Mifumo ya vector ya Orthogonal. Mfumo wa vector ya Orthogonal

Mfumo wa kazi ya Orthogonal

mfumo wa kazi (φ n(x)}, n= 1, 2,..., orthogonal yenye uzito ρ ( X) kwenye sehemu [ A, b], yaani vile vile

Mifano. Mfumo wa trigonometric 1, cos nx, dhambi nx; n= 1, 2,..., - O.s. f. yenye uzito 1 kwenye sehemu [-π, π]. Utendaji wa Bessel n = 1, 2,..., J ν ( x), fomu kwa kila ν > - 1/2 O. s. f. kwa uzito X kwenye sehemu.

Ikiwa kila kitendakazi φ ( X) kutoka kwa O. s. f. ni kwamba x) kwa nambari

Utafiti wa utaratibu wa O. s. f. ilianzishwa kuhusiana na njia ya Fourier ya kutatua matatizo ya thamani ya mipaka ya milinganyo ya fizikia ya hisabati. Njia hii inaongoza, kwa mfano, kutafuta suluhu kwa tatizo la Sturm-Liouville (Angalia tatizo la Sturm-Liouville) kwa mlinganyo [ρ( X) y" ]" + q(x) y = λ katika, kukidhi masharti ya mipaka katika(A) + hivi"(a) = 0, y(b) + Hi"(b) = 0, wapi h Na N- kudumu. Maamuzi haya ndiyo yanayoitwa. kazi kuu za tatizo huunda O.s. f. na uzito ρ ( X) kwenye sehemu [ a, b].

Darasa muhimu sana la O. s. f. - Orthogonal polynomials - iligunduliwa na P. L. Chebyshev katika masomo yake juu ya kufasiriwa na njia ndogo ya mraba na shida ya muda mfupi. Katika karne ya 20 utafiti juu ya O. s. f. hufanywa hasa kwa misingi ya nadharia shirikishi na kipimo cha Lebesgue. Hii ilichangia mgawanyo wa masomo haya katika tawi huru la hisabati. Moja ya kazi kuu za nadharia ya O. s. f - tatizo la mtengano wa kazi f(x) katika mfululizo wa fomu p ( X)) - O. s. f. Ikiwa tutaiweka rasmi P ( X)) - kawaida O. s. f., na kuruhusu uwezekano wa kuunganishwa kwa muda kwa muda, basi, kuzidisha mfululizo huu kwa φ P(X) ρ( X) na kuunganisha kutoka A kabla b, tunapata:

Odd S p, inayoitwa vijigawo vya Fourier vya chaguo za kukokotoa vinavyohusiana na mfumo (φ n(x)), kuwa na mali ifuatayo zaidi: fomu ya mstari x):

ina thamani ndogo ikilinganishwa na makosa yaliyotolewa kwa hiyo hiyo n maneno mengine ya mstari wa fomu

Msururu ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) na tabia mbaya S p, iliyokokotwa kwa kutumia fomula (*), inaitwa mfululizo wa Fourier wa chaguo za kukokotoa f(x) kulingana na O. s. f. (φ n(x)). Kwa programu, swali la umuhimu wa msingi ni ikiwa chaguo za kukokotoa zimefafanuliwa kipekee f(x) kwa vigawo vyao vya Fourier. O.S. f., ambayo hii hufanyika, huitwa kamili, au kufungwa. Masharti ya kufungwa O. s. f. inaweza kutolewa kwa fomu kadhaa sawa. 1) Kitendaji chochote kinachoendelea f(x) inaweza kukadiria kwa wastani na kiwango chochote cha usahihi kwa michanganyiko ya laini ya utendaji φ k(x), yaani, C n φ n (x) huungana kwa wastani hadi kwenye chaguo la kukokotoa f(x)]. 2) Kwa kazi yoyote f(x), ambayo mraba wake tunaunganisha kwa heshima na uzito ρ( X), hali ya kufungwa kwa Lyapunov-Steklov imeridhika:

3) Hakuna kazi isiyo ya sifuri ambayo inaweza kuunganishwa kwa muda [ a, b] mraba othogonal kwa vitendakazi vyote φ n(x), n = 1, 2,....

Ikiwa tutazingatia chaguo za kukokotoa zilizo na mraba unaoweza kuunganishwa kama vipengele vya nafasi ya Hilbert (Angalia nafasi ya Hilbert), basi O.S. f. itakuwa mifumo ya kuratibu vekta za kitengo cha nafasi hii, na upanuzi wa mfululizo katika O.s ya kawaida. f. - upanuzi wa vector katika vectors kitengo. Kwa njia hii, dhana nyingi za nadharia ya mifumo ya uendeshaji ya kawaida. f. kupata maana wazi ya kijiometri. Kwa mfano, fomula (*) inamaanisha kuwa makadirio ya vekta kwenye vekta ya kitengo ni sawa na bidhaa ya scalar ya vekta na kitengo cha kitengo; usawa wa Lyapunov - Steklov inaweza kufasiriwa kama nadharia ya Pythagorean kwa nafasi isiyo na kipimo: mraba wa urefu wa vekta ni sawa na jumla ya miraba ya makadirio yake kwenye shoka za kuratibu; kutengwa O. s. f. inamaanisha kuwa nafasi ndogo iliyofungwa iliyo na vekta zote za mfumo huu inalingana na nafasi nzima, nk.

Lit.: Tolstov G.P., Mfululizo wa Fourier, toleo la 2, M., 1960; Natanson I.P., Nadharia ya Kujenga ya kazi, M. - L., 1949; na yeye, Nadharia ya kazi za kutofautiana halisi, toleo la 2, M., 1957; Jackson D., Mfululizo wa Fourier na polynomials orthogonal, trans. kutoka kwa Kiingereza, M., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Nadharia ya mfululizo wa orthogonal, trans. kutoka Ujerumani, M., 1958.

