Vectors, mali zao na vitendo pamoja nao
Vekta, vitendo na vekta, nafasi ya vekta ya mstari.
Vekta ni mkusanyiko ulioagizwa wa idadi maalum ya nambari halisi.
Vitendo: 1.Kuzidisha vekta kwa nambari: lambda*vekta x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)
2. Ongezeko la vekta (ni ya nafasi sawa ya vekta) vekta x + vekta y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)
3. Vekta 0=(0,0…0)---n E n – n-dimensional (nafasi ya mstari) vekta x + vekta 0 = vekta x
Nadharia. Ili mfumo wa vekta n, nafasi ya mstari wa n-dimensional iwe tegemezi kwa mstari, ni muhimu na ya kutosha kwamba moja ya vectors iwe mchanganyiko wa mstari wa wengine.
Nadharia. Seti yoyote ya vekta za n+ 1 za nafasi ya mstari wa n-dimensional ya matukio. tegemezi kwa mstari.
Ongezeko la vekta, kuzidisha vekta kwa nambari. Utoaji wa vekta.
Jumla ya vectors mbili ni vector iliyoongozwa kutoka mwanzo wa vector hadi mwisho wa vector, mradi mwanzo unafanana na mwisho wa vector. Ikiwa vekta hutolewa na upanuzi wao katika vekta za kitengo cha msingi, basi wakati wa kuongeza vectors, kuratibu zao zinazofanana huongezwa.
Wacha tuzingatie hili kwa kutumia mfano wa mfumo wa kuratibu wa Cartesian. Hebu
Hebu tuonyeshe hilo
Kutoka Kielelezo 3 ni wazi kwamba 
Jumla ya idadi yoyote ya mwisho ya vekta inaweza kupatikana kwa kutumia kanuni ya poligoni (Mchoro 4): kujenga jumla ya idadi ya vekta, inatosha kuchanganya mwanzo wa kila vekta inayofuata na mwisho wa uliopita. na ujenge vekta inayounganisha mwanzo wa vekta ya kwanza na mwisho wa mwisho.
Sifa za operesheni ya kuongeza vekta:
Katika semi hizi m, n ni nambari.
Tofauti kati ya vekta inaitwa vekta.Muhula wa pili ni vector kinyume na vector katika mwelekeo, lakini sawa na urefu wake.
Kwa hivyo, uendeshaji wa vectors ya kuondoa hubadilishwa na operesheni ya kuongeza
Vekta ambayo mwanzo wake uko kwenye asili na mwisho katika hatua A (x1, y1, z1) inaitwa vekta ya radius ya uhakika A na inaonyeshwa kwa urahisi. Kwa kuwa kuratibu zake zinaendana na kuratibu za nukta A, upanuzi wake katika veta za kitengo una fomu.
Vekta inayoanzia kwa uhakika A(x1, y1, z1) na kuishia kwa uhakika B(x2, y2, z2) inaweza kuandikwa kama 
ambapo r 2 ni vector ya radius ya uhakika B; r 1 - vekta ya radius ya uhakika A.
Kwa hiyo, upanuzi wa vector katika vectors kitengo ina fomu
Urefu wake ni sawa na umbali kati ya alama A na B
KUZIDISHA
Kwa hivyo katika kesi ya shida ya ndege, bidhaa ya vekta kwa = (shoka; ay) kwa nambari b hupatikana kwa fomula.
a b = (shoka b; ay b)
Mfano 1. Tafuta bidhaa ya vekta a = (1; 2) kwa 3.
3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)
Kwa hivyo, katika kesi ya shida ya anga, bidhaa ya vekta a = (shoka; ay; az) kwa nambari b hupatikana kwa fomula.
a b = (shoka b; ay b; az b)
Mfano 1. Tafuta bidhaa ya vekta a = (1; 2; -5) kwa 2.
2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)
Bidhaa ya dot ya vekta na 
wapi angle kati ya vectors na; kama aidha, basi
Kutoka kwa ufafanuzi wa bidhaa ya scalar inafuata hiyo 
ambapo, kwa mfano, ni ukubwa wa makadirio ya vector kwenye mwelekeo wa vector.
Vekta ya mraba ya scalar:
Tabia za bidhaa ya dot:
Bidhaa yenye nukta kwenye viwianishi
Kama 
Hiyo 
Pembe kati ya vekta
Angle kati ya vectors - angle kati ya maelekezo ya vectors hizi (angle ndogo).
Bidhaa ya msalaba (Bidhaa ya msalaba ya vekta mbili.) - hii ni pseudovector perpendicular kwa ndege iliyojengwa kutoka kwa mambo mawili, ambayo ni matokeo ya operesheni ya binary "kuzidisha vekta" juu ya vekta katika nafasi ya Euclidean ya tatu-dimensional. Bidhaa haibadilishi wala haishirikishi (ni anticommutative) na ni tofauti na bidhaa ya nukta ya vekta. Katika matatizo mengi ya uhandisi na fizikia, unahitaji kuwa na uwezo wa kujenga vector perpendicular kwa mbili zilizopo - bidhaa ya vector hutoa fursa hii. Bidhaa ya msalaba ni muhimu kwa "kupima" perpendicularity ya vectors - urefu wa bidhaa ya msalaba wa vectors mbili ni sawa na bidhaa ya urefu wao ikiwa ni perpendicular, na hupungua hadi sifuri ikiwa vectors ni sambamba au antiparallel.
Bidhaa ya msalaba inafafanuliwa tu katika nafasi tatu-dimensional na saba-dimensional. Matokeo ya bidhaa ya vekta, kama bidhaa ya scalar, inategemea kipimo cha nafasi ya Euclidean.
Tofauti na fomula ya kuhesabu veta za bidhaa za scalar kutoka kwa kuratibu katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa pande tatu, fomula ya bidhaa ya msalaba inategemea mwelekeo wa mfumo wa kuratibu wa mstatili au, kwa maneno mengine, "chirality" yake.
Collinearity ya vekta.
Vekta mbili zisizo za sifuri (zisizo sawa na 0) huitwa collinear ikiwa zimelala kwenye mistari inayofanana au kwenye mstari mmoja. Sawe inayokubalika, lakini haipendekezwi ni vekta "sambamba". Vekta za Collinear zinaweza kuelekezwa sawasawa ("codirectional") au kuelekezwa kinyume (katika hali ya mwisho wakati mwingine huitwa "anticollinear" au "antiparallel").
Mchanganyiko wa bidhaa za vekta ( a, b, c)- bidhaa ya scalar ya vekta a na bidhaa ya vekta ya vekta b na c:
(a,b,c)=a ⋅(b ×c)
wakati mwingine huitwa bidhaa ya dot tatu ya vekta, inaonekana kwa sababu matokeo ni scalar (kwa usahihi, pseudoscalar).
Maana ya kijiometri: Moduli ya bidhaa iliyochanganywa kwa nambari ni sawa na kiasi cha parallelepiped inayoundwa na vekta. (a,b,c) .
Mali
Bidhaa iliyochanganywa ni skew-symmetric kwa heshima na hoja zake zote: i.e. e) kupanga upya vipengele vyovyote viwili hubadilisha ishara ya bidhaa. Inafuata kwamba Bidhaa Mchanganyiko katika mfumo sahihi wa kuratibu wa Cartesian (katika misingi ya kawaida) ni sawa na kibainishi cha matriki inayojumuisha vekta na:
Bidhaa iliyochanganywa katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa kushoto (katika msingi wa kawaida) ni sawa na kiashiria cha matrix inayojumuisha vekta na, ikichukuliwa na ishara ya minus:
Hasa,
Ikiwa vekta mbili zinafanana, basi kwa vector yoyote ya tatu huunda bidhaa iliyochanganywa sawa na sifuri.
Ikiwa vekta tatu zinategemea mstari (hiyo ni coplanar, amelala kwenye ndege moja), basi bidhaa zao zilizochanganywa ni sawa na sifuri.
Maana ya kijiometri - Bidhaa iliyochanganywa ni sawa kwa thamani kamili kwa kiasi cha parallelepiped (tazama takwimu) iliyoundwa na vectors na; ishara inategemea ikiwa hii mara tatu ya vekta ni ya mkono wa kulia au wa kushoto.
