Tłumy. Operacje na zbiorach Wyświetlanie zbiorów

Tłumy. Operacje na zbiorach.
Wyświetlanie zestawów. Moc zestawu

Witam Cię na pierwszej lekcji wyższej algebry, która ukazała się… w przededniu piątej rocznicy powstania serwisu, po tym, jak stworzyłem już ponad 150 artykułów z matematyki, a moje materiały zaczęły być składane w ukończony kurs. Mam jednak nadzieję, że się nie spóźniłem - w końcu wielu studentów zaczyna zagłębiać się w wykłady tylko pod egzaminy państwowe =)

Uniwersytecki kurs Vishmat tradycyjnie opiera się na trzech filarach:

- Analiza matematyczna (limity, pochodne itp.)

– i wreszcie sezon akademicki 2015/16 rozpoczyna się lekcjami Algebra dla opornych, Elementy logiki matematycznej, na którym przeanalizujemy podstawy działu, a także zapoznamy się z podstawowymi pojęciami matematycznymi i powszechnymi notacjami. Muszę powiedzieć, że w innych artykułach nie nadużywam „zawijasów” , jest to jednak tylko styl i oczywiście należy je rozpoznać w każdym stanie =). Informuję nowo przybyłych czytelników, że moje lekcje mają charakter praktyczny i w tym duchu prezentowany będzie poniższy materiał. Bardziej kompletne i akademickie informacje można znaleźć w literaturze edukacyjnej. Iść:

Pęczek. Przykłady zestawów

Zbiór jest podstawowym pojęciem nie tylko matematyki, ale całego otaczającego go świata. Weź teraz do ręki dowolny przedmiot. Tutaj masz zestaw składający się z jednego elementu.

W szerokim znaczeniu, zbiór to zbiór obiektów (elementów), które rozumiane są jako jedna całość(według określonych cech, kryteriów lub okoliczności). Co więcej, są to nie tylko przedmioty materialne, ale także litery, cyfry, twierdzenia, myśli, emocje itp.

Zestawy są zwykle oznaczane wielkimi literami (opcjonalnie z indeksami dolnymi: itp.), a jego elementy są zapisane w nawiasach klamrowych, na przykład:

– wiele liter alfabetu rosyjskiego;
– zbiór liczb naturalnych;

No cóż, czas się trochę poznać:
– wielu uczniów w pierwszym rzędzie

... cieszę się, że widzę wasze poważne i skupione twarze =)

Zestawy są finał(składający się ze skończonej liczby elementów), a zbiorem jest przykładem nieskończony tłumy. Poza tym tzw pusty zestaw:

– zbiór, w którym nie ma ani jednego elementu.

Przykład jest Ci dobrze znany - zestaw na egzaminie często jest pusty =)

Przynależność elementu do zbioru sygnalizowana jest symbolem, np.:

– litera „być” należy do wielu liter alfabetu rosyjskiego;
- litera „beta” Nie należy do wielu liter alfabetu rosyjskiego;
– liczba 5 należy do zbioru liczb naturalnych;
- ale cyfry 5,5 już nie ma;
– Voldemar nie siedzi w pierwszym rzędzie (a w dodatku nie należy do tłumu ani =)).

W abstrakcyjnej i niezbyt algebrze elementy zbioru są oznaczone małymi literami łacińskimi i odpowiednio fakt własności jest sformalizowany w następującym stylu:

– element należy do zbioru.

Powyższe zestawy są zapisane przelew bezpośredni elementów, ale nie jest to jedyny sposób. Wygodnie jest zdefiniować wiele zbiorów za pomocą niektórych podpisać (S), co jest wrodzone wszystkie jego elementy. Na przykład:

– zbiór wszystkich liczb naturalnych mniejszych od stu.

Pamiętać: długi pionowy drążek wyraża czasownik „który”, „taki, że”. Dość często zamiast tego stosuje się dwukropek: - przeczytajmy wpis bardziej formalnie: „zbiór elementów należących do zbioru liczb naturalnych, takie, że » . Dobrze zrobiony!

Zbiór ten można również zapisać poprzez bezpośrednie wyliczenie:

Więcej przykładów:
– a jeśli w pierwszym rzędzie jest dość dużo uczniów, to taki wpis jest o wiele wygodniejszy niż bezpośrednie ich wymienianie.

– zbiór liczb należących do odcinka . Należy pamiętać, że oznacza to wielokrotność ważny liczby (więcej o nich później), których nie można już wymieniać, oddzielając je przecinkami.

Należy zaznaczyć, że elementy zbioru nie muszą być „jednorodne” ani logicznie ze sobą powiązane. Weź dużą torbę i zacznij losowo wkładać do niej różne przedmioty. Nie ma w tym schematu, ale mimo to mówimy o różnych tematach. W przenośni zestaw to odrębny „pakiet”, w którym „z woli losu” znalazł się określony zbiór przedmiotów.

Podzbiory

Prawie wszystko jest jasne już z samej nazwy: zestaw jest podzbiór set, jeśli każdy element zbioru należy do zbioru. Inaczej mówiąc, zbiór zawiera się w zbiorze:

Ikona nazywa się ikoną włączenie.

Wróćmy do przykładu, w którym jest to zbiór liter alfabetu rosyjskiego. Oznaczmy przez – zbiór jego samogłosek. Następnie:

Możesz także wybrać podzbiór liter spółgłoskowych i ogólnie dowolny podzbiór składający się z dowolnej liczby losowo (lub nielosowo) wybranych liter cyrylicy. W szczególności każda litera cyrylicy jest podzbiorem zbioru.

Wygodnie jest przedstawić zależności pomiędzy podzbiorami za pomocą konwencjonalnego diagramu geometrycznego zwanego kręgi Eulera.

Niech będzie zbiorem studentów w pierwszym rzędzie, będzie zbiorem studentów w grupie i będzie zbiorem studentów uniwersytetu. Następnie relację włączenia można przedstawić w następujący sposób:

Zbiór studentów innej uczelni należy przedstawić jako okrąg, który nie przecina koła zewnętrznego; wielu uczniów w kraju - koło, w którym znajdują się oba te koła, itp.

