Bất kỳ ngôn ngữ nào cũng có thể diễn đạt thông tin giống nhau nói cách khác nhau và các cuộc cách mạng. Ngôn ngữ toán học cũng không ngoại lệ. Nhưng cùng một biểu thức có thể được viết tương đương theo nhiều cách khác nhau. Và trong một số tình huống, một trong những mục đơn giản hơn. Chúng ta sẽ nói về việc đơn giản hóa các biểu thức trong bài học này.
Mọi người giao tiếp trên ngôn ngữ khác nhau. Đối với chúng tôi, một sự so sánh quan trọng là cặp “tiếng Nga - ngôn ngữ toán học”. Thông tin tương tự có thể được truyền đạt bằng các ngôn ngữ khác nhau. Tuy nhiên, bên cạnh đó, nó có thể được phát âm theo nhiều cách khác nhau trong một ngôn ngữ.
Ví dụ: “Petya là bạn với Vasya”, “Vasya là bạn với Petya”, “Petya và Vasya là bạn”. Nói khác nhau nhưng giống nhau. Từ bất kỳ cụm từ nào trong số này, chúng tôi sẽ hiểu những gì chúng ta đang nói đến.
Chúng ta hãy xem cụm từ này: "Cậu bé Petya và cậu bé Vasya là bạn bè." Chúng tôi hiểu ý của chúng tôi chúng ta đang nói về. Tuy nhiên, chúng tôi không thích âm thanh của cụm từ này. Chúng ta không thể đơn giản hóa nó, nói điều tương tự, nhưng đơn giản hơn sao? “Boy and boy” - bạn có thể nói một lần: “Boys Petya và Vasya là bạn.”
“Con trai”... Nhìn tên của họ không phải rõ ràng rằng họ không phải là con gái sao? Chúng tôi loại bỏ các “cậu bé”: “Petya và Vasya là bạn bè.” Và từ “bạn bè” có thể được thay thế bằng “bạn bè”: “Petya và Vasya là bạn bè”. Kết quả là, cụm từ dài và xấu xí đầu tiên đã được thay thế bằng một câu tương đương, dễ nói và dễ hiểu hơn. Chúng tôi đã đơn giản hóa cụm từ này. Đơn giản hóa có nghĩa là nói đơn giản hơn nhưng không làm mất đi hay bóp méo ý nghĩa.
Trong ngôn ngữ toán học, điều tương tự cũng xảy ra. Điều tương tự có thể được nói, được viết khác nhau. Việc đơn giản hóa một biểu thức có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là đối với biểu thức ban đầu có nhiều biểu thức tương đương, tức là những biểu thức có cùng ý nghĩa. Và từ tất cả sự đa dạng này, theo ý kiến của chúng tôi, chúng tôi phải chọn loại đơn giản nhất hoặc phù hợp nhất cho các mục đích tiếp theo của chúng tôi.
Ví dụ, hãy xem xét biểu thức số. Nó sẽ tương đương với .
Nó cũng sẽ tương đương với hai cái đầu tiên: 
.
Hóa ra chúng ta đã đơn giản hóa các biểu thức của mình và tìm ra biểu thức tương đương ngắn nhất.
Đối với biểu thức số, bạn luôn cần thực hiện tất cả các bước và lấy biểu thức tương đương dưới dạng một số.
Hãy xem một ví dụ về biểu thức nghĩa đen . Rõ ràng là nó sẽ đơn giản hơn.
Khi đơn giản hóa các biểu thức bằng chữ, cần phải thực hiện tất cả các hành động có thể.
Có phải lúc nào cũng cần đơn giản hóa biểu thức không? Không, đôi khi sẽ thuận tiện hơn cho chúng ta nếu có một mục tương đương nhưng dài hơn.
Ví dụ: bạn cần trừ một số từ một số.
Nó có thể được tính toán, nhưng nếu số đầu tiên được biểu thị bằng ký hiệu tương đương: , thì việc tính toán sẽ diễn ra tức thời: .
Nghĩa là, một biểu thức đơn giản hóa không phải lúc nào cũng có lợi cho chúng ta trong các tính toán tiếp theo.
Tuy nhiên, chúng ta thường phải đối mặt với một nhiệm vụ nghe giống như “đơn giản hóa cách diễn đạt”.
Rút gọn biểu thức: .
Giải pháp
1) Thực hiện các hành động trong dấu ngoặc thứ nhất và thứ hai: .
2) Hãy tính tích: .
Rõ ràng, biểu thức cuối cùng có vẻ ngoài đơn giản hơn so với ban đầu. Chúng tôi đã đơn giản hóa nó.
Để đơn giản hóa biểu thức, nó phải được thay thế bằng một biểu thức tương đương (bằng).
Để xác định biểu thức tương đương bạn cần:
1) thực hiện tất cả các hành động có thể,
2) sử dụng các tính chất cộng, trừ, nhân và chia để đơn giản hóa các phép tính.
Tính chất của phép cộng và phép trừ:
1. Tính chất giao hoán của phép cộng: việc sắp xếp lại các số hạng không làm thay đổi tổng.
2. Tính chất tổ hợp của phép cộng: để cộng số thứ ba vào tổng của hai số, ta có thể cộng tổng của số thứ hai và số thứ ba với số thứ nhất.
3. Tính chất trừ một tổng cho một số: để trừ một tổng cho một số, bạn có thể trừ riêng từng số hạng.
Tính chất của phép nhân và phép chia
1. Tính chất giao hoán của phép nhân: việc sắp xếp lại các thừa số không làm thay đổi tích.
2. Tính chất tổ hợp: để nhân một số với tích của hai số, trước tiên bạn có thể nhân số đó với thừa số thứ nhất, sau đó nhân tích thu được với thừa số thứ hai.
3. Tài sản phân phối phép nhân: để nhân một số với một tổng, bạn cần nhân số đó với từng phép cộng riêng biệt.
Hãy xem chúng ta thực sự tính nhẩm như thế nào.
Tính toán:
Giải pháp
1) Hãy tưởng tượng làm thế nào
2) Hãy tưởng tượng thừa số đầu tiên là tổng điều khoản bit và thực hiện phép nhân:
3) bạn có thể tưởng tượng cách thực hiện phép nhân:
4) Thay thừa số thứ nhất bằng một tổng tương đương:
Luật phân phối cũng có thể được sử dụng trong mặt trái: .
Thực hiện theo các bước sau:
1) 
2) 
Giải pháp
1) Để thuận tiện, bạn có thể sử dụng luật phân phối, chỉ cần sử dụng theo hướng ngược lại - lấy ra số nhân chung ngoài dấu ngoặc.
2) Hãy lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc
Cần mua vải sơn cho nhà bếp và hành lang. Khu vực bếp - , hành lang - . Có ba loại vải sơn: cho và rúp cho. Mỗi cái sẽ có giá bao nhiêu? ba loại vải sơn? (Hình 1)
Cơm. 1. Minh họa cho phát biểu vấn đề
Giải pháp
Phương pháp 1. Bạn có thể tìm hiểu riêng cần bao nhiêu tiền để mua vải sơn cho nhà bếp, sau đó đặt nó ở hành lang và cộng các sản phẩm thu được.
Ở đầu bài học, chúng ta sẽ ôn lại các tính chất cơ bản của căn bậc hai, sau đó chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ phức tạpđể đơn giản hóa các biểu thức chứa căn bậc hai.
Chủ thể:Chức năng. Của cải căn bậc hai
Bài học:Chuyển đổi và đơn giản hóa các biểu thức phức tạp hơn bằng gốc
1. Ôn lại tính chất của căn bậc hai
Chúng ta hãy lặp lại ngắn gọn lý thuyết và nhớ lại các tính chất cơ bản của căn bậc hai.
Tính chất của căn bậc hai:
1. do đó, ;
3. 
;
4. 
.
2. Ví dụ về rút gọn biểu thức bằng gốc
Hãy chuyển sang các ví dụ về cách sử dụng các thuộc tính này.
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức 
.
Giải pháp. Để đơn giản hóa, số 120 phải được phân tích thành thừa số nguyên tố:
Chúng ta sẽ tiết lộ bình phương của tổng bằng công thức thích hợp:
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức 
.
Giải pháp. Chúng ta hãy tính đến điều đó biểu hiện này không có ý nghĩa với tất cả mọi người giá trị có thể có thể thay đổi, vì biểu thức này chứa căn bậc hai và phân số, dẫn đến diện tích bị “thu hẹp” giá trị chấp nhận được. ODZ: 
().
Hãy đưa biểu thức trong ngoặc về mẫu số chung và viết tử số của phân số cuối cùng là hiệu của các bình phương:
Trả lời. Tại.
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức 
.
Giải pháp. Có thể thấy rằng dấu ngoặc thứ hai có hình thức bất tiện và cần phải đơn giản hóa; chúng ta hãy thử phân tích nó bằng phương pháp nhóm.
Để có thể tính được nhân tử chung, chúng ta đã đơn giản hóa các nghiệm bằng cách phân tích chúng thành nhân tử. Hãy thay thế biểu thức kết quả vào phân số ban đầu:
Sau khi rút gọn phân số, ta áp dụng công thức hiệu bình phương.
3. Một ví dụ về việc loại bỏ sự phi lý
Ví dụ 4. Giải thoát bản thân khỏi sự bất hợp lý (gốc rễ) ở mẫu số: a) ; b) .
Giải pháp. a) Để loại bỏ tính vô tỷ ở mẫu số, ta sử dụng phương pháp chuẩn nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với thừa số liên hợp với mẫu số (cùng biểu thức, nhưng có dấu ngược lại). Điều này được thực hiện để bổ sung mẫu số của phân số với hiệu bình phương, cho phép bạn loại bỏ các gốc trong mẫu số. Hãy làm điều này trong trường hợp của chúng tôi:
b) thực hiện các hành động tương tự:
4. Ví dụ chứng minh và nhận dạng bình phương đầy đủ trong căn thức phức
Ví dụ 5. Chứng minh đẳng thức 
.
Bằng chứng. Chúng ta hãy sử dụng định nghĩa của căn bậc hai, từ đó suy ra bình phương của biểu thức bên phải phải bằng biểu thức căn:
. Hãy mở ngoặc bằng công thức tính bình phương của tổng:
, ta có đẳng thức đúng.
Đã được chứng minh.
Ví dụ 6. Rút gọn biểu thức.
Giải pháp. Biểu thức này thường được gọi là căn thức phức tạp (gốc dưới gốc). TRONG trong ví dụ này bạn cần đoán để tách một hình vuông hoàn chỉnh khỏi biểu thức căn thức. Để làm điều này, hãy lưu ý rằng trong hai số hạng, nó là ứng cử viên cho vai trò nhân đôi tích trong công thức tính hiệu bình phương (sự khác biệt, vì có một điểm trừ). Ta hãy viết nó dưới dạng tích sau: , khi đó vai trò của một trong các số hạng hình vuông đầy đủ yêu cầu bồi thường và đối với vai trò thứ hai - 1.
Hãy thay thế biểu thức này dưới gốc.
Một biểu thức đại số trong đó cùng với các phép tính cộng, trừ và nhân, chia cho biểu thức nghĩa đen, được gọi là biểu thức đại số phân số. Ví dụ, đây là những biểu thức
Chúng ta gọi một phân số đại số là một biểu thức đại số có dạng thương số của phép chia hai số nguyên biểu thức đại số(ví dụ: đơn thức hoặc đa thức). Ví dụ, đây là những biểu thức
Biểu thức thứ ba).
Các phép biến đổi giống hệt nhau của các biểu thức đại số phân số phần lớn nhằm mục đích biểu diễn chúng dưới dạng phân số đại số. Để tìm mẫu số chung, việc nhân tử hóa các mẫu số của phân số được sử dụng - các thuật ngữ để tìm bội số chung nhỏ nhất của chúng. Khi rút gọn các phân số đại số, tính đồng nhất nghiêm ngặt của các biểu thức có thể bị vi phạm: cần loại trừ các giá trị của đại lượng mà tại đó hệ số thực hiện phép rút gọn trở thành 0.
Hãy để chúng tôi đưa ra ví dụ về các phép biến đổi giống hệt nhau của các biểu thức đại số phân số.
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức
Tất cả các số hạng có thể được quy về một mẫu số chung (có thể đổi dấu ở mẫu số của số hạng cuối cùng và dấu ở phía trước nó để thuận tiện):
Biểu thức của chúng tôi bằng một cho tất cả các giá trị ngoại trừ các giá trị này; nó không được xác định và việc giảm phân số là bất hợp pháp).
Ví dụ 2. Biểu diễn biểu thức dưới dạng phân số đại số
Giải pháp. Vì mẫu số chung chúng ta có thể chấp nhận biểu thức . Ta lần lượt tìm thấy:
Bài tập
1. Tìm giá trị của biểu thức đại số khi giá trị được chỉ định thông số:
2. Nhân tố hóa.
§ 1 Khái niệm đơn giản hóa biểu thức nghĩa đen
Trong bài học này chúng ta sẽ làm quen với khái niệm “ điều khoản tương tự"và bằng cách sử dụng các ví dụ, chúng ta sẽ học cách rút gọn các thuật ngữ tương tự, từ đó đơn giản hóa các cách diễn đạt theo nghĩa đen.
Hãy cùng tìm hiểu ý nghĩa của khái niệm “đơn giản hóa”. Từ “đơn giản hóa” có nguồn gốc từ từ “đơn giản hóa”. Đơn giản hóa có nghĩa là làm cho đơn giản, đơn giản hơn. Vì vậy, để đơn giản hóa một biểu thức trực tiếp là làm cho nó ngắn hơn, với số lượng tối thiểu hành động.
Xét biểu thức 9x + 4x. Đây là một biểu thức theo nghĩa đen là một tổng. Các thuật ngữ ở đây được trình bày dưới dạng tích của một số và một chữ cái. Yếu tố số của các thuật ngữ như vậy được gọi là hệ số. Trong biểu thức này, các hệ số sẽ là số 9 và 4. Xin lưu ý rằng thừa số được biểu thị bằng chữ cái là như nhau ở cả hai số hạng của tổng này.
Chúng ta hãy nhớ lại luật phân phối của phép nhân:
Để nhân một tổng với một số, bạn có thể nhân mỗi số hạng với số đó và cộng các tích thu được.
TRONG cái nhìn tổng quátđược viết như sau: (a + b) ∙ c = ac + bc.
Định luật này đúng theo cả hai hướng ac + bc = (a + b) ∙ c
Hãy áp dụng nó vào biểu thức trực tiếp của chúng ta: tổng các tích của 9x và 4x bằng tích có thừa số thứ nhất là bằng tổng 9 và 4 thì thừa số thứ hai là x.
9 + 4 = 13, tức là 13x.
9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.
Thay vì ba hành động trong biểu thức, chỉ còn lại một hành động - phép nhân. Điều này có nghĩa là chúng tôi đã làm cho cách diễn đạt theo nghĩa đen của mình trở nên đơn giản hơn, tức là đơn giản hóa nó.
§ 2 Giảm các thuật ngữ tương tự
Các số hạng 9x và 4x chỉ khác nhau ở hệ số của chúng - những số hạng như vậy được gọi là tương tự nhau. Phần chữ cái của các thuật ngữ tương tự là như nhau. Các thuật ngữ tương tự cũng bao gồm các số và các thuật ngữ bằng nhau.
Ví dụ: trong biểu thức 9a + 12 - 15, các số hạng tương tự sẽ là các số 12 và -15, còn trong tổng của tích của 12 và 6a thì là số 14 và tích của 12 và 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) các số hạng bằng nhau được biểu thị bằng tích của 12 và 6a.
Điều quan trọng cần lưu ý là các số hạng có các hệ số bằng nhau nhưng có các thừa số chữ cái khác nhau thì không giống nhau, mặc dù đôi khi việc áp dụng luật phân phối của phép nhân cho chúng là rất hữu ích, ví dụ: tổng của các tích 5x và 5y là bằng tích của số 5 và tổng của x và y
5x + 5y = 5(x + y).
Hãy rút gọn biểu thức -9a + 15a - 4 + 10.
Thuật ngữ tương tự trong trong trường hợp này là các số hạng -9a và 15a, vì chúng chỉ khác nhau về hệ số. Hệ số nhân chữ cái của chúng giống nhau, và số hạng -4 và 10 cũng tương tự nhau, vì chúng là số. Thêm các thuật ngữ tương tự:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Chúng tôi nhận được: 6a + 6.
Bằng cách đơn giản hóa biểu thức, chúng ta đã tìm được tổng của các số hạng giống nhau; trong toán học, điều này được gọi là rút gọn các số hạng giống nhau.
Nếu việc thêm các thuật ngữ như vậy gặp khó khăn, bạn có thể nghĩ ra từ cho chúng và thêm đối tượng.
Ví dụ, hãy xem xét biểu thức:
Với mỗi chữ cái, chúng ta lấy đối tượng riêng: b-apple, c-pear, sau đó chúng ta nhận được: 2 quả táo trừ 5 quả lê cộng 8 quả lê.
Chúng ta có thể trừ quả lê khỏi quả táo không? Tất nhiên là không. Nhưng chúng ta có thể cộng 8 quả lê vào âm 5 quả lê.
Hãy để chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự -5 quả lê + 8 quả lê. Các số hạng giống nhau có phần chữ giống nhau nên khi đưa các số hạng giống nhau chỉ cần cộng các hệ số và cộng phần chữ vào kết quả là đủ:
(-5 + 8) quả lê - bạn được 3 quả lê.
Trở lại biểu thức trực tiếp, chúng ta có -5 s + 8 s = 3 s. Như vậy, sau khi đưa các số hạng tương tự, ta thu được biểu thức 2b + 3c.
Vì vậy, trong bài học này bạn đã làm quen với khái niệm “thuật ngữ tương tự” và học cách đơn giản hóa cách diễn đạt chữ cái bằng cách rút gọn các thuật ngữ tương tự.
Danh sách tài liệu được sử dụng:
- Toán học. lớp 6: giáo án vào sách giáo khoa I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // tác giả-biên dịch L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
- Toán học. Lớp 6: Sách giáo khoa dành cho học sinh cơ sở giáo dục. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
- Toán học. Lớp 6: SGK cơ sở giáo dục phổ thông/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov và những người khác/do G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Viện Hàn lâm Khoa học Nga, Viện Hàn lâm Giáo dục Nga. M.: “Khai sáng”, 2010.
- Toán học. Lớp 6: học cho các cơ sở giáo dục phổ thông/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
- Toán học. Lớp 6: SGK/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.
Hình ảnh được sử dụng:
Một biểu thức bằng chữ (hoặc một biểu thức có biến) là biểu thức toán học, bao gồm số, chữ cái và dấu hiệu các phép toán. Ví dụ: biểu thức sau đây là theo nghĩa đen:
a+b+4
Sử dụng các biểu thức chữ cái, bạn có thể viết các định luật, công thức, phương trình và hàm số. Khả năng thao tác biểu thức chữ cái là chìa khóa kiến thức tốtđại số và toán cao cấp.
Bất kỳ vấn đề nghiêm trọng nào trong toán học đều liên quan đến việc giải phương trình. Và để có thể giải được phương trình, bạn cần có khả năng làm việc với các biểu thức trực tiếp.
Để làm việc với các biểu thức chữ, bạn cần thành thạo các phép tính cơ bản: cộng, trừ, nhân, chia, các định luật cơ bản của toán học, phân số, các phép tính với phân số, tỷ lệ. Và không chỉ học mà còn phải hiểu tường tận.
Nội dung bài họcBiến
Các chữ cái chứa trong biểu thức nghĩa đen được gọi là biến. Ví dụ, trong biểu thức a+b+4 các biến là các chữ cái Một Và b. Nếu chúng ta thay thế bất kỳ số nào thay cho các biến này thì biểu thức trực tiếp a+b+4 sẽ biến thành một biểu thức số có giá trị có thể được tìm thấy.
Các số thay thế cho biến được gọi là giá trị của các biến. Ví dụ: hãy thay đổi giá trị của các biến Một Và b. Dấu bằng được dùng để thay đổi giá trị
a = 2, b = 3
Chúng tôi đã thay đổi giá trị của các biến Một Và b. Biến Mộtđược gán một giá trị 2 , biến bđược gán một giá trị 3 . Biểu thức chữ kết quả a+b+4 biến thành một biểu thức số thông thường 2+3+4 có thể tìm thấy giá trị của nó:
2 + 3 + 4 = 9
Khi các biến được nhân lên, chúng được viết cùng nhau. Ví dụ, ghi lại bụng có nghĩa giống như mục a×b. Nếu thay thế các biến Một Và b con số 2 Và 3 , thì chúng ta nhận được 6
2 × 3 = 6
Bạn cũng có thể viết phép nhân của một số với một biểu thức trong ngoặc đơn. Ví dụ, thay vì a×(b + c) có thể được viết ra a(b + c). Áp dụng định luật phân phối nhân, ta thu được a(b + c)=ab+ac.
Tỷ lệ cược
Trong các biểu thức bằng chữ, bạn thường có thể tìm thấy ký hiệu trong đó một số và một biến được viết cùng nhau, chẳng hạn 3a. Đây thực chất là cách viết tắt của phép nhân số 3 với một biến. Một và mục này trông giống như 3×a .
Nói cách khác, biểu thức 3a là tích của số 3 và biến Một. Con số 3 trong công việc này họ gọi hệ số. Hệ số này cho biết biến sẽ được tăng lên bao nhiêu lần Một. Biểu thức này có thể được đọc là " Một ba lần" hoặc "ba lần MỘT", hoặc "tăng giá trị của biến Một ba lần", nhưng thường được đọc là "ba lần". Một«
Ví dụ, nếu biến Một bằng 5 , thì giá trị của biểu thức 3a sẽ bằng 15.
3 × 5 = 15
Nói bằng ngôn ngữ đơn giản, hệ số là số đứng trước chữ cái (trước biến).
Có thể có nhiều chữ cái, ví dụ 5abc. Ở đây hệ số là số 5 . Hệ số này chứng tỏ rằng tích của các biến abc tăng gấp năm lần. Biểu thức này có thể được đọc là " abc năm lần" hoặc "tăng giá trị của biểu thức abc năm lần" hoặc "năm abc«.
Nếu thay vì biến abc Thay các số 2, 3 và 4 thì giá trị của biểu thức 5abc sẽ bằng nhau 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
Bạn có thể hình dung trong đầu cách các số 2, 3 và 4 được nhân lần đầu tiên và giá trị kết quả tăng gấp 5 lần:
Dấu của hệ số chỉ liên quan đến hệ số và không áp dụng cho các biến.
Hãy xem xét biểu thức −6b. Trừ trước hệ số 6 , chỉ áp dụng cho hệ số 6 , và không thuộc biến b. Hiểu được thực tế này sẽ cho phép bạn không mắc sai lầm trong tương lai với các biển báo.
Hãy tìm giá trị của biểu thức −6b Tại b = 3.
−6b −6×b. Để rõ ràng, chúng ta hãy viết biểu thức −6bở dạng khai triển và thay thế giá trị của biến b
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức −6b Tại b = −5
Hãy viết biểu thức −6bở dạng mở rộng
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
Ví dụ 3. Tìm giá trị của một biểu thức −5a+b Tại một = 3 Và b = 2
−5a+b Cái này dạng ngắn mục từ −5 × a + b, vì vậy để rõ ràng chúng ta viết biểu thức −5×a+bở dạng khai triển và thay thế giá trị của các biến Một Và b
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
Đôi khi các chữ cái được viết mà không có hệ số, ví dụ Một hoặc bụng. Trong trường hợp này, hệ số là sự thống nhất:
nhưng theo truyền thống, đơn vị không được viết ra, nên họ chỉ viết Một hoặc bụng
Nếu có dấu trừ trước chữ cái thì hệ số là số −1 . Ví dụ, biểu thức −a thực sự trông giống như −1a. Đây là tích của trừ một và biến Một. Hóa ra như thế này:
−1 × a = −1a
Có một nhược điểm nhỏ ở đây. Trong biểu thức −a dấu trừ trước biến Một thực sự đề cập đến một "đơn vị vô hình" chứ không phải là một biến Một. Vì vậy, bạn nên cẩn thận khi giải quyết vấn đề.
Ví dụ, nếu cho biểu thức −a và chúng ta được yêu cầu tìm giá trị của nó tại một = 2, sau đó ở trường chúng tôi thay thế số hai thay vì một biến Một và nhận được câu trả lời −2 , mà không tập trung quá nhiều vào việc nó diễn ra như thế nào. Trên thực tế, trừ một đã được nhân với số dương 2
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × 2 = −2
Nếu cho biểu thức −a và bạn cần tìm giá trị của nó tại a = −2, sau đó chúng tôi thay thế −2 thay vì một biến Một
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × (−2) = 2
Để tránh sai sót, lúc đầu các đơn vị vô hình có thể được viết ra một cách rõ ràng.
Ví dụ 4. Tìm giá trị của một biểu thức abc Tại a=2 , b=3 Và c=4
Sự biểu lộ abc 1×a×b×c.Để rõ ràng, chúng ta hãy viết biểu thức abc một, b Và c
1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Ví dụ 5. Tìm giá trị của một biểu thức abc Tại a=−2 , b=−3 Và c=−4
Hãy viết biểu thức abcở dạng khai triển và thay thế giá trị của các biến một, b Và c
1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
Ví dụ 6. Tìm giá trị của một biểu thức − abc Tại a=3 , b=5 và c=7
Sự biểu lộ − abcđây là một hình thức ngắn cho −1×a×b×c.Để rõ ràng, chúng ta hãy viết biểu thức − abcở dạng khai triển và thay thế giá trị của các biến một, b Và c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
Ví dụ 7. Tìm giá trị của một biểu thức − abc Tại a=−2 , b=−4 và c=−3
Hãy viết biểu thức − abcở dạng mở rộng:
−abc = −1 × a × b × c
Hãy thay thế giá trị của các biến Một , b Và c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
Cách xác định hệ số
Đôi khi bạn cần giải một bài toán trong đó bạn cần xác định hệ số của một biểu thức. Về nguyên tắc, nhiệm vụ này rất đơn giản. Chỉ cần có khả năng nhân các số một cách chính xác là đủ.
Để xác định hệ số trong một biểu thức, bạn cần nhân riêng các số có trong biểu thức này và nhân riêng các chữ cái. Hệ số kết quả sẽ là hệ số.
Ví dụ 1. 7m×5a×(−3)×n
Biểu hiện bao gồm một số yếu tố. Có thể thấy rõ điều này nếu bạn viết biểu thức ở dạng mở rộng. Tức là những tác phẩm 7m Và 5a viết nó dưới dạng 7×m Và 5×a
7 × m × 5 × a × (−3) × n
Áp dụng luật tổ hợp phép nhân, cho phép bạn nhân các thừa số theo bất kỳ thứ tự nào. Cụ thể, chúng ta sẽ nhân riêng các số và nhân riêng các chữ cái (biến):
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man
Hệ số là −105 . Sau khi hoàn thành nên sắp xếp phần chữ theo thứ tự bảng chữ cái:
−105 giờ sáng
Ví dụ 2. Xác định hệ số trong biểu thức: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
Hệ số là 6.
Ví dụ 3. Xác định hệ số trong biểu thức: 
Hãy nhân số và chữ cái riêng biệt:
Hệ số là −1. Xin lưu ý rằng đơn vị không được ghi ra vì theo thông lệ, hệ số 1 không được ghi.
Những nhiệm vụ tưởng chừng đơn giản này lại có thể trở thành một trò đùa tàn nhẫn đối với chúng ta. Nó thường chỉ ra rằng dấu của hệ số được đặt không chính xác: hoặc thiếu dấu trừ hoặc ngược lại, nó được đặt vô ích. Để tránh những điều này những sai lầm khó chịu, phải được học ở mức độ tốt.
Thêm vào trong biểu thức nghĩa đen
Khi cộng nhiều số sẽ được tổng của các số này. Các số cộng lại gọi là số cộng. Có thể có một số thuật ngữ, ví dụ:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Khi một biểu thức bao gồm các số hạng, việc đánh giá sẽ dễ dàng hơn nhiều vì phép cộng dễ hơn phép trừ. Nhưng biểu thức không chỉ có thể chứa phép cộng mà còn cả phép trừ, ví dụ:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
Trong biểu thức này, số 3 và 5 là số trừ, không phải số cộng. Nhưng không có gì ngăn cản chúng ta thay thế phép trừ bằng phép cộng. Sau đó, chúng ta lại nhận được một biểu thức bao gồm các số hạng:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
Việc các số −3 và −5 bây giờ có dấu trừ không thành vấn đề. Điều chính là tất cả các số trong biểu thức này được kết nối bằng dấu cộng, nghĩa là biểu thức là một tổng.
Cả hai biểu thức 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Và 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) bằng cùng một giá trị - trừ một
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
Vì vậy, ý nghĩa của biểu thức sẽ không bị ảnh hưởng nếu chúng ta thay thế phép trừ bằng phép cộng ở đâu đó.
Bạn cũng có thể thay thế phép trừ bằng phép cộng trong các biểu thức bằng chữ. Ví dụ, hãy xem xét biểu thức sau:
7a + 6b − 3c + 2d − 4s
7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)
Đối với mọi giá trị của biến a, b, c, d Và S biểu thức 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Và 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) sẽ có cùng giá trị.
Bạn phải chuẩn bị cho việc một giáo viên ở trường hoặc một giáo viên ở học viện có thể gọi các số chẵn (hoặc biến) không phải là số cộng.
Ví dụ, nếu sự khác biệt được viết trên bảng a − b, thì giáo viên sẽ không nói điều đó Một là một điểm trừ, và b- có thể trừ được. Anh ta sẽ gọi cả hai biến là một nói chung — điều khoản. Và tất cả chỉ vì sự biểu hiện của hình thức a − b nhà toán học thấy tổng như thế nào a+(−b). Trong trường hợp này, biểu thức trở thành tổng và các biến Một Và (−b) trở thành điều khoản.
Thuật ngữ tương tự
Thuật ngữ tương tự- đây là những thuật ngữ có cùng một phần chữ cái. Ví dụ, hãy xem xét biểu thức 7a + 6b + 2a. Linh kiện 7a Và 2a có phần chữ cái giống nhau - biến Một. Vì vậy các điều khoản 7a Và 2a giống nhau.
Thông thường, các thuật ngữ tương tự được thêm vào để đơn giản hóa biểu thức hoặc giải phương trình. Hoạt động này được gọi là đưa ra các điều khoản tương tự.
Để đưa ra các số hạng tương tự, bạn cần cộng hệ số của các số hạng này và nhân kết quả thu được với phần chữ cái chung.
Ví dụ: chúng ta hãy trình bày các thuật ngữ tương tự trong biểu thức 3a + 4a + 5a. Trong trường hợp này, tất cả các điều khoản đều giống nhau. Hãy cộng các hệ số của chúng và nhân kết quả với phần chữ cái chung - với biến Một
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
Những thuật ngữ như vậy thường được ghi nhớ và kết quả được viết ra ngay lập tức:
3a + 4a + 5a = 12a
Ngoài ra, người ta có thể lý luận như sau:
Có 3 biến a , thêm 4 biến a và 5 biến a nữa được thêm vào chúng. Kết quả là chúng ta có 12 biến a
Hãy xem xét một số ví dụ về việc đưa ra các điều khoản tương tự. Xem xét rằng chủ đề này là rất quan trọng, lúc đầu chúng tôi sẽ viết ra từng chi tiết nhỏ. Mặc dù mọi thứ ở đây rất đơn giản nhưng hầu hết mọi người đều mắc nhiều lỗi. Chủ yếu là do thiếu chú ý chứ không phải do thiếu hiểu biết.
Ví dụ 1. 3a + 2a + 6a + 8 Một
Hãy cộng các hệ số trong biểu thức này và nhân kết quả thu được với phần chữ cái chung:
3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a
thiết kế (3 + 2 + 6 + 8)×a Bạn không cần phải viết ra nên chúng tôi sẽ viết đáp án ngay
3a + 2a + 6a + 8a = 19a
Ví dụ 2.Đưa ra các thuật ngữ tương tự trong biểu thức 2a+a
Học kỳ thứ hai Một viết không có hệ số nhưng thực ra phía trước có hệ số 1 , mà chúng ta không nhìn thấy vì nó không được ghi lại. Vì vậy, biểu thức trông như thế này:
2a + 1a
Bây giờ hãy trình bày các thuật ngữ tương tự. Tức là chúng ta cộng các hệ số và nhân kết quả với phần chữ cái chung:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Hãy viết giải pháp ngắn gọn:
2a + a = 3a
2a+a, bạn có thể nghĩ khác:
Ví dụ 3.Đưa ra các thuật ngữ tương tự trong biểu thức 2a−a
Hãy thay thế phép trừ bằng phép cộng:
2a + (−a)
Học kỳ thứ hai (−a)được viết không có hệ số, nhưng trên thực tế nó trông giống như (−1a). hệ số −1 một lần nữa vô hình do thực tế là nó không được ghi lại. Vì vậy, biểu thức trông như thế này:
2a + (−1a)
Bây giờ hãy trình bày các thuật ngữ tương tự. Hãy cộng các hệ số và nhân kết quả với phần chữ cái chung:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
Thường viết ngắn hơn:
2a − a = a
Đưa ra các thuật ngữ tương tự trong biểu thức 2a−a Bạn có thể nghĩ khác:
Có 2 biến a, trừ đi một biến a, kết quả chỉ còn lại một biến a
Ví dụ 4.Đưa ra các thuật ngữ tương tự trong biểu thức 6a − 3a + 4a − 8a
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
Bây giờ hãy trình bày các thuật ngữ tương tự. Hãy cộng các hệ số và nhân kết quả với phần tổng của chữ cái
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
Hãy viết giải pháp ngắn gọn:
6a − 3a + 4a − 8a = −a
Có những biểu thức chứa nhiều nhiều nhóm khác nhauđiều khoản tương tự. Ví dụ, 3a + 3b + 7a + 2b. Đối với các biểu thức như vậy, các quy tắc tương tự được áp dụng như đối với các biểu thức khác, cụ thể là cộng các hệ số và nhân kết quả thu được với phần chữ cái chung. Nhưng để tránh nhầm lẫn thì thuận tiện các nhóm khác nhau Các điều khoản được đánh dấu bằng các dòng khác nhau.
Ví dụ, trong biểu thức 3a + 3b + 7a + 2b những thuật ngữ có chứa một biến Một, có thể được gạch chân bằng một dòng và những thuật ngữ chứa một biến b, có thể được nhấn mạnh bằng hai dòng:
Bây giờ chúng ta có thể trình bày các điều khoản tương tự. Nghĩa là cộng các hệ số và nhân kết quả thu được với tổng phần chữ cái. Điều này phải được thực hiện cho cả hai nhóm thuật ngữ: đối với các thuật ngữ chứa một biến Một và đối với các thuật ngữ có chứa một biến b.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
Một lần nữa, chúng tôi nhắc lại, biểu thức rất đơn giản và có thể ghi nhớ các thuật ngữ tương tự:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
Ví dụ 5.Đưa ra các thuật ngữ tương tự trong biểu thức 5a − 6a −7b + b
Hãy thay thế phép trừ bằng phép cộng nếu có thể:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Chúng ta hãy gạch dưới những thuật ngữ tương tự bằng những dòng khác nhau. Thuật ngữ chứa biến Một chúng tôi gạch chân bằng một dòng và các thuật ngữ là nội dung của các biến b, gạch chân bằng hai dòng:
Bây giờ chúng ta có thể trình bày các điều khoản tương tự. Nghĩa là cộng các hệ số và nhân kết quả thu được với phần chữ cái chung:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
Nếu biểu thức chứa số thường xuyên không có yếu tố chữ cái, chúng được thêm vào một cách riêng biệt.
Ví dụ 6.Đưa ra các thuật ngữ tương tự trong biểu thức 4a + 3a − 5 + 2b + 7
Hãy thay thế phép trừ bằng phép cộng nếu có thể:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
Hãy để chúng tôi trình bày các điều khoản tương tự. số −5 Và 7 không có các yếu tố chữ cái, nhưng chúng là những thuật ngữ tương tự - chúng chỉ cần được thêm vào. Và thuật ngữ 2b sẽ không thay đổi, vì nó là biểu thức duy nhất trong biểu thức này có thừa số chữ cái b, và không có gì để thêm nó với:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Hãy viết giải pháp ngắn gọn:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
Các thuật ngữ có thể được sắp xếp sao cho những thuật ngữ có phần chữ cái giống nhau sẽ nằm trong cùng một phần của biểu thức.
Ví dụ 7.Đưa ra các thuật ngữ tương tự trong biểu thức 5t+2x+3x+5t+x
Vì biểu thức là tổng của một số số hạng, điều này cho phép chúng ta đánh giá nó theo bất kỳ thứ tự nào. Do đó, các số hạng chứa biến t, có thể được viết ở đầu biểu thức và các số hạng chứa biến xở cuối biểu thức:
5t + 5t + 2x + 3x + x
Bây giờ chúng ta có thể trình bày các thuật ngữ tương tự:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
Hãy viết giải pháp ngắn gọn:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
Tổng số đối diện bằng không. Quy tắc này cũng áp dụng cho các biểu thức theo nghĩa đen. Nếu biểu thức chứa các thuật ngữ giống nhau nhưng có dấu hiệu trái ngược, thì bạn có thể loại bỏ chúng ở giai đoạn giảm các số hạng tương tự. Nói cách khác, chỉ cần loại chúng khỏi biểu thức, vì tổng của chúng bằng 0.
Ví dụ 8.Đưa ra các thuật ngữ tương tự trong biểu thức 3t − 4t − 3t + 2t
Hãy thay thế phép trừ bằng phép cộng nếu có thể:
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
Linh kiện 3t Và (−3t) là đối diện. Tổng các số hạng đối diện bằng không. Nếu chúng ta xóa số 0 này khỏi biểu thức thì giá trị của biểu thức sẽ không thay đổi nên chúng ta sẽ xóa nó. Và chúng tôi sẽ xóa nó bằng cách gạch bỏ các điều khoản 3t Và (−3t)
Kết quả là chúng ta sẽ còn lại biểu thức (−4t) + 2t. Trong biểu thức này, bạn có thể thêm các thuật ngữ tương tự và nhận được câu trả lời cuối cùng:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
Hãy viết giải pháp ngắn gọn:
Rút gọn biểu thức
"đơn giản hóa biểu thức" và dưới đây là biểu thức cần đơn giản hóa. Đơn giản hóa một biểu thức có nghĩa là làm cho nó đơn giản hơn và ngắn hơn.
Trên thực tế, chúng ta đã đơn giản hóa các biểu thức khi rút gọn phân số. Sau khi rút gọn, phân số trở nên ngắn hơn và dễ hiểu hơn.
Hãy xem xét ví dụ sau. Đơn giản hóa biểu thức.
Nhiệm vụ này có thể hiểu theo nghĩa đen như sau: “Áp dụng mọi hành động hợp lệ cho biểu thức này nhưng làm cho nó đơn giản hơn.” .
Trong trường hợp này, bạn có thể giảm phân số, cụ thể là chia tử số và mẫu số của phân số cho 2:
Bạn có thể làm gì khác? Bạn có thể tính toán phần kết quả. Khi đó ta được phân số thập phân 0,5
Kết quả là phân số đã được đơn giản hóa thành 0,5.
Câu hỏi đầu tiên bạn cần tự hỏi mình khi quyết định nhiệm vụ tương tự, phải là “Có thể làm được gì?” . Bởi vì có những hành động bạn có thể làm và có những hành động bạn không thể làm.
Khác điểm quan trọngĐiều cần nhớ là giá trị của biểu thức không được thay đổi sau khi đơn giản hóa biểu thức. Hãy quay trở lại biểu thức. Biểu thức này đại diện cho một phép chia có thể được thực hiện. Thực hiện phép chia này, chúng ta nhận được giá trị của biểu thức này, bằng 0,5
Nhưng chúng tôi đã đơn giản hóa biểu thức và có được một biểu thức đơn giản hóa mới. Giá trị của biểu thức đơn giản mới vẫn là 0,5
Nhưng chúng tôi cũng đã cố gắng đơn giản hóa biểu thức bằng cách tính toán nó. Kết quả chúng tôi nhận được đáp án cuối cùng là 0,5.
Như vậy, dù chúng ta đơn giản hóa biểu thức như thế nào thì giá trị của biểu thức thu được vẫn bằng 0,5. Điều này có nghĩa là việc đơn giản hóa đã được thực hiện chính xác ở mọi giai đoạn. Đây chính xác là điều chúng ta nên cố gắng đạt được khi đơn giản hóa các biểu thức - ý nghĩa của biểu thức sẽ không bị ảnh hưởng bởi hành động của chúng ta.
Nó thường là cần thiết để đơn giản hóa các biểu thức bằng chữ. Các quy tắc đơn giản hóa tương tự áp dụng cho chúng như đối với các biểu thức số. Bạn có thể thực hiện bất kỳ hành động hợp lệ nào, miễn là giá trị của biểu thức không thay đổi.
Hãy xem xét một vài ví dụ.
Ví dụ 1.Đơn giản hóa một biểu thức 5,21 giây × t × 2,5
Để đơn giản hóa biểu thức này, bạn có thể nhân các số riêng biệt và nhân các chữ cái riêng biệt. Nhiệm vụ này rất giống với nhiệm vụ chúng ta đã xem xét khi học cách xác định hệ số:
5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st
Vì vậy biểu thức 5,21 giây × t × 2,5đơn giản hóa để Ngày 13.025.
Ví dụ 2.Đơn giản hóa một biểu thức −0,4 × (−6,3b) × 2
Mảnh thứ hai (−6,3b) có thể được dịch sang dạng dễ hiểu đối với chúng ta, cụ thể là được viết dưới dạng ( −6,3)×b , sau đó nhân các số riêng biệt và nhân các chữ cái riêng biệt:
− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b
Vì vậy biểu thức −0,4 × (−6,3b) × 2 đơn giản hóa thành 5.04b
Ví dụ 3.Đơn giản hóa một biểu thức 
Chúng ta hãy viết biểu thức này chi tiết hơn để thấy rõ đâu là số và đâu là chữ cái:
Bây giờ hãy nhân các số riêng biệt và nhân các chữ cái riêng biệt:
Vì vậy biểu thức đơn giản hóa thành −abc. Giải pháp này có thể được viết ngắn gọn:
Khi đơn giản hóa các biểu thức, các phân số có thể được rút gọn trong quá trình giải chứ không phải ở phần cuối như chúng ta đã làm với phân số thông thường. Ví dụ: nếu trong quá trình giải chúng ta gặp một biểu thức có dạng , thì không cần thiết phải tính tử số và mẫu số và làm như sau:
Một phân số có thể được rút gọn bằng cách chọn một thừa số trong tử số và mẫu số rồi rút gọn các thừa số này bằng số lớn nhất của chúng. ước số chung. Nói cách khác, cách sử dụng mà chúng tôi không mô tả chi tiết tử số và mẫu số được chia thành những gì.
Ví dụ, ở tử số, hệ số là 12 và ở mẫu số, hệ số 4 có thể giảm đi 4. Chúng ta ghi nhớ số 4 và chia 12 và 4 cho 4 này, chúng ta viết ra câu trả lời bên cạnh những con số này, lần đầu tiên đã gạch bỏ chúng
Bây giờ bạn có thể nhân các thừa số nhỏ thu được. Trong trường hợp này, có rất ít trong số chúng và bạn có thể nhân chúng trong đầu:
Theo thời gian, bạn có thể nhận thấy rằng khi giải một bài toán cụ thể, các cách diễn đạt bắt đầu “béo lên”, vì vậy bạn nên làm quen với nó. tính toán nhanh. Những gì có thể tính toán trong đầu thì phải tính toán trong đầu. Cái gì có thể giảm nhanh thì phải giảm nhanh.
Ví dụ 4.Đơn giản hóa một biểu thức 
Vì vậy biểu thức đơn giản hóa thành
Ví dụ 5.Đơn giản hóa một biểu thức 
Hãy nhân các số riêng biệt và các chữ cái riêng biệt:
Vì vậy biểu thức đơn giản hóa thành thưa ông.
Ví dụ 6.Đơn giản hóa một biểu thức 
Chúng ta hãy viết biểu thức này chi tiết hơn để thấy rõ đâu là số và đâu là chữ cái:
Bây giờ hãy nhân các số riêng biệt và các chữ cái riêng biệt. Để dễ tính toán, phân số thập phân −6,4 và hỗn số có thể chuyển thành phân số thông thường:
Vì vậy biểu thức đơn giản hóa thành
Giải pháp cho ví dụ này có thể được viết ngắn hơn nhiều. Nó sẽ trông như thế này:
Ví dụ 7.Đơn giản hóa một biểu thức 
Hãy nhân các số riêng biệt và các chữ cái riêng biệt. Để dễ tính toán, hỗn số số thập phân 0,1 và 0,6 có thể được chuyển đổi thành phân số thông thường:
Vì vậy biểu thức đơn giản hóa thành abcd. Nếu bỏ qua chi tiết thì quyết định này có thể được viết ngắn hơn nhiều:
Chú ý phân số đã được giảm như thế nào. Các yếu tố mới thu được nhờ việc giảm bớt các yếu tố trước đó cũng có thể bị giảm đi.
Bây giờ hãy nói về những gì không nên làm. Khi đơn giản hóa biểu thức, nghiêm cấm nhân số và chữ cái nếu biểu thức là tổng chứ không phải tích.
Ví dụ: nếu bạn muốn đơn giản hóa biểu thức 5a+4b, thì bạn không thể viết nó như thế này:
Điều này giống như khi chúng ta được yêu cầu cộng hai số và chúng ta nhân chúng thay vì cộng chúng.
Khi thay thế bất kỳ giá trị biến nào Một Và b sự biểu lộ 5a + 4b trở thành một biểu thức số thông thường. Giả sử rằng các biến Một Và b có những ý nghĩa sau:
a = 2, b = 3
Khi đó giá trị của biểu thức sẽ bằng 22
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
Đầu tiên, phép nhân được thực hiện và sau đó kết quả được cộng lại. Và nếu chúng ta cố gắng đơn giản hóa biểu thức này bằng cách nhân số và chữ cái, chúng ta sẽ nhận được kết quả sau:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
Nó chỉ ra một ý nghĩa hoàn toàn khác của biểu thức. Trong trường hợp đầu tiên nó hoạt động 22 , trong trường hợp thứ hai 120 . Điều này có nghĩa là việc đơn giản hóa biểu thức 5a+4bđã được thực hiện không chính xác.
Sau khi đơn giản hóa biểu thức, giá trị của nó không được thay đổi theo cùng giá trị của các biến. Nếu khi thay thế bất kỳ giá trị biến nào vào biểu thức ban đầu, thu được một giá trị, thì sau khi đơn giản hóa biểu thức, sẽ thu được giá trị tương tự như trước khi đơn giản hóa.
Với biểu hiện 5a+4b thực sự bạn không thể làm gì được Nó không đơn giản hóa nó.
Nếu một biểu thức chứa các thuật ngữ tương tự thì chúng có thể được thêm vào nếu mục tiêu của chúng ta là đơn giản hóa biểu thức.
Ví dụ 8.Đơn giản hóa một biểu thức 0,3a−0,4a+a
0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a
hoặc ngắn hơn: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a
Vì vậy biểu thức 0,3a−0,4a+ađơn giản hóa để 0,9a
Ví dụ 9.Đơn giản hóa một biểu thức −7,5a − 2,5b + 4a
Để đơn giản hóa biểu thức này, chúng ta có thể thêm các thuật ngữ tương tự:
−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)
hoặc ngắn hơn −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)
Thuật ngữ (−2,5b) vẫn không thay đổi vì không có gì để đặt nó vào.