Coplanarity ya vectors.
Vekta tatu (au zaidi) huitwa coplanar ikiwa, zimepunguzwa kwa asili ya kawaida, ziko kwenye ndege moja.
Tabia za coplanarity
Ikiwa angalau moja ya vectors tatu ni sifuri, basi vectors tatu pia huchukuliwa kuwa coplanar.
Mara tatu ya vekta zilizo na jozi ya vekta za collinear ni coplanar.
Bidhaa iliyochanganywa ya vekta za coplanar. Hiki ni kigezo cha uwiano wa vekta tatu.
Vekta za Coplanar zinategemea mstari. Hiki pia ni kigezo cha ushirikiano.
Katika nafasi ya 3-dimensional, vectors 3 zisizo za coplanar huunda msingi
Vekta zinazotegemea mstari na zinazojitegemea kwa mstari.
Mifumo ya vekta inayotegemea laini na inayojitegemea.Ufafanuzi. Mfumo wa vector unaitwa tegemezi kwa mstari, ikiwa kuna angalau mchanganyiko mmoja usio wa kawaida wa mstari wa vekta hizi sawa na vekta sifuri. Vinginevyo, i.e. ikiwa tu mchanganyiko mdogo wa mstari wa vekta uliyopewa ni sawa na vekta tupu, vekta huitwa. kujitegemea linearly.
Nadharia (kigezo cha utegemezi cha mstari). Ili mfumo wa vekta katika nafasi ya mstari kuwa tegemezi kwa mstari, ni muhimu na ya kutosha kwamba angalau moja ya vekta hizi ni mchanganyiko wa mstari wa wengine.
1) Ikiwa kati ya vectors kuna angalau vector moja ya sifuri, basi mfumo mzima wa vectors unategemea linearly.
Kwa kweli, kama, kwa mfano, , basi, tukichukulia , tuna mchanganyiko wa mstari usio na maana .▲
2) Ikiwa kati ya vekta zingine zinaunda mfumo tegemezi wa mstari, basi mfumo mzima unategemea mstari.
Kwa kweli, wacha vekta , , tegemezi kwa mstari. Hii ina maana kwamba kuna mchanganyiko usio wa kawaida wa mstari sawa na vekta ya sifuri. Lakini basi, kuchukua 
, pia tunapata mchanganyiko wa mstari usio wa kawaida sawa na vekta ya sifuri.
2. Msingi na mwelekeo. Ufafanuzi. Mfumo wa vekta zinazojitegemea zenye mstari 
nafasi ya vector inaitwa msingi ya nafasi hii ikiwa vekta yoyote kutoka inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta za mfumo huu, i.e. kwa kila vekta kuna nambari halisi 
Usawa huu unaitwa mtengano wa vekta kulingana na msingi, na nambari zinaitwa kuratibu za vector kuhusiana na msingi(au katika msingi) .
Theorem (juu ya upekee wa upanuzi kwa heshima na msingi). Kila vekta kwenye nafasi inaweza kupanuliwa kuwa msingi kwa njia pekee, i.e. kuratibu za kila vekta kwa msingi huamuliwa bila utata.
Imetambulishwa na sisi shughuli za mstari kwenye vekta kufanya hivyo inawezekana kuunda misemo mbalimbali kwa wingi wa vector na kuzibadilisha kwa kutumia mali iliyowekwa kwa shughuli hizi.
Kulingana na seti fulani ya vekta 1, ..., n, unaweza kuunda usemi wa fomu
ambapo 1, ..., na n ni nambari halisi za kiholela. Usemi huu unaitwa mchanganyiko wa mstari wa vekta a 1, ..., n. Nambari α i, i = 1, n, kuwakilisha mgawo wa mchanganyiko wa mstari. Seti ya vekta pia inaitwa mfumo wa vekta.