Typowy przykład inkluzji widzimy przy rozważaniu zbiorów numerycznych. Powtórzmy materiał szkolny, o którym warto pamiętać podczas studiowania matematyki wyższej:

Zestawy liczbowe

Jak wiadomo, historycznie jako pierwsze pojawiły się liczby naturalne przeznaczone do liczenia obiektów materialnych (ludzi, kurczaków, owiec, monet itp.). Zestaw ten był już spotykany w artykule, tyle że teraz lekko modyfikujemy jego oznaczenie. Faktem jest, że zestawy liczbowe są zwykle oznaczane pogrubionymi, stylizowanymi lub grubymi literami. Wolę używać pogrubionej czcionki:

Czasami zero jest zawarte w zbiorze liczb naturalnych.

Jeśli do zbioru dodamy te same liczby z przeciwnym znakiem i zerem, otrzymamy zbiór liczb całkowitych:

Innowatorzy i leniwi ludzie zapisują jego elementy ikonami "mniej więcej":))

Jest całkiem jasne, że zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych:
– ponieważ każdy element zbioru należy do zbioru. Zatem każdą liczbę naturalną można bezpiecznie nazwać liczbą całkowitą.

Nazwa zbioru również jest „wymowna”: liczby całkowite – czyli żadnych ułamków.

A ponieważ są to liczby całkowite, od razu przypomnijmy sobie o ważnych znakach ich podzielności przez 2, 3, 4, 5 i 10, które będą wymagane w praktycznych obliczeniach prawie codziennie:

Liczba całkowita jest podzielna przez 2 bez reszty, jeśli kończy się na 0, 2, 4, 6 lub 8 (tj. dowolna liczba parzysta). Na przykład liczby:
400, -1502, -24, 66996, 818 – dzieli się przez 2 bez reszty.

I od razu spójrzmy na „powiązany” znak: liczba całkowita jest podzielna przez 4, jeśli liczba składa się z dwóch ostatnich cyfr (w kolejności, w jakiej się pojawiają) podzielna przez 4.

400 – podzielne przez 4 (ponieważ 00 (zero) jest podzielne przez 4);
-1502 – niepodzielne przez 4 (ponieważ 02 (dwa) nie jest podzielne przez 4);
-24 jest oczywiście podzielne przez 4;
66996 – podzielne przez 4 (ponieważ 96 dzieli się przez 4);
818 – niepodzielne przez 4 (ponieważ 18 nie jest podzielne przez 4).

Sam przeprowadź proste uzasadnienie tego faktu.

Podzielność przez 3 jest nieco trudniejsza: liczba całkowita jest podzielna przez 3 bez reszty, jeśli suma cyfr w nim zawartych podzielna przez 3.

Sprawdźmy, czy liczba 27901 jest podzielna przez 3. W tym celu zsumuj jej cyfry:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – niepodzielne przez 3
Wniosek: 27901 nie jest podzielne przez 3.

Podsumujmy cyfry -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 – podzielne przez 3
Wniosek: liczba -825432 jest podzielna przez 3

Liczba całkowita podzielna przez 5, jeśli kończy się piątką lub zerem:
775, -2390 – podzielne przez 5

Liczba całkowita podzielna przez 10 jeśli kończy się na zero:
798400 – podzielne przez 10 (i oczywiście o 100). Cóż, wszyscy zapewne pamiętają, że aby podzielić przez 10, wystarczy usunąć jedno zero: 79840

Istnieją również oznaki podzielności przez 6, 8, 9, 11 itd., Ale praktycznie nie ma z nich praktycznego zastosowania =)

Należy zaznaczyć, że wymienione znaki (z pozoru takie proste) są ściśle sprawdzone teoria liczb. Ta część algebry jest ogólnie dość interesująca, ale jej twierdzenia... przypominają współczesną chińską egzekucję =) I to wystarczyło Voldemarowi przy ostatnim biurku... ale nie ma sprawy, niedługo zrobimy życiodajne ćwiczenia fizyczne ćwiczenia =)

Następny zestaw liczbowy to zbiór liczb wymiernych:
– to znaczy, że każdą liczbę wymierną można przedstawić jako ułamek z liczbą całkowitą licznik ułamka i naturalne mianownik.

Oczywiście zbiór liczb całkowitych jest podzbiór zbiór liczb wymiernych:

W rzeczywistości każdą liczbę całkowitą można przedstawić jako ułamek wymierny, na przykład: itp. Zatem liczbę całkowitą można całkiem słusznie nazwać liczbą wymierną.

Charakterystyczną cechą „identyfikującą” liczbę wymierną jest fakt, że przy dzieleniu licznika przez mianownik wynikiem jest albo
– liczba całkowita,

Lub
– finał dziesiętny,

Lub
– nieskończone okresowy dziesiętny (powtórka może nie rozpocząć się natychmiast).

Ciesz się podziałem i staraj się wykonywać tę czynność jak najmniej! W artykule organizacyjnym Wyższa matematyka dla manekinów a na innych lekcjach wielokrotnie powtarzałem, powtarzam i będę powtarzał tę mantrę:

W matematyce wyższej staramy się wykonywać wszystkie działania na ułamkach zwyczajnych (właściwych i niewłaściwych).

Zgadzam się, że radzenie sobie z ułamkiem zwykłym jest znacznie wygodniejsze niż z liczbą dziesiętną 0,375 (nie wspominając o ułamkach nieskończonych).

Przejdźmy dalej. Oprócz liczb wymiernych istnieje wiele liczb niewymiernych, z których każdą można przedstawić jako nieskończoną NIEOKRESOWE Ułamek dziesiętny. Innymi słowy, w „nieskończonych ogonach” liczb niewymiernych nie ma wzoru:
(„rok urodzenia Lwa Tołstoja” dwukrotnie)
itp.

Informacji o słynnych stałych „pi” i „e” jest mnóstwo, więc nie będę się nad nimi rozwodzić.

Tworzy się kombinacja liczb wymiernych i niewymiernych zbiór liczb rzeczywistych:

- Ikona wspomnienia zestawy.

Geometryczna interpretacja zbioru jest Ci znana - to jest oś liczbowa:


Każda liczba rzeczywista odpowiada określonemu punktowi na osi liczbowej i odwrotnie - każdy punkt na osi liczbowej koniecznie odpowiada określonej liczbie rzeczywistej. Zasadniczo mam teraz sformułowane właściwość ciągłości liczb rzeczywistych, co choć wydaje się oczywiste, jest ściśle udowadniane w toku analizy matematycznej.

Oś liczbowa jest również oznaczona nieskończonym przedziałem, a zapis lub zapis równoważny symbolizuje fakt, że należy ona do zbioru liczb rzeczywistych (lub po prostu „x” to liczba rzeczywista).

Dzięki osadzeniu wszystko jest przejrzyste: zbiór liczb wymiernych jest podzbiór zestawy liczb rzeczywistych:
, zatem każdą liczbę wymierną można bezpiecznie nazwać liczbą rzeczywistą.

Istnieje również wiele liczb niewymiernych podzbiór liczby rzeczywiste:

Jednocześnie podzbiory i nie przecinają się- to znaczy, że ani jednej liczby niewymiernej nie można przedstawić jako ułamka wymiernego.

Czy są jakieś inne systemy liczbowe? Istnieć! To jest na przykład Liczby zespolone, z którym polecam zapoznać się dosłownie w ciągu najbliższych dni, a nawet godzin.

W międzyczasie przechodzimy do studiowania operacji na zbiorach, których duch zmaterializował się już pod koniec tej sekcji:

Działania na zestawach. Diagramy Venna

Diagramy Venna (podobne do okręgów Eulera) są schematyczną reprezentacją działań ze zbiorami. Jeszcze raz ostrzegam, że nie uwzględnię wszystkich operacji:

1) Skrzyżowanie I i jest oznaczony ikoną

Przecięciem zbiorów jest zbiór, do którego należy każdy element I wiele, I za dużo. Z grubsza mówiąc, przecięcie jest wspólną częścią zbiorów:

I tak na przykład dla zestawów:

Jeśli zbiory nie mają identycznych elementów, to ich przecięcie jest puste. Właśnie natknęliśmy się na ten przykład, rozważając zestawy liczbowe:

Zbiory liczb wymiernych i niewymiernych można schematycznie przedstawić za pomocą dwóch rozłącznych okręgów.

Operację przecięcia można zastosować również w przypadku większej liczby zbiorów; w szczególności Wikipedia ma dobrą operację przykład przecięcia zbiorów liter trzech alfabetów.

2) Stowarzyszenie zbiory charakteryzują się spójnikiem logicznym LUB i jest oznaczony ikoną

Suma zbiorów to zbiór, którego każdy element należy do zbioru Lub za dużo:

Zapiszmy sumę zbiorów:
– z grubsza rzecz biorąc, tutaj trzeba wypisać wszystkie elementy zbiorów i , oraz te same elementy (w tym przypadku jednostka znajduje się na przecięciu zbiorów) należy podać raz.

Ale zbiory oczywiście nie mogą się przecinać, jak ma to miejsce w przypadku liczb wymiernych i niewymiernych:

W takim przypadku możesz narysować dwa nie przecinające się zacienione okręgi.

Operację sumowania można zastosować także w przypadku większej liczby zbiorów, np. if , to:

W tym przypadku liczby nie muszą być ułożone w kolejności rosnącej. (Zrobiłem to wyłącznie ze względów estetycznych). Bez zbędnych ceregieli wynik można zapisać w następujący sposób:

3) Przez różnicę I nie należy do zestawu:

Różnicę odczytuje się następująco: „a bez bycia”. I możesz rozumować dokładnie w ten sam sposób: rozważ zbiory . Aby zapisać różnicę, musisz „wyrzucić” z zestawu wszystkie elementy znajdujące się w zestawie:

Przykład z zestawami liczb:
– tutaj wszystkie liczby naturalne są wyłączone ze zbioru liczb całkowitych, a sam zapis brzmi następująco: „zbiór liczb całkowitych bez zbioru liczb naturalnych”.

Odbicie lustrzane: różnica zestawy i nazywane są zbiorem, którego każdy element należy do zbioru I nie należy do zestawu:

Dla tych samych zestawów
– to, co jest w zestawie, jest „wyrzucane” ze zbioru.

Ale ta różnica okazuje się pusta: . I faktycznie, jeśli wykluczysz liczby całkowite ze zbioru liczb naturalnych, to w rzeczywistości nic nie pozostanie :)

Ponadto czasami jest to brane pod uwagę symetryczny różnica, która łączy oba „półksiężyce”:
– innymi słowy, jest to „wszystko z wyjątkiem przecięcia zbiorów”.

4) Produkt kartezjański (bezpośredni). zestawy i nazywa się je zbiorem wszyscy zamówione pary w którym elemencie i element

Zapiszmy iloczyn kartezjański zbiorów:
– wygodnie jest wyliczać pary według następującego algorytmu: „najpierw dołączamy kolejno każdy element zbioru do pierwszego elementu zbioru, następnie każdy element zbioru dołączamy do drugiego elementu zbioru, następnie dołączamy każdego elementu zbioru do trzeciego elementu zbioru”:

Odbicie lustrzane: Produkt kartezjański zestawy i nazywa się zbiór wszystkiego zamówione pary, w których W naszym przykładzie:
– tutaj schemat nagrywania jest podobny: najpierw dodajemy po kolei wszystkie elementy zestawu do „minus jeden”, następnie do „de” dodajemy te same elementy:

Ale to tylko dla wygody - w obu przypadkach pary można wymienić w dowolnej kolejności - ważne jest, aby zapisać tutaj Wszystko możliwe pary.

A teraz najważniejszy punkt programu: iloczyn kartezjański to nic innego jak zbiór punktów naszego rodzimego Kartezjański układ współrzędnych .

Ćwiczenia do samodzielnego mocowania materiału:

Wykonaj operacje, jeśli:

Pęczek Wygodnie jest go opisać, wymieniając jego elementy.

I mała rzecz z przedziałami liczb rzeczywistych:

Przypomnę, że nawias kwadratowy oznacza włączenie liczby do przedziału, a okrągła - jego brak włączenia, czyli „minus jeden” należy do zbioru, a „trzy” Nie należy do zestawu. Spróbuj dowiedzieć się, jaki jest iloczyn kartezjański tych zbiorów. W razie trudności postępuj zgodnie z rysunkiem ;)

Krótkie rozwiązanie problemu na końcu lekcji.

