - 2, ನಂತರ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ;
ವೇಳೆ - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಯಾವಾಗ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ವಿಶೇಷ ಗಮನ ನೀಡಬೇಕುಎ = - 2, ಪಾಯಿಂಟ್ (- 1; - 1) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದಆದರೆ y = | ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ x | +ಎ.

ಸಮಸ್ಯೆ 4. ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

x + 2 = a | x - 1 |

ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಒಂದು?

ಪರಿಹಾರ. x = 1 ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಾನತೆ 3 =ಎ ಯಾವುದೇ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ 0 ಸರಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲಎ . ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು | ನಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ x - 1 |(| x - 1 |0), ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ xOy ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ y =ಎ ಎತ್ತು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಒಂದು ವೇಳೆ a = 0).

ನಿಯತಾಂಕದ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ a a ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ | 2 x + a | ≤ x + 2 |2x+a| \leq x+2.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಹಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು x x ಮತ್ತು a ಎಂಬ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ x O a xOa ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ.

2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (ಅಂದರೆ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ a = - 2 x a=-2x ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನದು), ಆಗ ನಾವು 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+ a ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ \leq x+2 \ಲೆಫ್ಟ್‌ರೈಟ್‌ಟಾರೋ a \leq 2-x .

ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹನ್ನೊಂದು.

ಈಗ ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ನಾವು a ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಮತಲವಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ a = const a = \textrm(const) . x x ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಾಲಿನ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a = 8 a=8 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ (ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ); a = 1 a=1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರಗಳು ಎಲ್ಲಾ x x ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ [-1 ; 1 ] [-1;1], ಇತ್ಯಾದಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂರು ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ.

1) $$a>4$$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

2) a = 4 a=4 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ x = - 2 x=-2.

ಉತ್ತರ

$$a ನಲ್ಲಿ

a = 4 a=4 - x = - 2 x=-2 ಗಾಗಿ;

$$a>4$$ ಗೆ - ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ a a ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ $$3-|x-a| > x^2$$ a) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಬಿ) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

$$3-x^2 > |x-a)$$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ. x O y xOy ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಭಾಗಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಎಡಭಾಗದ ಗ್ರಾಫ್ (0; 3) (0;3) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿದೆ. ಗ್ರಾಫ್ x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ (± 3 ; 0) (\pm \sqrt(3);0) . ಬಲಭಾಗದ ಗ್ರಾಫ್ x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಬದಿಗಳನ್ನು 45 ° 45^(\circ) ಕೋನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೃಂಗದ abscissa ಬಿಂದು x = a x = a .

a) ಅಸಮಾನತೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಲು, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಗ್ರಾಫ್ y = | x - a | y=|x-a| . ಕೋನದ ಶೃಂಗವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ A A ಮತ್ತು B B ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇದ್ದರೆ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 12 ನೋಡಿ - A A ಮತ್ತು B B ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ). ಹೀಗಾಗಿ, ಶೃಂಗದ ಯಾವ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಕೋನದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಮೂಲೆಯ ಶೃಂಗವು ಎ ಎ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನಂತರ ಕೋನದ ಬಲ ಶಾಖೆಯು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಇದರ ಇಳಿಜಾರು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ y = 3 - x 2 y = 3-x^2 ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಪರ್ಶದ ಹಂತದಲ್ಲಿ 1 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ - 2 x = 1 -2x=1, ಅಲ್ಲಿಂದ x = - 1 2 x = -\frac( 1)(2) . ನಂತರ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac(1)(2))^2 = \frac(11)(4) . ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕ k = 1 k=1 ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (-\frac(1)(2); \frac(11)(4) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ) ಕೆಳಗಿನವು * ( \^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}

ಇದು ಮೂಲೆಯ ಬಲ ಶಾಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. x ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - 13 4 -\frac(13)(4), ಅಂದರೆ A A ಬಿಂದುವು A (- 13 4 ; 0) A(-\frac(13)(4) ); 0) . ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ B B ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: B (13 4 ; 0) B(\frac(13)(4); 0) .

