ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಪಾಠ "ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು"

ಪಾಠ 1

ವಿಷಯ: 11 ನೇ ತರಗತಿ (ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ)

ಸರಳೀಕರಣ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು.

ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. (2 ಗಂಟೆಗಳು)

ಗುರಿಗಳು:

  • ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿ, ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪಾಠಕ್ಕೆ ಸಲಕರಣೆಗಳು:

ಪಾಠ ರಚನೆ:

  1. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ
  2. ಲ್ಯಾಪ್‌ಟಾಪ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಚರ್ಚೆ.
  3. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು
  4. ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
  5. ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ.
  6. ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ. ಹೋಮ್ವರ್ಕ್ ನಿಯೋಜನೆಯ ವಿವರಣೆ.

1. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ. (2 ನಿಮಿಷಗಳು.)

ಶಿಕ್ಷಕರು ಪ್ರೇಕ್ಷಕರನ್ನು ಸ್ವಾಗತಿಸುತ್ತಾರೆ, ಪಾಠದ ವಿಷಯವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸುತ್ತಾರೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಕೆಲಸವನ್ನು ಅವರಿಗೆ ಹಿಂದೆ ನೀಡಲಾಗಿತ್ತು ಎಂದು ನೆನಪಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ.

2. ಪರೀಕ್ಷೆ. (15 ನಿಮಿಷ + 3 ನಿಮಿಷ ಚರ್ಚೆ)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ತಮ್ಮ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಆವೃತ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಲ್ಯಾಪ್‌ಟಾಪ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ.

ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಗಳಿರಬಹುದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೀಡುತ್ತೇನೆ:

ನಾನು ಆಯ್ಕೆ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:

a) ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳು

1. ಪಾಪ 2 3y + cos 2 3y + 1;

ಬಿ) ಸೇರ್ಪಡೆ ಸೂತ್ರಗಳು

3. sin5x - sin3x;

ಸಿ) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು

6. 2sin8y cos3y;

ಡಿ) ಡಬಲ್ ಕೋನ ಸೂತ್ರಗಳು

7. 2sin5x cos5x;

ಇ) ಅರ್ಧ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು

ಎಫ್) ಟ್ರಿಪಲ್ ಕೋನ ಸೂತ್ರಗಳು

ಮತ್ತು) ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪರ್ಯಾಯ

h) ಪದವಿಯಲ್ಲಿ ಕಡಿತ

16. ಕಾಸ್ 2 (3x/7);

ಪ್ರತಿ ಸೂತ್ರದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಲ್ಯಾಪ್‌ಟಾಪ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾರೆ.

ಕೆಲಸವನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ನಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೋಡಲು ದೊಡ್ಡ ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಲ್ಲದೆ, ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಿದ ನಂತರ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಲ್ಯಾಪ್ಟಾಪ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಎಲ್ಲಿ ತಪ್ಪು ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನೋಡುತ್ತಾನೆ.

3. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಳೀಕರಣ. (25 ನಿಮಿಷ)

ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದು, ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ B7 ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಆನ್ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿವರ್ಗವನ್ನು ಬಲವಾದ ಜನರ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅವರು ನಂತರದ ಪರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ) ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳುಯಾರು ಶಿಕ್ಷಕರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಪ್ರಬಲ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ನಿಯೋಜನೆ (ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮುದ್ರಿತ ಆಧಾರ) ಮುಖ್ಯ ಒತ್ತು ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಕೋನ 2011 ರ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕಾರ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ (ಪ್ರಬಲ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ):

ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಶಿಕ್ಷಕರು ದುರ್ಬಲ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

6)

ಸರಳಗೊಳಿಸುವ:

ಬಲವಾದ ಗುಂಪಿನ ಕೆಲಸದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವ ಸಮಯ ಇದು.

ಉತ್ತರಗಳು ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಗೋಚರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವೀಡಿಯೊ ಕ್ಯಾಮೆರಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 5 ವಿಭಿನ್ನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ).

ದುರ್ಬಲ ಗುಂಪು ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರದ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತದೆ. ಚರ್ಚೆ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿದೆಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಬಳಸಿ ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಧಾನಗಳುಇದು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

4. ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. (30 ನಿಮಿಷ)

ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದು, ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರ B3.

ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದರ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಸರಳವಾದವುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಾಗ, ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗಮನ ಹರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

5. ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ (10 ನಿಮಿಷ.)

ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು, ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ದೋಷಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಬಹು ಹಂತದ ಕೆಲಸವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆಯ್ಕೆ "3"

1) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

2) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 1 - ಪಾಪ 2 3α - cos 2 3α ಅನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ

3) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

"4" ಗಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ

1) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

2) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಆಯ್ಕೆ "5"

1) ವೇಳೆ tanα ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

2) ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

6. ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ (5 ನಿಮಿಷ.)

ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮತ್ತು ಬಲಪಡಿಸಿದ ವಿಷಯವನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳು, ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಹೋಮ್ವರ್ಕ್ ಅನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ (ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಮುದ್ರಿತ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಸ್ಥಳ ಪರಿಶೀಲನೆಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

9)

10) ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ, ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

ಪಾಠ 2

ವಿಷಯ: 11 ನೇ ತರಗತಿ (ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು. ರೂಟ್ ಆಯ್ಕೆ. (2 ಗಂಟೆಗಳು)

ಗುರಿಗಳು:

  • ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿ.
  • ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸಿ ಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ವೀಕ್ಷಿಸುವ, ಹೋಲಿಸುವ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ, ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ.
  • ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿನ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಜಯಿಸಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಿಸಿ ಮಾನಸಿಕ ಚಟುವಟಿಕೆ, ಸ್ವಯಂ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕೆ, ಒಬ್ಬರ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ಆತ್ಮಾವಲೋಕನ.

ಪಾಠಕ್ಕೆ ಸಲಕರಣೆಗಳು:ಕೆಆರ್‌ಎಂಯು, ಪ್ರತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಲ್ಯಾಪ್‌ಟಾಪ್.

ಪಾಠ ರಚನೆ:

  1. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ
  2. d/z ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂ ಚರ್ಚೆ. ಕೊನೆಯ ಪಾಠದಿಂದ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿ
  3. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ವಿಮರ್ಶೆ.
  4. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
  5. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳ ಆಯ್ಕೆ.
  6. ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ.
  7. ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ. ಮನೆಕೆಲಸ.

1. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ (2 ನಿ.)

ಶಿಕ್ಷಕರು ಪ್ರೇಕ್ಷಕರನ್ನು ಸ್ವಾಗತಿಸುತ್ತಾರೆ, ಪಾಠದ ವಿಷಯ ಮತ್ತು ಕೆಲಸದ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸುತ್ತಾರೆ.

2. a) ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮನೆಕೆಲಸ(5 ನಿಮಿಷಗಳು.)

ಮರಣದಂಡನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ವೀಡಿಯೊ ಕ್ಯಾಮರಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರ ತಪಾಸಣೆಗಾಗಿ ಆಯ್ದವಾಗಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಿ) ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ(3 ನಿಮಿಷ)

ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಇವೆ; ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ.

3. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ವಿಮರ್ಶೆ (5 ನಿಮಿಷ.)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕೇಳಿ. ಮೂಲಭೂತ (ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸುವ) ವಿಧಾನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತು ಇದೆ ಅನ್ವಯಿಕ ವಿಧಾನಗಳು:

ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

4. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (30 ನಿಮಿಷ.)

ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ C1 ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ತಯಾರಿ ಮಾಡಲು, ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ ವಿಧಾನಕ್ಕೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸೂಕ್ತವೆಂದು ನಾನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇನೆ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತಾನೆ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಅದನ್ನು ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಇಡೀ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ಮ ಸ್ಮರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹಿಂದೆ ಮುಚ್ಚಿದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಮರುಪಡೆಯಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

1) ವೇರಿಯಬಲ್ 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0 ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು

2) ಅಪವರ್ತನ 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) ಮೊತ್ತವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೊತ್ತ 2sinx sin2x + cos3x = 0 ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು

6) ಪದವಿಯ ಕಡಿತ sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5

7) ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯ ಸಿಂಕ್ಸ್ + 5ಕೋಸ್‌ಎಕ್ಸ್ + 5 = 0.

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು ಈ ವಿಧಾನಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು tg(x/2) ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಶ್ರೇಣಿಯ ಕಿರಿದಾಗುವಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೊದಲು, π + 2πn, n Z ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಕುದುರೆಗಳಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು.

8) ಸಹಾಯಕ ಕೋನ √3sinx + cosx - √2 = 0 ಪರಿಚಯ

9) ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ cosx ಕಾರ್ಯ cos2x cos4x = 1/8.

5. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳ ಆಯ್ಕೆ (20 ನಿಮಿಷ.)

ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವಾಗ ತೀವ್ರ ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಎರಡನೇ ಭಾಗದ (C1, C2, C3) ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಠದ ಈ ಹಂತದ ಗುರಿಯು ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆ 2011 ರಿಂದ C1 ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ತಯಾರಿ ಮಾಡುವುದು.

ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದು ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಂದಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವು ಅಲ್ಲ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ, ಸಮ ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚಿದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಮತ್ತು ಒಳಗೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಆವೃತ್ತಿಎರಡನೇ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ C1.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಒಂದು ಭಾಗವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಘಟಕ ವೃತ್ತಬೇರುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ (ಚಿತ್ರ 1 ನೋಡಿ)

ಚಿತ್ರ 1.

ನಾವು x = π + 2πn, n Z ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಉತ್ತರ: π + 2πn, n Z

ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ, ಬೇರುಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಬಣ್ಣದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರ

ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ)

"ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಳೀಕರಣ" ಎಂಬ ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠವು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅರ್ಜಿ ಸಲ್ಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ದೃಶ್ಯ ವಸ್ತು, ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ವಸ್ತುವಿನ ಎದ್ದುಕಾಣುವ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಕಂಠಪಾಠವನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸುತ್ತದೆ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳು. ಅನಿಮೇಷನ್ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಮತ್ತು ಧ್ವನಿ-ಓವರ್ ಬಳಕೆಯು ವಿಷಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಕರನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಈ ದೃಶ್ಯ ಸಾಧನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಶಿಕ್ಷಕರು ಬೋಧನೆಯ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು.

ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ವಿಷಯವನ್ನು ಘೋಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಪರದೆಯು sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, ಇಲ್ಲಿ kϵZ ಗಾಗಿ t≠π/2+πk, ctg t=cos t/sin t, t≠πk ಗೆ ಸರಿ, ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ kϵZ, tg t· ctg t=1, t≠πk/2 ಗಾಗಿ, ಅಲ್ಲಿ kϵZ, ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಈ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಈ ಗುರುತುಗಳ ಅನ್ವಯದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಕೆಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ, cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಅದನ್ನು ಆವರಣದಿಂದ ಹೊರಗಿಡಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕಕಾಸ್ 2 ಟಿ. ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಈ ರೂಪಾಂತರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, 1- cos 2 t ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮುಖ್ಯ ಗುರುತಿನಿಂದ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಪಾಪ 2 t ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ ನಂತರ, ಇನ್ನೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಾದ sin 2 t ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ sin 2 t (sin 2 t+cos 2 t) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಮೂಲಭೂತ ಗುರುತಿನಿಂದ ನಾವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸರಳೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವೆಚ್ಚ/(1- ಸಿಂಟ್)+ ವೆಚ್ಚ/(1+ ಸಿಂಟ್) ಅನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಎರಡೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನಂತರ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಗುಣಿಸುವುದು (1- ಸಿಂಟ್)(1+ ಸಿಂಟ್). ತಂದ ನಂತರ ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಿಯಮಗಳುಅಂಶವು 2 ಉಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದ 1 - ಪಾಪ 2 ಟಿ. ಪರದೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಜ್ಞಾಪನೆ ಇದೆ ಗುರುತಿನ ಪಾಪ 2 t+cos 2 t=1. ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವನ್ನು 2 ಟಿ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವೆಚ್ಚ/(1- ಸಿಂಟ್)+ ವೆಚ್ಚ/(1+ ಸಿಂಟ್)=2/ವೆಚ್ಚದ ಸರಳೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಮುಂದೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮೂಲ ಗುರುತುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಗುರುತಿನ ಪುರಾವೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3 ರಲ್ಲಿ, ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. ಪರದೆಯ ಬಲಭಾಗವು ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೂರು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t ಮತ್ತು tg t=sin t/cos t ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ. ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ತೆರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಮುಖ್ಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತಿನ tg t·ctg t=1 ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಉತ್ಪನ್ನವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ctg 2 t ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 1-ಕಾಸ್ 2 ಟಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಖ್ಯ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 ರಲ್ಲಿ, ನೀವು tg t+ctg t=6 ಆಗಿದ್ದರೆ tg 2 t+ctg 2 t ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಮೊದಲು ಸಮಾನತೆಯ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ (tg t+ctg t) 2 =6 2. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರದೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆದ ನಂತರ, ಮೊತ್ತ tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t ರಚನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ನೀವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಗುರುತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು tg t·ctg t=1 , ಇದರ ರೂಪವನ್ನು ಪರದೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ, ಸಮಾನತೆ tg 2 t+ctg 2 t=34 ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತರವು 34. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

"ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಳೀಕರಣ" ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠವನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಬಳಸಲು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಶಾಲೆಯ ಪಾಠಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ವಸ್ತುವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ದೂರ ಶಿಕ್ಷಣ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ.

ಪಠ್ಯ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್:

"ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಳೀಕರಣ."

ಸಮಾನತೆಗಳು

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sine square te ಜೊತೆಗೆ cosine square te ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ)

2)tgt =, t ≠ + πk ಗೆ, kϵZ (ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ te ಎಂಬುದು ಸೈನ್ ಟೆ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಟೆಯ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು te ಜೊತೆಗೆ te ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಪೈಗೆ ಎರಡು ಪ್ಲಸ್ ಪೈ ಕಾ, ka zet ಗೆ ಸೇರಿದೆ)

3)ctgt = , t ≠ πk ಗಾಗಿ, kϵZ (ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ te ಎಂಬುದು ಕೊಸೈನ್ ಟೆ ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಟೆಯ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು te ಜೊತೆಗೆ ಪೈ ಕಾಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ, ಕಾ ಝೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ).

4) tgt ∙ ctgt = 1 ಗಾಗಿ t ≠ , kϵZ (ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ te ನಿಂದ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ te ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಯಾವಾಗ te ಪೀಕ್ ಕಾಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ, ಎರಡರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ka zet ಗೆ ಸೇರಿದೆ)

ಮೂಲಭೂತ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (ನಾಲ್ಕನೇ ಡಿಗ್ರಿ te ಜೊತೆಗೆ ನಾಲ್ಕನೇ ಡಿಗ್ರಿ te ನ ಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಟೆ ಮೈನಸ್ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು).

ಪರಿಹಾರ. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t· (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = ಪಾಪ 2 ಟಿ 1 = ಪಾಪ 2 ಟಿ

(ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶ ಕೊಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ te ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಏಕತೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗದ ಕೊಸೈನ್ ಟೆ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಮೊದಲ ಗುರುತಿನ ಮೂಲಕ ವರ್ಗ ಸೈನ್ ಟೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ನಾಲ್ಕನೇ ಪವರ್ ಸೈನ್ ಟೆಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಉತ್ಪನ್ನ ಕೊಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಟೆ ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ te. ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಹೊರಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಾದ ಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಟೆ ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸೈನ್‌ನ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಮೂಲತಃ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಸೈನ್ ಟೆ) ವರ್ಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ: + .

(ಬಿ ಎಂಬುದು ಛೇದದ ಮೊದಲ ಕೊಸೈನ್ ಟೆಯ ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಛೇದದ ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಸೈನ್ ಟೆ, ಎರಡನೇ ಕೊಸೈನ್ ಟೆಯ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದು ಪ್ಲಸ್ ಸೈನ್ ಟೆ).

(ಕಾಮನ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಕೊಸೈನ್ ಟೆ ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಸೈನ್ ಟೆ ಬೈ ವನ್ ಪ್ಲಸ್ ಸೈನ್ ಟೆನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ: ಒನ್ ಪ್ಲಸ್ ಸೈನ್ ಟೆ ಪ್ಲಸ್ ಒನ್ ಮೈನಸ್ ಸೈನ್ ಟೆ, ನಾವು ಸಮಾನವಾದವುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ಸಮಾನವಾದವುಗಳನ್ನು ತಂದ ನಂತರ ಅಂಶವು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಛೇದದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು (ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಮತ್ತು ಏಕತೆ ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಟೆಯ ಚೌಕದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರ

ಕೊಸೈನ್ ಟೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊಸೈನ್ ಟೆ ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ ನಾವು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಎರಡು ಕೊಸೈನ್ ಟೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ).

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಾಗ ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಗುರುತನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ te ವರ್ಗದಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕ te ಮತ್ತು ಸೈನ್ te ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉತ್ಪನ್ನವು ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸೈನ್ ಟೆ).

ಪುರಾವೆ.

ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳೋಣ ಎಡಬದಿಸಮಾನತೆ:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 ಟಿ = ಪಾಪ 2 ಟಿ

(ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ; ಹಿಂದೆ ಪಡೆದ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಟೆಯಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಟೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಆ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ te ಅನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಸೈನ್ ಟೆಯಿಂದ ಕೊಸೈನ್ ಟೆ, ಅಂದರೆ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವರ್ಗವು ಸೈನ್ ಟೆಯ ವರ್ಗದಿಂದ ಕೊಸೈನ್ ಟೆಯ ವರ್ಗದ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ te ಯಿಂದ ಕಡಿತಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ ನಾವು ಏಕತೆ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಟೆ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ te ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 4. tgt + ctgt = 6 ಆಗಿದ್ದರೆ tg 2 t + ctg 2 t ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

(ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಮೊತ್ತವು ಆರು ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕ te ಮತ್ತು cotangent te ನ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ).

ಪರಿಹಾರ. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

ಮೂಲ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡೋಣ:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (ಸ್ಪರ್ಶಕ te ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ te ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವು ಆರು ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ: ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಮೊದಲನೆಯ ಪ್ಲಸ್ ಎರಡು ಬಾರಿ ಮೊದಲನೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರ ವರ್ಗ. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 ನಾವು tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ te ಜೊತೆಗೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಟೆ ಯ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ te ಜೊತೆಗೆ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ te ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೂವತ್ತಾರು) .

ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ te ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ te ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (ಸ್ಪರ್ಶಕ te ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ te ಮತ್ತು ಎರಡರ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೂವತ್ತಾರುಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ),