వ్యక్తీకరణల సరళీకరణను ఎలా పరిష్కరించాలి. వ్యక్తీకరణలను మార్చడం

వ్యక్తీకరణలను శక్తులతో మార్చే అంశాన్ని పరిశీలిద్దాం, అయితే మొదట శక్తితో సహా ఏదైనా వ్యక్తీకరణలతో నిర్వహించగల అనేక పరివర్తనలపై నివసిద్దాం. మేము బ్రాకెట్లను తెరవడం, తీసుకురావడం నేర్చుకుంటాము సారూప్య నిబంధనలు, బేస్ మరియు ఎక్స్పోనెంట్తో పని చేయండి, డిగ్రీల లక్షణాలను ఉపయోగించండి.

Yandex.RTB R-A-339285-1

శక్తి వ్యక్తీకరణలు ఏమిటి?

IN పాఠశాల కోర్సు"" అనే పదబంధాన్ని కొద్ది మంది మాత్రమే ఉపయోగిస్తున్నారు. శక్తి వ్యక్తీకరణలు“, కానీ ఈ పదం యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు సిద్ధమయ్యే సేకరణలలో నిరంతరం కనుగొనబడుతుంది. చాలా సందర్భాలలో, ఒక పదబంధం వారి ఎంట్రీలలో డిగ్రీలను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలను సూచిస్తుంది. ఇది మన నిర్వచనంలో ప్రతిబింబిస్తుంది.

నిర్వచనం 1

శక్తి వ్యక్తీకరణఅనేది డిగ్రీలను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణ.

శక్తితో ప్రారంభించి, శక్తి వ్యక్తీకరణల యొక్క అనేక ఉదాహరణలను ఇద్దాం సహజ సూచికమరియు నిజమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీతో ముగుస్తుంది.

సరళమైన శక్తి వ్యక్తీకరణలను సహజ ఘాతాంకం కలిగిన సంఖ్య యొక్క శక్తులుగా పరిగణించవచ్చు: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (- 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 - a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . మరియు సున్నా ఘాతాంకంతో శక్తులు: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. మరియు పూర్ణాంకాలతో డిగ్రీలు ప్రతికూల శక్తులు: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

హేతుబద్ధమైన డిగ్రీతో పని చేయడం కొంచెం కష్టం అహేతుక సూచికలు: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 - 2 · a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π, 2 3 3 + 5.

సూచిక వేరియబుల్ 3 x - 54 - 7 3 x - 58 లేదా లాగరిథమ్ కావచ్చు x 2 · l g x - 5 · x l g x.

శక్తి వ్యక్తీకరణలు ఏమిటి అనే ప్రశ్నతో మేము వ్యవహరించాము. ఇప్పుడు వాటిని మార్చడం ప్రారంభిద్దాం.

శక్తి వ్యక్తీకరణల రూపాంతరాల ప్రాథమిక రకాలు

అన్నింటిలో మొదటిది, పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లతో ప్రదర్శించబడే వ్యక్తీకరణల యొక్క ప్రాథమిక గుర్తింపు పరివర్తనలను మేము పరిశీలిస్తాము.

ఉదాహరణ 1

శక్తి వ్యక్తీకరణ విలువను లెక్కించండి 2 3 (4 2 − 12).

పరిష్కారం

మేము చర్యల క్రమానికి అనుగుణంగా అన్ని పరివర్తనలను నిర్వహిస్తాము. IN ఈ సందర్భంలోమేము బ్రాకెట్లలో చర్యలను చేయడం ద్వారా ప్రారంభిస్తాము: మేము డిగ్రీని డిజిటల్ విలువతో భర్తీ చేస్తాము మరియు రెండు సంఖ్యల వ్యత్యాసాన్ని లెక్కిస్తాము. మన దగ్గర ఉంది 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

మనం చేయాల్సిందల్లా డిగ్రీని భర్తీ చేయడం 2 3 దాని అర్థం 8 మరియు ఉత్పత్తిని లెక్కించండి 8 4 = 32. ఇదిగో మా సమాధానం.

సమాధానం: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .

ఉదాహరణ 2

అధికారాలతో వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7.

పరిష్కారం

సమస్య స్టేట్‌మెంట్‌లో మాకు ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణలో మనం ఇవ్వగల సారూప్య పదాలు ఉన్నాయి: 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7 = 5 a 4 b - 7 - 1.

సమాధానం: 3 · a 4 · b - 7 - 1 + 2 · a 4 · b - 7 = 5 · a 4 · b - 7 - 1 .

ఉదాహరణ 3

9 - b 3 · π - 1 2 శక్తులతో వ్యక్తీకరణను ఉత్పత్తిగా వ్యక్తపరచండి.

పరిష్కారం

9 సంఖ్యను శక్తిగా ఊహించుకుందాం 3 2 మరియు సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాన్ని వర్తింపజేయండి:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

సమాధానం: 9 - బి 3 · π - 1 2 = 3 - బి 3 · π - 1 3 + బి 3 · π - 1 .

ఇప్పుడు విశ్లేషణకు వెళ్దాం గుర్తింపు పరివర్తనలు, ఇది శక్తి వ్యక్తీకరణలకు ప్రత్యేకంగా వర్తించవచ్చు.

బేస్ మరియు ఎక్స్‌పోనెంట్‌తో పని చేస్తోంది

ఆధారం లేదా ఘాతాంకంలోని డిగ్రీ సంఖ్యలు, వేరియబుల్స్ మరియు కొన్ని వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7మరియు . అలాంటి రికార్డులతో పనిచేయడం కష్టం. డిగ్రీ యొక్క బేస్‌లో ఉన్న వ్యక్తీకరణను లేదా ఘాతాంకంలోని వ్యక్తీకరణను ఒకేలా సమానమైన వ్యక్తీకరణతో భర్తీ చేయడం చాలా సులభం.

డిగ్రీ మరియు ఘాతాంకం యొక్క పరివర్తనలు ఒకదానికొకటి విడిగా మనకు తెలిసిన నియమాల ప్రకారం నిర్వహించబడతాయి. అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే, రూపాంతరం అసలు వ్యక్తీకరణకు సమానమైన వ్యక్తీకరణకు దారి తీస్తుంది.

రూపాంతరాల యొక్క ఉద్దేశ్యం అసలు వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడం లేదా సమస్యకు పరిష్కారాన్ని పొందడం. ఉదాహరణకు, మేము పైన ఇచ్చిన ఉదాహరణలో, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 మీరు డిగ్రీకి వెళ్లడానికి దశలను అనుసరించవచ్చు 4 , 1 1 , 3 . కుండలీకరణాలను తెరవడం ద్వారా, మేము శక్తి యొక్క ఆధారానికి సమానమైన పదాలను ప్రదర్శించవచ్చు (a · (a + 1) - a 2) 2 · (x + 1)మరియు మరింత శక్తి వ్యక్తీకరణను పొందండి సాధారణ రకం a 2 (x + 1).

డిగ్రీ లక్షణాలను ఉపయోగించడం

సమానత్వ రూపంలో వ్రాయబడిన అధికారాల లక్షణాలు, శక్తులతో వ్యక్తీకరణలను మార్చడానికి ప్రధాన సాధనాల్లో ఒకటి. మేము దానిని పరిగణనలోకి తీసుకొని ప్రధానమైన వాటిని ఇక్కడ అందిస్తున్నాము aమరియు బి- ఇవి ఏవైనా సానుకూల సంఖ్యలు, ఎ ఆర్మరియు లు- ఏకపక్ష వాస్తవ సంఖ్యలు:

నిర్వచనం 2

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r - s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

మేము సహజంగా వ్యవహరించే సందర్భాలలో, మొత్తం, సానుకూల సూచికలుడిగ్రీలు, a మరియు b సంఖ్యలపై పరిమితులు చాలా తక్కువ కఠినంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, మేము సమానత్వాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే a m · a n = a m + n, ఎక్కడ mమరియు n – సహజ సంఖ్యలు, అది సానుకూల మరియు ప్రతికూల రెండింటికీ, అలాగే ఏ విలువలకైనా నిజం అవుతుంది a = 0.

అధికారాల స్థావరాలు సానుకూలంగా లేదా వేరియబుల్స్, ప్రాంతం కలిగి ఉన్న సందర్భాలలో మీరు పరిమితులు లేకుండా అధికారాల లక్షణాలను వర్తింపజేయవచ్చు ఆమోదయోగ్యమైన విలువలుదాని ఆధారంగా మాత్రమే అంగీకరిస్తుంది సానుకూల విలువలు. నిజానికి, లోపల పాఠశాల పాఠ్యాంశాలుగణితంలో, విద్యార్థి యొక్క పని తగిన ఆస్తిని ఎన్నుకోవడం మరియు దానిని సరిగ్గా వర్తింపజేయడం.

విశ్వవిద్యాలయాలలో ప్రవేశించడానికి సిద్ధమవుతున్నప్పుడు, మీరు సమస్యలను ఎదుర్కొంటారు, దీనిలో ప్రాపర్టీల యొక్క సరికాని అప్లికేషన్ DL యొక్క సంకుచితం మరియు పరిష్కరించడంలో ఇతర ఇబ్బందులకు దారి తీస్తుంది. IN ఈ విభాగంమేము అలాంటి రెండు కేసులను మాత్రమే పరిశీలిస్తాము. అంశంపై మరింత సమాచారం "అధికార లక్షణాలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణలను మార్చడం" అనే అంశంలో చూడవచ్చు.