Ví dụ 10.Đơn giản hóa một biểu thức 
Để đơn giản hóa biểu thức này, chúng ta có thể thêm các thuật ngữ tương tự:
Hệ số này để dễ tính toán.
Vì vậy biểu thức đơn giản hóa thành
Ví dụ 11.Đơn giản hóa một biểu thức 
Để đơn giản hóa biểu thức này, chúng ta có thể thêm các thuật ngữ tương tự:
Vì vậy biểu thức đơn giản hóa thành .
Trong ví dụ này, sẽ thích hợp hơn nếu cộng hệ số đầu tiên và hệ số cuối cùng trước. Trong trường hợp này, chúng tôi sẽ có một giải pháp ngắn gọn. Nó sẽ trông như thế này:
Ví dụ 12.Đơn giản hóa một biểu thức 
Để đơn giản hóa biểu thức này, chúng ta có thể thêm các thuật ngữ tương tự:
Vì vậy biểu thức đơn giản hóa thành 
.
Thuật ngữ này vẫn không thay đổi vì không có gì để thêm vào.
Giải pháp này có thể được viết ngắn hơn nhiều. Nó sẽ trông như thế này:
Giải pháp ngắn gọn đã bỏ qua các bước thay thế phép trừ bằng phép cộng và trình bày chi tiết cách quy đổi phân số về mẫu số chung.
Một điểm khác biệt nữa là trong giải pháp chi tiết, câu trả lời trông giống như , nhưng tóm lại là . Trên thực tế, chúng là cùng một biểu hiện. Sự khác biệt là trong trường hợp đầu tiên, phép trừ được thay thế bằng phép cộng, vì ngay từ đầu khi chúng ta viết lời giải bằng một cách chi tiết, chúng tôi đã thay thế phép trừ bằng phép cộng bất cứ khi nào có thể và sự thay thế này được giữ nguyên cho câu trả lời.
Danh tính. Biểu thức bằng nhau giống hệt nhau
Khi chúng ta đã đơn giản hóa bất kỳ biểu thức nào, nó sẽ trở nên đơn giản và ngắn gọn hơn. Để kiểm tra xem biểu thức đơn giản hóa có đúng hay không, việc thay thế bất kỳ giá trị biến nào trước tiên vào biểu thức trước đó cần đơn giản hóa, sau đó vào biểu thức mới đã được đơn giản hóa là đủ. Nếu giá trị trong cả hai biểu thức giống nhau thì biểu thức đơn giản hóa là đúng.
Hãy xem xét ví dụ đơn giản nhất. Cần đơn giản hóa biểu thức 2a×7b. Để đơn giản hóa biểu thức này, bạn có thể nhân số và chữ cái riêng biệt:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
Hãy kiểm tra xem chúng ta đã đơn giản hóa biểu thức một cách chính xác chưa. Để làm điều này, hãy thay thế bất kỳ giá trị nào của các biến Một Và bđầu tiên vào biểu thức đầu tiên cần được đơn giản hóa, sau đó vào biểu thức thứ hai, được đơn giản hóa.
Đặt giá trị của các biến Một , b sẽ như sau:
a = 4, b = 5
Hãy thay thế chúng vào biểu thức đầu tiên 2a×7b
Bây giờ hãy thay thế các giá trị biến tương tự vào biểu thức thu được từ việc đơn giản hóa 2a×7b, cụ thể là trong biểu thức 14ab
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Chúng ta thấy điều đó khi a=4 Và b=5 giá trị của biểu thức đầu tiên 2a×7b và ý nghĩa của biểu thức thứ hai 14ab bình đẳng
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Điều tương tự sẽ xảy ra với bất kỳ giá trị nào khác. Ví dụ, hãy để a=1 Và b=2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28
14ab = 14 × 1 × 2 = 28
Như vậy, với mọi giá trị của biến biểu thức 2a×7b Và 14abđều có giá trị như nhau. Những biểu thức như vậy được gọi là giống hệt nhau.
Chúng tôi kết luận rằng giữa các biểu thức 2a×7b Và 14ab bạn có thể đặt dấu bằng vì chúng có cùng giá trị.
2a × 7b = 14ab
Đẳng thức là bất kỳ biểu thức nào được kết nối bằng dấu bằng (=).
Và sự bình đẳng về hình thức 2a×7b = 14ab gọi điện danh tính.
Danh tính là một đẳng thức đúng với mọi giá trị của biến.
Các ví dụ khác về danh tính:
a + b = b + a
a(b+c) = ab + ac
a(bc) = (ab)c
Đúng vậy, các định luật toán học mà chúng ta đã nghiên cứu là đồng nhất thức.
trung thành đẳng thức số cũng là những danh tính. Ví dụ:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
Quyết định nhiệm vụ khó khănđể làm cho việc tính toán dễ dàng hơn, biểu hiện phức tạpđược thay thế bằng một biểu thức đơn giản hơn giống với biểu thức trước đó. Sự thay thế này được gọi là sự biến đổi giống hệt nhau của biểu thức hoặc chỉ biến đổi biểu thức.
Ví dụ: chúng tôi đã đơn giản hóa biểu thức 2a×7b, và có một biểu thức đơn giản hơn 14ab. Sự đơn giản hóa này có thể được gọi là sự chuyển đổi danh tính.
Bạn thường có thể tìm thấy một nhiệm vụ có nội dung "chứng minh rằng sự bình đẳng là một danh tính" và khi đó đẳng thức cần chứng minh sẽ được đưa ra. Thông thường đẳng thức này bao gồm hai phần: phần bên trái và bên phải của đẳng thức. Nhiệm vụ của chúng ta là thực hiện các phép biến đổi nhận dạng với một trong các phần của đẳng thức và thu được phần còn lại. Hoặc thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau trên cả hai vế của đẳng thức và đảm bảo rằng cả hai vế của đẳng thức đều chứa cùng một biểu thức.
Ví dụ, hãy chứng minh đẳng thức 0,5a × 5b = 2,5ab là một danh tính.
Hãy đơn giản hóa vế trái của đẳng thức này. Để thực hiện việc này, hãy nhân các số và chữ cái riêng biệt:
0,5 × 5 × a × b = 2,5ab
2,5ab = 2,5ab
Là kết quả của một sự chuyển đổi nhận dạng nhỏ, bên tráiđẳng thức trở thành bằng vế phải của đẳng thức. Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức 0,5a × 5b = 2,5ab là một danh tính.
Từ các phép biến đổi giống hệt nhau, chúng ta đã học cách cộng, trừ, nhân và chia các số, rút gọn phân số, cộng các số hạng tương tự cũng như đơn giản hóa một số biểu thức.
Nhưng đây không phải là tất cả các phép biến đổi giống hệt nhau tồn tại trong toán học. Chuyển đổi nhận dạng nhiều hơn nữa. Chúng ta sẽ thấy điều này nhiều lần trong tương lai.
Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:
Bạn có thích bài học không?
Tham gia của chúng tôi nhóm mới VKontakte và bắt đầu nhận thông báo về bài học mới