\(\sqrt(x-2)\) ifadesinde değişkenin değeri \(0\) ise kural ihlal edilir: radikal ifade negatif olmamalıdır. Bu, burada \(x\)'in \(0\), aynı zamanda \(1, -3, -52.7\) vb. olamayacağı anlamına gelir. Yani x, 2'den büyük veya ona eşit olmalıdır ve ODZ şöyle olacaktır: \(x\geq2\);
Ancak \(4x+1\) ifadesinde X yerine herhangi bir sayıyı koyabiliriz ve hiçbir kural ihlal edilmeyecektir. Dolayısıyla burada kabul edilebilir değer aralığı sayısal eksenin tamamıdır. Bu gibi durumlarda DZ kaydedilmezçünkü faydalı bilgiler içermiyor.
Uyulması gereken tüm kuralları burada bulabilirsiniz.
Denklemlerde ODZ
Karar verirken kabul edilebilir değer aralığını hatırlamak önemlidir ve çünkü Orada sadece değişkenlerin değerlerini arıyoruz ve tesadüfen matematik kurallarını ihlal edenleri bulabiliriz.
ODZ'nin önemini anlamak için denklemin iki çözümünü karşılaştıralım: ODZ'li ve ODZ'siz.
Örnek:
Denklemi çöz
Çözüm
:
| ODZ'siz: | ODZ ile: | |
| \(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\) | \(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\) | |
| ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\) | ||
| \(x^2-x=12\) | \(x^2-x=12\) | |
| \(x^2-x-12=0\) | \(x^2-x-12=0\) | |
| \(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\) | \(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\) | |
| \(x_1=\)\(=4\) | \(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\) | |
| \(x_1=\)\(=-3\) | \(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2·1)\)\(=-3\) - ODZ'ye uygun değil | |
| Cevap : \(4; -3\) | Cevap : \(4\) |
Farkı görüyor musun? İlk çözümde cevabımızda yanlış, fazladan bir ! Neden yanlış? Bunu orijinal denklemde yerine koymaya çalışalım.
\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)
Görüyorsunuz, hem solda hem de sağda hesaplanamaz, anlamsız ifadeler elde ettik (sonuçta sıfıra bölemezsiniz). Ve bu değerler mevcut olmadığı için aynı olmaları artık bir rol oynamıyor. Dolayısıyla “\(-3\)” uygunsuz, yabancı bir köktür ve kabul edilebilir değerler aralığı bizi bu tür ciddi hatalardan korur.
Bu nedenle ilk çözüm için D, ikinci çözüm için A alacaksınız. Ve bunlar öğretmenin sıkıcı kelime oyunları değil, çünkü ODS'yi hesaba katmamak önemsiz bir şey değil, çok özel bir hatadır, kayıp bir işaret veya yanlış formülün kullanılmasıyla aynıdır. Sonuçta son cevap yanlış!
Kabul edilebilir değer aralığını bulmak çoğu zaman çözme veya denklem kurma ihtiyacına yol açar, bu nedenle bunu iyi yapabilmeniz gerekir.
Örnek : \(\sqrt(5-2x)+\) ifadesinin tanım kümesini bulun \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2))))\)
Çözüm : İfadede biri paydada olmak üzere iki kök vardır. Bu davada uygulanan kısıtlamaları hatırlamayan herkes... Hatırlayanlar birinci kökün altındaki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğunu, ikinci kökün altındaki ifadenin ise sıfırdan büyük olduğunu yazar. Kısıtlamaların neden bu şekilde olduğunu anlıyor musunuz?
Cevap : \((-2;2,5]\)Değişken içeren herhangi bir ifadenin, mevcut olduğu yerde kendi geçerli değer aralığı vardır. Karar verirken ODZ her zaman dikkate alınmalıdır. Eksik olması durumunda hatalı sonuç alabilirsiniz.
Bu makale ODZ'nin nasıl doğru şekilde bulunacağını ve örneklerin nasıl kullanılacağını gösterecektir. Karar verirken DZ'yi belirtmenin önemi de tartışılacaktır.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Geçerli ve geçersiz değişken değerleri
Bu tanım değişkenin izin verilen değerleri ile ilgilidir. Tanımı tanıttığımızda bakalım nasıl bir sonuca varacak.
7. sınıftan itibaren sayılarla çalışmaya başlıyoruz ve sayısal ifadeler. İlk tanımlar değişkenlerle seçili değişkenlere sahip ifadelerin anlamına atlar.
Seçilen değişkenlere sahip ifadeler olduğunda bazıları tatmin edici olmayabilir. Örneğin, 1: a formunun ifadesi, eğer a = 0 ise, o zaman sıfıra bölmek imkansız olduğu için mantıklı değildir. Yani ifadenin her durumda uygun ve cevap verecek değerlere sahip olması gerekir. Başka bir deyişle mevcut değişkenlerle anlam kazanırlar.
Tanım 1
Değişkenleri içeren bir ifade varsa, o zaman yalnızca değerin yerine koyarak hesaplanabiliyor olması anlamlıdır.
Tanım 2
Değişkenleri olan bir ifade varsa, bunları değiştirirken değerin hesaplanamamasının bir anlamı yoktur.
Yani bu tam bir tanım anlamına gelir
Tanım 3
Mevcut kabul edilebilir değişkenler, ifadenin anlamlı olduğu değerlerdir. Ve eğer mantıklı değilse, o zaman kabul edilemez sayılırlar.
Yukarıdakileri açıklığa kavuşturmak gerekirse: birden fazla değişken varsa, o zaman bir çift uygun değer olabilir.
Örnek 1
Örneğin, üç değişkenin olduğu 1 x - y + z formundaki bir ifadeyi düşünün. Aksi taktirde x = 0, y = 1, z = 2 şeklinde yazabilirsiniz, diğer bir girdi ise (0, 1, 2) şeklindedir. Bu değerlere geçerli denir, yani ifadenin değeri bulunabilir. 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 sonucunu elde ederiz. Buradan (1, 1, 2)'nin kabul edilemez olduğunu görüyoruz. Değiştirme sıfıra bölünmeyle sonuçlanır, yani 1 1 - 2 + 1 = 1 0.
ODZ nedir?
Kabul edilebilir değer aralığı – önemli unsur hesaplarken cebirsel ifadeler. Bu nedenle hesaplama yaparken buna dikkat etmekte fayda var.
Tanım 4
ODZ alanı belirli bir ifade için izin verilen değerler kümesidir.
Örnek bir ifadeye bakalım.
Örnek 2
5 z - 3 biçiminde bir ifademiz varsa, o zaman ODZ (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) biçimine sahiptir. Bu, belirli bir ifade için z değişkenini karşılayan geçerli değerler aralığıdır.
z x - y biçiminde ifadeler varsa, x ≠ y, z'nin herhangi bir değer alacağı açıktır. Buna ODZ ifadeleri denir. Değiştirme sırasında sıfıra bölünmeyi elde etmemek için dikkate alınmalıdır.
İzin verilen değer aralığı ve tanım aralığı aynı anlama sahiptir. Bunlardan sadece ikincisi ifadeler için kullanılır, ilki denklemler veya eşitsizlikler için kullanılır. DL'nin yardımıyla ifade veya eşitsizlik anlamlı hale gelir. Fonksiyonun tanım alanı, f (x) ifadesi için x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığı ile çakışmaktadır.
ODZ'yi nasıl bulabilirim? Örnekler, çözümler
ODZ'yi bulmak, uygun tüm geçerli değerleri bulmak anlamına gelir Verilen fonksiyon veya eşitsizlik. Bu koşulların sağlanmaması hatalı sonuçlara yol açabilir. İçin ODZ'yi bulma Belirli bir ifadede genellikle dönüşümlerden geçmek gerekir.
Hesaplanmasının imkansız olduğu ifadeler vardır:
- sıfıra bölme varsa;
- negatif bir sayının kökünü almak;
- negatif tam sayı göstergesinin varlığı – yalnızca pozitif sayılar için;
- negatif bir sayının logaritmasının hesaplanması;
- tanjant π 2 + π · k, k ∈ Z ve kotanjant π · k, k ∈ Z'nin tanım alanı;
- [-1'e ait olmayan bir değer için bir sayının arksinüs ve arkkosinüsünün değerini bulma; 1].
Bütün bunlar ODZ'ye sahip olmanın ne kadar önemli olduğunu gösteriyor.
Örnek 3
ODZ ifadesini bulun x 3 + 2 x y − 4 .
Çözüm
Herhangi bir sayının küpü alınabilir. Bu ifade kesri yoktur, dolayısıyla x ve y'nin değerleri herhangi bir şey olabilir. Yani ODZ herhangi bir sayıdır.
Cevap: x ve y – herhangi bir değer.
Örnek 4
1 3 - x + 1 0 ifadesinin ODZ'sini bulun.
