Co to jest piramida czworokątna? Piramida czworoboczna w zadaniu C2

Definicja. Krawędź boczna- jest to trójkąt, w którym jeden kąt leży na szczycie piramidy, a przeciwny bok pokrywa się z bokiem podstawy (wielokąt).

Definicja. Boczne żebra- Ten wspólne aspekty krawędzie boczne. Piramida ma tyle krawędzi, ile kątów wielokąta.

Definicja. Wysokość piramidy- jest to prostopadłość obniżona od góry do podstawy piramidy.

Definicja. Apotem- jest to prostopadłość do bocznej ściany piramidy, obniżona od szczytu piramidy do boku podstawy.

Definicja. Przekrój ukośny- jest to przekrój piramidy przez płaszczyznę przechodzącą przez wierzchołek piramidy i przekątną podstawy.

Definicja. Poprawna piramida to piramida, w której znajduje się podstawa regularny wielokąt, a wysokość spada do środka podstawy.

Objętość i powierzchnia piramidy

Formuła. Objętość piramidy przez powierzchnię podstawy i wysokość:

Właściwości piramidy

Jeśli wszystkie krawędzie boczne są równe, można narysować okrąg wokół podstawy piramidy, a środek podstawy pokrywa się ze środkiem okręgu. Również prostopadła opuszczona z góry przechodzi przez środek podstawy (okrąg).

Jeżeli wszystkie krawędzie boczne są równe, to są one nachylone do płaszczyzny podstawy pod tymi samymi kątami.

Żebra boczne są równe, gdy tworzą się z płaszczyzną podstawy równe kąty lub czy można opisać okrąg wokół podstawy piramidy.

Jeśli boczne twarze nachylony do płaszczyzny podstawy pod jednym kątem, wówczas w podstawę piramidy można wpisać okrąg, a wierzchołek piramidy rzutuje się na jej środek.

Jeżeli ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem, to apotemy ścian bocznych są równe.

Właściwości regularnej piramidy

1. Szczyt piramidy jest w równej odległości od wszystkich rogów podstawy.

2. Wszystkie krawędzie boczne są równe.

3. Wszystkie żebra boczne są nachylone pod równym kątem do podstawy.

4. Apotemy wszystkich ścian bocznych są równe.

5. Pola wszystkich ścian bocznych są równe.

6. Wszystkie ściany mają te same kąty dwuścienne (płaskie).

7. Wokół piramidy można opisać kulę. Środek opisanej kuli będzie punktem przecięcia prostopadłych przechodzących przez środki krawędzi.

8. Można zmieścić kulę w piramidzie. Środek wpisanej kuli będzie punktem przecięcia dwusiecznych wychodzących z kąta między krawędzią a podstawą.

9. Jeżeli środek kuli wpisanej pokrywa się ze środkiem sfery opisanej, to suma kątów płaskich w wierzchołku jest równa π lub odwrotnie, jeden kąt jest równy π/n, gdzie n jest liczbą kątów u podstawy piramidy.

Połączenie piramidy i kuli

Kulę można opisać wokół piramidy, gdy u podstawy piramidy znajduje się wielościan, wokół którego można opisać okrąg (konieczne i warunek wystarczający). Środek kuli będzie punktem przecięcia płaszczyzn przechodzących prostopadle przez środki bocznych krawędzi piramidy.

Wokół dowolnego trójkąta lub zwykła piramida zawsze możesz opisać kulę.

W ostrosłup można wpisać kulę, jeśli dwusieczne kąty wewnętrzne piramidy przecinają się w jednym punkcie (warunek konieczny i wystarczający). Ten punkt będzie środkiem kuli.

Połączenie piramidy ze stożkiem

Stożek nazywa się wpisanym w piramidę, jeśli ich wierzchołki pokrywają się, a podstawa stożka jest wpisana w podstawę piramidy.

W ostrosłup można wpisać stożek, jeśli apotemy piramidy są sobie równe.

Mówi się, że stożek jest opisany wokół piramidy, jeśli ich wierzchołki pokrywają się, a podstawa stożka jest opisana wokół podstawy piramidy.

Stożek można opisać wokół piramidy, jeśli wszystkie boczne krawędzie piramidy są sobie równe.

Związek piramidy z cylindrem

Piramidę nazywamy wpisaną w cylinder, jeżeli wierzchołek piramidy leży na jednej podstawie walca, a podstawa piramidy jest wpisana w inną podstawę walca.

Walec można opisać wokół piramidy, jeśli można opisać okrąg wokół podstawy piramidy.

