Hadi birlikte çalışalım ikinci dereceden denklemler. Bunlar çok popüler denklemler! tam olarak genel görünüm ikinci dereceden denklem şuna benzer:
Örneğin:
Burada A =1; B = 3; C = -4
Burada A =2; B = -0,5; C = 2,2
Burada A =-3; B = 6; C = -18
Peki, anlıyorsun...
İkinci dereceden denklemler nasıl çözülür?Önünüzde bu formda ikinci dereceden bir denklem varsa, o zaman her şey basittir. Sihirli kelimeyi hatırla ayrımcı . Nadiren bir lise öğrencisi bu kelimeyi duymamıştır! “Ayrımcı aracılığıyla çözüyoruz” ifadesi güven ve güvence veriyor. Çünkü ayrımcıdan hile beklemeye gerek yok! Kullanımı basit ve sorunsuzdur. Yani ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü şöyle görünür:
Kök işaretinin altındaki ifade ayrımcı. Gördüğünüz gibi X'i bulmak için şunu kullanıyoruz: sadece a, b ve c. Onlar. ikinci dereceden bir denklemin katsayıları. Değerleri dikkatlice değiştirin a, b ve c Hesapladığımız formül bu. Hadi değiştirelim kendi işaretlerinle! Örneğin, ilk denklem için A =1; B = 3; C= -4. O halde şunu yazıyoruz:
Örnek neredeyse çözüldü:
İşte bu.
Bu formülü kullanırken hangi durumlar mümkündür? Sadece üç vaka var.
1. Diskriminant pozitiftir. Bu, kökün ondan çıkarılabileceği anlamına gelir. Kökün iyi mi yoksa kötü mü çıkarıldığı başka bir sorudur. Önemli olan prensipte neyin çıkarıldığıdır. O halde ikinci dereceden denkleminizin iki kökü vardır. İki farklı çözüm.
2. Ayrımcı sıfıra eşit. O zaman tek bir çözümünüz var. Aslına bakılırsa bu tek bir kök değil, iki özdeş. Ancak bu, konuyu daha ayrıntılı olarak inceleyeceğimiz eşitsizliklerde rol oynuyor.
3. Diskriminant negatiftir. İtibaren negatif sayı karekök alınmaz. Oh iyi. Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.
Çok basit. Peki hata yapmanın imkansız olduğunu mu düşünüyorsun? Evet, nasıl...
En yaygın hatalar işaret değerleriyle karışıklıktır a, b ve c. Daha doğrusu, işaretleriyle değil (nerede karıştırılmalı?), Kökleri hesaplama formülüne negatif değerlerin eklenmesiyle. Burada yardımcı olan, formülün ayrıntılı bir kaydıdır. belirli sayılar. Hesaplamalarda sorun varsa, bunu yap!
Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:
Burada bir = -6; b = -5; c = -1
Diyelim ki ilk seferde nadiren yanıt alabildiğinizi biliyorsunuz.
Tembel olmayın. Fazladan bir satır ve hata sayısı yazmak yaklaşık 30 saniye sürecektir. keskin bir şekilde azalacak. Bu yüzden tüm parantez ve işaretlerle birlikte ayrıntılı olarak yazıyoruz:
Bu kadar dikkatli yazmak inanılmaz derecede zor görünüyor. Ama sadece öyle görünüyor. Bir deneyin. Peki ya da seç. Hangisi daha iyi, hızlı mı yoksa doğru mu? Üstelik seni mutlu edeceğim. Bir süre sonra her şeyi bu kadar dikkatli yazmaya gerek kalmayacak. Kendi kendine ortaya çıkacak. Özellikle aşağıda açıklanan pratik teknikleri kullanıyorsanız. Pek çok eksiği olan bu kötü örnek, kolayca ve hatasız çözülebilir!
Bu yüzden, ikinci dereceden denklemler nasıl çözülür hatırladığımız diskriminant aracılığıyla. Veya öğrendiler ki bu da iyi. Nasıl doğru bir şekilde belirleneceğini biliyorsun a, b ve c. Nasıl olduğunu biliyor musun? dikkatle bunları kök formülde değiştirin ve dikkatle sonucu sayın. bunu anladın mı anahtar kelime Burada - dikkatle mi?
Ancak ikinci dereceden denklemler genellikle biraz farklı görünür. Örneğin şöyle:
Bu tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler . Ayrıca diskriminantla da çözülebilirler. Sadece burada neye eşit olduklarını doğru anlamanız gerekiyor. a, b ve c.
Anladın mı? İlk örnekte bir = 1; b = -4; A C? Hiç orada değil! Evet, doğru. Matematikte bu şu anlama gelir: c = 0 ! İşte bu. Bunun yerine formülde sıfırı değiştirin C, ve başaracağız. İkinci örnekle aynı. Yalnız burada sıfır yok İle, A B !
Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler çok daha basit bir şekilde çözülebilir. Hiçbir ayrım yapmadan. İlk tamamlanmamış denklemi ele alalım. Sol tarafta ne yapabilirsiniz? X'i parantezlerden çıkarabilirsiniz! Hadi çıkaralım.
Peki bundan ne haber? Ve çarpımın sıfıra eşit olması ancak ve ancak faktörlerden herhangi birinin sıfıra eşit olması durumunda! Bana inanmıyor musun? Tamam, o zaman çarpıldığında sıfır verecek iki sıfır olmayan sayı bulun!
Çalışmıyor mu? İşte bu...
Bu nedenle güvenle yazabiliriz: x = 0, veya x = 4
Tüm. Bunlar denklemimizin kökleri olacak. Her ikisi de uygundur. Bunlardan herhangi birini orijinal denklemde yerine koyduğumuzda, doğru özdeşlik 0 = 0'ı elde ederiz. Gördüğünüz gibi çözüm, diskriminant kullanmaktan çok daha basittir.
İkinci denklem de basit bir şekilde çözülebilir. 9'u sağ tarafa taşıyın. Şunu elde ederiz:
Geriye kalan tek şey 9'dan kökü çıkarmak, hepsi bu. Ortaya çıkacak:
Ayrıca iki kök . x = +3 ve x = -3.
Tüm tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler bu şekilde çözülür. Ya X'i parantezlerin dışına yerleştirerek ya da sayıyı sağa taşıyıp ardından kökü çıkartarak.
Bu teknikleri karıştırmak son derece zordur. Basitçe, çünkü ilk durumda X'in kökünü çıkarmak zorunda kalacaksınız ki bu bir şekilde anlaşılmazdır ve ikinci durumda parantez içinde çıkarılacak hiçbir şey yoktur...
Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin. Dikkatsizlikten kaynaklananların aynısı... Daha sonra acı verici ve rencide edici hale gelenler...
İlk randevu. İkinci dereceden bir denklemi çözmeden önce tembel olmayın ve onu standart görünüm. Bu ne anlama gelir?
Diyelim ki tüm dönüşümlerden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiniz:
Kök formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle oranları karıştıracaksınız a, b ve c.Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce X'in karesi, sonra karesiz, sonra da serbest terim. Bunun gibi:
Ve yine acele etmeyin! X karesinin önündeki eksi sizi gerçekten üzebilir. Unutmak kolaydır... Eksilerden kurtulun. Nasıl? Evet, önceki konuda öğretildiği gibi! Denklemin tamamını -1 ile çarpmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz:
Ancak artık köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği çözmeyi tamamlayabilirsiniz. Kendiniz karar verin. Artık 2 ve -1 köklerine sahip olmalısınız.
Resepsiyon ikinci. Kökleri kontrol edin! Vieta teoremine göre. Korkma, her şeyi açıklayacağım! Kontrol ediliyor son denklem. Onlar. kök formülü yazarken kullandığımız formül. Eğer (bu örnekte olduğu gibi) katsayı bir = 1, kökleri kontrol etmek kolaydır. Bunları çoğaltmak yeterlidir. Sonuç ücretsiz bir üye olmalıdır, yani. bizim durumumuzda -2. Lütfen dikkat, 2 değil, -2! Ücretsiz üye senin burcunla
. Eğer işe yaramazsa, bu zaten bir yerlerde işleri berbat ettikleri anlamına gelir. Hatayı arayın. İşe yararsa kökleri eklemeniz gerekir. Son ve son kontrol. Katsayı şu şekilde olmalıdır: Bİle zıt
aşina. Bizim durumumuzda -1+2 = +1. bir katsayı B X'ten önce gelen -1'e eşittir. Yani her şey doğru!
Bunun yalnızca x karenin saf olduğu ve katsayılı olduğu örnekler için bu kadar basit olması üzücü bir = 1. Ama en azından bu tür denklemleri kontrol edin! Tüm daha az hata irade.
Üçüncü resepsiyon. Denkleminizin kesirli katsayıları varsa kesirlerden kurtulun! Denklemi önceki bölümde anlatıldığı gibi ortak bir paydayla çarpın. Kesirlerle çalışırken bazı nedenlerden dolayı hatalar ortaya çıkmaya devam ediyor...
Bu arada, kötü örneği bir sürü eksiyle basitleştireceğime söz verdim. Lütfen! İşte burada.
Eksilerle karıştırılmamak için denklemi -1 ile çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:
İşte bu! Çözmek bir zevktir!
O halde konuyu özetleyelim.
1. Çözmeden önce ikinci dereceden denklemi standart forma getirip oluşturuyoruz Sağ.
2. X karenin önünde negatif bir katsayı varsa denklemin tamamını -1 ile çarparak onu ortadan kaldırırız.
3. Katsayılar kesirli ise denklemin tamamını karşılık gelen faktörle çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.
4. Eğer x kare saf ise katsayısı bire eşitçözüm Vieta teoremi kullanılarak kolayca doğrulanabilir. Yap!
Kesirli denklemler. ODZ.
Denklemlere hakim olmaya devam ediyoruz. Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerle nasıl çalışılacağını zaten biliyoruz. Geriye kalan son görünüm - kesirli denklemler. Veya çok daha saygın bir şekilde çağrılırlar - kesirli rasyonel denklemler . Aynı şey.
Kesirli denklemler.
Adından da anlaşılacağı gibi bu denklemlerin mutlaka kesir içermesi gerekir. Ama sadece kesirler değil, aynı zamanda sahip olan kesirler paydada bilinmiyor. En azından birinde. Örneğin:
Size şunu hatırlatmama izin verin, eğer paydalar sadece sayılar bunlar doğrusal denklemlerdir.
Nasıl karar verilir? kesirli denklemler? Öncelikle kesirlerden kurtulun! Bundan sonra denklem çoğunlukla doğrusal veya ikinci dereceden hale gelir. Sonra da ne yapacağımızı biliyoruz... Bazı durumlarda 5=5 gibi bir özdeşliğe veya 7=2 gibi yanlış bir ifadeye dönüşebiliyor. Ancak bu nadiren olur. Aşağıda buna değineceğim.
Ama kesirlerden nasıl kurtuluruz!? Çok basit. Aynı özdeş dönüşümlerin uygulanması.
Denklemin tamamını aynı ifadeyle çarpmamız gerekiyor. Böylece tüm paydalar azaltılır! Her şey hemen kolaylaşacak. Bir örnekle açıklayayım. Denklemi çözmemiz gerekiyor:
Öğretildiği gibi genç sınıfları? Her şeyi bir tarafa taşıyoruz, ortak bir paydaya getiriyoruz vb. Kötü bir rüya gibi unut gitsin! Ekleme veya çıkarma yaparken yapmanız gereken şey budur. kesirli ifadeler. Veya eşitsizliklerle çalışırsınız. Ve denklemlerde, hemen her iki tarafı da bize tüm paydaları azaltma fırsatı verecek bir ifadeyle (yani özünde ortak bir paydayla) çarpıyoruz. Peki bu ifade nedir?
Sol tarafta, paydayı azaltmak için şununla çarpılması gerekir: x+2. Sağda ise 2 ile çarpmak gerekiyor. Bu da denklemin ile çarpılması gerektiği anlamına geliyor. 2(x+2). Çarp:
Bu sıradan çarpma kesirler, ama ayrıntılı olarak yazacağım:
Braketi henüz açmadığımı lütfen unutmayın (x + 2)! O yüzden tamamını yazıyorum:
Sol tarafta tamamen kasılır (x+2), ve sağda 2. Gereken de buydu! İndirgemeden sonra elde ederiz doğrusal denklem:
Ve herkes bu denklemi çözebilir! x = 2.
Biraz daha karmaşık olan başka bir örneği çözelim:
3 = 3/1 olduğunu hatırlarsak ve 2x = 2x/ 1, şunu yazabiliriz:
Ve yine gerçekten sevmediğimiz şeylerden - kesirlerden - kurtuluyoruz.
Paydayı X ile azaltmak için kesri şununla çarpmamız gerektiğini görüyoruz: (x – 2). Ve birkaçı bizim için engel değil. Peki çarpalım. Tüm sol taraf ve Tümü sağ taraf:
Tekrar parantez (x – 2) Açıklamıyorum. Parantezle bir bütün olarak sanki tek bir sayıymış gibi çalışıyorum! Bu her zaman yapılmalıdır, aksi takdirde hiçbir şey azalmayacaktır.
Derin bir tatmin duygusuyla azaltıyoruz (x – 2) ve cetvelle kesir içermeyen bir denklem elde ediyoruz!
Şimdi parantezleri açalım:
Benzerlerini getiriyoruz, her şeyi sol tarafa taşıyoruz ve şunu elde ediyoruz:
Klasik ikinci dereceden denklem. Ancak önümüzdeki eksi iyi değil. Her zaman -1 ile çarparak veya bölerek bundan kurtulabilirsiniz. Ancak örneğe yakından bakarsanız, bu denklemi -2'ye bölmenin en iyisi olduğunu fark edeceksiniz! Bir anda eksi ortadan kaybolacak ve oranlar daha cazip hale gelecek! -2'ye bölün. Sol tarafta - terim terim ve sağda - sıfırı -2'ye (sıfır) bölerseniz şunu elde ederiz:
Diskriminant aracılığıyla çözüyoruz ve Vieta teoremini kullanarak kontrol ediyoruz. Aldık x = 1 ve x = 3. İki kök.
Gördüğünüz gibi ilk durumda dönüşümden sonra denklem doğrusal hale geldi, ancak burada ikinci dereceden hale geliyor. Kesirlerden kurtulduktan sonra tüm X'ler azalır. Geriye 5=5 gibi bir şey kalıyor. Bu şu anlama geliyor x herhangi bir şey olabilir. Ne olursa olsun yine de azalacak. Ve bunun saf gerçek olduğu ortaya çıkıyor: 5=5. Ancak kesirlerden kurtulduktan sonra 2=7 gibi tamamen yanlış olduğu ortaya çıkabilir. Ve bu şu anlama geliyor çözüm yok! Herhangi bir X'in doğru olmadığı ortaya çıkıyor.
Gerçekleştirilmiş ana yolçözümler kesirli denklemler ? Basit ve mantıklıdır. Hoşumuza gitmeyen her şeyin kaybolması için orijinal ifadeyi değiştiriyoruz. Veya müdahale ediyor. İÇİNDE bu durumda bunlar kesirler. Aynısını her türlü yapacağız karmaşık örnekler logaritmalar, sinüsler ve diğer dehşetlerle. Biz Her zaman Bütün bunlardan kurtulalım.
Ancak orijinal ifadeyi ihtiyacımız olan yönde değiştirmemiz gerekiyor. kurallara göre, evet... Ustalığı matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlıktır. Yani bunda ustalaşıyoruz.
Şimdi bunlardan birini nasıl atlayacağımızı öğreneceğiz. Birleşik Devlet Sınavında ana pusu! Ama önce bakalım bu duruma düşecek misiniz, düşmeyecek misiniz?
Basit bir örneğe bakalım:
Konu zaten tanıdık, her iki tarafı da çarpıyoruz (x – 2), şunu elde ederiz:
Parantezle hatırlatırım (x – 2) Sanki tek bir bütünsel ifadeyle çalışıyoruz!
Burada artık paydalara bir tane yazmadım, onursuz... Ve paydalara parantez çizmedim, hariç x – 2 hiçbir şey yok, çizmene gerek yok. Kısaltalım:
Parantezleri açın, her şeyi sola taşıyın ve benzerlerini verin:
Çözüyoruz, kontrol ediyoruz, iki kök alıyoruz. x = 2 Ve x = 3. Harika.
Diyelim ki ödevde kökün veya birden fazla kök varsa bunların toplamının yazılması isteniyor. Ne yazacağız?
Cevabın 5 olduğuna karar verirseniz, pusuya düşürüldü. Ve görev size verilmeyecektir. Boşuna çalıştılar... Doğru cevap 3.
Sorun ne?! Ve bir kontrol yapmaya çalışıyorsun. Bilinmeyenlerin değerlerini yerine koyun orijinalörnek. Ve eğer x = 3 her şey harika bir şekilde birlikte büyüyecek, 9 = 9 elde edeceğiz, o zaman x = 2 Sıfıra bölme olacak! Kesinlikle yapamayacağınız şey. Araç x = 2 bir çözüm değildir ve cevapta dikkate alınmaz. Bu sözde yabancı veya ekstra köktür. Sadece onu atıyoruz. Son kök birdir. x = 3.
Nasıl yani?! – Öfkeli ünlemler duyuyorum. Bize bir denklemin bir ifadeyle çarpılabileceği öğretildi! Bu kimlik dönüşümü!
Evet, aynı. Küçük bir koşul altında - çarptığımız (böldüğümüz) ifade - sıfırdan farklı. A x – 2 en x = 2 sıfıra eşittir! Yani her şey adil.
Peki şimdi ne yapmalıyız? İfadeyle çarpmıyor musunuz? Her seferinde kontrol etmeli miyim? Yine belirsiz!
Sakin ol! Panik yapma!
Bu zor durumda bizi üç kişi kurtaracak sihirli harfler. Ne düşündüğünü biliyorum. Sağ! Bu ODZ . Kabul Edilebilir Değerler Alanı.
İÇİNDE modern toplum kare değişkeni içeren denklemlerle işlem yapabilme yeteneği birçok faaliyet alanında faydalı olabilir ve bilimsel ve teknik gelişmelerde pratikte yaygın olarak kullanılır. Bunun kanıtı deniz ve nehir gemilerinin, uçakların ve füzelerin tasarımında bulunabilir. Bu tür hesaplamaları kullanarak, en büyük hareket yörüngeleri farklı bedenler, içermek uzay nesneleri. Çözümlü örnekler ikinci dereceden denklemler yalnızca ekonomik tahminlerde, binaların tasarımında ve yapımında değil, aynı zamanda en sıradan günlük koşullarda da kullanılır. Yürüyüş gezilerinde, spor etkinliklerinde, mağazalarda alışveriş yaparken ve diğer çok yaygın durumlarda bunlara ihtiyaç duyulabilir.
İfadeyi bileşen faktörlerine ayıralım
Denklemin derecesi belirlenir maksimum değer Bu ifadenin içerdiği değişkenin derecesi. 2'ye eşitse, böyle bir denklem ikinci dereceden olarak adlandırılır.
Formüllerin diliyle konuşursak, nasıl görünürse görünsün, belirtilen ifadeler her zaman istenildiği zaman forma getirilebilir. sol taraf ifadesi üç terimden oluşur. Bunlar arasında: ax 2 (yani, katsayısı ile karesi olan bir değişken), bx (katsayısı ile karesi olmayan bir bilinmeyen) ve c (serbest bir bileşen, yani normal numara). Sağ taraftaki tüm bunlar 0'a eşittir. Böyle bir polinomun, ax 2 hariç kendisini oluşturan terimlerden birinin eksik olması durumunda, buna tamamlanmamış ikinci dereceden denklem denir. Bu tür problemlerin çözümü ile ilgili örneklerde öncelikle bulunması kolay olan değişkenlerin değerleri dikkate alınmalıdır.
İfadenin sağ tarafında iki terim var gibi görünüyorsa, daha doğrusu ax 2 ve bx, x'i bulmanın en kolay yolu değişkeni parantezlerin dışına çıkarmaktır. Şimdi denklemimiz şöyle görünecek: x(ax+b). Daha sonra ya x=0 olduğu ya da problemin şu ifadeden bir değişken bulmakta olduğu açıkça ortaya çıkıyor: ax+b=0. Bu, çarpmanın özelliklerinden biri tarafından belirlenir. Kural, iki faktörün çarpımının yalnızca biri sıfır olduğunda 0 ile sonuçlanacağını belirtir.
Örnek
x=0 veya 8x - 3 = 0
Sonuç olarak denklemin iki kökünü elde ederiz: 0 ve 0,375.
Bu tür denklemler, koordinatların orijini olarak alınan belirli bir noktadan itibaren hareket etmeye başlayan yerçekiminin etkisi altındaki cisimlerin hareketini tanımlayabilir. Burada matematiksel gösterim kabul eder aşağıdaki form: y = v 0 t + gt 2/2. Gerekli değerleri yerine koyarak, sağ tarafı 0'a eşitleyerek ve olası bilinmeyenleri bularak, cismin yükseldiği andan düştüğü ana kadar geçen süreyi ve daha birçok niceliği bulabilirsiniz. Ama bunu daha sonra konuşacağız.
Bir İfadeyi Faktoringe Alma
Yukarıda açıklanan kural karar vermeyi mümkün kılar belirtilen görevler ve daha fazlası zor vakalar. Bu tür ikinci dereceden denklemleri çözme örneklerine bakalım.
X 2 - 33x + 200 = 0
Bu ikinci dereceden üç terimli tamamlandı. Öncelikle ifadeyi dönüştürüp çarpanlarına ayıralım. Bunlardan iki tane var: (x-8) ve (x-25) = 0. Sonuç olarak elimizde 8 ve 25 olmak üzere iki kök var.
9. sınıfta ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler, bu yöntemin yalnızca ikinci dereceden değil, üçüncü ve dördüncü dereceden ifadelerde de bir değişken bulmasına olanak tanır.
Örneğin: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Sağ tarafı değişkenli çarpanlara ayırdığımızda bunlardan üç tane vardır, yani (x+1), (x-3) ve (x+ 3).
Sonuç olarak şu ortaya çıkıyor: verilen denklemüç kökü vardır: -3; -1; 3.
Karekök
Başka bir vaka tamamlanmamış denklem ikinci sıra ise harf dilinde sağ tarafı ax 2 ve c bileşenlerinden oluşturulacak şekilde temsil edilen bir ifadedir. Burada değişkenin değerini elde etmek için serbest terim aktarılır. sağ taraf ve bundan sonra eşitliğin her iki tarafından karekök alınır. Bu durumda genellikle denklemin iki kökü olduğuna dikkat edilmelidir. Tek istisna, değişkenin sıfıra eşit olduğu, hiç bir terim içermeyen eşitlikler ve sağ tarafın negatif olduğu ifadelerin çeşitleri olabilir. İÇİNDE ikinci durum Yukarıdaki eylemler köklerle gerçekleştirilemediğinden hiçbir çözüm yoktur. Bu tür ikinci dereceden denklemlerin çözüm örnekleri dikkate alınmalıdır.
Bu durumda denklemin kökleri -4 ve 4 sayıları olacaktır.
Arazi alanının hesaplanması
Bu tür hesaplamalara duyulan ihtiyaç eski zamanlarda ortaya çıktı, çünkü o uzak zamanlarda matematiğin gelişimi büyük ölçüde arazi parsellerinin alanlarını ve çevrelerini en yüksek doğrulukla belirleme ihtiyacıyla belirlendi.
Bu tür problemlere dayanarak ikinci dereceden denklemleri çözme örneklerini de düşünmeliyiz.
Diyelim ki uzunluğu genişliğinden 16 metre daha fazla olan dikdörtgen bir arsa var. Alanının 612 m2 olduğunu biliyorsanız sitenin uzunluğunu, genişliğini ve çevresini bulmalısınız.
Başlamak için önce gerekli denklemi oluşturalım. Alanın genişliğini x ile gösterirsek uzunluğu (x+16) olur. Yazılmış olanlardan, alanın, problemimizin koşullarına göre 612 olan x(x+16) ifadesiyle belirlendiği anlaşılmaktadır. Bu, x(x+16) = 612 anlamına gelir.
İkinci dereceden denklemlerin tam çözümü, ki bu ifade tam da budur, aynı şekilde yapılamaz. Neden? Sol tarafta hala iki faktör bulunsa da çarpımları hiç 0'a eşit olmadığından burada farklı yöntemler kullanılıyor.
diskriminant
Önce üretelim gerekli dönüşümler, Daha sonra dış görünüş verilen ifadeşu şekilde görünecektir: x 2 + 16x - 612 = 0. Bu, daha önce belirtilen standarda karşılık gelen formda bir ifade aldığımız anlamına gelir; burada a=1, b=16, c=-612.
Bu, ikinci dereceden denklemleri bir diskriminant kullanarak çözmenin bir örneği olabilir. Burada gerekli hesaplamalarşemaya göre üretilir: D = b 2 - 4ac. Bu yardımcı miktar sadece ikinci dereceden bir denklemde gerekli miktarları bulmayı mümkün kılmakla kalmaz, aynı zamanda olası seçeneklerin sayısını da belirler. D>0 ise iki tane var; D=0 için bir kök vardır. D durumunda<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Kökler ve formülleri hakkında
Bizim durumumuzda diskriminant şuna eşittir: 256 - 4(-612) = 2704. Bu, problemimizin bir cevabı olduğunu gösteriyor. Eğer k'yı biliyorsanız ikinci dereceden denklemlerin çözümüne aşağıdaki formül kullanılarak devam edilmelidir. Kökleri hesaplamanızı sağlar.
Bu, sunulan durumda şu anlama gelir: x 1 =18, x 2 =-34. Bu ikilemde ikinci seçenek çözüm olamaz çünkü arsanın boyutları negatif büyüklüklerle ölçülemez, yani x (yani arsanın genişliği) 18 m olur. Buradan uzunluğu hesaplıyoruz: 18. +16=34 ve çevre 2(34+ 18)=104(m2).
Örnekler ve görevler
İkinci dereceden denklemler çalışmamıza devam ediyoruz. Bunlardan birkaçının örnekleri ve ayrıntılı çözümleri aşağıda verilecektir.
1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1
Her şeyi eşitliğin sol tarafına taşıyalım, bir dönüşüm yapalım yani standart denilen denklem türünü elde edip sıfıra eşitleyelim.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Benzerlerini toplayarak diskriminantı belirliyoruz: D = 49 - 48 = 1. Bu, denklemimizin iki kökü olacağı anlamına gelir. Bunları yukarıdaki formüle göre hesaplayalım, yani birincisi 4/3'e, ikincisi ise 1'e eşit olacaktır.
2) Şimdi farklı türden gizemleri çözelim.
Burada herhangi bir kök olup olmadığını bulalım x 2 - 4x + 5 = 1? Kapsamlı bir cevap elde etmek için polinomu karşılık gelen olağan forma indirgeyelim ve diskriminantı hesaplayalım. Yukarıdaki örnekte ikinci dereceden denklemi çözmeye gerek yoktur çünkü sorunun özü bu değildir. Bu durumda D = 16 - 20 = -4, yani gerçekte köklerin olmadığı anlamına gelir.
Vieta'nın teoremi
İkinci dereceden denklemleri yukarıdaki formülleri ve diskriminantı kullanarak, ikincisinin değerinden karekök alındığında çözmek uygundur. Ancak bu her zaman gerçekleşmez. Ancak bu durumda değişkenlerin değerlerini elde etmenin birçok yolu vardır. Örnek: İkinci dereceden denklemlerin Vieta teoremini kullanarak çözülmesi. Adını 16. yüzyılda Fransa'da yaşayan ve matematik yeteneği ve saraydaki bağlantıları sayesinde parlak bir kariyere sahip olan bir kişiden almıştır. Portresi makalede görülebilir.
Ünlü Fransız'ın fark ettiği desen şu şekildeydi. Denklemin köklerinin sayısal olarak toplamının -p=b/a olduğunu ve çarpımlarının q=c/a'ya karşılık geldiğini kanıtladı.
Şimdi belirli görevlere bakalım.
3x2 + 21x - 54 = 0
Basit olması açısından ifadeyi dönüştürelim:
x 2 + 7x - 18 = 0
Vieta teoremini kullanalım, bu bize şunu verecektir: Köklerin toplamı -7 ve çarpımı -18'dir. Buradan denklemin köklerinin -9 ve 2 sayıları olduğunu anlıyoruz. Kontrol ettikten sonra bu değişken değerlerinin gerçekten ifadeye uyduğundan emin olacağız.
Parabol grafiği ve denklemi
İkinci dereceden fonksiyon ve ikinci dereceden denklem kavramları yakından ilişkilidir. Bunun örnekleri daha önce verilmişti. Şimdi bazı matematik bilmecelerine biraz daha detaylı bakalım. Tanımlanan türdeki herhangi bir denklem görsel olarak temsil edilebilir. Grafik olarak çizilen böyle bir ilişkiye parabol denir. Çeşitli türleri aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.
Her parabolün bir tepe noktası, yani dallarının çıktığı bir nokta vardır. Eğer a>0 ise, sonsuza kadar yükselirler ve<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Fonksiyonların görsel temsilleri, ikinci dereceden denklemler de dahil olmak üzere tüm denklemlerin çözülmesine yardımcı olur. Bu yönteme grafik denir. X değişkeninin değeri ise grafik çizgisinin 0x ile kesiştiği noktalardaki apsis koordinatıdır. Tepe noktasının koordinatları az önce verilen x 0 = -b/2a formülü kullanılarak bulunabilir. Ve ortaya çıkan değeri fonksiyonun orijinal denkleminde değiştirerek, y 0'ı, yani ordinat eksenine ait olan parabolün tepe noktasının ikinci koordinatını bulabilirsiniz.
Bir parabolün dallarının apsis ekseni ile kesişimi
İkinci dereceden denklemleri çözmenin birçok örneği vardır, ancak aynı zamanda genel modeller de vardır. Şimdi onlara bakalım. a>0 için grafiğin 0x ekseniyle kesişmesinin ancak y 0 alınması durumunda mümkün olduğu açıktır. negatif değerler. Ve bir için<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0.V aksi takdirde D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Parabolün grafiğinden kökleri de belirleyebilirsiniz. Bunun tersi de doğrudur. Yani görsel bir görüntü elde ederseniz ikinci dereceden fonksiyon Kolay değil, ifadenin sağ tarafını 0'a eşitleyip ortaya çıkan denklemi çözebilirsiniz. Ve 0x ekseniyle kesişme noktalarını bilerek bir grafik oluşturmak daha kolaydır.
Tarihten
Eskiden kare değişkeni içeren denklemleri kullanarak sadece matematiksel hesaplamalar yapmakla kalmıyor, geometrik şekillerin alanlarını da belirliyorlardı. Kadim insanlar, fizik ve astronomi alanlarındaki büyük keşiflerin yanı sıra astrolojik tahminler yapmak için de bu tür hesaplamalara ihtiyaç duyuyorlardı.
Modern bilim adamlarının öne sürdüğü gibi, Babil sakinleri ikinci dereceden denklemleri ilk çözenler arasındaydı. Bu, çağımızdan dört yüzyıl önce oldu. Elbette onların hesaplamaları şu anda kabul edilenlerden kökten farklıydı ve çok daha ilkel olduğu ortaya çıktı. Örneğin Mezopotamyalı matematikçilerin negatif sayıların varlığından haberleri yoktu. Ayrıca herhangi bir modern okul çocuğunun bildiği diğer inceliklere de aşina değillerdi.
Belki de Babil'deki bilim adamlarından bile önce, Hintli bilge Baudhayama ikinci dereceden denklemleri çözmeye başladı. Bu, İsa'nın döneminden yaklaşık sekiz yüzyıl önce gerçekleşti. Doğru, ikinci dereceden denklemler, verdiği çözme yöntemleri en basitleriydi. Onun yanı sıra Çinli matematikçiler de eski günlerde benzer sorularla ilgileniyorlardı. Avrupa'da ikinci dereceden denklemler ancak 13. yüzyılın başında çözülmeye başlandı, ancak daha sonra Newton, Descartes ve diğerleri gibi büyük bilim adamları tarafından çalışmalarında kullanıldılar.
İkinci dereceden denklem - çözülmesi kolay! *Bundan sonra “KU” olarak anılacaktır. Arkadaşlar öyle görünüyor ki matematikte böyle bir denklemi çözmekten daha basit bir şey olamaz. Ama içimden bir ses birçok insanın onunla sorunları olduğunu söyledi. Yandex'in ayda kaç tane isteğe bağlı gösterim verdiğini görmeye karar verdim. İşte ne oldu, bakın:
Bu ne anlama geliyor? Bu, ayda yaklaşık 70.000 kişinin bu bilgiyi aradığı anlamına geliyor ve bu yaz ve okul yılı boyunca ne olacak - iki kat daha fazla talep olacak. Bu şaşırtıcı değil, çünkü okuldan uzun zaman önce mezun olan ve Birleşik Devlet Sınavına hazırlanan kız ve erkekler bu bilgiyi arıyorlar ve okul çocukları da hafızalarını tazelemeye çalışıyorlar.
Bu denklemin nasıl çözüleceğini anlatan birçok site olmasına rağmen ben de katkıda bulunup materyali yayınlamaya karar verdim. Öncelikle bu isteğe istinaden ziyaretçilerin siteme gelmesini istiyorum; ikinci olarak diğer yazılarımda “KU” konusu açıldığında bu yazının linkini vereceğim; üçüncü olarak, size çözümü hakkında diğer sitelerde genellikle belirtilenden biraz daha fazlasını anlatacağım. Hadi başlayalım! Makalenin içeriği:
İkinci dereceden bir denklem şu şekilde bir denklemdir:
burada katsayılar a,Bve c, a≠0 olan keyfi sayılardır.
İÇİNDE okul kursu materyal aşağıdaki biçimde verilmiştir - denklemler şartlı olarak üç sınıfa ayrılmıştır:
1. İki kökleri vardır.
2. *Tek bir kökü vardır.
3. Kökleri yoktur. Burada gerçek köklerinin olmadığını özellikle belirtmekte fayda var.
Kökler nasıl hesaplanır? Sadece!
Diskriminant'ı hesaplıyoruz. Bu “korkunç” kelimenin altında çok basit bir formül yatıyor:
Kök formülleri aşağıdaki gibidir:
*Bu formülleri ezbere bilmeniz gerekiyor.
Hemen yazıp çözebilirsiniz:
Örnek:
1. Eğer D > 0 ise denklemin iki kökü vardır.
2. Eğer D = 0 ise denklemin bir kökü vardır.
3. Eğer D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Denkleme bakalım:
İle bu vesileyle Diskriminant sıfıra eşit olduğunda okul kursu sonucun bir kök olduğunu söylüyor, burada dokuza eşit. Her şey doğru, öyle ama...
Bu fikir biraz yanlıştır. Aslında iki kök var. Evet evet şaşırmayın iki çıkıyor eşit kökler ve matematiksel olarak kesin olmak için yanıtın iki kök içermesi gerekir:
x 1 = 3 x 2 = 3
Ama durum böyle... küçük inziva. Okulda bunu yazıp tek bir kök olduğunu söyleyebilirsin.
Şimdi bir sonraki örnek:
Bildiğimiz gibi negatif bir sayının kökü alınamadığından bu durumda bir çözüm yoktur.
Bütün karar süreci bundan ibaret.
İkinci dereceden fonksiyon.
Bu, çözümün geometrik olarak neye benzediğini gösterir. Bunu anlamak son derece önemlidir (gelecekte makalelerden birinde ikinci dereceden eşitsizliğin çözümünü ayrıntılı olarak analiz edeceğiz).
Bu formun bir fonksiyonudur:
burada x ve y değişkenlerdir
a, b, c – verilen sayılar, burada a ≠ 0
Grafik bir paraboldür:
Yani, “y” sıfıra eşit olan ikinci dereceden bir denklemi çözerek parabolün x ekseni ile kesişme noktalarını bulduğumuz ortaya çıkıyor. Bu noktalardan ikisi (ayırıcı pozitiftir), biri (ayırıcı sıfırdır) ve hiçbiri (ayırıcı negatiftir) olabilir. İkinci dereceden fonksiyonla ilgili ayrıntılar bakabilirsin Inna Feldman'ın makalesi.
Örneklere bakalım:
Örnek 1: Çöz 2x 2 +8 X–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Cevap: x 1 = 8 x 2 = –12
*Denklemin sol ve sağ taraflarını hemen 2'ye bölmek, yani basitleştirmek mümkündü. Hesaplamalar daha kolay olacaktır.
Örnek 2: Karar vermek x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
x 1 = 11 ve x 2 = 11 olduğunu bulduk
Cevapta x=11 yazmak caizdir.
Cevap: x = 11
Örnek 3: Karar vermek x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Diskriminant negatiftir, gerçek sayılarda çözüm yoktur.
Cevap: çözüm yok
Diskriminant negatiftir. Bir çözüm var!
Burada negatif bir diskriminantın elde edilmesi durumunda denklemin çözümünden bahsedeceğiz. Karmaşık sayılar hakkında bir şey biliyor musun? Bunların neden ve nerede ortaya çıktıklarını ve matematikteki spesifik rollerinin ve gerekliliklerinin ne olduğunu burada ayrıntıya girmeyeceğim; bu ayrı bir makalenin konusu.
Karmaşık sayı kavramı.
Küçük bir teori.
Karmaşık sayı z, formdaki bir sayıdır
z = a + bi
a ve b nerede gerçek sayılar i sözde sanal birimdir.
a+bi – bu TEK BİR NUMARAdır, toplama değildir.
Sanal birim eksi birin köküne eşittir:
Şimdi denklemi düşünün:
İki eşlenik kök elde ediyoruz.
Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem.
Özel durumları ele alalım; bu, “b” veya “c” katsayısının sıfıra eşit olduğu (veya her ikisinin de sıfıra eşit olduğu) durumdur. Herhangi bir ayrımcılığa uğramadan kolayca çözülebilirler.
Durum 1. Katsayı b = 0.
Denklem şöyle olur:
Hadi dönüştürelim:
Örnek:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Durum 2. Katsayı c = 0.
Denklem şöyle olur:
Dönüştürüp çarpanlara ayıralım:
*Faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda ürün sıfıra eşittir.
Örnek:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 veya x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Durum 3. Katsayılar b = 0 ve c = 0.
Burada denklemin çözümünün her zaman x = 0 olacağı açıktır.
Faydalı özellikler ve katsayı kalıpları.
Büyük katsayılı denklemleri çözmenizi sağlayan özellikler vardır.
AX 2 + bx+ C=0 eşitlik geçerlidir
A + B+ c = 0, O
- denklemin katsayıları için ise AX 2 + bx+ C=0 eşitlik geçerlidir
A+ s =B, O
Bu özellikler karar vermenize yardımcı olur belirli bir tür denklemler
Örnek 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0
Oranların toplamı 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, bunun anlamı
Örnek 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0
Eşitlik geçerlidir A+ s =B, Araç
Katsayıların düzenlilikleri.
1. ax 2 + bx + c = 0 denkleminde “b” katsayısı (a 2 +1)'e eşitse ve “c” katsayısı sayısal olarak katsayıya eşit"a" ise kökleri eşittir
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Örnek. 6x 2 + 37x + 6 = 0 denklemini düşünün.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. ax 2 – bx + c = 0 denkleminde “b” katsayısı (a 2 +1)'e eşitse ve “c” katsayısı sayısal olarak “a” katsayısına eşitse kökleri eşittir
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Örnek. 15x 2 –226x +15 = 0 denklemini düşünün.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Denklemde ise. ax 2 + bx – c = 0 katsayısı “b” eşittir (a 2 – 1) ve katsayısı “c” sayısal olarak “a” katsayısına eşittir, o zaman kökleri eşittir
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Örnek. 17x 2 +288x – 17 = 0 denklemini düşünün.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Eğer ax 2 - bx - c = 0 denkleminde "b" katsayısı (a 2 - 1)'e eşitse ve c katsayısı sayısal olarak "a" katsayısına eşitse kökleri eşittir
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Örnek. 10x 2 – 99x –10 = 0 denklemini düşünün.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Vieta'nın teoremi.
Vieta'nın teoremi, adını ünlü Fransız matematikçi Francois Vieta'dan almıştır. Vieta teoremini kullanarak, rastgele bir KU'nun köklerinin toplamını ve çarpımını katsayıları cinsinden ifade edebiliriz.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Toplamda 14 sayısı sadece 5 ve 9'u verir. Bunlar köklerdir. Belirli bir beceriyle, sunulan teoremi kullanarak birçok ikinci dereceden denklemi sözlü olarak anında çözebilirsiniz.
Ayrıca Vieta teoremi. ikinci dereceden bir denklemin olağan şekilde (bir diskriminant aracılığıyla) çözülmesinden sonra ortaya çıkan köklerin kontrol edilebilmesi açısından uygundur. Bunu her zaman yapmanızı öneririm.
ULAŞIM ŞEKLİ
Bu yöntemle “a” katsayısı serbest terimle sanki kendisine “atılmış” gibi çarpılır, bu yüzden buna denir. "aktarma" yöntemi. Bu yöntem, denklemin kökleri Vieta teoremi kullanılarak kolayca bulunabildiğinde ve en önemlisi diskriminantın tam kare olduğu durumlarda kullanılır.
Eğer A± b+c≠ 0 ise transfer tekniği kullanılır, örneğin:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Denklem (2)'deki Vieta teoremini kullanarak x 1 = 10 x 2 = 1 olduğunu belirlemek kolaydır.
Denklemin ortaya çıkan kökleri 2'ye bölünmelidir (çünkü ikisi x 2'den "atılmıştır"), şunu elde ederiz:
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Gerekçesi nedir? Bakın neler oluyor.
Denklem (1) ve (2)'nin ayırıcıları eşittir:
Denklemlerin köklerine bakarsanız yalnızca farklı paydalar elde edersiniz ve sonuç tam olarak x 2 katsayısına bağlıdır:
İkincisi (değiştirilmiş) 2 kat daha büyük köklere sahiptir.
Bu nedenle sonucu 2'ye bölüyoruz.
*Üç atarsak sonucu 3'e vb. böleriz.
Cevap: x 1 = 5 x 2 = 0,5
meydan ur-ie ve Birleşik Devlet Sınavı.
Önemini kısaca anlatacağım - Çabuk ve düşünmeden KARAR VERMELİSİNİZ, köklerin ve ayırıcıların formüllerini ezbere bilmeniz gerekiyor. Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde yer alan problemlerin çoğu, ikinci dereceden bir denklemin (geometrik olanlar dahil) çözülmesine indirgenir.
Dikkate değer bir şey!
1. Bir denklemin yazım şekli “örtük” olabilir. Örneğin aşağıdaki giriş mümkündür:
15+ 9x 2 - 45x = 0 veya 15x+42+9x 2 - 45x=0 veya 15 -5x+10x 2 = 0.
Bunu standart bir forma getirmeniz gerekiyor (çözerken kafanızın karışmaması için).
2. X'in bilinmeyen bir miktar olduğunu ve herhangi bir harfle (t, q, p, h ve diğerleri) gösterilebileceğini unutmayın.
Konuyu incelemeye devam ediyoruz " denklem çözme" Doğrusal denklemlerle zaten tanıştık ve onları tanımaya devam ediyoruz ikinci dereceden denklemler.
İlk önce ikinci dereceden denklemin ne olduğuna, genel formda nasıl yazıldığına bakacağız ve ilgili tanımlar. Bundan sonra eksik ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü detaylı olarak incelemek için örnekler kullanacağız. Çözüme geçelim tam denklemler, kök formülü alıyoruz, ikinci dereceden denklemin diskriminantını öğreniyoruz ve çözümleri değerlendiriyoruz tipik örnekler. Son olarak kökler ve katsayılar arasındaki bağlantıları izleyelim.
Sayfada gezinme.
İkinci dereceden denklem nedir? Türleri
Öncelikle ikinci dereceden denklemin ne olduğunu açıkça anlamanız gerekir. Bu nedenle, ikinci dereceden denklemler hakkında bir konuşmaya ikinci dereceden bir denklemin tanımı ve ilgili tanımlarla başlamak mantıklıdır. Bundan sonra, ikinci dereceden denklemlerin ana türlerini göz önünde bulundurabilirsiniz: azaltılmış ve azaltılmamış, ayrıca tam ve eksik denklemler.
İkinci dereceden denklemlerin tanımı ve örnekleri
Tanım.
İkinci dereceden denklem formun bir denklemidir a x 2 +b x+c=0 burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve a sıfır değildir.
Hemen ikinci dereceden denklemlere genellikle ikinci dereceden denklemler denildiğini söyleyelim. Bunun nedeni ikinci dereceden denklemin cebirsel denklem ikinci derece.
Belirtilen tanım ikinci dereceden denklem örnekleri vermemizi sağlar. Yani 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, vb. Bunlar ikinci dereceden denklemlerdir.
Tanım.
Sayılar a, b ve c denir ikinci dereceden denklemin katsayıları a·x 2 +b·x+c=0 ve a katsayısına birinci veya en yüksek denir veya x 2'nin katsayısı, b ikinci katsayı veya x'in katsayısıdır ve c serbest terimdir .
Örneğin, 5 x 2 −2 x −3=0 formundaki ikinci dereceden bir denklemi ele alalım, burada baş katsayı 5, ikinci katsayı −2 ve serbest terim −3'e eşittir. Az önce verilen örnekte olduğu gibi b ve/veya c katsayıları negatif olduğunda, o zaman kısa biçim 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 değil, 5 x 2 −2 x−3=0 biçiminde ikinci dereceden bir denklem yazmak.
a ve/veya b katsayıları 1 veya −1'e eşit olduğunda, ikinci dereceden denklemde genellikle açıkça mevcut olmadıklarını belirtmekte fayda var; bu da böyle yazmanın özelliklerinden kaynaklanmaktadır. Örneğin, ikinci dereceden y 2 −y+3=0 denkleminde baş katsayı birdir ve y'nin katsayısı −1'e eşittir.
İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler
Baş katsayının değerine bağlı olarak indirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler ayırt edilir. İlgili tanımları verelim.
Tanım.
Baş katsayısının 1 olduğu ikinci dereceden denklem denir verilen ikinci dereceden denklem. Aksi takdirde ikinci dereceden denklem el değmemiş.
Buna göre bu tanım, ikinci dereceden denklemler x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, vb. – verildiğinde, her birinde birinci katsayı bire eşittir. A 5 x 2 −x−1=0 vb. - indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler, baş katsayıları 1'den farklıdır.
İndirgenmemiş herhangi bir ikinci dereceden denklemden, her iki tarafı da baş katsayıya bölerek azaltılmış olana gidebilirsiniz. Bu eylem eşdeğer bir dönüşümdür, yani bu şekilde elde edilen indirgenmiş ikinci dereceden denklem, orijinal indirgenmemiş ikinci dereceden denklemle aynı köklere sahiptir veya onun gibi kökleri yoktur.
İndirgenmemiş ikinci dereceden denklemden indirgenmiş denkleme geçişin nasıl gerçekleştirildiğine dair bir örneğe bakalım.
Örnek.
3 x 2 +12 x−7=0 denkleminden karşılık gelen indirgenmiş ikinci dereceden denkleme gidin.
Çözüm.
Orijinal denklemin her iki tarafını da baş katsayı 3'e bölmemiz yeterli, sıfır değil, böylece bu işlemi gerçekleştirebiliriz. Elimizde (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 var, bu da aynı, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 ve sonra (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, buradan . Orijinaline eşdeğer olan indirgenmiş ikinci dereceden denklemi bu şekilde elde ettik.
Cevap:
Tam ve eksik ikinci dereceden denklemler
İkinci dereceden bir denklemin tanımı a≠0 koşulunu içerir. Bu koşul, a x 2 + b x + c = 0 denkleminin ikinci dereceden olması için gereklidir, çünkü a = 0 olduğunda aslında b x + c = 0 formunda doğrusal bir denklem haline gelir.
B ve c katsayılarına gelince, bunlar hem ayrı ayrı hem de birlikte sıfıra eşit olabilir. Bu durumlarda ikinci dereceden denklem eksik olarak adlandırılır.
Tanım.
İkinci dereceden denklem a x 2 +b x+c=0 denir tamamlanmamış, eğer b, c katsayılarından en az biri sıfıra eşitse.
Sırayla
Tanım.
Tam ikinci dereceden denklem tüm katsayıların sıfırdan farklı olduğu bir denklemdir.
Bu tür isimler tesadüfen verilmemiştir. Aşağıdaki tartışmalardan bu açıkça anlaşılacaktır.
b katsayısı sıfırsa ikinci dereceden denklem a·x 2 +0·x+c=0 formunu alır ve a·x 2 +c=0 denklemine eşdeğerdir. Eğer c=0 ise, yani ikinci dereceden denklem a·x 2 +b·x+0=0 biçimindeyse, o zaman a·x 2 +b·x=0 olarak yeniden yazılabilir. Ve b=0 ve c=0 ile ikinci dereceden a·x 2 =0 denklemini elde ederiz. Ortaya çıkan denklemler, sol taraflarında x değişkenli bir terim veya serbest bir terim veya her ikisini birden içermemesi nedeniyle ikinci dereceden denklemin tamamından farklıdır. Dolayısıyla onların adı - tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler.
Dolayısıyla x 2 +x+1=0 ve −2 x 2 −5 x+0,2=0 denklemleri ikinci dereceden tam denklem örnekleridir ve x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir.
Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme
Önceki paragrafta yer alan bilgilerden şu anlaşılmaktadır: üç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem:
- a·x 2 =0, b=0 ve c=0 katsayıları buna karşılık gelir;
- a x 2 +c=0 olduğunda b=0 ;
- ve c=0 olduğunda a·x 2 +b·x=0.
Bu türlerin her birinin tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerinin nasıl çözüldüğünü sırasıyla inceleyelim.
a x 2 =0
b ve c katsayılarının sıfıra eşit olduğu, yani a x 2 =0 formundaki denklemlerle tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmeye başlayalım. a·x 2 =0 denklemi, her iki parçanın da sıfır olmayan bir a sayısına bölünmesiyle orijinalinden elde edilen x 2 =0 denklemine eşdeğerdir. Açıkçası, x 2 =0 denkleminin kökü sıfırdır, çünkü 0 2 =0'dır. Bu denklemin başka kökleri yoktur; bu, sıfırdan farklı herhangi bir p sayısı için p 2 >0 eşitsizliğinin geçerli olduğu gerçeğiyle açıklanır; bu, p≠0 için p 2 =0 eşitliğine asla ulaşılamayacağı anlamına gelir.
Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a·x 2 =0'ın tek bir kökü x=0'dır.
Örnek olarak, ikinci dereceden tamamlanmamış −4 x 2 =0 denkleminin çözümünü veriyoruz. x 2 =0 denklemine eşdeğerdir, tek kökü x=0'dır, dolayısıyla orijinal denklemin tek kökü sıfır vardır.
Bu durumda kısa çözüm şu şekilde yazılabilir:
−4 x 2 =0 ,
x2 =0,
x=0 .
a x 2 +c=0
Şimdi b katsayısının sıfır ve c≠0 olduğu, yani a x 2 +c=0 formundaki denklemlerin tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğüne bakalım. Bir terimi denklemin bir tarafından zıt işaretle diğer tarafa taşımanın ve denklemin her iki tarafını da sıfır olmayan bir sayıya bölmenin eşdeğer bir denklem verdiğini biliyoruz. Bu nedenle aşağıdaki işlemleri yapabiliriz eşdeğer dönüşümler tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 +c=0 :
- c'yi sağ tarafa hareket ettirin, bu da a x 2 =−c denklemini verir,
- ve her iki tarafı da a'ya bölersek elde ederiz.
Ortaya çıkan denklem, kökleri hakkında sonuçlar çıkarmamızı sağlar. a ve c değerlerine bağlı olarak ifadenin değeri negatif (örneğin a=1 ve c=2 ise o zaman) veya pozitif (örneğin a=−2 ve c=6 ise,) olabilir. o zaman ), c≠0 koşuluna göre sıfır değildir. Vakaları ayrı ayrı analiz edeceğiz ve.
Eğer ise denklemin kökleri yoktur. Bu ifade, herhangi bir sayının karesinin negatif olmayan bir sayı olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Bundan, herhangi bir p sayısı için eşitliğin doğru olamayacağı sonucu çıkar.
Eğer öyleyse denklemin kökleriyle ilgili durum farklıdır. Bu durumda, eğer hatırlarsak, o zaman denklemin kökü hemen belli olur; çünkü . Aslında sayının aynı zamanda denklemin kökü olduğunu tahmin etmek kolaydır. Bu denklemin örneğin çelişkiyle gösterilebilecek başka kökleri yoktur. Hadi bunu yapalım.
Az önce açıklanan denklemin köklerini x 1 ve -x 1 olarak gösterelim. Denklemin belirtilen x 1 ve −x 1 köklerinden farklı bir kök x 2 daha olduğunu varsayalım. Köklerini x yerine bir denklem haline getirmenin denklemi doğru bir sayısal eşitliğe dönüştürdüğü bilinmektedir. x 1 ve −x 1 için elimizde ve x 2 için elimizde . Sayısal eşitliklerin özellikleri, doğru değerlerden terim terim çıkarma işlemi yapmamızı sağlar. sayısal eşitlikler, dolayısıyla eşitliklerin karşılık gelen kısımlarının çıkarılması x 1 2 −x 2 2 =0 sonucunu verir. Sayılarla yapılan işlemlerin özellikleri, elde edilen eşitliği (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 olarak yeniden yazmamıza olanak tanır. İki sayının çarpımının sıfıra eşit olduğunu ancak ve ancak bunlardan en az birinin sıfıra eşit olması durumunda biliyoruz. Dolayısıyla, elde edilen eşitlikten x 1 −x 2 =0 ve/veya x 1 +x 2 =0, ki bu aynıdır, x 2 =x 1 ve/veya x 2 =−x 1 olur. Yani bir çelişkiye geldik, çünkü başlangıçta x 2 denkleminin kökünün x 1 ve −x 1'den farklı olduğunu söylemiştik. Bu da denklemin ve dışında kökü olmadığını kanıtlar.
Bu paragraftaki bilgileri özetleyelim. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 +c=0 aşağıdaki denkleme eşdeğerdir:
- kökleri yok ise
- iki kökü vardır ve , if .
a·x 2 +c=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekleri ele alalım.
İkinci dereceden denklem 9 x 2 +7=0 ile başlayalım. Serbest terim denklemin sağ tarafına taşındığında 9 x 2 =−7 formunu alacaktır. Ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da 9'a bölerek elde ederiz. Sağ taraf negatif bir sayıya sahip olduğundan bu denklemin kökleri yoktur, dolayısıyla orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklem 9 x 2 +7 = 0'ın da kökleri yoktur.
Başka bir tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi -x 2 +9=0 çözelim. Dokuzunu sağa kaydırıyoruz: −x 2 =−9. Şimdi her iki tarafı da -1'e bölersek x 2 =9 elde ederiz. Sağ tarafta pozitif sayı, bundan şu sonuca varıyoruz: veya . Sonra son cevabı yazıyoruz: tamamlanmamış ikinci dereceden denklem −x 2 +9=0'ın iki kökü x=3 veya x=−3'tür.
a x 2 +b x=0
Geriye c=0 için tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin son tipinin çözümüyle uğraşmak kalıyor. a x 2 + b x = 0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmenize olanak sağlar çarpanlara ayırma yöntemi. Açıkçası, denklemin sol tarafında yer alabiliriz, bunun için onu parantezlerden çıkarmamız yeterlidir. ortak çarpan X. Bu, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklemden x·(a·x+b)=0 formundaki eşdeğer bir denkleme geçmemizi sağlar. Ve bu denklem, x=0 ve a·x+b=0 olmak üzere iki denklemden oluşan bir diziye eşdeğerdir; bunlardan ikincisi doğrusaldır ve kökü x=−b/a'dır.
Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden a·x 2 +b·x=0 denkleminin iki kökü x=0 ve x=−b/a'dır.
Materyali pekiştirmek için çözümü belirli bir örneğe göre analiz edeceğiz.
Örnek.
Denklemi çözün.
Çözüm.
X'i parantezden çıkarmak denklemi verir. x=0 ve iki denkleme eşdeğerdir. Bulduklarımızı çözüyoruz doğrusal denklem: , ve karışık sayıyı şuna bölmek: ortak kesir, buluyoruz. Bu nedenle orijinal denklemin kökleri x=0 ve .
Gerekli pratiği kazandıktan sonra bu tür denklemlerin çözümleri kısaca yazılabilir:
Cevap:
x=0 , .
Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formül
İkinci dereceden denklemleri çözmek için bir kök formül vardır. Haydi yazalım İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formül: , Nerede D=b 2 −4 a c- sözde ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı. Giriş aslında şu anlama gelir.
Kök formülün nasıl elde edildiğini ve ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulmada nasıl kullanıldığını bilmek faydalıdır. Bunu çözelim.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi
İkinci dereceden a·x 2 +b·x+c=0 denklemini çözmemiz gerekiyor. Bazı eşdeğer dönüşümler gerçekleştirelim:
- Bu denklemin her iki tarafını da sıfırdan farklı bir a sayısına bölerek aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde edebiliriz.
- Şimdi hadi vurgulayalım mükemmel kare sol tarafında: . Bundan sonra denklem şu şekli alacaktır.
- Bu aşamada son iki terimi ters işaretle sağ tarafa aktarmamız mümkün.
- Ve sağ taraftaki ifadeyi de dönüştürelim: .
Sonuç olarak, orijinal ikinci dereceden denklem a·x 2 +b·x+c=0'ya eşdeğer bir denkleme ulaşıyoruz.
Form olarak benzer denklemleri zaten çözmüştük. önceki paragraflar onu parçalara ayırdıklarında. Bu şunları yapmanızı sağlar aşağıdaki sonuçlar Denklemin kökleriyle ilgili olarak:
- eğer öyleyse denklem yoktur geçerli çözümler;
- eğer ise denklem, tek kökünün görülebildiği formdadır;
- if , Then or , or ile aynıdır, yani denklemin iki kökü vardır.
Dolayısıyla denklemin köklerinin ve dolayısıyla orijinal ikinci dereceden denklemin varlığı veya yokluğu, sağ taraftaki ifadenin işaretine bağlıdır. Bu ifadenin işareti de payın işaretiyle belirlenir, çünkü 4·a 2 paydası her zaman pozitiftir, yani b 2 −4·a·c ifadesinin işaretiyle. Bu ifadeye b 2 −4 a c adı verildi ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı ve mektupla belirlenmiş D. Buradan, diskriminantın özü açıktır - değerine ve işaretine dayanarak, ikinci dereceden denklemin gerçek köklerinin olup olmadığı ve eğer öyleyse, sayılarının ne olduğu - bir veya iki - sonucuna varırlar.
Denkleme dönelim ve onu diskriminant gösterimini kullanarak yeniden yazalım: . Ve şu sonuçları çıkarıyoruz:
- eğer D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- D=0 ise bu denklemin tek kökü vardır;
- son olarak, eğer D>0 ise denklemin iki kökü vardır veya şeklinde yeniden yazılabilir ve kesirleri genişletip ortak bir paydaya getirdikten sonra elde ederiz.
Böylece ikinci dereceden denklemin köklerine ilişkin formülleri türettik; bunlar, diskriminant D'nin D=b 2 −4·a·c formülüyle hesaplandığı formdadır.
Onların yardımıyla pozitif bir ayrımcıyla her ikisini de hesaplayabilirsiniz. gerçek kökler ikinci dereceden denklem. Diskriminant sıfıra eşit olduğunda, her iki formül de aynı kök değerini verir; tek çözüm ikinci dereceden denklem. Ve ne zaman negatif diskriminantİkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülü kullanmaya çalışırken, çıkarma işlemiyle karşı karşıya kalırız karekök bizi ötesine götüren negatif bir sayıdan okul müfredatı. Negatif bir diskriminantla, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur, ancak bir çifti vardır. karmaşık eşlenik elde ettiğimiz aynı kök formülleri kullanılarak bulunabilen kökler.
Kök formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma
Pratikte ikinci dereceden denklemleri çözerken değerlerini hesaplamak için hemen kök formülü kullanabilirsiniz. Ancak bu daha çok karmaşık kökleri bulmakla ilgilidir.
Bununla birlikte, bir okul cebir dersinde genellikle karmaşık hakkında değil, ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleri hakkında konuşuruz. Bu durumda, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formülleri kullanmadan önce, ilk önce diskriminantın bulunması, negatif olmadığından emin olunması tavsiye edilir (aksi takdirde denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varabiliriz), ve ancak o zaman köklerin değerlerini hesaplayın.
Yukarıdaki mantık yazmamıza izin veriyor İkinci dereceden bir denklemi çözmek için algoritma. İkinci dereceden a x 2 +b x+c=0 denklemini çözmek için şunları yapmanız gerekir:
- D=b 2 −4·a·c diskriminant formülünü kullanarak değerini hesaplayın;
- diskriminant negatifse ikinci dereceden bir denklemin gerçek köklerinin olmadığı sonucuna varır;
- D=0 ise formülü kullanarak denklemin tek kökünü hesaplayın;
- Diskriminant pozitifse kök formülünü kullanarak ikinci dereceden bir denklemin iki gerçek kökünü bulun.
