Vekta zinaweza kuwakilishwa kielelezo na sehemu zilizoelekezwa. Urefu huchaguliwa kwa kiwango maalum ili kuonyesha ukubwa wa vekta , na mwelekeo wa sehemu unawakilisha mwelekeo wa vector . Kwa mfano, ikiwa tunadhani kwamba 1 cm inawakilisha 5 km / h, basi upepo wa kaskazini-mashariki na kasi ya 15 km / h utawakilishwa na sehemu ya mwelekeo wa urefu wa 3 cm, kama inavyoonekana kwenye takwimu.
Vekta kwenye ndege ni sehemu iliyoelekezwa. Vekta mbili sawa ikiwa wana sawa ukubwa Na mwelekeo.
Fikiria vekta inayotolewa kutoka hatua A hadi hatua B. Hatua inaitwa pa kuanzia vekta, na hatua B inaitwa hatua ya mwisho. Nukuu ya mfano ya vekta hii ni (soma kama "vekta AB"). Vekta pia huwakilishwa na herufi nzito kama vile U, V, na W. Vekta nne kwenye mchoro ulio upande wa kushoto zina urefu na mwelekeo sawa. Kwa hivyo wanawakilisha sawa upepo; hiyo ni, 
Katika muktadha wa vekta, tunatumia = kuonyesha kuwa ni sawa.
Urefu, au ukubwa imeonyeshwa kama ||. Ili kuamua ikiwa vekta ni sawa, tunapata ukubwa na mwelekeo wao.
Mfano 1 Vectors u,, w zinaonyeshwa kwenye takwimu hapa chini. Thibitisha kuwa wewe = = w. 
Suluhisho Kwanza tunapata urefu wa kila vekta kwa kutumia fomula ya umbali:
| wewe| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2
= √9 + 1
= √10
,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Kutoka hapa
| wewe| = | = |w|.
Vectors u, , na w, kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa takwimu, inaonekana kuwa na mwelekeo sawa, lakini tutaangalia mteremko wao. Ikiwa mistari ambayo iko ina mteremko sawa, basi vectors wana mwelekeo sawa. Tunahesabu mteremko: 
Kwa kuwa u, , na w wana ukubwa sawa na mwelekeo sawa,
wewe = = w.
Kumbuka kwamba vekta sawa zinahitaji tu ukubwa sawa na mwelekeo sawa, si eneo sawa. Kielelezo cha juu kabisa kinaonyesha mfano wa usawa wa vekta.
Tuseme mtu anapiga hatua 4 mashariki na kisha hatua 3 kaskazini. Mtu huyo atakuwa hatua 5 kutoka mahali pa kuanzia katika mwelekeo ulioonyeshwa upande wa kushoto. Vekta yenye urefu wa vitengo 4 yenye mwelekeo wa kulia inawakilisha hatua 4 za mashariki na vekta yenye urefu wa vitengo 3 na mwelekeo wa juu unaowakilisha hatua 3 kaskazini. Jumla ya vectors hizi mbili kuna vector ya hatua 5 za ukubwa na katika mwelekeo ulioonyeshwa. Kiasi pia huitwa kusababisha vekta mbili.
Kwa ujumla, vekta mbili za nonzero u na v zinaweza kuongezwa kijiometri kwa kuweka sehemu ya kuanzia ya vekta v hadi sehemu ya mwisho ya vekta u, na kisha kutafuta vekta ambayo ina sehemu ya kuanzia sawa na vekta u na mwisho sawa. weka kama vekta v kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu hapa chini. 
Jumla ni vekta inayowakilishwa na sehemu iliyoelekezwa kutoka sehemu A ya vekta u hadi sehemu ya mwisho C ya vekta v. Kwa hivyo, ikiwa u = na v = , basi
u + v = + =
Tunaweza pia kuelezea nyongeza ya vekta kama kuweka sehemu za kuanzia za vekta pamoja, kuunda msambamba, na kutafuta mlalo wa parallelogramu. (katika mchoro ulio hapa chini.) Nyongeza hii wakati mwingine huitwa kama kanuni ya parallelogram
nyongeza ya vekta. Ongezeko la Vekta ni la kubadilisha. Kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu, vekta zote u + v na v + u zinawakilishwa na sehemu ya mstari wa mwelekeo sawa. 
Ikiwa nguvu mbili F 1 na F 2 zitatenda kwa kitu kimoja, kusababisha nguvu ni jumla ya F 1 + F 2 ya nguvu hizi mbili tofauti. 
Mfano Vikosi viwili vya newtons 15 na newtons 25 hufanya kazi kwa kitu kimoja kwa kila mmoja. Tafuta jumla yao, au nguvu inayosababisha, na pembe inayofanya kwa nguvu kubwa zaidi.
Suluhisho Hebu tuchore hali ya tatizo, katika kesi hii mstatili, kwa kutumia v au kuwakilisha matokeo. Ili kupata thamani yake, tunatumia nadharia ya Pythagorean:
| v| 2 = 15 2 + 25 2 Hapa |v| inaashiria urefu au ukubwa wa v.
| v| = √15 2 + 25 2
| v| ≈ 29.2.
Ili kupata mwelekeo, kumbuka kuwa kwa kuwa OAB ni pembe ya kulia,
tanθ = 15/25 = 0.6.
Kwa kutumia kikokotoo, tunapata θ, pembe ambayo nguvu kubwa hufanya kwa nguvu ya wavu:
θ = tan - 1 (0.6) ≈ 31 °
Matokeo yake yana ukubwa wa 29.2 na angle ya 31 ° na nguvu kubwa zaidi.
Marubani wanaweza kurekebisha mwelekeo wa safari yao ikiwa kuna kivuko. Upepo na kasi ya ndege inaweza kuwakilishwa kama upepo.
Mfano 3. Kasi ya ndege na mwelekeo. Ndege inakwenda pamoja na azimuth ya 100 ° kwa kasi ya kilomita 190 / h, wakati kasi ya upepo ni 48 km / h na azimuth yake ni 220 °. Pata kasi kamili ya ndege na mwelekeo wa harakati zake, kwa kuzingatia upepo.
Suluhisho Wacha tufanye mchoro kwanza. Upepo unawakilishwa na vekta ya kasi ya ndege ni . Vekta ya kasi inayotokana ni v, jumla ya vekta mbili. Pembe θ kati ya v na inaitwa angle ya drift
.
Kumbuka kwamba thamani ya COA = 100 ° - 40 ° = 60 °. Kisha thamani ya CBA pia ni sawa na 60 ° (pembe za kinyume za parallelogram ni sawa). Kwa kuwa jumla ya pembe zote za parallelogram ni 360 ° na COB na OAB ni ukubwa sawa, kila moja lazima iwe 120 °. Na kanuni ya cosine
katika OAB, tunayo
| v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
| v| 2 = 47.524
| v| = 218
Kisha, |v| sawa na 218 km/h. Kulingana na utawala wa sines
, katika pembetatu sawa,
48
/sinθ = 218
/dhambi 120°,
au
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0.1907
θ ≈ 11°
Kisha, θ = 11°, hadi pembe kamili iliyo karibu zaidi. Kasi kamili ni 218 km / h, na mwelekeo wa harakati zake kwa kuzingatia upepo: 100 ° - 11 °, au 89 °.
Kwa kuzingatia vekta w, tunaweza kupata vekta zingine mbili u na v ambazo jumla yake ni w. Vekta u na v zinaitwa vipengele w na mchakato wa kuzipata unaitwa mtengano , au uwakilishi wa vekta kwa vipengele vyake vya vekta.