Definicja. Ścięta piramida (pryzmat piramidalny) jest wielościanem znajdującym się pomiędzy podstawą piramidy a płaszczyzną przekroju równoległą do podstawy. Zatem piramida ma większą podstawę i mniejszą podstawę, która jest podobna do większej. Ściany boczne są trapezowe.

Definicja. Piramida trójkątna (czworościan) to piramida, której trzy ściany i podstawa są dowolnymi trójkątami.

Czworościan ma cztery ściany, cztery wierzchołki i sześć krawędzi, przy czym dowolne dwie krawędzie nie mają wspólnych wierzchołków, ale się nie stykają.

Każdy wierzchołek składa się z trzech ścian i krawędzi, które się tworzą kąt trójkątny .

Nazywa się odcinek łączący wierzchołek czworościanu ze środkiem przeciwległej ściany środkowa czworościanu(GM).

Bimedian nazywany odcinkiem łączącym środki przeciwległych krawędzi, które się nie stykają (KL).

Wszystkie bimediany i środkowe czworościanu przecinają się w jednym punkcie (S). W tym przypadku bimediany dzieli się na pół, a środkowe dzieli się w stosunku 3:1, zaczynając od góry.

Definicja. Pochylona piramida - jest piramidą, w której tworzy się jedna z krawędzi kąt rozwarty(β) z zasadą.

Definicja. Prostokątna piramida jest piramidą, w której jedna ze ścian bocznych jest prostopadła do podstawy.

Definicja. Ostra piramida kątowa- to jest piramida, w której znajduje się apotem więcej niż połowa długość boku podstawy.

Definicja. Tępa piramida- piramida, w której apotem jest mniejszy niż połowa długości boku podstawy.

Definicja. Regularny czworościan- czworościan ze wszystkimi czterema bokami - trójkąty równoboczne. Jest to jeden z pięciu wielokątów foremnych. W regularny czworościan wszystkie kąty dwuścienne (między ścianami) i kąty trójścienne (w wierzchołku) są równe.

Definicja. Prostokątny czworościan nazywa się czworościanem, w którym pomiędzy trzema krawędziami na wierzchołku istnieje kąt prosty (krawędzie są prostopadłe). Tworzą się trzy twarze prostokątny kąt trójkątny a twarze to trójkąty prostokątne i podstawa dowolny trójkąt. Apothem dowolnej ściany jest równy połowie boku podstawy, na którą apotem spada.

Definicja. Czworościan izoedryczny nazywa się czworościanem, którego ściany boczne są sobie równe, a podstawą jest trójkąt foremny. Taki czworościan ma twarze trójkąty równoramienne.

Definicja. Ortocentryczny czworościan nazywa się czworościanem, w którym wszystkie wysokości (prostopadłe) obniżone od góry do przeciwnej ściany przecinają się w jednym punkcie.

Definicja. Gwiazdowa piramida zwany wielościanem, którego podstawą jest gwiazda.

Definicja. Bipiramida- wielościan składający się z dwóch różnych piramid (piramidy można również odciąć) posiadający wspólna płaszczyzna, a wierzchołki leżą wzdłuż różne strony od płaszczyzny podstawy.

• apotem- wysokość bocznej powierzchni regularnej piramidy, która jest rysowana z jej wierzchołka (dodatkowo apothem jest długością prostopadłej, która jest obniżona ze środka wielokąta foremnego na jeden z jego boków);
• boczne twarze (ASB, BSC, CSD, DSA) - trójkąty spotykające się w wierzchołku;
• żebra boczne ( JAK , B.S. , CS , DS ) — wspólne strony ścian bocznych;
• szczyt piramidy (t.S) - punkt łączący żebra boczne i nie leżący w płaszczyźnie podstawy;
• wysokość ( WIĘC ) - odcinek prostopadły poprowadzony przez wierzchołek piramidy do płaszczyzny jej podstawy (końcami takiego odcinka będzie wierzchołek piramidy i podstawa prostopadłej);
• przekrój diagonalny piramidy- część piramidy przechodząca przez górę i przekątną podstawy;
• baza (ABCD) - wielokąt nienależący do wierzchołka piramidy.

Właściwości piramidy.

1. Gdy wszystkie żebra boczne mają ten sam rozmiar, Następnie:

• łatwo jest opisać okrąg w pobliżu podstawy piramidy, a wierzchołek piramidy będzie rzutowany na środek tego okręgu;
• żebra boczne tworzą kąt równy z płaszczyzną podstawy;
• Co więcej, prawdą jest również coś odwrotnego, tj. gdy żebra boczne tworzą kąt równy z płaszczyzną podstawy, lub gdy wokół podstawy piramidy można opisać okrąg, a wierzchołek piramidy będzie rzutowany na środek tego okręgu, oznacza to, że wszystkie krawędzie boczne piramidy są tej samej wielkości.

2. Gdy ściany boczne mają kąt nachylenia do płaszczyzny podstawy o tej samej wartości, to:

• łatwo jest opisać okrąg w pobliżu podstawy piramidy, a wierzchołek piramidy będzie rzutowany na środek tego okręgu;
• wysokość ścian bocznych wynosi jednakowa długość;
• powierzchnia powierzchni bocznej jest równa ½ iloczynu obwodu podstawy i wysokości ściany bocznej.

3. Kulę można opisać wokół piramidy, jeśli u podstawy piramidy znajduje się wielokąt, wokół którego można opisać okrąg (warunek konieczny i wystarczający). Środek kuli będzie punktem przecięcia płaszczyzn przechodzących przez środki prostopadłych do nich krawędzi piramidy. Z tego twierdzenia wnioskujemy, że kulę można opisać zarówno wokół dowolnego trójkąta, jak i wokół dowolnej regularnej piramidy.

4. W ostrosłup można wpisać kulę, jeżeli dwusieczne kątów dwuściennych wewnętrznych ostrosłupa przecinają się w pierwszym punkcie (warunek konieczny i wystarczający). Ten punkt stanie się środkiem kuli.

Najprostsza piramida.

Na podstawie liczby kątów podstawa piramidy jest podzielona na trójkątną, czworokątną i tak dalej.

Będzie piramida trójkątny, czworokątny i tak dalej, gdy podstawą piramidy jest trójkąt, czworokąt i tak dalej. Trójkątna piramida to czworościan - czworościan. Czworokątny - pięciokątny i tak dalej.

Ten samouczek wideo pomoże użytkownikom zapoznać się z motywem Piramidy. Poprawna piramida. W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy i podamy jej definicję. Zastanówmy się, czym jest zwykła piramida i jakie ma właściwości. Następnie udowodnimy twierdzenie o powierzchni bocznej regularnej piramidy.

W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy i podamy jej definicję.

Rozważ wielokąt A 1 A 2...Jakiś, która leży w płaszczyźnie α, oraz punkt P, która nie leży w płaszczyźnie α (rys. 1). Połączmy kropki P ze szczytami Za 1, Za 2, Za 3, … Jakiś. Dostajemy N trójkąty: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R i tak dalej.

Definicja. Wielościan RA 1 A 2 ...A n, złożony z N-kwadrat A 1 A 2...Jakiś I N trójkąty RA 1 A 2, RA 2A 3 …RA n A n-1 nazywa się N-piramida węglowa. Ryż. 1.

Ryż. 1

Rozważmy czworokątną piramidę PABCD(ryc. 2).

R- szczyt piramidy.

ABCD- podstawa piramidy.

RA- boczne żebro.

AB- żebro podstawy.

Z punktu R opuśćmy prostopadłą RN do płaszczyzny bazowej ABCD. Wykreślona prostopadłość to wysokość piramidy.

Ryż. 2

Pełna powierzchnia piramidy składa się z powierzchni bocznej, czyli pola wszystkich ścian bocznych oraz pola podstawy:

S pełny = S strona + S główny

Piramidę nazywamy prawidłową, jeżeli:

• jego podstawą jest wielokąt foremny;
• odcinek łączący wierzchołek piramidy ze środkiem podstawy to jej wysokość.

Wyjaśnienie na przykładzie regularnej piramidy czworokątnej

Rozważmy regularną czworokątną piramidę PABCD(ryc. 3).

R- szczyt piramidy. Podstawa piramidy ABCD- regularny czworobok, czyli kwadrat. Kropka O, punkt przecięcia przekątnych, jest środkiem kwadratu. Oznacza, RO jest wysokością piramidy.

Ryż. 3

Wyjaśnienie: w poprawnym N W trójkącie środek okręgu wpisanego i środek okręgu opisanego pokrywają się. Środek ten nazywany jest środkiem wielokąta. Czasami mówią, że wierzchołek jest rzutowany na środek.

Nazywa się wysokość bocznej ściany regularnej piramidy narysowanej od jej wierzchołka apotem i jest wyznaczony h.

1. wszystkie boczne krawędzie regularnej piramidy są równe;

2. Ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi.

Dowód tych właściwości przedstawimy na przykładzie regularnej piramidy czworokątnej.