Burada, eğer diskriminant sıfıra eşitse formülü de kullanabileceğinizi not edelim; bu formül ile aynı değeri verecektir.
İkinci dereceden denklemleri çözmek için algoritmayı kullanma örneklerine geçebilirsiniz.
İkinci dereceden denklemleri çözme örnekleri
Pozitif, negatif ve ikinci dereceden üç denklemin çözümlerini ele alalım. sıfıra eşit ayrımcı. Çözümlerini ele aldıktan sonra, benzetme yoluyla başka herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek mümkün olacaktır. Haydi başlayalım.
Örnek.
x 2 +2·x−6=0 denkleminin köklerini bulun.
Çözüm.
Bu durumda ikinci dereceden denklemin şu katsayılarına sahibiz: a=1, b=2 ve c=−6. Algoritmaya göre öncelikle diskriminant hesaplamanız gerekir; bunu yapmak için belirtilen a, b ve c'yi diskriminant formülünde yerine koyarız; D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0 yani diskriminant sıfırdan büyük olduğundan ikinci dereceden denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları kök formülü kullanarak bulalım, şunu elde ederiz, burada aşağıdaki işlemleri yaparak elde edilen ifadeleri basitleştirebilirsiniz. çarpanı kök işaretinin ötesine taşıma ardından fraksiyonun azaltılması gelir:
Cevap:
Bir sonraki tipik örneğe geçelim.
Örnek.
−4 x 2 +28 x−49=0 ikinci dereceden denklemi çözün.
Çözüm.
Diskriminantı bularak başlıyoruz: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Dolayısıyla bu ikinci dereceden denklemin tek bir kökü vardır ve bunu şöyle buluruz:
Cevap:
x=3,5.
Geriye ikinci dereceden denklemleri negatif bir diskriminantla çözmeyi düşünmek kalıyor.
Örnek.
5·y 2 +6·y+2=0 denklemini çözün.
Çözüm.
İkinci dereceden denklemin katsayıları şunlardır: a=5, b=6 ve c=2. Bu değerleri diskriminant formülüne koyarsak, D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant negatiftir, dolayısıyla bu ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur.
belirtmeniz gerekiyorsa karmaşık kökler, sonra başvuruyoruz bilinen formülİkinci dereceden bir denklemin kökleri ve gerçekleştirilmesi karmaşık sayılarla işlemler:
Cevap:
gerçek kökler yoktur, karmaşık kökler şunlardır: .
İkinci dereceden bir denklemin diskriminantının negatif olması durumunda, okulda genellikle gerçek köklerin olmadığını ve karmaşık köklerin bulunmadığını belirten bir cevabı hemen yazdıklarını bir kez daha belirtelim.
Çift ikinci katsayılar için kök formül
D=b 2 −4·a·c olan ikinci dereceden bir denklemin köklerine ilişkin formül, x için çift katsayılı (veya sadece bir örneğin 2·n veya 14·ln5=2·7·ln5 formundaki katsayı. Onu dışarı çıkaralım.
Diyelim ki a x 2 +2 n x+c=0 formundaki ikinci dereceden bir denklemi çözmemiz gerekiyor. Bildiğimiz formülü kullanarak köklerini bulalım. Bunu yapmak için diskriminantı hesaplıyoruz D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c) ve sonra kök formülü kullanırız:
n 2 −a c ifadesini D 1 olarak gösterelim (bazen D "olarak gösterilir). Daha sonra ikinci katsayı 2 n ile ele alınan ikinci dereceden denklemin kökleri için formül şu şekli alacaktır: 
, burada D 1 =n 2 −a·c.
D=4·D 1 veya D 1 =D/4 olduğunu görmek kolaydır. Başka bir deyişle D 1 diskriminantın dördüncü kısmıdır. D 1'in işaretinin D'nin işaretiyle aynı olduğu açıktır. Yani D 1 işareti aynı zamanda ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığının veya yokluğunun bir göstergesidir.
Yani, ikinci katsayısı 2·n olan ikinci dereceden bir denklemi çözmek için şunu yapmanız gerekir:
- D 1 =n 2 −a·c'yi hesaplayın;
- Eğer D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- D 1 =0 ise aşağıdaki formülü kullanarak denklemin tek kökünü hesaplayın;
- D 1 >0 ise formülü kullanarak iki gerçek kökü bulun.
Bu paragrafta elde edilen kök formülü kullanarak örneği çözmeyi düşünelim.
Örnek.
5 x 2 −6 x −32=0 ikinci dereceden denklemi çözün.
Çözüm.
Bu denklemin ikinci katsayısı 2·(−3) olarak gösterilebilir. Yani, orijinal ikinci dereceden denklemi 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, burada a=5, n=−3 ve c=−32 biçiminde yeniden yazabilir ve denklemin dördüncü kısmını hesaplayabilirsiniz. ayrımcı: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Değeri pozitif olduğundan denklemin iki reel kökü vardır. Bunları uygun kök formülünü kullanarak bulalım:
İkinci dereceden bir denklemin kökleri için olağan formülü kullanmanın mümkün olduğunu ancak bu durumda daha fazla hesaplama işinin yapılması gerekeceğini unutmayın.
Cevap:
İkinci dereceden denklemlerin formunun basitleştirilmesi
Bazen ikinci dereceden bir denklemin köklerini formüller kullanarak hesaplamaya başlamadan önce şu soruyu sormaktan zarar gelmez: "Bu denklemin biçimini basitleştirmek mümkün mü?" Hesaplamalar açısından ikinci dereceden 11 x 2 −4 x−6=0 denklemini çözmenin 1100 x 2 −400 x−600=0 yerine daha kolay olacağı konusunda hemfikir olun.
Tipik olarak ikinci dereceden bir denklemin biçimini basitleştirmek, her iki tarafın belirli bir sayıyla çarpılması veya bölünmesiyle elde edilir. Örneğin önceki paragrafta 1100 x 2 −400 x −600=0 denklemini her iki tarafı da 100'e bölerek basitleştirmek mümkündü.
Benzer bir dönüşüm, katsayıları olmayan ikinci dereceden denklemlerle gerçekleştirilir. Bu durumda denklemin her iki tarafı genellikle katsayılarının mutlak değerlerine bölünür. Örneğin ikinci dereceden 12 x 2 −42 x+48=0 denklemini ele alalım. katsayılarının mutlak değerleri: OBEB(12, 42, 48)= OBEB(12, 42), 48)= OBEB(6, 48)=6. Orijinal ikinci dereceden denklemin her iki tarafını da 6'ya bölerek eşdeğer ikinci dereceden denklem 2 x 2 −7 x+8=0'a ulaşırız.
Ve ikinci dereceden bir denklemin her iki tarafının çarpılması genellikle şu durumdan kurtulmak için yapılır: kesirli oranlar. Bu durumda çarpma, katsayılarının paydaları tarafından gerçekleştirilir. Örneğin, ikinci dereceden denklemin her iki tarafı da LCM(6, 3, 1)=6 ile çarpılırsa, daha basit olan x 2 +4·x−18=0 formunu alacaktır.
Bu noktanın sonucunda, ikinci dereceden bir denklemin en yüksek katsayısındaki eksiden neredeyse her zaman tüm terimlerin işaretlerini değiştirerek kurtulduklarını görüyoruz; bu, her iki tarafı da -1 ile çarpmaya (veya bölmeye) karşılık gelir. Örneğin, genellikle −2 x 2 −3 x+7=0 ikinci dereceden denklemden 2 x 2 +3 x−7=0 çözümüne geçilir.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki
İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülü, denklemin köklerini katsayıları aracılığıyla ifade eder. Kök formülüne dayanarak kökler ve katsayılar arasındaki diğer ilişkileri elde edebilirsiniz.
Vieta teoreminin en iyi bilinen ve uygulanabilir formülleri ve şeklindedir. Özellikle verilen ikinci dereceden denklem için köklerin toplamı ters işaretli ikinci katsayıya, köklerin çarpımı ise serbest terime eşittir. Örneğin, ikinci dereceden denklem 3 x 2 −7 x + 22 = 0 şeklinde, köklerinin toplamının 7/3'e ve köklerin çarpımının 22/3'e eşit olduğunu hemen söyleyebiliriz.
Önceden yazılmış formülleri kullanarak, ikinci dereceden denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir dizi başka bağlantı elde edebilirsiniz. Örneğin, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamını katsayıları aracılığıyla ifade edebilirsiniz: .
Referanslar.
- Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkoviç A.G. Cebir. 8. sınıf. Saat 14:00'te 1. Bölüm. Öğrenciler için ders kitabı eğitim kurumları/ A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.