Kuhusiana na dhana iliyoletwa ya mchanganyiko wa mstari wa vekta, shida inatokea ya kuelezea seti ya vekta ambayo inaweza kuandikwa kama mchanganyiko wa mstari wa mfumo fulani wa vekta 1, ..., n. Kwa kuongeza, kuna maswali ya asili kuhusu hali ambayo kuna uwakilishi wa vector kwa namna ya mchanganyiko wa mstari, na kuhusu pekee ya uwakilishi huo.
Ufafanuzi 2.1. Vectors a 1, ..., na n huitwa tegemezi kwa mstari, ikiwa kuna seti ya coefficients α 1 , ... , α n hivyo
α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)
na angalau moja ya mgawo huu sio sufuri. Ikiwa seti maalum ya coefficients haipo, basi vectors huitwa kujitegemea linearly.
Ikiwa α 1 = ... = α n = 0, basi, ni wazi, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Kwa hili akilini, tunaweza kusema hivi: vekta 1, ..., na n zinajitegemea kimstari ikiwa inafuata kutoka kwa usawa (2.2) kwamba coefficients zote α 1 , ... , α n ni sawa na sifuri.
Nadharia ifuatayo inaeleza kwa nini dhana mpya inaitwa neno "utegemezi" (au "uhuru"), na inatoa kigezo rahisi cha utegemezi wa mstari.
Nadharia 2.1. Ili vekta 1, ..., na n, n > 1, tegemezi kwa mstari, ni muhimu na ya kutosha kwamba mmoja wao ni mchanganyiko wa mstari wa wengine.
◄ Umuhimu. Wacha tuchukue kuwa vekta 1, ..., na n zinategemeana. Kulingana na Ufafanuzi 2.1 wa utegemezi wa mstari, katika usawa (2.2) upande wa kushoto kuna angalau mgawo mmoja usio na sifuri, kwa mfano α 1. Kuacha muhula wa kwanza upande wa kushoto wa usawa, tunahamisha wengine kwa upande wa kulia, kubadilisha ishara zao, kama kawaida. Kugawanya usawa unaotokana na α 1, tunapata
a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n
hizo. uwakilishi wa vekta 1 kama mchanganyiko wa mstari wa vekta zilizobaki a 2, ..., n.
Utoshelevu. Acha, kwa mfano, vekta ya kwanza 1 inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta zilizobaki: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Kuhamisha masharti yote kutoka upande wa kulia kwenda kushoto, tunapata 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, i.e. mchanganyiko wa mstari wa vekta a 1, ..., n yenye viambajengo α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, sawa na vekta sifuri. Katika mchanganyiko huu wa mstari, sio coefficients zote ni sifuri. Kulingana na Ufafanuzi 2.1, vekta a 1, ..., na n zinategemeana.
Ufafanuzi na kigezo cha utegemezi wa mstari umeundwa ili kuashiria kuwepo kwa vekta mbili au zaidi. Walakini, tunaweza pia kuzungumza juu ya utegemezi wa mstari wa vekta moja. Ili kutambua uwezekano huu, badala ya "vekta zinategemea mstari," unahitaji kusema "mfumo wa vekta unategemea mstari." Ni rahisi kuona kwamba maneno "mfumo wa vector moja inategemea mstari" inamaanisha kuwa vector hii moja ni sifuri (katika mchanganyiko wa mstari kuna mgawo mmoja tu, na haipaswi kuwa sawa na sifuri).
Dhana ya utegemezi wa mstari ina tafsiri rahisi ya kijiometri. Kauli tatu zifuatazo zinafafanua tafsiri hii.
Nadharia 2.2. Vekta mbili zinategemea mstari ikiwa na tu ikiwa colinear.
◄ Ikiwa vekta a na b hutegemea mstari, basi moja yao, kwa mfano a, inaonyeshwa kupitia nyingine, i.e. a = λb kwa nambari fulani halisi λ. Kulingana na ufafanuzi 1.7 kazi vekta kwa kila nambari, vekta a na b ni collinear.