Çözüm
Paydanın sıfır olduğu bir kesirin olduğu görülebilir. Bu, herhangi bir x değeri için sıfıra bölünmeyi elde edeceğimiz anlamına gelir. Bu, bu ifadenin tanımsız kabul edildiği, yani herhangi bir ek yükümlülüğü olmadığı sonucuna varabileceğimiz anlamına gelir.
Cevap: ∅ .
Örnek 5
Verilen x + 2 · y + 3 - 5 · x ifadesinin ODZ'sini bulun.
Çözüm
Karekökün varlığı, bu ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerektiği anlamına gelir. Şu tarihte: negatif değer mantıklı değil. Bu, x + 2 · y + 3 ≥ 0 biçiminde bir eşitsizliği yazmanın gerekli olduğu anlamına gelir. Yani bu, kabul edilebilir değerlerin istenen aralığıdır.
Cevap: x + 2 y + 3 ≥ 0 olmak üzere x ve y kümesi.
Örnek 6
1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) formunun ODZ ifadesini belirleyin.
Çözüm
Koşullu olarak bir kesirimiz var, dolayısıyla paydası sıfıra eşit olmamalıdır. x + 1 - 1 ≠ 0 sonucunu elde ederiz. Radikal ifade sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğunda, yani x + 1 ≥ 0 olduğunda her zaman anlamlıdır. Logaritması olduğundan ifadesi kesinlikle pozitif olmalıdır, yani x 2 + 3 > 0 olmalıdır. Logaritmanın tabanı da olmalıdır pozitif değer ve 1'den farklıysa x + 8 > 0 ve x + 8 ≠ 1 koşullarını toplarız. İstenilen ODZ'nin şu şekli alacağı anlaşılmaktadır:
x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1
Başka bir deyişle tek değişkenli eşitsizlikler sistemi denir. Çözüm aşağıdaki ODZ gösterimine yol açacaktır [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .
Cevap: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)
Değişimi yönlendirirken DPD'yi dikkate almak neden önemlidir?
Kimlik dönüşümleri sırasında ODZ'yi bulmak önemlidir. ODZ'nin varlığının gerçekleşmediği durumlar vardır. Belirli bir ifadenin bir çözümü olup olmadığını anlamak için, orijinal ifadenin değişkenlerinin VA'sını ve sonuçta ortaya çıkan değişkenlerin VA'sını karşılaştırmanız gerekir.
Kimlik dönüşümleri:
- DL'yi etkilemeyebilir;
- DZ'nin genişlemesine veya eklenmesine yol açabilir;
- DZ'yi daraltabilir.
Bir örneğe bakalım.
Örnek 7
Eğer x 2 + x + 3 · x şeklinde bir ifademiz varsa, o zaman bunun ODZ'si tüm tanım alanı boyunca tanımlanır. getirirken bile benzer terimler ODZ ifadesinin basitleştirilmesi ve sadeleştirilmesi değişmez.
Örnek 8
Eğer x + 3 x − 3 x ifadesini örnek alırsak işler farklıdır. Kesirli bir ifademiz var. Ve sıfıra bölmenin kabul edilemez olduğunu biliyoruz. O halde ODZ (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) biçimine sahiptir. Sıfırın çözüm olmadığı görülüyor, bu yüzden parantez içinde ekliyoruz.
Radikal bir ifadenin varlığına sahip bir örneği ele alalım.
Örnek 9
Eğer x - 1 · x - 3 varsa, o zaman ODZ'ye dikkat etmelisiniz çünkü bunun (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 eşitsizliği olarak yazılması gerekir. Aralık yöntemiyle çözmek mümkündür, o zaman ODZ'nin (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) formunu alacağını buluruz. x - 1 · x - 3'ü dönüştürdükten ve köklerin özelliğini uyguladıktan sonra, ODZ'nin tamamlanabileceğine ve her şeyin x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ biçiminde bir eşitsizlik sistemi biçiminde yazılabileceğine sahip oluruz. 0. Bunu çözerken şunu buluruz: [ 3 , + ∞) . Bu, ODZ'nin tamamen şu şekilde yazıldığı anlamına gelir: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .
DZ'yi daraltan dönüşümlerden kaçınılmalıdır.
Örnek 10
x = - 1 olduğunda x - 1 · x - 3 ifadesinin bir örneğini ele alalım. Yerine koyarken şunu elde ederiz: - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Bu ifadeyi dönüştürüp x - 1 · x - 3 formuna getirirsek, hesaplama yaparken 2 - 1 · 2 - 3 ifadesini buluruz, çünkü kök ifadenin negatif olmaması gerekir.
