(HISABATI KATIKA UCHUMI)
Mtengano wa Vector
Mtengano wa Vector A ndani ya vipengele - operesheni ya uingizwaji wa vector A vekta zingine kadhaa ab a2, a3, n.k., ambazo zinapoongezwa fomu vekta ya awali A; katika kesi hii, vectors db a2, a3, nk huitwa vipengele vya vector A. Kwa maneno mengine, mtengano wa yoyote ...(FIZIA)
Msingi na kiwango cha mfumo wa vector
Fikiria mfumo wa vekta (1.18) Mfumo mdogo wa kujitegemea wa mfumo wa vector(1.I8) ni seti ya sehemu ya vekta za mfumo huu ambayo inakidhi masharti mawili: 1) vekta za seti hii ni huru kwa mstari; 2) vekta yoyote ya mfumo (1.18) inaonyeshwa kwa mstari kupitia vekta za seti hii....(HISABATI KATIKA UCHUMI)
Uwakilishi wa Vekta ndani mifumo tofauti kuratibu
Wacha tuchunguze mifumo miwili ya kuratibu ya mstatili wa orthogonal na seti za vekta za kitengo (i, j, k) na (i j", k") na kuwakilisha vekta ndani yao. Wacha tufikirie kawaida kuwa veta za kitengo zilizo na primes zinahusiana mifumo mipya e kuratibu, na bila viboko - zamani. Wacha tufikirie vekta katika mfumo wa upanuzi kando ya shoka za mifumo ya zamani na mpya ...Mtengano wa vekta katika msingi wa orthogonal
Fikiria msingi wa nafasi Rn, ambayo kila vector ni orthogonal kwa vectors nyingine msingi: Misingi ya Orthogonal inajulikana na inawakilishwa vizuri kwenye ndege na katika nafasi (Mchoro 1.6). Misingi ya aina hii ni rahisi kimsingi kwa sababu kuratibu za upanuzi wa vekta ya kiholela imedhamiriwa ...(HISABATI KATIKA UCHUMI)
Vekta na uwakilishi wao katika mifumo ya kuratibu
Dhana ya vector inahusishwa na fulani kiasi cha kimwili, ambazo zinajulikana na ukubwa wao (ukubwa) na mwelekeo katika nafasi. Kiasi kama hicho ni, kwa mfano, nguvu inayofanya kazi mwili wa nyenzo, kasi ya hatua fulani ya mwili huu, kuongeza kasi ya chembe ya nyenzo ...(MITAMBO ENDELEVU: NADHARIA YA STRESS NA MIFANO YA MSINGI)
Uwakilishi rahisi zaidi wa uchanganuzi wa chaguo la kukokotoa la duaradufu kiholela
Uwakilishi wa kitendakazi cha duaradufu kama jumla ya vipengele rahisi zaidi. Acha / (z) ni kazi ya duaradufu ya mpangilio s yenye miti rahisi jjt, $s, amelazwa katika usawa wa vipindi. Kuashiria kwa Bk kutoa chaguo la kukokotoa kwa heshima na nguzo, tunayo 2 ?l = 0 (§ 1, aya ya 3, nadharia...(UTANGULIZI WA NADHARIA YA KAZI ZA KIGEUZI TATA)
Msingi wa nafasi wanaita mfumo kama huo wa vekta ambayo vekta zingine zote kwenye angani zinaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta zilizojumuishwa kwenye msingi.
Katika mazoezi, hii yote inatekelezwa kwa urahisi kabisa. Msingi, kama sheria, huangaliwa kwenye ndege au angani, na kwa hili unahitaji kupata kiashiria cha matrix ya pili, ya tatu inayojumuisha kuratibu za vekta. Hapo chini zimeandikwa kimkakati hali ambayo veta huunda msingi
Kwa kupanua vekta b katika vekta za msingi
e,e...,e[n] ni muhimu kupata viambajengo x, ..., x[n] ambavyo mchanganyiko wake wa mstari wa vekta e,e...,e[n] ni sawa na vekta b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Kwa hii; kwa hili mlinganyo wa vekta inapaswa kugeuzwa kuwa mfumo wa milinganyo ya mstari na masuluhisho yaliyopatikana. Hii pia ni rahisi sana kutekeleza.
Migawo iliyopatikana x, ..., x[n] inaitwa kuratibu za vector b katika msingi e, e..., e[n].
Hebu tuendelee kwenye upande wa vitendo wa mada.
Mtengano wa vekta katika vekta za msingi
Jukumu la 1. Angalia ikiwa vekta a1, a2 zinaunda msingi kwenye ndege
1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Suluhisho: Tunaunda kiashiria kutoka kwa kuratibu za vekta na kuhesabu
Kiamuzi sio sawa na sifuri
, kwa hivyo vectors ni linearly kujitegemea, ambayo ina maana wao kuunda msingi.
2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Suluhisho: Tunahesabu kibainishi kinachoundwa na vekta 
Kiashiria ni sawa na 13 (sio sawa na sifuri) - kutoka kwa hii inafuata kwamba vectors a1, a2 ni msingi kwenye ndege.
---=================---
Wacha tuangalie mifano ya kawaida kutoka kwa mpango wa MAUP katika taaluma "Hisabati ya Juu".
Jukumu la 2. Onyesha kwamba vekta a1, a2, a3 huunda msingi wa nafasi ya vekta yenye mwelekeo-tatu, na upanue vekta b kulingana na msingi huu (wakati wa kutatua mfumo wa mstari. milinganyo ya algebra tumia njia ya Cramer).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Suluhisho: Kwanza, fikiria mfumo wa vekta a1, a2, a3 na uangalie kibainishi cha matrix A.
imejengwa kwenye veta zisizo za sifuri. Matrix ina kipengele kimoja cha sifuri, kwa hivyo inafaa zaidi kukokotoa kibainishi kama ratiba katika safu wima ya kwanza au safu mlalo ya tatu. 
Kama matokeo ya mahesabu, tuligundua kuwa kiashiria ni tofauti na sifuri, kwa hivyo vekta a1, a2, a3 zinajitegemea kimstari.
Kwa ufafanuzi, vekta huunda msingi katika R3. Wacha tuandike ratiba ya vekta b kulingana na 
Vekta ni sawa wakati kuratibu zao zinazolingana ni sawa.
Kwa hiyo, kutoka kwa equation ya vector tunapata mfumo wa usawa wa mstari 
Wacha tusuluhishe SLAE Njia ya Cramer. Ili kufanya hivyo, tunaandika mfumo wa equations katika fomu
Kiamuzi kikuu SLAE daima ni sawa na kibainishi kinachoundwa na vekta za msingi
Kwa hiyo, katika mazoezi haihesabiwi mara mbili. Ili kupata viambishi saidizi, tunaweka safu wima ya istilahi zisizolipishwa badala ya kila safu ya kibainishi kikuu. Viamuzi vinahesabiwa kwa kutumia utawala wa pembetatu 
Wacha tubadilishe vibainishi vilivyopatikana kwenye fomula ya Cramer 
Kwa hivyo, upanuzi wa vector b kwa misingi ya msingi una fomu b=-4a1+3a2-a3. Kuratibu za vector b katika msingi a1, a2, a3 itakuwa (-4,3, 1).
2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Suluhisho: Tunaangalia veta kwa msingi - tunaunda kiashiria kutoka kwa kuratibu za veta na kuhesabu. 
Kiamuzi si sawa na sifuri, kwa hivyo vekta huunda msingi katika nafasi. Inabakia kupata ratiba ya vector b kupitia msingi huu. Ili kufanya hivyo, tunaandika equation ya vector 
na kubadilisha hadi mfumo wa milinganyo ya mstari 
Hebu tuandike mlinganyo wa matrix
Ifuatayo, kwa fomula za Cramer tunapata viambishi saidizi 
Tunatumia fomula za Cramer 
Hivyo kwa vector iliyotolewa na b ina ratiba kupitia vekta mbili za msingi b=-2a1+5a3, na kuratibu zake kwa msingi ni sawa na b(-2,0, 5).
Katika calculus vector na matumizi yake umuhimu mkubwa ina kazi ya mtengano inayojumuisha kuwakilisha vekta fulani kama jumla ya vekta kadhaa zinazoitwa vipengele vya fulani.
vekta. Kazi hii, ambayo ina kesi ya jumla idadi isiyo na kikomo ya suluhisho, inakuwa dhahiri kabisa ikiwa utataja baadhi ya vipengele vya vekta za sehemu.
2. Mifano ya mtengano.
Wacha tuchunguze kesi kadhaa za kawaida za mtengano.
1. Tengeneza vekta c uliyopewa ndani ya vekta mbili za sehemu ambayo moja, kwa mfano a, imetolewa kwa ukubwa na mwelekeo.
Shida inakuja kuamua tofauti kati ya vekta mbili. Hakika, ikiwa vekta ni vipengele vya vector c, basi usawa lazima utimizwe
Kutoka hapa vector ya sehemu ya pili imedhamiriwa
2. Tengeneza vekta c uliyopewa katika sehemu mbili, moja ambayo lazima iwe ndani kupewa ndege na ya pili lazima ilale kwenye mstari uliotolewa a.
Kuamua vectors ya sehemu, tunasonga vector c ili mwanzo wake ufanane na hatua ya makutano ya mstari wa moja kwa moja uliopewa na ndege (kumweka O - tazama Mchoro 18). Kutoka mwisho wa vector c (kumweka C) tunatoa mstari wa moja kwa moja kwa
makutano na ndege (B ndio mahali pa makutano), na kisha kutoka kwa hatua C tunachora mstari wa moja kwa moja sambamba.
Vectors na zitakuwa zinazohitajika, yaani, kwa kawaida, upanuzi ulioonyeshwa unawezekana ikiwa mstari wa moja kwa moja a na ndege hazifanani.
3. Kupewa tatu vekta ya coplanar a, b na c, na vekta si collinear. Inahitajika kutenganisha vekta c ndani ya vekta
Wacha tulete vekta zote tatu zilizopewa kwa hatua moja O. Kisha, kwa sababu ya ushirikiano wao, watakuwa kwenye ndege moja. Kutumia vector hii c kama diagonal, tutajenga parallelogram, ambayo pande zake ni sawa na mistari ya hatua ya vectors (Mchoro 19). Ujenzi huu unawezekana kila wakati (isipokuwa vekta ni collinear) na ya kipekee. Kutoka Mtini. 19 ni wazi kwamba
Utegemezi wa mstari na uhuru wa mstari wa vekta.