ఉదాహరణ 4

వ్యక్తీకరణను ఊహించండి a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5ఒక ఆధారంతో శక్తి రూపంలో a.

పరిష్కారం

మొదట, మేము ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ యొక్క లక్షణాన్ని ఉపయోగిస్తాము మరియు దానిని ఉపయోగించి రెండవ కారకాన్ని మారుస్తాము (a 2) - 3. అప్పుడు మేము అదే ఆధారంతో గుణకారం మరియు శక్తుల విభజన యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము:

a 2 , 5 · a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a − 3 , 5 − (-, 5) = a 2 .

సమాధానం: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

అధికారాల ఆస్తి ప్రకారం శక్తి వ్యక్తీకరణల రూపాంతరం ఎడమ నుండి కుడికి మరియు వ్యతిరేక దిశలో చేయవచ్చు.

ఉదాహరణ 5

శక్తి వ్యక్తీకరణ 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 విలువను కనుగొనండి.

పరిష్కారం

మనం సమానత్వాన్ని వర్తింపజేస్తే (a · b) r = a r · b r, కుడి నుండి ఎడమకు, మేము 3 · 7 1 3 · 21 2 3 మరియు తర్వాత 21 1 3 · 21 2 3 ఫారమ్ యొక్క ఉత్పత్తిని పొందుతాము. శక్తులను గుణించేటప్పుడు ఘాతాంకాలను జోడిద్దాం అదే ప్రాతిపదికన: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

పరివర్తనను నిర్వహించడానికి మరొక మార్గం ఉంది:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

సమాధానం: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

ఉదాహరణ 6

పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ ఇచ్చారు a 1, 5 - a 0, 5 - 6, కొత్త వేరియబుల్‌ని నమోదు చేయండి t = a 0.5.

పరిష్కారం

డిగ్రీని ఊహించుకుందాం ఒక 1, 5ఎలా a 0.5 3. డిగ్రీల నుండి డిగ్రీల ఆస్తిని ఉపయోగించడం (a r) s = a r · sకుడి నుండి ఎడమకు మరియు మనకు (a 0, 5) 3: a 1, 5 - a 0, 5 - 6 = (a 0, 5) 3 - a 0, 5 − 6. ఫలిత వ్యక్తీకరణలో మీరు కొత్త వేరియబుల్‌ని సులభంగా పరిచయం చేయవచ్చు t = a 0.5: మేము పొందుతాము t 3 - t - 6.

సమాధానం: t 3 - t - 6 .

అధికారాలను కలిగి ఉన్న భిన్నాలను మార్చడం

మేము సాధారణంగా భిన్నాలతో పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ల యొక్క రెండు వెర్షన్‌లతో వ్యవహరిస్తాము: వ్యక్తీకరణ శక్తితో భిన్నాన్ని సూచిస్తుంది లేదా అలాంటి భిన్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది. భిన్నాల యొక్క అన్ని ప్రాథమిక రూపాంతరాలు పరిమితులు లేకుండా అటువంటి వ్యక్తీకరణలకు వర్తిస్తాయి. వాటిని తగ్గించవచ్చు, కొత్త హారంలోకి తీసుకురావచ్చు లేదా న్యూమరేటర్ మరియు హారంతో విడిగా పని చేయవచ్చు. దీనిని ఉదాహరణలతో ఉదహరిద్దాం.

ఉదాహరణ 7

శక్తి వ్యక్తీకరణ 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 ను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం

మేము భిన్నంతో వ్యవహరిస్తున్నాము, కాబట్టి మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలోనూ పరివర్తనలను నిర్వహిస్తాము:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

హారం యొక్క చిహ్నాన్ని మార్చడానికి భిన్నం ముందు మైనస్ గుర్తును ఉంచండి: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

సమాధానం: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

అధికారాలను కలిగి ఉన్న భిన్నాలు అదే విధంగా కొత్త హారంకు తగ్గించబడతాయి హేతుబద్ధమైన భిన్నాలు. దీన్ని చేయడానికి, మీరు అదనపు కారకాన్ని కనుగొని, దాని ద్వారా భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను గుణించాలి. అసలు వ్యక్తీకరణ కోసం ODZ వేరియబుల్స్ నుండి వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు సున్నాకి వెళ్లని విధంగా అదనపు కారకాన్ని ఎంచుకోవడం అవసరం.

ఉదాహరణ 8

భిన్నాలను కొత్త హారంకి తగ్గించండి: a) a + 1 a 0, 7 హారం a, బి) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 హారం x + 8 · y 1 2 .

పరిష్కారం

ఎ) కొత్త హారంకు తగ్గించడానికి అనుమతించే కారకాన్ని ఎంచుకుందాం. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,కాబట్టి, అదనపు అంశంగా మేము తీసుకుంటాము a 0, 3. వేరియబుల్ a యొక్క అనుమతించదగిన విలువల శ్రేణి అన్ని పాజిటివ్‌ల సమితిని కలిగి ఉంటుంది వాస్తవ సంఖ్యలు. ఈ రంగంలో డిగ్రీ a 0, 3సున్నాకి పోదు.

భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం ద్వారా గుణిద్దాం a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

బి) హారంపై దృష్టి పెడదాం:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

ఈ వ్యక్తీకరణను x 1 3 + 2 · y 1 6 ద్వారా గుణిద్దాం, మేము x 1 3 మరియు 2 · y 1 6 ఘనాల మొత్తాన్ని పొందుతాము, అనగా. x + 8 · y 1 2 . ఇది మాది కొత్త హారం, దీనికి మనం అసలు భిన్నాన్ని తగ్గించాలి.

ఈ విధంగా మేము అదనపు కారకాన్ని x 1 3 + 2 · y 1 6 కనుగొన్నాము. వేరియబుల్స్ యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధిపై xమరియు వై x 1 3 + 2 · y 1 6 అనే వ్యక్తీకరణ అదృశ్యం కాదు, కాబట్టి, మనం భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను దాని ద్వారా గుణించవచ్చు:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

సమాధానం: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

ఉదాహరణ 9

భిన్నాన్ని తగ్గించండి: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - బి 1 4 ఎ 1 2 - బి 1 2.

పరిష్కారం

ఎ) మేము గొప్ప సాధారణ హారం (GCD)ని ఉపయోగిస్తాము, దీని ద్వారా మనం లవం మరియు హారంను తగ్గించవచ్చు. 30 మరియు 45 సంఖ్యలకు ఇది 15. ద్వారా తగ్గింపు కూడా చేయవచ్చు x0.5+1మరియు x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 పై.

మేము పొందుతాము:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

బి) ఇక్కడ ఒకే విధమైన కారకాల ఉనికి స్పష్టంగా లేదు. న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో ఒకే కారకాలను పొందడానికి మీరు కొన్ని పరివర్తనలను నిర్వహించాలి. దీన్ని చేయడానికి, మేము చతురస్రాల ఫార్ములా తేడాను ఉపయోగించి హారంను విస్తరింపజేస్తాము:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

సమాధానం:ఎ) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

భిన్నాలతో కూడిన ప్రాథమిక కార్యకలాపాలలో భిన్నాలను కొత్త హారంగా మార్చడం మరియు భిన్నాలను తగ్గించడం ఉంటాయి. రెండు చర్యలు అనేక నియమాలకు అనుగుణంగా నిర్వహించబడతాయి. భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు మరియు తీసివేసేటప్పుడు, భిన్నాలు మొదటగా తగ్గించబడతాయి సాధారణ హారం, దాని తర్వాత కార్యకలాపాలు (జోడించడం లేదా తీసివేత) సంఖ్యలతో నిర్వహించబడతాయి. హారం అలాగే ఉంటుంది. మన చర్యల ఫలితం కొత్త భిన్నం, ఇందులోని లవం గణాల ఉత్పత్తి, మరియు హారం హారం యొక్క ఉత్పత్తి.

ఉదాహరణ 10

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 దశలను చేయండి.

పరిష్కారం

కుండలీకరణాల్లో ఉన్న భిన్నాలను తీసివేయడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. వాటిని ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకువద్దాం:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

సంఖ్యలను తీసివేద్దాం:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

ఇప్పుడు మేము భిన్నాలను గుణిస్తాము:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

ఒక శక్తి ద్వారా తగ్గించుకుందాం x 1 2, మనకు 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 వస్తుంది.

అదనంగా, మీరు చతురస్రాల ఫార్ములా యొక్క వ్యత్యాసాన్ని ఉపయోగించి హారంలోని శక్తి వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయవచ్చు: చతురస్రాలు: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

సమాధానం: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

ఉదాహరణ 11

పవర్-లా వ్యక్తీకరణ x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 సరళీకృతం చేయండి.
పరిష్కారం

ద్వారా భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చు (x 2 , 7 + 1) 2. మనకు భిన్నం x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 వస్తుంది.

x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 శక్తులను మార్చడం కొనసాగిద్దాం. ఇప్పుడు మీరు అదే స్థావరాలతో విభజన శక్తుల ఆస్తిని ఉపయోగించవచ్చు: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

మేము నుండి తరలిస్తాము చివరి పనిభిన్నం x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

సమాధానం: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

తో గుణకాలు ప్రతికూల సూచికలుచాలా సందర్భాలలో, ఘాతాంకం యొక్క చిహ్నాన్ని మార్చడం ద్వారా న్యూమరేటర్ నుండి హారం మరియు వెనుకకు డిగ్రీలను బదిలీ చేయడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఈ చర్య తదుపరి నిర్ణయాన్ని సులభతరం చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం: పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1ని x 3 · (x + 1) 0, 2 ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు.

మూలాలు మరియు శక్తులతో వ్యక్తీకరణలను మార్చడం

సమస్యలలో అధికారాలు మాత్రమే కాకుండా శక్తి వ్యక్తీకరణలు ఉంటాయి పాక్షిక సూచికలు, కానీ మూలాలు కూడా. అటువంటి వ్యక్తీకరణలను మూలాలకు లేదా అధికారాలకు మాత్రమే తగ్గించడం మంచిది. వారితో పని చేయడం తేలికైనందున డిగ్రీలకు వెళ్లడం మంచిది. అసలు వ్యక్తీకరణ కోసం వేరియబుల్స్ యొక్క ODZ మాడ్యులస్‌ను యాక్సెస్ చేయకుండా లేదా ODZని అనేక విరామాలుగా విభజించాల్సిన అవసరం లేకుండా శక్తులతో మూలాలను భర్తీ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించినప్పుడు ఈ పరివర్తన ప్రత్యేకంగా ఉత్తమం.

ఉదాహరణ 12

x 1 9 · x · x 3 6 అనే వ్యక్తీకరణను శక్తిగా వ్యక్తపరచండి.

పరిష్కారం

అనుమతించదగిన వేరియబుల్ విలువల పరిధి xరెండు అసమానతల ద్వారా నిర్వచించబడింది x ≥ 0మరియు x x 3 ≥ 0, ఇది సమితిని నిర్వచిస్తుంది [ 0 , + ∞) .

ఈ సెట్‌లో మూలాల నుండి అధికారాలకు వెళ్లే హక్కు మాకు ఉంది:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

అధికారాల లక్షణాలను ఉపయోగించి, ఫలిత శక్తి వ్యక్తీకరణను మేము సులభతరం చేస్తాము.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

సమాధానం: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

ఘాతాంకంలోని వేరియబుల్స్‌తో అధికారాలను మార్చడం

మీరు డిగ్రీ లక్షణాలను సరిగ్గా ఉపయోగిస్తే ఈ పరివర్తనలు చేయడం చాలా సులభం. ఉదాహరణకు, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

మేము శక్తుల ఉత్పత్తి ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు, వీటిలో ఘాతాంకాలు కొన్ని వేరియబుల్ మరియు సంఖ్యల మొత్తం. ఎడమ వైపున, వ్యక్తీకరణ యొక్క ఎడమ వైపు మొదటి మరియు చివరి నిబంధనలతో ఇది చేయవచ్చు:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0 , 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .

ఇప్పుడు సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా విభజించండి 7 2 x. వేరియబుల్ x కోసం ఈ వ్యక్తీకరణ సానుకూల విలువలను మాత్రమే తీసుకుంటుంది:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

శక్తులతో భిన్నాలను తగ్గిద్దాం, మనకు లభిస్తుంది: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

చివరగా, అదే ఘాతాంకాలతో ఉన్న శక్తుల నిష్పత్తి నిష్పత్తుల శక్తులతో భర్తీ చేయబడుతుంది, ఫలితంగా సమీకరణం 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, ఇది 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x కు సమానం. - 2 = 0 .

కొత్త వేరియబుల్ t = 5 7 xని పరిచయం చేద్దాం, ఇది అసలైనదానికి పరిష్కారాన్ని తగ్గిస్తుంది ఘాతాంక సమీకరణం 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి.

అధికారాలు మరియు లాగరిథమ్‌లతో వ్యక్తీకరణలను మార్చడం

అధికారాలు మరియు లాగరిథమ్‌లను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలు కూడా సమస్యలలో కనిపిస్తాయి. అటువంటి వ్యక్తీకరణలకు ఉదాహరణ: 1 4 1 - 5 · లాగ్ 2 3 లేదా లాగ్ 3 27 9 + 5 (1 - లాగ్ 3 5) · లాగ్ 5 3. మార్పిడి సారూప్య వ్యక్తీకరణలు"సంవర్గమాన వ్యక్తీకరణలను మార్చడం" అనే అంశంలో మేము వివరంగా చర్చించిన పైన చర్చించిన లాగరిథమ్‌ల విధానాలు మరియు లక్షణాలను ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

గమనిక 1

బూలియన్ ఫంక్షన్‌ను బూలియన్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ని ఉపయోగించి వ్రాయవచ్చు మరియు తర్వాత లాజిక్ సర్క్యూట్‌కి తరలించవచ్చు. సాధ్యమైనంత సరళమైన (అందువలన చౌకైన) లాజికల్ సర్క్యూట్‌ను పొందేందుకు తార్కిక వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడం అవసరం. ముఖ్యంగా, లాజికల్ ఫంక్షన్, లాజికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ మరియు లాజిక్ సర్క్యూట్- అది మూడు వివిధ భాషలు, ఒక సంస్థ గురించి చెప్పడం.

సరళీకృతం చేయడానికి తార్కిక వ్యక్తీకరణలుఉపయోగించండి బీజగణిత తర్కం యొక్క చట్టాలు.

కొన్ని రూపాంతరాలు క్లాసికల్ బీజగణితంలో సూత్రాల రూపాంతరాలను పోలి ఉంటాయి (బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకొని, కమ్యుటేటివ్ మరియు కలయిక చట్టాలుమొదలైనవి), మరియు ఇతర రూపాంతరాలు శాస్త్రీయ బీజగణితం యొక్క కార్యకలాపాలు కలిగి లేని లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి (సంయోగం కోసం పంపిణీ చట్టం యొక్క ఉపయోగం, శోషణ చట్టాలు, గ్లైయింగ్, డి మోర్గాన్ నియమాలు మొదలైనవి).

తర్కం యొక్క బీజగణితం యొక్క నియమాలు ప్రాథమిక కోసం రూపొందించబడ్డాయి తార్కిక కార్యకలాపాలు- “కాదు” – విలోమం (నిరాకరణ), “AND” – సంయోగం (తార్కిక గుణకారం) మరియు “OR” – డిస్జంక్షన్ (తార్కిక జోడింపు).

డబుల్ నెగేషన్ చట్టం అంటే "NOT" ఆపరేషన్ రివర్సిబుల్ అని అర్థం: మీరు దీన్ని రెండుసార్లు వర్తింపజేస్తే, చివరికి తార్కిక విలువ మారదు.

మినహాయించబడిన మధ్యస్థ చట్టం ఏదైనా తార్కిక వ్యక్తీకరణ నిజం లేదా తప్పు ("మూడవది లేదు") అని పేర్కొంది. కాబట్టి, $A=1$ అయితే, $\bar(A)=0$ (మరియు వైస్ వెర్సా), అంటే ఈ పరిమాణాల సంయోగం ఎల్లప్పుడూ సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది మరియు విభజన ఎల్లప్పుడూ ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

ఈ సూత్రాన్ని సులభతరం చేద్దాం:

మూర్తి 3.

ఇది $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

సమాధానం:విద్యార్థులు $B$, $C$ మరియు $D$ చెస్ ఆడతారు, కానీ విద్యార్థి $A$ ఆడరు.

తార్కిక వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేస్తున్నప్పుడు, మీరు ఈ క్రింది చర్యల క్రమాన్ని చేయవచ్చు:

1. అన్ని "ప్రాథమిక" కార్యకలాపాలను (సమానత, తాత్పర్యం, ప్రత్యేకమైన OR మొదలైనవి) వాటి వ్యక్తీకరణలతో భర్తీ చేయండి ప్రాథమిక కార్యకలాపాలువిలోమం, సంయోగం మరియు విభజన.
2. డి మోర్గాన్ నియమాల ప్రకారం సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణల విలోమాలను విస్తరించండి, తద్వారా ప్రతికూల కార్యకలాపాలు వ్యక్తిగత వేరియబుల్స్ కోసం మాత్రమే ఉంటాయి.
3. ఆపై బ్రాకెట్‌లను తెరవడం, బ్రాకెట్‌ల వెలుపల సాధారణ కారకాలు మరియు తార్కిక బీజగణితం యొక్క ఇతర చట్టాలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

ఉదాహరణ 2

ఇక్కడ, డి మోర్గాన్ నియమం, పంపిణీ చట్టం, మినహాయించబడిన మధ్యస్థ చట్టం, కమ్యుటేటివ్ చట్టం, పునరావృత చట్టం, మళ్లీ కమ్యుటేటివ్ చట్టం మరియు శోషణ చట్టం వరుసగా ఉపయోగించబడతాయి.

పాఠం ప్రారంభంలో మేము వర్గమూలాల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలను సమీక్షిస్తాము, ఆపై మేము అనేక అంశాలను పరిశీలిస్తాము సంక్లిష్ట ఉదాహరణలువర్గమూలాలను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడానికి.

