vb., diğer türdeki denklemlerle tanışmak mantıklıdır. Sıradakiler doğrusal denklemler 7. sınıfta cebir derslerinde hedeflenen çalışma başlar.
Öncelikle doğrusal bir denklemin ne olduğunu açıklamanız, doğrusal bir denklemin tanımını, katsayılarını vermeniz, göstermeniz gerektiği açıktır. genel görünüm. Daha sonra katsayıların değerlerine bağlı olarak bir doğrusal denklemin kaç çözümü olduğunu ve köklerinin nasıl bulunduğunu öğrenebilirsiniz. Bu, örnekleri çözmeye devam etmenize ve böylece öğrenilen teoriyi pekiştirmenize olanak sağlayacaktır. Bu yazıda şunu yapacağız: Doğrusal denklemler ve çözümleriyle ilgili tüm teorik ve pratik noktalar üzerinde ayrıntılı olarak duracağız.
Hemen söyleyelim ki burada sadece tek değişkenli doğrusal denklemleri ele alacağız ve ayrı bir makalede çözümün ilkelerini inceleyeceğiz. iki değişkenli doğrusal denklemler.
Sayfada gezinme.
Doğrusal denklem nedir?
Doğrusal denklemin tanımı yazılış şekliyle verilir. Üstelik farklı ders kitapları Lineer denklem tanımlarının matematik ve cebir formülasyonları konunun özünü etkilemeyen bazı farklılıklara sahiptir.
Örneğin, Yu. N. Makarychev ve arkadaşlarının 7. sınıf cebir ders kitabında doğrusal bir denklem şu şekilde tanımlanır:
Tanım.
Formun denklemi ax=b x'in bir değişken, a ve b'nin ise bazı sayılar olduğu duruma ne ad verilir? tek değişkenli doğrusal denklem.
Belirtilen tanımı karşılayan doğrusal denklem örnekleri verelim. Örneğin 5 x = 10, tek değişkenli x olan doğrusal bir denklemdir; burada a katsayısı 5 ve b sayısı 10'dur. Başka bir örnek: −2,3·y=0 da doğrusal bir denklemdir, ancak a=−2,3 ve b=0 olan y değişkenine sahiptir. Ve doğrusal denklemlerde x=−2 ve −x=3,33 a açıkça mevcut değildir ve sırasıyla 1 ve −1'e eşittir; ilk denklemde b=−2 ve ikincisinde - b=3,33.
Ve bir yıl önce, N.Ya.Vilenkin'in matematik ders kitabında, a x = b formundaki denklemlere ek olarak, bir bilinmeyenli doğrusal denklemler de terimlerin aktarılmasıyla bu forma getirilebilecek denklemler olarak kabul ediliyordu. denklemin bir kısmından diğerine karşıt işaret ve benzer terimleri azaltarak. Bu tanıma göre 5 x = 2 x + 6 vb. formdaki denklemler. aynı zamanda doğrusal.
Buna karşılık, A. G. Mordkovich'in 7. sınıf cebir ders kitabında aşağıdaki tanım verilmiştir:
Tanım.
Tek değişkenli x ile doğrusal denklem a·x+b=0 biçiminde bir denklemdir; burada a ve b, doğrusal denklemin katsayıları olarak adlandırılan bazı sayılardır.
Örneğin, bu tür doğrusal denklemler 2 x−12=0'dır, burada a katsayısı 2'dir ve b, −12'ye eşittir ve katsayılar a=0,2 ve b =4,6 ile 0,2 y+4,6=0'dır. Ancak aynı zamanda a·x+b=0 değil, a·x=b biçiminde olan doğrusal denklem örnekleri de vardır, örneğin 3·x=12.
Gelecekte herhangi bir tutarsızlıkla karşılaşmamak için, tek değişkenli x ve katsayıları a ve b olan doğrusal bir denklemle a x + b = 0 biçiminde bir denklemi kastedelim. Bu tip lineer denklem en mantıklısı gibi görünüyor çünkü lineer denklemler cebirsel denklemler birinci derece. Yukarıda bahsedilen tüm diğer denklemlerin yanı sıra aşağıdaki denklemleri kullanırız: eşdeğer dönüşümler a·x+b=0 biçimine indirgenirse şunu çağırırız: doğrusal denklemlere indirgenen denklemler. Bu yaklaşımla, 2 x+6=0 denklemi doğrusal bir denklemdir ve 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 vb. - Bunlar doğrusal olanlara indirgenen denklemlerdir.
Doğrusal denklemler nasıl çözülür?
Şimdi a·x+b=0 doğrusal denklemlerinin nasıl çözüldüğünü bulmanın zamanı geldi. Başka bir deyişle, bir doğrusal denklemin köklerinin olup olmadığını, varsa kaç tanesini ve nasıl bulunacağını öğrenmenin zamanı geldi.
Doğrusal bir denklemin köklerinin varlığı a ve b katsayılarının değerlerine bağlıdır. Bu durumda, a x+b=0 doğrusal denklemi
- a≠0 için tek kök,
- a=0 ve b≠0 için kökleri yoktur,
- a=0 ve b=0 için sonsuz sayıda kökü vardır; bu durumda her sayı bir doğrusal denklemin köküdür.
Bu sonuçların nasıl elde edildiğini açıklayalım.
Denklemleri çözmek için orijinal denklemden eşdeğer denklemlere, yani aynı kökleri olan veya orijinali gibi kökleri olmayan denklemlere geçebileceğimizi biliyoruz. Bunu yapmak için aşağıdaki eşdeğer dönüşümleri kullanabilirsiniz:
- Bir terimi denklemin bir tarafından diğer tarafa zıt işaretle aktarmak,
- bir denklemin her iki tarafını da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak veya bölmek.