Wyświetlanie zestawów

Wyświetlacz wiele w wiele jest reguła, zgodnie z którym każdy element zbioru jest powiązany z elementem (lub elementami) zbioru. W przypadku prowadzenia korespondencji jedyny element, wówczas nazywa się tę regułę jasno zdefiniowane funkcja lub po prostu funkcjonować.

Funkcja, jak wiele osób wie, jest najczęściej oznaczona literą - umieszcza się ją w korespondencji do każdego element ma jedną wartość należącą do zbioru.

Cóż, teraz znowu będę przeszkadzać wielu uczniom pierwszego rzędu i oferuję im 6 tematów na eseje (wiele):

Zainstalowany (dobrowolne lub wymuszone =)) Reguła przydziela każdemu uczniowi z zestawu jeden temat eseju z zestawu.

...i pewnie nawet nie mogłeś sobie wyobrazić, że pełnisz rolę argumentu funkcji =) =)

Elementy postaci zestawu domena funkcje (oznaczone przez ), a elementami zbioru są zakres funkcje (oznaczone przez ).

Skonstruowane odwzorowanie zbiorów ma bardzo ważną cechę: jest Jeden na jednego Lub bijektywny(bijekcja). W tym przykładzie to oznacza do każdego uczeń jest dopasowany jeden wyjątkowy temat eseju i z powrotem - dla każdego Temat eseju jest przypisany jednemu i tylko jednemu studentowi.

Nie należy jednak sądzić, że każde odwzorowanie jest bijektywne. Jeśli dodasz siódmego ucznia do pierwszego rzędu (do zestawu), wówczas korespondencja indywidualna zniknie - lub jeden z uczniów pozostanie bez tematu (nie będzie żadnego wyświetlenia), lub jakiś temat trafi do dwóch uczniów jednocześnie. Odwrotna sytuacja: jeśli do zestawu zostanie dodany siódmy temat, wówczas mapowanie jeden do jednego również zostanie utracone – jeden z tematów pozostanie nieodebrany.

Drodzy studenci w I rzędzie, nie denerwujcie się - pozostałe 20 osób po zajęciach uda się oczyścić teren uczelni z jesiennych liści. Dozorca rozda dwadzieścia golików, po czym zostanie nawiązana korespondencja jeden do jednego pomiędzy główną częścią grupy a miotłami..., a Voldemar też będzie miał czas pobiec do sklepu =)). obszar definicji odpowiada jego własnemu unikalny„y” i odwrotnie - dla dowolnej wartości „y” możemy jednoznacznie przywrócić „x”. Jest to więc funkcja bijektywna.

! Na wszelki wypadek wyeliminuję ewentualne nieporozumienia: moje ciągłe zastrzeżenie co do zakresu definicji nie jest przypadkowe! Funkcja nie może być zdefiniowana dla wszystkich „X”, co więcej, również w tym przypadku może być różnowartościowa. Typowy przykład:

Ale w przypadku funkcji kwadratowej nie obserwuje się niczego podobnego, po pierwsze:
– czyli wyświetlały się różne wartości „x”. To samo co oznacza „tak”; i po drugie: jeśli ktoś obliczył wartość funkcji i powiedział nam, że , to nie jest jasne, czy to „y” otrzymano w czy w ? Nie trzeba dodawać, że nie ma tu nawet cienia wzajemnej jednoznaczności.

Zadanie 2: pogląd wykresy podstawowych funkcji elementarnych i zapisz funkcje bijektywne na kartce papieru. Lista kontrolna na końcu tej lekcji.

Moc zestawu

Intuicja podpowiada, że ​​termin ten charakteryzuje wielkość zbioru, czyli liczbę jego elementów. A nasza intuicja nas nie oszuka!

Liczność zbioru pustego wynosi zero.

Liczność zbioru wynosi sześć.

Siła zestawu liter alfabetu rosyjskiego wynosi trzydzieści trzy.

I ogólnie - moc dowolnego finał zbioru jest równa liczbie elementów danego zbioru.

...być może nie wszyscy do końca rozumieją, co to jest finał zestaw – jeśli zaczniesz liczyć elementy tego zestawu, prędzej czy później liczenie się zakończy. Jak to mówią, Chińczykom w końcu zabraknie.

Oczywiście zbiory można porównywać pod względem liczności i ich równość w tym sensie nazywa się równa moc. Równoważność określa się w następujący sposób:

Dwa zbiory mają równą liczebność, jeśli można między nimi ustalić zgodność jeden do jednego.

Zbiór uczniów jest równoważny zbiorowi tematów esejów, zbiór liter alfabetu rosyjskiego odpowiada dowolnemu zestawowi 33 elementów itp. Zauważ co dokładnie ktokolwiek zestaw 33 elementów – w tym przypadku liczy się tylko ich ilość. Litery alfabetu rosyjskiego można porównać nie tylko z wieloma liczbami
1, 2, 3, …, 32, 33, ale ogólnie przy stadzie 33 krów.

Dużo bardziej interesująca jest sytuacja ze zbiorami nieskończonymi. Nieskończoności też są inne! ...zielony i czerwony Najmniejsze zbiory nieskończone to rachunkowość tłumy. Po prostu elementy takiego zestawu można ponumerować. Przykładem referencyjnym jest zbiór liczb naturalnych . Tak – jest nieskończony, ale każdy z jego elementów, w zasadzie, ma swoją liczbę.

Istnieje wiele przykładów. W szczególności zbiór wszystkich liczb parzystych jest przeliczalny. Jak to udowodnić? Musisz ustalić jego zgodność jeden do jednego ze zbiorem liczb naturalnych lub po prostu ponumerować elementy:

Ustalono zgodność jeden do jednego, zatem zbiory mają równą liczność i zbiór jest przeliczalny. Paradoksalnie, z punktu widzenia potęgi, liczb parzystych jest tyle samo, ile jest liczb naturalnych!

Zbiór liczb całkowitych jest również przeliczalny. Jego elementy można ponumerować np. w ten sposób:

Co więcej, zbiór liczb wymiernych jest również przeliczalny . Ponieważ licznik jest liczbą całkowitą (i, jak właśnie pokazano, można je policzyć), a mianownikiem jest liczba naturalna, to prędzej czy później „dotrzemy” do dowolnego ułamka wymiernego i przypiszemy mu liczbę.

Ale zbiór liczb rzeczywistych już jest niepoliczalne, tj. jego elementów nie da się ponumerować. Fakt ten, choć oczywisty, jest ściśle udowodniony w teorii mnogości. Nazywa się także licznością zbioru liczb rzeczywistych kontinuum, a w porównaniu ze zbiorami przeliczalnymi jest to zbiór „bardziej nieskończony”.

Ponieważ istnieje zgodność jeden do jednego między zbiorem a osią liczbową (patrz wyżej), to zbiór punktów na osi liczbowej również jest niepoliczalne. Co więcej, zarówno na odcinku kilometrowym, jak i milimetrowym jest taka sama liczba punktów! Klasyczny przykład:


Obracając wiązkę w lewo, aż zrówna się z wiązką, ustalimy zgodność jeden do jednego między punktami niebieskich segmentów. Zatem na odcinku znajduje się tyle punktów, ile jest na nim punktów, a !

Paradoks ten najwyraźniej wiąże się z zagadką nieskończoności... ale teraz nie będziemy zaprzątać sobie głowy problemami wszechświata, bo kolejnym krokiem będzie

Zadanie 2 Funkcje jeden do jednego na ilustracjach lekcji

2. Na ile sposobów trener może określić, który z 12 zawodników gotowych do startu w sztafecie 4x100 m pobiegnie w pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej fazie?

3. Na schemacie kołowym okrąg jest podzielony na 5 sektorów. Sektory pomalowane są różnymi kolorami z zestawu zawierającego 10 kolorów. na ile sposobów można to zrobić?

4. znajdź wartość wyrażenia

c)(7!*5!)/(8!*4!)

WSZYSTKIM, KTÓRZY ZDECYDOWALI, dziękujemy)))

nr 1. 1. Podaj pojęcie liczby zespolonej. Wymień trzy formy przedstawiania liczb zespolonych (1 punkt).

2. Dane liczby zespolone: ​​z1=-4i oraz z2=-5+i. Wskaż formę ich przedstawienia, znajdź części rzeczywiste i urojone wskazanych liczb (1 punkt).
3. Znajdź ich sumę, różnicę i iloczyn (1 punkt).
4. Zapisz liczby będące sprzężeniami zespolonymi danych (1 pkt).
Nr 2. 1. Jak liczba zespolona jest reprezentowana na płaszczyźnie zespolonej (1 punkt)?
2. Biorąc pod uwagę liczbę zespoloną. Narysuj to na płaszczyźnie zespolonej. (1 punkt).
3. Zapisz wzór na obliczenie modułu liczby zespolonej i oblicz (2 punkty).
Nr 3. 1. Zdefiniuj macierz, podaj rodzaje macierzy (1 punkt).
2. Nazwij działania liniowe na macierzach (1 punkt).
3. Znajdź kombinację liniową dwóch macierzy jeśli, (2 punkty).
Nr 4. 1. Jaki jest wyznacznik macierzy kwadratowej? Zapisz wzór na obliczenie wyznacznika II rzędu (1 pkt).
2. Oblicz wyznacznik drugiego rzędu: (1 punkt).
3. Sformułuj właściwość, na podstawie której można obliczyć wyznacznik drugiego rzędu? (1 pkt)
4. Oblicz wyznacznik wykorzystując jego własności (1 pkt).
Nr 5. 1. W jakich przypadkach wyznacznik macierzy kwadratowej jest równy zero (1 punkt)?
2. Sformułuj regułę Sarrusa (narysuj diagram) (1 punkt).
3. Oblicz wyznacznik trzeciego rzędu (dowolną z metod) (2 punkty).
Numer 6. 1. Która macierz nazywa się odwrotnością danej macierzy (1 punkt)?
2. Dla jakiej macierzy można skonstruować odwrotność? Ustal, czy istnieje macierz odwrotna do macierzy (2 punkty).
3. Zapisz wzór na obliczenie elementów macierzy odwrotnej (1 pkt).
nr 7. 1. Zdefiniuj rząd macierzy. Wymień metody wyznaczania rangi macierzy. Jaki jest stopień macierzy? (2 punkty).
2. Określ, pomiędzy którymi wartościami leży rząd macierzy A: A= . Oblicz część molową drugiego rzędu (2 punkty).
Nr 8. 1. Podaj przykład układu liniowych równań algebraicznych (1 punkt).
2. Co nazywa się rozwiązaniem systemu? (1 punkt).
3. Jaki system nazywa się wspólnym (niezgodnym), określonym (nieokreślonym)? Sformułuj kryterium kompatybilności systemu (1 punkt).
4. Dana jest rozszerzona macierz układu. Zapisz układ odpowiadający tej macierzy. Stosując kryterium Kroneckera-Capelliego wyciągnij wniosek o kompatybilności lub niekompatybilności tego układu. (1 punkt).
nr 9. 1. Zapisz układ liniowych równań algebraicznych w postaci macierzowej. Zapisz wzór na znajdowanie niewiadomych za pomocą macierzy odwrotnej. (1 punkt).
2. W jakim przypadku można rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych metodą macierzową? (1 punkt).
3. Zapisz układ w postaci macierzowej i sprawdź, czy można go rozwiązać stosując macierz odwrotną? Ile rozwiązań ma ten układ? (2 punkty).
Nr 10. 1. Który system nazywa się kwadratem? (1 punkt).
2. Sformułuj twierdzenie Cramera i napisz wzory Cramera. (1 punkt).
3. Korzystając ze wzorów Cramera, rozwiąż układ (2 punkty).

Pomóż mi proszę! tyle ile potrafisz! nagła potrzeba!

1.Co nazywa się trójmianem kwadratowym
2.Co to jest dyskryminator
3 Które równanie nazywa się równaniem kwadratowym?
4. Jakie równania nazywane są równoważnymi?
5. Które równanie nazywa się niepełnym równaniem kwadratowym?
6. Ile pierwiastków może mieć niepełne równanie kwadratowe?
7. Ile pierwiastków ma równanie kwadratowe, jeśli wyróżnik:
a) pozytywne; b) równe zeru; c) negatywny?
8. Z jakiego wzoru można znaleźć pierwiastki równania kwadratowego, jeśli jego wyróżnik jest nieujemny?
9. Które równanie nazywa się zredukowanym równaniem kwadratowym?
10. Jakiego wzoru można użyć do znalezienia pierwiastków zredukowanego kwadratu
równanie, jeśli jego wyróżnik jest nieujemny?
11. Sformułuj:
a) twierdzenie Viety; b) twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety.
12. Które równanie nazywa się wymiernym przy nieznanym x? Jaki jest pierwiastek równania o nieznanym x? Co to znaczy rozwiązać równanie? Jakie równania nazywane są równoważnymi?
13. Które równanie nazywa się równaniem dwukwadratowym? Jak rozwiązać równanie dwukwadratowe? Ile pierwiastków może mieć równanie dwukwadratowe?
opinia?
14. Podaj przykład równania rozdzielającego i wyjaśnij, jak je rozwiązać.Co to znaczy „równanie dzieli się na dwa równania”?
15. Jak rozwiązać równanie, którego jedna część wynosi zero,
a drugi to ułamek algebraiczny?
16. Jaka jest zasada rozwiązywania równań wymiernych? Co
co może się stać, jeśli odstąpisz od tej zasady?

Na prostym przykładzie przypomnijmy sobie tak zwany podzbiór, jakie istnieją podzbiory (właściwe i niewłaściwe), wzór na znalezienie liczby wszystkich podzbiorów, a także kalkulator obliczający zbiór wszystkich podzbiorów.

Przykład 1. Biorąc pod uwagę zbiór A = (a, c, p, o). Zapisz wszystkie podzbiory
tego zestawu.
Rozwiązanie:

Podzbiory własne:(a) , (c) , (p) , (o) , (a, c) , (a, p) , (a, o), (c, p) , (c, o ) ∈, (p, o), (a, c, p), (a, c, o), (c, p, o).

Nie posiadam:(a, c, p, o), Ø.

Całkowity: 16 podzbiorów.

Wyjaśnienie. Zbiór A jest podzbiorem B, jeśli każdy element A zawiera się także w B.

Zbiór pusty ∅ jest podzbiorem dowolnego zbioru i nazywany jest niewłaściwym;
. każdy zbiór jest swoim podzbiorem, nazywanym także niewłaściwym;
. Każdy zbiór n-elementowy ma dokładnie 2 n podzbiorów.

Ostatnie stwierdzenie brzmi wzór na znalezienie liczby wszystkich podzbiorów bez wymieniania każdego z nich.

Wyprowadzenie wzoru: Załóżmy, że mamy zbiór n-elementów. Podczas tworzenia podzbiorów pierwszy element może należeć do podzbioru lub nie, tj. pierwszy element możemy wybrać na dwa sposoby, analogicznie dla wszystkich pozostałych elementów (w sumie n-elementów), każdy możemy wybrać na dwa sposoby i zgodnie z zasadą mnożenia otrzymujemy: 2∙2∙2∙ ...∙2 =2 rz

Dla matematyków sformułowamy twierdzenie i przedstawimy rygorystyczny dowód.

Twierdzenie. Liczba podzbiorów skończonego zbioru składającego się z n elementów wynosi 2 n.

Dowód. Zbiór składający się z jednego elementu a ma dwa (tj. 2 1) podzbiory: ∅ i (a). Zbiór składający się z dwóch elementów a i b ma cztery (tj. 2 2) podzbiory: ∅, (a), (b), (a; b).
Zbiór składający się z trzech elementów a, b, c ma osiem (tj. 2 3) podzbiorów:
∅, (a), (b), (b; a), (c), (c; a), (c; b), (c; b; a).
Można założyć, że dodanie nowego elementu podwaja liczbę podzbiorów.
Dowód uzupełniamy metodą indukcji matematycznej. Istota tej metody polega na tym, że jeśli twierdzenie (właściwość) jest prawdziwe dla jakiejś początkowej liczby naturalnej n 0 i wychodząc z założenia, że ​​jest ono prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej n = k ≥ n 0, można udowodnić jego prawdziwość dla liczba k + 1, to ta właściwość jest prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych.

1. Dla n = 1 (podstawa indukcji) (a nawet dla n = 2, 3) twierdzenie zostaje udowodnione.

2. Załóżmy, że twierdzenie zostało udowodnione dla n = k, tj. liczba podzbiorów zbioru składającego się z k elementów wynosi 2k.

3. Udowodnijmy, że liczba podzbiorów zbioru B składającego się z n = k + 1 elementów jest równa 2 k+1.
Wybieramy element b ze zbioru B. Rozważmy zbiór A = B \ (b). Zawiera k elementów. Wszystkie podzbiory zbioru A są podzbiorami zbioru B, które nie zawierają elementu b i z założenia jest ich 2 k. Istnieje taka sama liczba podzbiorów zbioru B zawierającego element b, tj. 2 tys
rzeczy.

Zatem wszystkie podzbiory zbioru B: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 sztuk.
Twierdzenie zostało udowodnione.

W przykładzie 1 zestaw A = (a, c, p, o) składa się z czterech elementów, n=4, zatem liczba wszystkich podzbiorów wynosi 2 4 =16.

Jeśli chcesz zapisać wszystkie podzbiory lub napisać program, który zapisze zbiór wszystkich podzbiorów, istnieje algorytm jego rozwiązania: przedstaw możliwe kombinacje w postaci liczb binarnych. Wyjaśnijmy na przykładzie.

Przykład 2. Istnieje zbiór (a b c), w którym następujące liczby są ze sobą powiązane:
000 = (0) (zestaw pusty)
001 = (c)
010 = (b)
011 = (bc)
100 = (a)
101 = (za do)
110 = (a b)
111 = (a b do)

Zbiór wszystkich kalkulatorów podzbiorów.

Kalkulator zawiera już elementy zestawu A = (a, c, p, o), po prostu kliknij przycisk Prześlij. Jeśli potrzebujesz rozwiązania swojego problemu, wpisz elementy zestawu po łacinie, oddzielając je przecinkami, jak pokazano w przykładzie.

Analiza matematyczna to dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji w oparciu o ideę funkcji nieskończenie małej.

Podstawowe pojęcia analizy matematycznej to wielkość, zbiór, funkcja, funkcja nieskończenie mała, granica, pochodna, całka.

Rozmiar Wszystko, co można zmierzyć i wyrazić liczbami, nazywa się.

Wiele jest zbiorem pewnych elementów połączonych jakąś wspólną cechą. Elementami zbioru mogą być liczby, figury, przedmioty, koncepcje itp.

Zestawy oznaczamy wielkimi literami, a elementy zestawu małymi literami. Elementy zbiorów ujęte są w nawiasy klamrowe.

Jeśli element X należy do zestawu X, następnie napisz X∈X (∈ - należy).
Jeśli zbiór A jest częścią zbioru B, napisz A ⊂ B (⊂ - zawarte).

Zbiór można zdefiniować na jeden z dwóch sposobów: poprzez wyliczenie lub użycie właściwości definiującej.

Na przykład następujące zestawy są określone przez wyliczenie:
  • A=(1,2,3,5,7) - zbiór liczb
  • Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - zbiór niektórych elementów x 1 ,x 2 ,...,x n
  • N=(1,2,...,n) — zbiór liczb naturalnych
  • Z=(0,±1,±2,...,±n) — zbiór liczb całkowitych

Zbiór (-∞;+∞) jest wywoływany Numer linii, a dowolna liczba jest punktem na tej prostej. Niech a będzie dowolnym punktem na osi liczbowej, a δ będzie liczbą dodatnią. Nazywa się przedział (a-δ; a+δ). δ-sąsiedztwo punktu a.

Zbiór X jest ograniczony od góry (od dołu), jeśli istnieje liczba c taka, że ​​dla dowolnego x ∈ X zachodzi nierówność x≤с (x≥c). W tym przypadku nazywa się liczbę c górna (dolna) krawędź zbiór X. Zbiór ograniczony zarówno od góry, jak i od dołu nazywa się ograniczony. Nazywa się najmniejszą (największą) z górnych (dolnych) ścian zbioru dokładnie górna (dolna) krawędź tej rzeszy.

Podstawowe zestawy liczb

N (1,2,3,...,n) Zbiór wszystkich
Z (0, ±1, ±2, ±3,...) Ustaw liczby całkowite. Zbiór liczb całkowitych obejmuje zbiór liczb naturalnych.
Q

Pęczek liczby wymierne.

Oprócz liczb całkowitych istnieją również ułamki zwykłe. Ułamek jest wyrażeniem postaci gdzie P- liczba całkowita, Q- naturalne. Ułamki dziesiętne można również zapisać jako . Na przykład: 0,25 = 25/100 = 1/4. Liczby całkowite można również zapisać jako . Na przykład w postaci ułamka o mianowniku „jeden”: 2 = 2/1.

Zatem dowolną liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka dziesiętnego - skończonego lub nieskończenie okresowego.
R

Mnóstwo wszystkich liczby rzeczywiste.

Liczby niewymierne to nieskończone ułamki nieokresowe. Obejmują one:

Razem dwa zbiory (liczby wymierne i niewymierne) tworzą zbiór liczb rzeczywistych (lub rzeczywistych).

Jeżeli zbiór nie zawiera ani jednego elementu, wówczas jest wywoływany pusty zestaw i jest nagrywany Ø .

Elementy symboliki logicznej

Notacja ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Kwantyfikator

Kwantyfikatory są często używane podczas zapisywania wyrażeń matematycznych.

Kwantyfikator nazywa się symbolem logicznym, który charakteryzuje ilościowo następujące po nim elementy.

  • ∀- kwantyfikator ogólny, używa się zamiast słów „dla każdego”, „dla każdego”.
  • ∃- Kwantyfikator istnienia, używa się zamiast słów „istnieje”, „jest dostępny”. Używana jest również kombinacja symboli ∃!, którą czyta się tak, jakby była tylko jedna.

Ustaw operacje

Dwa zbiory A i B są równe(A=B), jeśli składają się z tych samych elementów.
Na przykład, jeśli A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), to A=B.

Według unii (suma) zbiory A i B to zbiór A ∪ B, którego elementy należą do co najmniej jednego z tych zbiorów.
Na przykład, jeśli A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), to A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Według przecięcia (produkt) zbiory A i B nazywamy zbiorem A ∩ B, którego elementy należą zarówno do zbioru A, jak i do zbioru B.
Na przykład, jeśli A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), to A ∩ B = (2,4)

Przez różnicę Zbiory A i B nazywane są zbiorami AB, których elementy należą do zbioru A, ale nie należą do zbioru B.
Na przykład, jeśli A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), to AB = (1,2)

Różnica symetryczna zbiory A i B nazywamy zbiorem A Δ B, który jest sumą różnic zbiorów AB i BA, czyli A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Na przykład, jeśli A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), to A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

Właściwości operacji na zbiorach

Właściwości przemienności

ZA ∪ B = B ∪ A
ZA ∩ B = B ∩ A

Pasująca nieruchomość

(A ∪ B) ∪ do = ZA ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ do = ZA ∩ (B ∩ C)

Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne

Aby porównać dowolne dwa zbiory A i B, ustala się zgodność między ich elementami.

Jeśli ta zgodność jest jeden do jednego, wówczas zbiory nazywane są równoważnymi lub równie potężnymi, A B lub B A.

Przykład 1

Zbiór punktów na ramieniu BC i przeciwprostokątna AC trójkąta ABC mają jednakową moc.

Przypomnijmy, że „zbiór” jest niezdefiniowanym pojęciem w matematyce. Georg Cantor (1845 – 1918), niemiecki matematyk, którego prace leżą u podstaw współczesnej teorii mnogości, powiedział, że „zbiór to wiele rzeczy pojmowanych jako jedna”.

Zestawy są zwykle oznaczane dużymi literami łacińskimi, elementy zestawu - małymi literami. Słowa „należy” i „nie należy” oznaczono symbolami:
I
:
- element należy do zestawu ,
- element nie należy do zestawu .

Elementami zbioru mogą być dowolne obiekty - liczby, wektory, punkty, macierze itp. W szczególności elementy zbioru mogą być zbiorami.

W przypadku zbiorów liczbowych ogólnie przyjmuje się następujące oznaczenia:

– zbiór liczb naturalnych (dodatnich liczb całkowitych);

– rozszerzony zbiór liczb naturalnych (do liczb naturalnych dodaje się cyfrę zero);

– zbiór wszystkich liczb całkowitych, który obejmuje liczby całkowite dodatnie i ujemne, a także zero.