Msingi wa vectors. Mfumo wa kuratibu wa Affine
Kuna mkokoteni ulio na chokoleti kwenye ukumbi, na kila mgeni leo atapata wanandoa watamu - jiometri ya uchanganuzi na algebra ya mstari. Nakala hii itashughulikia sehemu mbili mara moja. hisabati ya juu, na tutaona jinsi wanavyopatana katika kanga moja. Pumzika, kula Twix! ...jamani, ni upuuzi ulioje. Ingawa, sawa, sitafunga, mwishowe, unapaswa kuwa na mtazamo mzuri kuelekea kusoma.
Utegemezi wa mstari wa vekta, linear vector uhuru, msingi wa vekta na maneno mengine sio tu tafsiri ya kijiometri, lakini, juu ya yote, maana ya algebraic. Dhana yenyewe ya "vector" kutoka kwa mtazamo algebra ya mstari- hii sio vekta "ya kawaida" ambayo tunaweza kuonyesha kwenye ndege au angani. Huna haja ya kuangalia mbali kwa uthibitisho, jaribu kuchora vector ya nafasi ya tano-dimensional 
. Au vector ya hali ya hewa, ambayo nilikwenda tu kwa Gismeteo kwa: - joto na Shinikizo la anga kwa mtiririko huo. Mfano, kwa kweli, sio sahihi kutoka kwa mtazamo wa mali ya nafasi ya vekta, lakini, hata hivyo, hakuna mtu anayekataza kurasimisha vigezo hivi kama vekta. Pumzi ya vuli ...
Hapana, sitakuchosha na nadharia, nafasi za vekta za mstari, kazi ni kufanya kuelewa ufafanuzi na nadharia. Masharti mapya (utegemezi wa mstari, uhuru, mchanganyiko wa mstari, msingi, nk.) hutumika kwa vekta zote kutoka kwa mtazamo wa aljebra, lakini mifano ya kijiometri itatolewa. Hivyo, kila kitu ni rahisi, kupatikana na wazi. Zaidi ya majukumu jiometri ya uchambuzi tutaangalia baadhi kazi za kawaida algebra Ili kujua nyenzo, inashauriwa kujijulisha na masomo Vectors kwa dummies Na Jinsi ya kuhesabu kiashiria?
Utegemezi wa mstari na uhuru wa vekta za ndege.
Msingi wa ndege na mfumo wa kuratibu wa ushirika
Fikiria ndege yako dawati la kompyuta(meza tu, meza ya kando ya kitanda, sakafu, dari, chochote unachopenda). Kazi itakuwa na vitendo vifuatavyo:
1) Chagua msingi wa ndege. Kwa kusema, meza ya meza ina urefu na upana, kwa hivyo ni angavu kwamba vekta mbili zitahitajika kuunda msingi. Vekta moja haitoshi, vekta tatu ni nyingi sana.
2) Kulingana na msingi uliochaguliwa weka mfumo wa kuratibu(kuratibu gridi ya taifa) kugawa viwianishi kwa vitu vyote vilivyo kwenye jedwali.
Usistaajabu, kwa mara ya kwanza maelezo yatakuwa kwenye vidole. Zaidi ya hayo, juu yako. Tafadhali weka kidole cha shahada cha kushoto kwenye makali ya meza ya meza ili aangalie kufuatilia. Hii itakuwa vekta. Sasa mahali kidole kidogo mkono wa kulia
kwenye makali ya meza kwa njia ile ile - ili ielekezwe kwenye skrini ya kufuatilia. Hii itakuwa vekta. Tabasamu, unaonekana mzuri! Tunaweza kusema nini kuhusu vekta? Vekta za data colinear, inamaanisha mstari walionyesha kupitia kila mmoja:
, vizuri, au kinyume chake: , nambari fulani iko wapi tofauti na sifuri.
Unaweza kuona picha ya kitendo hiki darasani. Vectors kwa dummies, ambapo nilielezea sheria ya kuzidisha vekta kwa nambari.
Je! vidole vyako vitaweka msingi kwenye ndege ya dawati la kompyuta? Ni wazi sivyo. Vekta za Collinear husafiri na kurudi kote peke yake mwelekeo, na ndege ina urefu na upana.
Vectors vile huitwa tegemezi kwa mstari.
Rejeleo: Maneno "mstari", "mstari" yanaashiria ukweli kwamba katika milinganyo ya hisabati, misemo haina miraba, cubes, nguvu nyingine, logarithms, sines, nk. Kuna maneno na vitegemezi vya mstari (shahada ya 1).
Vekta mbili za ndege tegemezi kwa mstari ikiwa na tu ikiwa ni colinear.
Vunja vidole vyako kwenye meza ili kuwe na pembe yoyote kati yao isipokuwa digrii 0 au 180. Vekta mbili za ndegemstari Sivyo tegemezi ikiwa na tu ikiwa sio collinear. Kwa hivyo, msingi unapatikana. Hakuna haja ya kuwa na aibu kwamba msingi uligeuka kuwa "kupotoshwa" na vectors zisizo za perpendicular za urefu tofauti. Hivi karibuni tutaona kwamba sio tu pembe ya digrii 90 inafaa kwa ajili ya ujenzi wake, na si tu vekta za kitengo cha urefu sawa.
Yoyote vekta ya ndege njia pekee Inapanuliwa kulingana na msingi: 
, nambari halisi ziko wapi. Nambari zinaitwa kuratibu za vector V kwa msingi huu.
Pia inasemekana kuwa vektailiyowasilishwa kama mchanganyiko wa mstari vekta za msingi. Hiyo ni, usemi unaitwa mtengano wa vektakwa msingi au mchanganyiko wa mstari vekta za msingi.
Kwa mfano, tunaweza kusema kwamba vekta imetenganishwa kwa msingi wa kawaida wa ndege, au tunaweza kusema kuwa inawakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta.
Hebu tutengeneze ufafanuzi wa msingi rasmi: Msingi wa ndege inaitwa jozi ya vekta zinazojitegemea (zisizo za collinear), , ambapo yoyote vekta ya ndege ni mchanganyiko wa mstari wa vekta za msingi.
Jambo muhimu la ufafanuzi ni ukweli kwamba vekta huchukuliwa V kwa utaratibu fulani
. Misingi 
- hizi ni misingi miwili tofauti kabisa! Kama wanasema, huwezi kuchukua nafasi ya kidole kidogo cha mkono wako wa kushoto badala ya kidole kidogo cha mkono wako wa kulia.
Tumegundua msingi, lakini haitoshi kuweka gridi ya kuratibu na kugawa kuratibu kwa kila kitu kwenye dawati la kompyuta yako. Kwa nini haitoshi? Vekta ni bure na hutangatanga katika ndege nzima. Kwa hivyo unagawaje viwianishi kwa sehemu hizo ndogo chafu kwenye meza zilizosalia kutoka wikendi ya porini? Hatua ya kuanzia inahitajika. Na alama kama hiyo ni jambo linalojulikana kwa kila mtu - asili ya kuratibu. Wacha tuelewe mfumo wa kuratibu:
Nitaanza na mfumo wa "shule". Tayari katika somo la utangulizi Vectors kwa dummies Niliangazia tofauti kadhaa kati ya mfumo wa kuratibu wa mstatili na msingi wa kawaida. Hapa kuna picha ya kawaida:
Wanapozungumza mfumo wa kuratibu wa mstatili, basi mara nyingi wanamaanisha asili ya kuratibu, kuratibu shoka na kupima kando ya shoka. Jaribu kuandika "mfumo wa kuratibu wa mstatili" kwenye injini ya utafutaji, na utaona kwamba vyanzo vingi vitakuambia kuhusu shoka za kuratibu zinazojulikana kutoka daraja la 5-6 na jinsi ya kupanga pointi kwenye ndege.
Kwa upande mwingine, inaonekana hivyo mfumo wa mstatili kuratibu zinaweza kuamuliwa kabisa kupitia msingi wa kawaida. Na hiyo ni karibu kweli. Maneno yanasikika kwa njia ifuatayo:
asili, Na ya kawaida msingi umewekwa Mfumo wa kuratibu ndege ya mstatili wa Cartesian . Hiyo ni, mfumo wa kuratibu wa mstatili hakika inafafanuliwa na nukta moja na vekta mbili za othogonal za kitengo. Ndio maana unaona mchoro ambao nilitoa hapo juu - ndani matatizo ya kijiometri Mara nyingi (lakini sio kila wakati) vekta zote mbili na shoka za kuratibu huchorwa.
Nadhani kila mtu anaelewa hilo kwa kutumia nukta (asili) na msingi wa kawaida POINT YOYOTE kwenye ndege na VECTOR YOYOTE kwenye ndege kuratibu zinaweza kupewa. Kwa njia ya kitamathali, “kila kitu kwenye ndege kinaweza kuhesabiwa.”
Je, ni wajibu kuratibu vekta kutengwa? Hapana, zinaweza kuwa na urefu wa kiholela usio na sifuri. Fikiria hoja na mbili vector ya orthogonal urefu usio na sifuri wa kiholela:
Msingi kama huo unaitwa ya orthogonal. Asili ya kuratibu na vectors hufafanuliwa na gridi ya kuratibu, na hatua yoyote kwenye ndege, vector yoyote ina kuratibu zake kwa msingi fulani. Kwa mfano, au. Usumbufu dhahiri ni kwamba kuratibu vekta kwa ujumla kuwa na urefu tofauti tofauti na umoja. Ikiwa urefu ni sawa na umoja, basi msingi wa kawaida wa kawaida unapatikana.
! Kumbuka : kwa msingi wa orthogonal, na vile vile chini katika besi za ndege na nafasi, vitengo kando ya shoka vinazingatiwa. YENYE MASHARTI. Kwa mfano, kitengo kimoja kando ya mhimili wa x kina 4 cm, kitengo kimoja kando ya mhimili wa kuratibu kina cm 2. Taarifa hii inatosha, ikiwa ni lazima, kubadilisha kuratibu "zisizo za kawaida" kuwa "sentimita zetu za kawaida".
Na swali la pili, ambalo tayari limejibiwa, ni ikiwa pembe kati ya vekta za msingi lazima iwe sawa na digrii 90? Hapana! Kama ufafanuzi unavyosema, veta za msingi lazima ziwe tu isiyo ya collinear. Ipasavyo, pembe inaweza kuwa chochote isipokuwa digrii 0 na 180.
Hoja kwenye ndege iliita asili, Na yasiyo ya collinear vekta, , seti mfumo wa kuratibu ndege :
Wakati mwingine mfumo kama huo wa kuratibu huitwa oblique mfumo. Kama mifano, mchoro unaonyesha alama na vekta: 
Kama unavyoelewa, mfumo wa kuratibu wa ushirika sio rahisi sana; fomula za urefu wa vekta na sehemu, ambazo tulijadili katika sehemu ya pili ya somo, hazifanyi kazi ndani yake. Vectors kwa dummies, fomula nyingi za kupendeza zinazohusiana na bidhaa ya scalar ya vekta. Lakini sheria za kuongeza vekta na kuzidisha vekta kwa nambari, fomula za kugawa sehemu katika uhusiano huu, na pia aina zingine za shida ambazo tutazingatia hivi karibuni ni halali.