Yani, bir ile doğrusal bir denklemde formun değişkeni a·x+b=0 b terimini ters işaretle sol taraftan sağ tarafa taşıyabiliriz. Bu durumda denklem a·x=−b formunu alacaktır.
Ve sonra denklemin her iki tarafını da a sayısına bölme sorusu ortaya çıkıyor. Ancak bir şey var: a sayısı sıfıra eşit olabilir, bu durumda böyle bir bölme mümkün değildir. Bu sorunu çözmek için öncelikle a sayısının sıfırdan farklı olduğunu varsayacağız ve bu durum sıfıra eşit Biraz sonra ayrı ayrı ele alacağız.
Yani a, sıfıra eşit olmadığında, a·x=−b denkleminin her iki tarafını da a'ya böleriz, ardından x=(−b):a formuna dönüşür, bu sonuç şöyle yazılabilir: olarak kesirli eğik çizgiyi kullanarak.
Dolayısıyla a≠0 için a·x+b=0 doğrusal denklemi, kökü görülebilen denkleme eşdeğerdir.
Bu kökün tek olduğunu, yani doğrusal denklemin başka köklerinin olmadığını göstermek kolaydır. Bu, tam tersi yöntemi yapmanızı sağlar.
Kökünü x 1 olarak gösterelim. Doğrusal denklemin x 2 ve x 2 ≠x 1 olarak gösterdiğimiz başka bir kökü olduğunu varsayalım. tanımlar eşit sayılar fark aracılığıyla x 1 −x 2 ≠0 koşuluna eşdeğerdir. x 1 ve x 2, a·x+b=0 doğrusal denkleminin kökleri olduğundan, a·x 1 +b=0 ve a·x 2 +b=0 sayısal eşitlikleri geçerlidir. Sayısal eşitliklerin özelliklerinin yapmamıza izin verdiği şekilde bu eşitliklerin karşılık gelen kısımlarını çıkarabiliriz, elimizde a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0 bulunur, buradan a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 ve sonra a·(x 1 −x 2)=0 . Ancak hem a≠0 hem de x 1 − x 2 ≠0 olduğundan bu eşitlik imkansızdır. Böylece a≠0 için a·x+b=0 doğrusal denkleminin kökünün benzersizliğini kanıtlayan bir çelişkiye geldik.
Böylece a≠0 için a·x+b=0 doğrusal denklemini çözdük. Bu paragrafın başında verilen ilk sonuç haklıdır. a=0 koşulunu karşılayan iki tane daha kaldı.
a=0 olduğunda, a·x+b=0 doğrusal denklemi 0·x+b=0 biçimini alır. Bu denklemden ve sayıları sıfırla çarpma özelliğinden, x olarak hangi sayıyı alırsak alalım, 0 x + b=0 denkleminde yerine konulduğunda b=0 sayısal eşitliğinin elde edileceği sonucu çıkar. Bu eşitlik b=0 olduğunda doğrudur, diğer durumlarda b≠0 olduğunda bu eşitlik yanlıştır.
Bu nedenle, a=0 ve b=0 ile herhangi bir sayı a·x+b=0 doğrusal denkleminin köküdür, çünkü bu koşullar altında x'in yerine herhangi bir sayı koymak doğru sayısal eşitliği 0=0 verir. Ve a=0 ve b≠0 olduğunda, a x+b=0 doğrusal denkleminin kökleri yoktur, çünkü bu koşullar altında x yerine herhangi bir sayı koymak yanlış bir sayıya yol açar. sayısal eşitlik b=0 .
Verilen gerekçeler, herhangi bir doğrusal denklemi çözmemize olanak tanıyan bir dizi eylem formüle etmemize olanak tanır. Bu yüzden, doğrusal denklem çözme algoritmasışu:
- Öncelikle doğrusal denklemi yazarak a ve b katsayılarının değerlerini buluyoruz.
- Eğer a=0 ve b=0 ise bu denklemin sonsuz sayıda kökü vardır, yani her sayı bu doğrusal denklemin köküdür.
- Eğer a sıfır değilse, o zaman
- b katsayısı ters işaretle sağ tarafa aktarılır ve doğrusal denklem a·x=−b formuna dönüştürülür,
- bundan sonra ortaya çıkan denklemin her iki tarafı sıfırdan farklı bir a sayısına bölünür; bu, orijinal doğrusal denklemin istenen kökünü verir.
Yazılı algoritma, doğrusal denklemlerin nasıl çözüleceği sorusuna kapsamlı bir cevaptır.
Bu noktanın sonucu olarak, a·x=b formundaki denklemleri çözmek için benzer bir algoritmanın kullanıldığını söylemekte yarar var. Farkı, a≠0 olduğunda denklemin her iki tarafı da hemen bu sayıya bölünür; burada b zaten denklemin gerekli kısmındadır ve onu aktarmaya gerek yoktur.
a x = b formundaki denklemleri çözmek için aşağıdaki algoritma kullanılır:
- Eğer a=0 ve b=0 ise denklemin herhangi bir sayıdan oluşan sonsuz sayıda kökü vardır.
- Eğer a=0 ve b≠0 ise orijinal denklemin kökleri yoktur.
- Eğer a sıfır değilse, denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir a sayısına bölünür; buradan denklemin b/a'ya eşit tek kökü bulunur.
Doğrusal denklem çözme örnekleri
Hadi uygulamaya geçelim. Doğrusal denklemleri çözmek için algoritmanın nasıl kullanıldığına bakalım. İşte çözümler tipik örnekler, karşılık gelen farklı anlamlar Doğrusal denklemlerin katsayıları.
Örnek.
0·x−0=0 doğrusal denklemini çözün.
Çözüm.
Bu doğrusal denklemde a=0 ve b=−0 olup, b=0 ile aynıdır. Dolayısıyla bu denklemin sonsuz sayıda kökü vardır; her sayı bu denklemin köküdür.
Cevap:
x – herhangi bir sayı.
Örnek.
0 x + 2,7 = 0 doğrusal denkleminin çözümleri var mı?
Çözüm.
İÇİNDE bu durumda a katsayısı sıfıra eşit ve bu doğrusal denklemin b katsayısı 2,7'ye eşittir, yani sıfırdan farklıdır. Bu nedenle doğrusal bir denklemin kökleri yoktur.
Bu derste bir doğrusal denklem sistemini çözme yöntemlerine bakacağız. Yüksek matematik dersinde doğrusal denklem sistemlerinin şu şekilde çözülmesi gerekir: bireysel görevler, örneğin, "Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözün" ve diğer problemleri çözme sırasında. Doğrusal denklem sistemleri yüksek matematiğin neredeyse tüm dallarında ele alınmalıdır.
İlk önce küçük bir teori. Bu durumda ne anlama geliyor? matematik kelimesi"doğrusal" mı? Bu, sistemin denklemlerinin Tüm dahil edilen değişkenler birinci derecede: gibi süslü şeyler olmadan 
yalnızca matematik olimpiyatlarına katılanların memnun olduğu vb.
İÇİNDE yüksek matematik Değişkenleri belirlemek için yalnızca çocukluktan tanıdık harfler kullanılmaz.
Oldukça popüler bir seçenek, indeksli değişkenlerdir: .
Veya ilk harfler Latin alfabesi, küçük ve büyük:
Bulmak o kadar da nadir değil yunan harfleri: – birçok kişi tarafından “alfa, beta, gama” olarak bilinir. Ve ayrıca örneğin “mu” harfinin yer aldığı endekslerden oluşan bir set:
Bir veya daha fazla harf grubunun kullanımı, yüksek matematiğin bir doğrusal denklem sistemiyle karşı karşıya olduğumuz bölümüne bağlıdır. Yani örneğin integralleri çözerken karşılaşılan doğrusal denklem sistemlerinde, diferansiyel denklemler Gösterimi kullanmak gelenekseldir
Ancak değişkenler nasıl belirlenirse belirlensin, bir doğrusal denklem sistemini çözmenin ilkeleri, yöntemleri ve yöntemleri değişmez. Bu nedenle, eğer . Ve ne kadar komik görünse de, bu gösterimlere sahip bir doğrusal denklem sistemi de çözülebilir.
Makalenin oldukça uzun olacağına dair bir his var, bu yüzden küçük bir içindekiler tablosu. Yani, sıralı “bilgilendirme” şu şekilde olacaktır:
– Bir doğrusal denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözme (“ okul yöntemi»)
;
– Sistem denklemlerinin terim terim toplanması (çıkarılması) yoluyla sistemin çözülmesi;
– Sistemin Cramer formüllerini kullanarak çözümü;
– Ters matris kullanarak sistemi çözme;
– Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözme.
Herkes doğrusal denklem sistemlerine aşinadır. okul kursu matematik. Temel olarak tekrarla başlıyoruz.
İkame yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme
Bu yöntem"okul yöntemi" veya bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi olarak da adlandırılabilir. Mecazi anlamda "tamamlanmamış bir Gauss yöntemi" olarak da adlandırılabilir.
Örnek 1
Burada bize iki bilinmeyenli iki denklem sistemi veriliyor. Serbest terimlerin (5 ve 7 sayıları) denklemin sol tarafında bulunduğunu unutmayın. Genel olarak konuşursak, nerede oldukları önemli değil, solda veya sağda, sadece yüksek matematik problemlerinde genellikle bu şekilde konumlandırılırlar. Ve böyle bir kayıt gerekirse karışıklığa yol açmamalı, sistem her zaman “her zamanki gibi” yazılabilir: . Bir terimi bir bölümden diğerine taşırken işaretinin değişmesi gerektiğini unutmayın.
Bir doğrusal denklem sistemini çözmek ne anlama gelir? Bir denklem sistemini çözmek, çözümlerinin çoğunu bulmak anlamına gelir. Bir sistemin çözümü, içinde yer alan tüm değişkenlerin değerlerinin bir kümesidir, sistemin HER denklemini dönüştüren gerçek eşitlik. Ayrıca sistem şu şekilde olabilir: ortak olmayan (çözümleri yok).Endişelenme, bu genel tanım=) Her s-we denklemini sağlayan tek bir “x” değerimiz ve bir “y” değerimiz olacak.
Var grafik yöntemi sınıfta bulunabilecek sistemin çözümü Bir çizgiyle ilgili en basit problemler. Orada bahsetmiştim geometrik anlamda iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi. Ama artık cebirin, sayıların-sayıların, eylem-eylemlerin çağı geldi.
Haydi karar verelim: ifade ettiğimiz ilk denklemden:
Ortaya çıkan ifadeyi ikinci denklemde değiştiririz:
Parantezleri açıp veriyoruz benzer terimler ve değeri bulun: 
Sonra ne için dans ettiğimizi hatırlıyoruz:
Değerini zaten biliyoruz, geriye kalan tek şey bulmak:
Cevap:
HERHANGİ bir denklem sistemi HERHANGİ bir şekilde çözüldükten sonra, kontrol etmenizi şiddetle tavsiye ederim. (sözlü olarak, taslak üzerinde veya hesap makinesinde). Neyse ki bu kolay ve hızlı bir şekilde yapılır.
1) Bulunan cevabı ilk denklemde değiştirin:
– doğru eşitlik elde edilir.
2) Bulunan cevabı ikinci denklemde değiştirin: 
– doğru eşitlik elde edilir.
Ya da daha basit ifadeyle “her şey bir araya geldi”
Dikkate alınan çözüm yöntemi, ilk denklemden ifade edilmesi mümkün olan tek yöntem değildir.