Wacha sasa vekta a na b ziwe collinear. Ikiwa zote mbili ni sifuri, basi ni dhahiri kwamba zinategemea mstari, kwani mchanganyiko wowote wa mstari ni sawa na vekta ya sifuri. Acha mojawapo ya viveta hivi isiwe sawa na 0, kwa mfano vekta b. Wacha tuonyeshe kwa λ uwiano wa urefu wa vekta: λ = |a|/|b|. Vekta za Collinear zinaweza kuwa unidirectional au iliyoelekezwa kinyume. Katika kesi ya mwisho, tunabadilisha ishara ya λ. Kisha, tukiangalia Ufafanuzi 1.7, tuna hakika kwamba a = λb. Kulingana na Nadharia 2.1, vekta a na b hutegemea mstari.
Kumbuka 2.1. Kwa upande wa vekta mbili, kwa kuzingatia kigezo cha utegemezi wa mstari, nadharia iliyothibitishwa inaweza kurekebishwa kama ifuatavyo: vekta mbili ni collinear ikiwa na tu ikiwa moja yao inawakilishwa kama bidhaa ya nyingine na nambari. Hiki ni kigezo kinachofaa kwa collinearity ya vekta mbili.
Nadharia 2.3. Vekta tatu zinategemea mstari ikiwa na tu ikiwa coplanar.
◄ Ikiwa vekta tatu a, b, c hutegemea mstari, basi, kulingana na Theorem 2.1, mmoja wao, kwa mfano a, ni mchanganyiko wa mstari wa wengine: a = βb + γс. Hebu tuunganishe asili ya vekta b na c kwenye hatua A. Kisha vekta βb, γс zitakuwa na asili ya kawaida katika hatua A na pamoja. kulingana na kanuni ya parallelogram, jumla yao ni hizo. vekta a itakuwa vekta yenye asili A na mwisho, ambayo ni vertex ya parallelogram iliyojengwa kwenye vekta za vipengele. Kwa hivyo, vectors wote hulala katika ndege moja, yaani, coplanar.
Acha vekta a, b, c ziwe coplanar. Ikiwa moja ya vekta hizi ni sifuri, basi itakuwa wazi kuwa mchanganyiko wa mstari wa wengine. Inatosha kuchukua coefficients zote za mchanganyiko wa mstari sawa na sifuri. Kwa hivyo, tunaweza kudhani kuwa vekta zote tatu sio sifuri. Sambamba ilianza ya vectors hizi katika hatua ya kawaida O. Hebu mwisho wao kuwa pointi A, B, C, kwa mtiririko huo (Mchoro 2.1). Kupitia nukta C tunachora mistari sambamba na mistari inayopita kwenye jozi za pointi O, A na O, B. Kuteua pointi za makutano kama A" na B", tunapata sambamba la OA"CB", kwa hiyo, OC" = OA" + OB". Vekta OA" na vekta isiyo ya sifuri a = OA ni collinear, na kwa hiyo ya kwanza kati yao inaweza kupatikana kwa kuzidisha ya pili kwa nambari halisi α:OA" = αOA. Vile vile, OB" = βOB, β ∈ R. Kwa sababu hiyo, tunapata kwamba OC" = α OA + βOB, yaani, vekta c ni mchanganyiko wa mstari wa vekta a na b. Kulingana na Theorem 2.1, vekta a, b, c hutegemea kimstari.
Nadharia 2.4. Vekta zote nne zinategemea mstari.
◄ Tunatekeleza uthibitisho kulingana na mpango sawa na wa Nadharia 2.3. Zingatia vekta nne za kiholela a, b, c na d. Ikiwa moja ya vectors nne ni sifuri, au kati yao kuna vectors mbili za collinear, au tatu za vectors nne ni coplanar, basi vectors hizi nne zinategemea linearly. Kwa mfano, ikiwa vekta a na b ni collinear, basi tunaweza kufanya mchanganyiko wao wa mstari αa + βb = 0 na coefficients zisizo sifuri, na kisha kuongeza vekta mbili zilizobaki kwenye mchanganyiko huu, kuchukua zero kama coefficients. Tunapata mchanganyiko wa mstari wa vekta nne sawa na 0, ambayo kuna coefficients zisizo za sifuri.
Kwa hivyo, tunaweza kudhani kuwa kati ya vekta nne zilizochaguliwa, hakuna veta ni sifuri, hakuna mbili ni collinear, na hakuna tatu ni coplanar. Hebu tuchague hatua O kama mwanzo wao wa kawaida Kisha mwisho wa vectors a, b, c, d itakuwa baadhi ya pointi A, B, C, D (Mchoro 2.2). Kupitia hatua D tunachora ndege tatu sambamba na OBC, OCA, OAB, na kuruhusu A", B", C" kuwa sehemu za makutano ya ndege hizi na mistari iliyonyooka OA, OB, OS, mtawaliwa. parallelepiped OA" C "B" C" B"DA", na vectors a, b, c hulala kwenye kingo zake zinazojitokeza kutoka kwenye vertex O. Kwa kuwa OC"DC" ya quadrilateral ni parallelogram, basi OD = OC" + OC". Kwa upande wake, sehemu ya OC" ni parallelogram ya diagonal OA"C"B", hivyo OC" = OA" + OB" na OD = OA" + OB" + OC" .
Inabakia kutambua kwamba jozi za vectors OA ≠ 0 na OA" , OB ≠ 0 na OB" , OC ≠ 0 na OC" ni collinear, na, kwa hiyo, inawezekana kuchagua coefficients α, β, γ ili OA" = αOA , OB" = βOB na OC" = γOC. Hatimaye tunapata OD = αOA + βOB + γOC. Kwa hivyo, vekta ya OD inaonyeshwa kupitia vekta zingine tatu, na vekta zote nne, kulingana na Theorem 2.1, zinategemea mstari.
Hebu L ni nafasi ya mstari holela, a i Î L,- vipengele vyake (vectors).
Ufafanuzi 3.3.1. Kujieleza , wapi, - nambari halisi za kiholela, inayoitwa mchanganyiko wa mstari vekta a 1, a 2,…, a n.
Ikiwa vector R = , halafu wanasema hivyo R iliyooza katika vekta a 1, a 2,…, a n.
Ufafanuzi 3.3.2. Mchanganyiko wa mstari wa vekta huitwa yasiyo ya maana, ikiwa kati ya nambari kuna angalau moja isiyo ya sifuri. Vinginevyo, mchanganyiko wa mstari unaitwa yasiyo na maana.
Ufafanuzi 3.3.3 . Vekta a 1 , a 2 ,…, a n zinaitwa tegemezi la mstari ikiwa kuna mchanganyiko wa laini usio wa kawaida wa hizo
= 0 .
Ufafanuzi 3.3.4. Vekta a 1 ,a 2 ,…, a n huitwa huru ikiwa ni usawa = 0 inawezekana tu katika kesi wakati idadi yote l 1, l 2,…, l n ni sawa na sifuri kwa wakati mmoja.
Kumbuka kuwa kipengele chochote kisicho sifuri cha 1 kinaweza kuzingatiwa kama mfumo huru wa mstari, kwa kuwa usawa l a 1 = 0 inawezekana tu ikiwa l= 0.
Nadharia 3.3.1. Hali ya lazima na ya kutosha kwa utegemezi wa mstari a 1 , a 2 ,…, a n ni uwezekano wa kuoza angalau moja ya vipengele hivi katika vingine.
Ushahidi. Umuhimu. Acha vipengele a 1 , a 2 ,…, a n tegemezi kwa mstari. Ina maana kwamba = 0 , na angalau nambari moja l 1, l 2,…, l n tofauti na sifuri. Wacha kwa uhakika l 1 ¹ 0. Kisha
yaani kipengele cha 1 kimetenganishwa na kuwa vipengele a 2 , a 3 , ..., a n.
Utoshelevu. Acha kipengele cha 1 kitengenezwe kuwa vipengele a 2 , a 3 , …, a n, yaani a 1 = . Kisha 
= 0
, kwa hivyo, kuna mchanganyiko usio wa kawaida wa mstari wa vekta a 1 , a 2 ,…, a n, sawa 0
, kwa hivyo zinategemea mstari .
Nadharia 3.3.2. Ikiwa angalau moja ya vipengele a 1 , a 2 ,…, a n sifuri, basi vekta hizi zinategemea mstari.
Ushahidi . Hebu a n= 0 , kisha = 0 , ambayo ina maana utegemezi wa mstari wa vipengele hivi.
Nadharia 3.3.3. Ikiwa kati ya n veta yoyote p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.
Ushahidi. Hebu, kwa uhakika, vipengele a 1 , a 2 ,…, a uk tegemezi kwa mstari. Hii ina maana kwamba kuna mchanganyiko usio wa kawaida wa mstari kama huo = 0 . Usawa uliowekwa utahifadhiwa ikiwa tunaongeza kipengele kwa sehemu zake zote mbili. Kisha + = 0 , na angalau nambari moja l 1, l 2,…, lp tofauti na sifuri. Kwa hivyo, vekta a 1 , a 2 ,…, a n hutegemea mstari.
Muhimu 3.3.1. Ikiwa vipengele vya n vinajitegemea kwa mstari, basi $ k $ yoyote kati yao inajitegemea kwa mstari (k< n).
Nadharia 3.3.4. Ikiwa vekta a 1, a 2,…, a n- 1 ni linearly huru, na vipengele a 1, a 2,…, a n- 1, a n hutegemea mstari, kisha vekta a n inaweza kupanuliwa kuwa vekta a 1, a 2,…, a n- 1 .
Ushahidi. Kwa kuwa kwa sharti a 1 , a 2 ,…,a n- 1, a n zinategemea mstari, basi kuna mchanganyiko wa mstari usio wa kawaida kati yao = 0 , na (vinginevyo, vekta a 1 , a 2 ,…, a zitageuka kuwa tegemezi kwa mstari. n- 1). Lakini basi vector
,
Q.E.D.
a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.
Suluhisho. Tunatafuta suluhisho la jumla kwa mfumo wa milinganyo
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ
Njia ya Gauss. Ili kufanya hivyo, tunaandika mfumo huu wa homogeneous katika kuratibu:
Matrix ya Mfumo
Mfumo unaoruhusiwa una fomu: 
(r A = 2, n= 3). Mfumo huo ni wa ushirika na hauna uhakika. Suluhisho lake la jumla ( x 2 - tofauti ya bure): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Uwepo wa suluhisho maalum isiyo ya sifuri, kwa mfano, inaonyesha kuwa vekta a
1 , a
2 , a
3
tegemezi kwa mstari.
Mfano 2.
Jua ikiwa mfumo fulani wa vekta hutegemea mstari au huru kwa mstari:
1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.
Suluhisho. Fikiria mfumo wa usawa wa milinganyo a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ
au kwa namna iliyopanuliwa (kwa kuratibu)
Mfumo ni homogeneous. Ikiwa haijaharibika, basi ina suluhisho la pekee. Katika kesi ya mfumo wa homogeneous, kuna ufumbuzi wa sifuri (isiyo na maana). Hii ina maana kwamba katika kesi hii mfumo wa vectors ni huru. Ikiwa mfumo umepungua, basi una ufumbuzi usio na sifuri na, kwa hiyo, unategemea.
Tunaangalia mfumo kwa uharibifu:
= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.
Mfumo hauna uharibifu na, hivyo, vectors a 1 , a 2 , a 3 kujitegemea linearly.
Kazi. Jua ikiwa mfumo fulani wa vekta hutegemea mstari au huru kwa mstari:
1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.
2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.
3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.
4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.
5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.
6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.
7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.
8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.
9. Thibitisha kuwa mfumo wa vekta utategemea mstari ikiwa una:
a) vekta mbili sawa;
b) vectors mbili za uwiano.
Mfumo wa vector unaitwa tegemezi kwa mstari, ikiwa kuna nambari ambazo angalau moja ni tofauti na sifuri, ili usawa https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= > >.
Ikiwa usawa huu umeridhika tu katika kesi wakati wote , basi mfumo wa vekta unaitwa kujitegemea linearly.
Nadharia. Mfumo wa vector utafanya tegemezi kwa mstari ikiwa na tu ikiwa angalau moja ya vekta zake ni mchanganyiko wa mstari wa zingine.
Mfano 1. Polynomial 
ni muunganisho wa mstari wa polimanomia https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Ponomia huunda mfumo unaojitegemea kimstari, tangu polynomial https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.
Mfano 2. Mfumo wa matrix, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> ni huru kimstari, kwa kuwa mchanganyiko wa mstari ni sawa na sifuri tumbo tu katika kesi wakati https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> tegemezi kimstari.
Suluhisho.
Wacha tutengeneze mchanganyiko wa mstari wa vekta hizi https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" urefu=" 22">.
Kusawazisha viwianishi sawa vya vekta sawa, tunapata https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">
Hatimaye tunapata
Na
Mfumo una ufumbuzi wa kipekee usio na maana, hivyo mchanganyiko wa mstari wa vekta hizi ni sawa na sifuri tu katika kesi wakati coefficients zote ni sawa na sifuri. Kwa hiyo, mfumo huu wa vectors ni linearly kujitegemea.
Mfano 4. Vekta zinajitegemea kwa mstari. Mifumo ya vekta itakuwaje?
a).
;
b).
?
Suluhisho.
a). Wacha tufanye mchanganyiko wa mstari na tufananishe na sifuri
Kwa kutumia mali ya utendakazi na vekta kwenye nafasi ya mstari, tunaandika tena usawa wa mwisho katika fomu.
Kwa kuwa vekta zinajitegemea kimstari, viweti lazima viwe sawa na sufuri, yaani.gif" width="12" height="23 src=">
Mfumo unaotokana wa equations una suluhisho la kipekee lisilo na maana 
.
Tangu usawa (*) inatekelezwa tu wakati https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – huru kwa mstari;
b). Wacha tufanye usawa https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)
Kwa kutumia hoja sawa, tunapata
Kutatua mfumo wa equations kwa njia ya Gauss, tunapata
au
Mfumo wa mwisho una idadi isiyo na kikomo ya suluhu https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Kwa hivyo, kuna isiyo ya seti sifuri ya mgawo ambayo inashikilia usawa (**)
. Kwa hiyo, mfumo wa vectors - tegemezi kwa mstari.
Mfano 5 Mfumo wa vekta unajitegemea kimstari, na mfumo wa vekta hutegemea kimstari..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)
Katika usawa (***) . Hakika, saa , mfumo ungekuwa tegemezi linearly.
Kutoka kwa uhusiano (***)
tunapata 
au 
Hebu kuashiria 
.
Tunapata 
Shida za suluhisho la kujitegemea (darasani)
1. Mfumo ulio na vekta sifuri unategemea mstari.
2. Mfumo unaojumuisha vector moja A, inategemea kimstari ikiwa na tu ikiwa, a=0.
3. Mfumo unaojumuisha vekta mbili hutegemea mstari ikiwa na tu ikiwa vekta ni sawia (hiyo ni, moja yao hupatikana kutoka kwa nyingine kwa kuzidisha kwa nambari).
4. Ikiwa unaongeza vekta kwenye mfumo unaotegemea mstari, unapata mfumo tegemezi wa mstari.
5. Ikiwa vekta imeondolewa kwenye mfumo wa kujitegemea wa mstari, basi mfumo unaotokana wa vekta ni huru kwa mstari.
6. Ikiwa mfumo S inajitegemea kwa mstari, lakini inakuwa tegemezi kwa mstari wakati wa kuongeza vekta b, kisha vekta b imeonyeshwa kwa mstari kupitia vekta za mfumo S.
c). Mfumo wa matrices , , katika nafasi ya matrices ya pili.
10. Wacha mfumo wa veta a,b,c nafasi ya vekta inajitegemea kwa mstari. Thibitisha uhuru wa mstari wa mifumo ifuatayo ya vekta:
a).a+b, b, c.
b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– nambari ya kiholela
c).a+b, a+c, b+c.
11. Hebu a,b,c- vector tatu kwenye ndege ambayo pembetatu inaweza kuundwa. Je, vekta hizi zitakuwa tegemezi kwa mstari?
12. Vekta mbili hutolewa a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Tafuta vekta mbili zaidi zenye sura nne a3 naa4 ili mfumo a1,a2,a3,a4 alikuwa anajitegemea kwa mstari .