Na hitimisho ni kwamba kesi maalum inayofaa zaidi ya mfumo wa kuratibu wa ushirika ni mfumo wa mstatili wa Cartesian. Ndio maana mara nyingi lazima umwone, mpendwa wangu. ...Hata hivyo, kila kitu katika maisha haya ni jamaa - kuna hali nyingi ambazo angle ya oblique (au nyingine, kwa mfano, polar) mfumo wa kuratibu. Na humanoids inaweza kupenda mifumo kama hii =)
Wacha tuendelee kwenye sehemu ya vitendo. Shida zote katika somo hili ni halali kwa mfumo wa kuratibu wa mstatili na kwa kesi ya jumla ya ushirika. Hakuna chochote ngumu hapa; nyenzo zote zinapatikana hata kwa mtoto wa shule.
Jinsi ya kuamua collinearity ya veta za ndege?
Jambo la kawaida. Ili kwa vectors mbili za ndege 
walikuwa collinear, ni muhimu na ya kutosha kwamba kuratibu zao sambamba ziwe sawia Kimsingi, hii ni maelezo ya kuratibu-na-kuratibu ya uhusiano dhahiri.
Mfano 1
a) Angalia ikiwa vekta ni collinear 
.
b) Je, vekta huunda msingi? 
?
Suluhisho:
a) Wacha tujue ikiwa kuna vekta 
mgawo wa uwiano, ili kwamba usawa utimizwe: 
Kwa hakika nitakuambia kuhusu toleo la "foppish" la kutumia sheria hii, ambayo inafanya kazi vizuri kabisa katika mazoezi. Wazo ni kutengeneza sehemu hiyo mara moja na kuona ikiwa ni sahihi:
Wacha tufanye sehemu kutoka kwa uwiano wa kuratibu zinazolingana za veta:
Hebu tufupishe:
, kwa hivyo viwianishi vinavyolingana ni sawia, kwa hivyo,
Uhusiano unaweza kufanywa kwa njia nyingine kote; hii ni chaguo sawa:
Kwa majaribio ya kibinafsi, unaweza kutumia ukweli kwamba vekta za collinear zinaonyeshwa kwa mstari kupitia kila mmoja. KATIKA kwa kesi hii kuna usawa 
. Uhalali wao unaweza kuthibitishwa kwa urahisi kupitia shughuli za kimsingi na vekta: 
b) Vekta mbili za ndege huunda msingi ikiwa sio collinear (zinazojitegemea mstari). Tunachunguza vekta kwa collinearity 
. Wacha tutengeneze mfumo: 
Kutoka kwa equation ya kwanza inafuata kwamba , kutoka kwa equation ya pili inafuata kwamba , ambayo ina maana mfumo hauendani(hakuna masuluhisho). Kwa hivyo, kuratibu zinazofanana za vekta sio sawia.
Hitimisho: vekta zinajitegemea kwa mstari na huunda msingi.
Toleo lililorahisishwa la suluhisho linaonekana kama hii:
Wacha tufanye sehemu kutoka kwa kuratibu zinazolingana za veta 
:
, ambayo ina maana kwamba vekta hizi zinajitegemea kimstari na huunda msingi.
Kawaida chaguo hili halijakataliwa na wakaguzi, lakini shida hutokea katika hali ambapo baadhi ya kuratibu ni sawa na sifuri. Kama hii: 
. Au kama hii: 
. Au kama hii: 
. Jinsi ya kufanya kazi kwa uwiano hapa? (kwa kweli, huwezi kugawanya kwa sifuri). Ni kwa sababu hii kwamba niliita suluhisho lililorahisishwa "foppish".
Jibu: a) b) fomu.
Ndogo mfano wa ubunifu Kwa uamuzi wa kujitegemea:
Mfano 2
Kwa thamani gani ya parameta ni vekta 
watakuwa colinear?
Katika suluhisho la sampuli, parameter hupatikana kwa njia ya uwiano.
Kuna njia maridadi ya aljebra ya kuangalia vekta kwa collinearity. Hebu tupange maarifa yetu na tuyaongeze kama nukta ya tano:
Kwa vekta mbili za ndege taarifa zifuatazo ni sawa:
2) vectors huunda msingi;
3) vectors si collinear;
+ 5) kiambishi kinachoundwa na viwianishi vya vekta hizi ni nonzero.
Kwa mtiririko huo, kauli zifuatazo kinyume ni sawa:
1) vekta hutegemea mstari;
2) vectors hazifanyi msingi;
3) vectors ni collinear;
4) vekta zinaweza kuonyeshwa kwa mstari kupitia kila mmoja;
+ 5) kiambishi kinachojumuisha kuratibu za vekta hizi ni sawa na sifuri.
Mimi kwa kweli, kwa kweli matumaini kwamba wakati huu tayari unaelewa masharti na kauli zote unazokutana nazo.
Wacha tuangalie kwa karibu nukta mpya, ya tano: vekta mbili za ndege 
ni collinear ikiwa na tu ikiwa kibainishi kinachojumuisha viwianishi vya vekta zilizopewa ni sawa na sifuri.:. Ili kutumia kipengele hiki, bila shaka, unahitaji kuwa na uwezo tafuta viashiria.
Hebu tuamue Mfano 1 kwa njia ya pili:
a) Wacha tuhesabu kiashiria kinachoundwa na kuratibu za vekta 
:
, ambayo ina maana kwamba vekta hizi ni collinear.
b) Vekta mbili za ndege huunda msingi ikiwa sio collinear (zinazojitegemea mstari). Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na kuratibu za vekta 
:
, ambayo inamaanisha kuwa vekta zinajitegemea kimstari na huunda msingi.
Jibu: a) b) fomu.
Inaonekana kuwa ngumu zaidi na nzuri zaidi kuliko suluhisho na idadi.
Kwa msaada wa nyenzo zinazozingatiwa, inawezekana kuanzisha sio tu collinearity ya vectors, lakini pia kuthibitisha usawa wa makundi na mistari ya moja kwa moja. Hebu fikiria matatizo kadhaa na maumbo maalum ya kijiometri.
Mfano 3
Vipeo vya quadrilateral vinatolewa. Thibitisha kwamba quadrilateral ni parallelogram.
Ushahidi: Hakuna haja ya kuunda mchoro kwenye shida, kwani suluhisho litakuwa la uchambuzi tu. Hebu tukumbuke ufafanuzi wa parallelogram:
Parallelogram
Upande wa nne ambao pande zake kinyume ni sambamba katika jozi inaitwa.
Kwa hivyo, ni muhimu kuthibitisha:
1) usawa wa pande tofauti na;
2) usawa wa pande tofauti na.
Tunathibitisha:
1) Tafuta vekta: 
2) Tafuta vekta: 
Matokeo yake ni vekta sawa ("mtindo wa shule" - vectors sawa) Collinearity ni dhahiri kabisa, lakini ni bora kurasimisha uamuzi wazi, kwa mpangilio. Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na kuratibu za vekta: 
, ambayo ina maana kwamba vekta hizi ni collinear, na .
Hitimisho: Pande zinazopingana quadrilaterals ni sambamba katika jozi, ambayo ina maana kwamba ni paralelogram kwa ufafanuzi. Q.E.D.
Takwimu zaidi nzuri na tofauti:
Mfano 4
Vipeo vya quadrilateral vinatolewa. Thibitisha kuwa quadrilateral ni trapezoid.
Kwa uundaji mkali zaidi wa uthibitisho, ni bora, bila shaka, kupata ufafanuzi wa trapezoid, lakini inatosha kukumbuka tu jinsi inavyoonekana.
Hii ni kazi kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili mwishoni mwa somo.
Na sasa ni wakati wa kuondoka polepole kutoka kwa ndege kwenda angani:
Jinsi ya kuamua collinearity ya veta za nafasi?
Kanuni inafanana sana. Ili vekta mbili za nafasi ziwe collinear, ni muhimu na ya kutosha kwamba kuratibu zao zinazolingana ziwe sawia..
Mfano 5
Jua ikiwa vekta za nafasi zifuatazo ni collinear:
A);
b)
V) 
Suluhisho:
a) Wacha tuangalie ikiwa kuna mgawo wa uwiano wa kuratibu zinazolingana za vekta:
Mfumo hauna suluhisho, ambayo inamaanisha kuwa vekta sio collinear.
"Kilichorahisishwa" kinarasimishwa kwa kuangalia uwiano. Kwa kesi hii:
- viwianishi vinavyolingana havilingani, ambayo inamaanisha kuwa vekta sio collinear.
Jibu: vekta si collinear.
b-c) Hizi ni hoja za uamuzi huru. Jaribu kwa njia mbili.
Kuna njia ya kuangalia vekta za anga kwa collinearity kupitia kibainishi cha mpangilio wa tatu, njia hii kufunikwa katika makala Bidhaa ya Vector ya vekta.
Sawa na kesi ya ndege, zana zinazozingatiwa zinaweza kutumika kujifunza usawa wa sehemu za anga na mistari ya moja kwa moja.
Karibu katika sehemu ya pili:
Utegemezi wa mstari na uhuru wa vekta katika nafasi ya tatu-dimensional.
Msingi wa anga na mfumo wa kuratibu wa ushirika
Miundo mingi ambayo tulichunguza kwenye ndege itakuwa halali kwa nafasi. Nilijaribu kupunguza maelezo ya nadharia kwa sababu sehemu ya simba habari tayari zimetafunwa. Walakini, ninapendekeza usome sehemu ya utangulizi kwa uangalifu, kwani maneno na dhana mpya zitaonekana.
Sasa, badala ya ndege ya dawati la kompyuta, tunachunguza nafasi ya tatu-dimensional. Kwanza, hebu tujenge msingi wake. Mtu sasa yuko ndani ya nyumba, mtu yuko nje, lakini kwa hali yoyote, hatuwezi kuepuka vipimo vitatu: upana, urefu na urefu. Kwa hiyo, kujenga msingi itachukua tatu vekta za anga. Vector moja au mbili haitoshi, ya nne ni superfluous.
Na tena tuna joto kwenye vidole vyetu. Tafadhali inua mkono wako juu na kuutandaza pande tofauti kidole gumba, index na kidole cha kati . Hizi zitakuwa vectors, zinaonekana kwa njia tofauti, zina urefu tofauti na kuwa na pembe tofauti kati yao wenyewe. Hongera, msingi wa nafasi ya tatu-dimensional iko tayari! Kwa njia, hakuna haja ya kuonyesha hii kwa waalimu, haijalishi unapotosha vidole vyako kwa bidii, lakini hakuna kutoroka kutoka kwa ufafanuzi =)
Ifuatayo, tuulize suala muhimu, fanya vekta tatu ziwe msingi nafasi tatu-dimensional ? Tafadhali bonyeza vidole vitatu kwa nguvu kwenye sehemu ya juu ya dawati la kompyuta. Nini kimetokea? Vectors tatu ziko katika ndege moja, na, takribani kusema, tumepoteza moja ya vipimo - urefu. Vectors vile ni coplanar na, ni dhahiri kabisa kwamba msingi wa nafasi tatu-dimensional haijaundwa.
