Geometria algebraiczna, analiza rzeczywista i złożona, fizyka matematyczna i , a także ) nie zostały rozwiązane. W tej chwili 16 problemów z 23 zostało rozwiązanych. Kolejne 2 nie są poprawnymi problemami matematycznymi (jeden jest sformułowany zbyt niejasno, aby zrozumieć, czy został rozwiązany, czy nie, drugi jest daleki od rozwiązania i ma charakter fizyczny, a nie matematyczny). . Z pozostałych 5 problemów trzy nie zostały rozwiązane, a dwa zostały rozwiązane tylko w niektórych przypadkach.
Lista problemów
| 1 | rozwiązany | Problem Cantora o potęgę kontinuum () |
| 2 | rozwiązany | Spójność aksjomatów arytmetyki |
| 3 | rozwiązany | Równoważność równych rozmiarów |
| 4 | zbyt pobieżne | Wymień linie, w których linie są geodezyjne |
| 5 | rozwiązany | Czy wszystkie są ciągłe? |
| 6 | nie matematyczny | Matematyczne przedstawienie aksjomatów fizyki |
| 7 | rozwiązany | Jeśli A≠ 0, 1 - i B- algebraiczne, ale irracjonalne, czy to prawda a b - |
| 8 | otwarty | Problem liczby pierwsze( I ) |
| 9 | częściowo rozwiązany | Dowód jest jak najbardziej prawo zwyczajowe wzajemność w dowolnym polu liczbowym |
| 10 | rozwiązany | Problem rozwiązywalności |
| 11 | rozwiązany | Badanie form kwadratowych z dowolnymi algebraicznymi współczynnikami liczbowymi |
| 12 | otwarty | Rozszerzenie twierdzenia Kroneckera o ciałach abelowych na dowolną algebraiczną dziedzinę racjonalności |
| 13 | rozwiązany | Niemożność rozwiązania równanie ogólne potęgę siódmą przy użyciu funkcji zależnych tylko od dwóch zmiennych |
| 14 | rozwiązany | Dowód skończonej generacji algebry niezmienników grupy algebraicznej |
| 15 | rozwiązany | Rygorystyczne uzasadnienie geometrii obliczeniowej Schuberta |
| 16 | częściowo rozwiązany | Liczba i położenie owali rzeczywistej krzywej algebraicznej danego stopnia na płaszczyźnie; liczba i położenie wielomianowych cykli granicznych pole wektorowe dany stopień w samolocie |
| 17 | rozwiązany | Reprezentacja niektórych kształtów jako suma kwadratów |
| 18 | częściowo rozwiązany | Nieregularne wypełnienia przestrzeni przystającymi wielościanami. Najgęstsze upakowanie piłek |
| 19 | rozwiązany | Czy regularne rozwiązania wariacyjne są zawsze analityczne? |
| 20 | rozwiązany | Zadanie ogólne o warunkach brzegowych (?) |
| 21 | rozwiązany | Dowód na istnienie liniowych równań różniczkowych z daną grupą monodromii |
| 22 | rozwiązany | Ujednolicenie zależności analitycznych z wykorzystaniem funkcji automorficznych |
| 23 | rozwiązany | Rozwój metod rachunku wariacyjnego |
Przypisy
- Wynik Cohena pokazuje, że ani hipoteza kontinuum, ani jej negacja nie są sprzeczne ze standardowym systemem aksjomatów teorii mnogości. Zatem hipotezy kontinuum w tym systemie aksjomatów nie można ani udowodnić, ani obalić.
- Według Rowe'a i Graya (patrz poniżej) większość problemów została rozwiązana. Część z nich nie została sformułowana dostatecznie precyzyjnie, jednak uzyskane wyniki pozwalają uznać je za „rozwiązane”. Moat i Gray określają czwarty problem jako zbyt niejasny, aby ocenić, czy został rozwiązany, czy nie.
- Rove i Gray również nazywają problem nr 18 „otwartym” w swojej książce z 2000 roku, ponieważ problem upakowania kulek (znany również jako problem Keplera) nie został wówczas rozwiązany, ale obecnie według doniesień został rozwiązany (patrz poniżej). Postęp w rozwiązaniu problemu nr 16 nastąpił w ostatnim czasie, a także w latach 90-tych.
- Problem nr 8 zawiera dwa Znane problemy, oba pozostają nierozwiązane. Pierwszy z nich to jeden z siedmiu problemów Nagrody Milenijnej, które zostały określone jako „problemy Hilberta” XXI wieku.
- Problem nr 9 został rozwiązany dla przypadku abelowego; przypadek nieabelowy pozostaje nierozwiązany.
- Twierdzenie o skończonej generacji algebry niezmienników zostało udowodnione dla grup redukcyjnych. Nagata w 1958 roku skonstruował kontrprzykład przypadek ogólny. Udowodniono również, że jeśli algebra niezmienników dowolnej (skończenie wymiarowej) reprezentacji grupy algebraicznej jest generowana w sposób skończony, to grupa ta jest redukcyjna.
- Pierwsza (algebraiczna) część zadania nr 16 jest sformułowana bardziej precyzyjnie w następujący sposób. Harnack to udowodnił maksymalny numer owali równa się M=(n-1)(n-2)/2+1, a że takie krzywe istnieją - nazywa się je M-krzywymi. Jak można ułożyć owale krzywej M? Zadanie to zostało zrealizowane do stopnia n=6 włącznie, a dla stopnia n=8 wiadomo już całkiem sporo (choć nie zostało to jeszcze ukończone). Ponadto istnieją ogólne stwierdzenia ograniczające sposób układania owali krzywych M - patrz prace Gudkowa, Arnolda, Roona, samego Hilberta (warto jednak wziąć pod uwagę, że w dowodzie Hilberta dla n= występuje błąd 6: jeden z przypadków, który uważał za niemożliwy, okazał się możliwy i został zbudowany przez Gudkowa). Część druga (różniczkowa) pozostaje otwarta nawet dla kwadratowych pól wektorowych - nie wiadomo nawet, ile ich może być i nawet czy istnieje górna granica. Nawet twierdzenie o indywidualnej skończoności (że każde wielomianowe pole wektorowe ma skończoną liczbę cykli granicznych) zostało udowodnione dopiero niedawno. Uznano to za udowodnione przez Dulaca, jednak w jego dowodzie wykryto błąd i twierdzenie to ostatecznie udowodnili Iljaszenko i Ecal – o czym każdy z nich musiał napisać książkę.
(standardowy system aksjomatów teorii mnogości). Zatem hipotezy kontinuum w tym systemie aksjomatów nie można ani udowodnić, ani obalić (pod warunkiem, że ten system aksjomatów jest spójny).
A. A. Bolibrukh. Problemy Hilberta (100 lat później)
Pierwszy problem Hilberta: hipoteza kontinuum
Hipoteza kontinuum, pierwszy problem Hilberta, dotyczy problemów z podstaw matematyki i teorii mnogości. Jest to ściśle powiązane z tak prostymi i naturalnymi pytaniami, jak „Ile?”, „Mniej więcej?” i prawie każdy uczeń szkoły średniej jest w stanie zrozumieć, na czym polega ten problem. Do jego sformułowania będziemy jednak potrzebować dodatkowych informacji.
Ustaw równoważność
Rozważ następujący przykład. W szkole odbywa się impreza taneczna. Jak ustalić, kto jest bardziej obecny tego wieczoru: dziewczyny czy chłopcy?
Można oczywiście policzyć obie liczby i porównać otrzymane liczby. Ale o wiele łatwiej jest odpowiedzieć, kiedy orkiestra zaczyna grać walca, a wszyscy tancerze łączą się w pary. Jeśli wtedy wszyscy tańczą, oznacza to, że wszyscy znaleźli parę, czyli jest tyle samo chłopców i dziewcząt. Jeśli pozostaną tylko chłopcy, będzie ich więcej i odwrotnie.
Ta metoda, czasami bardziej naturalna niż bezpośrednie przeliczenie, nazywa się zasada parowania, Lub zasada korespondencji jeden do jednego.
Rozważmy teraz zbiór obiektów o dowolnej naturze --- pęczek. Obiekty zawarte w zestawie nazywane są jego elementy. Jeśli element X zawarte w zestawie X, oznacza się to następująco: x X. Jeśli zestaw X 1 zawarte w wielu X2, czyli wszystkie elementy zbioru X 1 są także elementami X2, wtedy tak mówią X 1--- podzbiór X2 i krótko napiszę to tak: X 1 X 2.
Pęczek Z pewnością, jeśli ma skończoną liczbę elementów. Zbiory mogą być skończone (na przykład zbiór uczniów w klasie) lub nieskończone (na przykład --- pęczek wszystkie liczby naturalne 1,2,3,... ). Zbiory, których elementami są liczby, nazywane są liczbowy.
Pozwalać X I Y--- dwa zestawy. Mówią, że między tymi zestawami jest ustalone wzajemna korespondencja, jeśli wszystkie elementy tych dwóch zbiorów zostaną podzielone na pary postaci (x, y), Gdzie x X, i Y i każdy element z X i każdy element z Y uczestniczy dokładnie w jednej parze.
Przykładem jest sytuacja, gdy wszystkie dziewczęta i chłopcy na imprezie tanecznej są dobrani w pary, a istnieje przykład dopasowania jeden na jednego pomiędzy wieloma dziewczynami i wieloma chłopcami.
Zbiory, pomiędzy którymi można ustalić korespondencję jeden do jednego, nazywane są równowartość Lub równie potężny. Dwa skończone zbiory są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tę samą liczbę elementów. Dlatego naturalne jest założenie, że jeśli nieskończony zestaw jest równoważny innemu, to ma „tą samą liczbę” elementów. Jednak w oparciu o tę definicję równoważności można otrzymać bardzo nieoczekiwane właściwości zbiorów nieskończonych.
Nieskończone zestawy
Rozważmy dowolny zbiór skończony i dowolny jego własny (niepusty i nie pokrywający się ze sobą) podzbiór. Następnie elementy podzbioru mniej, niż w samym zestawie, tj. część jest mniejsza niż całość.
Czy zbiory nieskończone mają tę własność? I czy ma sens twierdzenie, że jeden nieskończony zbiór ma „mniej” elementów niż inny, również nieskończony? Przecież o dwóch nieskończonych zbiorach możemy na razie tylko powiedzieć, czy są one równoważne, czy nie. Czy w ogóle istnieją nierównoważne zbiory nieskończone?
Poniżej odpowiemy po kolei na wszystkie te pytania. Zacznijmy od zabawnego fantastyczna historia z książki „Opowieści o zbiorach” N. Ya. Akcja rozgrywa się w odległej przyszłości, kiedy mieszkańcy różnych galaktyk mogą się spotkać. Dlatego dla wszystkich podróżujących w kosmosie zbudowano ogromny hotel rozciągający się na kilka galaktyk.
W tym hotelu nieskończenie wiele liczb(pokoje), ale zgodnie z oczekiwaniami wszystkie pokoje są ponumerowane i to dla dowolnej liczby naturalnej N jest pokój o tym numerze.
Kiedyś w tym hotelu odbył się kongres kosmozoologów, w którym uczestniczyli przedstawiciele wszystkich galaktyk. Ponieważ galaktyk jest także nieskończona ilość, wszystkie miejsca w hotelu były zajęte. Ale w tym czasie do dyrektora hotelu przyszedł jego przyjaciel i poprosił o umieszczenie go w tym hotelu.
„Po chwili namysłu dyrektor zwrócił się do administratora i powiedział:
Umieść go na pozycji nr 1.
Gdzie umieścić najemcę tego pokoju? --- zapytał zdziwiony administrator.
I przesuń go do punktu nr 2. Wyślij najemcę z punktu nr 2 do nr 3, z nr 3 do nr 4 itd.
Ogólnie rzecz biorąc, pozwól gościowi mieszkać w pokoju k, wejdzie do pokoju k+1, jak pokazano na poniższym rysunku:
Wtedy każdy znów będzie miał swój numer, a numer 1 będzie bezpłatny.
W ten sposób udało nam się zakwaterować nowego gościa – właśnie dlatego, że w hotelu jest nieskończenie wiele pokoi.
Początkowo uczestnicy kongresu zajmowali wszystkie pokoje hotelowe, a więc wielu kosmozoologów i wielu nawiązano korespondencję jeden do jednego: każdemu kosmozoologowi nadano numer, na którego drzwiach wpisano odpowiedni numer naturalny. Naturalnym jest założenie, że delegatów było „tyle”, ile jest liczb naturalnych. Ale przybyła kolejna osoba, on też został zakwaterowany, a liczba mieszkańców wzrosła o 1. Ale znowu było ich „tyle samo”, co liczb naturalnych: w końcu wszyscy zmieścili się w hotelu! A jeśli oznaczymy liczbę kosmozoologów przez 0 , wtedy otrzymujemy „tożsamość” 0 = 0 +1 . Bez końca 0 oczywiście nie zostało to spełnione.
Doszliśmy do zaskakującego wniosku: jeśli dodasz jeszcze jeden element do zbioru, który jest równoważny, otrzymasz zbiór, który jest ponownie równoważny. Ale jest całkowicie jasne, co reprezentują delegaci kosmozoolodzy Część z wielu osób, które osiedliły się w hotelu po przybyciu nowego gościa. Oznacza to, że w tym przypadku część nie jest „mniejsza” od całości, ale „równa” całości!
Zatem z definicji równoważności (która nie prowadzi do żadnych „dziwactw” w przypadku zbiorów skończonych) wynika, że część zbioru nieskończonego może być równoważna całemu zbiorowi.
Jest możliwe, że słynny matematyk Bolzano, który w swoim rozumowaniu starał się zastosować zasadę korespondencji jeden do jednego, obawiał się tak niezwykłych efektów i dlatego nie rozwijał dalej tej teorii. Wydało mu się to całkowicie absurdalne. Ale Georg Cantor w drugiej połowie XIX wieku ponownie zainteresował się tą problematyką, zaczął ją studiować i stworzył teoria zbiorów, ważny rozdział z podstaw matematyki.
Kontynuujmy naszą opowieść o niekończącym się hotelu.
Nowy gość „nie był zaskoczony, gdy następnego ranka zaproponowano mu przeprowadzkę do # 1,000,000 . Po prostu do hotelu przybyli spóźnieni kosmozoolodzy z galaktyki VSK-3472 i trzeba było zakwaterować więcej 999,999 najemcy.”
Ale potem zdarzył się jakiś wypadek i filateliści przyjechali na kongres do tego samego hotelu. Było ich także nieskończona liczba – po jednym przedstawicielu z każdej galaktyki. Jak je wszystkie umieścić?
To zadanie okazało się bardzo trudne. Ale nawet w tym przypadku istniało wyjście.
„W pierwszej kolejności administrator nakazał przeniesienie najemcy z nr 1 na nr 2.
I przesuń lokatora z pokoju nr 2 na nr 4, ogólnie z nr 3 na nr 6 N--- do pokoju 2n.
Teraz jego plan stał się jasny: w ten sposób uwolnił nieskończoną liczbę liczb nieparzystych i mógł w nich pomieścić filatelistów. W efekcie miejsca parzyste okazały się zajęte przez kosmozoologów, a nieparzyste przez filatelistów... Filatelista w kolejce N-m, zajmowałem pokój 2n-1„. I znowu wszystkim udało się zakwaterować w hotelu. A więc jeszcze bardziej niesamowity efekt: po połączeniu dwóch zestawów, z których każdy jest równoważny , ponownie otrzymujemy ustalony ekwiwalent . Tj. nawet jeśli „podwoimy” zestaw, otrzymamy zestaw równoważny oryginalnemu!
Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne
Rozważ następujący łańcuch: . ( --- jest zbiorem liczb całkowitych, oraz --- zbiór liczb wymiernych, czyli zbiór liczb postaci p/k, Gdzie P I Q--- cały, q0.) Wszystkie te zbiory są nieskończone. Rozważmy kwestię ich równoważności.
Ustalmy korespondencję jeden do jednego pomiędzy I : tworzymy pary formy (n,2n) I (-n,2n+1), N, a także para (0,1) (na pierwszym miejscu w każdej parze numer z , a na drugim --- od ).
Istnieje inny sposób ustalenia tej zgodności, na przykład wypisz wszystkie liczby całkowite w tabeli, jak pokazano na rysunku, i obchodząc strzałki przypisz każdej liczbie całkowitej określoną liczbę. Zatem my” przeliczmy" wszystkie liczby całkowite: każda z porównuje się jakąś liczbę naturalną (liczbę) i dla każdej liczby jest liczba całkowita, do której ta liczba jest przypisana. W takim przypadku nie jest konieczne zapisywanie wyraźnej formuły.
Zatem, równowartość .
Nazywa się dowolny zbiór równoważny zbiorowi liczb naturalnych policzalny. Taki zbiór można „opowiedzieć”: wszystkie jego elementy można ponumerować liczby naturalne.
Na pierwszy rzut oka na linii jest „znacznie więcej” liczb wymiernych niż liczb całkowitych. Znajdują się wszędzie gęsto: w dowolnym dowolnie małym przedziale jest ich nieskończenie wiele. Okazuje się jednak, że wielu również policzalne. Najpierw udowodnijmy przeliczalność + (zbiór wszystkich dodatnich liczb wymiernych).
Zapiszmy wszystkie elementy + do poniższej tabeli: w pierwszym wierszu - wszystkie liczby o mianowniku 1 (tj. liczbach całkowitych), w drugim - o mianowniku 2 itd. (patrz rysunek). Każda dodatnia liczba wymierna na pewno pojawi się w tej tabeli i to więcej niż raz ( na przykład numer 1====... występuje w każdym wierszu tej tabeli ) .
Teraz przeliczymy te liczby: kierując się strzałkami, do każdej liczby przypisujemy numer (lub pomijamy tę liczbę, jeśli spotkaliśmy się z nią już wcześniej w innym wpisie). Ponieważ poruszamy się po przekątnych, obejdziemy cały stół (czyli prędzej czy później dotrzemy do którejkolwiek z liczb).
Dlatego wskazaliśmy sposób numerowania wszystkich liczb + , czyli udowodnili to + policzalny.
Należy pamiętać, że ta metoda numerowania nie zachowuje porządku: z dwóch liczb wymiernych większa może pojawić się wcześniej lub być może później.
A co z ujemnymi liczbami wymiernymi i zerem? Podobnie jak u kosmozoologów i filatelistów w niekończącym się hotelu. Policzmy + nie wszystkie liczby naturalne, ale tylko parzyste (podając im liczby nie 1, 2, 3, ..., ale 2, 4, 6, ...), liczbę 1 przypisujemy zero, a liczbę 1 przypisujemy wszystkie ujemne liczby wymierne (według tego samego schematu co dodatnie) liczby nieparzyste, zaczynając od 3.
Otóż to liczby wymierne są zatem policzone z liczbami naturalnymi, policzalny.
Powstaje naturalne pytanie: Może wszystkie zbiory nieskończone są przeliczalne?
Okazało się że --- zbiór wszystkich punktów na osi liczbowej jest nieprzeliczalny. Wynik ten, uzyskany przez Cantora w ubiegłym stuleciu, wywarł na matematykach bardzo duże wrażenie.
Udowodnijmy ten fakt w taki sam sposób, jak uczynił to Cantor: za pomocą proces diagonalny.
Jak wiemy, każdy prawdziwy numer X można zapisać w postaci dziesiętny:
x=A, 1 2 ... n ...,
Gdzie A--- liczba całkowita, niekoniecznie dodatnia, ale 1, 2, ..., n, ... to liczby (od 0 do 9). Pomysł ten jest niejednoznaczny: np.
½=0,50000...=0,49999...
(w jednej wersji zapisu, zaczynając od drugiej cyfry po przecinku, są tylko zera, a w drugiej - tylko dziewiątki). Aby zapis był jednoznaczny, w takich przypadkach zawsze wybierzemy opcję pierwszą. Następnie każda liczba odpowiada dokładnie jednemu z jej zapisów dziesiętnych.
Załóżmy teraz, że udało nam się przeliczyć wszystkie liczby rzeczywiste. Następnie można je ułożyć w kolejności:
x 1 =A, 1 2 3 4 ...
x 2 = B, 1 2 3 4 ...
x 3 =C, 1 2 3 4 ...
x 4 = D, 1 2 3 4 ...
Aby dojść do sprzeczności, skonstruujmy następującą liczbę y, Który nieliczony, tj. nieujęte w tej tabeli.
Na dowolny numer A ustalmy liczbę w następujący sposób:
=
Włóżmy 
(ten numer k-ta cyfra po przecinku to 1 lub 2, w zależności od tego, która cyfra się pojawi k-te miejsce po przecinku w Notacja dziesiętna liczby x k).
Na przykład, jeśli
x 1 = 2,1345...
x 2 = -3,4215...
x 3 = 10,5146...
x 4 = -13,6781...
.....................
To =0,2112...
Zatem stosując metodę diagonalną otrzymaliśmy liczbę rzeczywistą y, co nie pokrywa się z żadną z liczb w tabeli, ponieważ y inny niż wszyscy x k co najmniej k th cyfra rozwinięcia dziesiętnego, oraz różne zapisy jak wiemy, odpowiadają różnym liczbom.
Udowodnienie hipotezy kontinuum oznacza wyprowadzenie jej z tych aksjomatów. Odrzucić to znaczy pokazać, że jeśli się je doda do tego systemu aksjomatów, to się okaże sprzeczny zestaw stwierdzeń.
Rozwiązanie
Okazało się, że pierwszy problem Hilberta miał zupełnie nieoczekiwane rozwiązanie.
W 1963 roku amerykański matematyk Paul Cohen udowodnił, że hipoteza kontinuum nie da się ani udowodnić, ani obalić.
Oznacza to, że jeśli weźmiemy standardowy system aksjomatów Zermelo---Frenkla ( ZF) i dodać do tego hipotezę kontinuum jako kolejny aksjomat, to się okazuje spójny systemu zatwierdzania. Ale jeśli ZF dodać negacja hipotezę kontinuum (tj. stwierdzenie przeciwne), to znowu otrzymujemy spójny systemu zatwierdzania.
Zatem ani hipoteza kontinuum, ani jej zaprzeczenie to jest zabronione wycofać z standardowy system aksjomat.
Wniosek ten był bardzo silny efekt i znalazło nawet odzwierciedlenie w literaturze (patrz motto).
Jak sobie poradzić z tą hipotezą? Zwykle jest on po prostu dołączony do systemu aksjomatów Zermelo-Frenkla. Ale za każdym razem, gdy dowodzą czegoś w oparciu o hipotezę kontinuum, muszą wskazać, że została ona wykorzystana w dowodzie.
Drugi ze słynnych problemów matematycznych, który David Hilbert wysunął w 1900 roku w Paryżu na II Międzynarodowy Kongres matematycy. Nadal nie ma zgody wśród społeczności matematycznej co do tego, czy problem został rozwiązany, czy nie. Problem brzmi tak: Czy aksjomaty arytmetyki są sprzeczne czy nie? Kurt Gödel udowodnił, że spójności aksjomatów arytmetyki nie można udowodnić na podstawie samych aksjomatów arytmetyki (chyba że arytmetyka jest rzeczywiście niespójna). Oprócz Gödla wielu innych wybitni matematycy poradził sobie z tym problemem.
Fundacja Wikimedia. 2010.
Zobacz, co oznacza „Drugi Problem Hilberta” w innych słownikach:
Szesnasty problem Hilberta jest jednym z 23 problemów, które David Hilbert zaproponował 8 sierpnia 1900 roku na Drugim Międzynarodowym Kongresie Matematyków. Początkowo problem nazywał się „Problem topologii krzywych i powierzchni algebraicznych”… ... Wikipedia
Problemy Hilberta to lista 23 kardynalnych problemów matematyki, przedstawiona przez Davida Hilberta na Drugim Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu w 1900 roku. Potem te problemy (obejmujące podstawy matematyki, algebry, teorii... ...Wikipedia
Artykuł ten proponuje się skreślić. Wyjaśnienie powodów i odpowiednią dyskusję można znaleźć na stronie Wikipedii: Do usunięcia / 22 listopada 2012 r. Podczas gdy proces dyskusji trwa… Wikipedia
Problemy Hilberta to lista 23 kardynalnych problemów matematyki, przedstawiona przez Davida Hilberta na Drugim Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu w 1900 roku. Następnie te problemy (obejmujące podstawy matematyki, algebry, teorii liczb,… …Wikipedii
W klasyczna definicja teoria algebraiczna(czasami nazywana także teorią algebraiczną), która bada algebraię. wyrażenia (wielomiany, funkcje wymierne lub ich kombinacje), które zmieniają się w określony sposób dla niezdegenerowanej liniowej... ... Encyklopedia matematyczna
W teorii systemy dynamiczne i równania różniczkowe, cykl graniczny pola wektorowego na płaszczyźnie lub, bardziej ogólnie, na dowolnej dwuwymiarowej rozmaitości jest zamkniętą (okresową) trajektorią tego pola wektorowego, w ... ... Wikipedia
logika- LOGIKA (od greckiego logik (logos) słowo, rozum, rozumowanie) nauka o poprawnym (poprawnym) rozumowaniu. Tradycyjnie rozumowanie składa się z ciągu zdań, zwanego przesłankami, z którego wynika jedno zdanie... ... Encyklopedia epistemologii i filozofii nauki
Teoria liczb to dziedzina matematyki zajmująca się przede wszystkim badaniem liczb naturalnych i całkowitych oraz ich właściwości, często obejmującą metody analizy matematycznej i inne gałęzie matematyki. Teoria liczb zawiera wiele problemów... ... Wikipedia
Dział filozofii badający naturę obiektów matematycznych i epistemologiczne problemy wiedzy matematycznej. Filozofia Problemy matematyki można podzielić na dwie główne grupy: ontologiczne i epistemologiczne. Abstrakcyjny charakter... ... Encyklopedia filozoficzna
- (angielskie twierdzenie Wolstenholme'a) stwierdza, że dla dowolnej liczby pierwszej dokonuje się porównania, gdzie jest średni współczynnik dwumianu. Równoważne porównanie Nieznane Liczby złożone, spełniając twierdzenie Wolstenhalla… Wikipedia
Książki
- Analityczna teoria równań różniczkowych. Tom 1, Ilyashenko Yu.S.. Proponowana książka jest pierwszym tomem dwutomowej monografii poświęconej analitycznej teorii równań różniczkowych. Pierwsza część tego tomu przedstawia teorię formalną i analityczną...
PRZEDMOWA
W udostępnionym czytelnikowi zbiorze znajduje się tekst słynnego raportu Hilberta „Problemy matematyczne”, przetłumaczonego po raz pierwszy na język rosyjski, wygłoszonego na II Międzynarodowym Kongresie Matematyków, który odbył się w Paryżu w dniach 6–12 sierpnia 1900 r.W Kongresie wzięło udział 226 osób: 90 osób z Francji, 25 z Niemiec, 17 ze Stanów Zjednoczonych, 15 z Włoch, 13 z Belgii, 9 z Rosji, po 8 z Austrii i Szwajcarii, po 7 z Anglii i Szwecji, 4 z Danii, po 3 z Holandii, Hiszpanii i Rumunii, po 2 z Serbii i Portugalii, po 4 z Ameryki Południowej, Turcji, Grecji, Norwegii, Kanady, Japonii i Meksyku, wysłali po jednym delegacie.
Głównymi językami Kongresu były angielski, francuski, niemiecki i włoski.
Henri Poincaré został wybrany na przewodniczącego Kongresu, Charles Hermite (1822 - 1901), który był nieobecny, został wybrany na przewodniczącego honorowego, E. Chuber (Wiedeń), K. Geyser (Zurych), P. Gordan (Erlangen), A. Greenhill (Londyn) zostali wybrani na wiceprzewodniczących, L. Lindelof (Helsingfors), F. Lindemann (Monachium), G. Mittag-Leffler (Sztokholm), nieobecny E. Moore (Chicago), M. A. Tikhomandritsky (Charków), V. Volterra. (Turyn), G. Zeiten (Kopenhaga), sekretarze Kongresu – I. Bendikson (Sztokholm), A. Capelli (Neapol), G. Minkowski (Zurych), I. L. Ptashitsky (St. Petersburg) oraz nieobecny A. Whiteheada (Cambridge).
E. Duporcq (Paryż) został wybrany na Sekretarza Generalnego Kongresu.
Sekcji było sześć: 1) arytmetyki i algebry (przewodniczący D. Hilbert, sekretarz E. Cartan),
Sekcje piąta i szósta siedziały razem.W dniu otwarcia Kongresu walne zgromadzenie odbyły się dwugodzinne referaty: M. Cantora „O historiografii matematyki”, w którym dokonał przeglądu prac z zakresu historii matematyki, poczynając od J. Montucl i G. Libri, a także V. Volterry o działalność naukowa E. Betti, F. Brioschi i F. Casorati.
Następnie rozpoczęły się sesje grupowe, podczas których sporządzono 46 raportów, w tym L. Dixona, G. Mittaga-Lefflera, D. Gilberta, J. Hadamarda, A. Capelliego, I. Fredholma, I. Bendixsona, V. Volterry i innych .
Rosyjską matematykę reprezentowało na Kongresie pojedyncze przesłanie M.A. Tichomandryckiego „O zaniku funkcji N kilka zmiennych.”
Na ostatnim walnym zgromadzeniu głos zabrał G. Mittag-Leffler, który mówił o ostatnie latażycie Weierstrassa według jego listów do S.V. Kovalevskiej i A. Poincaré, którzy sporządzili raport „O roli intuicji i logiki w matematyce”.
Tak odbył się Kongres, gdzie 8 sierpnia na wspólnym posiedzeniu sekcji V i VI D. Hilbert odczytał swój referat „Problemy matematyczne”.
Jak pisze D. Sincow*: „Przesłanie Hilberta wywołało szereg komentarzy obecnych, którzy wskazali, że niektóre z wymienionych przez Hilberta problemów zostały przez nich całkowicie lub częściowo rozwiązane”**. W tym czasie Hilbert, 38-letni profesor w Getyndze, był już powszechnie znany ze swoich prac nad teorią niezmienników i teorią liczby algebraiczne. W 1899 roku ukazały się jego słynne „Podstawy geometrii”, które wyznaczyły epokę w podstawach matematyki. Niesamowita wszechstronność i uogólniająca siła talentu Gilberta pozwoliły mu łatwo nawigować różne obszary matematykę, z której niemal we wszystkich osiągał wybitne wyniki i stawiał szereg ważnych problemów.
* D. M. Sintsov, Drugi Międzynarodowy Kongres Matematyczny, Phys.-Math. Sciences (2) 1, nr 5 (1901), 129-137.
** Prawdopodobnie liczba problemów w pierwotnym tekście raportu przekroczyła dwadzieścia trzy.
Według Hilberta najciekawsze problemy to „którego badanie może znacząco pobudzić dalszy rozwój nauki”, To właśnie zasugerował matematykom w swoim raporcie. Od tego czasu minęło dwie trzecie wieku. Problemy Hilberta pozostawały aktualne przez cały ten okres; podjęto wysiłki, aby je rozwiązać najzdolniejszych matematyków. Rozwój idei związanych z treścią tych problemów stanowił znaczną część matematyki w XX wieku.
Przekładu zasadniczej części raportu (z wyłączeniem tekstu problemów 15 i 23 oraz zakończenia) dokonał M. G. Shestopal na podstawie tekstu opublikowanego w Gottinger Nachrichten (1900, 253-297), a recenzji dokonali I. N. Bronstein i I. M. Yaglom, który dokonał w nim szeregu poprawek i zmian redakcyjnych. Tekst problemów 15. i 23., a także końcową część raportu przetłumaczył A. V. Dorofeeva. W tłumaczeniu znajdują się dodatki poczynione przez Hilberta w związku z publikacją relacji zamieszczonej w trzecim tomie jego Dzieł zebranych (Gesammelte Abhandlungen, Berlin, Springer, 1932-1935) - w tekście ujęto je w nawiasy kwadratowe. Tłumaczenie zostało sprawdzone przez angielskie tłumaczenie(Bull. Amer. Math. Soc. 8, nr 10 (1902), 403-479), także z tłumaczeniem wykonanym w biurze historii matematyki i mechaniki Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego przez A. V. Dorofeevę i M. V. Chirikowa * .
* Tłumaczenie to stało się początkiem prac nad analizą historyczno-matematyczną problemów Hilberta, prowadzonych w biurze historii matematyki i mechaniki Uniwersytetu Moskiewskiego pod kierunkiem prof. K. A. Rybnikowa.
Znaną trudnością było tłumaczenie niektórych starych terminów matematycznych. W niektórych przypadkach termin niemiecki umieszcza się w nawiasie obok tłumaczenia, a w jednym przypadku termin (Polarenprocess) pozostawia się bez tłumaczenia. Tłumacze dołożyli wszelkich starań, aby przekazać rosyjskiemu czytelnikowi osobliwy, czasem wręcz żałosny język reportażu Hilberta. Autorzy komentarzy do numeru uprzejmie zgodzili się sprawdzić tłumaczenia odpowiednich numerów i wprowadzili szereg istotnych poprawek.
Oceń niezwykłe znaczenie, jakie raport Hilberta odegrał dla matematyki w XX wieku. pozwoli, mamy nadzieję, na skomentowanie problemów składających się na drugą część zbioru. Tworzeniem takich komentarzy, zawierających przegląd głównych wyników osiągniętych w kierunku rozwiązania problemów Hilberta, podejmowali się już poszczególni autorzy*. Jednakże prace tego rodzaju z udziałem znanych specjalistów z odpowiednich dziedzin matematyki prowadzone są, o ile nam wiadomo, po raz pierwszy.
* L. Bieberbacha, Dber die Einfluss von Hilbert Pariser Vortrag liber "Mathematische Probleme", auf die Entwicklung der Matbematik in den letzen dreissig Jabren, Naturwissenschaften 18 (1930), 1101-1111; SS Demidow, O historii problemów Hilberta. IMI, tom. 17, „Nauka”, 1967, 91-121.
Publikacja tej książki znacznie ułatwiła uwaga i pomoc wielu osób, wśród których należy zwrócić uwagę na uczestników seminarium z historii matematyki i mechaniki Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego, zwłaszcza jego przywódców, profesorów I.G. Bashmakov, K.A. Rybnikova, A.P. Juszkiewicz, zmarły S.A. Yanovskaya, a także pracownik Instytutu Matematycznego im. V.A. Steklov Akademia Nauk ZSRR A.N. Parshin, którego rady i pomoc w znacznym stopniu pomogły ulepszyć publikację.
S. S. Demidow
KILKA SŁÓW O PROBLEMACH HILBERTA
Na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Paryżu w 1900 roku wybitny niemiecki matematyk David Hilbert wygłosił prezentację zatytułowaną „Problemy matematyczne”. Raport ten był następnie kilkakrotnie publikowany w oryginale i tłumaczeniach*; Najnowsze wydanie oryginału znajduje się w trzecim tomie dzieł zebranych Gilberta**.* Po raz pierwszy opublikowano w Arcbiv f. Matematyka. Phys., seria III, 1 (1901), 44-63, 213-237.
** D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, t. III, 1935, 290-329.
Na kolejnych stronach wydrukowano rosyjskie tłumaczenie raportu Gilberta.
Ani przed raportem Hilberta z roku 1900, ani po tym raporcie matematycy, o ile wiem, nie przedstawili raporty naukowe, obejmujących problemy matematyki w ogólności *. Tym samym raport Hilberta okazuje się zjawiskiem zupełnie wyjątkowym w historii matematyki i literaturze matematycznej. A teraz, prawie 70 lat po swoim raporcie Hilberta, zachował on swoje zainteresowanie i znaczenie.
* Sprawozdanie amerykańskiego matematyka J. von Neumanna na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Amsterdamie w 1954 r. nie zaprzecza temu stwierdzeniu: prawdą jest, że raport von Neumanna nosił tytuł „Nierozwiązane problemy matematyczne”, ale prelegent rozpoczął swój referat z stwierdzeniem, że rozważyłby naśladownictwo szaleństwa. Hilbert mówi o problematyce matematyki w ogóle, zamierza jednak ograniczyć się jedynie do problemów z niektórych dziedzin matematyki (głównie z dziedzin bliskich analizie funkcjonalnej). Raport von Neumanna nie został opublikowany – w Proceedings of the Amsterdam Congress opublikowano jedynie informację, że wydawcy nie udostępnili rękopisu raportu; najwyraźniej nie istnieje. Dlatego też niniejszy raport można obecnie oceniać jedynie na podstawie wspomnień tych, którzy go słuchali.
Hilbert miał wyjątkowy wpływ na cały rozwój współczesnej matematyki, obejmujący niemal wszystkie dziedziny myśli matematycznej; tłumaczy się to faktem, że Hilbert był matematykiem, u którego siła myśli matematycznej łączyła się z rzadką szerokością i wszechstronnością. Ta wszechstronność była, że tak powiem, całkiem świadoma: Hilbert nieustannie podkreśla, że matematyka jest jednością, że różne jej części pozostają w ciągłej interakcji między sobą i z naukami przyrodniczymi i że w tym współdziałaniu leży nie tylko klucz do zrozumienia istoty samej matematyki, ale także najlepsze lekarstwo przeciwko dzieleniu matematyki na odrębne, niepowiązane ze sobą części – niebezpieczeństwo, które w naszych czasach ogromnego wzrostu ilościowego i przerażającej specjalizacji badań matematycznych
ciągle zmusza do myślenia o sobie. Z Wielka siła a Hilbert z przekonaniem mówi, zwłaszcza pod koniec swojego niezwykłego raportu, o holistycznej naturze matematyki jako podstawy wszelkiej dokładnej wiedzy z zakresu nauk przyrodniczych. Jego przekonanie o tym stanowi w dużej mierze wątek przewodni całości niniejszego opracowania i niewątpliwie w wielu przypadkach kierowało autorem przy wyborze postawionych przez niego problemów matematycznych.Raport rozpoczyna się interesującą, powiedziałbym natchnioną, napisaną ogólną częścią wprowadzającą, która mówi nie tylko o znaczeniu dla matematyki „dobrze postawionego” problemu specjalnego, ale także formułuje sądy na temat rygoru matematycznego, związku matematyki z nauki przyrodnicze i o innych sprawach związanych z każdym matematykiem aktywnie myślącym o swojej nauce. Na zakończenie tej części wprowadzającej Hilbert z uderzającą różnicą i przekonaniem formułuje swoją główną tezę, „aksjomat” rozstrzygalności w w szerokim znaczeniu słowa każdego problemu matematycznego są tezą, której treścią jest głęboka wiara w nieograniczoną moc ludzkiej wiedzy i nieprzejednana walka z wszelkim agnostycyzmem – z absurdem „Ignorabim” * jak Gilbert mówi w innym miejscu.
* „Ignorabim”(łac.) - „nie będziemy wiedzieć”- jeden z słynne przemówienia fizjolog E. Dubois-Reymond zakończył (w odniesieniu do niektórych niejasnych kwestii naukowych) okrzykiem: „Ignoramus et ignorabimus” – nie wiemy i nie będziemy wiedzieć!
Następnie pojawiają się same problemy. Zaczynają od teorii mnogości (problem kontinuum) i podstaw matematyki, przechodzą do podstaw geometrii, teorii grup ciągłych (słynny piąty problem dotyczący wyzwolenia pojęcia grupy ciągłej od wymogu różniczkowalności) , po teorię liczb, algebrę i geometrię algebraiczną, a skończywszy na analizie (równania różniczkowe, zwłaszcza z pochodnymi cząstkowymi, rachunek wariacyjny). Specjalne miejsce zajmuje się problemem szóstym – dotyczącym aksjomatyki teorii prawdopodobieństwa i mechaniki.
Problemy Hilberta są ze swej natury bardzo heterogeniczne. Czasami jest to specjalnie postawione pytanie, na które szuka się jednoznacznej odpowiedzi – tak lub nie – jak na przykład trzeci problem geometryczny lub siódmy problem arytmetyczny dotyczący liczb przestępnych. Czasami problem jest postawiony mniej wyraźnie, jak na przykład w zagadnieniu dwunastym (Hilbert poświęcił mu szczególną uwagę ważny), w którym należy znaleźć zarówno uogólnienie samego twierdzenia Kroneckera, jak i odpowiednią klasę funkcji, które powinny zastąpić funkcję wykładniczą i modułową.
Problem piętnasty to w istocie problem uzasadnienia całej teorii rozmaitości algebraicznych.
Czasami problem pod tym numerem w rzeczywistości zawiera kilka różnych, choć ściśle powiązanych, problemów. Wreszcie problem dwudziesty trzeci jest w istocie problemem dalszego rozwoju rachunku wariacyjnego.
Teraz, wiele lat po tym, jak Hilbert postawił swoje problemy, możemy powiedzieć, że zostały one postawione dobrze. Okazały się odpowiednim obiektem do skupiania wysiłków twórczych matematyków różnych dziedzin kierunki naukowe i szkoły. Jakie były te wysiłki i do jakich rezultatów doprowadziły, które z problemów Hilberta zostały rozwiązane, a które jeszcze nie, o tym czytelnik może, choć nie w pełni szczegółowo, dowiedzieć się z komentarzy do tych problemów.
Charakter tych komentarzy jest nieco niejednorodny (co w dużej mierze jest podyktowane naturą samych problemów) - część z nich może zrozumieć czytelnik zaznajomiony z matematyką na dwóch pierwszych kierunkach mechaniki-matematyki lub fizyki-matematyki wydziałów uniwersytetów lub instytuty pedagogiczne, inne natomiast wymagają dość wysokiej kultury matematycznej. Myślę w każdym razie, że czytelnik będzie wdzięczny autorom komentarzy,
co znacznie ułatwiło zapoznanie się z naprawdę wybitnym dziełem ogólnej literatury matematycznej, jakim jest raport Hilberta; Ponadto, jak sądzę, z komentarzy można zrozumieć wpływ, jaki ten raport miał na dalszy rozwój matematyki.P. S. Aleksandrow
Któż z nas nie chciałby podnieść zasłony, za którą kryje się nasza przyszłość, aby choć jednym spojrzeniem przeniknąć w nadchodzące sukcesy naszej wiedzy i tajemnice jej rozwoju w nadchodzących stuleciach? Jakie będą szczególne cele, jakie wyznaczą sobie czołowe umysły matematyczne następnego pokolenia? Jakie nowe metody i nowe fakty zostaną odkryte w nowym stuleciu na szerokiej i bogatej dziedzinie myśli matematycznej?
Historia uczy, że rozwój nauki jest ciągły. Wiemy, że każda epoka ma swoje problemy, które epoka następna albo rozwiązuje, albo spycha na bok jako bezowocne, aby zastąpić je nowymi. Wyobrażać sobie możliwą naturę rozwoju wiedza matematyczna w najbliższej przyszłości musimy odwrócić w naszej wyobraźni pytania, które wciąż pozostają otwarte, zbadać pojawiające się problemy nowoczesna nauka i rozwiązań, jakich oczekujemy od przyszłości. Taki przegląd problemów wydaje mi się dzisiaj, na przełomie nowego stulecia, szczególnie aktualny. Przecież wielkie daty nie tylko sprawiają, że spoglądamy w przeszłość, ale także kierują nasze myśli w nieznaną przyszłość.
Nie można zaprzeczyć głębokiemu znaczeniu, jakie pewne problemy mają dla rozwoju nauk matematycznych w ogóle ważna rola, które odgrywają w pracy indywidualnego badacza. Każda dziedzina nauki jest opłacalna, jeśli ma mnóstwo nowych problemów. Brak nowych problemów oznacza obumarcie lub ustanie niezależny rozwój. Tak jak w ogóle każde ludzkie przedsięwzięcie wiąże się z tym czy innym celem, tak twórczość matematyczna wiąże się z formułowaniem problemów. Siła badacza polega na rozwiązywaniu problemów: znajduje nowe metody, nowe punkty widzenia, otwiera szersze i swobodniejsze horyzonty.
Prawidłowa ocena znaczenia konkretnego zadania z góry jest trudna, a często niemożliwa; bo ostatecznie o jego wartości zadecydują korzyści, jakie przyniesie nauce. Nasuwa się pytanie: czy istnieją wspólne cechy charakteryzujące dobry problem matematyczny?
Pewien stary francuski matematyk powiedział: „ Teoria matematyczna można uznać za doskonały tylko wtedy, gdy wyjaśnisz to na tyle jasno, że podejmiesz się wyjaśnienia jego treści pierwszej napotkanej osobie.” Ten wymóg przejrzystości i łatwej dostępności, który jest tu tak ostro postawiony w odniesieniu do teorii matematycznej, chciałbym ująć to jeszcze ostrzej w odniesieniu do problemu matematycznego, jeśli twierdzi on, że jest doskonały; w końcu przyciąga nas przejrzystość i łatwa dostępność, natomiast złożoność i zamęt odpychają.
Problem matematyczny ponadto musi być na tyle trudny, aby nas przyciągnąć, a jednocześnie nie całkowicie niedostępny, aby nie uczynić naszych wysiłków beznadziejnymi; powinien być drogowskazem na krętych ścieżkach prowadzących do ukrytych prawd; powinna nas wtedy nagrodzić radością ze znalezienia rozwiązania.
Matematycy ubiegłego stulecia z pasją i zapałem poświęcali się rozwiązywaniu indywidualnych trudnych problemów; znali wartość trudnego zadania. Przypomnę tylko tę, którą zaproponował Johann Bernoulli problem dotyczący linii najszybszego spadku.„Jak pokazuje doświadczenie” – mówi Bernoulli ogłaszając swoje zadanie – „nic tak silnie nie motywuje wysokich umysłów do pracy nad wzbogacaniem wiedzy, jak sformułowanie trudnego, a jednocześnie przydatne zadanie„I dlatego ma nadzieję zasłużyć na wdzięczność matematyczny świat, jeśli on, idąc za przykładem takich ludzi jak Mersenne, Pascal, Fermat, Viviani i inni, którzy (przed nim) czynili to samo, zaproponuje problem wybitnym analitykom swoich czasów, aby mogli go przetestować jako kamień probierczy zalety Twoich metod i zmierz swoje mocne strony. Rachunek wariacyjny zawdzięcza swoje pochodzenie problemowi Bernoulliego i innym podobnym problemom.
Dobrze znane stwierdzenie Fermata brzmi: równanie diofantyny
x n + y n = z n
nierozstrzygalny w liczbach całkowitych x, y, z, poza pewnymi oczywistymi wyjątkami. Problem udowodnienia tej nierozstrzygalności stanowi uderzający przykład stymulującego wpływu, jaki szczególny i na pierwszy rzut oka nieistotny problem może mieć na naukę. Pod wpływem problemu Fermata Kummer doszedł bowiem do wprowadzenia liczb idealnych i odkrycia twierdzenia o jednoznacznym rozkładzie liczb w polach cyklotomicznych na liczby idealne czynniki pierwsze- twierdzenie, które dzięki uogólnieniom na dowolną dziedzinę liczb algebraicznych uzyskanych przez Dedekinda i Kroneckera ma obecnie kluczowe znaczenie współczesna teoria liczb i którego znaczenie wykracza daleko poza teorię liczb i obejmuje dziedzinę algebry i teorii funkcji.
Przypomnę jeszcze jeden ciekawy problem - problem trzech ciał. Fakt, że Poincaré podjął nowe rozważania i znacząco je posunął do przodu trudne zadanie, doprowadziło do owocnych metod i dalekosiężnych zasad wprowadzonych przez tych naukowców do mechaniki niebieskiej, metod i zasad, które są obecnie rozpoznawane i stosowane także w astronomii praktycznej.
Obydwa wspomniane problemy – problem Fermata i problem trzech ciał – są w naszym zbiorze problemów jakby przeciwstawnymi biegunami: pierwszy reprezentuje swobodne osiągnięcie czysty powód, należąca do dziedziny abstrakcyjnej teorii liczb, druga jest wysuwana przez astronomię i jest niezbędna do poznania najprostszych podstawowych zjawisk przyrody.
Często jednak zdarza się, że to samo specjalny problem pojawia się w bardzo różnych obszarach matematyki. Więc, problem z najkrótszą linią odgrywa ważną rolę historyczną i fundamentalną jednocześnie w podstawach geometrii, teorii krzywych i powierzchni, mechanice i rachunku wariacyjnym. I jak przekonująco pokazuje F. Klein w swojej książce o dwudziestościanie*, Problem dotyczący wielościanów foremnych jest jednocześnie ważne dla elementarna geometria, teoria grup, teoria algebraiczna i teoria równań różniczkowych liniowych!
* F. Klein, Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichungen von funften Grade, Lipsk, 1884.- Notatka wyd.
Aby podkreślić znaczenie indywidualne problemy, pozwolę sobie także nawiązać do Weierstrassa, który za swój wielki sukces uznał to, że zbieg okoliczności pozwolił mu na zmierzenie się z tak istotnym problemem już na początku swojej kariery naukowej, jak problem Jacobiego dotyczący odwrócenia całki eliptycznej.
Po rozważeniu Ogólne znaczenie problemów matematyki, przejdźmy do pytania, z jakiego źródła matematyka czerpie swoje problemy. Nie ulega wątpliwości, że pierwsze i najstarsze problemy każdej dziedziny wiedzy matematycznej zrodziły się z doświadczenia i zostały nam przedstawione przez świat zjawisk zewnętrznych. Nawet zasady liczenia liczb całkowitych zostały odkryte na wczesnym etapie tej ścieżki. rozwój kulturowy ludzkości, tak jak teraz dziecko uczy się stosowania tych zasad metoda empiryczna. To samo dotyczy pierwszych problemów geometrii - problemów podwajania sześcianu, kwadratury koła, które przyszły do nas od czasów starożytnych, a także najstarsze problemy teoria równań numerycznych, teoria krzywych, rachunek różniczkowy i całkowy, rachunek wariacyjny, teoria szeregów Fouriera i teoria potencjału, nie wspominając o całym bogactwie zagadnień mechaniki właściwej, astronomii i fizyki.
Wraz z dalszym rozwojem jakiejkolwiek dyscypliny matematycznej umysł ludzki, zachęcony sukcesem, wykazuje już niezależność; on sam stwarza nowe i owocne problemy, często bez zauważalnego wpływu świat zewnętrzny, za pomocą jedynie logicznego porównania, uogólnienia, specjalizacji, udanego podziału i grupowania pojęć, a następnie on sam wysuwa się na pierwszy plan jako zestawienie problemów. W ten sposób powstały problem liczb pierwszych i inne problemy arytmetyki, teoria Galois, teoria niezmienników algebraicznych, teoria funkcji abelowych i automorficznych, i tak prawie powstały w ogóle wszystkie subtelne kwestie współczesnej teorii liczb i teorii funkcji.
Tymczasem w trakcie akcji moc twórcza czyste myślenie, świat zewnętrzny znów upiera się przy swoich prawach: swoimi rzeczywistymi faktami stawia przed nami nowe pytania i otwiera przed nami nowe obszary wiedzy matematycznej. W procesie wprowadzania tych nowych dziedzin wiedzy do sfery czystej myśli często znajdujemy odpowiedzi na stare, nierozwiązane problemy i w ten sposób najlepiej rozwijamy stare teorie. Wydaje mi się, że na tej stale powtarzającej się i zmieniającej grze myślenia i doświadczenia opierają się te liczne i uderzające analogie oraz owa pozornie z góry ustalona harmonia, którą matematyk tak często odkrywa w problemach, metodach i koncepcjach różnych dziedzin wiedzy.
Zastanówmy się krótko nad pytaniem, jakie mogą być ogólne wymagania, które mamy prawo stawiać w celu rozwiązania problemu matematycznego. Mam na myśli przede wszystkim wymagania, które pozwalają zweryfikować poprawność odpowiedzi za pomocą skończoną liczbą wniosków, a ponadto w oparciu o skończoną liczbę przesłanek, które stanowią podstawę każdego zadania i które w każdym przypadku muszą być precyzyjnie sformułowane. Ten wymóg logicznej dedukcji za pomocą skończonej liczby wniosków jest niczym innym jak wymogiem rygorystyczności dowodu. Rzeczywiście, wymóg rygorystyczności, który stał się już przysłowiowy w matematyce, odpowiada ogólnej potrzebie filozoficznej naszego umysłu; z drugiej strony dopiero spełnienie tego wymogu prowadzi do rozpoznania pełnego znaczenia istoty zadania i jego owocności. Nowe zadanie, zwłaszcza jeśli powołane jest do życia przez zjawiska świata zewnętrznego, jest jak młody pęd, który może wyrosnąć i wydać owoce tylko wtedy, gdy będzie starannie i zgodnie z rygorystycznymi zasadami sztuki ogrodniczej pielęgnowany na starym pniu - solidny fundament naszej wiedzy matematycznej.
Będzie duży błąd myśl jednocześnie, że rygorystyczność dowodu jest wrogiem prostoty. Liczne przykłady przekonują nas, że jest odwrotnie: metody ścisłe są jednocześnie najprostsze i najbardziej dostępne. Pragnienie rygoru prowadzi właśnie do poszukiwania najprostszych dowodów. To samo pragnienie często toruje drogę metodom, które okazują się bardziej owocne niż starsze, mniej rygorystyczne metody. Zatem teoria krzywych algebraicznych, dzięki więcej rygorystyczne metody teoria funkcji zmiennej zespolonej i celowe użycie środków transcendentalnych została znacznie uproszczona i uzyskała większą integralność. Ponadto dowód legalności stosowania czterech elementarnych działań arytmetycznych na szeregach potęgowych, różniczkowania i całkowania wyrazów tych szeregów oraz rozpoznawania na tej podstawie szeregu potęgowego [jako narzędzie analizy matematycznej - rocznie ], niewątpliwie znacznie uprościło całą analizę, w szczególności teorię wykluczenia i teorię równań różniczkowych (wraz z twierdzeniami o jej istnieniu).
Jednak szczególnie uderzającym przykładem ilustrującym mój punkt widzenia jest rachunek wariacyjny. Badanie pierwszej i drugiej odmiany całki oznaczonej doprowadziło do niezwykle skomplikowanych obliczeń, a odpowiadającym im badaniom dawnych matematyków brakowało niezbędnej rygorystyczności. Weierstrass wskazał nam drogę do nowej i całkowicie niezawodnej podstawy rachunku wariacyjnego. Na przykładzie prostego i całka podwójna Na koniec mojego raportu pokrótce opiszę, jak podążanie tą drogą prowadzi jednocześnie do zdumiewającego uproszczenia rachunku wariacyjnego ze względu na fakt, że w celu ustalenia niezbędnych i wystarczających kryteriów maksimum i minimum, obliczenie druga wariacja staje się zbędna, a nawet częściowo eliminuje potrzebę żmudnych wnioskowań związanych z pierwszą wariacją. Już nawet nie mówię o korzyściach, jakie wynikają z faktu, że nie ma potrzeby uwzględniać tylko tych wariantów, dla których wartości pochodnych funkcji zmieniają się nieznacznie.
Przedstawiam pełne rozwiązanie problemu wymogu ścisłości dowodu, chciałbym natomiast obalić pogląd, że całkowicie rygorystyczne rozumowanie ma zastosowanie jedynie do pojęć analizy, a nawet samej arytmetyki. Uważam tę opinię, czasami wspieraną przez wybitne umysły, za całkowicie fałszywą. Taka jednostronna interpretacja wymogu rygoru szybko prowadzi do ignorowania wszelkich pojęć wynikających z geometrii, mechaniki, fizyki i wstrzymuje przepływ [do matematyki - rocznie ] nowego materiału ze świata zewnętrznego i ostatecznie prowadzi nawet do odrzucenia koncepcji kontinuum i liczby niewymiernej. Czy istnieje ważniejszy nerw życiowy niż ten, który zostałby odcięty od matematyki, gdyby usunięto z niej geometrię i fizykę matematyczną? Ja przeciwnie, uważam, że ilekroć pojęcia matematyczne wywodzą się z teorii poznania, geometrii lub teorii nauk przyrodniczych, matematyka staje przed zadaniem zbadania zasad leżących u podstaw tych pojęć i w ten sposób uzasadnienia tych pojęć za pomocą kompletny i prosty system aksjomatów, tak że rygorystyczność nowych pojęć i ich zastosowanie do dedukcji w niczym nie ustępują starym koncepcjom arytmetycznym.
Nowe koncepcje obejmują także nowe oznaczenia. Dobieramy je tak, aby przypominały zjawiska, które stały się przyczyną powstania tych pojęć. Zatem figury geometryczne są obrazami służącymi do przywoływania pojęć przestrzennych i jako takie są używane przez wszystkich matematyków. Kto nie łączy się z dwiema nierównościami a>b>c pomiędzy trzema ilościami a, b, c, obraz tria prostoliniowo położonych i następny przyjaciel za sobą punktów jako geometryczna interpretacja pojęcia „pomiędzy”? Któż nie posługuje się obrazem zagnieżdżonych w sobie odcinków i prostokątów, jeśli zachodzi potrzeba przeprowadzenia pełnego i rygorystycznego dowodu trudnego twierdzenia o ciągłości funkcji lub o istnieniu punktu granicznego? Któż obejdzie się bez figury trójkąta, koła o danym środku lub trójki wzajemnie prostopadłych osi? Albo kto chciałby porzucić obraz pola wektorowego lub rodziny krzywych, czy powierzchni wraz z ich otoczkami – pojęciami, które odgrywają tak istotną rolę w geometrii różniczkowej, w teorii równań różniczkowych, w podstawach rachunku wariacyjnego oraz w innych czysto matematycznych dziedzinach wiedzy?
Znaki arytmetyczne to zapisane figury geometryczne, a figury geometryczne to narysowane wzory i żaden matematyk nie mógłby obejść się bez tych narysowanych wzorów, tak samo jak nie mógł odmówić wstawienia w nawiasy, ich otwarcia lub użycia innych znaków analitycznych przy obliczaniu.
Zakłada się użycie figur geometrycznych jako rygorystycznego środka dowodowego dokładna wiedza i całkowite opanowanie aksjomatów leżących u podstaw teorii tych figur, dlatego też, aby te figury geometryczne mogły zostać włączone do ogólnego skarbca znaków matematycznych, konieczne jest ścisłe aksjomatyczne badanie ich treści wizualnej.
Tak jak przy dodawaniu dwóch liczb nie można podpisywać cyfr wyrazów w złej kolejności, lecz trzeba ściśle przestrzegać zasad, czyli aksjomatów arytmetyki rządzących działaniami arytmetycznymi, tak też działania na obrazach geometrycznych wyznaczają aksjomaty leżące u podstaw geometrii pojęcia i powiązania między nimi.
Podobieństwo myślenia geometrycznego i arytmetycznego objawia się także w tym, że w badaniach arytmetycznych, podobnie jak w rozważaniach geometrycznych, śledzimy ciąg logicznego rozumowania aż do końca, aż do aksjomatów. Przeciwnie, zwłaszcza przy pierwszym podejściu do problemu, w arytmetyce, podobnie jak w geometrii, stosujemy najpierw jakąś przelotną, nieświadomą, nie do końca oczywistą kombinację, opartą na zaufaniu w jakiś instynkt arytmetyczny, w skuteczność znaków arytmetycznych, - bez tego nie moglibyśmy poczynić postępów w arytmetyce, tak jak nie możemy poczynić postępów w geometrii, nie polegając na sile wyobraźni geometrycznej. Przykład teorii arytmetycznej, która działa w sposób ścisły koncepcje geometryczne i znaki * mogą służyć jako praca Minkowskiego „Geometria liczb” **.
** Lipsk, 1896.
Poczynimy jeszcze kilka uwag na temat trudności, jakie mogą wiązać się z problemami matematycznymi i na temat pokonywania tych trudności.
Jeśli nie udaje nam się znaleźć rozwiązania problemu matematycznego, przyczyną tego jest często to, że nie zdobyliśmy jeszcze dostatecznie ogólnego punktu widzenia, z którego rozważany problem jawi się jedynie jako odrębne ogniwo w łańcuchu powiązanych ze sobą problemów. Znalezienie takiego punktu widzenia często nie tylko sprawia, że dany problem staje się bardziej dostępny do badań, ale także opanowuje metodę mającą zastosowanie do problemów pokrewnych. Przykłady obejmują integrację po krzywoliniowej ścieżce wprowadzonej przez Cauchy'ego do teorii całki oznaczonej i ustanowienie przez Kummera koncepcji ideału w teorii liczb. Ten sposób znajdowania metod ogólnych jest najwygodniejszy i najpewniejszy, gdyż jeśli ktoś szuka metod ogólnych, nie mając na myśli żadnego konkretnego zadania, to poszukiwania te w większości kończą się daremne.
W badaniu problemów matematycznych specjalizacja odgrywa, jak sądzę, jeszcze ważniejszą rolę niż uogólnianie. Możliwe, że w większości przypadków, gdy na próżno szukamy odpowiedzi na pytanie, przyczyną naszej porażki jest to, że prostsze i łatwiejsze problemy niż ten nie zostały jeszcze rozwiązane lub nie zostały całkowicie rozwiązane. W takim razie chodzi o to, aby znaleźć te łatwiejsze problemy i wdrożyć ich rozwiązanie najbardziej zaawansowanymi środkami, za pomocą koncepcji, które można uogólnić. Reguła ta jest jedną z najpotężniejszych dźwigni pozwalających przezwyciężyć trudności matematyczne i wydaje mi się, że w większości przypadków dźwignia ta jest uruchamiana, czasami nieświadomie.
Jednocześnie zdarza się również, że odpowiedź osiągamy przy niewystarczających przesłankach lub idąc w złym kierunku i w rezultacie nie osiągamy celu. Powstaje wówczas zadanie udowodnienia nierozwiązywalności tego problemu w ramach przyjętych założeń i obranego kierunku. Takie dowody niemożliwości przeprowadzili na przykład dawni matematycy, gdy odkryli, że stosunek przeciwprostokątnej trójkąta równoramiennego do jego boku wynosi Liczba niewymierna. We współczesnej matematyce odgrywają rolę dowody na niemożność rozwiązania niektórych problemów wybitna rola; tam stwierdzamy, że takie stare i trudne problemy, jako dowód aksjomatu podobieństw, jak kwadratura koła czy rozwiązanie równania piątego stopnia w pierwiastkach, otrzymaliśmy nadal rygorystyczne rozwiązanie, które całkowicie nas zadowala, choć w innym kierunku niż to, które było najpierw zakładano.
Ten zdumiewający fakt, wraz z innymi podstawami filozoficznymi, budzi w nas pewność, którą niewątpliwie podziela każdy matematyk, ale której nikt jeszcze nie potwierdził dowodem - pewność, że każdy konkretny problem matematyczny z pewnością musi być dostępny ścisła decyzja* albo w tym sensie, że możliwe jest uzyskanie odpowiedzi na postawione pytanie, albo w tym sensie, że zostanie stwierdzona niemożność jego rozwiązania i jednocześnie udowodniona zostanie nieuchronność niepowodzenia wszelkich prób jego rozwiązania.
* Uważamy za konieczne przedstawienie tego, tak decydującego dla całego światopoglądu naukowego Hilberta, stwierdzenia w oryginale „...die uberzeugung, dass ein jedes bestimmte mathematische Problem einer strengen Erieitung notwendig fahig sein muss.” - Notatka rocznie
Wyobraźmy sobie kilka nierozwiązany problem powiedzmy, kwestia irracjonalności stałej Z Euler – Mascheroni, czyli kwestia istnienia nieskończonej liczby liczb pierwszych postaci 2N + 1 . Bez względu na to, jak niedostępne wydają nam się te problemy i bez względu na to, jak bezradni wobec nich teraz jesteśmy, nadal je mamy głębokie przekonanieże ich rozwiązanie przy pomocy skończonej liczby logicznych wniosków musi mimo wszystko zakończyć się sukcesem.
Czy ten aksjomat rozwiązywalności każdego zadanego problemu jest jedynie cechą charakterystyczną? myślenie matematyczne a może istnieje ogólne prawo odnoszące się do wewnętrznej istoty naszego umysłu, zgodnie z którym wszystkie stawiane przez niego pytania mogą być przez niego rozwiązane? Przecież w innych obszarach wiedzy istnieją stare problemy, które zostały rozwiązane w sposób jak najbardziej zadowalający i z największą korzyścią dla nauki, poprzez udowodnienie niemożliwości ich rozwiązania. Pamiętam problem dot perpetuum mobile(Maszyna ruchu wiecznego) *. Po daremnych próbach projektowania Maszyna ruchu wiecznego wręcz przeciwnie, zaczął badać relacje, jakie muszą istnieć pomiędzy siłami natury, przy założeniu, że perpetuum mobile niemożliwe. I to sformułowanie problemu odwrotnego doprowadziło do odkrycia prawa zachowania energii, z którego wynika niemożność perpetuum mobile w pierwotnym rozumieniu jego znaczenia.
Ta wiara w możliwość rozwiązania każdego problemu matematycznego jest dla nas ogromną pomocą w naszej pracy; Słyszymy w sobie ciągłe wołanie: gdy pojawia się problem, szukaj rozwiązania. Możesz to znaleźć poprzez czyste myślenie; bo w matematyce nie ma Ignorabimusa! **
* śr. H. HeImholtz, Uber die Wechselwirkung der Naturkrafte und die darauf bezuglichen neuesten ErmittIungen der Physik, raport w Królewcu, 1854 (tłumaczenie rosyjskie: „O oddziaływaniu sił natury”, w zbiorze G. Helmholtz, Popular Speeches, wyd. 2, cz. 1 , Petersburg, 1898. - Notatka wyd. ).
**Patrz przypis. - Notatka wyd.
W matematyce istnieje niezliczona ilość problemów, a gdy jeden zostanie rozwiązany, na jego miejsce pojawiają się niezliczone nowe. Pozwolę sobie w przyszłości, jakby na sprawdzian, wymienić kilka konkretnych problemów z różnych dyscyplin matematycznych, których zbadanie może znacząco pobudzić dalszy rozwój nauki.
Przejdźmy do podstaw analizy i geometrii. Do najważniejszych i najważniejszych wydarzeń ostatniego stulecia w tej dziedzinie należy, jak mi się wydaje, arytmetyczne opanowanie pojęcia kontinuum w dziełach Cauchy’ego, Bolzano, Cantora oraz odkrycie geometrii nieeuklidesowej przez Gaussa, Bolyai i Łobaczewski. Zwracam zatem Państwa uwagę na pewne problemy należące do tych obszarów.<...>
1. Problem Cantora dotyczący potęgi kontinuum<...>Wymienione problemy są tylko przykładami problemów; wystarczą jednak, aby pokazać, jak bogata, różnorodna i szeroka jest już nauka matematyczna; Stajemy przed pytaniem, czy matematyka doświadczy kiedyś tego, co dzieje się od dawna z innymi naukami, czy nie rozpadnie się na odrębne nauki prywatne, których przedstawiciele ledwo będą się rozumieć, a powiązanie między którymi zatem będzie staje się coraz mniej.2. Spójność aksjomatów arytmetycznych
3. Równość dwóch czworościanów o równych podstawach i równych wysokościach.
4. Problem bezpośredniego sposobu najkrótsze połączenie dwa punkty.
5. Koncepcja ciągłej grupy przekształceń Liego, bez założenia różniczkowalności funkcji definiujących tę grupę.
6. Matematyczne przedstawienie aksjomatów fizyki.
7. Irracjonalność i transcendencja niektórych liczb.
8. Problem liczb pierwszych.
9. Dowód najogólniejszego prawa wzajemności w dowolnym polu liczbowym.
10. Problem rozwiązywalności równania diofantyny.
11. Kwadratowe kształty z dowolnymi algebraicznymi współczynnikami liczbowymi.
12. Rozszerzenie twierdzenia Kroneckera o ciałach abelowych na dowolną algebraiczną dziedzinę racjonalności.
13. Niemożność rozwiązania ogólnego równania siódmego stopnia za pomocą funkcji zależnej tylko od dwóch zmiennych.
14. Dowód na skończoność niektórych kompletny system Funkcje.
15. Rygorystyczne uzasadnienie geometrii obliczeniowej Schuberta.
16. Zagadnienie topologii krzywych i powierzchni algebraicznych.
17. Prezentacja pewne formy jako suma kwadratów.
18. Konstrukcja przestrzeni z wielościanów przystających.
19. Czy rozwiązania zwykłego problemu wariacyjnego są koniecznie analityczne?
20. Ogólny problem warunków brzegowych.
21. Dowód na istnienie liniowych równań różniczkowych z daną grupą monodromii.
22. Uniformizacja zależności analitycznych za pomocą funkcji automorficznych.
23. Rozwój metod rachunku wariacyjnego
Nie wierzę w to i nie chcę tego. Nauka matematyczna moim zdaniem stanowi niepodzielną całość, organizm, którego żywotność zależy od spójności jego części. Rzeczywiście, pomimo wszystkich różnic w szczególności w materiale matematycznym, nadal bardzo wyraźnie widzimy tożsamość logicznych środków pomocniczych, podobieństwo powstawania idei w matematyce jako całości i liczne analogie w różnych jej dziedzinach. Zauważamy też, że im dalej rozwija się teoria matematyczna, tym bardziej harmonijna i jednolita kształtuje się jej struktura, a pomiędzy oddzielonymi dotychczas obszarami otwierają się nieoczekiwane powiązania. Tak się składa, że wraz z rozwojem matematyki jej jednolity charakter nie zostaje zatracony, lecz staje się coraz bardziej wyraźny.
Ale – pytamy – czy wraz z rozwojem wiedzy matematycznej nie stanie się w końcu niemożliwe, aby indywidualny badacz ogarnął wszystkie jej części? W odpowiedzi chciałbym nawiązać do faktu, że nauka matematyczna ma taką naturę, że każdy prawdziwy sukces w niej idzie w parze z odkryciem silniejszych środków pomocniczych i prostszych metod, które jednocześnie ułatwiają zrozumienie wcześniejszych teorii i eliminują trudności starych rozumowań; zatem indywidualny badacz, dzięki temu, że zinternalizuje je mocniej AIDS i prostszych metod, łatwiej będzie poruszać się po różnych obszarach matematyki niż ma to miejsce w przypadku jakiejkolwiek innej nauki.
Jednolity charakter matematyki wynika z wewnętrzna istota ta nauka; Przecież matematyka jest podstawą wszelkich nauk ścisłych. Aby zaś doskonale spełnić ten wzniosły cel, oby w nadchodzącym stuleciu znalazła znakomitych mistrzów i licznych zwolenników płonących szlachetną gorliwością*.
* W oryginale słowa te brzmią tak: „Der einheitliche Charakter der Mathematik Liegt im wewnętrzneren Wesen dieser Wissenschaft begrundet; denn die Mathematik ist die Grundlage alles exakten naturwissenschaftlichen Erkennens. Damit sie diese hohe Bestimmung vollkommen erfulle, możemyn ihr im neuen Jahrhundert geniale Meister erstehen und hlreiche in edlem Eifer ergluhende Jungerl” - Notatka wyd.