ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ- ಅತ್ಯಂತ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳುವಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಇನ್ನಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿಯಮಗಳುವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಇತರ ಪಾಠಗಳನ್ನು ನೋಡಿ:

• ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ನೀಡಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿ ಬಳಸಿ. ಅವರು ನಿಮಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳುಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ, ಬಳಕೆಗೆ ಅರ್ಥವಾಗುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಕರಣಗಳ “ಚೀಟ್ ಶೀಟ್” ಇದೆ, ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೂ ವಿವರಣೆಗಳಿವೆ.

ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

1. ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ
с´ = 0
ಉದಾಹರಣೆ:
5´ = 0

ವಿವರಣೆ:
ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಬದಲಾದಾಗ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವ ದರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ವೇರಿಯೇಬಲ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನ
x´ = 1

ವಿವರಣೆ:
ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ (x) ನ ಪ್ರತಿ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು (ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶ) ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, y = x ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವು ವಾದದ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
сx´ = с
ಉದಾಹರಣೆ:
(3x) = 3
(2x) = 2
ವಿವರಣೆ:
IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ( X) ಅದರ ಮೌಲ್ಯ (y) ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆಒಮ್ಮೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವಾದದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆ.

ಅದು ಎಲ್ಲಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
(cx + b)" = c
ಅಂದರೆ, y=kx+b ರೇಖಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಇಳಿಜಾರುನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು (ಕೆ).

4. ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಉತ್ಪನ್ನಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ಗೆ ಈ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
|x|"= x / |x| x ≠ 0 ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ
ವಿವರಣೆ:
ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು (ಸೂತ್ರ 2 ಅನ್ನು ನೋಡಿ) ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮೂಲ ಬಿಂದುವನ್ನು ದಾಟಿದಾಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರದ ಮೌಲ್ಯವು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ y = |x|. ಮತ್ತು x/< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - ಒಂದು. ಅಂದರೆ, ಯಾವಾಗ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳುವೇರಿಯಬಲ್ x, ವಾದದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳಿಗಿಂತ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಅದು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ.

5. ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಪವರ್‌ಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಈ ಶಕ್ತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದರಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಶಕ್ತಿಗೆ ವೇರಿಯಬಲ್
(x c)"= cx c-1, x c ಮತ್ತು cx c-1 ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು c ≠ 0
ಉದಾಹರಣೆ:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು:
ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಪದವಿಯನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ, ತದನಂತರ ಡಿಗ್ರಿಯನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x 2 ಗಾಗಿ - ಎರಡು x ಗಿಂತ ಮುಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಶಕ್ತಿ (2-1 = 1) ನಮಗೆ 2x ಅನ್ನು ನೀಡಿತು. x 3 ಗಾಗಿ ಅದೇ ಸಂಭವಿಸಿದೆ - ನಾವು ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು "ಕೆಳಗೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ", ಅದನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಘನಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ ನಾವು ಚೌಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ 3x 2. ಸ್ವಲ್ಪ "ಅವೈಜ್ಞಾನಿಕ" ಆದರೆ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ.

6.ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
ಉದಾಹರಣೆ:
ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಪದವಿ
(1/x)" = (x -1)", ನಂತರ ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ನಿಯಮ 5 ರಿಂದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪದವಿಯ ವೇರಿಯಬಲ್ನೊಂದಿಗೆಛೇದದಲ್ಲಿ
(1 / x ಸಿ)" = - c / x c+1
ಉದಾಹರಣೆ:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. ಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ(ವರ್ಗಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ)
(√x)" = 1 / (2√x)ಅಥವಾ 1/2 x -1/2
ಉದಾಹರಣೆ:
(√x)" = (x 1/2)" ಎಂದರೆ ನೀವು ನಿಯಮ 5 ರಿಂದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪದವಿಯ ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

ಮೊದಲ ಹಂತ

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಸಮಗ್ರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ (2019)

ಗುಡ್ಡಗಾಡು ಪ್ರದೇಶದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರವಾದ ರಸ್ತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ. ಅಂದರೆ, ಅದು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಲಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಎಡಕ್ಕೆ ತಿರುಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಕ್ಷವನ್ನು ರಸ್ತೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ, ರಸ್ತೆ ರೇಖೆಯು ಕೆಲವು ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ:

ಅಕ್ಷವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ಶೂನ್ಯ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ; ನಾವು ಸಮುದ್ರ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಅದರಂತೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂತಹ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಮುಂದೆ ಸಾಗುವಾಗ, ನಾವು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸಹ ಹೇಳಬಹುದು: ವಾದವು ಬದಲಾದಾಗ (ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲನೆ), ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲನೆ). ಈಗ ನಮ್ಮ ರಸ್ತೆಯ "ಕಡಿದಾದ" ಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಎಂದು ಯೋಚಿಸೋಣ? ಇದು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು? ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರವನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಎತ್ತರವು ಎಷ್ಟು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಆನ್ ವಿವಿಧ ಪ್ರದೇಶಗಳುರಸ್ತೆಗಳು, ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಮುಂದೆ (x- ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ) ಚಲಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಏರುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ ಬೀಳುತ್ತೇವೆ ವಿವಿಧ ಪ್ರಮಾಣಗಳುಸಮುದ್ರ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೀಟರ್ (ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ).

ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ("ಡೆಲ್ಟಾ x" ಓದಿ).

ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರವನ್ನು (ಡೆಲ್ಟಾ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ "ಬದಲಾವಣೆ". ಅಂದರೆ - ಇದು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ, - ಬದಲಾವಣೆ; ಹಾಗಾದರೆ ಅದು ಏನು? ಅದು ಸರಿ, ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ.

ಪ್ರಮುಖ: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. "ಡೆಲ್ಟಾ" ಅನ್ನು "x" ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಎಂದಿಗೂ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬೇಡಿ! ಅಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, .

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮುಂದೆ, ಅಡ್ಡಲಾಗಿ, ಮೂಲಕ. ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನೊಂದಿಗೆ ರಸ್ತೆಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಏರಿಕೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ? ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ, . ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮುಂದೆ ಹೋದಂತೆ, ನಾವು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಏರುತ್ತೇವೆ.

ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ: ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಚಲಿಸಿದ ನಂತರ ನಾವು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಆರಂಭಿಕಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಅದು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಆರೋಹಣವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವರೋಹಣ.

ನಾವು "ಕಡಿದಾದ" ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ: ಇದು ದೂರದ ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಎತ್ತರವು ಎಷ್ಟು (ಕಡಿದಾದ) ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ:

ರಸ್ತೆಯ ಕೆಲವು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಮುಂದೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ರಸ್ತೆಯು ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಏರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಈ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇಳಿಜಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ರಸ್ತೆ, ಮೀ ಮೂಲಕ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಕಿಮೀಯಿಂದ ಕೈಬಿಟ್ಟರೆ? ನಂತರ ಇಳಿಜಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಬೆಟ್ಟದ ತುದಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನೀವು ಶಿಖರಕ್ಕೆ ಅರ್ಧ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಮೊದಲು ವಿಭಾಗದ ಪ್ರಾರಂಭವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ ಅರ್ಧ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಎತ್ತರವು ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು.

ಅಂದರೆ, ನಮ್ಮ ತರ್ಕದ ಪ್ರಕಾರ, ಇಲ್ಲಿ ಇಳಿಜಾರು ಬಹುತೇಕ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ಕೇವಲ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಬಹಳಷ್ಟು ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕಡಿದಾದ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಒಂದು ಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಚಲಿಸುವಾಗ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನೀವು ಅಳತೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ನಿಖರತೆ ಕೂಡ ನಮಗೆ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ರಸ್ತೆಯ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಂಬವಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗಬಹುದು. ನಂತರ ನಾವು ಯಾವ ದೂರವನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕು? ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್? ಮಿಲಿಮೀಟರ್? ಕಡಿಮೆ ಉತ್ತಮ!

IN ನಿಜ ಜೀವನಹತ್ತಿರದ ಮಿಲಿಮೀಟರ್‌ಗೆ ದೂರವನ್ನು ಅಳೆಯುವುದು ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚು. ಆದರೆ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಪೂರ್ಣತೆಗಾಗಿ ಶ್ರಮಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು ಅಪರಿಮಿತ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಹೆಸರಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಹೇಳುತ್ತೀರಿ: ಒಂದು ಟ್ರಿಲಿಯನ್! ಎಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ? ಮತ್ತು ನೀವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ - ಮತ್ತು ಅದು ಇನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಬರೆಯಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: (ನಾವು "x ಸೊನ್ನೆಗೆ ಒಲವು" ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ). ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು!ಆದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ಹತ್ತಿರ. ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಅದರ ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ (). ನೀವು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ನೀವು ಬಹುಶಃ ಈಗಾಗಲೇ ಅದನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ: ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನೀವು ಯೋಚಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಎರಡರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಇನ್ನೂ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನಂತ ಇದಲ್ಲದೆಏನಾಗುವುದೆಂದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದು ಮತ್ತು ಅನಂತ ಚಿಕ್ಕದು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ: at.

ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ರಸ್ತೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ. ಆದರ್ಶಪ್ರಾಯವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಇಳಿಜಾರು ಮಾರ್ಗದ ಅಪರಿಮಿತ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಇಳಿಜಾರು, ಅಂದರೆ:

ಅನಂತವಾದ ಸ್ಥಳಾಂತರದೊಂದಿಗೆ, ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಸಹ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ. ಆದರೆ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಎಂದರೆ ಅರ್ಥವಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ. ನೀವು ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ವಿಭಜಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಸಾಕಷ್ಟು ಪಡೆಯಬಹುದು ನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, . ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ ನಿಖರವಾಗಿ ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದೆಲ್ಲ ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? ರಸ್ತೆ, ಕಡಿದಾದ ... ನಾವು ಕಾರ್ ರ್ಯಾಲಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಾವು ಗಣಿತವನ್ನು ಕಲಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್‌ನ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್‌ನ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವಂತೆಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅವರು ಬದಲಾವಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ () ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವಾಗ ಎಷ್ಟು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಾದ ಹೆಚ್ಚಳಮತ್ತು ದೂರದಿಂದ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವಾಗ ಕಾರ್ಯ (ಎತ್ತರ) ಎಷ್ಟು ಬದಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗ ಎಂಬ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಾರ್ಯದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಮೇಲಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ: ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ರಸ್ತೆಯೊಂದಿಗಿನ ಸಾದೃಶ್ಯದಂತೆ, ಇಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಹುದೇ? ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಮತಲ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಚಾಲನೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಕಡಿದಾದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದು ನಿಜ, ಎತ್ತರವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ: ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಿಯೆಯ (ಸ್ಥಿರ) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬೆಟ್ಟದ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳನ್ನು ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಜೋಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು ವಿವಿಧ ಬದಿಗಳುಮೇಲಿನಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಎತ್ತರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ವಿಭಾಗವು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಭಾಗಗಳು ತಪ್ಪಾದ ಅಳತೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ನಾವು ನಮ್ಮ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಅದರ ಉದ್ದವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಮೇಲ್ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅದು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಉಳಿಯಿತು, ಅಂದರೆ, ಅದರ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇದು ಒಲವು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನ

ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು: ನಾವು ಅತ್ಯಂತ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಂತಾಗ, ಎಡಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಣ್ಣ ಶಿಫ್ಟ್ ನಮ್ಮ ಎತ್ತರವನ್ನು ನಗಣ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿವರಣೆಯೂ ಇದೆ: ಶೃಂಗದ ಎಡಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೊದಲೇ ಕಂಡುಕೊಂಡಂತೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಜಿಗಿತಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸರಾಗವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ರಸ್ತೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ತನ್ನ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ತೀವ್ರವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳುಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಇರಬೇಕು. ಇದು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಶೃಂಗದ ಹಂತದಲ್ಲಿ.

ತೊಟ್ಟಿಗೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ (ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ):

ಏರಿಕೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ವಾದವನ್ನು ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಯಾವ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತೇವೆ? ಅದು (ವಾದ) ಈಗ ಏನಾಯಿತು? ನಾವು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಅದರಿಂದ ನೃತ್ಯ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಅದೇ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ವಾದವೇನು? ಬಹಳ ಸುಲಭ: . ಈಗ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ ಏನು? ವಾದವು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಕಾರ್ಯವೂ ಸಹ ಹೋಗುತ್ತದೆ: . ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಹೊಸದೇನೂ ಇಲ್ಲ: ಇದು ಇನ್ನೂ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ:

ಏರಿಕೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ:

1. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳವು ಸಮಾನವಾದಾಗ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
2. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೂ ಅದೇ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

IN ವಿವಿಧ ಅಂಕಗಳುಅದೇ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಜೊತೆಗೆ, ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನಾವು ಇದನ್ನು ಆರಂಭದಲ್ಲಿಯೇ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ - ರಸ್ತೆಯ ಕಡಿದಾದವು ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ, ಯಾವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೂಚಿಸಬೇಕು:

ಪವರ್ ಕಾರ್ಯ.

ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎನ್ನುವುದು ವಾದವು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಇರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ತಾರ್ಕಿಕ, ಸರಿ?).

ಇದಲ್ಲದೆ - ಯಾವುದೇ ಮಟ್ಟಿಗೆ: .

ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣ- ಇದು ಘಾತವಾದಾಗ:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ ವಾದವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳ ಏನು?

ಹೆಚ್ಚಳ ಇದು. ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ:

ಉತ್ಪನ್ನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಬಿ) ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯ (): .

ಈಗ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದರರ್ಥ ಹೆಚ್ಚಳದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇತರ ಪದದ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ನಿಯಮವನ್ನು ತಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಸಿ) ನಾವು ತಾರ್ಕಿಕ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು: ಮೊತ್ತದ ಘನದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೊದಲ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಅಥವಾ ಘನಗಳ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿ. ಸೂಚಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ನೀವೇ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ:

ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು:

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: .

ಡಿ) ದೊಡ್ಡ ಅಧಿಕಾರಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಇ) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಪೂರ್ಣಾಂಕವೂ ಅಲ್ಲ:

(2)

ನಿಯಮವನ್ನು ಪದಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು: "ಪದವಿಯನ್ನು ಗುಣಾಂಕವಾಗಿ ಮುಂದಕ್ಕೆ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ."

ನಾವು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ನಂತರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ (ಬಹುತೇಕ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ). ಈಗ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

1. (ಎರಡು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ: ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು - ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ);

1. . ಇದನ್ನು ನಂಬಿರಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ, ಇದು ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ "ಇದು ಹೇಗೆ? ಪದವಿ ಎಲ್ಲಿದೆ?”, ವಿಷಯ ನೆನಪಿರಲಿ “”!
   ಹೌದು, ಹೌದು, ಮೂಲವು ಸಹ ಒಂದು ಪದವಿಯಾಗಿದೆ, ಕೇವಲ ಭಾಗಶಃ: .
   ಇದರರ್ಥ ನಮ್ಮ ವರ್ಗಮೂಲವು ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ:
   .
   ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಕಲಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ:

   ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ಮತ್ತೆ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಷಯವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ ""!!! (ಸುಮಾರು ಪದವಿಯೊಂದಿಗೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸೂಚಕ)

2. . ಈಗ ಘಾತ:

   ಮತ್ತು ಈಗ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ (ನೀವು ಇನ್ನೂ ಮರೆತಿದ್ದೀರಾ?):
   ;
   .
   ಈಗ, ಎಂದಿನಂತೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ:
   .

3. . ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ: .

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಉನ್ನತ ಗಣಿತದಿಂದ ಒಂದು ಸತ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ.

ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ನ ಮೊದಲ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ನೀವು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವಿರಿ (ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಲು, ನೀವು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಬೇಕು). ಈಗ ನಾನು ಅದನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ - ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾದಷ್ಟೂ ಕಾರ್ಯವು "ಗುರಿ" ಆಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನೀವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಹೌದು, ಹೌದು, ನಾಚಿಕೆಪಡಬೇಡ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ: ;

ನಿಮ್ಮ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ರೇಡಿಯನ್ಸ್ ಮೋಡ್‌ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ!

ಇತ್ಯಾದಿ ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ದಿ ಹತ್ತಿರದ ಮೌಲ್ಯಗೆ ಸಂಬಂಧ

ಎ) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎಂದಿನಂತೆ, ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಸೈನ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ("" ವಿಷಯವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ): .

ಈಗ ಉತ್ಪನ್ನ:

ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ: . ಅನಂತರ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಕ್ಕೆ ಅದು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮವೂ ಆಗಿದೆ: . ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಅದನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು, ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ, ನಲ್ಲಿ) ಅಪರಿಮಿತ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ ಏನು.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮುಂದಿನ ನಿಯಮ:ಸೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇವು ಮೂಲ ("ಕೋಷ್ಟಕ") ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅವರು ಒಂದು ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ:

ನಂತರ ನಾವು ಅವರಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಇವುಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದವು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಭ್ಯಾಸ:

1. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ;
2. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

1. ಮೊದಲಿಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ, ತದನಂತರ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:
   ;
   .
2. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯದ್ದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯ. ಅವಳನ್ನು ಕರೆತರಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ
   ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ:
   .
   ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ, ಈಗ ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:
   .
   .
3. . Eeeeeee..... ಏನಿದು????

ಸರಿ, ನೀವು ಹೇಳಿದ್ದು ಸರಿ, ಅಂತಹ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅವರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಬೇಕು:

ಘಾತ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು "ಘಾತ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಆಧಾರವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ - ಇದು ಅನಂತವಾಗಿದೆ ದಶಮಾಂಶ, ಅಂದರೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ). ಇದನ್ನು "ಯೂಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಇದನ್ನು ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿಯಮ:

ನೆನಪಿಡುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ.

ಸರಿ, ನಾವು ದೂರ ಹೋಗಬಾರದು, ಅದನ್ನು ತಕ್ಷಣ ನೋಡೋಣ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ. ಯಾವ ಕಾರ್ಯವು ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ? ಲಾಗರಿಥಮ್:

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಧಾರವು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ:

ಅಂತಹ ಲಾಗರಿಥಮ್ (ಅಂದರೆ, ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್) ಅನ್ನು "ನೈಸರ್ಗಿಕ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ವಿಶೇಷ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಬದಲಿಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇದು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ? ಖಂಡಿತವಾಗಿ, .

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
2. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಯಾವುದು?

ಉತ್ತರಗಳು: ಪ್ರದರ್ಶಕ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್- ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ನಂತರ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಿಯಮಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗೋಣವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

ಯಾವುದರ ನಿಯಮಗಳು? ಮತ್ತೆ ಹೊಸ ಪದ, ಮತ್ತೆ?!...

ವ್ಯತ್ಯಾಸಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಅಷ್ಟೇ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಂದೇ ಪದದಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಏನು ಕರೆಯಬಹುದು? ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಲ್ಲ... ಗಣಿತಜ್ಞರು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಅದೇ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಪದವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಬಂದಿದೆ - ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಇಲ್ಲಿ.

ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆದಾಗ, ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು. ಅವರ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕಾಗಿ ನಮಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

ಒಟ್ಟು 5 ನಿಯಮಗಳಿವೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೇಳೆ - ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ(ಸ್ಥಿರ), ನಂತರ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ನಿಯಮವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸಹ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ: .

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ. ಅದು ಇರಲಿ, ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿರಲಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

1. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ;
2. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ;
3. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ;
4. ಹಂತದಲ್ಲಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

1. (ಇದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯ, ನೆನಪಿದೆಯೇ?);

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಪ್ರವೇಶಿಸೋಣ ನವೀನ ಲಕ್ಷಣಗಳುಮತ್ತು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಉತ್ಪನ್ನ:

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1. ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು;
2. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರಗಳು:

ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವು ಯಾವುದೇ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಸಾಕು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಘಾತಾಂಕಗಳಲ್ಲ (ನೀವು ಇನ್ನೂ ಏನೆಂದು ಮರೆತಿದ್ದೀರಾ?).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಸ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಸರಳ ನಿಯಮ: . ನಂತರ:

ಸರಿ, ಇದು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆ. ಈಗ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ.

ಸಂಭವಿಸಿದ?

ಇಲ್ಲಿ, ನಿಮ್ಮನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ:

ಸೂತ್ರವು ಘಾತಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಅದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಅಂಶ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು, ಅದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಆದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:

ಇದು ಕೇವಲ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲದೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ, ಇದನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಇದು ಇಲ್ಲಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದೀರಿ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಿನ್ನ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ನಾವು ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬೇಸ್ಗೆ ತಗ್ಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲವನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೀರಿ? ನೀವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಈಗ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಬದಲಿಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಛೇದವು ಕೇವಲ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಇಲ್ಲದೆ). ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳುಯುನಿಫೈಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಎಕ್ಸಾಮಿನೇಷನ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಹುತೇಕ ಎಂದಿಗೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

"ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ" ಎಂದರೇನು? ಇಲ್ಲ, ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ಟಜೆಂಟ್ ಅಲ್ಲ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು (ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ, "ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್" ವಿಷಯವನ್ನು ಓದಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಚೆನ್ನಾಗಿರುತ್ತೀರಿ), ಆದರೆ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, "ಸಂಕೀರ್ಣ" ಪದವು "ಕಷ್ಟ" ಎಂದರ್ಥವಲ್ಲ.

ಸಣ್ಣ ಕನ್ವೇಯರ್ ಬೆಲ್ಟ್ ಅನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ: ಇಬ್ಬರು ಜನರು ಕುಳಿತು ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲನೆಯದು ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಹೊದಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಅದನ್ನು ರಿಬ್ಬನ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಯೋಜಿತ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ: ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಸುತ್ತುವ ಮತ್ತು ರಿಬ್ಬನ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಟಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಾಕೊಲೇಟ್ ತಿನ್ನಲು, ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮಗಳುವಿ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮ.

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಗಣಿತದ ಪೈಪ್‌ಲೈನ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ: ಮೊದಲು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಚಾಕೊಲೇಟ್), ನಾನು ಅದರ ಕೊಸೈನ್ (ಹೊದಿಕೆ) ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾನು ಪಡೆದದ್ದನ್ನು ನೀವು ಚೌಕಾಕಾರ ಮಾಡಿ (ಅದನ್ನು ರಿಬ್ಬನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳಿ). ಏನಾಯಿತು? ಕಾರ್ಯ. ಇದೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ: ಯಾವಾಗ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೊದಲನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಅದೇ ಹಂತಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು: ಮೊದಲು ನೀವು ಅದನ್ನು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾನು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇನೆ: . ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಪ್ರಮುಖ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳು: ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮವು ಬದಲಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬೇರೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದರ ವಾದವು ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ: .

ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, .

ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆ: (ಅದೇ ವಿಷಯ). .

ನಾವು ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಮಾಡುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ "ಬಾಹ್ಯ" ಕಾರ್ಯ, ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಮಾಡಿದ ಕ್ರಿಯೆ - ಅದರ ಪ್ರಕಾರ "ಆಂತರಿಕ" ಕಾರ್ಯ(ಇವು ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಹೆಸರುಗಳು, ನಾನು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿಷಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುತ್ತೇನೆ).

ಯಾವ ಕಾರ್ಯವು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಆಂತರಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ

1. ನಾವು ಮೊದಲು ಯಾವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ? ಮೊದಲಿಗೆ, ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಘನಗೊಳಿಸಿ. ಇದರರ್ಥ ಇದು ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿದೆ.
   ಮತ್ತು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವು ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ: .
2. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .
3. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .
4. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .
5. ಆಂತರಿಕ:; ಬಾಹ್ಯ: .
   ಪರೀಕ್ಷೆ: .

ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸರಿ, ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಯಾವಾಗಲೂ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಮೊದಲು ನಾವು ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಆಂತರಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಧಿಕೃತ ನಿಯಮವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

ಇದು ಸರಳವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಸರಿ?

ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಪರಿಹಾರಗಳು:

1) ಆಂತರಿಕ:;

ಬಾಹ್ಯ:;

2) ಆಂತರಿಕ:;

(ಇದೀಗ ಅದನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಡಿ! ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏನೂ ಹೊರಬರುವುದಿಲ್ಲ, ನೆನಪಿದೆಯೇ?)

3) ಆಂತರಿಕ:;

ಬಾಹ್ಯ:;

ಇದು ಮೂರು ಹಂತದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಅದರಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮೂರನೇ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ನಾವು ಚಾಕೊಲೇಟ್ ಅನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಹೊದಿಕೆ ಮತ್ತು ಬ್ರೀಫ್ಕೇಸ್ನಲ್ಲಿ ರಿಬ್ಬನ್ನೊಂದಿಗೆ). ಆದರೆ ಭಯಪಡಲು ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ: ನಾವು ಇನ್ನೂ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಂದಿನಂತೆ ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ "ಅನ್ಪ್ಯಾಕ್" ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಅಂತ್ಯದಿಂದ.

ಅಂದರೆ, ಮೊದಲು ನಾವು ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಕೊಸೈನ್, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. ತದನಂತರ ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ? ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ನಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚು "ಬಾಹ್ಯ" ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯವು ಇರುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಗೂಡುಕಟ್ಟುವಿಕೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 4-ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

1. ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. .

2. ರೂಟ್. .

3. ಸೈನ್. .

4. ಚೌಕ. .

5. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ- ವಾದದ ಅಪರಿಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕಾಗಿ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತ:

ಮೂಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು:

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ:

ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ:

ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

1. ನಾವು "ಆಂತರಿಕ" ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.
2. ನಾವು "ಬಾಹ್ಯ" ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.
3. ನಾವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಂಕಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನೀವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ Δ ವೈಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ Δ X:

ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ f(X) = X 2 + (2X+ 3) · ಇ Xಪಾಪ X. ನೀವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಮಾಡಿದರೆ, ಒಂದೆರಡು ಪುಟಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಂತರ ನೀವು ಸುಮ್ಮನೆ ನಿದ್ರಿಸುತ್ತೀರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಳ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಸಾಪೇಕ್ಷವಾಗಿದೆ ಸರಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, ಇವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ - ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಹೃದಯದಿಂದ ತಿಳಿದಿರಬೇಕು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ - ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು:

ಹೆಸರು	ಕಾರ್ಯ	ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
ನಿರಂತರ	f(X) = ಸಿ, ಸಿ ∈ ಆರ್	0 (ಹೌದು, ಶೂನ್ಯ!)
ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ	f(X) = X ಎನ್	ಎನ್ · X ಎನ್ − 1
ಸೈನಸ್	f(X) = ಪಾಪ X	cos X
ಕೊಸೈನ್	f(X) = cos X	- ಪಾಪ X(ಮೈನಸ್ ಸೈನ್)
ಸ್ಪರ್ಶಕ	f(X) = ಟಿಜಿ X	1/ಕಾಸ್ 2 X
ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್	f(X) = ctg X	- 1/ಪಾಪ 2 X
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್	f(X) = ಲಾಗ್ X	1/X
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಲಾಗರಿಥಮ್	f(X) = ಲಾಗ್ ಎ X	1/(Xಎಲ್ಎನ್ ಎ)
ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ	f(X) = ಇ X	ಇ X(ಏನೂ ಬದಲಾಗಿಲ್ಲ)

ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಹೊಸ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

(ಸಿ · f)’ = ಸಿ · f ’.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

(2X 3)' = 2 · ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಗುಣಿಸಬಹುದು, ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು - ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳು. ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಿ f(X) ಮತ್ತು ಜಿ(X), ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಂತರ ನೀವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

1. (f + ಜಿ)’ = f ’ + ಜಿ ’
2. (f − ಜಿ)’ = f ’ − ಜಿ ’

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಯಮಗಳು ಇರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ( f + ಜಿ + ಗಂ)’ = f ’ + ಜಿ ’ + ಗಂ ’.

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ "ವ್ಯವಕಲನ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಇಲ್ಲ. ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ " ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಅಂಶ" ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ f − ಜಿಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು f+ (-1) ಜಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸೂತ್ರವು ಉಳಿದಿದೆ - ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

f(X) = X 2 + ಪಾಪ x; ಜಿ(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

ಕಾರ್ಯ f(X) ಎರಡು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ:

f ’(X) = (X 2 + ಪಾಪ X)’ = (X 2)' + (ಪಾಪ X)’ = 2X+ ಕಾಸ್ ಎಕ್ಸ್;

ನಾವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಇದೇ ಕಾರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಜಿ(X) ಈಗಾಗಲೇ ಮೂರು ಪದಗಳಿವೆ (ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ):

ಜಿ ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

ಉತ್ತರ:
f ’(X) = 2X+ ಕಾಸ್ ಎಕ್ಸ್;
ಜಿ ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಗಣಿತವು ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನೇಕ ಜನರು ಒಂದು ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಮುಷ್ಕರ">ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಸ್ಕ್ರೂ ಯು! ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

(f · ಜಿ) ’ = f ’ · ಜಿ + f · ಜಿ ’

ಸೂತ್ರವು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮರೆತುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೂ ಸಹ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: f(X) = X 3 cos x; ಜಿ(X) = (X 2 + 7X- 7) · ಇ X .

ಕಾರ್ಯ f(X) ಎರಡು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ:

f ’(X) = (X 3 ಕಾಸ್ X)’ = (X 3) ವೆಚ್ಚ X + X 3 (ಕೋಸ್ X)’ = 3X 2 ಕಾಸ್ X + X 3 (- ಪಾಪ X) = X 2 (3ಕೋಸ್ X − Xಪಾಪ X)

ಕಾರ್ಯ ಜಿ(X) ಮೊದಲ ಅಂಶವು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೋಜನೆಇದು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಅಂಶ ಜಿ(X) ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಜಿ ’(X) = ((X 2 + 7X- 7) · ಇ X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · ಇ X + (X 2 + 7X− 7) · ( ಇ X)’ = (2X+ 7) · ಇ X + (X 2 + 7X- 7) · ಇ X = ಇ X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · ಇ X = X(X+ 9) · ಇ X .

ಉತ್ತರ:
f ’(X) = X 2 (3ಕೋಸ್ X − Xಪಾಪ X);
ಜಿ ’(X) = X(X+ 9) · ಇ X .

ಕೊನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು. ಇದರರ್ಥ ಮತ್ತಷ್ಟು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ.

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳಿದ್ದರೆ f(X) ಮತ್ತು ಜಿ(X), ಮತ್ತು ಜಿ(X) ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ≠ 0, ನಾವು ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಗಂ(X) = f(X)/ಜಿ(X) ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು:

ದುರ್ಬಲವಾಗಿಲ್ಲ, ಹೌದಾ? ಮೈನಸ್ ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂತು? ಏಕೆ ಜಿ 2? ಮತ್ತು ಈ ರೀತಿ! ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಒಂದಾಗಿದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೂತ್ರಗಳು- ಬಾಟಲ್ ಇಲ್ಲದೆ ನೀವು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಕಾರ್ಯ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಪ್ರತಿ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ:

ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸೋಣ - ಇದು ಉತ್ತರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ಅರ್ಧ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಉದ್ದದ ಸೂತ್ರವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು f(X) = ಪಾಪ Xಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ X, ಹೇಳು, ಆನ್ X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X. ಇದು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ f(X) = ಪಾಪ ( X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X) - ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ನಾನು ಏನು ಮಾಡಲಿ? ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ:

f ’(X) = f ’(ಟಿ) · ಟಿ', ವೇಳೆ Xಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಟಿ(X).

ನಿಯಮದಂತೆ, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ದುಃಖಕರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಪ್ರತಿ ಹೆಜ್ಜೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: f(X) = ಇ 2X + 3 ; ಜಿ(X) = ಪಾಪ ( X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X)

ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ f(X) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 2 ಬದಲಿಗೆ X+ 3 ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ X, ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ f(X) = ಇ X. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಅವಕಾಶ 2 X + 3 = ಟಿ, f(X) = f(ಟಿ) = ಇ ಟಿ. ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ:

f ’(X) = f ’(ಟಿ) · ಟಿ ’ = (ಇ ಟಿ)’ · ಟಿ ’ = ಇ ಟಿ · ಟಿ ’

ಮತ್ತು ಈಗ - ಗಮನ! ನಾವು ರಿವರ್ಸ್ ಬದಲಿಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ: ಟಿ = 2X+ 3. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

f ’(X) = ಇ ಟಿ · ಟಿ ’ = ಇ 2X+ 3 (2 X + 3)’ = ಇ 2X+ 3 2 = 2 ಇ 2X + 3

ಈಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೋಡೋಣ ಜಿ(X) ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X = ಟಿ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಜಿ ’(X) = ಜಿ ’(ಟಿ) · ಟಿ’ = (ಪಾಪ ಟಿ)’ · ಟಿ’ = cos ಟಿ · ಟಿ ’

ರಿವರ್ಸ್ ಬದಲಿ: ಟಿ = X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X. ನಂತರ:

ಜಿ ’(X) = cos ( X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X) · ( X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X)' = cos ( X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X) · (2 X + 1/X).

ಅಷ್ಟೇ! ನಿಂದ ನೋಡಬಹುದು ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇಡೀ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು.

ಉತ್ತರ:
f ’(X) = 2 · ಇ 2X + 3 ;
ಜಿ ’(X) = (2X + 1/X) ಕಾಸ್ ( X 2 + ಎಲ್ಎನ್ X).

ಆಗಾಗ್ಗೆ ನನ್ನ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ, "ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ಪದದ ಬದಲಿಗೆ, ನಾನು "ಪ್ರಧಾನ" ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇನೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊತ್ತದಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಪಾರ್ಶ್ವವಾಯು. ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಯೇ? ಸರಿ, ಅದು ಒಳ್ಳೆಯದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಇದೇ ಸ್ಟ್ರೋಕ್‌ಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಬರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆ ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ:

(X ಎನ್)’ = ಎನ್ · X ಎನ್ − 1

ಪಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಅದು ಕೆಲವೇ ಜನರಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎನ್ಚೆನ್ನಾಗಿ ವರ್ತಿಸಬಹುದು ಒಂದು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂಲವು X 0.5 ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏನಾದರೂ ಅಲಂಕಾರಿಕ ಇದ್ದರೆ ಏನು? ಮತ್ತೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಅವರು ಅಂತಹ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳುಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು.

ಕಾರ್ಯ. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಮೊದಲಿಗೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಮೂಲವನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

ಈಗ ನಾವು ಬದಲಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಅವಕಾಶ X 2 + 8X − 7 = ಟಿ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

f ’(X) = f ’(ಟಿ) · ಟಿ ’ = (ಟಿ 0.5)’ · ಟಿ= 0.5 · ಟಿ−0.5 · ಟಿ ’.

ರಿವರ್ಸ್ ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ: ಟಿ = X 2 + 8X− 7. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

f ’(X) = 0.5 · ( X 2 + 8X− 7) -0.5 · ( X 2 + 8X- 7)' = 0.5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಳವಾದ (ಮತ್ತು ತುಂಬಾ ಸರಳವಲ್ಲ) ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳುವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದವರು ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ (1643-1727) ಮತ್ತು ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೀಬ್ನಿಜ್ (1646-1716).

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೀವು ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಿಮಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಘಟಕಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿಮತ್ತು ಯಾವ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ (ಉತ್ಪನ್ನ, ಮೊತ್ತ, ಅಂಶ)ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸೂತ್ರಗಳು, ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅಂಶ - ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ನಂತರ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು "x" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಏನಾದರೂ ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಇನ್ನೂ ಉದ್ಭವಿಸಿದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸರಳ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾದ ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೆರವುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇದೀಗ ಅವರ ಕಡೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇವೆ.

ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

1. ಸ್ಥಿರ (ಸಂಖ್ಯೆ) ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ (1, 2, 5, 200...). ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ
2. ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ "ಎಕ್ಸ್". ಯಾವಾಗಲೂ ಒಬ್ಬರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ದೀರ್ಘಕಾಲ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಹ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ
3. ಪದವಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಚದರ-ಅಲ್ಲದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು.
4. ಪವರ್ -1 ಗೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
5. ಉತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗ ಮೂಲ
6. ಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
7. ಕೊಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
8. ಸ್ಪರ್ಶಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
9. ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ
10. ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
11. ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
12. ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
13. ಆರ್ಕ್ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ
14. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
15. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
16. ಘಾತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
17. ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

1. ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
2. ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ
2a. ಸ್ಥಿರ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
3. ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
4. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ನಿಯಮ 1.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ

ಮತ್ತು

ಆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

ಪರಿಣಾಮ. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿರ ಪದದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ

ನಿಯಮ 2.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು

ಆ. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 1. ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಫಲಿತಾಂಶ 2. ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರವುಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಗುಣಕಗಳಿಗೆ:

ನಿಯಮ 3.ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು , ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಅಂಶವು ಸಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆu/v, ಮತ್ತು

ಆ. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಂಶವು ಛೇದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಛೇದನ ಮತ್ತು ಛೇದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಹಿಂದಿನ ಅಂಶ.

ಇತರ ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ನೋಡಬೇಕು

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ನಿಜವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗಾಗಿ - ಲೇಖನದಲ್ಲಿ"ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶ".

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ನೀವು ಸ್ಥಿರವನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆ) ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವಾಗಿ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು! ಒಂದು ಪದದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶಇದನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ತಪ್ಪು, ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಧ್ಯಯನ, ಆದರೆ ಅವರು ಹಲವಾರು ಒಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಭಾಗಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಸರಾಸರಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಈ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ ಯು"v, ಯಾವುದರಲ್ಲಿ ಯು- ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 ಅಥವಾ 5, ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿರ, ನಂತರ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆ 10 ರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ).

ಇತರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪು - ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪರಿಹಾರಸರಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಅದಕ್ಕೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲೇಖನವನ್ನು ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಮೊದಲು ನಾವು ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸದೆ ನೀವು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಹೊಸ ವಿಂಡೋಗಳಲ್ಲಿ ಕೈಪಿಡಿಯನ್ನು ತೆರೆಯಬೇಕಾಗಬಹುದು. ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳುಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು .

ನೀವು ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ತೋರುತ್ತಿರುವಾಗ , ನಂತರ "ಅಧಿಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ಪಾಠವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ.

ನೀವು ಅಂತಹ ಕೆಲಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ , ನಂತರ ನೀವು "ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು" ಪಾಠವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ.

ಹಂತ-ಹಂತದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು - ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ: ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎರಡನ್ನೂ ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ (ಸಂಖ್ಯೆ), ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, "X" ಒಂದಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ 5 ಶೂನ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, "x" ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು "x" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಂತೆ ಒಂದೇ ಘಟಕದಿಂದ ಎರಡನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಂಶವು ಛೇದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಛೇದ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ಹಿಂದಿನ ಅಂಶದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಅಂಶವಾಗಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಮರೆಯಬಾರದು:

ನೀವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳ ನಿರಂತರ ರಾಶಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, , ನಂತರ ತರಗತಿಗೆ ಸ್ವಾಗತ "ಅಧಿಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" .

ನೀವು ಸೈನ್‌ಗಳು, ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು, ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಮತ್ತು ಇತರರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕುರಿತು ಇನ್ನಷ್ಟು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ತೋರುತ್ತಿರುವಾಗ , ನಂತರ ನಿಮಗೊಂದು ಪಾಠ "ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು" .

ಉದಾಹರಣೆ 5.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವೆಂದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ. ವರ್ಗಮೂಲದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 6.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಅದರ ಲಾಭಾಂಶವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆ 4 ರಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಿದ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಕೋಷ್ಟಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.