విషయం:ఫంక్షన్. లక్షణాలు వర్గమూలం

పాఠం:మూలాలతో మరింత సంక్లిష్టమైన వ్యక్తీకరణలను మార్చడం మరియు సరళీకృతం చేయడం

1. వర్గమూలాల లక్షణాల సమీక్ష

సిద్ధాంతాన్ని క్లుప్తంగా పునరావృతం చేద్దాం మరియు వర్గమూలాల ప్రాథమిక లక్షణాలను గుర్తుచేసుకుందాం.

వర్గమూలాల లక్షణాలు:

1. అందువలన, ;

3. ;

4. .

2. మూలాలతో వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడానికి ఉదాహరణలు

ఈ లక్షణాలను ఉపయోగించే ఉదాహరణలకు వెళ్దాం.

ఉదాహరణ 1: వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి .

పరిష్కారం. సరళీకృతం చేయడానికి, 120 సంఖ్యను ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేయాలి:

మేము సముచిత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మొత్తం యొక్క వర్గాన్ని వెల్లడిస్తాము:

ఉదాహరణ 2: వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి .

పరిష్కారం. ఈ వ్యక్తీకరణ అందరికీ అర్ధవంతం కాదని పరిగణనలోకి తీసుకుందాం సాధ్యం విలువలువేరియబుల్, ఎందుకంటే ఇన్ ఈ వ్యక్తీకరణవర్గమూలాలు మరియు భిన్నాలు ఉన్నాయి, ఇది ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధిని "సంకుచితం" చేయడానికి దారితీస్తుంది. ODZ: ().

బ్రాకెట్లలోని వ్యక్తీకరణను సాధారణ హారంలోకి తీసుకువద్దాం మరియు చివరి భిన్నం యొక్క సంఖ్యను చతురస్రాల వ్యత్యాసంగా వ్రాస్దాం:

సమాధానం. వద్ద.

ఉదాహరణ 3: వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి .

పరిష్కారం. రెండవ న్యూమరేటర్ బ్రాకెట్ అసౌకర్య రూపాన్ని కలిగి ఉందని మరియు దానిని సమూహ పద్ధతిని ఉపయోగించి కారకం చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

నిర్వహించగలగాలి సాధారణ గుణకంమేము వాటిని కారకం చేయడం ద్వారా మూలాలను సరళీకృతం చేసాము. ఫలిత వ్యక్తీకరణను అసలు భిన్నంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

భిన్నాన్ని తగ్గించిన తర్వాత, మేము చతురస్రాల ఫార్ములా యొక్క వ్యత్యాసాన్ని వర్తింపజేస్తాము.

3. అహేతుకతను వదిలించుకోవడానికి ఒక ఉదాహరణ

ఉదాహరణ 4. హారంలోని అహేతుకత (మూలాలు) నుండి మిమ్మల్ని మీరు విడిపించుకోండి: a) ; బి) .

పరిష్కారం. ఎ) హారంలోని అహేతుకతను వదిలించుకోవడానికి, మేము ఉపయోగిస్తాము ప్రామాణిక పద్ధతిభిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం రెండింటినీ హారానికి సంయోగ కారకం ద్వారా గుణించడం (అదే వ్యక్తీకరణ, కానీ వ్యతిరేక గుర్తుతో). భిన్నం యొక్క హారం చతురస్రాల వ్యత్యాసానికి పూర్తి చేయడానికి ఇది జరుగుతుంది, ఇది హారంలోని మూలాలను వదిలించుకోవడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మన విషయంలో దీన్ని చేద్దాం:

బి) ఇలాంటి చర్యలను చేయండి:

4. కాంప్లెక్స్ రాడికల్‌లో పూర్తి స్క్వేర్ యొక్క రుజువు మరియు గుర్తింపు కోసం ఉదాహరణ

ఉదాహరణ 5. సమానత్వాన్ని నిరూపించండి .

రుజువు. వర్గమూలం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తాము, దాని నుండి కుడి-చేతి వ్యక్తీకరణ యొక్క స్క్వేర్ తప్పనిసరిగా రాడికల్ వ్యక్తీకరణకు సమానంగా ఉండాలి:

. మొత్తం యొక్క వర్గానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి బ్రాకెట్లను తెరుద్దాము:

, మాకు సరైన సమానత్వం వచ్చింది.

నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ 6. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం. ఈ వ్యక్తీకరణను సాధారణంగా కాంప్లెక్స్ రాడికల్ (రూట్ కింద రూట్) అంటారు. IN ఈ ఉదాహరణలోరాడికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ నుండి పూర్తి చతురస్రాన్ని వేరుచేయడానికి మీరు ఊహించాలి. దీన్ని చేయడానికి, రెండు పదాలలో, ఇది స్క్వేర్డ్ తేడా (తేడా, మైనస్ ఉన్నందున) సూత్రంలో ఉత్పత్తికి రెట్టింపు పాత్ర కోసం అభ్యర్థి అని గమనించండి. దానిని క్రింది ఉత్పత్తి రూపంలో వ్రాద్దాం: , ఆపై నిబంధనలలో ఒకదాని పాత్ర పూర్తి చతురస్రందావాలు , మరియు రెండవ పాత్ర కోసం - 1.

ఈ వ్యక్తీకరణను రూట్ కింద ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం.

తరచుగా పనులకు సరళీకృత సమాధానం అవసరం. సరళీకృత మరియు సరళీకృతం కాని సమాధానాలు రెండూ సరైనవే అయినప్పటికీ, మీరు మీ సమాధానాన్ని సరళీకృతం చేయకుంటే మీ బోధకుడు మీ గ్రేడ్‌ను తగ్గించవచ్చు. అంతేకాకుండా, సరళీకృత గణిత వ్యక్తీకరణతో పని చేయడం చాలా సులభం. అందువల్ల, వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడం నేర్చుకోవడం చాలా ముఖ్యం.

దశలు

గణిత కార్యకలాపాల యొక్క సరైన క్రమం

1. గణిత కార్యకలాపాలను నిర్వహించడానికి సరైన క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోండి.సరళీకృతం చేసినప్పుడు గణిత వ్యక్తీకరణతప్పక గమనించాలి నిర్దిష్ట క్రమంలోచర్యలు, కొన్ని నుండి గణిత కార్యకలాపాలుఇతరులకు ప్రాధాన్యతనివ్వండి మరియు ముందుగా చేయాలి (వాస్తవానికి, సరైన కార్యకలాపాల క్రమాన్ని అనుసరించకపోవడం తప్పు ఫలితానికి దారి తీస్తుంది). కింది గణిత కార్యకలాపాల క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోండి: కుండలీకరణాల్లో వ్యక్తీకరణ, ఘాతాంకం, గుణకారం, విభజన, కూడిక, తీసివేత.

   • ఆపరేషన్ల యొక్క సరైన క్రమాన్ని తెలుసుకోవడం చాలా సరళమైన వ్యక్తీకరణలను సులభతరం చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, కానీ బహుపదిని (వేరియబుల్‌తో కూడిన వ్యక్తీకరణ) సరళీకృతం చేయడానికి, మీరు ప్రత్యేక ఉపాయాలను తెలుసుకోవాలి (తదుపరి విభాగాన్ని చూడండి).

2. కుండలీకరణాల్లో వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించడం ద్వారా ప్రారంభించండి.గణితంలో, కుండలీకరణాలు వాటిలోని వ్యక్తీకరణను ముందుగా మూల్యాంకనం చేయాలని సూచిస్తున్నాయి. అందువల్ల, ఏదైనా గణిత వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేస్తున్నప్పుడు, కుండలీకరణాల్లో జతచేయబడిన వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించడం ద్వారా ప్రారంభించండి (కుండలీకరణాల లోపల మీరు ఏ ఆపరేషన్లు చేయాలనేది పట్టింపు లేదు). కానీ బ్రాకెట్లలో జతచేయబడిన వ్యక్తీకరణతో పని చేస్తున్నప్పుడు, మీరు తప్పనిసరిగా ఆపరేషన్ల క్రమాన్ని అనుసరించాలి, అనగా బ్రాకెట్లలోని నిబంధనలు మొదట గుణించబడతాయి, విభజించబడతాయి, జోడించబడతాయి, తీసివేయబడతాయి మరియు మొదలైనవి.

   • ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేద్దాం 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). ఇక్కడ మనం బ్రాకెట్లలోని వ్యక్తీకరణలతో ప్రారంభిస్తాము: 5 + 2 = 7 మరియు 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • రెండవ జత కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణ 5కి సులభతరం అవుతుంది ఎందుకంటే 4/2 ముందుగా విభజించబడాలి (సరైన ఆపరేషన్ల క్రమం ప్రకారం). మీరు ఈ క్రమాన్ని అనుసరించకుంటే, మీరు తప్పు సమాధానం పొందుతారు: 3 + 4 = 7 మరియు 7 ÷ 2 = 7/2.
   • కుండలీకరణాల్లో మరొక జత కుండలీకరణాలు ఉంటే, అంతర్గత కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించడం ద్వారా సరళీకృతం చేయడం ప్రారంభించండి మరియు బయటి కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించడానికి కొనసాగండి.

3. ఎక్స్పోనెంటియేట్ చేయండి.కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణలను పరిష్కరించిన తర్వాత, ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్‌కు వెళ్లండి (శక్తికి ఘాతాంకం మరియు ఆధారం ఉందని గుర్తుంచుకోండి). సంబంధిత వ్యక్తీకరణను (లేదా సంఖ్య) శక్తికి పెంచండి మరియు ఫలితాన్ని మీకు అందించిన వ్యక్తీకరణలో భర్తీ చేయండి.

   • మా ఉదాహరణలో, శక్తికి ఉన్న ఏకైక వ్యక్తీకరణ (సంఖ్య) 3 2: 3 2 = 9. మీకు ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణలో, 3 2ని 9తో భర్తీ చేయండి మరియు మీరు పొందుతారు: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. గుణించండి.గుణకారం ఆపరేషన్ క్రింది చిహ్నాల ద్వారా సూచించబడుతుందని గుర్తుంచుకోండి: "x", "∙" లేదా "*". కానీ సంఖ్య మరియు వేరియబుల్ మధ్య (ఉదాహరణకు, 2x) లేదా సంఖ్య మరియు సంఖ్యల మధ్య కుండలీకరణాల్లో (ఉదాహరణకు, 4(7)) చిహ్నాలు లేకపోతే, ఇది కూడా గుణకార చర్య.

   • మా ఉదాహరణలో, రెండు గుణకార కార్యకలాపాలు ఉన్నాయి: 2x (రెండు వేరియబుల్ “x” ద్వారా గుణించబడుతుంది) మరియు 4(7) (నాలుగును ఏడుతో గుణించాలి). మాకు x విలువ తెలియదు, కాబట్టి మేము 2x అనే వ్యక్తీకరణను అలాగే ఉంచుతాము. 4(7) = 4 x 7 = 28. ఇప్పుడు మీరు మీకు ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణను ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు: 2x + 28 + 9 - 5.

5. విభజించు.విభజన ఆపరేషన్ క్రింది చిహ్నాల ద్వారా సూచించబడుతుందని గుర్తుంచుకోండి: "/", "÷" లేదా "-" (మీరు చివరి అక్షరాన్ని భిన్నాలలో చూడవచ్చు). ఉదాహరణకు, 3/4 అనేది మూడుతో భాగించబడినది.

   • మా ఉదాహరణలో, కుండలీకరణాల్లో వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించేటప్పుడు మీరు ఇప్పటికే 4ని 2 (4/2)తో విభజించినందున, ఇకపై విభజన ఆపరేషన్ లేదు. కాబట్టి మీరు వెళ్ళవచ్చు తదుపరి దశ. చాలా వ్యక్తీకరణలు ఒకేసారి అన్ని గణిత కార్యకలాపాలను కలిగి ఉండవని గుర్తుంచుకోండి (వాటిలో కొన్ని మాత్రమే).

6. రెట్లు.వ్యక్తీకరణ నిబంధనలను జోడించేటప్పుడు, మీరు చాలా దూరం (ఎడమవైపు) పదంతో ప్రారంభించవచ్చు లేదా ముందుగా సులభంగా జోడించే నిబంధనలను జోడించవచ్చు. ఉదాహరణకు, 49 + 29 + 51 +71 వ్యక్తీకరణలో, మొదట 49 + 51 = 100 జోడించడం సులభం, ఆపై 29 + 71 = 100 మరియు చివరకు 100 + 100 = 200. ఇలా జోడించడం చాలా కష్టం: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • మా ఉదాహరణలో 2x + 28 + 9 + 5 రెండు అదనపు కార్యకలాపాలు ఉన్నాయి. బయటి (ఎడమ) పదంతో ప్రారంభిద్దాం: 2x + 28; మీరు 2x మరియు 28ని జోడించలేరు ఎందుకంటే "x" వేరియబుల్ విలువ మీకు తెలియదు. కాబట్టి, 28 + 9 = 37 జోడించండి. ఇప్పుడు వ్యక్తీకరణను ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు: 2x + 37 - 5.

7. తీసివేయి.ఈ చివరి ఆపరేషన్వి సరైన క్రమంలోగణిత కార్యకలాపాలను నిర్వహిస్తోంది. ఈ దశలో మీరు కూడా జోడించవచ్చు ప్రతికూల సంఖ్యలులేదా సభ్యులను జోడించే దశలో దీన్ని చేయండి - ఇది తుది ఫలితాన్ని ఏ విధంగానూ ప్రభావితం చేయదు.

   • మా ఉదాహరణ 2x + 37 - 5 లో ఒకే వ్యవకలన ఆపరేషన్ ఉంది: 37 - 5 = 32.

8. ఈ దశలో, అన్ని గణిత కార్యకలాపాలను చేసిన తర్వాత, మీరు సరళీకృత వ్యక్తీకరణను పొందాలి.కానీ మీకు ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్ ఉంటే, వేరియబుల్‌తో ఉన్న పదం అలాగే ఉంటుందని గుర్తుంచుకోండి. వేరియబుల్‌తో వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించడం (సరళీకరించడం కాదు) ఆ వేరియబుల్ విలువను కనుగొనడం. కొన్నిసార్లు వేరియబుల్ వ్యక్తీకరణలను ఉపయోగించి సరళీకృతం చేయవచ్చు ప్రత్యేక పద్ధతులు(తదుపరి విభాగాన్ని చూడండి).

   • మా ఉదాహరణలో, చివరి సమాధానం 2x + 32. మీరు వేరియబుల్ "x" విలువ తెలుసుకునే వరకు మీరు రెండు పదాలను జోడించలేరు. మీరు వేరియబుల్ విలువను తెలుసుకున్న తర్వాత, మీరు ఈ ద్విపదను సులభంగా సరళీకరించవచ్చు.

   సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడం

   1. సారూప్య పదాల జోడింపు.మీరు సారూప్య పదాలను మాత్రమే తీసివేయగలరని మరియు జోడించగలరని గుర్తుంచుకోండి, అంటే అదే వేరియబుల్ మరియు నిబంధనలతో అదే సూచికడిగ్రీలు. ఉదాహరణకు, మీరు 7x మరియు 5xని జోడించవచ్చు, కానీ మీరు 7x మరియు 5x 2ని జోడించలేరు (ఘాతాంకాలు భిన్నంగా ఉంటాయి కాబట్టి).

      • ఈ నియమం బహుళ వేరియబుల్స్ ఉన్న సభ్యులకు కూడా వర్తిస్తుంది. ఉదాహరణకు, మీరు 2xy 2 మరియు -3xy 2 లను జోడించవచ్చు, కానీ మీరు 2xy 2 మరియు -3x 2 y లేదా 2xy 2 మరియు -3y 2 లను జోడించలేరు.
      • ఒక ఉదాహరణను చూద్దాం: x 2 + 3x + 6 - 8x. ఇక్కడ ఇలాంటి నిబంధనలు 3x మరియు 8x, కాబట్టి వాటిని కలిపి జోడించవచ్చు. సరళీకృత వ్యక్తీకరణ ఇలా కనిపిస్తుంది: x 2 - 5x + 6.

   2. సంఖ్య భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయండి.అటువంటి భిన్నంలో, న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి (వేరియబుల్ లేకుండా). సంఖ్యా భిన్నంఅనేక మార్గాల్లో సరళీకృతం చేయబడింది. మొదట, కేవలం లవం ద్వారా హారం విభజించండి. రెండవది, న్యూమరేటర్ మరియు డినామినేటర్‌ను కారకం చేయండి మరియు ఇలాంటి కారకాలను రద్దు చేయండి (ఒక సంఖ్యను స్వయంగా విభజించడం వలన మీకు 1 వస్తుంది). మరో మాటలో చెప్పాలంటే, న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ ఒకే కారకాన్ని కలిగి ఉంటే, మీరు దానిని వదిలివేసి సరళీకృత భిన్నాన్ని పొందవచ్చు.

      • ఉదాహరణకు, భిన్నం 36/60ని పరిగణించండి. కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించి, 0.6 పొందడానికి 36ని 60తో భాగించండి. కానీ మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారం కారకం చేయడం ద్వారా ఈ భిన్నాన్ని మరొక విధంగా సులభతరం చేయవచ్చు: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). 6/6 = 1 నుండి, సరళీకృత భిన్నం: 1 x 6/10 = 6/10. కానీ ఈ భిన్నాన్ని కూడా సరళీకరించవచ్చు: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. భిన్నం వేరియబుల్‌ని కలిగి ఉంటే, మీరు వేరియబుల్‌తో కూడిన కారకాలను రద్దు చేయవచ్చు.న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ ఫాక్టర్ చేయండి మరియు అలాంటి కారకాలను రద్దు చేయండి, అవి వేరియబుల్‌ని కలిగి ఉన్నప్పటికీ (ఇక్కడ ఉన్న ఇలాంటి కారకాలు వేరియబుల్‌ను కలిగి ఉండకపోవచ్చు లేదా ఉండకపోవచ్చని గుర్తుంచుకోండి).

      • ఒక ఉదాహరణను చూద్దాం: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). ఈ వ్యక్తీకరణను ఈ రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు (కారకం చేయబడింది): (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). 3x పదం న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలోనూ ఉన్నందున, మీరు సరళీకృత వ్యక్తీకరణను అందించడానికి దాన్ని రద్దు చేయవచ్చు: (x + 1)/(5 - x). మరొక ఉదాహరణను చూద్దాం: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • దయచేసి మీరు ఏ నిబంధనలను రద్దు చేయలేరని గుర్తుంచుకోండి - న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలోనూ ఉన్న ఒకేలాంటి కారకాలు మాత్రమే రద్దు చేయబడతాయి. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలో (x(x + 2))/x, వేరియబుల్ (కారకం) “x” న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలోనూ ఉంటుంది, కాబట్టి సరళీకృత వ్యక్తీకరణను పొందడానికి “x”ని తగ్గించవచ్చు: (x + 2)/1 = x + 2. అయితే, వ్యక్తీకరణలో (x + 2)/x, వేరియబుల్ “x” ను తగ్గించడం సాధ్యం కాదు (ఎందుకంటే “x” అనేది న్యూమరేటర్‌లో కారకం కాదు).

   4. కుండలీకరణాలను తెరవండి.దీన్ని చేయడానికి, కుండలీకరణాల్లోని ప్రతి పదం ద్వారా కుండలీకరణాల వెలుపల ఉన్న పదాన్ని గుణించండి. కొన్నిసార్లు ఇది సరళీకృతం చేయడానికి సహాయపడుతుంది సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణ. ఇది ఇద్దరు సభ్యులకు వర్తిస్తుంది ప్రధాన సంఖ్యలు, మరియు వేరియబుల్ కలిగి ఉన్న సభ్యులకు.

      • ఉదాహరణకు, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, మరియు 3x (x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • దయచేసి గమనించండి పాక్షిక వ్యక్తీకరణలున్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలోనూ ఒకే అంశం ఉన్నట్లయితే బ్రాకెట్లను తెరవాల్సిన అవసరం లేదు. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలో (3(x 2 + 8))/3x కుండలీకరణాలను విస్తరించాల్సిన అవసరం లేదు, ఇక్కడ మీరు 3 యొక్క కారకాన్ని రద్దు చేసి, సరళీకృత వ్యక్తీకరణ (x 2 + 8)/xని పొందవచ్చు. ఈ వ్యక్తీకరణ పని చేయడం సులభం; మీరు కుండలీకరణాలను విస్తరించినట్లయితే, మీరు క్రింది సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణను పొందుతారు: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. ఫాక్టర్ బహుపది.ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి, మీరు కొన్ని వ్యక్తీకరణలు మరియు బహుపదిలను సరళీకృతం చేయవచ్చు. ఫ్యాక్టరింగ్ అనేది ఒక ఆపరేషన్ ప్రారంభానికి వ్యతిరేకంబ్రాకెట్లు, అంటే, వ్యక్తీకరణ రెండు వ్యక్తీకరణల ఉత్పత్తిగా వ్రాయబడుతుంది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి బ్రాకెట్లలో జతచేయబడుతుంది. కొన్ని సందర్భాల్లో, కారకాన్ని తగ్గించవచ్చు అదే వ్యక్తీకరణ. IN ప్రత్యేక కేసులు(సాధారణంగా తో వర్గ సమీకరణాలు) కారకం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

      • x 2 - 5x + 6 అనే వ్యక్తీకరణను పరిగణించండి. ఇది కారకం చేయబడింది: (x - 3)(x - 2). కాబట్టి, ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ ఇవ్వబడితే (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), అప్పుడు మీరు దానిని (x - 3)(x - 2)/(2(x)గా తిరిగి వ్రాయవచ్చు - 2)), వ్యక్తీకరణను తగ్గించండి (x - 2) మరియు సరళీకృత వ్యక్తీకరణ (x - 3)/2 పొందండి.
      • ఫాక్టరింగ్ బహుపది సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి (మూలాలను కనుగొనడానికి) ఉపయోగించబడుతుంది (ఒక సమీకరణం 0కి సమానమైన బహుపది). ఉదాహరణకు, x 2 - 5x + 6 = 0 సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. దానిని కారకం చేయడం ద్వారా, మీరు (x - 3)(x - 2) = 0 పొందుతారు. 0తో గుణించిన ఏదైనా వ్యక్తీకరణ 0కి సమానం కాబట్టి, మనం దానిని ఇలా వ్రాయవచ్చు ఇది : x - 3 = 0 మరియు x - 2 = 0. ఆ విధంగా, x = 3 మరియు x = 2, అంటే, మీకు ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలను మీరు కనుగొన్నారు.

క్రీస్తుపూర్వం ఐదవ శతాబ్దంలో, పురాతన గ్రీకు తత్వవేత్త జెనో ఆఫ్ ఎలియా తన ప్రసిద్ధ అపోరియాలను రూపొందించాడు, వీటిలో అత్యంత ప్రసిద్ధమైనది "అకిలెస్ మరియు టార్టాయిస్" అపోరియా. ఇది ఎలా అనిపిస్తుందో ఇక్కడ ఉంది:

అకిలెస్ తాబేలు కంటే పది రెట్లు వేగంగా పరిగెడుతుంది మరియు దాని వెనుక వెయ్యి అడుగులు ఉన్నాడనుకుందాం. ఈ దూరం పరుగెత్తడానికి అకిలెస్ పట్టే సమయంలో, తాబేలు అదే దిశలో వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. అకిలెస్ వంద అడుగులు పరిగెత్తినప్పుడు, తాబేలు మరో పది అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. ఈ ప్రక్రియ అనంతంగా కొనసాగుతుంది, అకిలెస్ తాబేలును ఎప్పటికీ పట్టుకోడు.

ఈ తార్కికం అన్ని తరువాతి తరాలకు తార్కిక షాక్‌గా మారింది. అరిస్టాటిల్, డయోజినెస్, కాంట్, హెగెల్, హిల్బర్ట్.. వీళ్లంతా ఏదో ఒక విధంగా జెనో అపోరియాగా భావించారు. షాక్ చాలా బలంగా ఉంది " ... వైరుధ్యాల సారాంశం గురించి ఉమ్మడి అభిప్రాయాన్ని చేరుకోవడానికి చర్చలు నేటికీ కొనసాగుతున్నాయి శాస్త్రీయ సంఘంఇప్పటివరకు అది సాధ్యం కాలేదు... మేము సమస్య అధ్యయనంలో పాల్గొన్నాము గణిత విశ్లేషణ, సెట్ సిద్ధాంతం, కొత్త భౌతిక మరియు తాత్విక విధానాలు; వాటిలో ఏదీ సమస్యకు సాధారణంగా ఆమోదించబడిన పరిష్కారం కాదు..."[వికీపీడియా, "జెనోస్ అపోరియా". ప్రతి ఒక్కరూ తాము మోసపోతున్నారని అర్థం చేసుకుంటారు, కానీ మోసం ఏమిటో ఎవరికీ అర్థం కాలేదు.

గణిత శాస్త్ర దృక్కోణంలో, జెనో తన అపోరియాలో పరిమాణం నుండి కు మారడాన్ని స్పష్టంగా ప్రదర్శించాడు. ఈ పరివర్తన శాశ్వత వాటికి బదులుగా అనువర్తనాన్ని సూచిస్తుంది. నాకు అర్థమైనంత వరకు, గణిత ఉపకరణంకొలత యొక్క వేరియబుల్ యూనిట్ల ఉపయోగం ఇంకా అభివృద్ధి చేయబడలేదు లేదా Zeno యొక్క అపోరియాకు వర్తించబడలేదు. మన సాధారణ తర్కాన్ని వర్తింపజేయడం మనల్ని ఒక ఉచ్చులోకి నడిపిస్తుంది. మేము, ఆలోచన యొక్క జడత్వం కారణంగా, పరస్పర విలువకు సమయం యొక్క స్థిరమైన యూనిట్లను వర్తింపజేస్తాము. తో భౌతిక పాయింట్దృక్కోణంలో, అకిలెస్ తాబేలుతో పట్టుకున్న సమయంలో పూర్తిగా ఆగిపోయే వరకు సమయం మందగించినట్లు కనిపిస్తోంది. సమయం ఆగిపోతే, అకిలెస్ ఇకపై తాబేలును అధిగమించలేరు.

మేము మా సాధారణ తర్కాన్ని తిప్పితే, ప్రతిదీ స్థానంలోకి వస్తుంది. అకిలెస్ తో నడుస్తుంది స్థిరమైన వేగం. అతని మార్గంలోని ప్రతి తదుపరి విభాగం మునుపటి కంటే పది రెట్లు తక్కువగా ఉంటుంది. దీని ప్రకారం, దానిని అధిగమించడానికి గడిపిన సమయం మునుపటి కంటే పది రెట్లు తక్కువ. ఈ పరిస్థితిలో మనం “అనంతం” అనే భావనను వర్తింపజేస్తే, “అకిలెస్ తాబేలును అనంతంగా త్వరగా పట్టుకుంటాడు” అని చెప్పడం సరైనది.

ఈ తార్కిక ఉచ్చును ఎలా నివారించాలి? లో ఉండు స్థిరమైన యూనిట్లుసమయం యొక్క కొలతలు మరియు పరస్పర పరిమాణాలకు వెళ్లవద్దు. జెనో భాషలో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

అకిలెస్ వేయి అడుగులు పరిగెత్తడానికి పట్టే సమయంలో, తాబేలు అదే దిశలో వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. తదుపరి సమయం విరామం కోసం, మొదటిదానికి సమానం, అకిలెస్ మరో వెయ్యి మెట్లు పరుగెత్తుతుంది, తాబేలు వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. ఇప్పుడు అకిలెస్ తాబేలు కంటే ఎనిమిది వందల అడుగులు ముందున్నాడు.

ఈ విధానం ఎటువంటి తార్కిక వైరుధ్యాలు లేకుండా వాస్తవికతను తగినంతగా వివరిస్తుంది. కానీ అది కాదు పూర్తి పరిష్కారంసమస్యలు. కాంతి వేగం యొక్క ఇర్రెసిస్టిబిలిటీ గురించి ఐన్స్టీన్ యొక్క ప్రకటన జెనో యొక్క అపోరియా "అకిలెస్ అండ్ ది టార్టాయిస్" కు చాలా పోలి ఉంటుంది. మనం ఇంకా ఈ సమస్యను అధ్యయనం చేయాలి, పునరాలోచించాలి మరియు పరిష్కరించాలి. మరియు పరిష్కారం అనంతమైన పెద్ద సంఖ్యలో కాదు, కానీ కొలత యూనిట్లలో వెతకాలి.

జెనో యొక్క మరొక ఆసక్తికరమైన అపోరియా ఎగిరే బాణం గురించి చెబుతుంది:

ఎగిరే బాణం కదలకుండా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ప్రతి క్షణం అది విశ్రాంతిగా ఉంటుంది మరియు ప్రతి క్షణం విశ్రాంతిగా ఉంటుంది కాబట్టి, అది ఎల్లప్పుడూ విశ్రాంతిగా ఉంటుంది.

ఈ అపోరియాలో, తార్కిక పారడాక్స్ చాలా సరళంగా అధిగమించబడుతుంది - ప్రతి క్షణంలో ఎగిరే బాణం అంతరిక్షంలో వేర్వేరు పాయింట్ల వద్ద విశ్రాంతిగా ఉందని స్పష్టం చేయడానికి సరిపోతుంది, ఇది వాస్తవానికి చలనం. ఇక్కడ మరో విషయం గమనించాలి. రహదారిపై ఉన్న కారు యొక్క ఒక ఛాయాచిత్రం నుండి దాని కదలిక యొక్క వాస్తవాన్ని లేదా దానికి దూరాన్ని గుర్తించడం అసాధ్యం. కారు కదులుతుందో లేదో తెలుసుకోవడానికి, మీకు ఒకే పాయింట్ నుండి తీసిన రెండు ఛాయాచిత్రాలు అవసరం విభిన్న క్షణాలుసమయం, కానీ వాటి నుండి దూరం నిర్ణయించబడదు. కారుకు దూరాన్ని నిర్ణయించడానికి, మీరు తీసిన రెండు ఛాయాచిత్రాలు అవసరం వివిధ పాయింట్లుఒక సమయంలో స్థలం, కానీ వాటి నుండి కదలిక వాస్తవాన్ని గుర్తించడం అసాధ్యం (సహజంగా, గణనల కోసం అదనపు డేటా ఇంకా అవసరం, త్రికోణమితి మీకు సహాయం చేస్తుంది). నేను ఏమి ఎత్తి చూపాలనుకుంటున్నాను ప్రత్యేక శ్రద్ధ, సమయం లో రెండు పాయింట్లు మరియు అంతరిక్షంలో రెండు పాయింట్లు గందరగోళానికి గురికాకూడదు, ఎందుకంటే అవి పరిశోధనకు విభిన్న అవకాశాలను అందిస్తాయి.

బుధవారం, జూలై 4, 2018

సెట్ మరియు మల్టీసెట్ మధ్య తేడాలు వికీపీడియాలో బాగా వివరించబడ్డాయి. చూద్దాం.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, “సమితిలో రెండు సారూప్య మూలకాలు ఉండకూడదు,” కానీ ఒక సెట్‌లో ఒకేలా మూలకాలు ఉంటే, అటువంటి సమితిని “మల్టీసెట్” అంటారు. సహేతుకమైన జీవులు ఇలాంటి అసంబద్ధ తర్కాన్ని ఎప్పటికీ అర్థం చేసుకోలేరు. ఇది స్థాయి మాట్లాడే చిలుకలుమరియు శిక్షణ పొందిన కోతులు, "పూర్తిగా" అనే పదం నుండి తెలివితేటలు లేవు. గణిత శాస్త్రవేత్తలు సాధారణ శిక్షకులుగా వ్యవహరిస్తారు, వారి అసంబద్ధమైన ఆలోచనలను మాకు బోధిస్తారు.

ఒకప్పుడు బ్రిడ్జిని టెస్టింగ్ చేస్తున్నప్పుడు బ్రిడ్జిని నిర్మించిన ఇంజనీర్లు బ్రిడ్జి కింద బోటులో ఉన్నారు. వంతెన కూలిపోతే, సాధారణ ఇంజనీర్ తన సృష్టి శిథిలాల కింద మరణించాడు. వంతెన భారాన్ని తట్టుకోగలిగితే, ప్రతిభావంతులైన ఇంజనీర్ ఇతర వంతెనలను నిర్మించారు.

గణిత శాస్త్రజ్ఞులు “స్క్రూ మి, ఐ యామ్ ఇన్ హౌస్” లేదా “గణిత అధ్యయనాల వెనుక ఎలా దాచినా నైరూప్య భావనలు", వాటిని వాస్తవికతతో విడదీయరాని విధంగా అనుసంధానించే బొడ్డు తాడు ఒకటి ఉంది. ఈ బొడ్డు తాడు డబ్బు. వర్తించు గణిత సిద్ధాంతంగణిత శాస్త్రజ్ఞులకే సెట్ చేస్తుంది.

గణితం బాగా చదివి ఇప్పుడు జీతాలు ఇస్తూ క్యాష్ రిజిస్టర్ దగ్గర కూర్చున్నాం. కాబట్టి ఒక గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు తన డబ్బు కోసం మన దగ్గరకు వస్తాడు. మేము అతనికి మొత్తం మొత్తాన్ని లెక్కించి, మా టేబుల్‌పై వేర్వేరు పైల్స్‌లో వేస్తాము, అందులో మేము అదే విలువ కలిగిన బిల్లులను ఉంచాము. అప్పుడు మేము ఒక్కో స్టాక్ నుండి ఒక బిల్లు తీసుకొని గణిత శాస్త్రజ్ఞుడికి అందజేస్తాము" గణిత సమితిజీతాలు." ఒకేలా మూలకాలు లేని సమితి ఒకే మూలకాలతో కూడిన సెట్‌తో సమానం కాదని అతను నిరూపించినప్పుడు మాత్రమే అతను మిగిలిన బిల్లులను స్వీకరిస్తాడని మేము గణితశాస్త్రానికి వివరిస్తాము. ఇక్కడే సరదా ప్రారంభమవుతుంది.

అన్నింటిలో మొదటిది, సహాయకుల తర్కం పని చేస్తుంది: "ఇది ఇతరులకు వర్తించవచ్చు, కానీ నాకు కాదు!" అప్పుడు వారు ఒకే డినామినేషన్‌కు చెందిన బిల్లులు వేర్వేరు బిల్లు నంబర్‌లను కలిగి ఉన్నాయని, అంటే వాటిని ఒకే మూలకాలుగా పరిగణించలేమని వారు మాకు భరోసా ఇవ్వడం ప్రారంభిస్తారు. సరే, జీతాలను నాణేలలో లెక్కిద్దాం - నాణేలపై సంఖ్యలు లేవు. ఇక్కడ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు భౌతిక శాస్త్రాన్ని పిచ్చిగా గుర్తుంచుకోవడం ప్రారంభిస్తాడు: వివిధ నాణేలపై ఉంది వివిధ పరిమాణాలుబురద, క్రిస్టల్ నిర్మాణంమరియు ప్రతి నాణెంలోని పరమాణువుల అమరిక ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది...

మరియు ఇప్పుడు నాకు చాలా ఉన్నాయి ఆసక్తికరమైన ప్రశ్న: మల్టీసెట్ యొక్క మూలకాలు సమితి యొక్క మూలకాలుగా మారే రేఖకు మించిన రేఖ ఎక్కడ ఉంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా? అటువంటి లైన్ ఉనికిలో లేదు - ప్రతిదీ షమన్లచే నిర్ణయించబడుతుంది, సైన్స్ ఇక్కడ అబద్ధం చెప్పడానికి కూడా దగ్గరగా లేదు.

ఇక్కడ చూడు. మేము అదే మైదాన ప్రాంతంతో ఫుట్‌బాల్ స్టేడియాలను ఎంచుకుంటాము. ఫీల్డ్‌ల ప్రాంతాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి - అంటే మనకు మల్టీసెట్ ఉంది. కానీ ఇవే స్టేడియాల పేర్లను పరిశీలిస్తే, పేర్లు వేర్వేరుగా ఉన్నందున, మనకు చాలా లభిస్తాయి. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఒకే మూలకాల సమితి ఒక సెట్ మరియు మల్టీసెట్ రెండూ. ఏది సరైనది? మరియు ఇక్కడ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు-షమన్-షార్పిస్ట్ తన స్లీవ్ నుండి ట్రంప్‌ల ఏస్‌ను బయటకు తీస్తాడు మరియు ఒక సెట్ లేదా మల్టీసెట్ గురించి మాకు చెప్పడం ప్రారంభిస్తాడు. ఏది ఏమైనప్పటికీ, అతను సరైనది అని మనల్ని ఒప్పిస్తాడు.

ఆధునిక షమన్లు ​​సెట్ సిద్ధాంతంతో ఎలా పనిచేస్తారో అర్థం చేసుకోవడానికి, దానిని వాస్తవికతతో ముడిపెట్టి, ఒక ప్రశ్నకు సమాధానం ఇస్తే సరిపోతుంది: ఒక సెట్ యొక్క మూలకాలు మరొక సెట్ యొక్క మూలకాల నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయి? "ఒకే మొత్తంగా ఊహించదగినది కాదు" లేదా "ఒకే మొత్తంగా ఊహించలేనిది" లేకుండా నేను మీకు చూపిస్తాను.

ఆదివారం, మార్చి 18, 2018

సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం టాంబురైన్‌తో షమన్ల నృత్యం, దీనికి గణితంతో సంబంధం లేదు. అవును, గణిత పాఠాలలో ఒక సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొని దానిని ఉపయోగించడం నేర్పించాము, కానీ అందుకే వారు షమన్లు, వారి వారసులకు వారి నైపుణ్యాలు మరియు జ్ఞానం నేర్పడానికి, లేకుంటే షమన్లు ​​చనిపోతారు.

మీకు రుజువు కావాలా? వికీపీడియాను తెరిచి, "సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం" పేజీని కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి. ఆమె ఉనికిలో లేదు. గణితంలో ఏదైనా సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి ఉపయోగించే సూత్రం లేదు. అన్ని తరువాత, సంఖ్యలు గ్రాఫిక్ చిహ్నాలు, మేము సంఖ్యలను వ్రాసే సహాయంతో మరియు గణిత శాస్త్ర భాషలో పని ఇలా ఉంటుంది: "ఏదైనా సంఖ్యను సూచించే గ్రాఫిక్ చిహ్నాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి." గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఈ సమస్యను పరిష్కరించలేరు, కానీ షామన్లు ​​దీన్ని సులభంగా చేయగలరు.

సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి మనం ఏమి మరియు ఎలా చేయాలో గుర్తించండి ఇచ్చిన సంఖ్య. కాబట్టి, మనము 12345 సంఖ్యను కలిగి ఉన్నాము. ఈ సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి ఏమి చేయాలి? క్రమంలో అన్ని దశలను పరిశీలిద్దాం.

1. ఒక కాగితంపై సంఖ్యను వ్రాయండి. ఏం చేశాం? మేము సంఖ్యను గ్రాఫికల్ సంఖ్య చిహ్నంగా మార్చాము. ఇది గణిత ఆపరేషన్ కాదు.

2. ఒక ఫలిత చిత్రాన్ని వ్యక్తిగత సంఖ్యలను కలిగి ఉన్న అనేక చిత్రాలుగా కత్తిరించండి. చిత్రాన్ని కత్తిరించడం గణిత ప్రక్రియ కాదు.

3. వ్యక్తిగత గ్రాఫిక్ చిహ్నాలను సంఖ్యలుగా మార్చండి. ఇది గణిత ఆపరేషన్ కాదు.

4. ఫలిత సంఖ్యలను జోడించండి. ఇప్పుడు ఇది గణితం.

12345 సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం 15. ఇవి గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఉపయోగించే షమన్లు ​​బోధించే "కటింగ్ మరియు కుట్టు కోర్సులు". అయితే అంతే కాదు.

గణిత కోణం నుండి, మనం ఏ సంఖ్య వ్యవస్థలో సంఖ్యను వ్రాస్తామో అది పట్టింపు లేదు. కాబట్టి, లో వివిధ వ్యవస్థలుకాలిక్యులస్‌లో, ఒకే సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం భిన్నంగా ఉంటుంది. గణితంలో, సంఖ్య వ్యవస్థ సంఖ్యకు కుడివైపున సబ్‌స్క్రిప్ట్‌గా సూచించబడుతుంది. తో పెద్ద సంఖ్యలో 12345 నేను నా తలని మోసం చేయకూడదనుకుంటున్నాను, గురించి కథనం నుండి 26 సంఖ్యను చూద్దాం. ఈ సంఖ్యను బైనరీ, ఆక్టల్, డెసిమల్ మరియు హెక్సాడెసిమల్ నంబర్ సిస్టమ్‌లలో వ్రాద్దాం. మేము మైక్రోస్కోప్ క్రింద ప్రతి అడుగును చూడము; ఫలితాన్ని చూద్దాం.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, వేర్వేరు సంఖ్య వ్యవస్థలలో ఒకే సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం భిన్నంగా ఉంటుంది. ఈ ఫలితానికి గణితానికి సంబంధం లేదు. మీరు ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యాన్ని మీటర్లు మరియు సెంటీమీటర్లలో నిర్ణయించినట్లయితే, మీరు పూర్తిగా భిన్నమైన ఫలితాలను పొందుతారు.

సున్నా అన్ని నంబర్ సిస్టమ్‌లలో ఒకేలా కనిపిస్తుంది మరియు అంకెల మొత్తం ఉండదు. ఈ వాస్తవం అనుకూలంగా మరొక వాదన. గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ప్రశ్న: గణితంలో సంఖ్య కానిది ఎలా సూచించబడుతుంది? ఏమిటి, గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు సంఖ్యలు తప్ప మరేమీ లేదు? నేను దీనిని షమన్ల కోసం అనుమతించగలను, కానీ శాస్త్రవేత్తల కోసం కాదు. వాస్తవికత కేవలం సంఖ్యలకు సంబంధించినది కాదు.

పొందిన ఫలితం సంఖ్య వ్యవస్థలు సంఖ్యల కొలత యూనిట్లు అని రుజువుగా పరిగణించాలి. అన్నింటికంటే, మేము సంఖ్యలను పోల్చలేము వివిధ యూనిట్లుకొలతలు. ఒకే పరిమాణంలోని వివిధ యూనిట్ల కొలతలతో ఒకే చర్యలు వాటిని పోల్చిన తర్వాత వేర్వేరు ఫలితాలకు దారితీస్తే, దీనికి గణితంతో సంబంధం లేదు.

అసలు గణితం అంటే ఏమిటి? ఇది ఎప్పుడు ఫలితం గణిత ఆపరేషన్సంఖ్య పరిమాణం, ఉపయోగించిన కొలత యూనిట్ మరియు చర్య ఎవరు చేస్తారు అనే దానిపై ఆధారపడి ఉండదు.

తలుపు మీద సంతకం చేయండి అతను తలుపు తెరిచి ఇలా అంటాడు:

ఓ! ఇది మహిళల విశ్రాంతి గది కాదా?
- యువతి! ఆత్మలు స్వర్గానికి ఆరోహణ సమయంలో వారి పవిత్రత గురించి అధ్యయనం చేయడానికి ఇది ఒక ప్రయోగశాల! పైన హాలో మరియు పైకి బాణం. ఏ ఇతర టాయిలెట్?

ఆడది... పైన ఉన్న హాలో మరియు క్రింది బాణం మగ.

అలాంటి డిజైన్ ఆర్ట్ పని రోజుకు చాలాసార్లు మీ కళ్ళ ముందు మెరుస్తూ ఉంటే,

అప్పుడు మీరు మీ కారులో అకస్మాత్తుగా వింత చిహ్నాన్ని కనుగొనడంలో ఆశ్చర్యం లేదు:

వ్యక్తిగతంగా, నేను పూపింగ్ వ్యక్తిలో మైనస్ నాలుగు డిగ్రీలను చూడడానికి ప్రయత్నిస్తాను (ఒక చిత్రం) (అనేక చిత్రాల కూర్పు: మైనస్ గుర్తు, సంఖ్య నాలుగు, డిగ్రీల హోదా). మరియు ఈ అమ్మాయి తెలివితక్కువదని నేను అనుకోను, లేదు భౌతిక శాస్త్రంలో పరిజ్ఞానం కలవాడు. ఆమె కేవలం అవగాహన యొక్క ఆర్చ్ స్టీరియోటైప్‌ను కలిగి ఉంది గ్రాఫిక్ చిత్రాలు. మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీనిని మనకు ఎప్పటికప్పుడు బోధిస్తారు. ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ.

1A అనేది “మైనస్ నాలుగు డిగ్రీలు” లేదా “ఒకటి a” కాదు. ఇది హెక్సాడెసిమల్ సంజ్ఞామానంలో "పూపింగ్ మ్యాన్" లేదా "ఇరవై ఆరు" సంఖ్య. ఈ నంబర్ సిస్టమ్‌లో నిరంతరం పనిచేసే వ్యక్తులు స్వయంచాలకంగా ఒక సంఖ్య మరియు అక్షరాన్ని ఒక గ్రాఫిక్ చిహ్నంగా గ్రహిస్తారు.