Ikumbukwe kwamba vekta za coplanar sio lazima zilala kwenye ndege moja; zinaweza kuwa ndani. ndege sambamba(tu usifanye hivi kwa vidole vyako, Salvador Dali pekee ndiye aliyeondoa njia hii =)).
Ufafanuzi: vekta huitwa coplanar, ikiwa kuna ndege ambayo wao ni sambamba. Ni busara kuongeza hapa kwamba ikiwa ndege kama hiyo haipo, basi vekta hazitakuwa coplanar.
Vekta tatu za coplanar daima hutegemea mstari, yaani, zinaonyeshwa kwa mstari kupitia kila mmoja. Kwa unyenyekevu, hebu tufikirie tena kwamba wamelala katika ndege moja. Kwanza, vekta sio coplanar tu, zinaweza pia kuwa collinear, basi vekta yoyote inaweza kuonyeshwa kupitia vekta yoyote. Katika kesi ya pili, ikiwa, kwa mfano, veta sio collinear, basi vekta ya tatu inaonyeshwa kupitia kwao kwa njia ya kipekee: 
(na kwa nini ni rahisi kukisia kutoka kwa nyenzo katika sehemu iliyopita).
Mazungumzo pia ni kweli: vekta tatu zisizo za coplanar huwa huru kila wakati, yaani, hazionyeshwa kwa njia yoyote kupitia kila mmoja. Na, ni wazi, vectors vile tu wanaweza kuunda msingi wa nafasi tatu-dimensional.
Ufafanuzi: Msingi wa nafasi tatu-dimensional inaitwa mara tatu ya vekta huru (zisizo za coplanar) kwa mstari, kuchukuliwa kwa utaratibu fulani, na vekta yoyote ya nafasi njia pekee hutengana kwa msingi fulani, wapi kuratibu za vekta katika msingi huu
Napenda kukukumbusha kwamba tunaweza pia kusema kwamba vector inawakilishwa katika fomu mchanganyiko wa mstari vekta za msingi.
Wazo la mfumo wa kuratibu huletwa kwa njia sawa na kwa kesi ya ndege; nukta moja na mstari wowote wa tatu. vectors huru:
asili, Na yasiyo ya coplanar vekta, kuchukuliwa kwa utaratibu fulani, seti affine kuratibu mfumo wa nafasi tatu-dimensional
:
Hakika, kuratibu gridi ya taifa"oblique" na haifai, lakini, hata hivyo, mfumo wa kuratibu uliojengwa huturuhusu hakika kuamua kuratibu za vector yoyote na kuratibu za hatua yoyote katika nafasi. Sawa na ndege, baadhi ya fomula ambazo tayari nimetaja hazitafanya kazi katika mfumo wa kuratibu wa nafasi.
Kesi maalum inayojulikana zaidi na inayofaa zaidi ya mfumo wa kuratibu wa ushirika, kama kila mtu anavyokisia, ni mfumo wa kuratibu nafasi ya mstatili:
Hatua katika nafasi inayoitwa asili, Na ya kawaida msingi umewekwa Mfumo wa kuratibu nafasi ya mstatili wa Cartesian
. Picha inayojulikana: 
Kabla ya kuendelea na kazi za vitendo, wacha tupange tena habari:
Kwa vekta tatu nafasi kauli zifuatazo ni sawa:
1) veta ni huru kwa mstari;
2) vectors huunda msingi;
3) vectors si coplanar;
4) vekta haziwezi kuonyeshwa kwa mstari kupitia kila mmoja;
5) kiashiria, kilichojumuishwa na kuratibu za vekta hizi, ni tofauti na sifuri.
Nadhani kauli za kinyume zinaeleweka.
Utegemezi wa mstari/uhuru wa vekta za anga huangaliwa kimila kwa kutumia kiangazio (alama 5). Iliyosalia kazi za vitendo itakuwa na herufi iliyotamkwa ya aljebra. Ni wakati wa kuning'iniza kijiti cha jiometri na kutumia popo ya besiboli ya algebra ya mstari:
Veta tatu za nafasi ni coplanar ikiwa na tu ikiwa kibainishi kinachojumuisha kuratibu za vekta zilizopewa ni sawa na sifuri: 
.
Ningependa kuteka mawazo yako kwa nuance ndogo ya kiufundi: kuratibu za vectors zinaweza kuandikwa si tu katika safu, lakini pia katika safu (thamani ya determinant haitabadilika kwa sababu ya hili - tazama mali ya viashiria). Lakini ni bora zaidi katika safu, kwa kuwa ni manufaa zaidi kwa kutatua matatizo fulani ya vitendo.
Kwa wale wasomaji ambao wamesahau kidogo mbinu za kuhesabu viambishi, au labda wana uelewa mdogo juu yao kabisa, ninapendekeza mojawapo ya masomo yangu ya zamani zaidi: Jinsi ya kuhesabu kiashiria?
