ಮೂಲವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು

ಅಭಿನಂದನೆಗಳು: ಇಂದು ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ - 8 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಮನಮುಟ್ಟುವ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ :)

ಅನೇಕ ಜನರು ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುತ್ತಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅಲ್ಲ (ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ - ಒಂದೆರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು), ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳ ಲೇಖಕರು ಮಾತ್ರ ಅಂತಹ ಕಾಡಿನ ಮೂಲಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಬರಹವನ್ನು ತಾವೇ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಮತ್ತು ನಂತರವೂ ಉತ್ತಮ ವಿಸ್ಕಿಯ ಬಾಟಲಿಯೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ :)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈಗ ನಾನು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಅತ್ಯಂತ ಸರಿಯಾದ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಸಮರ್ಥವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ - ನೀವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಏಕೈಕ. ತದನಂತರ ನಾನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ: ಇದೆಲ್ಲವೂ ಏಕೆ ಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು.

ಆದರೆ ಮೊದಲು, ಅನೇಕ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಕಂಪೈಲರ್‌ಗಳು ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ "ಮರೆತು" ಎಂಬ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ:

ಬೇರುಗಳು ಸಮ ಪದವಿಯಲ್ಲಿರಬಹುದು (ನಮ್ಮ ನೆಚ್ಚಿನ $\sqrt(a)$, ಹಾಗೆಯೇ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ $\sqrt(a)$ ಮತ್ತು $\sqrt(a)$) ಮತ್ತು ಬೆಸ ಡಿಗ್ರಿ (ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ $\sqrt) (a)$, $\ sqrt(a)$, ಇತ್ಯಾದಿ). ಮತ್ತು ಬೆಸ ಪದವಿಯ ಮೂಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಮ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಬಹುಶಃ 95% ಎಲ್ಲಾ ದೋಷಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ತಪ್ಪುಗ್ರಹಿಕೆಗಳು ಈ ಫಕಿಂಗ್ "ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ" ನಲ್ಲಿ ಮರೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತೆರವುಗೊಳಿಸೋಣ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಹ ರೂಟ್ ಎನ್ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ $a$ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿದೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ$b$ ಸಂಖ್ಯೆಯು $((b)^(n))=a$ ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ $a$ನ ಬೆಸ ಮೂಲವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ $b$ ಆಗಿದ್ದು, ಅದೇ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ $((b)^(n))=a$.

ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂಲವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\(ಎ)\]

ಅಂತಹ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ $n$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂಲ ಘಾತಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $a$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, $n=2$ ಗೆ ನಾವು ನಮ್ಮ "ಮೆಚ್ಚಿನ" ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಅಂದರೆ, ಇದು ಸಮ ಪದವಿಯ ಮೂಲವಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು $n=3$ ಗೆ ನಾವು ಘನಮೂಲವನ್ನು (ಬೆಸ ಡಿಗ್ರಿ) ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ವರ್ಗಮೂಲಗಳ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಮೂಲಕ, $\sqrt(0)=0$, ಮತ್ತು $\sqrt(1)=1$. ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ $((0)^(2))=0$ ಮತ್ತು $(1)^(2))=1$.

ಘನ ಬೇರುಗಳು ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ - ಅವರಿಗೆ ಭಯಪಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಸರಿ, ಒಂದೆರಡು "ವಿಲಕ್ಷಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳು":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಪದವಿಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗದಿದ್ದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಓದಿ. ಇದು ಅತೀ ಮುಖ್ಯವಾದುದು!

ಈ ಮಧ್ಯೆ, ನಾವು ಬೇರುಗಳ ಒಂದು ಅಹಿತಕರ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ನಾವು ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಘಾತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಬೇರುಗಳು ಏಕೆ ಬೇಕು?

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಓದಿದ ನಂತರ, ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕೇಳುತ್ತಾರೆ: "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಾಗ ಏನು ಧೂಮಪಾನ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು?" ಮತ್ತು ನಿಜವಾಗಿಯೂ: ಈ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ಏಕೆ ಬೇಕು?

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ಒಂದು ಕ್ಷಣ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ನೆನಪಿಡಿ: ಆ ​​ದೂರದ ಕಾಲದಲ್ಲಿ, ಮರಗಳು ಹಸಿರಾಗಿರುವಾಗ ಮತ್ತು dumplings ರುಚಿಯಾದಾಗ, ನಮ್ಮ ಮುಖ್ಯ ಕಾಳಜಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಗುಣಿಸುವುದು. ಸರಿ, "ಐದು ಐದು - ಇಪ್ಪತ್ತೈದು" ನಂತಹ ಏನಾದರೂ, ಅಷ್ಟೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ತ್ರಿವಳಿಗಳು, ಕ್ವಾಡ್ರುಪಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಬಹುದು:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ವಿಷಯವಲ್ಲ. ತಂತ್ರವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ: ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸೋಮಾರಿಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಹತ್ತು ಐದು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲು ಕಷ್ಟಪಟ್ಟರು:

ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವರು ಪದವಿಗಳನ್ನು ಪಡೆದರು. ದೀರ್ಘ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗೆ ಬದಲಾಗಿ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ನಂತೆ ಏಕೆ ಬರೆಯಬಾರದು? ಈ ರೀತಿಯ ಏನಾದರೂ:

ಇದು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ! ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸುಮಾರು 5,183 ಅನ್ನು ಬರೆಯಲು ನೀವು ಚರ್ಮಕಾಗದದ ಹಾಳೆಗಳು ಮತ್ತು ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯರ್ಥ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ, ಆದರೆ ಸಂತೋಷವು ಅಲ್ಪಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು.

ಪದವಿಗಳ "ಆವಿಷ್ಕಾರ" ಕ್ಕಾಗಿ ಆಯೋಜಿಸಲಾದ ಭವ್ಯವಾದ ಕುಡಿಯುವ ಪಾರ್ಟಿಯ ನಂತರ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮೊಂಡುತನದ ಕೆಲವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ಕೇಳಿದರು: "ನಮಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದವಿ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೇ?" ಈಗ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ $b$ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, 5 ನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ 243 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, $b$ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಗೆ ಊಹಿಸಬಹುದು?

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ ತೋರುತ್ತಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಜಾಗತಿಕವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ "ಸಿದ್ಧ" ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ "ಆರಂಭಿಕ" ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು. ನಿಮಗಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಿ:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಒಂದು ವೇಳೆ $((b)^(3))=50$? ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಮೂರು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಮಗೆ 50 ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಏನು? 3 3 = 27 ರಿಂದ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ 3 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. ಅಂದರೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂರರಿಂದ ನಾಲ್ಕು ನಡುವೆ ಎಲ್ಲೋ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಗಣಿತಜ್ಞರು $n$th ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಂದರು. ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಮೂಲಭೂತ ಚಿಹ್ನೆ $\sqrt(*)$ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. $b$ ಅನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲು, ಇದು ಸೂಚಿಸಿದ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ನಮಗೆ ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

ನಾನು ವಾದಿಸುವುದಿಲ್ಲ: ಆಗಾಗ್ಗೆ ಈ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ - ನಾವು ಅಂತಹ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಇನ್ನೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪದವಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಭಯಾನಕ ಬಮ್ಮರ್ಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತೀರಿ.

ಅಲ್ಲೇನಿದೆ! ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಚಿತವಾದ $\sqrt(2)$ ಅನ್ನು ಸಹ ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ. ಮತ್ತು ನೀವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಇದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಯಾವುದೇ ತರ್ಕವನ್ನು ಪಾಲಿಸದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ. ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಹೋಲಿಸಲು ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

\[\sqrt(2)=1.4142...\ಅಂದಾಜು 1.4 \lt 1.5\]

ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

\[\sqrt(3)=1.73205...\ಅಂದಾಜು 1.7 \gt 1.5\]

ಆದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸುತ್ತುಗಳು, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಾಕಷ್ಟು ಒರಟು; ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ನೀವು ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನೀವು ಸ್ಪಷ್ಟವಲ್ಲದ ದೋಷಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹಿಡಿಯಬಹುದು (ಮೂಲಕ, ಹೋಲಿಕೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಂಭೀರವಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ - ಅವರು ನಮಗೆ ಬಹಳ ಹಿಂದಿನಿಂದಲೂ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಂತೆಯೇ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ $\mathbb(R)$ ಗಳ ಒಂದೇ ಸಮಾನ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು.

$\frac(p)(q)$ ರೂಪದ ಭಾಗವಾಗಿ ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅಸಮರ್ಥತೆ ಎಂದರೆ ಈ ಮೂಲವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಥವಾ ಇತರ ನಿರ್ಮಾಣಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ (ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಅಧಿಕಾರಗಳು, ಮಿತಿಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ) ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಬಾರಿ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು.

ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಂತರ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇನ್ನೂ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುವ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ಸುಮಾರು 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\ಅಂದಾಜು -1.2599... \\ \end(align)\]

ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ, ಮೂಲದ ನೋಟದಿಂದ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ದಿನಾಂಕದ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಸಹ ನಮಗೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ತರಗಳನ್ನು $\sqrt(5)$ ಮತ್ತು $\sqrt(-2)$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ದಾಖಲಿಸಲು.

ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಏಕೆ ಬೇಕು?

ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುವ ಓದುಗರು ಬಹುಶಃ ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸರಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಮೊದಲಿನಿಂದಲೂ. ಆದರೆ ಘನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಶಾಂತವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು - ಅದು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು.

ಇದು ಏಕೆ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ? $y=((x)^(2))$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ

ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು $\sqrt(4)$ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ $y=4$ ಸಮತಲವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ), ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ: $((x)_(1))=2$ ಮತ್ತು $((x )_(2)) =-2$. ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ

ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ - ಇದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಮೂಲವಾಗಿದೆ:

ಆದರೆ ಎರಡನೆಯ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ನಾಲ್ಕು ಒಂದೇ ಬಾರಿಗೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿದ್ದಂತೆ? ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ −2 ಅನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು 4 ಅನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ $\sqrt(4)=-2$ ಅನ್ನು ಏಕೆ ಬರೆಯಬಾರದು? ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರು ನಿಮ್ಮನ್ನು ತಿನ್ನಲು ಬಯಸಿದಂತೆ ಅಂತಹ ಪೋಸ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಏಕೆ ನೋಡುತ್ತಾರೆ?

ತೊಂದರೆ ಏನೆಂದರೆ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸದಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ ಎರಡು ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ - ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ. ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಹ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ - ಇದನ್ನು ಅದೇ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ನೋಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಎಂದಿಗೂ ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಬೀಳುವುದಿಲ್ಲ ವೈ, ಅಂದರೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಮ ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ:

1. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು $n$ ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ;
2. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ, $n$ ಸಹ ಹೊಂದಿರುವ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಸಮ ಡಿಗ್ರಿ $n$ ನ ಮೂಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನಾವು ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

ಆದರೆ ಬೆಸ $n$ ಗೆ ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆ ಇಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, $y=((x)^(3))$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಘನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಘನ ಮೂಲವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು

ಈ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಎರಡು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

1. ಘನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳು, ನಿಯಮಿತ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತವೆ - ಎರಡೂ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮತಲವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಯಾವ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆಯೋ, ಈ ರೇಖೆಯು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನಮ್ಮ ಗ್ರಾಫ್ನೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಘನಮೂಲವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು;
2. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅಂತಹ ಛೇದಕವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು "ಸರಿಯಾದ" ಮೂಲವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನೀವು ಯೋಚಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಬೆಸ ಪದವಿಗೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸಮ ಪದವಿಗಿಂತ ಸರಳವಾಗಿದೆ (ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿಲ್ಲ).

ಹೆಚ್ಚಿನ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಸರಳ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸದಿರುವುದು ವಿಷಾದದ ಸಂಗತಿ. ಬದಲಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಮಿದುಳುಗಳು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೇಲೇರಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತವೆ.

ಹೌದು, ನಾನು ವಾದಿಸುವುದಿಲ್ಲ: ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಯಾವುದು ಎಂದು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮತ್ತು ನಾನು ಇದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇನೆ. ಇಂದು ನಾವು ಅದರ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಇಲ್ಲದೆ $n$-th ಗುಣಾಕಾರದ ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಆಲೋಚನೆಗಳು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಆದರೆ ಮೊದಲು ನಾನು ಮೇಲೆ ನೀಡಿದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಹೇರಳವಾದ ನಿಯಮಗಳಿಂದಾಗಿ, ಅಂತಹ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆ ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಏನೂ ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸೂಚಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಸಂಗ್ರಹಿಸೋಣ:

1. ಸಮ ಪದವಿಯ ಮೂಲವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ ಮೂಲವನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.
2. ಆದರೆ ಬೆಸ ಪದವಿಯ ಮೂಲವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವತಃ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು: ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಕ್ಯಾಪ್ ಸುಳಿವುಗಳಂತೆ, ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಷ್ಟವೇ? ಇಲ್ಲ, ಇದು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ. ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ? ಹೌದು, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ! ಈಗ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳು

ಬೇರುಗಳು ಅನೇಕ ವಿಚಿತ್ರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ - ಇದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈಗ ನಾವು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖವಾದ "ಟ್ರಿಕ್" ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಸಮ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\ಎಡ| x\ಬಲ|\]

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಶಕ್ತಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದರೆ, ನಾವು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್. ಇದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸರಳ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ (ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ $x$ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಋಣಾತ್ಮಕವಾದವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ). ಶಿಕ್ಷಕರು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿ ಶಾಲೆಯ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಮೂಲಭೂತ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು) ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಬಂದ ತಕ್ಷಣ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರ್ವಾನುಮತದಿಂದ ಮರೆತುಬಿಡುತ್ತಾರೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಒಂದು ನಿಮಿಷಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮರೆತುಬಿಡೋಣ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\ಕ್ವಾಡ್ \sqrt(((\ಎಡ(-3 \ಬಲ))^(4))=?\]

ಇವು ತುಂಬಾ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಜನರು ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಅನೇಕ ಜನರು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಅಮೇಧ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

1. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಿ, ಇದು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಸುಲಭ. ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಕಂಡುಬರುವ ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ;
2. ಮತ್ತು ಈಗ ಈ ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಆ. ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳ "ಕಡಿತ" ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ - ಇವು ಅನುಕ್ರಮ ಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ: $\sqrt(((3)^(4)))$. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನೀವು ಮೊದಲು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

ನಂತರ ನಾವು 81 ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ಎರಡನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡೋಣ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ −3 ಅನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಅದನ್ನು 4 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ಎಡ(-3 \ಬಲ)=81\]

ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ಒಟ್ಟು ಮೈನಸ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವೆಲ್ಲವೂ ಪರಸ್ಪರ ರದ್ದುಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಮೈನಸ್‌ಗೆ ಮೈನಸ್ ಪ್ಲಸ್ ನೀಡುತ್ತದೆ). ನಂತರ ನಾವು ಮತ್ತೆ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ:

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಈ ಸಾಲನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಉತ್ತರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಯಾವುದೇ ಮಿದುಳು ಅಲ್ಲ. ಆ. ಅದೇ ಸಮ ಶಕ್ತಿಯ ಸಮ ಮೂಲವು ಮೈನಸಸ್‌ಗಳನ್ನು "ಸುಡುತ್ತದೆ", ಮತ್ತು ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ನಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\ಎಡ(-3 \ಬಲ))^(4)))=\ಎಡ| -3 \right|=3. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸಮ ಪದವಿಯ ಮೂಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಒಪ್ಪಂದದಲ್ಲಿವೆ: ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಚಿಹ್ನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮೂಲವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಗಮನಿಸಿ

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ ಎಂದರೆ ನಾವು ಮೊದಲು $a$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ $((a)^(2))\ge 0$ ರಿಂದ ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ನಕಾರಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಖಚಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು;
2. ಆದರೆ ಸಂಕೇತ $(\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ನಾವು ಮೊದಲು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ $a$ ನ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದರ್ಥ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆ $a$ ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು - ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಡ್ಡಾಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಲೋಚನೆಯಿಲ್ಲದೆ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಾರದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು "ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು" ಎಂದು ಆರೋಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಘಾತಾಂಕವು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಹ ಸೂಚಕಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.

ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು

ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಬೆಸ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೇರುಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಸಹ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಬೆಸ ಪದವಿಯ ಬೇರುಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಇದು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಅನಾನುಕೂಲಗಳನ್ನು "ಎಸೆಯಲು" ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಣೆ)\]

ಈ ಸರಳ ಆಸ್ತಿಯು ಅನೇಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ನೀವು ಚಿಂತಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ: ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮರೆಮಾಡಿದರೆ, ಆದರೆ ಮೂಲದಲ್ಲಿನ ಪದವಿ ಸಮವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದರೆ ಏನು? ಬೇರುಗಳ ಹೊರಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೈನಸಸ್‌ಗಳನ್ನು "ಎಸೆಯಲು" ಸಾಕು, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಬಹುದು, ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದ ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು "ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ" ಬೇರುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮನ್ನು ಮುನ್ನಡೆಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ದೋಷ.

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ದೃಶ್ಯಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ - ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ನಮ್ಮ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಭೇಟಿ ಮಾಡಿ!

ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ

ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ವಿಪರೀತ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಒಂದು ಕ್ಷಣ ಊಹಿಸೋಣ. ಸಮ/ಬೆಸ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಮರೆತುಬಿಡೋಣ, ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಮರೆತುಬಿಡೋಣ - ನಾವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಏನು?

ತದನಂತರ ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಇದು ನಮ್ಮ “ಪ್ರಮಾಣಿತ” ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಶಃ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳಿಂದ ಇನ್ನೂ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. $((b)^(n))=a$ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯ $n$ನೇ ಪದವಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ $b$.

ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಾವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಬದಲಾಗಿ, ಒಂದು ಹೊಸ ನಿರ್ಬಂಧವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು: ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಈಗ ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಮೂಲವು ಸಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲವು ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ಚೌಕ ಮತ್ತು ಘನ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಹುಡುಕಾಟ ಪ್ರದೇಶ - ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಇಂದಿನಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ತುಣುಕುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - ಅಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $x$ ಮತ್ತು $y$ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಶೂನ್ಯ). ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಾಕಲು ನಮಗೆ ಹಕ್ಕಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನೀವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸೂಚಕವನ್ನು ನೋಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ನೀವು ಕೇಳಬಹುದು: "ಸರಿ, ನಮಗೆ ಅಂತಹ ತಟಸ್ಥ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಏಕೆ ಬೇಕು?" ಅಥವಾ: "ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ಏಕೆ ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ?"

ಸರಿ, ನಾನು ಕೇವಲ ಒಂದು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ ಏಕೆಂದರೆ ಹೊಸ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಘಾತೀಯತೆಯ ನಿಯಮ:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ನಾವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಘಾತವನ್ನು ಅದೇ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು - ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

ಹಾಗಾದರೆ ಏನು ದೊಡ್ಡ ವಿಷಯ? ನಾವು ಇದನ್ನು ಮೊದಲೇ ಏಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ? ಕಾರಣ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಸರಳವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: $\sqrt(-2)$ - ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಮ್ಮ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತಿಳುವಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ್ದೇವೆ (ನಾವು ಪ್ರತಿ ಹಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಘಾತವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ಆ. ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

WTF?! ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದು ಹೇಗೆ? ಅಸಾದ್ಯ. ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಘಾತೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಧರ್ಮದ್ರೋಹವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಹೋಗಲಾಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿಯೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ದೊಡ್ಡ ಪಾಠವನ್ನು ಅವರಿಗೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಅವರ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈಗ ಅವರ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸುವುದಿಲ್ಲ - ಪಾಠವು ಈಗಾಗಲೇ ತುಂಬಾ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

ಬೀಜಗಣಿತ ಮೂಲ: ಹೆಚ್ಚು ತಿಳಿಯಲು ಬಯಸುವವರಿಗೆ

ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಹಾಕಬೇಕೇ ಅಥವಾ ಬೇಡವೇ ಎಂದು ನಾನು ಬಹಳ ಸಮಯ ಯೋಚಿಸಿದೆ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಾನು ಅದನ್ನು ಇಲ್ಲಿಯೇ ಬಿಡಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದೆ. ಈ ವಸ್ತುವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಇನ್ನೂ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುವವರಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ - ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸರಾಸರಿ "ಶಾಲಾ" ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ $n$ ನೇ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಘಾತಾಂಕಗಳಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಭಜನೆಯ "ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಜೊತೆಗೆ, ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದ ಹೆಚ್ಚು "ವಯಸ್ಕ" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿದೆ. ಇದನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತ ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಯಾವುದೇ $a$ ನ ಬೀಜಗಣಿತದ $n$ನೇ ಮೂಲವು $((b)^(n))=a$ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ $b$ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾಪಿತ ಪದನಾಮವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಡ್ಯಾಶ್ ಅನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

\[\ overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದು ಸೆಟ್. ಮತ್ತು ನಾವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಈ ಸೆಟ್ ಕೇವಲ ಮೂರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ:

1. ಖಾಲಿ ಸೆಟ್. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಮ ಪದವಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ;
2. ಒಂದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್. ಬೆಸ ಶಕ್ತಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಶೂನ್ಯದ ಸಮ ಶಕ್ತಿಗಳ ಬೇರುಗಳು ಈ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತವೆ;
3. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸೆಟ್ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು - ಅದೇ $((x)_(1))$ ಮತ್ತು $((x)_(2))=-((x)_(1))$ ಗ್ರಾಫ್ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯ. ಅಂತೆಯೇ, ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಮ ಪದವಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಾಧ್ಯ.

ಕೊನೆಯ ಪ್ರಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಅರ್ಹವಾಗಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ:

\[\ಓವರ್‌ಲೈನ್(\sqrt(4));\ಕ್ವಾಡ್ \ಓವರ್‌ಲೈನ್(\sqrt(-27));\ಕ್ವಾಡ್ \ಓವರ್‌ಲೈನ್(\sqrt(-16)).\]

ಪರಿಹಾರ. ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ:

\[\ಓವರ್‌ಲೈನ್(\sqrt(4))=\ಎಡ\(2;-2 \ಬಲ\)\]

ಇದು ಸೆಟ್ನ ಭಾಗವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವರ್ಗವು ನಾಲ್ಕು ನೀಡುತ್ತದೆ.

\[\ಓವರ್‌ಲೈನ್(\sqrt(-27))=\ಎಡ\(-3 \ಬಲ\)\]

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗುಂಪನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲ ಘಾತಾಂಕವು ಬೆಸವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ:

\[\ಓವರ್‌ಲೈನ್(\sqrt(-16))=\ವರ್ನಥಿಂಗ್ \]

ನಾವು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ನಾಲ್ಕನೇ (ಅಂದರೆ, ಸಹ!) ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಿದಾಗ, ನಮಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ -16 ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಒಂದೇ ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ.

ಅಂತಿಮ ಟಿಪ್ಪಣಿ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ನಾವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾನು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಗಮನಿಸಿದ್ದು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಅಲ್ಲ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಇರುವುದರಿಂದ - ಅಲ್ಲಿ $\sqrt(-16)$ ಮತ್ತು ಇತರ ಹಲವು ವಿಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಧುನಿಕ ಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ನಮ್ಮ ಅಧಿಕಾರಿಗಳು ವಿಷಯವನ್ನು "ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಅಷ್ಟೇ. ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬೇರುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ನಾನು ಮತ್ತೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನೋಡಿದೆ ... ಮತ್ತು, ಹೋಗೋಣ!

ಸರಳವಾದ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

ಕೇವಲ ಒಂದು ನಿಮಿಷ. ಇದು, ಅಂದರೆ ನಾವು ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಅರ್ಥವಾಯಿತು? ನಿಮಗಾಗಿ ಮುಂದಿನದು ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗಿಲ್ಲವೇ? ತೊಂದರೆ ಇಲ್ಲ - ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಎರಡು ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಗುಣಕಗಳು ಇದ್ದರೆ ಏನು? ಅದೇ! ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಸೂತ್ರವು ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ:

ಈಗ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಮ್ಮದೇ ಆದ ಮೇಲೆ:

ಉತ್ತರಗಳು:ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ! ಒಪ್ಪುತ್ತೇನೆ, ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು!

ರೂಟ್ ವಿಭಾಗ

ನಾವು ಬೇರುಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಈಗ ನಾವು ವಿಭಜನೆಯ ಆಸ್ತಿಗೆ ಹೋಗೋಣ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಅಂದರೆ ಅಂಶದ ಮೂಲವು ಬೇರುಗಳ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸರಿ, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ವಿಜ್ಞಾನವೂ ಅಷ್ಟೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸುಗಮವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ, ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ.

ನೀವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡರೆ ಏನು:

ನೀವು ಕೇವಲ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ:

ನೀವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಬಹುದು:

ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಭಾಷಾಂತರಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು (ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ವಿಷಯವನ್ನು ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಹಿಂತಿರುಗಿ!). ನಿನಗೆ ನೆನಪಿದೆಯಾ? ಈಗ ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ!

ನೀವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಿಭಾಯಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನನಗೆ ಖಾತ್ರಿಯಿದೆ, ಈಗ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಘಾತ

ವರ್ಗಮೂಲವು ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲದ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ - ಇದು ವರ್ಗಮೂಲವು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವರ್ಗಮೂಲವು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ವರ್ಗ ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು ಏನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ?

ಸರಿ, ಖಂಡಿತ,!

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಸರಿ? ಬೇರು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಹಂತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಏನು? ಪರವಾಗಿಲ್ಲ!

ಅದೇ ತರ್ಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ.

"" ವಿಷಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಓದಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ನಿಮಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಇದೆ:

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಪದವಿ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಘಾತಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಅಂಶೀಕರಿಸಿ:

ಇದರೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೇಗೆ ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು? ಇಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು:

ಬಹಳ ಸರಳ, ಸರಿ? ಪದವಿ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಏನು? ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದೇ ತರ್ಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸರಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಯೇ? ನಂತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರವೇಶಿಸುವುದು

ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಏನು ಮಾಡಲು ನಾವು ಕಲಿತಿಲ್ಲ! ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ!

ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸುಲಭ!

ನಾವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ

ನಾವು ಅದನ್ನು ಏನು ಮಾಡಬಹುದು? ಸರಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಮೂರನ್ನು ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮರೆಮಾಡಿ, ಮೂರು ವರ್ಗಮೂಲ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ!

ನಮಗೆ ಇದು ಏಕೆ ಬೇಕು? ಹೌದು, ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಮ್ಮ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು:

ಬೇರುಗಳ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತೀರಿ? ಇದು ಜೀವನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ನನಗೆ, ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಸರಿ! ಮಾತ್ರ ವರ್ಗಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಮೂದಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಿ -
ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದೀರಾ? ನೀವು ಏನನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು ಎಂದು ನೋಡೋಣ:

ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ! ನೀವು ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಲು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದೀರಿ! ಅಷ್ಟೇ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ - ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೋಲಿಸುವುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ!

ಬೇರುಗಳ ಹೋಲಿಕೆ

ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ನಾವು ಏಕೆ ಕಲಿಯಬೇಕು?

ತುಂಬಾ ಸರಳ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಇದು ಏನೆಂದು ನೆನಪಿಡಿ? ನಾವು ಇಂದು ಈ ಬಗ್ಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇವೆ!)

ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವ ಮಧ್ಯಂತರವು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅದು ಇಲ್ಲದೆ, ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಗೆ ಊಹಿಸಬಹುದು? ಅಷ್ಟೇ!

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: ಅಥವಾ?

ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ಡಿಸ್ಅಸೆಂಬಲ್ ಮಾಡಿದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸೋಣವೇ?

ನಂತರ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ:

ಸರಿ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮೂಲವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ!

ಆ. ವೇಳೆ, ನಂತರ,.

ಇದರಿಂದ ನಾವು ದೃಢವಾಗಿ ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಯಾರೂ ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ!

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ಇದಕ್ಕೂ ಮೊದಲು, ನಾವು ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುಣಕವನ್ನು ನಮೂದಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು? ನೀವು ಅದನ್ನು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನೀವು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕು!

ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಇತರ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು:

ಕೆಟ್ಟದ್ದಲ್ಲ, ಸರಿ? ಈ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಸರಿಯಾಗಿದೆ, ನೀವು ಬಯಸಿದಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಈ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಅಪವರ್ತನವು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ:

ಭಯಪಡಬೇಡಿ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸೋಣ! ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ:

ಈಗ ನೀವೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ (ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲದೆ! ಇದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ):

ಇದು ಅಂತ್ಯವೇ? ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ನಿಲ್ಲಿಸೋಣ!

ಅಷ್ಟೆ, ಇದು ತುಂಬಾ ಭಯಾನಕವಲ್ಲ, ಸರಿ?

ಸಂಭವಿಸಿದ? ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ, ಅದು ಸರಿ!

ಈಗ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

ಆದರೆ ಉದಾಹರಣೆಯು ಬಿರುಕು ಬಿಡಲು ಕಠಿಣವಾದ ಅಡಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಮೀಪಿಸಬೇಕೆಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ, ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಬಹುದು.

ಸರಿ, ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣವೇ? ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಗಮನಿಸೋಣ (ವಿಭಜನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ):

ಈಗ, ನೀವೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ (ಮತ್ತೆ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲದೆ!):

ಸರಿ, ಅದು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆಯೇ? ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ, ಅದು ಸರಿ!

ಅದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸೋಣ

1. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವು (ಅಂಕಗಣಿತದ ವರ್ಗಮೂಲ) ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದರ ವರ್ಗವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
   .
2. ನಾವು ಯಾವುದಾದರೂ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
3. ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:
4. ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮೂಲವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ವರ್ಗಮೂಲ ಹೇಗಿದೆ? ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಪಷ್ಟ?

ವರ್ಗಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಮುಜುಗರವಿಲ್ಲದೆ ನಿಮಗೆ ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಈಗ ನಿನ್ನ ಸರದಿ. ಈ ವಿಷಯವು ನಿಮಗೆ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಮಗೆ ಬರೆಯಿರಿ.

ನೀವು ಹೊಸದನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಾ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲವೂ ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಯೇ?

ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಶುಭವಾಗಲಿ!

\(\sqrt(a)=b\), \(b^2=a\), ಅಲ್ಲಿ \(a≥0,b≥0\)

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

\(\sqrt(49)=7\), ರಿಂದ \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\), ರಿಂದ \(0.2^2=0.04\)

ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು, ನೀವೇ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು: ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನೀಡುತ್ತದೆ?

ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಿರಿ: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0.001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) ವರ್ಗವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) ವರ್ಗವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) ವರ್ಗವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ \(0.0001\)?

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

ಡಿ) ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆ ವರ್ಗವು \(\sqrt(1\frac(13)(36))\) ನೀಡುತ್ತದೆ? ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ನೀವು ಅದನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ: ಆದರೂ \(-50\), \(-\frac(2)(3)\), \(-0.01\),\(- \frac(7)(6)\), ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೂ ಉತ್ತರಿಸಿ, ಆದರೆ ವರ್ಗಮೂಲವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಬೇರಿನ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ

ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಕ್ರಿಯೆಯು ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ವ್ಯವಕಲನವಿದೆ, ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಭಾಗಾಕಾರವಿದೆ. ವರ್ಗಮೂಲದ ವಿಲೋಮವು ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕ್ರಮಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸರಿದೂಗಿಸುತ್ತದೆ:

\((\sqrt(a))^2=a\)

ಇದು ಮೂಲದ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (OGE ಸೇರಿದಂತೆ)

ಉದಾಹರಣೆ . (OGE ನಿಂದ ನಿಯೋಜನೆ). ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

ಪರಿಹಾರ :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

ಉದಾಹರಣೆ . (OGE ನಿಂದ ನಿಯೋಜನೆ). \((\sqrt(85)-1)^2\) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ:

ಉತ್ತರ: \(86-2\sqrt(85)\)

ಸಹಜವಾಗಿ, ವರ್ಗಮೂಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ನೀವು ಇತರರನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ . (OGE ನಿಂದ ನಿಯೋಜನೆ). \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
ಪರಿಹಾರ:

ಉತ್ತರ: \(220\)

ಜನರು ಯಾವಾಗಲೂ ಮರೆತುಬಿಡುವ 4 ನಿಯಮಗಳು

ಮೂಲವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ

ಉದಾಹರಣೆ: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\), ಇತ್ಯಾದಿ. - ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ!

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲ, ಸಹ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ

\(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\), ಯಾವುದೇ ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಚಿಕಿತ್ಸೆ ನೀಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇವುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಆದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲ, ಹೌದು, ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಪ್ರಪಂಚದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಮೂಲವನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಂತಹ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\), ಇತ್ಯಾದಿ.

ಸಂಖ್ಯೆ 9 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಒಂಬತ್ತನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಭಾಜಕ 3 => 9/3 = 3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, 3.3 = 9 ಅಥವಾ 3 2 = 9. ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 27, 27 = 3.3.3 = 3 3. ಹೀಗಾಗಿ, 9 ಮತ್ತು 27 ವಾಸ್ತವವಾಗಿ 2 ಮತ್ತು 3 ರ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದೇವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲವು (ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಮೂಲ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮೂಲದ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಿದಾಗ, ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮಗೆ ಮತ್ತೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಈ ಭಾಜಕವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಮೂಲವು ಘಾತೀಯತೆಯ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಪದವಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, 9 ರ ವರ್ಗಮೂಲವು 3, √9 ಮತ್ತು 27 ರ ಘನಮೂಲವು 3 = 3 √ 27 ಆಗಿದೆ

a ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, x 2 = a ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: x = +√ ಎಅಥವಾ x = -√ ಎ.

$\sqrt(x)$ = $\sqrt(x)$

a ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, x 3 = a ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ => x = 3√a. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂಲವನ್ನು ಪದವಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

$x^(\frac(m)(n))=\sqrt[n](x^m)=(\sqrt[n](x))^m$

ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರ

ಒಂದು ವೇಳೆ n ಸಹ:
$\sqrt[n](x^n)=x$

ಒಂದು ವೇಳೆ n ಬೆಸ:
$\sqrt[n](x^n)=|x|$

ಉದಾಹರಣೆ: $\sqrt(x^3)=x$, ಆದರೆ $\sqrt(x^4)=|x|$

$\sqrt[n](a \cdot b)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$

ಪುರಾವೆ:ಅದನ್ನು ಕೈಗೆತ್ತಿಕೊಳ್ಳೋಣ n√abಇದು (ab) 1/n ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಶಕ್ತಿಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 1/n .b 1/n ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಥವಾ n √ a n √ b

$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))$

ಪುರಾವೆ: n √ a/b = (a/b) 1/nಮತ್ತು ಪದವಿಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 1/n /b 1/n ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಥವಾ n √ a / n √ b

$\sqrt[n](\sqrt[m](a))=\sqrt(a)$

ಪುರಾವೆ:ಇದ್ದರೆ n√ m√aಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ n √a 1/m, ಮತ್ತು ಇದು (a 1/m) 1/n ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪದವಿಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 1/(m.n) , ಅಥವಾ n ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. m√a