ಇದರಿಂದ ನಾವು a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)) .

ಬೌ) ಮೂಲೆಯ ಶೃಂಗವು ಎಫ್ ಎಫ್ ಮತ್ತು ಬಿ ಬಿ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇದ್ದರೆ ಅಸಮಾನತೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಚಿತ್ರ 13 ನೋಡಿ). ಎಫ್ ಎಫ್ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ: ಮೂಲೆಯ ಶೃಂಗವು ಎಫ್ ಎಫ್ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಬಲ ಶಾಖೆ (ವೈ = x - a y = x-a ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ (0; 3 ) (0;3) ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು a = - 3 a=-3 ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ F F ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (- 3 ; 0) (-3;0).ಆದ್ದರಿಂದ, a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4) ) .

ಉತ್ತರ

a) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) , a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)),\:\:\: b) a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4)) .

* {\^* Полезные формулы: !}

- \-- ಪಾಯಿಂಟ್ (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕ k k ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0= k(x-x_0) ;

- \-- ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕ (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) ಮತ್ತು (x 1 ; y 1) (x_1;y_1), ಇಲ್ಲಿ x 0 ≠ x 1 x_0 \neq x_1, k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac(y_1-y_0)(x_1-x_0) ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. y = k x + l y=kx+l ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = a x 2 + b x + c y = ax^2+bx+c ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ, ನೀವು ಬರೆಯಬಹುದು k x + l = a x 2 + b x + c kx+l = ax^2+bx+c ಸಮೀಕರಣವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಷರತ್ತು. A A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ: ಸಮೀಕರಣವು x - a = 3 - x 2 x-a = 3-x^2 ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \ಲೆಫ್ಟ್‌ರೈಟ್‌ಟಾರೋ D = 1 + 4(a+3) = 0 \Leftrightarrow a = -\ dfrac(13)(4) .

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಲು ರೇಖೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y = 3 x - 2 y = 3x - 2 ರೇಖೆಯು (1 ; 1) (1;1) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಘನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = x 3 y = x^3 ಅನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ (- 2 ; - 8) (-2;-8), ಅಂದರೆ x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

a ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ a , ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸಮೀಕರಣ (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2| )(x^2 +4x+1-a) = 0 a) ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಬಿ) ನಿಖರವಾಗಿ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 25 ರಲ್ಲಿನಂತೆಯೇ ಮಾಡೋಣ. ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸೋಣ x O a xOa . ಇದು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

1) a = | x + 2 | - 1 a = |x+2| -1 ಎಂಬುದು ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಶೃಂಗವು (- 2 ; - 1) (-2;-1) .

2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x^2 + 4x + 1 - ಇದು ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಶೃಂಗ (- 2 ; - 3) (-2;-3) . ಅಂಜೂರವನ್ನು ನೋಡಿ. 14.

ನಾವು ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಕೋನದ ಬಲ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ y = x + 1 y = x+1 . ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

x = 0 x=0 ಅಥವಾ x = - 3 x=-3 ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮೌಲ್ಯವು x = 0 x=0 ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ (ಬಲ ಶಾಖೆಗೆ x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0 ರಿಂದ). ನಂತರ a = 1 a = 1 . ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - (- 4 ; 1) (-4; 1) .

ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ಸಮೀಕರಣವು a a ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಮತಲವಾಗಿರುವ a = const a=\textrm(const) ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) a\in (-3;-1)\bigcup$1$ ಗಾಗಿ ನಿಜವೆಂದು ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಮೂರು ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಮೂರು ಪರಿಹಾರಗಳು ಇರುತ್ತವೆ, ಇದು a = - 1 a=-1 ಆಗ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ.

ಉತ್ತರ

a) a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) ; a\in (-3;-1)\bigcup$1$;\:\:\: b) a = - 1 a=-1 .

$$\ಆರಂಭ(ಪ್ರಕರಣಗಳು) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(ಕೇಸ್‌ಗಳು) $$

ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

x O a xOa ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನಾವು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ. $$ \begin(cases) a \leq -x^2+x,\\ a \geq \dfrac(x^2+6x)(6) .\end(ಕೇಸ್) $$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ.

ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು a = - x 2 + x a = -x^2+x ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು a = x 2 + 6 x 6 a = \dfrac(x^2 +6x)(6) ಮತ್ತು ಮೇಲಿನದು. ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳ ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಮೇಲ್ಭಾಗವು (1 2 ; 1 4) (\dfrac(1)(2);\dfrac(1)(4)), ಎರಡನೇ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಮೇಲ್ಭಾಗವು (- 1 ; - 1 6) ( -1; -\dfrac( 1)(6)), ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳು (0 ; 0) (0;0) ಮತ್ತು (4 7 ; 12 49) (\dfrac(4)(7); \dfrac(12 )(49)). ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 15. a = const a=\textrm(const) ಸಮತಲವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯು ಈ ಸೆಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು (ಅಂದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ) a = 0 a=0 ಮತ್ತು a = 1 4 a= \dfrac(1)(4) .

ಉತ್ತರ

A = 0 , a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac(1)(4)

ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ a a , ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸಿಸ್ಟಮ್

$$\begin(ಪ್ರಕರಣಗಳು) x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt(3)ax,\\ \sqrt(3)|x|-y=4 \end(ಕೇಸ್‌ಗಳು) $$

ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುವುದು:

(x 2 - 2 3 a x + 3 a 2) + (y 2 - 2 y + 1) = 1 ⇔ (x - a 3) 2 + (y - 1) 2 = 1. 18 (x^2- 2\sqrt(3)ax+3a^2)+(y^2-2y+1)=1 \ಲೆಫ್ಟ್‌ರೈಟ್‌ಟಾರೋ (x-a\sqrt(3))^2+(y-1)^2 =1. \:\:\:\ಎಡ(18\ಬಲ)

ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ x O y xOy ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ("ವೇರಿಯಬಲ್ - ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್" ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು (x; y; a) (x;y;a) ಚಿತ್ರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಕೆಲಸ; ಮೇಲಾಗಿ, ಅಂತಹ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಅಸಂಭವವಾಗಿದೆ. ದೃಶ್ಯವಾಗಿರಲು). ಸಮೀಕರಣ (18) ತ್ರಿಜ್ಯದ ಕೇಂದ್ರ (a 3 ; 1) (a\sqrt (3);1) 1 ರೊಂದಿಗಿನ ವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು a ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಳ್ಳಬಹುದು ಸಾಲು y = 1 y = 1.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವು y = 3 | x | - 4 y = \sqrt(3)|x|-4 ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ 60 ° 60^(\circ) ಕೋನದಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ (ನೇರ ರೇಖೆಯ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕವು ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನ tg 60 ° = 3 \textrm(tg )(60^(\circ)) = \sqrt(3)), ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ (0; - 4) (0;-4) .

ವೃತ್ತವು ಕೋನದ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ನಾಲ್ಕು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯ (ಚಿತ್ರ 16): ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು A A, B B, C C, D D ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿರಬಹುದು. ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ a a , ನಾವು ಡಿ ಡಿ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ D H M DHM ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. D D ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆ H M HM ವರೆಗಿನ ಅಂತರವು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ D H = 1 DH=1. ಆದ್ದರಿಂದ, D M = D H sin 60 ° = 2 3 DM=\dfrac(DH)(\textrm(sin)(60^(\circ))) = \dfrac(2)(\sqrt(3)) . M M ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು y = 1 y=1 ಮತ್ತು y = - 3 x - 4 y=-\sqrt(3)x-4 (ಮೂಲೆಯ ಎಡಭಾಗ) ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. .

ನಾವು M (- 5 3) M(-\dfrac(5)(\sqrt(3))) ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ D D ಬಿಂದುವಿನ abscissa ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac(5)(\sqrt(3))-\dfrac(2)(\sqrt(3))=-\dfrac( 7)(\ ಚದರ (3)) .

ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವು 3 a\sqrt(3) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು a = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3) .

ಉತ್ತರ

A = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3)

ನಿಯತಾಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ a a , ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸಿಸ್ಟಮ್

$$\begin(ಪ್ರಕರಣಗಳು) |4x+3y| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \ಅಂತ್ಯ(ಪ್ರಕರಣಗಳು) $$

ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

x O y xOy ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ನಾವು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ.

ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

x 2 - 14 a x + 49 + y 2 - 6 a y + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2 ) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \leftrightarrow (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8 )^2 \:\:\:\: (19)

ಯಾವಾಗ a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8), ಅಸಮಾನತೆ (19) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (7a; 3 a) (7a;3a), ಅಂದರೆ (- 56 ; - 24) (-56;-24) . a (19) ನ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಬಿಂದು (7 a; 3 a) (7a; 3a) ಕೇಂದ್ರಿತ ವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ | a + 8 | |a+8| .

ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
1) ಋಣಾತ್ಮಕ a ಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

2) a = 0 a=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0 ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು 8 ತ್ರಿಜ್ಯದ ಕೇಂದ್ರ (0; 0) (0; 0) ನೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ.

3) $$a>0$$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . ಇದು y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac(4x)(3) , ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸರಳ ರೇಖೆ 4 x + 3 y = 0 4x+ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ 3y=0 (ಚಿತ್ರ 17).

ನಾವು $$a>0$$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; a ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಿಸಿದರೆ, ನಾವು x 7 = y 3 \dfrac(x)(7)=\dfrac(y)(3) , ಅಲ್ಲಿಂದ y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಲು, ವೃತ್ತವು 2 a_2 ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ 2 a_2 ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರದ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}

ಉತ್ತರ

A = 2 a=2

* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , заданная уравнением a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . Тогда расстояние от точки M M до прямой l l определяется формулой ρ = | a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac{|ax_0+bx_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} . !}

a ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ

$$\begin(ಪ್ರಕರಣಗಳು) |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \end(cases)$$ ಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲವೇ?

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು x O y xOy ಸಮತಲದಲ್ಲಿ A B C D ABCD ಚೌಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ (ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, x ≥ 0 x\geq 0 ಮತ್ತು y ≥ 0 y\geq 0 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು x + y = ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. 1 x+y=1 . ನಾವು ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - x + y = 1 x+y=1 ಸಾಲಿನ ಭಾಗ, ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು O x Ox ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತೇವೆ O y Oy ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೆಟ್ (ಚಿತ್ರ 18 ನೋಡಿ). ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಚದರ P Q R S PQRS ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, A B C D ABCD ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ (- a ; - a) (-a;-a) . ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಚಿತ್ರ 18 ಈ ಚೌಕವನ್ನು a = - 2 a=-2 ಗಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಚೌಕಗಳು ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

P Q PQ ಮತ್ತು B C BC ವಿಭಾಗಗಳು ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡನೇ ಚೌಕದ ಕೇಂದ್ರವು ಬಿಂದು (1; 1) (1;1) ನಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. a ನ ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಮಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವು "ಮೇಲೆ" ಮತ್ತು "ಬಲಕ್ಕೆ" ಇದೆ, ಅಂದರೆ $$a1$$.

ಉತ್ತರ

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಬಿ ಬಿ ನಿಯತಾಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

$$\begin(ಪ್ರಕರಣಗಳು) y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end(ಕೇಸ್‌ಗಳು) $$

a ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಹಲವಾರು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

1) $$b2 ಆಗಿದ್ದರೆ) b = 0 b=0 , ಆಗ ಸಿಸ್ಟಮ್ $$\begin(ಕೇಸ್‌ಗಳು) y=x^2,\\ y=ax .\end(ಕೇಸ್‌ಗಳು) $$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ a ಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿ (0 ; 0) (0;0) ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ b = 0 b=0 ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

3) ನಾವು ಕೆಲವು $$b>0$$ ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸೋಣ. O x ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಮೂಲಕ y = x 2 - b y = x^2-b ಎಂಬ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದಿಂದ ಪಡೆದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 19a, b ನೋಡಿ). ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ (a ನ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಲಂಬವಾದ ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಬಿಂದು (b; 0) (b;0) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ (b; 0) (b;0) . ಬಿಂದು (ಬಿ; 0) (ಬಿ; 0) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ [- ಬಿ ; b ] [-\sqrt(b);\sqrt(b)] . abscissa ಅಕ್ಷ, ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಯಾವುದೇ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ (Fig. 19a) ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (Fig. 19b) ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಛೇದಿಸದ ನೇರ ರೇಖೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು - b ≤ b ≤ b -\sqrt(b)\leq b \leq \sqrt(b) ಮತ್ತು $$b>0$$ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು b ∈ (0 ; 1 ] b \ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ರಲ್ಲಿ (0;1] .

ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ: $$b \in $$.

ಉತ್ತರ

$$b \in $$

a ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ f (x) = x 2 - | x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$f(x) = \begin(ಕೇಸ್ಗಳು) x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\ :\: x\leq a^2 . \ಅಂತ್ಯ(ಪ್ರಕರಣಗಳು) $$

ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ, y = f (x) y=f (x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಮೇಲ್ಮುಖವಾದ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿದೆ.

ಮೇಲ್ಮುಖವಾದ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವು ಈ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಗಡಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ - ಪಾಯಿಂಟ್ x = a 2 x=a^2 . ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 ನ ಶೃಂಗವು $$x>a^2$$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬಿದ್ದರೆ ಗರಿಷ್ಠ ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗವು y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ $$x\lt a^2$$ (ಚಿತ್ರ 20 ನೋಡಿ). ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತು $$2 \gt a^2$$ ಮತ್ತು $$1 \lt a^2$$ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\ sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2)) .

ಉತ್ತರ

A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2))

a ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳು

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a ಮತ್ತು y - x ≥ 2 a (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ

$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನ್ಯಾವಿಗೇಟ್ ಮಾಡಲು, ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಇದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a = 0 a=0 . ಅಸಮಾನತೆಗಳು (20) (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ (20)) ಕೋನ ಬಿ ಎ ಸಿ ಬಿಎಸಿ (ಅಂಜೂರ 21 ನೋಡಿ) - ಅಂಕಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ y = - 2 x y=-2x ಮತ್ತು y = x y =x (ಅಥವಾ ಈ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ). ಅಸಮಾನತೆ (21) y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac(1)(2)x + \dfrac(3)(2) ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ a = 0 a=0 ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು.

a ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗೆ ನಾವು ಬೇರೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಏನು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ? ರೇಖೆಗಳ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು a ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲುಗಳು ಚಲಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ರೇಖೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೋನ B A C BAC ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರಬೇಕು l l . ಎ ಬಿ ಎಬಿ ಮತ್ತು ಎ ಸಿ ಎಸಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಲ್ ಎಲ್ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನದಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕೋನದ ಶೃಂಗವು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ l l .

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

$$\begin(ಪ್ರಕರಣಗಳು) y+2x=a,\\ y-x=2a, \end(cases)$$

ಪಾಯಿಂಟ್ A ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac(a)(3);\dfrac(5a)(3)) . ಅವರು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು (21), ಆದ್ದರಿಂದ $$\dfrac(10a)(3)+\dfrac(a)(3) > a+3$$, ಎಲ್ಲಿಂದ $$a>\dfrac(9)(8)$$ .

ಉತ್ತರ

$$a>\dfrac(9)(8)$$

§ 8. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯ.

2. ಅಜ್ಞಾತ ವಿತರಣಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ನಿರ್ಣಯ.

ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಗ್ರಾಫ್ನ ನೋಟವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದ ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.
ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದ್ದಾಗ ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸೋಣ.
ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಕಾಶ x 1, x 2, ..., x n- ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ, ಅಂದರೆ ತೋರುತ್ತಿದೆ . ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮಾದರಿ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

(66)

ಎಲ್ಲಿ

(67)

ಪಡೆದ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ () ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆ

ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು . ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳು, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ; ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನತೆಗಳು () ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

(68)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಗಮನಿಸಿ 1.ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಮಾಪನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು . ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎನಾವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ - ಮೌಲ್ಯ.

ಗಮನಿಸಿ 2.ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು () ತೊಡಕಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವರು ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ: ಪ್ರಮಾಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳು , ಬೀಳುತ್ತವೆ iನೇ ಮಧ್ಯಂತರ ] X i-1 , X i [ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮಧ್ಯಮಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಿ ಐಈ ಮಧ್ಯಂತರ, ಅಂದರೆ. c i =(X i-1 +X i)/2. ಮೊದಲ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ] X 0 , X 1 [. ಅದು ಅವನಿಗೆ ತಟ್ಟಿತು ಮೀ 1ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ 1 ರಿಂದ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೀ 1 ಸೆ 1. ಅಂತೆಯೇ, ಎರಡನೇ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಬೀಳುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೀ 2 ಜೊತೆಗೆ 2ಇತ್ಯಾದಿ ಅದಕ್ಕೇ

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ

(71)

ನಿಜವಾಗಿಯೂ,

ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಟೈಪ್ ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ಷದಿಂದ ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಡುವೆ, ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದವುಗಳಿವೆ. ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ a ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ |x 2 – 2x – 3| = a ನಾಲ್ಕು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ

y = |x 2 – 2x – 3| ಮತ್ತು y = a.

ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ y = |x 2 – 2x – 3| ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಭಾಗವನ್ನು x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = x 2 – 2x – 3 ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. x- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುವ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಭಾಗವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ.

ಇದನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಮಾಡೋಣ. y = x 2 - 2x - 3 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ನಾವು ಶೃಂಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. x 0 = -b/2a ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, x 0 = 2/2 = 1. ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ x 0 ಗಾಗಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು y 0 = 1 – 2 – 3 = -4 ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದರರ್ಥ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (1; -4).

ಮುಂದೆ, ನೀವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಶಾಖೆಗಳ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಶಾಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ x 2 – 2x – 3 = 0. ಅದರ ಬೇರುಗಳು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನಾವು x 1 = -1, x 2 = 3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಶಾಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ವಾದದ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ y = -3 ಎಂಬುದು ವೈ-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

y = |x 2 – 2x – 3| ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು, x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ x-ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಭಾಗವನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸೋಣ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

y = a ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ನಾಲ್ಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವು ನಾಲ್ಕು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ) ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ (0; 4) ಸೇರಿದ್ದರೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು: 1; 2; 3. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: 1 + 2 + 3 = 6.

ಉತ್ತರ: 6.

ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಖ್ಯೆ a ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ |x 2 – 4|x| – 1| = a ಆರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

y = |x 2 – 4|x| ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ – 1|. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ a 2 = |a| 2 ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಸಬ್‌ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಎಕ್ಸ್‌ಪ್ರೆಶನ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

ನಂತರ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವು y = |(|x| – 2) 2 – 5| ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ:

1) y = (x - 2) 2 - 5 - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ (2; -5); (ಚಿತ್ರ 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – ಹಂತ 1 ರಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಭಾಗವು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ, ಓಯ್ ಅಕ್ಷದ ಎಡಕ್ಕೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; (ಚಿತ್ರ 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - ಪಾಯಿಂಟ್ 2 ರಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಭಾಗವು x- ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇದೆ, x- ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಚಿತ್ರ 3).

ಫಲಿತಾಂಶದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

y = a ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, a ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ (1; 5) ಸೇರಿದ್ದರೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಆರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಸಮೀಕರಣವು ಆರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ) ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು:

a ನಿಯತಾಂಕದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

ಉತ್ತರ: 3.

ವೆಬ್‌ಸೈಟ್, ವಿಷಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.