Część tekstowa publikacji
Treść
Wprowadzenie……………………………………………………………………………..3 Rozdział I. Z historii Liczby zespolone…………………………………………………4 Rozdział II. Podstawy metody liczb zespolonych…………………………………6 Rozdział III. Geometria trójkąta w liczbach zespolonych............................12 Rozdział IV. Rozwiązanie Problemy z egzaminem jednolitym oraz różne olimpiady z wykorzystaniem metody liczb zespolonych…………………………………………………………………..20 Zakończenie…………………………… ……… …………………………………….24 Bibliografia……………………………………………………………..25
Wstęp
Powszechnie wiadomo, jak duże znaczenie liczb zespolonych w matematyce i jej zastosowaniach. Algebra liczb zespolonych może być z powodzeniem stosowana w elementarna geometria, trygonometria, teoria ruchu i podobieństw, a także w elektrotechnice, różne mechaniczne i problemy fizyczne. W planimetrii metoda liczb zespolonych umożliwia rozwiązywanie problemów poprzez bezpośrednie obliczenia przy użyciu gotowych wzorów. Na tym polega prostota tej metody w porównaniu z metodą wektorową i metody koordynacyjne, metodą przekształceń geometrycznych, wymagającą od uczniów dużej inteligencji i długotrwałych poszukiwań. Od kilku tysiącleci trójkąt jest symbolem geometrii. Można nawet powiedzieć, że trójkąt jest atomem geometrii. Każdy wielokąt można podzielić na trójkąty, a badanie jego właściwości sprowadza się do badania właściwości trójkątów jego składników. Przyjrzyjmy się, jak działa metoda liczb zespolonych podczas udowadniania właściwości trójkąta z kurs szkolny planimetria, a także do rozwiązywania problemów C-4 egzaminu Unified State Exam. 2
Rozdział I. Z historii liczb zespolonych,
Najwyraźniej po raz pierwszy o ilościach urojonych wspomniano w słynnym dziele „Wielka sztuka, czyli o reguły algebraiczne» Cardano (1545), w ramach formalnego rozwiązania problemu obliczenia dwóch liczb, które sumują się do 10, a pomnożone dają 40. Dla tego zadania uzyskał równanie kwadratowe dla jednego z wyrazów i znalazł jego pierwiastki: 5 + √ - 15 i 5 - √ - 15 . W komentarzu do decyzji napisał: „Te najbardziej złożone ilości bezużyteczne, choć bardzo sprytne” oraz „Rozważania arytmetyczne stają się coraz bardziej nieuchwytne, osiągając granicę równie subtelną, jak i bezużyteczną”. Możliwość wykorzystania wielkości urojonych przy rozwiązywaniu równania sześciennego w tzw. przypadku nieredukowalnym (kiedy pierwiastki rzeczywiste wielomianu wyrażają się poprzez korzenie sześcienne wielkości urojonych) został po raz pierwszy opisany przez Bombelliego (1572). Jako pierwszy opisał zasady dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb zespolonych, ale nadal uważał je za bezużyteczny i przebiegły „wynalazek”. Wyrażenia reprezentowane w postaci a + b √ − 1, pojawiające się przy rozwiązywaniu kwadratu i równania sześcienne, zaczęto nazywać „wyimaginowanym”. XVI-XVII wiek za namową Kartezjusza, który tak je nazwał, odrzucając ich rzeczywistość, i dla wielu innych kierunków naukowcy XVII wieków natura i prawo do istnienia wielkości urojonych wydawały się bardzo wątpliwe, tak jak wówczas uważano je za wątpliwe liczby niewymierne, a nawet wartości ujemne. Mimo to matematycy odważnie aplikowali metody formalne algebry wielkości rzeczywistych i zespolonych, otrzymywały poprawne wyniki rzeczywiste nawet z pośrednich zespolonych, co nie mogło nie budzić zaufania. Przez długi czas nie było jasne, czy wszystkie operacje na liczbach zespolonych prowadzą do wyników zespolonych, czy rzeczywistych, czy też np. wyciągnięcie pierwiastka może doprowadzić do odkrycia jakiegoś innego nowego typu liczb. Problem wyrażania pierwiastków stopnia n z podany numer został rozwiązany w dziełach Moivre’a (1707) i Cotesa (1722). Symbol oznaczający jednostkę urojoną zaproponował Euler (1777, publikacja 1794), który wziął do tego pierwszą literę łacińskiego słowa. imaginarius – wyimaginowany. Rozszerzył także wszystkie standardowe funkcje, w tym logarytm, na dziedzinę zespoloną. Euler wyraził także w 1751 roku pogląd, że pole liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Do tego samego wniosku doszedł D'Alembert (1747), ale pierwszy rygorystyczny dowód tego faktu należy do Gaussa (1799). To Gauss ukuł termin „liczba zespolona” do powszechnego użytku w 1831 r., chociaż termin ten był wcześniej używany w tym samym znaczeniu przez francuskiego matematyka Lazare Carnota w 1803 r. 3
Arytmetyczny (standardowy) model liczb zespolonych jako par liczb rzeczywistych skonstruował Hamilton (1837); potwierdziło to zgodność ich właściwości. Znacznie wcześniej, bo w roku 1685, w swoim dziele „Algebra” wykazał to Wallis (Anglia). złożone korzenie równanie kwadratowe z rzeczywistymi współczynnikami można przedstawić geometrycznie za pomocą punktów na płaszczyźnie. Ale przeszło to niezauważone. Następnym razem geometryczna interpretacja liczb zespolonych i operacji na nich pojawiła się w dziele Wessela (1799). Współczesna reprezentacja geometryczna, czasami nazywana „diagramem Arganda”, weszła w życie po opublikowaniu w latach 1806 i 1814 prac J. R. Arganda, w których niezależnie powtórzono wnioski Wessela. Terminy „moduł”, „argument” i „liczba sprzężona” zostały wprowadzone przez Cauchy’ego. W ten sposób odkryto, że liczby zespolone nadają się również do czystego wykonania. operacje algebraiczne dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wektorów na płaszczyźnie, co znacznie zmieniło algebrę wektorów. 4
Rozdział II. Podstawy metody liczb zespolonych
[
1
]
,
[2], [3] [4] Interpretacja geometryczna liczb zespolonych Długość odcinka Dany prostokąt Układ kartezjański współrzędnych na płaszczyźnie liczbę zespoloną z = x+iy (i 2 = -1) można skojarzyć jeden do jednego z punktem M płaszczyzny o współrzędnych x, y (rys. 1): z = x + iy ↔M (x, y ) ↔M (z) . Liczbę z nazywa się wówczas zespoloną współrzędną punktu M. Ponieważ zbiór punktów płaszczyzny euklidesowej jest w relacji jeden do jednego ze zbiorem liczb zespolonych, płaszczyznę tę nazywa się także płaszczyzną liczb zespolonych. Początek O kartezjańskiego układu współrzędnych nazywany jest punktem początkowym lub zerowym płaszczyzny liczb zespolonych. Kiedy = 0, liczba z jest rzeczywista. Liczby rzeczywiste są reprezentowane przez punkty na osi x, dlatego nazywa się ją osią rzeczywistą. Przy x=0 liczba z jest czysto urojona: z=iy. Liczby urojone są reprezentowane przez punkty na osi y, dlatego nazywa się ją osią urojoną. Zero jest liczbą zarówno rzeczywistą, jak i czysto urojoną. Odległość od początku płaszczyzny O do punktu M(z) nazywana jest modułem liczby zespolonej z i oznaczana przez |z| lub r: | z | = r = | OM | = √ x 2 + y 2 Jeśli φ jest kątem zorientowanym utworzonym przez wektor ⃗ OM z osią x, to z definicji funkcji sinus i cosinus sin φ = y r, cos φ = x r 5
skąd x = r cos φ, y = r sin φ, a zatem z = r (cos φ + sin φ). Ta reprezentacja liczby zespolonej z nazywa się jej
trygonometria
czesko
formularz. Nazywa się pierwotną reprezentację z=x+iy
algebraiczny
postać tej liczby. Na reprezentacja trygonometryczna kąt nazywany jest argumentem liczby zespolonej i jest również oznaczany przez arg z: φ = arg z Jeśli podana jest liczba zespolona z = x + iy, to liczba ´ z = x − iy nazywana jest
złożony koniugat
(lub po prostu
sprzężony
) do tej liczby z. Wtedy oczywiście liczba z jest również sprzężona z liczbą z. Punkty M(z) i M 1 (´ z) są symetryczne względem osi x. Z równości z = ´ z wynika, że y = 0 i odwrotnie. To znaczy, że
liczba równa
do jego koniugatu jest rzeczywiste i odwrotnie.
Punkty o zespolonych współrzędnych z i -z są symetryczne względem punktu początkowego O. Punkty o zespolonych współrzędnych z i - `z są symetryczne względem osi y. Z równości z = ´ z wynika, że x = 0 i odwrotnie. Dlatego warunek z =− ´ z jest kryterium liczby czysto urojonej. Dla dowolnej liczby z oczywiście | z | = | ` z | =¿− z ∨¿∨−´ z ∨¿ .
Suma i produkt
dwie sprzężone liczby zespolone są liczbami rzeczywistymi: z + ` z = 2 z, z ` z = x 2 + y 2 =¿ z 2 ∨¿. Liczba sprzężona z sumą, iloczynem lub ilorazem kompleksu 6
liczby są odpowiednio sumą, iloczynem lub ilorazem liczb sprzężonych z danymi liczbami zespolonymi: ´ z 1 + z 2 = ´ z 1 + ´ z 2 ; ` z 1 z 2 = ` z 1 ` z 2 ; ` z 1: z 2 = ` z 1: ` z 2 Równości te można łatwo sprawdzić za pomocą wzorów na operacje na liczbach zespolonych. Jeżeli a i b są zespolonymi współrzędnymi odpowiednio punktów A i B, to liczba c = a + b jest współrzędną punktu C taką, że ⃗ OC = ⃗ OA + ⃗ OB (rys. 3). Liczba zespolona d = a − b odpowiada punktowi D takiemu, że ⃗ OD = ⃗ OA − ⃗ OB . Odległość pomiędzy punktami A i B wynosi | ⃗BA | = | ⃗ OD | =¿ a − b ∨¿: ¿ AB ∨¿∨ a − b ∨¿ (1) Ponieważ ¿ z ∨ 2 = z ` z , to ¿ AB ∨ 2 =(a - b) (' a - ` b) . (2)
Równanie
z ´ z = r 2
definiuje okrąg ze środkiem
O promieniu
R.
Relacja AC CB = λ, (λ ≠ − 1), w której punkt C dzieli ten segment AB, wyraża się za pomocą zespolonych współrzędnych tych punktów w następujący sposób: λ = c – a b – c, λ = ´ λ, skąd c = a + λb 1 + λ (3) Dla λ = 1 punkt C jest punktem środkowym odcinka AB i odwrotnie. Wtedy: c = 1 2 (a + b) (4) Mnożenie liczb zespolonych Mnożenie liczb zespolonych wykonuje się według wzoru, Czyli | a b | = | || b | i 7
Równoległość i prostopadłość Współliniowość trzech punktów Niech punkty A(a) i B(b) będą dane na płaszczyźnie liczb zespolonych. Wektory ⃗ OA i ⃗ OB są współkierunkowane wtedy i tylko wtedy, gdy arg a = arg b, czyli gdy arg a – arg b=arg a b =0 (przy dzieleniu liczb zespolonych od argumentu dzielnika odejmuje się argument dzielnika dywidenda). Jest także oczywiste, że wektory te są skierowane w przeciwne strony wtedy i tylko wtedy, gdy arg a - arg b= arg a b = ± π. Liczby zespolone z argumentami 0, π, - π są rzeczywiste.
Kryterium współliniowości dla punktów O, A, B:
Aby punkty A(a) i B(b) były współliniowe z punktem początkowym O, konieczne i wystarczające jest, aby iloraz a b był liczbą rzeczywistą, czyli a b = ` a ` b lub a ` b = ` a b (6 ) Teraz rozważmy punkty A(a), B(b), C(c), D(d). Wektory ⃗ BA i ⃗ DC collie są nieargumentowe wtedy i tylko wtedy, gdy punkty określone przez zespol liczby a-b i с-d, są współliniowe z początkiem O. Uwaga: 1. Na podstawie (6) mamy: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ (a – b) (´ c – ´ d) =(´ a – ´ b ) (c - d) ; (8) 2. Jeśli punkty A, B, C, D należą do okręgu jednostkowego z ´ z = 1, to ´ a = 1 a; ` b = 1 b ; ` do = 1 do; ` d = 1 d i dlatego warunek (8) przyjmuje postać: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ab = cd ; (9) 3. Kolinearność punktów A, B, C charakteryzuje się kolinearnością wektorów ⃗AB i ⃗AC. Korzystając z (8) otrzymujemy: (a – b) (´ a –´ c) =(´ a – ´ b) (a - c) (10) Jest to kryterium przynależności punktów A, B, C do tej samej linii prostej. Można to przedstawić w formie symetrycznej a (´ b –´ c) + b (´ c –´ a) + c (´ a - ´ b) = 0 (11) 8
Jeśli punkty A i B należą do okręgu jednostkowego z ´ z = 1, to ´ a = 1 a; ´ b = 1 b i dlatego każda z relacji (10) i (11) ulega transformacji (po redukcji przez (a-b) do postaci: c + ab ´ c = a + b (12) Punkty A i B są stałe, i punkt Rozważymy C jako zmienną, wyznaczając jej współrzędną przez z. Wtedy każda z otrzymanych zależności (10), (11), (12) będzie równaniem prostej AB: (´ a – ´ b) z + (b - a) ` z + a ` b - b ` a = 0, (10a) z + ab ` z = a + b. (12a) W szczególności bezpośredni OA ma równanie a ` z = ` a z. Liczby zespolone z argumentami π 2 i − π 2 są czysto urojone, dlatego OA ⊥ OB↔ a b = − ´ a ´ b lub OA ⊥ OB↔a ´ b + ´ a b = 0 (13) Prostopadłość odcinków AB i CD są określone przez równość (a – b) (´ c – ´ d) + (´ a – ´ b) (c – d) = 0 (14) W szczególności, gdy punkty A, B, C, D należą do okręgu jednostkowego z ´ z = 1, wówczas zależność (14) jest uproszczona: ab + cd = 0 (15) Iloczyn skalarny wektorów. produkt skalarny wektory ⃗ OA i ⃗ OB poprzez zespolone współrzędne aib punktów A i B. Niech a=x 1 +iy 1 , b=x 2 +iy 2 . Wtedy a b + a b=(x 1 +iy 1)(x 2 −iy 2)+(x 1 −iy 1)(x 2 +iy 2)=2(x 1 x 2 +y 1 y 2)= 2 ⃗ OA∙⃗OB. Zatem ⃗ OA ∙ ⃗ OB = 1 2 (a b + ab) (16) 9
Niech teraz zostaną dane cztery dowolne punkty A(a), B(b), C(c), D(d) według ich zespolonych współrzędnych. Wtedy 2 ⃗ AB ∙ ⃗ CB = 1 2 (a-b)(c - d)+(a - b)(c-d) (17) Kąty Zgódźmy się oznaczać symbolem ∠ (AB ,CD) dodatnio zorientowany kąt przechodzący przez którego wektor ⃗ należy obrócić AB tak, aby był współkierunkowany z wektorem ⃗ CD. Wtedy cos ∠ (AB, CD)= (d – c) (´ b – ´ a) +(´ d –´ c)(b – a) 2 | d - do || b - za | (18) grzech ∠ (AB ,CD)= (d – do) (´ b –´ a) +(´ d –´ c)(b – a) 2 ja | d - do || b - za | (19) Punkt przecięcia siecznych z okręgiem Jeśli punkty A, B, C i D leżą na okręgu z ´ z = 1, to zespoloną współrzędną punktu przecięcia wyznacza się ze wzoru ´ z = (a + b) − (c + d) ab − cd (20) Jeżeli AB jest prostopadłe do CD, to z= 1 2 (a+b+c+d) (21) Punkt przecięcia stycznych do okręgu 10
Zespoloną współrzędną punktu przecięcia stycznych do okręgu z ´ z =1 w jego punktach A(a) i B(b) wyznacza się ze wzoru z= 2ab a + b (22) Rzut ortogonalny punktu na prostą Rzut ortogonalny punktu M(m) na prostą AB, gdzie A(a) i B(b) wyznaczamy ze wzoru W przypadku, gdy A i B należą do okręgu jednostkowego z= 1 2 (a + b + m - cb m) .
Rozdział III.
Geometria trójkąta w liczbach zespolonych
Na płaszczyźnie liczb zespolonych trójkąt definiują trzy liczby zespolone odpowiadające jego wierzchołkom. Środek ciężkości i ortocentrum trójkąta. [ 2 ] Wiadomo, że dla środka ciężkości G (punktu przecięcia środkowych) trójkąta ABC i dowolnego punktu O zachodzi równość: ⃗ OG = 1 3 (⃗ OA + ⃗ OB + ⃗ OC). Zatem zespoloną współrzędną g środka ciężkości G obliczamy ze wzoru g = 1 3 (a + b + c) (23) Wyraźmy h zespoloną współrzędną ortocentrum H trójkąta ABC poprzez współrzędne a, b, c jego wierzchołków. Niech proste AH, BH, CH przecinają okrąg opisany na trójkącie w punktach A1, B1, C1, odpowiednio. Niech ten okrąg ma równanie z ´ z =1, to zgodnie z (15) mamy: a 1 = − bc a , b 1 = − ca b , c 1 = − ab c Według wzoru (20) h = (a + za 1 ) −(b + b 1) za za 1 − bb 1 = ab + bc + ca abc = 1 za + 1 b + 1 do 11
Skąd pochodzi h=a+b+c. (24) Otrzymane wyrażenie zawiera współrzędne wierzchołków trójkąta symetrycznie, zatem trzecia wysokość trójkąta przechodzi przez punkt przecięcia dwóch pierwszych.Trójkąty podobne [2,1] Trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 są podobne i identycznie zorientowane (podobieństwo pierwszego rodzaju), jeśli B 1 = kAB, A 1 B 1 = kAC i kąty B 1 A 1 C 1 i BAC są równe (kąty są zorientowane). Używając liczb zespolonych, równości te można zapisać w następujący sposób: |a 1 −b 1 |=k|a−b|, |a 1 −c 1 |=k|a−c|,arg c 1 − a 1 b 1 − za 1 =arg do – za b – za . Te dwie równości są równoważne jednej z 1 - a 1 c - a = b 1 - a 1 b - a = σ , (25) gdzie σ jest liczbą zespoloną, |σ|=k-współczynnik podobieństwa. Jeśli σ jest rzeczywiste, to c 1 - a 1 do - a = ` do 1 - ` a 1 ` do - ` a , gdzie AC║A 1 C 1. W konsekwencji trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 są homotetyczne. Relacja (25) jest konieczna i warunek wystarczający tak, że trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 są podobne i jednakowo zorientowane. Można mu nadać postać symetryczną ab 1 +bc 1 +ca 1 =ba 1 +cb 1 +ac 1 (25a) Równe trójkąty Jeśli | σ | = 1, wówczas trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 są równe. Wówczas relacja (25) jest znakiem równości identycznie zorientowanych trójkątów, a relacja (26) jest znakiem równości przeciwnie zorientowanych trójkątów. Regularne trójkąty Jeśli tego potrzebujesz, zorientowane trójkąt ABC był podobny do zorientowanego trójkąta BCA, to trójkąt ABC będzie regularny. 12
Dlatego z (25) otrzymujemy warunek konieczny i wystarczający, aby trójkąt ABC był regularny (a−b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2 =0 (27) Pole trójkąta (udowodnił autor) Wyprowadzamy wzór na pole S dodatnio zorientowanego trójkąta ABC: S = 1 2 | AB || AC | grzech ∠ (AB , AC)= 1 4i ((c – a) (´ b – ´ a) − (b − a) (´ c − ´ a)) = − 1 4i (a (´ b – ´ c) + b (´ do – ´ a) + do (´ a – ´ b)) lub S = ja 4 (a (´ b - ´ do) + b (´ do - ´ a) + do (´ a - ´ b )) (28) Jeżeli trójkąt ABC wpisany w okrąg z ´ z = 1, wówczas wzór (28) przekształca się do postaci: S = i 4 (a – b)(b – c)(c – a) abc (29) Twierdzenie o linii środkowej a trójkąt (potwierdzony przez autora)
Twierdzenie
. Środkowa linia trójkąta jest równoległa do podstawy i równa jej połowie. Dowód. Niech punkty M i N będą środkami boków AB i BC, wówczas m = b 2 ; n = b + do 2 . Ponieważ z 2 = z ´ z, to MN 2 =(m-n)(´ m - ´ n)=(b 2 - b + do 2)(´ b 2 – ´ b + ´ do 2)= b ` b 4 − b ` b + b ` do 4 - b ` b + ` b do 4 + b ` b + b ` do + ` b do + do ` do 4 = do ` do 4 13
4MN 2 =c ´ c, AC 2 =(c-0)(c-0)=c ´ c, zatem 4MN 2 = AC 2 lub 2MN=AC Warunek (8) współliniowości wektorów MN i AC jest również spełniony , a zatem MN ║AC. Twierdzenie Talesa (udowodnione przez autora)
Twierdzenie
. Jeśli po jednej stronie kąta linie równoległe odcinają równe odcinki, to po drugiej stronie kąta odcinają równe odcinki. Dowód Załóżmy, że c=kb. Wtedy jeśli BD||CE, to mamy (b-d)(' c - 2 ` d ¿= (' b - ` d) (c - 2d) Otwieranie nawiasów i sprowadzanie podobne terminy, otrzymujemy równanie b ` c - 2 b ` d -' c d = ` b c - 2 ` b d - c ` d Zastępując c z kb i ` c z k ` b , otrzymujemy bk ` b -2b ` d -dk ` b = ` b kb-2 ` b d-kb ` re . Przynosząc ponownie podobne wyrazy i przesuwając wszystko na jedną stronę, otrzymujemy 2b ´ d + dk ´ b − 2 ` b d − kb ` d =0. Wyciągniemy to wspólny mnożnik i otrzymujemy 2(b ` d - ` b d ¿+ k (' b d - b ` d) = 0. Stąd k=2, tj. c=2b. Podobnie udowadnia się, że f=3b, itd. Twierdzenie Pitagorasa ( udowodnione przez autora) B trójkąt prostokątny kwadrat przeciwprostokątnej równa sumie nogi kwadratowe 14
Dowód. Odległość między punktami B i C jest równa BC=|b-c|=b, BC 2 =b ´ b. Ponieważ |z| 2 = z ` z , wtedy AC 2 =(a-c)(c ` a - ` ¿ ¿=(a - 0) (' a - 0)=a ` a. AB 2 =(a-b)(' a - ` b ¿= a ` a − a ` b - ` a b+b ` b. Ponieważ b jest liczbą rzeczywistą, tj. b= ` b, to -a ` b =− ab. Ponieważ punkt A leży na osi Oy, to a = - ` a, czyli - ` ab = ab Zatem AB 2 = a ` a -a ` b - ` ab +b ` b = a ` a +b ` b = AC 2 +BC 2. Twierdzenie jest udowodnione Prosta Eulera (udowodniona przez autora) Udowodnijmy, że ortocentrum, środek ciężkości i środek opisany na trójkącie leżą na tej samej prostej (ta prosta nazywa się prostą Eulera), a OG = 1/2GH. 15
Dowód: Punkt G(g) jest środkiem ciężkości trójkąta ABC, H(h) jest ortocentrum, a O(o) jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Aby te punkty były współliniowe, musi być spełniona równość (10): (g-о)(` g - ` h ¿ -(' g - ` o ¿ (g - h) =0 Przyjmijmy punkt O jako początek, wtedy g(` g - ` h ¿ - ` g (g - h) = g 2 -g ` h -¿ (g 2 - h ` g ¿ =-g ` h + h ` g (30) zespoloną współrzędną ortocentrum obliczamy według wzoru (24) h=a+b+c, (30a) a środek ciężkości według wzoru (23) g = 1 3 (a + b + c) (30c) Podstawiamy do ( 30), otrzymujemy 1 3 (a+b +c)(´ a + b + c)-(a+b+c)(´ a + b + c 1 3 ¿)) = 0. Równość (10) wynosi zatem spełniony jest środek ciężkości, ortocentrum i środek opisanego trójkąta, okręgi leżą na tej samej prostej OG=g= 1 3 (a+b+c) GH=h-g=a+b+c- 1 3 (a+ b+c)= 2 3 (a+b+c) Otrzymaliśmy, że OG= 1 2 GH Twierdzenie zostało udowodnione 16
Okrąg Eulera (okrąg dziewięciopunktowy). Udowodnione przez autora Rozważmy trójkąt ABC. Umówmy się, że | OA | = | OB | = | OC | =1, tj. wszystkie wierzchołki trójkąta należą do okręgu jednostkowego z ´ z = 1 (środek okręgu opisanego O jest początkiem, a promień jest jednostką długości). Udowodnimy, że podstawy trzech wysokości dowolnego trójkąta, środki jego trzech boków i środki trzech odcinków łączących jego wierzchołki z ortocentrum leżą na tym samym okręgu, a jego środek jest środkiem odcinka OH , gdzie H, jak pamiętamy, jest ortocentrum trójkąta ABC. Taki okrąg nazywa się
Koło Eulera
. Niech punkty K, L i M będą środkami boków trójkąta ABC, punkty Q, N, P podstawami jego wysokości, punkty F, E, D środkami trzech odcinków łączących jego wierzchołki z ortocentrum. Udowodnijmy, że punkty D, E, F, K, L, M, N, P, Q należą do tego samego okręgu. Przypisz do punktów odpowiednie współrzędne zespolone: k = a + b 2 , l = b + c 2 ; m = za + do 2 ,o 1 = godz 2 = za + b + do 2 re = 2a + b + do 2 ; mi = 2 do + za + b 2 ; fa = 2 b + za + do 2 n = 1 2 (a + b + do - ab do) , q = 1 2 (a + do + b - ac b) , p = 1 2 (do + b + a - cb a) O 1 K = | o 1 − k | = | c 2 | ,O1L = | o 1 - l | = | 2 | , O 1 M = | o 1 − m | = | b 2 | O 1 D = | o 1 - re | = | 2 | ,O1E = | o 1 - mi | = | c 2 | ,O 1F = | o 1 - fa | = | b 2 | O 1 N= | o 1 - n | = 1 2 | abc | = 1 2 | || b | | c | , O 1 Q= 1 2 | || c | | b | , O 1 F= 1 2 | b || c | | | . 17
Ponieważ trójkąt ABC jest wpisany w okrąg z ´ z = 1, następnie | | = | b | = | c | = 1, → | 2 | = | b 2 | = | c 2 | = 1 2 | || b | | c | = 1 2 | || c | | b | = 1 2 | b || c | | | = 1 2 Zatem punkty D, E, F, K, L, M, N, Q, F należą do tego samego okręgu Twierdzenie Gaussa Jeżeli prosta przecina linie zawierające odpowiednio boki BC, CA, AB trójkąta ABC w punkcie punkty A 1, B 1 , C 1, to środki odcinków AA 1, BB 1, СС 1 są współliniowe. Korzystając z (11) piszemy warunki kolinearności trójek punktów AB 1 C, CA 1 B, BC 1 A, A 1 B 1 C 1: 0,) b - a (c) a - c () c - b (a 0 ,) c - b a() b - a () a - c b(0,) a - c b() c - b () b - a c(0,) b - a (c) a - c () c - b a (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b c a b (31) Jeśli M, N, P są środkami segmenty AA 1, BB 1, CC 1 , to musimy pokazać, że 0) () () ( n m p m p n p n m (32) Ponieważ), (2 1), (2 1), (2 1 1 1 1 c c p b b n a a m wtedy udowodniona równość (31) jest równoważna temu: 0))(())(())((1 1 1 1 1 1 1 1 1 b b a a c c a a c c b b c c b b a a lub po pomnożeniu: 0) () () () () () () () () () () () (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b a c b a z b a c b a c a c b a z b a c b a c b c b a c b a c b a c b a (33) Teraz łatwo to zobaczyć że (33) otrzymuje się przez dodanie równości wyraz po wyrazie (31). Dowód jest kompletny. 18
Rozdział IV.
Rozwiązywanie problemów USE i różnych olimpiad metodą liczb zespolonych.
Zadanie 1. Unified State Examination -2012, P-4 Na prostą zawierającą środkową AD trójkąta prostokątnego ABC o kącie prostym C wyznacza się punkt E oddalony od wierzchołka A w odległości równej 4. Znajdź pole powierzchni trójkąt BCE jeśli BC=6, AC= 4. Pierwsze rozwiązanie. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa AD=5. Wtedy ED=1 Niech punkt E leży na półprostej AD. Mediana AD jest dłuższa od AE, a punkt E leży wewnątrz trójkąta ABC (rys. 1) Spuśćmy prostopadłą EF z punktu E na prostą BC i rozważmy podobne trójkąty prostokątne DEF i DAC. Z podobieństwa tych trójkątów znajdujemy: EF = AC ∙ ED AD = 4 5 19
Dlatego S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 4 5 = 2,4. Niech teraz punkt A leży pomiędzy E i D (ryc. 2). W tym przypadku ED=9 i EF = AC ∙ ED AD = 36 5 . Wtedy S p.n.e. = 1 2 ∙ 6 ∙ 36 5 = 21,6. Odpowiedź: 2,4; 21.6. Rozwiązywanie zadania za pomocą liczb zespolonych. Przypadek I: punkt E leży na prostej AD. Ponieważ D jest środkiem CB, to CD=3. A ponieważ CA=4, jasne jest, że AD=5, czyli DE=1. Przyjmijmy punkt C jako punkt początkowy, a linie CA i CB jako osie rzeczywiste i urojone. Następnie A(4), C(0), B(6i), D(3i), E(e). Punkty A, E i D są współliniowe, wtedy e − 4 3i − e = 4 tj. e= 12i + 4 5 . Zgodnie ze wzorem (25) S CBE =│ ` i 4 (e6 ` i +6i(− ` e)│= e e − ` ¿ 6 i 2 4 ¿ ¿ =2.4 Przypadek II: punkt A leży pomiędzy punktami D i E , wtedy 4 − e 3i − 4 = 4 5 , tj. e= 36 − 12 i 5 S CBE = | 3 ja 2 2 (36 − 12 ja 5 − − 36 − 12i 5) | =21,6 Odpowiedź: 2,4 i 21,6 Rozwiązanie problem przy zastosowaniu pierwszej metody wymaga posiadania szeregu domysłów, które mogą nie pojawić się od razu, ale po dość długim okresie rozumowania.Chociaż jeśli uczeń jest dobrze przygotowany, to samo rozwiązanie kształtuje się błyskawicznie.Kiedy rozwiązując problem drugą metodą korzystamy z gotowych wzorów, oszczędzając czas na szukaniu.Rozumiemy jednak, że bez znajomości wzorów nie da się rozwiązać problemu metodą liczb zespolonych.Jak widać każda metoda ma swoje plusy i minusy.
Zadanie 2 (MIOO, 2011):
„Punkt M leży na odcinku AB. Na okręgu o średnicy AB przyjmuje się punkt C oddalony od punktów A, M i B w odległościach odpowiednio 20, 14 i 15. Znajdź pole trójkąta BMC.” 20
Rozwiązanie: Ponieważ AB jest średnicą okręgu, to ∆ ABC jest prostokątne, ∠ C = 90° Przyjmijmy, że C punkt zerowy płaszczyzna, następnie A(20i), B(15), M(z). Ponieważ CM=14, prawdziwa jest równość z ´ z = 196, tj. punkt M ∈ okrąg ze środkiem w punkcie C i r=14. Znajdźmy punkty przecięcia tego okręgu z linią AB: Równanie linii AB (10a): 20 i (15 −´ z) + 15 (´ z + 20 i) + z (− 20 i − 15) = 0 Zastąpienie ´ z przez 196 z i mnożąc całe równanie przez (4 i − 3) , otrzymujemy równanie kwadratowe dla z: 25 z 2 + 120 i (4 i − 3) z + 196 (4 i − 3) 2 = 0 z 1,2 = 2 (3 − 4 i) (6 i± √ 13) 5 Korzystając ze wzoru (28) znajdujemy pole ∆ MBC: S = i 4 (z (´ b – ´ c) + b (´ c − ´ z) + do (´ z − ´ b)) Gdzie c = 0, ´ c = 0, b = 15, ´ b = 15, ´ z = 196 ∗ 5 2 (3 - 4 i) (6 i ± √ 13) Po ukończeniu równoważne transformacje, otrzymujemy S = 54 ± 12 √ 13 sq. jednostki Odpowiedź. 54 ± 12 √ 13 m2 jednostki Jeśli rozwiążesz problem metody geometryczne, wówczas należy rozważyć dwa różne przypadki: 1. – punkt M leży pomiędzy A i D; 2. - pomiędzy D i B. 21
Rozwiązując problem metodą liczb zespolonych, uzyskuje się dwoistość rozwiązania ze względu na obecność dwóch punktów przecięcia koła i prostej. Ta okoliczność pozwala nam uniknąć typowego błędu.
Problem 3
Środkowe AA 1, BB 1 i CC 1 trójkąta ABC przecinają się w punkcie M. Wiadomo, że AB=6MC 1. Udowodnić, że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Rozwiązanie: Niech C będzie punktem zerowym płaszczyzny, a punktowi A przypisz jednostkę rzeczywistą. Problem sprowadza się zatem do udowodnienia, że b jest liczbą czysto urojoną. AB 2 = (b – 1) (´ b – 1) . M to środek ciężkości, jego współrzędna to 1 3 b + 1 3 MC 1 2 = (1 3 b + 1 3 - 1 2 b - 1 2)(1 3 ´ b + 1 3 - 1 2 ´ b - 1 2) = 1 3 b (b + 1) (´ b + 1) Ponieważ AB=6MC 1, to (b – 1) (´ b – 1) = (b + 1) (´ b + 1) . Po przeprowadzeniu przekształceń otrzymujemy b =− ´ b, czyli b jest liczbą czysto urojoną, czyli kąt C jest linią prostą.
Zadanie 4.
22
W wyniku obrotu o 90° wokół punktu O odcinek AB zamienił się w odcinek A „B”. Udowodnić, że środkowa OM trójkąta OAB” jest prostopadła do prostej A” B. Rozwiązanie: Niech współrzędne O, A, B będą równe odpowiednio 0,1, b. Wtedy punkty A " i B " będą miały współrzędne a" = i oraz b" = bi, a środek M odcinka AB " będzie miał współrzędne m = 1 2 (1 + bi). Znajdujemy: a " - b m - 0 = ja - b 1 2 (1 + bi) = 2 i (i - b) i - b = 2i Liczba jest czysto urojona. Bazując na kryterium prostopadłości (odcinki AB i CD są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a − b c − d jest czysto urojona), proste OM i A ’ B są prostopadłe.
Problem 5
.
23
Z podstawy wysokości trójkąta prostopadłe są spuszczane na dwa boki, które nie odpowiadają tej wysokości. Udowodnij, że odległość między podstawami tych prostopadłych nie zależy od wyboru wysokości trójkąta. Rozwiązanie: Niech dany jest trójkąt ABC, a okrąg opisany na nim ma równanie z ´ z = 1. Jeśli CD jest wysokością trójkąta, to d = 1 2 (a + b + c - ab c) Zespolone współrzędne podstaw M i N prostopadłych wyrzuconych odpowiednio z punktu D do AC i BC są równe m = 1 2 (a + do + re - ac ´ re 2) n = 1 2 (b + do + d - bc ´ re 2) Znajdujemy: m - n = 1 2 (a - b + do ´ re ( b - a)) = 1 2 ( a - b) (1 - do ´ d) = (a - b) (a - do) (b - do) 4 ab Ponieważ | | = | b | = 1, wtedy | m - n | = | (a - b) × (b - c) (c - a) | 4. To wyrażenie jest symetryczne względem a, b, c, tj. odległość MN nie zależy od wyboru wysokości trójkąta.
Wniosek
24
"Z pewnością! Wszystkie problemy można rozwiązać bez liczb zespolonych. Prawda jest jednak taka, że algebra liczb zespolonych to co innego skuteczna metoda rozwiązywanie problemów planimetrycznych. Można mówić jedynie o wyborze metody, która jest skuteczniejsza w przypadku danego zadania. Spory o zalety konkretnej metody są bezcelowe, jeśli rozpatrywać te metody w sposób ogólny, bez zastosowania do konkretnego problemu” [2]. Duże miejsce w badaniu metody zajmuje zestaw formuł. To jest
główna wada
metodą i jednocześnie
godność
, ponieważ pozwala rozwiązać wystarczająco dużo złożone zadania według gotowych wzorów z elementarnymi obliczeniami. Ponadto uważam, że przy rozwiązywaniu problemów planimetrycznych Ta metoda jest uniwersalny.
Bibliografia
1. Markushevich A.I. Liczby zespolone i odwzorowania konforemne - M .: Państwowe Wydawnictwo Literatury Technicznej i Teoretycznej, 1954. - 52 s. 25
2. Ponarin Ya P. Algebra liczb zespolonych w zagadnieniach geometrycznych: Książka dla uczniów klas matematycznych szkół, nauczycieli i studentów uczelni pedagogicznych - M.: MTsNMO, 2004. - 160 s. 3. Shvetsov D. Od linii Simsona do twierdzenia Droza-Farnego, Kvant. - nr 6, 2009 r. – s. 25 44-48 4. Yaglom I. M. Przekształcenia geometryczne. Transformacje liniowe i kołowe. - Państwowe Wydawnictwo Literatury Technicznej i Teoretycznej, 1956. – 612 s. 5. Yaglom I.M. Liczby zespolone i ich zastosowanie w geometrii - M.: Fizmatgiz, 1963. - 192 s. 6. Morkovich A.G. i inne, Algebra i początki analizy matematycznej, klasa 10. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom profilu) - M.: Mnemosyne, 2012. - 343 s. 7. Andronow I.K. Matematyka liczb rzeczywistych i zespolonych - M .: Prosveshchenie, 1975. - 158 s. 26
Aplikacja
Twierdzenia klasyczne elementarna geometria
Twierdzenie Newtona.
W czworokącie opisanym na okręgu środki przekątnych leżą współliniowo ze środkiem okręgu. 27
Dowód. Za początek przyjmijmy środek okręgu, ustalając jego promień równy jeden. Oznaczmy punkty styku boków tego trójkąta czworobocznego A o B o C o D o przez A, B, C, D (w kolejności kołowej) (ryc. 4). Niech M i N będą środkami odpowiednio przekątnych A o C o i B o D o. Wtedy zgodnie ze wzorem na punkty przecięcia stycznych do okręgu z = 2ab a + b punkty A o , B o , C o , D o będą miały zespolone współrzędne odpowiednio: , 2 , 2 , 2 , 2 0 0 0 0 d c cd d c b bc c b a ab b da ad a gdzie a, b, c, d są zespolonymi współrzędnymi punktów A, B, C, D. Zatem.) (2 1 ,) (2 1 0 0 0 0 d c cd b a ab d b n c bc d a ad cam Oblicz.))(())((ad c b d c b a n m Od , 1 , 1 b b a a , 1 , 1 d d c c to bezpośrednio widać, że n m n m Na podstawie (6) punkty O, M, N są współliniowe.
Twierdzenie Pascala
.
Punkty przecięcia prostych zawierających przeciwne strony sześciokąta wpisanego leżą na tej samej prostej. 28
Dowód. Niech sześciokąt ABCDEF i P FA CD N EF BC M DE AB ) () (,) () (,) () ( (rys. 6) zostaną wpisane w okrąg (ryc. 6). Przyjmijmy środek okręgu jako punkt zerowy płaszczyzny, a jego promień jest na jednostkę długości i zgodnie z (17) mamy: ,) (,) (,) (fa cd a f d c p ef bc f e c b n de ab e d b a m Oblicz) )(())((ef bc de ab ab fa ef de cd bc e b n m i podobnie .))(())((fa cd ef bc bc ab fa ef de cd f c p n Następnie znajdujemy: .))(())((de ab c f fa cd e b p n n m Ponieważ liczby f e d c b a są równe, odpowiednio f e d c b a 1 , 1 , 1 , 1 , 1, 1, to sprawdzenie ustne ujawnia, że znalezione wyrażenie pokrywa się ze swoim koniugatem, tj. jest liczbą rzeczywistą. Oznacza to współliniowość punktów M, N, P.
Twierdzenie Monge'a.
W czworoboku wpisanym w okrąg linie przechodzące przez środki boków i. Każda przekątna jest prostopadła do przeciwległych boków i odpowiednio druga przekątna przecina się w jednym punkcie. Nazywa się to punktem Monge'a cyklicznego czworoboku. Dowód. Dwusieczne prostopadłe do boków czworoboku ABCD przecinają się w środku opisanego okręgu, który przyjmujemy za punkt wyjścia. Dla każdego punktu M(z) dwusiecznej prostopadłej do [AB] liczba b a b a z ) (2 1 czysto urojona. 29
W szczególności dla z=0 jest ono równe) (2) (b a b a . Dla każdego punktu N(z) prostej przechodzącej przez środek boku CD prostopadłego do (AB) liczba b a d c z ) (2 1 będzie musiało być czysto urojone i odwrotnie. Ale dla z=) (2 1 d c b a jest równe) (2 b a b a tj. czysto urojone. Zatem punkt E ze zespoloną współrzędną) ( 2 1 d c b a leży na wskazanej prostej I to wyrażenie jest symetryczne względem liter a, b, c, d. Zatem pozostałych pięć podobnie skonstruowanych prostych zawiera punkt E. 30
- Będziemy opierać się na połączeniach, a nie na mechanicznych formułach.
- Potraktujmy liczby zespolone jako uzupełnienie naszego systemu liczbowego, takie same jak liczby zerowe, ułamkowe lub ujemne.
- Wizualizujemy pomysły w formie graficznej, aby lepiej zrozumieć istotę, a nie tylko przedstawić je suchym tekstem.
I nasze tajna broń: uczenie się przez analogię. Do liczb zespolonych dojdziemy zaczynając od ich przodków, czyli liczb ujemnych. Oto mały poradnik dla Ciebie:
Na razie ten stół nie ma większego sensu, ale niech tam zostanie. Pod koniec artykułu wszystko się ułoży.
Naprawdę zrozummy, czym są liczby ujemne
Liczby ujemne nie są takie proste. Wyobraź sobie, że jesteś europejskim matematykiem żyjącym w XVIII wieku. Masz 3 i 4 i możesz zapisać 4 – 3 = 1. To proste.
Ale co to jest 3 – 4? Co to dokładnie oznacza? Jak odjąć 4 krowy od 3? Jak możesz mieć mniej niż nic?
Liczby ujemne uważano za kompletny nonsens, coś, co „rzuciło cień na całą teorię równań” (Francis Maceres, 1759). Dzisiaj kompletnym bzdurą byłoby uważać liczby ujemne za coś nielogicznego i niepomocnego. Zapytaj nauczyciela, czy liczby ujemne naruszają podstawy matematyki.
Co się stało? Wymyśliliśmy liczbę teoretyczną, która miała przydatne właściwości. Liczb ujemnych nie można dotknąć ani poczuć, ale dobrze opisują pewne zależności (na przykład dług). To bardzo przydatny pomysł.
Zamiast mówić: „Jestem ci winien 30” i czytać te słowa, aby sprawdzić, czy jestem na plusie, czy na minusie, mogę po prostu zapisać „-30” i wiedzieć, co to znaczy. Jeżeli zarabiam i spłacam długi (-30 + 100 = 70) to bez problemu mogę zapisać tę transakcję w kilku znakach. Zostanę z +70.
Znaki plus i minus automatycznie oddają kierunek – nie potrzeba całego zdania, aby opisać zmiany po każdej transakcji. Matematyka stała się prostsza i bardziej elegancka. Nie miało już znaczenia, czy liczby ujemne były „namacalne” - miały przydatne właściwości i używaliśmy ich, dopóki nie ugruntowały się w naszym codziennym życiu. Jeśli ktoś, kogo znasz, nie zrozumiał jeszcze istoty liczb ujemnych, teraz możesz mu pomóc.
Ale nie poniżajmy ludzkie cierpienie: Liczby ujemne były prawdziwą zmianą w świadomości. Nawet Euler, geniusz, który odkrył liczbę e i wiele więcej, nie rozumiał liczb ujemnych tak dobrze, jak my dzisiaj. Postrzegano je jako „bezsensowne” wyniki obliczeń.
Dziwne jest oczekiwać, że dzieci będą spokojnie rozumieć idee, które kiedyś dezorientowały nawet najlepszych matematyków.
Wprowadzanie liczb urojonych
To ta sama historia z liczbami urojonymi. Możemy rozwiązywać takie równania przez cały dzień:
Odpowiedzi będą wynosić 3 i -3. Ale wyobraźmy sobie, że jakiś mądry facet dodał tutaj minus:
Dobrze, dobrze. To pytanie sprawia, że ludzie wzdrygają się, gdy widzą to po raz pierwszy. Czy chcesz obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby mniejszej od zera? To jest nie do pomyślenia! (Historycznie rzecz biorąc, naprawdę istniały podobne pytania, ale wygodniej jest mi wyobrazić sobie jakiegoś mędrca bez twarzy, aby nie zawstydzać naukowców z przeszłości).
Wygląda to szalenie, podobnie jak dawniej liczby ujemne, zerowe i niewymierne (liczby niepowtarzające się). To pytanie nie ma „prawdziwego” znaczenia, prawda?
Nie, to nie prawda. Tak zwane „liczby urojone” są tak samo normalne jak inne (lub tak samo nienormalne): są narzędziem do opisu świata. W tym samym duchu, w którym wyobrażamy sobie, że -1, 0,3 i 0 „istnieją”, załóżmy, że istnieje pewna liczba i, gdzie:
Innymi słowy, mnożysz i przez siebie, aby otrzymać -1. Co się teraz dzieje?
Cóż, na początku z pewnością mamy ból głowy. Ale grając w grę „Udawajmy, że ja istnieję”, tak naprawdę czynimy matematykę prostszą i bardziej elegancką. Pojawiają się nowe powiązania, które z łatwością możemy opisać.
Nie uwierzysz w i, tak jak ci starzy, zrzędliwi matematycy nie wierzyli w istnienie -1. Wszystkie nowe koncepcje, które skręcają mózg w rurkę, są trudne do dostrzeżenia, a ich znaczenie nie pojawia się od razu, nawet dla genialnego Eulera. Ale jak pokazały nam liczby ujemne, nowe, dziwne pomysły mogą być niezwykle przydatne.
Nie podoba mi się samo określenie „liczby urojone” – wydaje mi się, że zostało wybrane specjalnie po to, by urazić uczucia m.in. Liczba i jest tak samo normalna jak pozostałe, ale przylgnął do niej przydomek „wyimaginowany”, więc też będziemy go używać.
Wizualne zrozumienie liczb ujemnych i zespolonych
Równanie x^2 = 9 faktycznie oznacza to:
Która transformacja x, zastosowana dwukrotnie, zamienia 1 w 9?
Istnieją dwie odpowiedzi: „x = 3” i „x = -3”. Oznacza to, że możesz „przeskalować” 3 razy lub „przeskalować 3 razy i odwrócić” (odwrócenie lub przyjęcie odwrotności wyniku to interpretacje mnożenia przez ujemną jeden).
Zastanówmy się teraz nad równaniem x^2 = -1, które można zapisać w następujący sposób:
Która transformacja x, zastosowana dwukrotnie, zamienia 1 na -1? Hm.
- Nie możemy mnożyć dwa razy Liczba dodatnia ponieważ wynik będzie pozytywny.
- Nie możemy pomnożyć liczby ujemnej dwa razy, bo wynik znowu będzie dodatni.
A co z... rotacją! Brzmi to oczywiście niecodziennie, ale co jeśli pomyślimy o x jako o „obrócie o 90 stopni”, to stosując x dwukrotnie, dokonamy obrotu o 180 stopni oś współrzędnych, a 1 zamieni się w -1!
Wow! A jeśli pomyślimy o tym trochę więcej, możemy dokonać dwóch rewolucji przeciwny kierunek, a także przejdź od 1 do -1. Jest to „ujemny” obrót lub mnożenie przez -i:
Jeśli pomnożymy przez -i dwa razy, to przy pierwszym mnożeniu otrzymamy -i z 1, a przy drugim -1 z -i. Więc właściwie są dwa pierwiastki kwadratowe-1: i oraz -i.
To jest całkiem niezłe! Mamy coś w rodzaju rozwiązania, ale co ono oznacza?
- i to „nowy wyimaginowany wymiar” pomiaru liczby
- i (lub -i) jest tym, czym „stają się” liczby po obróceniu
- Mnożenie przez i oznacza obrót o 90 stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara
- Mnożenie przez -i oznacza obrót o 90 stopni w prawo.
- Dwukrotny obrót w dowolnym kierunku daje -1: zabiera nas z powrotem do „normalnego” wymiaru liczb dodatnich i ujemnych (oś x).
Wszystkie liczby są dwuwymiarowe. Tak, trudno to zaakceptować, ale starożytnym Rzymianom było to równie trudne do zaakceptowania. dziesiętne lub długi podział. (Jak to się dzieje, że jest więcej liczb od 1 do 2?). Wygląda dziwnie jak każdy nowy sposób myśleć matematycznie.
Zapytaliśmy: „Jak zamienić 1 na -1 w dwóch akcjach?” i znalazłem odpowiedź: obróć dwukrotnie o 1 90 stopni. Całkiem dziwny, nowy sposób myślenia w matematyce. Ale bardzo przydatne. (Nawiasem mówiąc, ta geometryczna interpretacja liczb zespolonych pojawiła się dopiero kilkadziesiąt lat po odkryciu samej liczby i).
Nie zapominaj również, że obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara jest wynik pozytywny- to jest konwencja czysto ludzka i wszystko mogło wyglądać zupełnie inaczej.
Wyszukaj zestawy
Wejdźmy trochę głębiej w szczegóły. Kiedy mnożysz liczby ujemne (np. -1), otrzymujesz zbiór:
- 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1
Ponieważ -1 nie zmienia wielkości liczby, a jedynie jej znak, otrzymasz tę samą liczbę albo ze znakiem „+”, albo ze znakiem „-”. Dla liczby x otrzymasz:
- x, -x, x, -x, x, -x…
To bardzo przydatny pomysł. Liczba „x” może oznaczać dobre i złe tygodnie. Wyobraźmy sobie to dobry tydzień zastępuje zły; To dobry tydzień; Jaki będzie 47 tydzień?
X oznacza, że to będzie zły tydzień. Zobacz jak liczby ujemne „podążają za znakiem” – zamiast liczyć możemy po prostu wpisać (-1)^47 do kalkulatora („1 tydzień dobrze, 2 tydzień źle... 3 tydzień dobrze…”). Rzeczy, które stale się zmieniają, można doskonale modelować za pomocą liczb ujemnych.
OK, co się stanie, jeśli będziemy kontynuować mnożenie przez i?
Bardzo zabawne, uprośćmy to wszystko trochę:
Oto to samo przedstawione graficznie:
Cykl powtarzamy co 4 turę. To zdecydowanie ma sens, prawda? Każde dziecko powie Ci, że 4 skręty w lewo to brak skrętu w ogóle. Teraz zrób sobie przerwę od liczb urojonych (i, i^2) i spójrz na cały zestaw:
- X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…
Dokładnie tak modeluje się liczby ujemne lustrzane odbicie liczby, liczby urojone mogą modelować wszystko, co obraca się między dwoma wymiarami „X” i „Y”. Lub cokolwiek z cykliczną, cykliczną zależnością - masz coś na myśli?
Zrozumienie liczb zespolonych
Należy wziąć pod uwagę jeszcze jeden szczegół: czy liczba może być jednocześnie „rzeczywista” i „urojona”?
Nawet w to nie wątp. Kto powiedział, że musimy skręcić dokładnie o 90 stopni? Jeśli staniemy jedną nogą na wymiarze „prawdziwym”, a drugą na „wyimaginowanym”, będzie to wyglądać mniej więcej tak:
Jesteśmy na punkcie 45 stopni, gdzie części rzeczywiste i urojone są takie same, a sama liczba to „1 + i”. To jak z hot dogiem, gdzie jest i ketchup, i musztarda – kto powiedział, że trzeba wybierać albo jedno, albo drugie?
Zasadniczo możemy wybrać dowolną kombinację części rzeczywistych i urojonych i zrobić z tego trójkąt. Kąt staje się „kątem obrotu”. Liczba zespolona to fantazyjna nazwa liczb składających się z części rzeczywistej i urojonej. Zapisuje się je jako „a + bi”, gdzie:
- a - część rzeczywista
- b - część urojona
Nie jest zły. Ale został tylko jeden ostatnie pytanie: Jak „duża” jest liczba zespolona? Nie możemy zmierzyć oddzielnie części rzeczywistej lub urojonej, ponieważ przegapimy całościowy obraz.
Cofnijmy się o krok. Rozmiar Liczba ujemna jest odległością od zera:
To kolejny sposób na znalezienie całkowita wartość. Ale jak zmierzyć oba składniki pod kątem 90 stopni dla liczb zespolonych?
Czy to ptak na niebie... czy samolot... Pitagoras przybywa na ratunek!
Twierdzenie to pojawia się wszędzie tam, gdzie jest to możliwe, nawet w liczbach wymyślonych 2000 lat po samym twierdzeniu. Tak, tworzymy trójkąt, a jego przeciwprostokątna będzie równa odległości od zera:
Chociaż pomiar liczby zespolonej nie jest tak prosty, jak „pominięcie znaku -”, liczby zespolone są bardzo proste przydatne aplikacje. Przyjrzyjmy się niektórym z nich.
Prawdziwy przykład: obroty
Nie będziemy czekać do fizyki na studiach, żeby ćwiczyć liczby zespolone. Zrobimy to dzisiaj. Wiele można powiedzieć na temat mnożenia liczb zespolonych, ale na razie musisz zrozumieć najważniejsze:
- Mnożenie przez liczbę zespoloną powoduje obrót o jej kąt
Zobaczmy jak to działa. Wyobraź sobie, że jestem na łodzi, płynęcej kursem 3 jednostki na wschód i co 4 jednostki na północ. Chcę zmienić kurs o 45 stopni w lewo. Jaki będzie mój nowy kurs?
Ktoś mógłby powiedzieć: „To proste! Oblicz sinus, cosinus, wpisz w Google wartość tangensa... a potem... Chyba zepsułem kalkulator...
Przejdźmy w prosty sposób: jesteśmy na kursie 3 + 4i (nie ma znaczenia jaki jest kąt, na razie nas to nie obchodzi) i chcemy skręcić o 45 stopni. Cóż, 45 stopni to 1 + i (idealna przekątna). Możemy więc pomnożyć naszą stawkę przez tę liczbę!
Oto sedno:
- Początkowy kurs: 3 jednostki na wschód, 4 jednostki na północ = 3 + 4i
- Obróć w lewo o 45 stopni = pomnóż przez 1 + i
Po pomnożeniu otrzymujemy:
Nasz nowy punkt orientacyjny- 1 jednostka na zachód (-1 na wschód) i 7 jednostek na północ, możesz narysować współrzędne na wykresie i podążać za nimi.
Ale! Odpowiedź znaleźliśmy w 10 sekund, bez sinusów i cosinusów. Nie było żadnych wektorów, żadnych macierzy, żadnego śledzenia tego, w którym kwadrancie się znajdujemy. Do obliczenia równania wystarczyła prosta arytmetyka i odrobina algebry. Liczby urojone świetnie nadają się do rotacji!
Co więcej, wynik takiego obliczenia jest bardzo przydatny. Mamy kurs (-1, 7) zamiast kąta (atan(7/-1) = 98,13 i od razu widać, że jesteśmy w drugiej ćwiartce. Jak dokładnie zaplanowałeś narysowanie i podążanie za wskazanym kątem Korzystanie z kątomierza pod ręką?
Nie, przeliczyłbyś kąt na cosinus i sinus (-0,14 i 0,99), znalazł przybliżony stosunek między nimi (około 1 do 7) i naszkicował trójkąt. I tutaj liczby zespolone niewątpliwie wygrywają - dokładnie, błyskawicznie i bez kalkulatora!
Jeśli jesteś podobny do mnie, to odkrycie będzie dla ciebie oszałamiające. Jeśli nie, obawiam się, że matematyka w ogóle Cię nie ekscytuje. Przepraszam!
Trygonometria jest dobra, ale liczby zespolone znacznie ułatwiają obliczenia (np. znajdowanie cos(a + b)). To tylko małe ogłoszenie; w kolejnych artykułach przedstawię Państwu pełne menu.
Dygresja liryczna: niektórzy myślą mniej więcej tak: „Hej, nie jest wygodnie mieć kurs Północ/Wschód zamiast prosty kąt za przejście statku!
Czy to prawda? OK, spójrz na swoje prawa ręka. Jaki jest kąt między podstawą małego palca a czubkiem? palec wskazujący? Powodzenia w stosowaniu metody obliczeniowej.
Możesz też po prostu odpowiedzieć: „Cóż, wierzchołek znajduje się X cali w prawo i Y cali w górę” i możesz coś z tym zrobić.
Czy liczby zespolone są coraz bliżej?
Przeszliśmy przez moje podstawowe odkrycia w dziedzinie liczb zespolonych jak tornado. Spójrz na pierwszą ilustrację, teraz powinna stać się bardziej przejrzysta.
W tych pięknych, cudownych liczbach jest o wiele więcej do odkrycia, ale mój mózg jest już zmęczony. Mój cel był prosty:
- Przekonać Cię, że liczby zespolone były postrzegane jedynie jako „szalone”, ale w rzeczywistości mogą być bardzo przydatne (podobnie jak liczby ujemne)
- Pokaż, jak liczby zespolone mogą uprościć niektóre problemy, takie jak obrót.
Jeśli wydaje mi się, że zbytnio przejmuję się tym tematem, jest ku temu powód. Liczby urojone są moją obsesją od lat – brak zrozumienia mnie irytował.
Ale zapalenie świecy jest lepsze niż brodzenie w ciemnościach: takie są moje myśli i jestem pewien, że światło zaświeci w umysłach moich czytelników.
Epilog: Ale oni nadal są dość dziwni!
Wiem, że dla mnie też nadal wyglądają dziwnie. Próbuję myśleć jak pierwsza osoba, która odkryła myślenie zerowe.
Zero to taki dziwny pomysł, „coś” reprezentuje „nic” i tego w żaden sposób nie można zrozumieć Starożytny Rzym. Podobnie jest z liczbami zespolonymi – to nowy sposób myślenia. Ale zarówno liczby zerowe, jak i liczby zespolone znacznie upraszczają matematykę. Gdybyśmy nigdy nie wprowadzili dziwnych rzeczy, takich jak nowe systemy liczbowe, nadal liczylibyśmy wszystko na palcach.
Powtarzam tę analogię, ponieważ tak łatwo jest pomyśleć, że liczby zespolone są „nienormalne”. Bądźmy otwarci na innowacje: w przyszłości ludzie będą tylko żartować, że ktoś aż do XXI wieku nie wierzył w liczby zespolone.
23 października 2015 r
MOŻLIWOŚĆ WYKORZYSTANIA LICZB ZŁOŻONYCH
NA KURSIE MATEMATYKI W SZKOLE OGÓLNEJ
Doradca naukowy:
Miejska placówka oświatowa
Szkoła średnia Pervomaiskaya
Z. Miasto Kichmengsky
Św. Zareczna 38
Prezentowana praca poświęcona jest badaniu liczb zespolonych. Znaczenie: rozwiązanie wielu problemów z fizyki i technologii prowadzi do równań kwadratowych z dyskryminator negatywny. Równania te nie mają rozwiązań w danym obszarze liczby rzeczywiste. Jednak rozwiązanie wielu takich problemów ma bardzo określone znaczenie fizyczne.
Praktyczne znaczenie: Liczby zespolone i funkcje zmiennych zespolonych są wykorzystywane w wielu zagadnieniach naukowo-technicznych, można je wykorzystać w szkole do rozwiązywania równania kwadratowe.
Obszar obiektu: matematyka. Obiekt badań: pojęcia i działania algebraiczne. Przedmiot badań- Liczby zespolone. Problem: liczb zespolonych nie uczy się na lekcjach matematyki w szkole średniej, chociaż można ich używać do rozwiązywania równań kwadratowych. Możliwość wprowadzania liczb zespolonych do Zadania z egzaminu jednolitego stanu w przyszłości. Hipoteza: W szkole średniej możesz używać liczb zespolonych do rozwiązywania równań kwadratowych. Cel: przestudiowanie możliwości wykorzystania liczb zespolonych na lekcjach matematyki w 10. klasie szkoły średniej. Zadania: 1. Przestudiować teorię liczb zespolonych. 2. Rozważyć możliwość wykorzystania liczb zespolonych na kursie matematyki w 10. klasie. 3. Opracowuj i testuj zadania z liczbami zespolonymi.
Dla rozwiązań równania algebraiczne Nie ma wystarczającej liczby liczb rzeczywistych. Naturalnym zatem jest dążenie do tego, aby równania te były rozwiązywalne, co z kolei prowadzi do rozszerzenia pojęcia liczby.gif" szerokość="10" wysokość="65 src=">
https://pandia.ru/text/78/027/images/image005_18.gif" szerokość="10" wysokość="62">.gif" szerokość="97" wysokość="28 src=">
wystarczy zgodzić się na działanie na takich wyrażeniach zgodnie z zasadami zwykłej algebry i założyć to
W 1572 roku ukazała się książka włoskiego algebraika R. Bombellego, w której ustalono pierwsze zasady działań arytmetycznych na takich liczbach, aż do wyodrębnienia z nich korzenie sześcienne. Nazwę „liczby urojone” wprowadzono w 1637 r. Francuski matematyk i filozof R. Kartezjusz, a w 1777 jeden z największych matematycy VIII wiek X..gif" szerokość="58" wysokość="19"> jako przykład wykorzystania liczb zespolonych na lekcjach matematyki w 10. klasie. Stąd. Liczba x, której kwadrat jest równy –1, nazywa się jednostką urojoną i oznacza się ją i. Zatem, skąd ..gif" szerokość="120" wysokość="27 src=">.gif" szerokość="100" wysokość="27 src=">8. klasa " href="/text/category/8_klass/" rel ="bookmark">8 klasa algebry.- M.: Edukacja, 1994.-P.134-139.
2. słownik encyklopedyczny młody matematyk / komp. E-68. - M.: Pedagogika, 19с