Bunun tersini de yapabilirsiniz; ikinci denklemden bir şeyi ifade edebilir ve onu ilk denklemde değiştirebilirsiniz. Bu arada, dört yöntemden en dezavantajlı olanının ikinci denklemden ifade etmek olduğunu unutmayın:
Sonuç kesirler, ama neden? Daha rasyonel bir çözüm var.
Ancak bazı durumlarda kesirler olmadan hala yapamazsınız. Bu bağlamda ifadeyi NASIL yazdığıma dikkatinizi çekmek isterim. Böyle değil: ve hiçbir durumda böyle değil: 
.
Yüksek matematikte kesirli sayılarla ilgileniyorsanız, tüm hesaplamaları sıradan uygunsuz kesirlerle yapmaya çalışın.
Kesinlikle ve değil ya da!
Virgül yalnızca bazen kullanılabilir, özellikle de bir sorunun nihai yanıtıysa ve bu numarayla başka bir işlem yapılmasına gerek yoksa.
Pek çok okuyucu muhtemelen şunu düşündü: “Bunu neden yapıyorsunuz? detaylı açıklama Düzeltme sınıfına gelince, her şey açık.” Öyle bir şey yok, çok basit görünüyor okul örneği ve ÇOK ne kadar önemli sonuçlar! İşte bir tane daha:
Herhangi bir görevi yeteneğinizin en iyi şekilde tamamlamaya çalışmalısınız. rasyonel bir şekilde . Sadece zamandan ve sinirlerden tasarruf sağladığı ve aynı zamanda hata yapma olasılığını azalttığı için.
Daha yüksek bir matematik probleminde iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemiyle karşılaşırsanız, o zaman her zaman yerine koyma yöntemini kullanabilirsiniz (sistemin başka bir yöntemle çözülmesi gerektiği belirtilmediği sürece) Tek bir öğretmen düşünmeyecektir. enayi olduğunu ve "okul yöntemini" kullandığın için notunu düşüreceğini "
Ayrıca bazı durumlarda ikame yönteminin kullanılması tavsiye edilir. Daha değişkenler.
Örnek 2
Üç bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözme
Benzer bir denklem sistemi, sözde yöntem kullanıldığında sıklıkla ortaya çıkar. belirsiz katsayılar kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralini bulduğumuzda. Söz konusu sistem tarafımdan oradan alınmıştır.
İntegrali bulurken amaç hızlı Katsayıların değerlerini bulun ve Cramer formüllerine başvurmadan yöntem ters matris vesaire. Dolayısıyla bu durumda ikame yöntemi uygundur.
Herhangi bir denklem sistemi verildiğinde, her şeyden önce onu HEMEN basitleştirmenin mümkün olup olmadığını bulmak arzu edilir. Sistemin denklemlerini incelediğimizde sistemin ikinci denkleminin 2'ye bölünebileceğini görüyoruz ve şunu yapıyoruz:
Referans: matematiksel işaret“bundan şunu çıkar” anlamına gelir ve problem çözme sırasında sıklıkla kullanılır.
Şimdi denklemleri inceleyelim; bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmemiz gerekiyor. Hangi denklemi seçmeliyim? Muhtemelen bu amaç için en kolay yolun sistemin ilk denklemini almak olduğunu zaten tahmin etmişsinizdir:
Burada hangi değişken ifade edilirse edilsin, aynı kolaylıkla veya ifade edilebilir.
Daha sonra, ifadesini sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinde yerine koyarız: 
Parantezleri açıyoruz ve benzer terimleri sunuyoruz: 
Üçüncü denklemi 2'ye bölün: 
İkinci denklemden üçüncü denklemi ifade edip yerine koyuyoruz:
Bulduğumuz üçüncü denklemden hemen hemen her şey hazır:
İkinci denklemden: 
İlk denklemden:
Kontrol edin: Değişkenlerin bulunan değerlerini yerine koyalım sol taraf sistemin her denklemi:
1)
2)
3)
Denklemlerin karşılık gelen sağ tarafları elde edilir, böylece çözüm doğru bulunur.
Örnek 3
4 bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözme
Bu bir örnektir bağımsız karar(Dersin sonunda cevap verin).
Sistem denklemlerinin terim terim toplanması (çıkarılması) yoluyla sistemin çözülmesi
Doğrusal denklem sistemlerini çözerken, “okul yöntemini” değil, sistemin denklemlerini dönem dönem toplama (çıkarma) yöntemini kullanmaya çalışmalısınız. Neden? Bu, zamandan tasarruf sağlar ve hesaplamaları basitleştirir, ancak artık her şey daha net hale gelecektir.
Örnek 4
Bir doğrusal denklem sistemini çözün: 
İlk örnekteki sistemin aynısını aldım.
Denklem sistemini analiz ettiğimizde, değişkenin katsayılarının büyüklük bakımından aynı ve işaret bakımından zıt (-1 ve 1) olduğunu fark ederiz. Böyle bir durumda denklemler terim terim eklenebilir: 
Kırmızıyla daire içine alınmış eylemler ZİHİNSEL olarak gerçekleştirilir.
Gördüğünüz gibi terim terim toplama işlemi sonucunda değişkeni kaybettik. Aslında olan da bu yöntemin özü değişkenlerden birinden kurtulmaktır.
Bu videoda aynı algoritma kullanılarak çözülen bir dizi doğrusal denklemi analiz edeceğiz; bu yüzden bunlara en basit denir.
Öncelikle şunu tanımlayalım: Doğrusal denklem nedir ve hangisine en basit denir?
Doğrusal bir denklem, yalnızca bir değişkenin ve yalnızca birinci dereceden olduğu bir denklemdir.
En basit denklem inşaat anlamına gelir:
Diğer tüm doğrusal denklemler algoritma kullanılarak en basit düzeye indirgenir:
- Varsa parantezleri genişletin;
- Değişken içeren terimleri eşittir işaretinin bir tarafına, değişken olmayan terimleri ise diğer tarafına taşıyın;
- Eşittir işaretinin soluna ve sağına benzer terimler verin;
- Ortaya çıkan denklemi $x$ değişkeninin katsayısına bölün.
Elbette bu algoritma her zaman yardımcı olmuyor. Gerçek şu ki, bazen tüm bu entrikalardan sonra $x$ değişkeninin katsayısının sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor. Bu durumda iki seçenek mümkündür:
- Denklemin hiçbir çözümü yoktur. Örneğin, $0\cdot x=8$ gibi bir şey ortaya çıktığında, yani. solda sıfır, sağda ise sıfırdan farklı bir sayı var. Aşağıdaki videoda bu durumun mümkün olmasının çeşitli nedenlerine bakacağız.
- Çözüm tüm sayılardır. Tek durum, bu mümkün olduğunda denklem $0\cdot x=0$ yapısına indirgenir. Hangi $x$'ı değiştirirsek değiştirelim, yine de "sıfır sıfıra eşittir" sonucunun ortaya çıkması oldukça mantıklıdır, yani. Doğru sayısal eşitlik.
Şimdi gerçek hayattan örnekler kullanarak tüm bunların nasıl çalıştığını görelim.
Denklem çözme örnekleri
Bugün doğrusal denklemlerle ilgileniyoruz ve yalnızca en basitleriyle. Genel olarak doğrusal denklem, tam olarak bir değişken içeren herhangi bir eşitlik anlamına gelir ve yalnızca birinci dereceye kadar gider.
Bu tür yapılar yaklaşık olarak aynı şekilde çözülür:
- Öncelikle varsa parantezleri açmanız gerekiyor (bizimki gibi). son örnek);
- Daha sonra benzerlerini birleştirin
- Son olarak değişkeni izole edin, yani. Değişkenle bağlantılı olan her şeyi (içinde bulunduğu terimleri) bir tarafa, onsuz kalan her şeyi ise diğer tarafa taşıyın.
Daha sonra, kural olarak, ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafına da benzerlerini getirmeniz gerekir ve bundan sonra geriye kalan tek şey "x" katsayısına bölmek ve son cevabı alacağız.
Teorik olarak bu hoş ve basit görünüyor, ancak pratikte deneyimli lise öğrencileri bile oldukça basit doğrusal denklemlerde rahatsız edici hatalar yapabilir. Tipik olarak, parantez açılırken veya "artılar" ve "eksiler" hesaplanırken hatalar yapılır.
Ek olarak, doğrusal bir denklemin hiçbir çözümü olmadığı veya çözümün sayı doğrusunun tamamı olduğu durumlar da vardır; herhangi bir sayı. Bugünkü dersimizde bu inceliklere bakacağız. Ama sizin de zaten anladığınız gibi, en başından başlayacağız. basit görevler.
Basit doğrusal denklemleri çözme şeması
İlk olarak, en basit doğrusal denklemleri çözmek için şemanın tamamını bir kez daha yazayım:
- Varsa parantezleri genişletin.
- Değişkenleri izole ediyoruz, yani. Üzerinde “X” olan her şeyi bir tarafa, “X” içermeyen her şeyi diğer tarafa taşıyoruz.
- Benzer terimleri sunuyoruz.
- Her şeyi “x” katsayısına bölüyoruz.
Elbette bu şema her zaman işe yaramıyor; içinde bazı incelikler ve püf noktaları var ve şimdi bunları tanıyacağız.
Basit doğrusal denklemlerin gerçek örneklerini çözme
Görev No.1
İlk adım parantezleri açmamızı gerektiriyor. Ancak bu örnekte bunlar yok o yüzden onları atlıyoruz bu aşama. İkinci adımda değişkenleri izole etmemiz gerekiyor. Lütfen aklınızda bulundurun: hakkında konuşuyoruz sadece bireysel terimler hakkında. Bunu yazalım:
Solda ve sağda benzer terimleri sunuyoruz, ancak bu burada zaten yapıldı. Bu nedenle, devam edelim dördüncü adım: katsayıya bölünür:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Böylece cevabı aldık.
Görev No.2
Bu problemde parantezleri görebiliyoruz, hadi onları genişletelim:
Hem solda hem de sağda yaklaşık olarak aynı tasarımı görüyoruz ama hadi algoritmaya göre hareket edelim yani. değişkenleri ayırmak:
İşte benzerlerinden bazıları:
Bu hangi köklerde işe yarıyor? Cevap: herhangi biri için. Bu nedenle $x$'in herhangi bir sayı olduğunu yazabiliriz.
Görev No.3
Üçüncü doğrusal denklem daha ilginçtir:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Birkaç parantez var ama hiçbir şeyle çarpılmıyorlar, sadece önüne bir parantez geliyor. çeşitli işaretler. Bunları parçalayalım:
Zaten bildiğimiz ikinci adımı gerçekleştiriyoruz:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Hadi matematik yapalım:
Son adımı gerçekleştiriyoruz - her şeyi "x" katsayısına bölüyoruz:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Doğrusal Denklemleri Çözerken Hatırlanması Gerekenler
Çok basit görevleri göz ardı edersek şunu söylemek isterim:
- Yukarıda söylediğim gibi, her doğrusal denklemin bir çözümü yoktur; bazen kökler yoktur;
- Kökler olsa bile aralarında sıfır olabilir - bunda yanlış bir şey yok.
Sıfır diğerleriyle aynı sayıdır; hiçbir şekilde ayrımcılık yapmamalı veya sıfır alırsanız yanlış bir şey yaptığınızı varsaymamalısınız.
Bir diğer özellik ise braketlerin açılmasıyla ilgilidir. Lütfen dikkat: Önlerinde bir “eksi” olduğunda onu kaldırırız, ancak parantez içindeki işaretleri şu şekilde değiştiririz: zıt. Ve sonra onu standart algoritmalar kullanarak açabiliriz: yukarıdaki hesaplamalarda gördüklerimizi elde edeceğiz.
Bunu anlamak basit gerçek lisede bu tür eylemlerin hafife alındığı durumlarda aptalca ve saldırgan hatalar yapmaktan kaçınmanıza olanak tanıyacaktır.
Karmaşık doğrusal denklemleri çözme
Daha fazlasına geçelim karmaşık denklemler. Artık tasarımlar yürütüldüğünde daha karmaşık hale gelecek çeşitli dönüşümler ikinci dereceden bir fonksiyon ortaya çıkacaktır. Ancak bundan korkmamalıyız, çünkü yazarın planına göre doğrusal bir denklem çözüyorsak, dönüşüm süreci sırasında ikinci dereceden bir fonksiyon içeren tüm monomlar mutlaka iptal edilecektir.
Örnek No.1
Açıkçası, ilk adım parantezleri açmaktır. Bunu çok dikkatli yapalım:
Şimdi gizliliğe bir göz atalım:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
İşte benzerlerinden bazıları:
Açıkça görülüyor ki verilen denklemÇözüm yok, bu yüzden cevaba şunu yazacağız:
\[\varhiçbir şey\]
ya da kökleri yoktur.
Örnek No.2
Aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz. İlk adım:
Değişken olan her şeyi sola ve değişken olmadan sağa taşıyalım:
İşte benzerlerinden bazıları:
Açıkçası, bu doğrusal denklemin çözümü yok, bu yüzden onu şu şekilde yazacağız:
\[\varhiçbir şey\],
ya da kökleri yoktur.
Çözümün nüansları
Her iki denklem de tamamen çözülmüştür. Bu iki ifadeyi örnek olarak kullanarak, en basit doğrusal denklemlerde bile her şeyin bu kadar basit olmayabileceğine bir kez daha ikna olduk: ya bir olabilir, ya hiç olmayabilir ya da sonsuz sayıda kök olabilir. Bizim durumumuzda, her ikisinin de kökleri olmayan iki denklemi ele aldık.
Ancak bir başka gerçeğe dikkatinizi çekmek istiyorum: parantezlerle nasıl çalışılır ve önlerinde eksi işareti varsa nasıl açılır. Bu ifadeyi düşünün:
Açmadan önce her şeyi “X” ile çarpmanız gerekir. Lütfen dikkat: çoğalır her bir terim. İçinde iki terim vardır - sırasıyla iki terim ve çarpılır.
Ve ancak bu görünüşte basit ama çok önemli ve tehlikeli dönüşümler tamamlandıktan sonra, parantezi kendisinden sonra bir eksi işareti olduğu gerçeği açısından açabilirsiniz. Evet, evet: ancak şimdi, dönüşümler tamamlandığında, parantezlerin önünde bir eksi işareti olduğunu hatırlıyoruz, bu da aşağıdaki her şeyin yalnızca işaret değiştirdiği anlamına geliyor. Aynı zamanda parantezlerin kendisi de kaybolur ve en önemlisi öndeki "eksi" de kaybolur.
Aynısını ikinci denklem için de yapıyoruz:
Bu küçük, görünüşte önemsiz gerçeklere dikkat etmem tesadüf değil. Çünkü denklemlerin çözümü her zaman bir dizidir temel dönüşümler açık ve yetkin bir şekilde yerine getiremediği durumlarda basit adımlar lise öğrencilerinin bana gelip bu kadar basit denklemleri çözmeyi yeniden öğrenmelerine yol açıyor.
Elbette bu becerileri otomatiklik noktasına kadar bileyeceğiniz gün gelecek. Artık her seferinde çok fazla dönüşüm yapmanıza gerek kalmayacak; her şeyi tek satıra yazacaksınız. Ancak henüz öğrenirken her eylemi ayrı ayrı yazmanız gerekir.
Daha da karmaşık doğrusal denklemleri çözme
Şimdi çözeceğimiz şeyin en basit görev olduğu söylenemez, ancak anlamı aynı kalıyor.
Görev No.1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
İlk kısımdaki tüm elemanları çarpalım:
Biraz gizlilik yapalım:
İşte benzerlerinden bazıları:
Son adımı tamamlayalım:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
İşte son cevabımız. Ve çözme sürecinde ikinci dereceden fonksiyona sahip katsayılarımız olmasına rağmen, bunlar birbirini iptal etti, bu da denklemi ikinci dereceden değil doğrusal hale getiriyor.
Görev No.2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
İlk adımı dikkatli bir şekilde gerçekleştirelim: ilk parantezdeki her elemanı ikinci parantezdeki her elemanla çarpalım. Dönüşümlerden sonra toplam dört yeni terim bulunmalıdır:
Şimdi her terimde çarpma işlemini dikkatli bir şekilde yapalım:
Üzerinde “X” olan terimleri sola, olmayanları ise sağa taşıyalım:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
İşte benzer terimler:
Son cevabı bir kez daha aldık.
Çözümün nüansları
Bu iki denklemle ilgili en önemli not, birden fazla terim içeren parantezleri çarpmaya başladığımızda bunu şu şekilde yapar: sonraki kural: birinciden ilk terimi alırız ve ikinciden her elemanla çarparız; daha sonra birinciden ikinci elemanı alırız ve benzer şekilde ikincinin her elemanıyla çarparız. Sonuç olarak dört dönemimiz olacak.
Cebirsel toplam hakkında
Bu son örnekle öğrencilere şunu hatırlatmak isterim. cebirsel toplam. Klasik matematikte $1-7$ ile basit bir yapıyı kastediyoruz: birden yediyi çıkarın. Cebirde bununla şunu kastediyoruz: “bir” sayısına başka bir sayı yani “eksi yedi” ekliyoruz. Cebirsel bir toplamın sıradan bir aritmetik toplamdan farkı budur.
Tüm dönüşümleri, her toplama ve çarpma işlemini gerçekleştirirken, yukarıda açıklananlara benzer yapıları görmeye başladığınız anda, polinomlar ve denklemlerle çalışırken cebirde herhangi bir sorun yaşamayacaksınız.
Son olarak, az önce incelediklerimizden daha karmaşık olacak birkaç örneğe daha bakalım ve bunları çözmek için standart algoritmamızı biraz genişletmemiz gerekecek.
Kesirli Denklem Çözme
Çözmek için benzer görevler Algoritmamıza bir adım daha eklememiz gerekecek. Ama önce size algoritmamızı hatırlatmama izin verin:
- Parantezleri açın.
- Ayrı değişkenler.
- Benzerlerini getirin.
- Orana bölün.
Ne yazık ki, bu harika algoritma, tüm etkinliğine rağmen, önümüzde kesirler varken pek de uygun olmadığı ortaya çıkıyor. Aşağıda göreceğimiz gibi, her iki denklemde de hem solda hem de sağda bir kesirimiz var.
Bu durumda nasıl çalışılır? Evet, çok basit! Bunu yapmak için algoritmaya, ilk eylemden önce ve sonra yapılabilecek, yani kesirlerden kurtulmaya bir adım daha eklemeniz gerekir. Yani algoritma aşağıdaki gibi olacaktır:
- Kesirlerden kurtulun.
- Parantezleri açın.
- Ayrı değişkenler.
- Benzerlerini getirin.
- Orana bölün.
“Kesirlerden kurtulmak” ne anlama geliyor? Peki bu neden ilk standart adımdan hem sonra hem de önce yapılabiliyor? Aslında bizim durumumuzda tüm kesirler paydalarında sayısaldır, yani. Her yerde payda sadece bir sayıdır. Dolayısıyla denklemin her iki tarafını da bu sayıyla çarparsak kesirlerden kurtuluruz.
Örnek No.1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Bu denklemdeki kesirlerden kurtulalım:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Lütfen dikkat: her şey bir kez “dört” ile çarpılır, yani. iki parantezinizin olması her birini "dört" ile çarpmanız gerektiği anlamına gelmez. Hadi yazalım:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Şimdi genişletelim:
Değişkeni ayırıyoruz:
Benzer terimlerin azaltılmasını gerçekleştiriyoruz:
\[-4x=-1\sol| :\sol(-4 \sağ) \sağ.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Elimizde nihai karar, ikinci denkleme geçelim.
Örnek No.2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Burada aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Sorun çözüldü.
Aslında bugün sana söylemek istediğim tek şey buydu.
Önemli Noktalar
Temel bulgular şunlardır:
- Doğrusal denklemlerin çözüm algoritmasını bilir.
- Parantez açma yeteneği.
- görürseniz endişelenmeyin ikinci dereceden fonksiyonlar büyük olasılıkla, daha sonraki dönüşümler sürecinde azalacaklar.
- Doğrusal denklemlerde üç tür kök vardır, en basitleri bile: tek bir kök, sayı doğrusunun tamamı bir köktür ve hiç kökü yoktur.
Umarım bu ders, tüm matematiğin daha iyi anlaşılması için basit ama çok önemli bir konuda uzmanlaşmanıza yardımcı olur. Bir şey net değilse siteye gidin ve orada sunulan örnekleri çözün. Bizi izlemeye devam edin, daha birçok ilginç şey sizi bekliyor!
Denklemler. Başka bir deyişle tüm denklemlerin çözümü bu dönüşümlerle başlar. Doğrusal denklemleri çözerken, (çözüm) kimlik dönüşümleri ve son cevapla biter.
Bilinmeyen bir değişken için sıfırdan farklı bir katsayı durumu.
balta+b=0, a ≠ 0
X'li terimleri bir tarafa, sayıları da diğer tarafa taşıyoruz. Şartları aktarırken şunu unutmayın: karşı taraf denklemlerde işareti değiştirmeniz gerekir:
eksen:(a)=-b:(a)
Haydi kısaltalım A en X ve şunu elde ederiz:
x=-b:(a)
Cevap bu. Bir sayının olup olmadığını kontrol etmeniz gerekiyorsa -b:(a) Denklemimizin kökünü değiştirdiğimizde yerine koymamız gerekir. başlangıç denklemi yerine X bu numara:
a(-b:(a))+b=0 ( onlar. 0=0)
Çünkü o halde bu eşitlik doğrudur -b:(a) ve gerçek denklemin köküdür.
Cevap: x=-b:(a), a ≠ 0.
İlk örnek:
5x+2=7x-6
Şartları bir tarafa taşıyoruz X ve diğer tarafta sayılar:
5x-7x=-6-2
-2x:(-2)=-8:(-2)
Bilinmeyen bir faktör için katsayıyı düşürdük ve cevabı aldık:
Cevap bu. Eğer 4 sayısının gerçekten denklemimizin kökü olup olmadığını kontrol etmek gerekirse orijinal denklemde X yerine bu sayıyı koyarız:
5*4+2=7*4-6 ( onlar. 22=22)
Çünkü bu eşitlik doğruysa denklemin kökü 4 olur.
İkinci örnek:
Denklemi çözün:
5x+14=x-49
Bilinmeyenleri ve sayıları aktararak farklı taraflar, kabul edilmiş:
Denklemin bölümlerini katsayıya bölün. X(4'e kadar) ve şunu elde ederiz:
Üçüncü örnek:
Denklemi çözün:
İlk olarak, tüm terimleri şu şekilde çarparak bilinmeyenin katsayısındaki mantıksızlıktan kurtuluruz:
Bu formun basitleştirilmiş olduğu kabul edilir, çünkü Sayının paydasında sayının kökü bulunur. Pay ve paydayı şu şekilde çarparak cevabı basitleştirmemiz gerekir: aynı numara, elimizde şu var:
Çözümün olmadığı durum.
Denklemi çözün:
2x+3=2x+7
Herkesin önünde X denklemimiz gerçek bir eşitlik olmayacak. Yani denklemimizin kökleri yoktur.
Cevap: Çözüm yok.
Özel bir durum sonsuz sayıda çözümdür.
Denklemi çözün:
2x+3=2x+3
X'leri ve sayıları farklı yönlere taşıyıp benzer terimleri toplayarak denklemi elde ederiz:
Burada da her iki parçayı da 0'a bölmek mümkün değil çünkü bu yasaktır. Ancak yerine konulması X herhangi bir sayı, doğru eşitliği elde ederiz. Yani her sayı böyle bir denklemin çözümüdür. Böylece burada sonsuz sayı kararlar.
Cevap: Sonsuz sayıda çözüm.
İki tam formun eşitliği durumu.
balta+b=cx+d
ax-cx=d-b
(a-c)x=d-b
x=(d-b):(a-c)
Cevap: x=(d-b):(a-c), Eğer d≠b ve a≠c Aksi takdirde sonsuz sayıda çözüm vardır, ancak eğer a=c, A d≠b, o zaman hiçbir çözüm yoktur.
Bunu kullanmak matematik programı iki doğrusal denklemden oluşan bir sistemi iki denklemle çözebilirsiniz değişken yöntem değiştirme ve ekleme yöntemi.
Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda detaylı çözümçözüm adımlarının açıklamaları iki şekilde: yerine koyma yöntemi ve toplama yöntemi.
Bu program lise öğrencileri için faydalı olabilir orta okullar hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olduğu kadar çabuk halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi
matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz. Bu şekilde kendi eğitiminizi ve/veya eğitiminizi yürütebilirsiniz. küçük kardeşler
veya kız kardeşler, sorunların çözüldüğü alandaki eğitim düzeyi arttıkça artar.
Denklem girme kuralları
Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb. Denklemleri girerken parantez kullanabilirsiniz
. Bu durumda denklemler öncelikle basitleştirilir.
Sadeleştirmelerden sonra denklemler doğrusal olmalıdır; elemanların sırasının doğruluğu ile ax+by+c=0 formundadır. Örneğin: 6x+1 = 5(x+y)+2 Denklemlerde yalnızca tam sayıları değil aynı zamanda
kesirli sayılar
Tamsayı ve kesirli kısımlar ondalık sayılar nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin: 2,1n + 3,5m = 55
Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.
Payda negatif olamaz.
Girerken sayısal kesir Pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Bütün kısım kesirden bir ve işaretiyle ayrılır: &
Örnekler.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)
Denklem sistemini çözme
Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.
Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...
eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.
Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:
Küçük bir teori.
Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü. Değiştirme yöntemi
İkame yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) sistemin bazı denklemlerindeki bir değişkeni diğerine göre ifade etmek;
2) elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin;
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right.$$
İlk denklemden y'yi x cinsinden ifade edelim: y = 7-3x. İkinci denklemde y yerine 7-3x ifadesini yerine koyarsak şu sistemi elde ederiz:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right.$$
Birinci ve ikinci sistemlerin aynı çözümlere sahip olduğunu göstermek kolaydır. İkinci sistemde ikinci denklem yalnızca bir değişken içerir. Bu denklemi çözelim:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
y=7-3x eşitliğinde x yerine 1 sayısını yerine koyarsak, y'nin karşılık gelen değerini buluruz:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Çift (1;4) - sistemin çözümü
Çözümleri aynı olan iki değişkenli denklem sistemlerine denir. eş değer. Çözümü olmayan sistemler de eşdeğer kabul edilir.
Doğrusal denklem sistemlerini toplama yoluyla çözme
Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin başka bir yolunu, yani toplama yöntemini ele alalım. Sistemleri bu şekilde çözerken ve yerine koyma yoluyla çözerken, bu sistemden denklemlerden birinin yalnızca bir değişken içerdiği başka bir eşdeğer sisteme geçiyoruz.
Toplama yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) değişkenlerden birinin katsayıları olacak şekilde faktörleri seçerek sistem terimi denklemlerini terimle çarpın zıt sayılar;
2) sistem denklemlerinin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayın;
3) ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün;
4) ikinci değişkenin karşılık gelen değerini bulun.
Örnek. Denklem sistemini çözelim:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$
Bu sistemin denklemlerinde y'nin katsayıları zıt sayılardır. Denklemlerin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayarak tek değişkenli 3x=33 denklemi elde ederiz. Sistemin denklemlerinden birini, örneğin birincisini, 3x=33 denklemiyle değiştirelim. Sistemi alalım
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$
3x=33 denkleminden x=11'i buluyoruz. Bu x değerini \(x-3y=38\) denkleminde yerine koyarsak, y: \(11-3y=38\) değişkenli bir denklem elde ederiz. Bu denklemi çözelim:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)
Böylece denklem sisteminin çözümünü \(x=11; y=-9\) veya \((11;-9)\) ekleyerek bulduk.
Sistemin denklemlerinde y'nin katsayılarının zıt sayılar olması gerçeğinden yararlanarak çözümünü çözüme indirgedik. eşdeğer sistem(orijinal sembolün denklemlerinin her birinin her iki tarafının toplanmasıyla), burada denklemlerden biri yalnızca bir değişken içerir.
Kitaplar (ders kitapları) Birleşik Devlet Sınavı özetleri ve Çevrimiçi Birleşik Devlet Sınavı testleri Oyunlar, bulmacalar İşlev grafikleri çizme Rus dilinin yazım sözlüğü Gençlik argo sözlüğü Rus okulları kataloğu Rusya orta öğretim kurumları kataloğu Rus üniversiteleri kataloğu Liste görevlerin