Tunapopanua vekta, kwa kawaida tunatafuta vipengele vya perpendicular. Mara nyingi sana, hata hivyo, kijenzi kimoja kitakuwa sambamba na mhimili wa x na kingine kitakuwa sambamba na mhimili wa y. Kwa hiyo, mara nyingi huitwa mlalo
Na wima
vipengele vya vector. Katika takwimu hapa chini, vekta w = imetenganishwa kama jumla ya u = na v =. 
Kijenzi cha mlalo cha w ni u na kijenzi cha wima ni v.
Mfano 4 Vekta w ina ukubwa wa 130 na mteremko wa 40 ° kuhusiana na usawa. Tengeneza vekta katika vipengele vya usawa na wima.
Suluhisho Kwanza tutachora picha yenye vekta za mlalo na wima u na v ambazo jumla yake ni w. 
Kutoka kwa ABC, tunapata |u| na |v|, kwa kutumia ufafanuzi wa cosine na sine:
cos40° = |u|/130, au |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, au |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Kisha, sehemu ya mlalo ya w ni 100 kulia na sehemu ya wima ya w ni 84 juu.
Msingi wa nafasi wanaita mfumo kama huo wa vekta ambayo vekta zingine zote kwenye angani zinaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta zilizojumuishwa kwenye msingi.
Katika mazoezi, hii yote inatekelezwa kwa urahisi kabisa. Msingi, kama sheria, huangaliwa kwenye ndege au angani, na kwa hili unahitaji kupata kiashiria cha matrix ya pili, ya tatu inayojumuisha kuratibu za vekta. Hapo chini zimeandikwa kimkakati hali ambayo veta huunda msingi
Kwa kupanua vekta b katika vekta za msingi
e,e...,e[n] ni muhimu kupata viambajengo x, ..., x[n] ambavyo muunganisho wa mstari wa vekta e,e...,e[n] ni sawa na vekta b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Ili kufanya hivyo, equation ya vekta inapaswa kubadilishwa kuwa mfumo wa usawa wa mstari na ufumbuzi unapaswa kupatikana. Hii pia ni rahisi sana kutekeleza.
Migawo iliyopatikana x, ..., x[n] inaitwa kuratibu za vector b katika msingi e, e..., e[n].
Hebu tuendelee kwenye upande wa vitendo wa mada.
Mtengano wa vekta katika vekta za msingi
Jukumu la 1. Angalia ikiwa vekta a1, a2 zinaunda msingi kwenye ndege
1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Suluhisho: Tunaunda kiashiria kutoka kwa kuratibu za vekta na kuhesabu
Kuamua sio sifuri, kwa hivyo vectors ni linearly kujitegemea, ambayo ina maana wao kuunda msingi.
2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Suluhisho: Tunahesabu kibainishi kinachoundwa na vekta 
Kiashiria ni sawa na 13 (sio sawa na sifuri) - kutoka kwa hii inafuata kwamba vectors a1, a2 ni msingi kwenye ndege.
---=================---
Wacha tuangalie mifano ya kawaida kutoka kwa mpango wa MAUP katika taaluma "Hisabati ya Juu".
Jukumu la 2. Onyesha kwamba vekta a1, a2, a3 huunda msingi wa nafasi ya vekta yenye mwelekeo-tatu, na upanue vekta b kulingana na msingi huu (tumia mbinu ya Cramer wakati wa kusuluhisha mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Suluhisho: Kwanza, fikiria mfumo wa vekta a1, a2, a3 na uangalie kibainishi cha matrix A.
imejengwa kwenye veta zisizo za sifuri. Matrix ina kipengele kimoja cha sifuri, kwa hivyo inafaa zaidi kukokotoa kibainishi kama ratiba katika safu wima ya kwanza au safu mlalo ya tatu. 
Kama matokeo ya mahesabu, tuligundua kuwa kiashiria ni tofauti na sifuri, kwa hivyo vekta a1, a2, a3 zinajitegemea kimstari.
Kwa ufafanuzi, vekta huunda msingi katika R3. Wacha tuandike ratiba ya vekta b kulingana na 
Vekta ni sawa wakati kuratibu zao zinazolingana ni sawa.