– zbiór liczb wymiernych. Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego
- wszystkie liczby). Ponieważ dowolną liczbę całkowitą można zapisać w postaci ułamka zwykłego (np.
) i nie w wyjątkowy sposób, wszystkie liczby całkowite są wymierne.

– zbiór liczb rzeczywistych, do którego zaliczają się wszystkie liczby wymierne i niewymierne. (Na przykład liczby są niewymierne).

Każda gałąź matematyki używa własnych zbiorów. Przystępując do rozwiązania problemu, najpierw określamy zbiór obiektów, które będą w nim uwzględniane. Na przykład w problemach analizy matematycznej badane są wszelkiego rodzaju liczby, ich sekwencje, funkcje itp. Zbiór zawierający wszystkie obiekty rozważane w zadaniu nazywa się Uniwersalny zestaw (do tego zadania).

Zestaw uniwersalny jest zwykle oznaczony literą . Zbiór uniwersalny jest zbiorem maksymalnym w tym sensie, że wszystkie przedmioty są jego elementami, czyli stwierdzeniem
w obrębie zadania jest zawsze prawdą. Minimalny zestaw to pusty zestaw – , który nie zawiera żadnych elementów.

Zestaw, zestaw - oznacza to wskazanie metody, która pozwala w odniesieniu do dowolnego elementu Uniwersalny zestaw zdecydowanie zainstalować, należy wiele lub nie należy. Innymi słowy, regułą jest określenie, które z dwóch stwierdzeń
Lub
, co jest prawdą, a co fałszem.

Zestawy można definiować na różne sposoby. Przyjrzyjmy się niektórym z nich.

1. Lista elementów zestawu. W ten sposób można zdefiniować zbiory skończone lub przeliczalne. Zbiór jest skończony lub przeliczalny, jeśli jego elementy można ponumerować, np. A 1 ,A 2 ,… itd. Jeśli istnieje element o największej liczbie, to zbiór jest skończony, ale jeśli wszystkie liczby naturalne zostaną użyte jako liczby, to zbiór będzie nieskończonym, przeliczalnym zbiorem.

1). – zbiór zawierający 6 elementów (zbiór skończony).

2). jest nieskończonym zbiorem przeliczalnym.

3). - zestaw zawierający 5 elementów, w tym dwa
I
, same są zbiorami.

2. Charakterystyczna właściwość. Cechą charakterystyczną zbioru jest właściwość, którą posiada każdy element zbioru, lecz której nie posiada żaden przedmiot nienależący do zbioru.

1). - zbiór trójkątów równobocznych.

2). – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych zero i mniejszych niż jeden.

3).
– zbiór wszystkich ułamków nieredukowalnych, których licznik jest o jeden mniejszy od mianownika.

3. Funkcja charakterystyczna.

Definicja 1.1. Charakterystyczna funkcja zestawu wywołać funkcję
, zdefiniowany na zbiorze uniwersalnym i przyjmując wartość jeden na tych elementach zbioru które należą , a wartość ma wartość null w przypadku elementów, które nie należą :

,

Z definicji funkcji charakterystycznej wynikają dwa oczywiste stwierdzenia:

1.
,
;

2.
,
.

Rozważmy jako przykład zbiór uniwersalny =
i jego dwa podzbiory: – zbiór liczb mniejszych od 7, oraz – zbiór liczb parzystych. Funkcje charakterystyczne zbiorów I wygląda jak

,
.

Zapiszmy funkcje charakterystyczne I na stół:

(
)

Wygodną ilustracją zbiorów są diagramy Eulera-Venna, na których zbiór uniwersalny jest przedstawiony jako prostokąt, a jego podzbiory jako okręgi lub elipsy (ryc. 1.1( a-c)).

Jak widać z rys. 1.1.( A), wybór w zestawie uniwersalnym U jeden zestaw - wiele A, dzieli prostokąt na dwa rozłączne obszary, w których funkcja charakterystyczna przyjmuje różne wartości: =1 wewnątrz elipsy i =0 poza elipsą. Dodanie kolejnego zestawu - zestaw B, (ryc. 1.1 ( B)), ponownie dzieli każdy z dwóch istniejących obszarów na dwa podobszary. Utworzony
nieskładny

obszary, z których każdy odpowiada pewnej parze wartości funkcji charakterystycznych ( ,). Na przykład para (01) odpowiada obszarowi, w którym =0,=1. Region ten obejmuje te elementy zbioru uniwersalnego U, które nie należą do zestawu A, ale należą do zestawu B.

Dodanie trzeciego zestawu - zestaw C, (ryc. 1.1 ( V)), ponownie dzieli każdy z istniejących czterech obszarów na dwa podregiony. Utworzony
obszary nienakładające się na siebie. Każdemu z nich odpowiada pewna trójka wartości funkcji charakterystycznych ( ,,). Te trojaczki można traktować jako numery obszarów zapisane w formacie binarnym. Na przykład nr 101 2 =5 10, tj. obszar, w którym znajdują się elementy zbiorów A I C, ale nie ma żadnych elementów zestawu B, – to jest obszar nr 5. Zatem każdy z ośmiu obszarów ma swoją liczbę binarną, która niesie informację o tym, czy elementy tego obszaru należą, czy nie, do zbiorów A, B I C.

Dodanie czwartego, piątego itd. zbiorów, otrzymujemy 2 4 , 2 5 ,…, 2 n obszarów, z których każdy ma swoją dobrze zdefiniowaną liczbę binarną, złożoną z wartości funkcji charakterystycznych zbiorów. Podkreślamy, że ciąg zer i jedynek w dowolnej liczbie jest ułożony w określonej, z góry ustalonej kolejności. Tylko pod warunkiem uporządkowania, liczba binarna obszaru niesie informację o przynależności lub nieprzynależności elementów tego obszaru do każdego ze zbiorów.

Notatka. Przypomnijmy, że ciąg n liczb rzeczywistych w algebrze liniowej jest uważany za n-wymiarowy wektor arytmetyczny ze współrzędnymi
. Liczbę binarną obszaru można również nazwać wektorem binarnym, którego współrzędne przyjmują wartości ze zbioru
:. Liczba odrębnych n-wymiarowych wektorów binarnych wynosi 2n.