Uyulmalıdır kimlik dönüşümleri ODZ değişmeyecek.
Üzerine genişleyen örnekler varsa o zaman DL'ye eklenmelidir.
Örnek 11
x x 3 + x formunun kesirli örneğine bakalım. Eğer x ile sadeleştirirsek, 1 x 2 + 1 sonucunu elde ederiz. Daha sonra ODZ genişler ve (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) olur. Üstelik hesaplarken zaten ikinci basitleştirilmiş kesirle çalışıyoruz.
Logaritmaların varlığında durum biraz farklıdır.
Örnek 12
ln x + ln (x + 3) biçiminde bir ifade varsa, logaritmanın özelliğine bağlı olarak bunun yerine ln (x · (x + 3)) kullanılır. Buradan ODZ'nin (0 , + ∞)'dan (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞)'a kadar olduğunu görebiliriz. Bu nedenle ADL tanımları ln (x · (x + 3)) ODZ üzerinde yani (0 , + ∞) kümesi üzerinde hesaplamalar yapmak gerekir.
Çözerken her zaman koşulun verdiği ifadenin yapısına ve türüne dikkat etmek gerekir. Şu tarihte: doğru konum tanım alanı sonucu olumlu olacaktır.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Bir fonksiyon bir modeldir. X'i bağımsız bir değişkenin değerleri kümesi olarak tanımlayalım // bağımsız herhangi biri anlamına gelir.
Fonksiyon, X kümesindeki bağımsız bir değişkenin her değeri için bağımlı değişkenin benzersiz bir değerinin bulunabildiği bir kuraldır. // yani her x'e karşılık bir y vardır.
Tanımdan iki tane olduğu sonucu çıkıyor kavramlar - bağımsız bir değişken (x olarak gösteririz ve herhangi bir değer alabilir) ve bir bağımlı değişken (bunu y veya f(x) olarak gösteririz ve x'i değiştirdiğimizde fonksiyondan hesaplanır).
ÖRNEK İÇİN y=5+x
1. Bağımsız x'tir, yani herhangi bir değer alırız, x=3 olsun
2. Şimdi y'yi hesaplayalım, yani y=5+x=5+3=8. (y x'e bağlıdır, çünkü yerine ne kadar x koyarsak aynı y'yi elde ederiz)
Y değişkeninin işlevsel olarak x değişkenine bağlı olduğunu ve bunun belirtildiğini söylüyorlar aşağıdaki gibi: y = f(x).
ÖRNEĞİN.
1.y=1/x. (abartı denir)
2. y=x^2. (parabol denir)
3.y=3x+7. (düz çizgi denir)
4. y= √ x. (parabol dalı denir)
Bağımsız değişkene (x ile gösterdiğimiz) fonksiyon argümanı denir.
İşlev Etki Alanı
Bir fonksiyon argümanının aldığı tüm değerlerin kümesine fonksiyonun tanım kümesi denir ve D(f) veya D(y) ile gösterilir.
1.,2.,3.,4 için D(y)'yi düşünün.
1. D (у)= (∞; 0) ve (0;+∞) //tüm küme gerçek sayılar sıfır hariç.
2. D (y)= (∞; +∞)//gerçel sayıların tümü
3. D (y)= (∞; +∞)//gerçel sayıların tümü
4.D(y)= - ∞; + ∞[ .
Örnek 1. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun sen = 2 .
Çözüm. Fonksiyonun tanım alanı belirtilmemiştir; bu, yukarıdaki tanım gereğince doğal tanım alanının kastedildiği anlamına gelir. İfade F(X) = 2 herhangi bir gerçek değer için tanımlanmış X, buradan, bu fonksiyon setin tamamında tanımlanmış R gerçek sayılar.
Dolayısıyla yukarıdaki çizimde sayı doğrusu eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar gölgelendirilmiştir.
Kök tanımlama alanı N derece
Fonksiyonun formülle verilmesi durumunda ve N- doğal sayı:
Örnek 2. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .
Çözüm. Tanımdan da anlaşılacağı gibi, çift dereceli bir kök, eğer kök ifade negatif değilse, yani - 1 ≤ ise anlamlıdır. X≤ 1. Dolayısıyla bu fonksiyonun tanım kümesi [- 1; 1].
Yukarıdaki çizimde sayı doğrusunun taralı alanı bu fonksiyonun tanım bölgesidir.
Güç fonksiyonunun alanı
Tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun etki alanı
Eğer A- pozitifse, fonksiyonun tanım bölgesi tüm gerçek sayılar kümesidir, yani ]- ∞; + ∞[ ;
Eğer A- negatifse, fonksiyonun tanım tanım kümesi ]- ∞ kümesidir; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , yani sıfır dışındaki sayı doğrusunun tamamı.
Yukarıdaki ilgili çizimde sayı doğrusunun tamamı gölgelendirilmiştir ve sıfıra karşılık gelen nokta işaretlenmiştir (fonksiyonun tanım alanına dahil değildir).
Örnek 3. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .
Çözüm. İlk dönem tam derece x, 3'e eşittir ve ikinci terimdeki x'in derecesi bir olarak (aynı zamanda bir tam sayı) temsil edilebilir. Sonuç olarak, bu fonksiyonun tanım bölgesi sayı doğrusunun tamamıdır, yani ]- ∞; + ∞[ .
Kesirli üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun tanım kümesi
Fonksiyonun formülle verilmesi durumunda:
pozitifse, fonksiyonun tanım kümesi 0 kümesidir; + ∞[ .
Örnek 4. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .
Çözüm. Fonksiyon ifadesindeki her iki terim de güç fonksiyonları pozitif kesirli üslerle. Sonuç olarak, bu fonksiyonun tanım tanım kümesi - ∞ kümesidir; + ∞[ .
Üstel ve logaritmik fonksiyonların alanı
Üstel fonksiyonun alanı
Bir fonksiyonun bir formülle verilmesi durumunda, fonksiyonun tanım bölgesi sayı doğrusunun tamamıdır, yani ] - ∞; + ∞[ .
Logaritmik fonksiyonun alanı
Logaritmik fonksiyon, argümanının pozitif olması koşuluyla tanımlanır, yani tanım kümesi ]0 kümesidir; + ∞[ .
Fonksiyonun tanım kümesini kendiniz bulun ve ardından çözüme bakın.
Trigonometrik fonksiyonların alanı
İşlev Etki Alanı sen= çünkü( X) - ayrıca çok sayıda R gerçek sayılar.
İşlev Etki Alanı sen= tg( X) - ayarlamak R
sayılar dışındaki gerçek sayılar 
.
İşlev Etki Alanı sen= ctg( X) - ayarlamak R sayılar hariç gerçek sayılar.
Örnek 8. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .
Çözüm. Harici fonksiyon - ondalık logaritma ve tanım alanı, tanım alanının koşullarına tabidir logaritmik fonksiyon hiç. Yani argümanının olumlu olması gerekir. Buradaki argüman "x"in sinüsüdür. Hayali bir pusulayı bir daire etrafında çevirdiğimizde koşulun günah olduğunu görürüz. X> 0 "x" ile ihlal ediliyor sıfıra eşit, "pi", iki, "pi" ile çarpılır ve genel olarak ürüne eşit pi ve herhangi bir çift veya tek tamsayı.
Böylece, bu fonksiyonun tanım alanı şu ifadeyle verilir:
,
Nerede k- bir tamsayı.
Ters trigonometrik fonksiyonların tanım alanı
İşlev Etki Alanı sen= yaysin( X) - [-1'i ayarlayın; 1].
İşlev Etki Alanı sen= arkcos( X) - ayrıca [-1; 1].
İşlev Etki Alanı sen= arktan( X) - ayarlamak R gerçek sayılar.
İşlev Etki Alanı sen= yay( X) - ayrıca çok sayıda R gerçek sayılar.
Örnek 9. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .
Çözüm. Eşitsizliği çözelim:
Böylece, bu fonksiyonun tanım alanını elde ederiz - segment [- 4; 4].
Örnek 10. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun
.
Çözüm. İki eşitsizliği çözelim:
Birinci eşitsizliğin çözümü:
İkinci eşitsizliğin çözümü:
Böylece bu fonksiyonun tanım alanını (segment) elde ederiz.
Kesir kapsamı
Eğer fonksiyon verilirse kesirli ifade değişkenin kesrin paydasında olduğu durumda, fonksiyonun tanım alanı kümedir R gerçek sayılar, bunlar hariç X kesrin paydasının sıfır olduğu nokta.
Örnek 11. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .
Çözüm. Kesirin paydasının eşitliğini sıfıra çözerek, bu fonksiyonun tanım tanım kümesini - ]- ∞ kümesini buluruz; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .