Frakcja- forma reprezentacji liczby w matematyce. Kreska ułamkowa oznacza operację dzielenia. Licznik ułamka ułamek nazywany jest dywidendą, oraz mianownik- rozdzielacz. Na przykład w ułamku licznik wynosi 5, a mianownik wynosi 7.
Prawidłowy Nazywa się ułamek, w którym moduł licznika jest większy niż moduł mianownika. Jeśli ułamek jest właściwy, to moduł jego wartości jest zawsze mniejszy niż 1. Wszystkie pozostałe ułamki są zło.
Ułamek nazywa się mieszany, jeśli jest zapisana jako liczba całkowita i ułamek. Jest to to samo, co suma tej liczby i ułamka:
Główna właściwość ułamka
Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę, wówczas wartość ułamka nie ulegnie zmianie, czyli np.
Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika
Aby sprowadzić dwa ułamki do wspólnego mianownika, potrzebujesz:
- Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka
- Pomnóż licznik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego
- Zamień mianowniki obu ułamków na ich iloczyn
Operacje na ułamkach
Dodatek. Aby dodać dwie frakcje, których potrzebujesz
- Dodaj nowe liczniki obu ułamków, a mianownik pozostaw bez zmian
Przykład:
Odejmowanie. Aby odjąć jedną ułamek od drugiej, potrzebujesz
- Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika
- Od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostaw bez zmian
Przykład:
Mnożenie. Aby pomnożyć ułamek przez drugi, pomnóż jego liczniki i mianowniki:
Dział. Aby podzielić ułamek przez drugi, należy pomnożyć licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego i pomnożyć mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego:
Ułamki zwykłe to zwykłe liczby, które można także dodawać i odejmować. Ponieważ jednak mają mianownik, wymagają bardziej złożonych reguł niż w przypadku liczb całkowitych.
Rozważmy najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa ułamki o tych samych mianownikach. Następnie:
Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.
Aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i ponownie pozostawić mianownik bez zmian.
W każdym wyrażeniu mianowniki ułamków są równe. Z definicji dodawania i odejmowania ułamków otrzymujemy:
Jak widać, nie jest to nic skomplikowanego: po prostu dodajemy lub odejmujemy liczniki i gotowe.
Ale nawet w tak prostych działaniach ludziom udaje się popełniać błędy. Najczęściej zapomina się, że mianownik się nie zmienia. Na przykład, dodając je, zaczynają się one również sumować, co jest zasadniczo błędne.
Pozbycie się złego nawyku dodawania mianowników jest dość proste. Spróbuj tego samego podczas odejmowania. W efekcie mianownik wyniesie zero, a ułamek (nagle!) straci swoje znaczenie.
Dlatego pamiętajcie raz na zawsze: podczas dodawania i odejmowania mianownik się nie zmienia!
Wiele osób popełnia również błędy przy dodawaniu kilku ułamków ujemnych. Istnieje zamieszanie ze znakami: gdzie umieścić minus i gdzie umieścić plus.
Ten problem jest również bardzo łatwy do rozwiązania. Wystarczy pamiętać, że minus przed znakiem ułamka zawsze można przenieść na licznik - i odwrotnie. I oczywiście nie zapomnij o dwóch prostych zasadach:
- Plus przez minus daje minus;
- Dwa minusy dają odpowiedź twierdzącą.
Spójrzmy na to wszystko na konkretnych przykładach:
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
W pierwszym przypadku wszystko jest proste, ale w drugim dodajmy minusy do liczników ułamków:
Co zrobić, jeśli mianowniki są różne
Nie można bezpośrednio dodawać ułamków o różnych mianownikach. Przynajmniej mi ta metoda nie jest znana. Jednak oryginalne ułamki zawsze można przepisać tak, aby mianowniki stały się takie same.
Istnieje wiele sposobów konwertowania ułamków zwykłych. Trzy z nich omówiono na lekcji „Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika”, więc nie będziemy się nad nimi tutaj rozwodzić. Spójrzmy na kilka przykładów:
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
W pierwszym przypadku ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika metodą „na krzyż”. W drugim będziemy szukać NOC. Zauważ, że 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Ostatnie czynniki w tych rozwinięciach są równe, a pierwsze są względnie pierwsze. Zatem LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.
Co zrobić, jeśli ułamek ma część całkowitą
Mogę cię zadowolić: różne mianowniki ułamków nie są największym złem. Znacznie więcej błędów pojawia się, gdy w dodanych ułamkach zaznaczona jest cała część.
Oczywiście istnieją własne algorytmy dodawania i odejmowania takich ułamków, ale są one dość złożone i wymagają długich badań. Lepiej skorzystaj z prostego schematu poniżej:
- Zamień wszystkie ułamki zwykłe zawierające część całkowitą na niewłaściwe. Otrzymujemy wyrazy normalne (nawet o różnych mianownikach), które obliczamy według zasad omówionych powyżej;
- Właściwie oblicz sumę lub różnicę powstałych ułamków. W rezultacie praktycznie znajdziemy odpowiedź;
- Jeśli to wszystko, co było wymagane w zadaniu, wykonujemy transformację odwrotną, tj. Ułamek niewłaściwy pozbywamy się podświetlając całą część.
Zasady przechodzenia do ułamków niewłaściwych i wyróżniania całej części opisano szczegółowo w lekcji „Co to jest ułamek liczbowy”. Jeśli nie pamiętasz, koniecznie powtórz. Przykłady:
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
Tutaj wszystko jest proste. Mianowniki w każdym wyrażeniu są równe, więc pozostaje tylko zamienić wszystkie ułamki zwykłe na niewłaściwe i policzyć. Mamy:
Aby uprościć obliczenia, w ostatnich przykładach pominąłem kilka oczywistych kroków.
Mała uwaga odnośnie dwóch ostatnich przykładów, gdzie odejmowane są ułamki z zaznaczoną częścią całkowitą. Minus przed drugim ułamkiem oznacza, że odejmowany jest cały ułamek, a nie tylko jego część.
Przeczytaj jeszcze raz to zdanie, spójrz na przykłady i pomyśl o tym. Tutaj początkujący popełniają ogromną liczbę błędów. Uwielbiają dawać takie problemy na testach. Spotkasz je także kilka razy w testach do tej lekcji, które zostaną wkrótce opublikowane.
Podsumowanie: ogólny schemat obliczeń
Podsumowując, podam ogólny algorytm, który pomoże ci znaleźć sumę lub różnicę dwóch lub więcej ułamków:
- Jeśli jeden lub więcej ułamków ma część całkowitą, zamień te ułamki na niewłaściwe;
- Doprowadź wszystkie ułamki do wspólnego mianownika w dowolny dogodny dla ciebie sposób (chyba że oczywiście zrobili to autorzy problemów);
- Dodaj lub odejmij powstałe liczby zgodnie z zasadami dodawania i odejmowania ułamków o podobnych mianownikach;
- Jeśli to możliwe, skróć wynik. Jeśli ułamek jest nieprawidłowy, wybierz całą część.
Pamiętaj, że lepiej zaznaczyć całą część na samym końcu zadania, bezpośrednio przed zapisaniem odpowiedzi.
Prawie co piątoklasista jest trochę zszokowany po pierwszej znajomości ułamków zwykłych. Trzeba nie tylko zrozumieć istotę ułamków zwykłych, ale także wykonywać na nich operacje arytmetyczne. Następnie mali uczniowie będą systematycznie przesłuchiwać nauczyciela, aby dowiedzieć się, kiedy zakończą się te ułamki.
Aby uniknąć takich sytuacji, wystarczy po prostu wyjaśnić dzieciom ten trudny temat możliwie najprościej, a najlepiej w formie zabawy.
Istota ułamka
Zanim dziecko nauczy się, czym jest ułamek, musi zapoznać się z tym pojęciem udział . Najlepiej nadaje się tutaj metoda skojarzeniowa.
Wyobraź sobie całe ciasto podzielone na kilka równych części, powiedzmy cztery. Wtedy każdy kawałek ciasta można nazwać udziałem. Jeśli weźmiesz jeden z czterech kawałków ciasta, będzie to jedna czwarta.
Udziały są różne, bo całość można podzielić na zupełnie inną ilość części. Ogólnie rzecz biorąc, im więcej udziałów, tym są one mniejsze i odwrotnie.
Aby móc wyznaczyć akcje, wymyślili takie matematyczne pojęcie jak ułamek wspólny. Ułamek pozwoli nam zapisać tyle akcji, ile potrzeba.
Składniki ułamka to licznik i mianownik, które są oddzielone linią ułamkową lub ukośnikiem. Wiele dzieci nie rozumie ich znaczenia, dlatego istota ułamka nie jest dla nich jasna. Linia ułamkowa oznacza dzielenie, nie ma tu nic skomplikowanego.
Zwyczajowo zapisuje się mianownik poniżej, pod linią ułamkową lub po prawej stronie linii przedniej. Pokazuje liczbę części całości. Licznik, zapisywany nad linią ułamkową lub na lewo od linii przedniej, określa, ile akcji zostało pobranych, np. ułamek 4/7. W tym przypadku mianownikiem jest 7, co oznacza, że jest tylko 7 akcji, a licznik 4 oznacza, że objęto cztery z siedmiu akcji.
Akcje główne i ich zapis w ułamkach:
Oprócz ułamka zwykłego istnieje również ułamek dziesiętny.
Operacje na ułamkach 5. klasa
W klasie piątej uczą się wykonywać wszystkie działania arytmetyczne na ułamkach zwykłych.
Wszystkie operacje na ułamkach wykonywane są zgodnie z zasadami i nie należy mieć nadziei, że bez poznania reguły wszystko ułoży się samo. Dlatego nie powinieneś zaniedbywać ustnej części zadań domowych z matematyki.
Zrozumieliśmy już, że zapis ułamka dziesiętnego i zwykłego jest inny, dlatego operacje arytmetyczne będą wykonywane inaczej. Działania na ułamkach zwykłych zależą od liczb znajdujących się w mianowniku i ułamku dziesiętnym - po przecinku po prawej stronie.
W przypadku ułamków o tych samych mianownikach algorytm dodawania i odejmowania jest bardzo prosty. Działania wykonujemy wyłącznie z licznikami.
W przypadku ułamków o różnych mianownikach musisz znaleźć Najmniejszy wspólny mianownik (LCD). Jest to liczba, która będzie podzielna przez wszystkie mianowniki bez reszty i będzie najmniejszą z takich liczb, jeśli jest ich kilka.
Aby dodać lub odjąć ułamki dziesiętne, należy je zapisać w kolumnie, stawiając przecinek pod przecinkiem i w razie potrzeby wyrównać liczbę miejsc po przecinku.
Aby pomnożyć ułamki zwykłe, wystarczy znaleźć iloczyn liczników i mianowników. Bardzo prosta zasada.
Podział odbywa się według następującego algorytmu:
- Zapisz dywidendę bez zmian
- Zamień dzielenie na mnożenie
- Odwróć dzielnik (zapisz ułamek odwrotny do dzielnika)
- Wykonaj mnożenie
Dodawanie ułamków, objaśnienia
Przyjrzyjmy się bliżej, jak dodawać ułamki zwykłe i dziesiętne.
Jak widać na powyższym obrazku, ułamek jedna trzecia i dwie trzecie mają wspólny mianownik wynoszący trzy. Oznacza to, że wystarczy dodać liczniki jeden i dwa, a mianownik pozostawić bez zmian. Wynik jest sumą trzech trzecich. Odpowiedź tę, gdy licznik i mianownik ułamka są równe, można zapisać jako 1, ponieważ 3:3 = 1.
Musisz znaleźć sumę ułamków dwóch trzecich i dwóch dziewiątych. W tym przypadku mianowniki są różne, 3 i 9. Aby wykonać dodawanie, musisz znaleźć wspólny mianownik. Jest na to bardzo prosty sposób. Wybieramy największy mianownik, jest to 9. Sprawdzamy, czy jest on podzielny przez 3. Ponieważ 9:3 = 3 bez reszty, zatem 9 nadaje się jako wspólny mianownik.
Następnym krokiem jest znalezienie dodatkowych współczynników dla każdego licznika. Aby to zrobić, dzielimy wspólny mianownik 9 przez mianownik każdego ułamka, otrzymane liczby będą dodatkowe. mnogi Do pierwszego ułamka: 9:3 = 3 do licznika pierwszego ułamka dodaj 3. Do drugiego ułamka: 9:9 = 1 nie musisz dodawać jedynki, bo po pomnożeniu przez niego otrzymasz to samo numer.
Teraz mnożymy liczniki przez ich dodatkowe współczynniki i dodajemy wyniki. Otrzymana ilość to ułamek ośmiu dziewiątych.
Dodawanie ułamków dziesiętnych odbywa się na tej samej zasadzie, co dodawanie liczb naturalnych. W kolumnie cyfra jest zapisywana pod cyfrą. Jedyna różnica polega na tym, że w ułamkach dziesiętnych należy w wyniku postawić właściwy przecinek. Aby to zrobić, ułamki zapisuje się przecinkiem pod przecinkiem, a w sumie wystarczy przesunąć przecinek w dół.
Znajdźmy sumę ułamków 38, 251 i 1, 56. Aby ułatwić wykonanie działań, wyrównaliśmy liczbę miejsc po przecinku po prawej stronie, dodając 0.
Dodawaj ułamki zwykłe, nie zwracając uwagi na przecinek. W powstałej kwocie po prostu obniżamy przecinek. Odpowiedź: 39, 811.
Odejmowanie ułamków, objaśnienie
Aby znaleźć różnicę między ułamkami dwie trzecie i jedną trzecią, musisz obliczyć różnicę liczników 2-1 = 1 i pozostawić mianownik bez zmian. Odpowiedź daje różnicę jednej trzeciej.
Znajdźmy różnicę między ułamkami pięciu szóstych i siedmiu dziesiątych. Znalezienie wspólnego mianownika. Stosujemy metodę selekcji, z 6 i 10 największa liczba to 10. Sprawdzamy: 10:6 nie jest podzielne bez reszty. Dodajemy kolejne 10, okazuje się, że jest 20:6, którego również nie można podzielić bez reszty. Ponownie zwiększamy o 10, otrzymujemy 30:6 = 5. Wspólny mianownik to 30. NOZ można również znaleźć za pomocą tabliczki mnożenia.
Znalezienie dodatkowych czynników. 30:6 = 5 - dla pierwszego ułamka. 30:10 = 3 - za sekundę. Mnożymy liczniki i ich dodatkowe krotności. Otrzymujemy odjętą 25/30 i odejmujemy 21/30. Następnie odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.
Wynik był różnicą 4/30. Ułamek jest redukowalny. Podziel to przez 2. Odpowiedź to 2/15.
Dzielenie ułamków dziesiętnych klasa 5
W tym temacie omówiono dwie opcje:
Mnożenie ułamków dziesiętnych klasa 5
Pamiętaj, jak mnożysz liczby naturalne, dokładnie w ten sam sposób, w jaki znajdujesz iloczyn ułamków dziesiętnych. Najpierw zastanówmy się, jak pomnożyć ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną. Dla tego:
Mnożąc ułamek dziesiętny przez ułamek dziesiętny, postępujemy dokładnie w ten sam sposób.
Frakcje mieszane klasa 5
Piątoklasiści lubią nazywać takie ułamki nie mieszanymi, ale<<смешные>>Prawdopodobnie łatwiej jest to zapamiętać w ten sposób. Ułamki mieszane nazywane są tak, ponieważ powstają w wyniku połączenia liczby naturalnej i ułamka zwykłego.
Ułamek mieszany składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej.
Czytając takie ułamki, najpierw nazywają całą część, potem część ułamkową: jedna całość dwie trzecie, dwie całe jedna piąta, trzy całe dwie piąte, cztery i trzy czwarte.
Jak się je otrzymuje, te mieszane frakcje? To całkiem proste. Gdy w odpowiedzi otrzymamy ułamek niewłaściwy (ułamek, którego licznik jest większy od mianownika), musimy zawsze zamienić go na ułamek mieszany. Wystarczy podzielić licznik przez mianownik. Ta czynność nazywa się zaznaczaniem całej części:
Zamiana ułamka mieszanego z powrotem na ułamek niewłaściwy jest również łatwa:
Przykłady ułamków dziesiętnych klasa 5 z objaśnieniem
Przykłady kilku działań rodzą wiele pytań u dzieci. Spójrzmy na kilka takich przykładów.
(0,4 8,25 - 2,025): 0,5 =
Pierwszym krokiem jest znalezienie iloczynu liczb 8,25 i 0,4. Wykonujemy mnożenie zgodnie z regułą. W odpowiedzi policz trzy cyfry od prawej do lewej i wstaw przecinek.
Druga akcja jest w nawiasach, to jest różnica. Od 3300 odejmujemy 2025. Akcję rejestrujemy w kolumnie z przecinkiem pod przecinkiem.
Trzecią czynnością jest dzielenie. Wynikową różnicę w drugim etapie dzieli się przez 0,5. Przecinek zostaje przesunięty o jedno miejsce. Wynik 2,55.
Odpowiedź: 2,55.
(0, 93 + 0, 07) : (0, 93 — 0, 805) =
Pierwszym krokiem jest kwota w nawiasie, należy ją dodać w kolumnie, pamiętając, że pod przecinkiem znajduje się przecinek. Otrzymujemy odpowiedź 1,00.
Druga akcja to różnica w stosunku do drugiego nawiasu. Ponieważ odjemna ma mniej miejsc po przecinku niż odjemnik, dodajemy brakujący. Wynik odejmowania wynosi 0,125.
Trzeci krok to podzielenie kwoty przez różnicę. Przecinek zostaje przesunięty o trzy miejsca. Wynikiem jest dzielenie 1000 przez 125.
Odpowiedź: 8.
Przykłady ułamków zwykłych o różnych mianownikach klasa 5 z wyjaśnieniem
Na początku W tym przykładzie znajdujemy sumę ułamków 5/8 i 3/7. Wspólnym mianownikiem będzie liczba 56. Znajdź dodatkowe czynniki, podziel 56:8 = 7 i 56:7 = 8. Dodaj je odpowiednio do pierwszego i drugiego ułamka. Mnożymy liczniki i ich współczynniki, otrzymujemy sumę ułamków 35/56 i 24/56. Wynik był 59/56. Ułamek jest niewłaściwy, zamieniamy go na liczbę mieszaną, pozostałe przykłady rozwiązujemy analogicznie.
Przykłady z ułamkami klasy 5 do ćwiczeń
Dla wygody zamień ułamki mieszane na ułamki niewłaściwe i wykonaj działania.
Jak nauczyć dziecko łatwego rozwiązywania ułamków zwykłych za pomocą klocków Lego
Za pomocą takiego konstruktora można nie tylko rozwinąć wyobraźnię dziecka, ale także w przystępny sposób w zabawny sposób wytłumaczyć, czym jest ułamek i ułamek.
Poniższy obrazek pokazuje, że jedna część z ośmioma okręgami to całość. Oznacza to, że jeśli weźmiesz łamigłówkę z czterema kółkami, otrzymasz połowę lub 1/2. Zdjęcie wyraźnie pokazuje, jak rozwiązać przykłady z klocków Lego, jeśli policzysz okręgi na częściach.
Możesz zbudować wieże z określonej liczby części i oznaczyć każdą z nich, jak na obrazku poniżej. Weźmy na przykład siedmioczęściową wieżę. Każdy element zielonego zestawu konstrukcyjnego będzie miał wymiary 1/7. Jeśli dodasz jeszcze dwa do jednej takiej części, otrzymasz 3/7. Wizualne wyjaśnienie przykładu 1/7+2/7 = 3/7.
Aby dostać piątki z matematyki, nie zapomnij poznać zasad i je przećwiczyć.
W tym artykule przedstawiono ogólne spojrzenie na działanie na ułamkach zwykłych. Tutaj sformułowamy i uzasadnimy zasady dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i potęgowania ułamków o postaci ogólnej A/B, gdzie A i B to pewne liczby, wyrażenia numeryczne lub wyrażenia ze zmiennymi. Tradycyjnie zaopatrzymy materiał w przykłady wyjaśniające ze szczegółowymi opisami rozwiązań.
Nawigacja strony.
Zasady wykonywania operacji na ogólnych ułamkach liczbowych
Przyjmijmy, że przez ogólne ułamki liczbowe rozumiemy ułamki, w których licznik i/lub mianownik mogą być reprezentowane nie tylko przez liczby naturalne, ale także przez inne liczby lub wyrażenia numeryczne. Dla jasności oto kilka przykładów takich ułamków: , 
.
Znamy zasady według których są przeprowadzane. Stosując te same zasady, możesz wykonywać operacje na ułamkach ogólnych:
Uzasadnienie zasad
Aby uzasadnić ważność zasad wykonywania operacji na ułamkach liczbowych postaci ogólnej, możesz zacząć od następujących punktów:
- Ukośnik jest zasadniczo znakiem podziału,
- dzielenie przez jakąś liczbę niezerową można uznać za pomnożenie przez odwrotność dzielnika (to od razu wyjaśnia zasadę dzielenia ułamków),
- właściwości operacji na liczbach rzeczywistych,
- i jego ogólne zrozumienie,
Umożliwiają one przeprowadzenie następujących przekształceń uzasadniających zasady dodawania, odejmowania ułamków o podobnych i różnych mianownikach, a także zasadę mnożenia ułamków: 
Przykłady
Podajmy przykłady wykonywania operacji na ułamkach ogólnych zgodnie z zasadami poznanymi w poprzednim akapicie. Powiedzmy od razu, że zwykle po wykonaniu operacji na ułamkach powstały ułamek wymaga uproszczenia, a proces upraszczania ułamka jest często bardziej skomplikowany niż wykonanie poprzednich czynności. Nie będziemy szczegółowo omawiać upraszczania ułamków (odpowiednie przekształcenia omówiono w artykule dotyczącym przekształcania ułamków), aby nie odwracać uwagi od interesującego nas tematu.
Zacznijmy od przykładów dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o podobnych mianownikach. Najpierw dodajmy ułamki i . Oczywiście mianowniki są równe. Zgodnie z odpowiednią zasadą zapisujemy ułamek, którego licznik jest równy sumie liczników pierwotnych ułamków, a mianownik pozostawiamy bez zmian. Dodawanie zostało zakończone, pozostaje tylko uprościć powstały ułamek: 
. Więc, 
.
Rozwiązanie można było rozwiązać inaczej: najpierw dokonaj przejścia na zwykłe ułamki, a następnie wykonaj dodawanie. Dzięki takiemu podejściu mamy 
.
Teraz odejmiemy od ułamka 
frakcja 
. Mianowniki ułamków są równe, dlatego stosujemy zasadę odejmowania ułamków o tych samych mianownikach: 
Przejdźmy do przykładów dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach. Główną trudnością jest tutaj sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. W przypadku ułamków ogólnych jest to dość obszerny temat, omówimy go szczegółowo w osobnym artykule. sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika. Na razie ograniczymy się do kilku ogólnych zaleceń, gdyż w tej chwili bardziej interesuje nas technika wykonywania operacji na ułamkach.
Ogólnie proces jest podobny do sprowadzania ułamków zwykłych do wspólnego mianownika. Oznacza to, że mianowniki są przedstawiane w postaci iloczynów, następnie pobierane są wszystkie czynniki z mianownika pierwszego ułamka i dodawane są do nich brakujące czynniki z mianownika drugiego ułamka.
Kiedy mianowniki dodawanych lub odejmowanych ułamków nie mają wspólnych czynników, logiczne jest przyjęcie ich iloczynu jako wspólnego mianownika. Podajmy przykład.
Powiedzmy, że musimy wykonać dodawanie ułamków zwykłych i 1/2. Tutaj, jako wspólny mianownik, logiczne jest przyjęcie iloczynu mianowników pierwotnych ułamków, czyli . W tym przypadku dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka wyniesie 2. Po pomnożeniu przez niego licznika i mianownika ułamek przyjmie postać . A dla drugiego ułamka dodatkowym czynnikiem jest wyrażenie. Za jego pomocą ułamek 1/2 zostaje zredukowany do postaci . Pozostaje tylko dodać powstałe ułamki o tych samych mianownikach. Oto podsumowanie całego rozwiązania: 
W przypadku ułamków ogólnych nie mówimy już o najniższym wspólnym mianowniku, do którego zwykle sprowadza się ułamki zwykłe. Chociaż w tej kwestii nadal wskazane jest dążenie do pewnego minimalizmu. Chcemy przez to powiedzieć, że nie należy od razu przyjmować iloczynu mianowników pierwotnych ułamków jako wspólnego mianownika. Na przykład wcale nie jest konieczne przyjmowanie wspólnego mianownika ułamków i iloczynu 
. Tutaj możemy wziąć.
Przejdźmy do przykładów mnożenia ułamków ogólnych. Pomnóżmy ułamki zwykłe i . Zasada wykonania tej czynności nakazuje nam zapisanie ułamka, którego licznik jest iloczynem liczników pierwotnych ułamków, a mianownik jest iloczynem mianowników. Mamy 
. Tutaj, podobnie jak w wielu innych przypadkach przy mnożeniu ułamków, możesz zmniejszyć ułamek: 
.
Zasada dzielenia ułamków pozwala przejść od dzielenia do mnożenia przez ułamek odwrotny. Tutaj trzeba pamiętać, że żeby otrzymać odwrotność danego ułamka należy zamienić licznik i mianownik danego ułamka. Oto przykład przejścia od dzielenia ogólnych ułamków liczbowych do mnożenia: 
. Pozostaje tylko wykonać mnożenie i uprościć powstały ułamek (jeśli to konieczne, zobacz transformację wyrażeń irracjonalnych): 
Kończąc informacje zawarte w tym akapicie, pamiętaj, że dowolną liczbę lub wyrażenie liczbowe można przedstawić jako ułamek o mianowniku 1, dlatego dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb i ułamków można uznać za wykonanie odpowiedniej operacji na ułamkach, jeden z czego ma jeden w mianowniku. Na przykład zastąpienie w wyrażeniu 
pierwiastek z trzech przez ułamek, przechodzimy od mnożenia ułamka przez liczbę do mnożenia dwóch ułamków: 
.
Wykonywanie czynności z ułamkami zawierającymi zmienne
Zasady z pierwszej części tego artykułu dotyczą także wykonywania operacji na ułamkach zawierających zmienne. Uzasadnijmy pierwszy z nich - zasadę dodawania i odejmowania ułamków o identycznych mianownikach, resztę dowodzimy w absolutnie ten sam sposób.
Udowodnijmy, że dla dowolnych wyrażeń A, C i D (D nie jest identycznie równe zero) zachodzi równość 
na swoim zakresie dopuszczalnych wartości zmiennych.
Weźmy pewien zestaw zmiennych z ODZ. Niech wyrażenia A, C i D przyjmą wartości a 0, c 0 i d 0 dla tych wartości zmiennych. Następnie podstawiając wartości zmiennych z wybranego zbioru do wyrażenia zamieniamy je w sumę (różnicę) ułamków liczbowych o jednakowych mianownikach postaci , co zgodnie z zasadą dodawania (odejmowania) ułamków liczbowych o podobnych mianownikach , jest równe . Ale podstawienie wartości zmiennych z wybranego zestawu do wyrażenia zamienia je na ten sam ułamek. Oznacza to, że dla wybranego zbioru wartości zmiennych z ODZ wartości wyrażeń i są równe. Oczywiste jest, że wartości wskazanych wyrażeń będą równe dla dowolnego innego zbioru wartości zmiennych z ODZ, co oznacza, że wyrażenia i są identycznie równe, to znaczy udowadniana równość jest prawdziwa .
Przykłady dodawania i odejmowania ułamków zwykłych ze zmiennymi
Kiedy mianowniki dodawanych lub odejmowanych ułamków są takie same, wszystko jest dość proste - liczniki są dodawane lub odejmowane, ale mianownik pozostaje taki sam. Oczywiste jest, że uzyskana po tym frakcja jest uproszczona, jeśli to konieczne i możliwe.
Zauważ, że czasami mianowniki ułamków różnią się tylko na pierwszy rzut oka, ale w rzeczywistości są to identycznie równe wyrażenia, na przykład 
i , lub i . A czasami wystarczy uprościć pierwotne ułamki zwykłe, aby „pojawiły się ich identyczne mianowniki”.
Przykład.
, B) 
, V) 
.
Rozwiązanie.
a) Musimy odjąć ułamki zwykłe o podobnych mianownikach. Zgodnie z odpowiednią zasadą zostawiamy mianownik bez zmian i odejmujemy liczniki, które mamy 
. Akcja została zakończona. Ale możesz także otworzyć nawiasy w liczniku i przedstawić podobne terminy: 
.
b) Oczywiście mianowniki dodawanych ułamków są takie same. Dlatego dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian: . Dodawanie zakończone. Ale łatwo zauważyć, że powstały ułamek można zmniejszyć. Rzeczywiście, licznik otrzymanego ułamka można zwinąć, stosując wzór do kwadratu sumy jako (lgx+2) 2 (patrz wzory na skrócone mnożenie), w związku z czym zachodzą następujące przekształcenia: 
.
c) Ułamki w sumie mają różne mianowniki. Ale po przekształceniu jednego z ułamków możesz przejść do dodawania ułamków o tych samych mianownikach. Pokażemy dwa rozwiązania.
Pierwszy sposób. Mianownik pierwszego ułamka można rozłożyć na czynniki korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, a następnie skrócić ten ułamek: 
. Zatem, . Nadal nie zaszkodzi uwolnić się od irracjonalności w mianowniku ułamka: 
.
Drugi sposób. Mnożenie licznika i mianownika drugiego ułamka przez (to wyrażenie nie dąży do zera dla żadnej wartości zmiennej x z ODZ dla pierwotnego wyrażenia) pozwala osiągnąć dwa cele na raz: uwolnić się od irracjonalności i przejść do dodawanie ułamków o tych samych mianownikach. Mamy 
Odpowiedź:
A) 
, B) 
, V) 
.
Ostatni przykład doprowadził nas do kwestii sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika. Tam prawie przypadkowo doszliśmy do tych samych mianowników, upraszczając jeden z dodanych ułamków. Ale w większości przypadków, dodając i odejmując ułamki o różnych mianownikach, musisz celowo doprowadzić ułamki do wspólnego mianownika. Aby to zrobić, zwykle mianowniki ułamków przedstawia się w postaci iloczynów, pobierane są wszystkie czynniki z mianownika pierwszego ułamka i dodawane są do nich brakujące czynniki z mianownika drugiego ułamka.
Przykład.
Wykonaj działania na ułamkach: a) 
, pne) 
.
Rozwiązanie.
a) Nie ma potrzeby nic robić z mianownikami ułamków. Za wspólny mianownik bierzemy produkt 
. W tym przypadku dodatkowym czynnikiem dla pierwszego ułamka jest wyrażenie, a dla drugiego ułamka - liczba 3. Te dodatkowe czynniki sprowadzają ułamki do wspólnego mianownika, co później pozwala nam wykonać potrzebną akcję, mamy 
b) W tym przykładzie mianowniki są już przedstawione jako iloczyny i nie wymagają żadnych dodatkowych przekształceń. Oczywiście czynniki w mianownikach różnią się tylko wykładnikami, dlatego jako wspólny mianownik bierzemy iloczyn czynników o najwyższych wykładnikach, czyli 
. Wtedy dodatkowym współczynnikiem dla pierwszego ułamka będzie x 4, a dla drugiego – ln(x+1) . Teraz jesteśmy gotowi do odejmowania ułamków: 
c) W tym przypadku najpierw będziemy pracować z mianownikami ułamków. Wzory na różnicę kwadratów i kwadrat sumy pozwalają przejść od sumy pierwotnej do wyrażenia 
. Teraz jest jasne, że ułamki te można sprowadzić do wspólnego mianownika 
. Przy takim podejściu rozwiązanie będzie wyglądać następująco: 
Odpowiedź:
A) 
B) 
V) 
Przykłady mnożenia ułamków zwykłych przez zmienne
Mnożenie ułamków daje ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników pierwotnych ułamków, a mianownik jest iloczynem mianowników. Tutaj jak widać wszystko jest znajome i proste, a my możemy tylko dodać, że otrzymany w wyniku tego działania ułamek często okazuje się redukowalny. W takich przypadkach ulega on zmniejszeniu, chyba że jest to oczywiście konieczne i uzasadnione.
Licznik i to, co jest dzielone przez, jest mianownikiem.
Aby zapisać ułamek, najpierw wpisz licznik, następnie narysuj poziomą linię pod liczbą i wpisz mianownik pod tą linią. Linię poziomą oddzielającą licznik od mianownika nazywa się linią ułamkową. Czasami jest przedstawiany jako ukośny „/” lub „∕”. W takim przypadku licznik jest zapisywany po lewej stronie linii, a mianownik po prawej stronie. Na przykład ułamek „dwie trzecie” zostanie zapisany jako 2/3. Dla jasności licznik jest zwykle zapisywany na górze linii, a mianownik na dole, czyli zamiast 2/3 można znaleźć: ⅔.
Aby obliczyć iloczyn ułamków, najpierw pomnóż licznik przez jeden ułamki do licznika jest inny. Wynik zapisz w liczniku nowego ułamki. Następnie pomnóż mianowniki. Wprowadź całkowitą wartość w nowym ułamki. Na przykład 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Aby podzielić ułamek przez drugi, należy najpierw pomnożyć licznik pierwszego przez mianownik drugiego. Zrób to samo z drugim ułamkiem (dzielnikiem). Lub przed wykonaniem wszystkich czynności najpierw „odwróć” dzielnik, jeśli jest to dla Ciebie wygodniejsze: mianownik powinien pojawić się zamiast licznika. Następnie pomnóż mianownik dywidendy przez nowy mianownik dzielnika i pomnóż liczniki. Na przykład 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).
Źródła:
- Podstawowe problemy ułamkowe
Liczby ułamkowe pozwalają wyrazić dokładną wartość wielkości w różnych formach. Na ułamkach zwykłych możesz wykonywać te same operacje matematyczne, co na liczbach całkowitych: odejmowanie, dodawanie, mnożenie i dzielenie. Aby nauczyć się decydować ułamki, musimy pamiętać o niektórych ich cechach. Zależą od rodzaju ułamki, obecność części całkowitej, wspólny mianownik. Niektóre operacje arytmetyczne wymagają zmniejszenia części ułamkowej wyniku po wykonaniu.
Będziesz potrzebować
- - kalkulator
Instrukcje
Przyjrzyj się uważnie liczbom. Jeśli wśród ułamków zwykłych znajdują się ułamki dziesiętne i nieregularne, czasami wygodniej jest najpierw wykonać operacje na ułamkach dziesiętnych, a następnie przekształcić je do postaci nieregularnej. Możesz przetłumaczyć ułamki początkowo w tej formie, zapisując wartość po przecinku w liczniku i wstawiając 10 w mianowniku. Jeśli to konieczne, zmniejsz ułamek, dzieląc liczby powyżej i poniżej przez jeden dzielnik. Ułamki, w których wyodrębniona jest cała część, należy przekształcić do niewłaściwej postaci, mnożąc ją przez mianownik i dodając licznik do wyniku. Wartość ta stanie się nowym licznikiem ułamki. Aby wybrać całą część z początkowo nieprawidłowej ułamki, musisz podzielić licznik przez mianownik. Zapisz cały wynik z ułamki. A pozostała część dzielenia stanie się nowym licznikiem i mianownikiem ułamki to się nie zmienia. W przypadku ułamków zawierających część całkowitą możliwe jest wykonanie działań oddzielnie, najpierw dla liczby całkowitej, a następnie dla części ułamkowych. Na przykład można obliczyć sumę 1 2/3 i 2 ¾:
- Zamiana ułamków zwykłych na niewłaściwą formę:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Sumowanie oddzielnie części całkowitych i ułamkowych terminów:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Przepisz je, używając separatora „:” i kontynuuj normalny podział.
Aby uzyskać wynik końcowy, zmniejsz uzyskany ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez jedną liczbę całkowitą, w tym przypadku największą możliwą. W tym przypadku powyżej i poniżej linii muszą znajdować się liczby całkowite.
notatka
Nie wykonuj działań arytmetycznych na ułamkach, których mianowniki są różne. Wybierz taką liczbę, że pomnożenie przez nią licznika i mianownika każdego ułamka spowoduje, że mianowniki obu ułamków będą równe.
Pomocna rada
Podczas zapisywania liczb ułamkowych dywidenda jest zapisywana powyżej linii. Ilość tę wyznacza się jako licznik ułamka. Dzielnik lub mianownik ułamka zapisuje się pod linią. Na przykład półtora kilograma ryżu jako ułamek zostanie zapisane w następujący sposób: 1 ½ kg ryżu. Jeśli mianownik ułamka wynosi 10, ułamek ten nazywa się dziesiętnym. W tym przypadku licznik (dywidenda) wpisuje się po prawej stronie całej części, oddzielając przecinkiem: 1,5 kg ryżu. Dla ułatwienia obliczeń taki ułamek zawsze można zapisać w niewłaściwej formie: 1 2/10 kg ziemniaków. Dla uproszczenia możesz zmniejszyć wartości licznika i mianownika, dzieląc je przez jedną liczbę całkowitą. W tym przykładzie możesz podzielić przez 2. Otrzymasz 1 1/5 kg ziemniaków. Upewnij się, że liczby, na których będziesz wykonywać arytmetykę, są przedstawione w tej samej formie.