Encyclopedia kubwa ya Soviet. - M.: Encyclopedia ya Soviet. 1969-1978 .

Tazama "mfumo wa utendaji wa Orthogonal" ni nini katika kamusi zingine:

- (Kigiriki orthogonios mstatili) mfumo wa kikomo au unaoweza kuhesabika wa vitendakazi vinavyomilikiwa na nafasi ya (inayotenganishwa) ya Hilbert L2(a,b) (vitendaji vinavyoweza kuunganishwa mara nne) na kukidhi masharti F tion g(x) kuitwa. uzani wa O. s. f.,* maana yake... ... Ensaiklopidia ya kimwili

Mfumo wa utendakazi??n(x)?, n=1, 2,..., uliobainishwa kwenye sehemu ORTHOGONAL TRANSFORMATION mabadiliko ya mstari wa nafasi ya vekta ya Euclidean, kuhifadhi urefu ambao haujabadilika au (ambayo ni sawa na hii) bidhaa za scalar za vekta . .. Kamusi kubwa ya Encyclopedic

Mfumo wa utendakazi (φn(x)), n = 1, 2, ..., umefafanuliwa kwenye muda [a, b] na kukidhi hali ifuatayo ya uratibu: kwa k≠l, ambapo ρ(x) ni utendaji fulani. inayoitwa uzito. Kwa mfano, mfumo wa trigonometric ni 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... Kamusi ya encyclopedic

Mfumo wa utendakazi ((фn(х)), n=1, 2, ..., uliofafanuliwa kwenye muda [a, b] na kutosheleza ufuatiliaji, hali ya orthogonality ya k si sawa na l, ambapo p(x) ) ni kazi fulani , inayoitwa uzito.Kwa mfano, mfumo wa trigonometric 1, sin x, cosх, sin 2x, cos 2x,... O.s.f. yenye uzito... ... Sayansi ya asili. Kamusi ya encyclopedic

Tazama Sanaa. Mfumo wa Orthogonal wa kazi. Ensaiklopidia ya kimwili. Katika juzuu 5. M.: Encyclopedia ya Soviet. Mhariri mkuu A. M. Prokhorov. 1988 ... Ensaiklopidia ya kimwili

1) O. s. vekta ni seti ya vivekta visivyo sifuri vya nafasi ya Euclidean (Hilbert) yenye bidhaa ya scalar (. , .) kama vile kwa (uhalisi) na (ukawaida). M. I. Voitsekhovsky. 2) O. s. kazi na mfumo wa utendakazi wa nafasi.... Encyclopedia ya hisabati

Ujenzi wa mfumo fulani wa utendakazi (fn(x)), unaoweza kuunganishwa na mraba kwenye muda [a, b]utendaji wa mfumo wa othogonal (jn(x)) kwa kutumia mchakato fulani wa orthogonalization au kwa kupanua kazi fn( x)... Encyclopedia ya hisabati

Ufafanuzi 1. ) inaitwa orthogonal ikiwa vipengele vyake vyote ni pairwise orthogonal:

Nadharia 1. Mfumo wa orthogonal wa vekta zisizo za sifuri ni huru kwa mstari.

(Fikiria mfumo unategemea mstari: na, kwa uhakika, Wacha tuzidishe usawa kwa kiasi kikubwa . Kwa kuzingatia usawa wa mfumo, tunapata: }

Ufafanuzi 2. Mfumo wa vekta za nafasi ya Euclidean ( ) inaitwa orthonormal ikiwa ni orthogonal na kawaida ya kila elementi ni sawa na moja.

Inafuata mara moja kutoka kwa Nadharia ya 1 kwamba mfumo wa kawaida wa vitu huwa huru kila wakati. Kuanzia hapa inafuata, kwa upande wake, kwamba ndani n- katika nafasi ya Euclidean ya dimensional mfumo wa kawaida wa n vekta huunda msingi (kwa mfano, ( mimi, j, k ) saa 3 X- nafasi ya dimensional) Mfumo kama huo unaitwa msingi wa kawaida, na vekta zake ni vekta za msingi.

Kuratibu za vekta katika msingi wa kawaida zinaweza kuhesabiwa kwa urahisi kwa kutumia bidhaa ya scalar: ikiwa Hakika, kuzidisha usawa juu , tunapata fomula iliyoonyeshwa.

Kwa ujumla, idadi yote ya msingi: bidhaa ya scalar ya vectors, urefu wa vector, cosine ya angle kati ya vectors, nk. kuwa na umbo rahisi zaidi katika msingi wa kawaida. Hebu fikiria bidhaa ya scalar:, tangu

Na maneno mengine yote ni sawa na sifuri. Kutoka hapa tunapata mara moja: ,

* Fikiria msingi wa kiholela. Bidhaa ya scalar katika msingi huu itakuwa sawa na:

(Hapa αi Na β j - kuratibu za vekta kwa msingi ( f), na ni bidhaa za scalar za vekta za msingi).

Kiasi γ ij kuunda matrix G, kuitwa Matrix ya gramu. Bidhaa ya scalar katika fomu ya matrix itaonekana kama: *

Nadharia 2. Katika yoyote n- katika nafasi ya Euclidean ya dimensional kuna msingi wa kawaida. Uthibitisho wa nadharia ni ya kujenga katika asili na inaitwa

9. Mchakato wa Gram-Schmidt orthogonalization.

Wacha ( a 1,..., n ) − msingi wa kiholela n- nafasi ya Euclidean ya dimensional (uwepo wa msingi kama huo ni kwa sababu ya n- ukubwa wa nafasi). Algorithm ya kuunda msingi wa kawaida kutoka kwa msingi fulani ni kama ifuatavyo.

1.b 1 =a 1, e 1 = b 1/|b 1|, |e 1|= 1.

2.b 2^e 1, kwa sababu (e 1, 2)- makadirio a 2 juu e 1 , b 2 = a 2 -(e 1, 2)e 1 , e 2 = b 2/|b 2|, |e 2|= 1.

3.b 3^ya 1, b 3^a 2, b 3 = a 3 -(e 1, 3)e 1 -(e 2, 3)e 2 , e 3 = b 3/|b 3|, |e 3|= 1.

.........................................................................................................

k. b k^a 1,..., b k^a k-1 , b k = a k - S i=k1(e mimi, a k)e i , e k = b k/|b k|, |e k|= 1.

Kuendeleza mchakato, tunapata msingi wa kawaida ( e 1,...,e n }.

Kumbuka 1. Kwa kutumia algorithm inayozingatiwa, inawezekana kujenga msingi wa kawaida kwa shell yoyote ya mstari, kwa mfano, msingi wa kawaida wa shell ya mstari wa mfumo ambao una daraja la tatu na lina vectors tano-dimensional.

Mfano.x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Kumbuka 2. Kesi maalum

Mchakato wa Gram-Schmidt pia unaweza kutumika kwa mlolongo usio na kikomo wa vekta huru za mstari.

Zaidi ya hayo, mchakato wa Gram-Schmidt unaweza kutumika kwa vekta zinazotegemea mstari. Katika kesi hii, inahusika 0 (vekta sifuri) kwa hatua j , Kama a j ni mchanganyiko wa mstari wa vekta a 1,...,a j -1 . Ikiwa hii inaweza kutokea, basi ili kuhifadhi usawa wa vekta za pato na kuzuia mgawanyiko kwa sifuri wakati wa urekebishaji, algorithm lazima iangalie kwa vekta zisizo na maana na kuzitupa. Idadi ya vekta zinazozalishwa na algorithm itakuwa sawa na ukubwa wa nafasi ndogo inayozalishwa na vekta (yaani, idadi ya vekta zinazojitegemea zenye mstari ambazo zinaweza kutofautishwa kati ya vekta asili).

10. Nafasi za vekta za kijiometri R1, R2, R3.

Hebu tusisitize kwamba nafasi pekee zina maana ya moja kwa moja ya kijiometri

R 1, R 2, R 3. Nafasi R n kwa n > 3 ni kitu dhahania cha kihisabati.

1) Acha mfumo wa vekta mbili upewe a Na b . Ikiwa mfumo unategemea linearly, basi moja ya vectors, hebu sema a , imeonyeshwa kwa mstari kupitia nyingine:

a= k b.

Vekta mbili zilizounganishwa na utegemezi kama huo, kama ilivyotajwa tayari, huitwa collinear. Kwa hivyo, mfumo wa vekta mbili unategemea mstari ikiwa na tu

wakati vekta hizi ni collinear. Kumbuka kwamba hitimisho hili linatumika sio tu kwa R3, lakini pia kwa nafasi yoyote ya mstari.

2) Acha mfumo katika R3 uwe na vekta tatu a, b, c . Utegemezi wa mstari unamaanisha kuwa moja ya vekta, sema a , imeonyeshwa kwa mstari kupitia zingine:

A= k b+ l c . (*)

Ufafanuzi. Vekta tatu a, b, c katika R 3 amelazwa katika ndege moja au sambamba na ndege hiyo huitwa coplanar

(katika takwimu upande wa kushoto vekta zimeonyeshwa a, b, c kutoka kwa ndege moja, na upande wa kulia vectors sawa hupangwa kutoka asili tofauti na ni sawa tu na ndege moja).

Kwa hivyo, ikiwa vekta tatu katika R3 zinategemea mstari, basi ni coplanar. Kinyume chake pia ni kweli: ikiwa veta a, b, c kutoka R3 ni coplanar, basi ni tegemezi linearly.

Mchoro wa Vector vekta a, kwa vekta b katika nafasi inaitwa vector c , kukidhi mahitaji yafuatayo:

Uteuzi:

Fikiria mara tatu zilizoagizwa za vekta zisizo za coplanar a, b, c katika nafasi tatu-dimensional. Wacha tuchanganye asili ya vekta hizi kwa uhakika A(Hiyo ni, tunachagua nukta kiholela katika nafasi A na songa kila vekta sambamba ili asili yake ilandane na uhakika A) Miisho ya vekta pamoja na mwanzo wao kwa uhakika A, usiseme uongo kwenye mstari huo, kwani vectors sio coplanar.

Imeagizwa mara tatu ya vekta zisizo za coplanar a, b, c katika nafasi tatu-dimensional inaitwa haki, ikiwa kutoka mwisho wa vector c zamu fupi kutoka kwa vekta a kwa vekta b inayoonekana kwa mwangalizi kinyume cha saa. Kinyume chake, ikiwa zamu fupi zaidi inaonekana kwa saa, basi mara tatu inaitwa kushoto.

Ufafanuzi mwingine unahusiana na mkono wa kulia mtu (tazama picha), ambapo jina linatoka.

Mikono yote mitatu ya mkono wa kulia (na kushoto) ya vekta huitwa zinazoelekezwa kwa kufanana.

Sawa na sifuri:

Mfumo wa orthogonal, ikiwa umekamilika, unaweza kutumika kama msingi wa nafasi. Katika kesi hii, mtengano wa kipengele chochote unaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula:, wapi.

Kesi wakati kawaida ya vitu vyote inaitwa mfumo wa kawaida.

Orthogonalization

Mfumo wowote kamili wa kujitegemea wa mstari katika nafasi ya kikomo-dimensional ni msingi. Kutoka kwa msingi rahisi, kwa hiyo, mtu anaweza kwenda kwenye msingi wa kawaida.

Mtengano wa Orthogonal

Wakati wa kuoza vectors ya nafasi ya vector kulingana na msingi wa kawaida, hesabu ya bidhaa ya scalar ni rahisi:, wapi na.

Angalia pia

Wikimedia Foundation. 2010.

Tazama "mfumo wa Orthogonal" ni nini katika kamusi zingine:

1) Ah ... Encyclopedia ya hisabati

Mfumo wa utendakazi ((φn (x)), n = 1, 2,..., orthogonal yenye uzito ρ (x) kwenye sehemu [a, b], yaani, kama kwamba Mifano. Mfumo wa trigonometric 1, cos nx , sin nx; n = 1, 2,..., O. s.f. yenye uzito 1 kwenye sehemu [π, π]. Bessel... Encyclopedia kubwa ya Soviet

Kuratibu za Orthogonal ni zile ambazo tensor ya metri ina fomu ya diagonal. ambapo d Katika mifumo ya kuratibu ya othogonal q = (q1, q², ..., qd) nyuso za kuratibu ni za orthogonal kwa kila mmoja. Hasa, katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian... ... Wikipedia

mfumo wa orthogonal multichannel- [L.G. Sumenko. Kamusi ya Kiingereza-Kirusi juu ya teknolojia ya habari. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Mada za teknolojia ya habari kwa ujumla EN orthogonal multiplex ...

kuratibu mfumo wa picha (photogrammetric).- Mfumo wa kuratibu wa anga wa kulia, uliowekwa kwenye picha ya picha na picha za alama za kuaminika. [GOST R 51833 2001] Mada: upigaji picha... Mwongozo wa Mtafsiri wa Kiufundi

mfumo- Mfumo wa 4.48: Mchanganyiko wa vipengele vinavyoingiliana vilivyopangwa ili kufikia lengo moja au zaidi maalum. Kumbuka 1 Mfumo unaweza kuzingatiwa kama bidhaa au huduma zinazotolewa. Kumbuka 2 kwa vitendo...... Kitabu cha marejeleo cha kamusi cha masharti ya hati za kawaida na za kiufundi

mfumo wa kazi (φ n(x)}, n= 1, 2,..., orthogonal yenye uzito ρ ( X) kwenye sehemu [ A, b], yaani vile vile

Ikiwa kila kitendakazi φ ( X) kutoka kwa O. s. f. ni kwamba x) kwa nambari

Odd S p, inayoitwa vijigawo vya Fourier vya chaguo za kukokotoa vinavyohusiana na mfumo (φ n(x)), kuwa na mali ifuatayo zaidi: fomu ya mstari x):

ina thamani ndogo ikilinganishwa na makosa yaliyotolewa kwa hiyo hiyo n maneno mengine ya mstari wa fomu

3) Hakuna kazi isiyo ya sifuri ambayo inaweza kuunganishwa kwa muda [ a, b] mraba othogonal kwa vitendakazi vyote φ n(x), n = 1, 2,....

- kikundi cha mabadiliko yote ya mstari wa nafasi ya vekta ya n-dimensional V juu ya uwanja k, kuhifadhi umbo lisilobadilika la quadratic Q kwenye V)=Q kwa yoyote)...
Encyclopedia ya hisabati
- tumbo juu ya pete ya kubadilisha R yenye kitengo cha 1, ambacho matriki iliyopitishwa inalingana na kinyume. Kiamuzi cha O. m. ni sawa na +1...
Encyclopedia ya hisabati
- mtandao ambao tangents katika hatua fulani kwa mistari ya familia tofauti ni orthogonal. Mifano ya mifumo ya uendeshaji: mtandao wa asymptotic kwenye uso mdogo, mtandao wa curvature ya mstari. A.V. Ivanov...
Encyclopedia ya hisabati
- 1) Ah ....
Encyclopedia ya hisabati
- safu ya orthogonal, OA - matrix ya saizi kx N, vitu ambavyo ni nambari 1, 2, .....
Encyclopedia ya hisabati
- tazama njia ya Isogonal ...
Encyclopedia ya hisabati
- mfumo wa kawaida wa utendaji (j) wa nafasi fulani ya Hilbert H hivi kwamba katika H hakuna utendaji unaolingana na kazi zote za familia fulani...
Encyclopedia ya hisabati
- tazama Makadirio...
Kamusi kubwa ya Encyclopedic Polytechnic
- uamuzi wa utii wa kazi za vitu anuwai ...
Kamusi ya maneno ya biashara
- uimarishaji wa kazi, moja ya Ch. njia za mabadiliko ya maendeleo ya viungo wakati wa mageuzi ya wanyama. Kama. kawaida huhusishwa na ugumu wa muundo wa viungo na mwili kwa ujumla ...
Kamusi ya encyclopedic ya kibiolojia
- uimarishaji wa kazi, mojawapo ya njia kuu za mabadiliko ya maendeleo ya viungo wakati wa mageuzi ya wanyama. Kama. inahusishwa na ugumu wa muundo wa viungo na husababisha kuongezeka kwa jumla kwa kiwango cha shughuli muhimu ...
- order n Matrix...
Encyclopedia kubwa ya Soviet
- kesi maalum ya makadirio sambamba, wakati mhimili au ndege ya makadirio ni perpendicular kwa mwelekeo wa makadirio ...
Encyclopedia kubwa ya Soviet
- mfumo wa kazi (), n = 1, 2,..., orthogonal na uzito ρ kwenye sehemu, yaani, vile kwamba Mifano. Mfumo wa trigonometric 1, cos nx, dhambi nx; n = 1, 2,..., - O.s. f. na uzito 1 kwenye sehemu...
Encyclopedia kubwa ya Soviet
- mfumo kama huo wa kazi Ф = (φ), umefafanuliwa kwa muda, kwamba hakuna kazi f ambayo, ...
Encyclopedia kubwa ya Soviet
- Mfumo wa ORTHOGONAL wa KAZI - mfumo wa utendaji??n?, n=1, 2,.....
Kamusi kubwa ya encyclopedic