Kwa hiyo, kutoka kwa equation ya vector tunapata mfumo wa usawa wa mstari 
Wacha tusuluhishe SLAE Njia ya Cramer. Ili kufanya hivyo, tunaandika mfumo wa equations katika fomu
Kiamuzi kikuu cha SLAE daima ni sawa na kibainishi kinachoundwa na vekta za msingi
Kwa hiyo, katika mazoezi haihesabiwi mara mbili. Ili kupata viambishi saidizi, tunaweka safu wima ya istilahi zisizolipishwa badala ya kila safu ya kibainishi kikuu. Viamuzi vinahesabiwa kwa kutumia utawala wa pembetatu 
Wacha tubadilishe vibainishi vilivyopatikana kwenye fomula ya Cramer 
Kwa hivyo, upanuzi wa vector b kwa misingi ya msingi una fomu b=-4a1+3a2-a3. Kuratibu za vector b katika msingi a1, a2, a3 itakuwa (-4,3, 1).
2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Suluhisho: Tunaangalia veta kwa msingi - tunaunda kiashiria kutoka kwa kuratibu za veta na kuhesabu. 
Kiamuzi si sawa na sifuri, kwa hivyo vekta huunda msingi katika nafasi. Inabakia kupata ratiba ya vector b kupitia msingi huu. Ili kufanya hivyo, tunaandika equation ya vector 
na kubadilisha hadi mfumo wa milinganyo ya mstari 
Tunaandika equation ya matrix
Ifuatayo, kwa fomula za Cramer tunapata viambishi saidizi 
Tunatumia fomula za Cramer 
Kwa hivyo vekta b iliyopewa ina ratiba kupitia veta mbili za msingi b=-2a1+5a3, na kuratibu zake kwa msingi ni sawa na b(-2,0, 5).
Kazi za mtihani
Kazi 1 - 10. Vectors hutolewa. Onyesha kwamba vekta huunda msingi wa nafasi ya pande tatu na upate kuratibu za vekta kwa msingi huu:
Vekta zinazotolewa ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Onyesha kwamba vekta huunda msingi wa nafasi tatu-dimensional na kupata kuratibu za vekta X katika msingi huu.
Kazi hii ina sehemu mbili. Kwanza unahitaji kuangalia ikiwa veta huunda msingi. Vekta huunda msingi ikiwa kibainishi kinachoundwa na viwianishi vya vekta hizi si nzero, vinginevyo vekta si za msingi na vekta X haiwezi kupanuliwa juu ya msingi huu.
Wacha tuhesabu kiamua cha matrix:
∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37
Kiamuzi cha matrix ni ∆ =37
Kwa kuwa kiashiria ni nonzero, vekta huunda msingi, kwa hivyo, vekta X inaweza kupanuliwa juu ya msingi huu. Wale. kuna nambari α 1, α 2, α 3 kiasi kwamba usawa unashikilia:
X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3
Wacha tuandike usawa huu katika fomu ya kuratibu:
(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)
Kutumia mali ya vekta, tunapata usawa ufuatao:
(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3;)
(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)
Kwa mali ya usawa wa vekta tunayo:
3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3
1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0
6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1
Tunatatua mfumo unaotokana wa equations Njia ya Gaussian au Njia ya Cramer.
X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3
Suluhisho lilipokelewa na kusindika kwa kutumia huduma:
Vector kuratibu katika msingi
Pamoja na shida hii pia hutatua:
Kutatua milinganyo ya matrix
Mbinu ya Cramer
Njia ya Gauss
Matrix kinyume kwa kutumia njia ya Jordano-Gauss
Matrix kinyume kupitia vikamilisha vya aljebra
Kuzidisha matrix ya mtandaoni
Ufafanuzi wa kawaida: "Vekta ni sehemu iliyoelekezwa." Kawaida hii ni kiwango cha maarifa ya mhitimu kuhusu vekta. Nani anahitaji "sehemu za mwelekeo"?
Lakini kwa kweli, vekta ni nini na ni za nini?
Utabiri wa hali ya hewa. "Upepo wa kaskazini-magharibi, kasi ya mita 18 kwa sekunde." Kukubaliana, mwelekeo wa upepo (ambapo unavuma kutoka) na ukubwa (yaani, thamani kamili) ya suala lake la kasi.
Kiasi ambacho hakina mwelekeo huitwa scalar. Misa, kazi, malipo ya umeme hayaelekezwi popote. Wao ni sifa tu ya thamani ya nambari - "kiasi cha kilo" au "joule ngapi".
Kiasi cha kimwili ambacho sio tu thamani kamili, lakini pia mwelekeo, huitwa wingi wa vector.
Kasi, nguvu, kuongeza kasi - vectors. Kwao, "ni kiasi gani" ni muhimu na "wapi" ni muhimu. Kwa mfano, kuongeza kasi kutokana na mvuto 
imeelekezwa kwenye uso wa Dunia, na ukubwa wake ni 9.8 m/s 2. Msukumo, nguvu ya shamba la umeme, induction ya shamba la magnetic pia ni wingi wa vector.
Unakumbuka kwamba kiasi cha kimwili kinaonyeshwa na barua, Kilatini au Kigiriki. Mshale ulio juu ya barua unaonyesha kuwa wingi ni vekta:
Hapa kuna mfano mwingine.
Gari huhama kutoka A hadi B. Matokeo ya mwisho ni harakati zake kutoka kwa uhakika A hadi B, yaani, harakati na vector.
Sasa ni wazi kwa nini vector ni sehemu iliyoelekezwa. Tafadhali kumbuka kuwa mwisho wa vector ni mahali ambapo mshale ulipo. Urefu wa Vector inaitwa urefu wa sehemu hii. Imeonyeshwa na: au
Hadi sasa, tumefanya kazi na idadi ya scalar, kulingana na sheria za hesabu na algebra ya msingi. Vekta ni dhana mpya. Hili ni darasa lingine la vitu vya hisabati. Wana sheria zao wenyewe.
Hapo zamani za kale hatukujua chochote kuhusu nambari. Urafiki wangu nao ulianza nikiwa shule ya msingi. Ilibadilika kuwa nambari zinaweza kulinganishwa na kila mmoja, kuongezwa, kupunguzwa, kuzidishwa na kugawanywa. Tulijifunza kuwa kuna nambari moja na nambari sifuri.
Sasa tunaletwa kwa vectors.
Dhana za "zaidi" na "chini" kwa vekta hazipo - baada ya yote, mwelekeo wao unaweza kuwa tofauti. Urefu wa vekta pekee ndio unaweza kulinganishwa.
Lakini kuna dhana ya usawa kwa vekta.
Sawa vekta ambazo zina urefu sawa na mwelekeo sawa huitwa. Hii ina maana kwamba vekta inaweza kuhamishwa sambamba na yenyewe kwa hatua yoyote katika ndege.
Mtu mmoja ni vekta ambayo urefu wake ni 1. Zero ni vector ambayo urefu wake ni sifuri, yaani, mwanzo wake unafanana na mwisho.
Ni rahisi zaidi kufanya kazi na veta katika mfumo wa kuratibu wa mstatili - ile ile ambayo tunachora grafu za kazi. Kila hatua katika mfumo wa kuratibu inalingana na nambari mbili - x na y kuratibu, abscissa na kuratibu.
Vekta pia imeainishwa na kuratibu mbili:
Hapa kuratibu za vector zimeandikwa katika mabano - katika x na y.
Zinapatikana kwa urahisi: uratibu wa mwisho wa vekta ukiondoa uratibu wa mwanzo wake.
Ikiwa kuratibu za vector hutolewa, urefu wake unapatikana kwa formula
Ongezeko la Vector
Kuna njia mbili za kuongeza vekta.
1 . Kanuni ya parallelogram. Kuongeza veta na , tunaweka asili ya zote mbili kwa hatua moja. Tunajenga kwa parallelogram na kutoka kwa hatua sawa tunatoa diagonal ya parallelogram. Hii itakuwa jumla ya veta na .
Je! unakumbuka hadithi kuhusu swan, crayfish na pike? Walijaribu sana, lakini hawakuwahi kuhamisha mkokoteni. Baada ya yote, jumla ya vector ya majeshi waliyotumia kwenye gari ilikuwa sawa na sifuri.
2. Njia ya pili ya kuongeza veta ni kanuni ya pembetatu. Wacha tuchukue vekta sawa na . Tutaongeza mwanzo wa pili hadi mwisho wa vector ya kwanza. Sasa hebu tuunganishe mwanzo wa kwanza na mwisho wa pili. Hii ni jumla ya vekta na .
Kutumia sheria hiyo hiyo, unaweza kuongeza vekta kadhaa. Tunawapanga moja baada ya nyingine, na kisha kuunganisha mwanzo wa kwanza hadi mwisho wa mwisho.
Fikiria kuwa unatoka hatua A hadi hatua B, kutoka B hadi C, kutoka C hadi D, kisha kwenda E na F. Matokeo ya mwisho ya vitendo hivi ni harakati kutoka A hadi F.
Wakati wa kuongeza veta na tunapata:
Utoaji wa vekta
Vector inaelekezwa kinyume na vector. Urefu wa vekta na ni sawa.
Sasa ni wazi ni nini kuondoa vector. Tofauti ya vekta na ni jumla ya vekta na vekta.
Kuzidisha vekta kwa nambari
Vekta inapozidishwa na nambari k, vekta hupatikana ambayo urefu wake ni mara k tofauti na urefu . Inaelekezwa kwa vekta ikiwa k ni kubwa kuliko sifuri, na kinyume ikiwa k ni chini ya sifuri.
Bidhaa ya dot ya vekta
Vectors zinaweza kuzidishwa sio tu kwa nambari, bali pia kwa kila mmoja.
Bidhaa ya scalar ya vectors ni bidhaa ya urefu wa vectors na cosine ya angle kati yao.
Tafadhali kumbuka kuwa tulizidisha vekta mbili, na matokeo yalikuwa scalar, ambayo ni, nambari. Kwa mfano, katika fizikia, kazi ya mitambo ni sawa na bidhaa ya scalar ya vekta mbili - nguvu na uhamisho:
Ikiwa vectors ni perpendicular, bidhaa zao za scalar ni sifuri.
Na hivi ndivyo bidhaa ya scalar inavyoonyeshwa kupitia kuratibu za veta na:
Kutoka kwa formula ya bidhaa ya scalar unaweza kupata pembe kati ya vekta:
Njia hii ni rahisi sana katika stereometry. Kwa mfano, katika Tatizo la 14 la Mtihani wa Jimbo la Umoja wa Wasifu katika Hisabati, unahitaji kupata pembe kati ya mistari inayoingiliana au kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege. Mara nyingi njia ya vector Tatizo la 14 linatatuliwa mara kadhaa kwa kasi zaidi kuliko la classical.
Katika mtaala wa hisabati wa shule, bidhaa ya scalar tu ya vekta hufundishwa.
Inatokea kwamba, pamoja na bidhaa ya scalar, pia kuna bidhaa ya vector, wakati matokeo ya kuzidisha vectors mbili ni vector. Anayekodisha Mtihani wa Jimbo la Umoja katika Fizikia, anajua nguvu ya Lorentz na nguvu ya Ampere ni nini. Njia za kupata nguvu hizi ni pamoja na bidhaa za vekta.
Vekta ni zana muhimu sana ya hisabati. Utaona hii katika mwaka wako wa kwanza.