Mfano 6
Angalia ikiwa vekta zifuatazo zinaunda msingi wa nafasi ya pande tatu:
Suluhisho: Kwa kweli, suluhu nzima inakuja kwenye kukokotoa kiambishi.
a) Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na viwianishi vya vekta (kibainishi kinaonyeshwa kwenye mstari wa kwanza): 
, ambayo ina maana kwamba vectors ni linearly kujitegemea (si coplanar) na kuunda msingi wa nafasi tatu-dimensional.
Jibu: vekta hizi huunda msingi
b) Hili ni suala la uamuzi huru. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.
Kutana na kazi za ubunifu:
Mfano 7
Je, veta zitakuwa coplanar kwa thamani gani ya parameta?
Suluhisho: Vekta ni coplanar ikiwa na ikiwa tu kibainishi kinachojumuisha viwianishi vya vekta hizi ni sawa na sufuri: 
Kimsingi, unahitaji kutatua equation na kibainishi. Tunaruka kwa sufuri kama kite kwenye jerboa - ni bora kufungua kiashiria kwenye safu ya pili na uondoe minuses mara moja: 
Tunafanya kurahisisha zaidi na kupunguza jambo hilo kuwa rahisi zaidi mlinganyo wa mstari:
Jibu: katika
Ni rahisi kuangalia hapa; ili kufanya hivi, unahitaji kubadilisha thamani inayotokana na kibainishi asili na uhakikishe kuwa 
, kuifungua tena.
Kwa kumalizia, wacha tuangalie moja zaidi kazi ya kawaida, ambayo ina asili ya aljebra zaidi na imejumuishwa jadi katika mwendo wa aljebra ya mstari. Ni ya kawaida sana kwamba inastahili mada yake mwenyewe:
Thibitisha kwamba vekta 3 huunda msingi wa nafasi ya tatu-dimensional
na upate kuratibu za vekta ya 4 katika msingi huu
Mfano 8
Vectors hutolewa. Onyesha kwamba vekta huunda msingi katika nafasi ya pande tatu na upate kuratibu za vekta katika msingi huu.
Suluhisho: Kwanza, hebu tushughulikie hali hiyo. Kwa hali, vekta nne hupewa, na, kama unaweza kuona, tayari wana kuratibu kwa msingi fulani. Nini msingi huu sio wa kupendeza kwetu. Je, unavutiwa? jambo linalofuata: vekta tatu zinaweza kuunda msingi mpya. Na hatua ya kwanza inalingana kabisa na suluhisho la Mfano wa 6; inahitajika kuangalia ikiwa veta zinajitegemea kwa usawa:
Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na kuratibu za vekta: 
, ambayo ina maana kwamba vectors ni linearly huru na kuunda msingi wa nafasi tatu-dimensional.
! Muhimu : viwianishi vya vekta Lazima andika chini kwenye safu determinant, si katika masharti. Vinginevyo, kutakuwa na machafuko katika algorithm ya suluhisho zaidi.
Msingi(Kigiriki cha kale βασις, msingi) - seti ya vectors vile katika nafasi ya vekta kwamba vekta yoyote ya nafasi hii inaweza kuwakilishwa kipekee kama mchanganyiko wa mstari wa vekta kutoka kwa seti hii - vekta za msingi
Msingi katika nafasi Rn ni mfumo wowote kutoka n-vekta zinazojitegemea zenye mstari. Kila vekta kutoka kwa R n isiyojumuishwa katika msingi inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta za msingi, i.e. kuenea juu ya msingi.
Hebu iwe msingi wa nafasi R n na. Halafu kuna nambari λ 1, λ 2, ..., λ n vile 
.
Coefficients ya upanuzi λ 1, λ 2, ..., λ n huitwa kuratibu za vector katika msingi B. Ikiwa msingi hutolewa, basi coefficients ya vector imedhamiriwa kipekee.
Maoni. Katika kila n-nafasi ya vekta ya dimensional, unaweza kuchagua idadi isiyo na kikomo ya besi tofauti. Katika besi tofauti, vector sawa ina kuratibu tofauti, lakini pekee katika msingi uliochaguliwa. Mfano. Panua vector katika msingi wake.
Suluhisho. 
. Wacha tubadilishe kuratibu za veta zote na tufanye vitendo juu yao: 
Kusawazisha kuratibu, tunapata mfumo wa equations:
Wacha tuitatue: 
.
Kwa hivyo, tunapata mtengano: 
.
Kwa msingi, vekta ina kuratibu.
Mwisho wa kazi -
Mada hii ni ya sehemu:
Dhana ya Vector. Uendeshaji wa mstari kwenye vekta
Vekta ni sehemu iliyoelekezwa ambayo ina urefu fulani, yaani, sehemu ya urefu fulani ambayo ina mojawapo ya pointi zake za kikomo.Urefu wa vekta huitwa moduli yake na huonyeshwa na moduli ya vekta ya ishara.Vekta ni inaitwa sifuri; imeteuliwa ikiwa mwanzo na mwisho wake zinalingana; vekta sifuri haina vekta maalum.
Ikiwa unahitaji nyenzo za ziada juu ya mada hii, au haukupata ulichokuwa unatafuta, tunapendekeza kutumia utaftaji kwenye hifadhidata yetu ya kazi:
Tutafanya nini na nyenzo zilizopokelewa:
Ikiwa nyenzo hii ilikuwa muhimu kwako, unaweza kuihifadhi kwenye ukurasa wako kwenye mitandao ya kijamii: