ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಸಂಖ್ಯಾ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಸಂಕಲನದ ಪರಿವರ್ತಕ ಆಸ್ತಿ: ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದರಿಂದ ಮೊತ್ತದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ

ಸಂಕಲನದ ಸಂಯೋಜಿತ ಆಸ್ತಿ: ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮೂರನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a, b ಮತ್ತು c ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ

ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿವರ್ತಕ ಆಸ್ತಿ: ಅಂಶಗಳ ಮರುಜೋಡಣೆಯು ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a, b ಮತ್ತು c ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ

ಗುಣಾಕಾರದ ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಣ: ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇಯ ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು.

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a, b ಮತ್ತು c ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ

ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿ: ಮೊತ್ತದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a, b ಮತ್ತು c ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ

ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ಯಾವುದೇ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ನೀವು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1 1.23+13.5+4.27 ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಮೂರನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ನೀವು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2 1.8·0.25·64·0.5 ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ನಾಲ್ಕನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಮೂರನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

1.8·0.25·64·0.5=(1.8·0.5)·(0.25·64)=0.9·16=14.4.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿ ಕೂಡ ನಿಜ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a, b, c ಮತ್ತು d ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

ಸಬ್‌ಟ್ರಾಹೆಂಡ್‌ನ ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೈನ್ಯಾಂಡ್‌ಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ:

ಇದು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎ-ಬಿ ಟೈಪ್ ಮಾಡಿ a ಮತ್ತು -b ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, a+b-c-d ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ a, b, -c, -d, ಇತ್ಯಾದಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಂತಹ ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 3.27-6.5-2.5+1.73 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 3.27, -6.5, -2.5 ಮತ್ತು 1.73 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.

ಉದಾಹರಣೆ 4 ಉತ್ಪನ್ನ 36·() ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಗುಣಕವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು - ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

36()=36·-36·=9-10=-1.

ಗುರುತುಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿರುವ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

x=5, y=4 ಗಾಗಿ 3(x+y) ಮತ್ತು 3x+3y ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

ನಾವು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇಂದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, 3(x+y) ಮತ್ತು 3x+3y ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು 2x+y ಮತ್ತು 2xy ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಯಾವಾಗ x=1, y=2 ಅವು ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ:

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು x ಮತ್ತು y ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು ಅಂದರೆ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x=3, y=4 ಆಗಿದ್ದರೆ

3(x+y) ಮತ್ತು 3x+3y ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ 2x+y ಮತ್ತು 2xy ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಮಾನತೆ 3(x+y)=x+3y, x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸರಿ, ಒಂದು ಗುರುತು.

ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಗುರುತುಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಗುರುತುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿವೆ:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

ಗುರುತಿನ ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಾನವಾದ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರ ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

xy-xz ಯಾವಾಗ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ x, y, z, ನೀವು ಮೂರು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x=2.3, y=0.8, z=0.2 ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

xy-xz=2.3·0.8-2.3·0.2=1.84-0.46=1.38.

ನೀವು x(y-z) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಕೇವಲ ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದು xy-xz ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3·0.6=1.38.

xy-xz ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ x(y-z)

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳುನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳ ಕಡಿತ ಮತ್ತು ಆವರಣಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆ. ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ತರುವ ಸಲುವಾಗಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಿಯಮಗಳು, ನೀವು ಅವರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಕ್ಷರದ ಭಾಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು;

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಮೊದಲು ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದ್ದರೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಬಹುದು;

ಆವರಣದ ಮೊದಲು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆವರಣವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ನಾವು 5x+2x-3x ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

ಈ ರೂಪಾಂತರವು ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 2a+(b-3c) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ.

ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುವುದು:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

ನಡೆಸಿದ ರೂಪಾಂತರವು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಸಂಯೋಜಿತ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ a-(4b-c) ನಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ.

ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಮೊದಲು ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

a-(4b-c)=a-4b+c.

ರೂಪಾಂತರವು ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿ ಮತ್ತು ಸಂಕಲನದ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಅದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ. ಒಳಗೆ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಎರಡನೇ ಪದ -(4b-c) ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

ಅರ್ಜಿ ಸಲ್ಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಕ್ರಿಯೆಗಳು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಾನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರವು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3+x ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು 1+2 ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಇದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ (1+2)+x, ಇದು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ: 1+a 5 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, a 5 ಅನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a·a 4 ರೂಪ. ಇದು ನಮಗೆ 1+a·a 4 ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಈ ರೂಪಾಂತರವು ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ ಕೃತಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸಿದ್ಧತೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 4 x 3 +2 x 2 ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ, ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, 4 x 3 ಎಂಬ ಪದವನ್ನು 2 x 2 2 x ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಈ ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 2 x 2 2 x+2 x 2 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿನ ನಿಯಮಗಳು ಹೊಂದಿವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕ 2 x 2 , ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು - ಬ್ರಾಕೆಟಿಂಗ್. ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ: 2 x 2 (2 x+1) .

ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ಕೃತಕ ರೂಪಾಂತರವೆಂದರೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಏಕಕಾಲಿಕ ವ್ಯವಕಲನ. ಈ ರೂಪಾಂತರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. x 2 +2·x ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನೀವು ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಒಂದನ್ನು ಕಳೆದರೆ, ಇದು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ - ದ್ವಿಪದದ ಚೌಕ: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 -1.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

• ಬೀಜಗಣಿತ:ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 7 ನೇ ತರಗತಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ. - 17 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2008. - 240 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• ಬೀಜಗಣಿತ:ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 8 ನೇ ತರಗತಿಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ. - 16 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2008. - 271 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಬೀಜಗಣಿತ. 7 ನೇ ತರಗತಿ. ಮಧ್ಯಾಹ್ನ 2 ಗಂಟೆಗೆ ಭಾಗ 1. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು/ ಎ.ಜಿ. ಮೊರ್ಡ್ಕೋವಿಚ್. - 17 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಸೇರಿಸಿ. - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2013. - 175 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 978-5-346-02432-3.

ಪಾಠ ಪ್ರಕಾರ: ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ಜ್ಞಾನದ ವ್ಯವಸ್ಥಿತೀಕರಣದ ಪಾಠ.

ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶಗಳು:

• 9 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಾಗಲು ಹಿಂದೆ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಿ.
• ಕೆಲಸವನ್ನು ಸೃಜನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವ ಮತ್ತು ಸಮೀಪಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಕಲಿಸಿ.
• ಸಂಸ್ಕೃತಿ ಮತ್ತು ಚಿಂತನೆಯ ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಬೆಳೆಸಲು, ಅರಿವಿನ ಆಸಕ್ತಿಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ.
• ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಾಗಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಿ.

• ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಜ್ಞಾನವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು.
• ವರ್ಧಿಸು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ತಯಾರಿಯಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯ.
• ಮಾನಸಿಕ ಕೆಲಸದ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿ - ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು.

ಸಲಕರಣೆ: ಮಲ್ಟಿಮೀಡಿಯಾ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟರ್, ವರ್ಕ್ಶೀಟ್, ಗಡಿಯಾರ.

ಪಾಠ ಯೋಜನೆ: 1. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ.

1. ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.
2. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಸ್ತುಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ.
3. ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ.
4. ಮನೆಕೆಲಸ.

ತರಗತಿಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ

I. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ.

1) ಶಿಕ್ಷಕರಿಂದ ಶುಭಾಶಯಗಳು.

ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಯು ಅಕ್ರಮ ಬಳಕೆದಾರರಿಂದ ರಕ್ಷಿಸಲು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ (ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಟ್) ವಿಧಾನಗಳ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು "ಗ್ರಿಡ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾದವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡದ ಒಂದು. ಲ್ಯಾಟಿಸ್ನ ಮಾದರಿಯು ನಿಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಇದೆ. ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂದು ಯಾರಾದರೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

- ಸಂದೇಶಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ.

"ಕೆಲಸವನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುವ ಎಲ್ಲವೂ ಆಕರ್ಷಿಸುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ."

ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಲಾರಾಚೆಫೌಕಾಲ್ಡ್.

2) ಪಾಠದ ವಿಷಯ, ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶಗಳು, ಪಾಠ ಯೋಜನೆ ಕುರಿತು ಸಂದೇಶಗಳು.

- ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಲೈಡ್‌ಗಳು.

II. ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.

1) ಮೌಖಿಕ ಕೆಲಸ.

1. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ನಿಮಗೆ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗೊತ್ತು?

- ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1,2,3,4... ಇವುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವಾಗ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ

- ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು...-4,-3,-2,-1,0,1, 2... ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅವುಗಳ ವಿರುದ್ಧಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 0.

- ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ

- ಅಭಾಗಲಬ್ಧ - ಇವು ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ

- ನಿಜ - ಇವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ.

2. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು. ನಿಮಗೆ ಯಾವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಗೊತ್ತು?

- ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು.

- ವರ್ಣಮಾಲೆಯ - ಇದು ಕೆಲವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಅಸ್ಥಿರ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು.

- ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ.

- ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯವು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು.

3. ರೂಪಾಂತರಗಳು. ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಯಾವುವು?

– ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ – ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b ಇದು ನಿಜ: a+b=b+a, ab=va

– ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ – ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a, b, c, ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜ: (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(c)

- ವಿತರಣೆ - ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a, b, c ಇದು ನಿಜ: a(b+c)=av+ac

4. ಮಾಡಿ:

- ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಿ: 0.0157; 0.105; 0.07

- ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ: 0.0216; 0.12; 0.016

- ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ v68 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದು ಏನು ಪಾಯಿಂಟ್?

- ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವ ಹಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ?

- a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ನಿಜ?

III. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಸ್ತುಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ.

1. ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿ.

ಪ್ರತಿ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ವರ್ಕ್‌ಶೀಟ್ ಇದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪಾಠದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹಾಳೆಯ ಬಲ ಕಾಲಂನಲ್ಲಿ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ನಿಯೋಜನೆಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಎಡ ಕಾಲಂನಲ್ಲಿ ಮನೆಕೆಲಸವಿದೆ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮಂಡಳಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಹೊರಗೆ ಬರುತ್ತಾರೆ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮನಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:

ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 3. ಅಂಶವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ:

a 3 – av – a 2 c + a 2; x 2 y – x 2 -y + x 3.

2x+ y + y 2 - 4x 2; a – 3c +9c 2 -a 2 .

2. ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ.

ವರ್ಕ್‌ಶೀಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ, ಪಠ್ಯದ ನಂತರ ನೀವು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ಟೇಬಲ್ ಇದೆ. ಕೆಲಸವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು 7 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

"ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು" ಪರೀಕ್ಷೆ

1. 0.00019 ಅನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

1)0,019*10 -2 ; 2)0,19*10 -3 ; 3)1,9*10 -4 ; 4)19*10 -5

2. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ

3. a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ a>0, b>0, a>4b ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಸುಳ್ಳು?

1) a-2a>-3b; 2) 2a>8b; 3) a/4>b-2; 4) a+3>b+1.

4. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: (6x - 5y): (3x+y), x=1.5 ಮತ್ತು y=0.5 ಆಗಿದ್ದರೆ.

1) 1,5; 2) 1,3; 3) 1,33; 4) 2,5.

5.ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು (7 – x)(x – 4) ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು?

1)– (7 – x)(4 – x); 2) (7 - x)(4 - x);

3) – (x – 7)(4 – x); 4) (x – 7)(x-4).

ಕೆಲಸವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ, ASUOK ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ (ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ತರಬೇತಿ ಮತ್ತು ನಿಯಂತ್ರಣ ನಿರ್ವಹಣಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆ) ಬಳಸಿ ಚೆಕ್ ಅನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹುಡುಗರು ತಮ್ಮ ಡೆಸ್ಕ್‌ಮೇಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಾರೆ.

ವ್ಯಾಯಾಮ
ಉತ್ತರ:	3	1	1	2	1

6. ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ.

ಇಂದು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಾಗಲು ಸಂಗ್ರಹಣೆಗಳಿಂದ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು ನೀವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕಾದ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಭಾಗವಾಗಿದೆ.

- ಪಾಠ ಮುಗಿದಿದೆ. ಪಾಠದಿಂದ ನೀವು ಏನು ಉಪಯುಕ್ತವೆಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ?

"ತಜ್ಞ ಎಂದರೆ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಯೋಚಿಸದ ವ್ಯಕ್ತಿ, ಅವನಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ." ಫ್ರಾಂಕ್ ಹಬಾರ್ಡ್.

7. ಹೋಮ್ವರ್ಕ್

ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಗಳಲ್ಲಿ ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬೇಕಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ.

ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ವಿವಿಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಏಕಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪ್ರಮುಖ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

ಏಕಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಬಹುಪದದ ಪದಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳೆಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಏಕಪದವನ್ನು ಒಂದು ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದು.

ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಏಕಪದಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ ಪ್ರಮಾಣಿತ ನೋಟ:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
ಫಲಿತಾಂಶವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಏಕಪದಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳು.

ಹಿಂದೆ ಬಹುಪದದ ಪದವಿಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವು ಅದರ ಸದಸ್ಯರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ದ್ವಿಪದವು \(12a^2b - 7b\) ಮೂರನೇ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ \(2b^2 -7b + 6\) ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ಪದಗಳು ಘಾತಾಂಕಗಳ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

ಹಲವಾರು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು (ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು).

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಹುಪದದ ಪದಗಳನ್ನು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಗುಂಪನ್ನು ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಆವರಣಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚುವುದು ತೆರೆಯುವ ಆವರಣಗಳ ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವ ನಿಯಮಗಳು:

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಮುಂದೆ “+” ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪದಗಳನ್ನು ಅದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಮುಂದೆ “-” ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪದಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಏಕಪದ ಮತ್ತು ಬಹುಪದದ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪಾಂತರ (ಸರಳೀಕರಣ).

ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಏಕಪದ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು (ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು). ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

ಏಕಪದ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಏಕಪದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಬಹುಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಯಮದಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಏಕಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಆ ಏಕಪದವನ್ನು ಬಹುಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಮೊತ್ತದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ.

ಬಹುಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ. ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪಾಂತರ (ಸರಳೀಕರಣ).

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎರಡು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಪದದ ಪ್ರತಿ ಪದದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಒಂದು ಬಹುಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಪ್ರತಿ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು. ಒಟ್ಟು ಚೌಕಗಳು, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಕೆಲವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪಾಂತರಗಳುಇತರರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವ್ಯವಹರಿಸಬೇಕು. ಬಹುಶಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ಮತ್ತು \(a^2 - b^2 \), ಅಂದರೆ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ, ವರ್ಗ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಹೆಸರುಗಳು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \((a + b)^2 \) ಎಂಬುದು ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವಲ್ಲ, ಆದರೆ a ಮತ್ತು b ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ . ಆದಾಗ್ಯೂ, a ಮತ್ತು b ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ನಿಯಮದಂತೆ, a ಮತ್ತು b ಅಕ್ಷರಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಇದು ವಿವಿಧ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ಅನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು (ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು); ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ಕೆಲಸವನ್ನು ಎದುರಿಸಿದ್ದೀರಿ:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಲ್ಲದೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಮೌಖಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿ.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವು ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡ ಉತ್ಪನ್ನವಿಲ್ಲದೆ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಮೂರು ಗುರುತುಗಳು ಅದರ ಎಡಭಾಗದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಬಲಗೈಯ ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ - ಬಲಭಾಗದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಎಡಗೈಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಅನುಗುಣವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.