"Mfumo wa Orthogonal wa kazi" katika vitabu

Aya ya XXIV Mfumo wa zamani wa vita vya mitaro na mfumo wa kisasa wa maandamano

Kutoka kwa kitabu Strategy and Tactics in the Art of War mwandishi Zhomini Genrikh Veniaminovich

Aya ya XXIV Mfumo wa Zamani wa Vita vya Nafasi na Mfumo wa Kisasa wa Maandamano Kwa mfumo wa vyeo unamaanisha njia ya zamani ya kuendesha vita vya kimfumo, pamoja na majeshi kulala kwenye hema, wakiwa na vifaa karibu, wakishughulika kutazamana; jeshi moja

19. Dhana ya "mfumo wa ushuru wa Shirikisho la Urusi". Uhusiano kati ya dhana "mfumo wa ushuru" na "mfumo wa ushuru"

Kutoka kwa kitabu Sheria ya Kodi mwandishi Mikidze S G

19. Dhana ya "mfumo wa ushuru wa Shirikisho la Urusi". Uhusiano kati ya dhana ya "mfumo wa ushuru" na "mfumo wa ushuru" Mfumo wa ushuru ni seti ya ushuru wa shirikisho, ushuru wa kikanda na wa ndani ulioanzishwa katika Shirikisho la Urusi. Muundo wake umewekwa katika Sanaa. 13-15 Kanuni ya Ushuru ya Shirikisho la Urusi

Kutoka kwa kitabu How It Really Happened. Uundaji upya wa historia ya kweli mwandishi Nosovsky Gleb Vladimirovich

23. Mfumo wa geocentric wa Ptolemy na mfumo wa heliocentric wa Tycho Brahe (na Copernicus) Mfumo wa ulimwengu kulingana na Tycho Brahe umeonyeshwa kwenye Mtini. 90. Katikati ya dunia ni Dunia, ambayo Jua huzunguka. Walakini, sayari zingine zote tayari zinazunguka Jua. Hasa

23. Mfumo wa kijiografia wa Ptolemy na mfumo wa heliocentric wa Tycho Brahe (na Copernicus)

Kutoka kwa kitabu cha mwandishi

Mfumo kamili wa kazi

Kutoka kwa kitabu Great Soviet Encyclopedia (PO) na mwandishi TSB

Matrix ya Orthogonal

TSB

Makadirio ya Orthografia

Kutoka kwa kitabu Great Soviet Encyclopedia (OR) na mwandishi TSB

Mfumo wa kazi ya Orthogonal

Kutoka kwa kitabu Great Soviet Encyclopedia (OR) na mwandishi TSB

Kidokezo cha 46: Pitisha vipengee vya utendaji kwa algoriti badala ya vitendakazi

Kutoka kwa kitabu Kutumia STL kwa Ufanisi na Meyers Scott

Kidokezo cha 46: Pitisha Vipengee vya Kazi kwa Algorithms Badala ya Kazi Mara nyingi inasemekana kuwa kuongeza kiwango cha uondoaji wa lugha za kiwango cha juu husababisha msimbo unaozalishwa kuwa na ufanisi mdogo. Alexander Stepanov, mvumbuzi wa STL, aliwahi kuunda tata ndogo

12.3.5. Adapta za Kazi za Vipengee vya Kazi

Kutoka kwa kitabu cha C++ kwa wanaoanza na Lippman Stanley

12.3.5. Adapta za Utendakazi kwa Vipengee vya Kazi Maktaba ya kawaida pia ina idadi ya adapta za utendakazi kwa utaalam na kupanua vitu vya utendaji kazi visivyo vya kawaida na vya binary. Adapta ni madarasa maalum yaliyogawanywa katika mbili zifuatazo

11/19/2. Kupiga simu kutoka kwa faili ya chaguo-msingi

Kutoka kwa kitabu Linux na UNIX: programu ya shell. Mwongozo wa Msanidi. na Tainsley David

11/19/2. Kupiga Kazi kutoka kwa Faili ya Kazi Tayari tumeangalia jinsi vitendaji vinavyoitwa kutoka kwa safu ya amri. Aina hizi za utendakazi kwa kawaida hutumiwa na huduma zinazounda ujumbe wa mfumo. Sasa hebu tutumie chaguo la kukokotoa lililoelezwa hapo juu tena, lakini katika kesi hii.

Mfumo wa sheria ya lengo (chanya) na mfumo wa sheria: uhusiano wa dhana

Kutoka kwa kitabu Jurisprudence mwandishi Mardaliev R. T.

Mfumo wa sheria ya lengo (chanya) na mfumo wa sheria: uhusiano wa dhana Mfumo wa sheria ya lengo (chanya) ni muundo wa ndani wa sheria, ukigawanya katika matawi, sekta ndogo na taasisi kwa mujibu wa somo na mbinu. ya kisheria

31. Mfumo wa serikali ya Ufaransa, upigaji kura na mfumo wa uchaguzi

Kutoka kwa kitabu Constitutional Law of Foreign Countries mwandishi Imasheva E G

31. Mfumo wa serikali ya Ufaransa, upigaji kura na mfumo wa uchaguzi Nchini Ufaransa, kuna serikali ya jamhuri ya mchanganyiko (au nusu-rais). Mfumo wa serikali nchini Ufaransa umejengwa juu ya kanuni ya mgawanyo wa mamlaka.Ufaransa wa kisasa

Harakati za matibabu ili kurejesha kazi za magari na kwa maumivu ya nyuma Marejesho ya kazi za magari

Kutoka kwa kitabu Encyclopedia of therapeutic movements for various diseases mwandishi Astashenko Oleg Igorevich

Harakati za matibabu ili kurejesha kazi za magari na kwa maumivu ya nyuma Kurejesha kazi za magari Kuna mazoezi mengi ya kurejesha mgongo. Unaweza kuja nazo mwenyewe, au kuzipata katika aina mbalimbali za mazoezi ya viungo. Hata hivyo, rahisi

Harakati za matibabu ili kurejesha kazi za magari na kwa kazi za motor za maumivu ya nyuma

Kutoka kwa kitabu Overhaul kwa mgongo mwandishi Astashenko Oleg Igorevich

Harakati za matibabu ili kurejesha kazi za magari na kazi za motor kwa maumivu ya nyuma Kurejesha kazi za magari Kuna mazoezi mengi ya kurejesha mgongo. Unaweza kuja nazo mwenyewe, au kuzipata katika aina mbalimbali za mazoezi ya viungo.

x =λ 0 e +z, ambapo L. Ili kukokotoa λ 0, tunazidisha pande zote mbili za usawa kwa e. Kwa kuwa (z,e) = 0, tunapata (x,e) =λ 0 (e,e) =λ 0.

Mifumo ya Orthogonal na ya kawaida

Ufafanuzi 5.5. Ikiwa L ni nafasi ndogo ya nafasi ya Hilbert H, basi mkusanyiko M wa vitu vyote kutoka H ambavyo ni orthogonal hadi L huitwa.

kiungo cha orthogonal kwa L.

Wacha tuthibitishe kuwa M pia ni nafasi ndogo.

1) Kutoka kwa mali 3) kwa vitu vya orthogonal inafuata kwamba M ni sehemu ndogo ya nafasi H.

2) Acha z n M na z n → z . Kwa ufafanuzi, M z n y kwa yoyote y L , na kwa mali 4) kwa vipengele vya orthogonal tuna z y . Kwa hiyo, z M na M zimefungwa.

Kwa x H yoyote, na Theorem 5.3 kuna upanuzi wa kipekee

ya umbo x =y +z, ambapo y L,z M, i.e. nafasi ndogo za L na M fomu

mtengano wa orthogonal wa nafasi H.

Lema 5.1. Ruhusu seti yenye kikomo au inayoweza kuhesabika ya nafasi ndogo za othogonal za jozi L n itolewe na kipengele cha x H kiwakilishwe katika umbo.

x = ∑ y n , wapi y L . Kisha uwakilishi huo ni wa pekee na y n = Pr L n x .

Ufafanuzi 5.6. Mfumo wa nafasi ndogo za orthogonal L n inaitwa kamili ikiwa katika nafasi H hakuna kipengele cha nonzero orthogonal kwa zote L n .

Ufafanuzi 5.7. Mfumo wenye kikomo au unaohesabika wa vipengele h n wa nafasi ya Hilbert H huitwa orthogonal ikiwa h n h m kwa n ≠m.. Ufafanuzi 5.8. Mfumo wa orthogonal h n unaitwa ya kawaida, ikiwa ||h n || = 1.

Ufafanuzi 5.9. Mfumo wa othogonal h n unaitwa kamili ikiwa hakuna kipengele kisicho sifuri x H vile x h n kwa zote n .

Unaweza kuangalia hilo Vipengele vya nonzero vya mfumo wa orthogonal vinajitegemea kwa mstari.

Mfano wa mfumo kamili wa orthonormal katika l 2 ni mfumo wa vectors zote za kitengo cha kuratibu.


Imetolewa na vipengele h n	yenye mwelekeo mmoja		nafasi ndogo L n
ya orthogonal. Makadirio ya kipengele				nafasi ndogo
kuhesabiwa kwa formula		x = nn.
	PrL n
Nambari α n = (x ,h n ) zinaitwa	mgawo			Kipengele cha nne zaidi
kuhusiana na mfumo wa vipengele h n.

Nadharia 5.4. Ikiwa kipengele x H kinaweza kuwakilishwa kama

x = ∑ λ n h n , basi uwakilishi huu ni wa kipekee na viambajengo λ n ni sawa

Huu ni utendaji x inaitwa upanuzi wa Fourier (upanuzi wa orthogonal) wa kipengele x katika vipengele hn.

Nadharia 5.5. Ili kipengele chochote cha x H kiweze kuwakilishwa na upanuzi wake wa Fourier juu ya vipengele h n vya mfumo wa kawaida, ni muhimu na ya kutosha kwamba mfumo huu ukamilike.

Kutoka kwa nadharia hii inafuata kwamba katika nafasi ya n-dimensional Hilbert mfumo kamili wa orthonormal lazima uwe na vipengele vya n. Kwa upande mwingine, ikiwa katika nafasi ya n-dimensional ya Hilbert msingi wa kiholela hutolewa, unaojumuisha vipengele vya orthogonal vya jozi, basi inafuata kutoka kwa Theorem 5.5 kwamba mfumo huu umekamilika.

Ufafanuzi 5.10. Mfumo kamili wa orthogonal wa vipengele huitwa

msingi wa kawaida Nafasi ya Hilbert.

Ufafanuzi 5.11. Uwiano

	∑ α n 2=
	∑ α n 2=

wapi α n	- Migawo nne ya kipengele x, inayoitwa equation
kujitenga.

Nadharia 5.6.

Kwa mfumo wa kawaida wa kiholela (h n ), taarifa zifuatazo kuhusu vipengele x H ni sawa:

1) kwa kipengele x H upanuzi wa Fourier (5.7) ni halali;

2) kipengele x H kinajumuishwa katika nafasi ndogo inayozalishwa na seti ya vipengele (h n);

3) kwa kipengele x H mlinganyo wa kufungwa (5.8) umeridhika. Kutoka kwa Nadharia 5.5 na 5.6 inafuata kwamba ili mfumo wa kawaida ukamilike, ni muhimu na ya kutosha

kwa x H yoyote equation ya kufungwa iliridhika.

Nadharia 5.7. Ikiwa elementx H inaweza kuwakilishwa na upanuzi wake wa Fourier (5.7) juu ya vipengele vya mfumo wa kawaida (h n ), basi kwa y H yoyote

(x ,y )= ∑ α n β n ,

ambapo α n ni viambajengo vya Fourier vya elementix, β n ni viambajengo vya Fourier vya kipengele kinachohusiana na mfumo (h n).

Nadharia 5.8. Nafasi ya kawaida yenye kikomo inaweza kutenganishwa. Nadharia 5.9. Nafasi yoyote iliyo na msingi unaohesabika inaweza kutenganishwa.

Kutoka kwa Nadharia 5.8 na 5.9 inafuata kwamba msingi wa kawaida wa kikomo au unaohesabika unaweza kuwepo tu katika nafasi zinazoweza kutenganishwa.

Orthogonalization ya mfumo wa vipengele vya kujitegemea vya mstari

Acha nafasi ya Hilbert H ipewe mfumo wa kikomo au unaohesabika wa vipengele vinavyotegemea mstari g 1 , g 2 , ... Hebu tujenge mfumo wa kawaida wa vipengele h 1 , h 2 , ... ili kila h n iwe na umbo.

h n =μ n 1 g 1 +μ n 2 g 2 +...+μ nn g n ,
na kila g n ina umbo
g n =ν n 1 h 1 +ν n 2 h 2 +...+ν nn h n .

Kwanza, hebu tujenge mfumo wa orthogonal wa vipengele f 1 , f 2 , ... , tukichukulia kwa mfuatano.

k = 1

Coefficients λ ik lazima ichaguliwe kwa njia ambayo vipengele f 1 , f 2 , ... ni pairwise orthogonal. Hebu coefficients λ ik kwa vipengele f 1 , f 2 , ..., f n- 1 tayari zimepatikana. Kisha wakati i

n− 1		n− 1
(f n ,f i ) = (g n –∑ λ nk f k ,f i ) = (g n ,f i) –∑ λ nk (f k ,f i).
k = 1		k = 1
Tangu f 1 ,f 2 , ..., f n- 1 tayari	ni orthogonal, basi (f k ,f i ) = 0 kwa		k ≠ mimi,
tunapata	F i ) = (g n ,f i ) –λ ni \|\|f i \|\|2 .
(fn	F i ) = (g n ,f i ) –λ ni \|\|f i \|\|2 .
Tangu kila kipengele		ni mchanganyiko wa mstari kimstari
vipengele vya kujitegemea g 1,	g 2 , ...,g n , na mgawo		kwa g n

umoja, kisha f n ≠ 0. Ili hali (f n ,f i ) = 0 itimizwe, mgawo λ ni lazima uamuliwe na fomula.

λni=	g n,	f i)

Tumeunda mfumo wa othogonal f 1 ,f 2 , .... Sasa hebu tuweke

h n=

Vipengee h 1 ,h 2 , ... vina othogonal kwa pande mbili, ||h n || = 1 na kila kipengele h n ni mchanganyiko wa mstari wa vipengele g 1 ,g 2 , ...,g n , kwa hiyo, ina fomu inayohitajika (5.9). Kwa upande mwingine, kutoka kwa formula (5.11) ni wazi kwamba kila g n ni mchanganyiko wa mstari wa vipengele f 1, f 2, ..., f n, na kwa hiyo vipengele h 1, h 2, ..., h n. , i.e. ina fomu (5.10). Kwa hivyo, tumepata mfumo wa orthonormal unaohitajika.

Zaidi ya hayo, ikiwa mfumo wa awali (gn) haukuwa na mwisho, basi mchakato wa orthogonalization una idadi isiyo na kipimo ya hatua, na mfumo (hn) pia utakuwa usio. Ikiwa mfumo wa awali una vipengele vya m, basi mfumo unaotokana utakuwa na idadi sawa.

Kumbuka kuwa kutoka kwa hali (5.9) na (5.10) inafuata kwamba ganda la mstari wa mifumo ya vitu (gn) na (hn) sanjari.

Ikiwa L ni nafasi ndogo ya mwelekeo wa mwisho wa nafasi H, na g 1 ,g 2 , ...,g n ni msingi wake wa kiholela, basi kwa kutumia mchakato wa orthogonalization kwenye mfumo (g n ), tutaunda msingi wa kawaida wa nafasi ndogo

Isomorphism ya nafasi ya Hilbert inayoweza kutenganishwa kiholela na nafasi l²

Nadharia 5.10. Katika nafasi inayoweza kutenganishwa ya Hilbert H iliyo na vipengee visivyo na nzero, kuna msingi usio na kikomo au unaohesabika wa kawaida.

Ushahidi.

Kwa ufafanuzi wa utengano, kuna seti mnene inayoweza kuhesabika A katika H. Wacha tuhesabu tena vipengele vyote vya seti A. Wacha tuchague kutoka kwa A mfumo wa kikomo au unaoweza kuhesabika B wa vipengee vinavyojitegemea kwa mstari, muda wa mstari ambao unaambatana na muda wa mstari wa seti A. Katika kesi hii, vitu vyote vilivyotupwa kutoka A ni mchanganyiko wa mstari wa vipengele vya mfumo B. Tutashughulikia mfumo B kwa mchakato wa orthogonalization na kuunda mfumo wa kawaida wa kikomo au unaohesabika wa vipengele h n . Hebu tuthibitishe

kwamba imejaa.

Hebu x H iwe ya orthogonal kwa wote h n . Kwa kuwa vipengele vya mfumo B ni mchanganyiko wa mstari wa vipengele h n , tox ni orthogonal kwa vipengele vyote.

mifumo B. Seti A inatofautiana na B kwa kuwa ina vipengele vingine zaidi ambavyo vinawakilishwa kama michanganyiko ya mstari wa vipengele vya mfumo B. Kwa hivyo, x ni orthogonal kwa vitu vyote vya seti A. Lakini kwa kuwa A ni mnene kila mahali inH, thenx = 0 kwa mali 5) kwa vitu vya orthogonal. Kwa hivyo, ukamilifu wa mfumo wa vipengele h n umethibitishwa.

Wacha tuhamishe ufafanuzi wa isomorphism ya algebraic na isometria ya nafasi za Euclidean hadi nafasi zozote zilizo kawaida.

Ufafanuzi 5.12. Nafasi mbili za kawaida E na E 1 zinaitwa

algebraic isomorphic na isometriki , ikiwa mawasiliano ya moja kwa moja yanaweza kuanzishwa kati ya vipengele vyao ili:

a) shughuli za algebraic kwenye vipengele kutoka kwa E zinalingana na shughuli sawa kwenye picha zao katika E 1;

b) kanuni za vipengele vinavyolingana kutoka kwa E na kutoka kwa E 1 ni sawa.

Nadharia 5.11. Kila nafasi isiyo na kipimo inayoweza kutenganishwa ya Hilbert H ina kialjebra isomorphic na isometriki kwa nafasi l 2 .

Ushahidi.

Kulingana na Nadharia 5.10, kuna msingi unaohesabika wa kawaida katika H: h 1 ,h 2 , ..., h n , .... Kwa Nadharia 5.5, kwa x H yoyote upanuzi katika

x = ∑ α n hn .

kulinganishwa

n = 1

mlolongo wa coefficients yake

(α n), n.k.

n = 1

Vector a na itaitwa picha ya vipengele.

Ikiwa α n ni viambajengo vya Fourier vya vipengele, na β n ni viambajengo

jumla ya picha za vipengele x na y. Vile vile, inathibitishwa kuwa ikiwa a ni taswira ya vipengele, basi λ a ni taswira ya kipengele λ x. Hii inamaanisha kuwa utendakazi wa aljebra kwenye vipengee kutoka H vinalingana na utendakazi sawa kwenye picha zao inl 2.

Hebu tuonyeshe kwamba kila vekta a = (α n )l 2 ni taswira ya baadhi

x H . Ili kufanya hivyo, kutokana na thamani iliyotolewa, tunatunga mfululizo ∑ α n h n. Tangu wanachama wa mfululizo

ni pairwise orthogonal, na		n = 1
ni pairwise orthogonal, na

∑ \|\|α n h n \|\|2 =	∑ α n 2< +∞,
n = 1	n = 1

kisha kwa Theorem 5.2 mfululizo huungana. Ikiwa tutaashiria jumla yake kwa x, basi kwa Theorem 5.4α n itakuwa migawo ya Fourier ya hii, kwa hivyo,

vekta aliyopewa itakuwa taswira yake.

Sasa hebu tuangalie kwamba mawasiliano yaliyoanzishwa kati ya vipengele kutoka kwa H na vectors kutoka l 2 ni moja hadi moja. Hakika, ikiwa vekta a na b ni picha za vipengele katika y, kwa mtiririko huo, basi, kwa kile kilichothibitishwa, a - b ni picha ya vipengele katika - y na kwa (5.12) a - b = x - y. Kwa hiyo, ifx ≠ y, basi ia ≠ b.

Kwa maneno mengine, ikiwa mfumo wa kawaida umekamilika, na vipengele viwili x na y vina mgawo sawa wa Fourier, basi x = y. Hii si kweli kwa mfumo usio kamili.

Kwa hivyo, tumeanzisha mawasiliano kati ya vipengele kutoka kwa H na vectors kutoka l 2, ambayo inawakilisha isomorphism ya algebraic na, kulingana na (5.12), isometric. Nadharia imethibitishwa.

Sasa tunathibitisha kuwa isomorphism kati ya H na l 2 pia imeanzishwa na

kuhifadhi thamani ya bidhaa scalar.

Nadharia 5.12. Kwa isomorphism kati ya nafasi H na l 2 iliyoanzishwa katika Theorem 5.11, bidhaa ya scalar ya vipengele vyovyote viwili vya H . ni sawa na bidhaa ya scalar ya picha zao inl 2.

Ushahidi. Wacha vekta a na b ziwe picha za vitu uy,


ipasavyo, a= (α n),b= (β n). Kisha: x = ∑ α n h n ,y =∑ β n h n .
n = 1	n = 1

Kwa kuzingatia Theorem 5.7 na ufafanuzi wa bidhaa ya scalar katika l 2, tunapata