Dany: PABCD- regularna czworokątna piramida,

ABCD- kwadrat,

RO- wysokość piramidy.

Udowodnić:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Patrz rys. 4.

Ryż. 4

Dowód.

RO- wysokość piramidy. To znaczy prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a zatem bezpośredni JSC, VO, SO I DO leżąc w nim. Zatem trójkąty ROA, ROV, ROS, ROD- prostokątny.

Rozważmy kwadrat ABCD. Z własności kwadratu wynika, że AO = VO = CO = DO.

Następnie trójkąty prostokątne ROA, ROV, ROS, ROD noga RO- generał i nogi JSC, VO, SO I DO są równe, co oznacza, że ​​te trójkąty są równe z dwóch stron. Z równości trójkątów wynika równość odcinków, RA = PB = RS = PD. Punkt 1 został udowodniony.

Segmenty AB I Słońce są równe, ponieważ są bokami tego samego kwadratu, RA = PB = RS. Zatem trójkąty AVR I VSR - równoramienne i równe z trzech stron.

W podobny sposób znajdujemy trójkąty ABP, VCP, CDP, DAP są równoramienne i równe, jak wymaga tego udowodnienie w paragrafie 2.

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apothemu:

Aby to udowodnić, wybierzmy regularną piramidę trójkątną.

Dany: RAVY- prawidłowy trójkątna piramida.

AB = BC = AC.

RO- wysokość.

Udowodnić: . Zobacz ryc. 5.

Ryż. 5

Dowód.

RAVY- regularna trójkątna piramida. To jest AB= AC = BC. Pozwalać O- środek trójkąta ABC, Następnie RO jest wysokością piramidy. U podstawy piramidy leży trójkąt równoboczny ABC. Zauważ, że .

Trójkąty RAV, RVS, RPA- równe trójkąty równoramienne (według właściwości). Trójkątna piramida ma trzy ściany boczne: RAV, RVS, RPA. Oznacza to, że pole powierzchni bocznej piramidy wynosi:

Strona S = 3S RAW

Twierdzenie zostało udowodnione.

Promień okręgu wpisanego w podstawę regularnej czworokątnej piramidy wynosi 3 m, wysokość piramidy wynosi 4 m. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.

Dany: regularna czworokątna piramida ABCD,

ABCD- kwadrat,

R= 3 m,

RO- wysokość piramidy,

RO= 4 m.

Znajdować: Strona S. Zobacz ryc. 6.

Ryż. 6

Rozwiązanie.

Zgodnie ze sprawdzonym twierdzeniem, .

Najpierw znajdźmy bok podstawy AB. Wiemy, że promień okręgu wpisanego w podstawę czworokątnej piramidy foremnej wynosi 3 m.

Następnie m.in.

Znajdź obwód kwadratu ABCD o boku 6 m:

Rozważmy trójkąt BCD. Pozwalać M- środek boku DC. Ponieważ O- środek BD, To (M).

Trójkąt DPC- równoramienne. M- środek DC. To jest, RM- mediana, a co za tym idzie wysokość w trójkącie DPC. Następnie RM- apotem piramidy.

RO- wysokość piramidy. Potem prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a zatem bezpośredni OM, leżąc w nim. Znajdźmy apotem RM z trójkąta prostokątnego ROM.

Teraz możemy znaleźć powierzchnia boczna piramidy:

Odpowiedź: 60 m2.

Promień okręgu opisanego na podstawie regularnej trójkątnej piramidy jest równy m. Pole powierzchni bocznej wynosi 18 m 2. Znajdź długość apothemu.

Dany: ABCP- regularna trójkątna piramida,

AB = BC = SA,

R= m,

Strona S = 18 m2.

Znajdować: . Zobacz ryc. 7.

Ryż. 7

Rozwiązanie.

W trójkącie prostokątnym ABC Podany jest promień okręgu opisanego. Znajdźmy stronę AB ten trójkąt, korzystając z twierdzenia sinusów.

Znając stronę zwykły trójkąt(m), znajdźmy jego obwód.

Według twierdzenia o powierzchni bocznej regularnej piramidy, gdzie h- apotem piramidy. Następnie:

Odpowiedź: 4 m.

Przyjrzeliśmy się więc, czym jest piramida, czym jest regularna piramida i udowodniliśmy twierdzenie o powierzchni bocznej regularnej piramidy. W następnej lekcji zapoznamy się ze ściętą piramidą.

Bibliografia

1. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów instytucje edukacyjne(podstawowe i poziomy profilu) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wyd. 5, wyd. i dodatkowe - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il.
2. Geometria. Klasa 10-11: Podręcznik do kształcenia ogólnego instytucje edukacyjne/ Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: chory.
3. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla instytucji kształcenia ogólnego z pogłębioną i specjalistyczne badanie matematyka /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - wyd. 6, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s.: chory.

1. Portal internetowy „Yaklass” ()
2. Portal internetowy „Festiwal pomysły pedagogiczne„Pierwszy września” ()
3. Portal internetowy „Slideshare.net” ()

Praca domowa

1. Czy wielokąt foremny może być podstawą nieregularnej piramidy?
2. Udowodnić, że rozłączne krawędzie ostrosłupa foremnego są prostopadłe.
3. Znajdź wartość kąt dwuścienny po stronie podstawy regularnej czworokątnej piramidy, jeśli apotem piramidy jest równy bokowi jej podstawy.
4. RAVY- regularna trójkątna piramida. Zbudować kąt liniowy kąt dwuścienny u podstawy piramidy.

Hipoteza: wierzymy, że doskonałość kształtu piramidy wynika z prawa matematyczne, osadzony w jego formie.

Cel: po przestudiowaniu piramidy jako geometryczne ciało, aby wyjaśnić doskonałość jego formy.

Zadania:

1. Daj definicja matematyczna piramida.

2. Przeanalizuj piramidę jako ciało geometryczne.

3. Zrozum co wiedza matematyczna Egipcjanie umieścili go w swoich piramidach.

Prywatne pytania:

1. Czym jest piramida jako ciało geometryczne?

2. Jak z matematycznego punktu widzenia można wyjaśnić wyjątkowy kształt piramidy?

3. Co wyjaśnia geometryczne cuda piramidy?

4. Co wyjaśnia doskonałość kształtu piramidy?

Definicja piramidy.

PIRAMIDA (z greckiego piramidy, gen. piramidos) - wielościan, którego podstawą jest wielokąt, a pozostałe ściany to trójkąty mające wspólny wierzchołek (rysunek). Na podstawie liczby narożników podstawy piramidy dzieli się na trójkątne, czworokątne itp.

PIRAMIDA - monumentalna budowla z kształt geometryczny piramidy (czasami także schodkowe lub w kształcie wieży). Piramidy to nazwa nadana gigantycznym grobowcom starożytnych egipskich faraonów z III-II tysiąclecia p.n.e. e., a także cokoły starożytnych amerykańskich świątyń (w Meksyku, Gwatemali, Hondurasie, Peru), związane z kultami kosmologicznymi.

Jest możliwe, że greckie słowo Słowo „piramida” pochodzi od egipskiego wyrażenia per-em-us, czyli od określenia oznaczającego wysokość piramidy. Wybitny rosyjski egiptolog W. Struwe uważał, że greckie „puram...j” pochodzi od starożytnego egipskiego „p”-mr”.

Z historii. Po przestudiowaniu materiału w podręczniku „Geometria” autorów Atanasyana. Butuzova i innych dowiedzieliśmy się, że: Wielościan złożony z n-kąta A1A2A3 ... An i n trójkątów PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 nazywa się piramidą. Wielokąt A1A2A3...An to podstawa ostrosłupa, a trójkąty PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 to boczne ściany ostrosłupa, P to wierzchołek ostrosłupa, odcinki PA1, PA2,..., PAn to krawędzie boczne.

Jednak taka definicja piramidy nie zawsze istniała. Na przykład starożytny grecki matematyk, autor teoretycznych traktatów matematycznych, które do nas dotarły, Euklides, definiuje piramidę jako bryłę ograniczoną płaszczyznami zbiegającymi się z jednej płaszczyzny do jednego punktu.

Jednak definicja ta była krytykowana już w starożytności. Tak zasugerował Heron następująca definicja piramida: „To figura ograniczona trójkątami zbiegającymi się w jednym punkcie, której podstawą jest wielokąt”.

Nasza grupa po porównaniu tych definicji doszła do wniosku, że nie mają one jasnego sformułowania pojęcia „fundament”.

Przeanalizowaliśmy te definicje i znaleźliśmy definicję Adriena Marie Legendre, który w 1794 roku w swoim dziele „Elementy geometrii” definiuje piramidę w następujący sposób: „Piramida to bryła figura utworzona przez trójkąty zbiegające się w jednym punkcie i kończące się w różne strony płaska podstawa.”

Wydaje nam się, że ostatnia definicja daje jasny obraz piramidy, ponieważ ona mówimy oże podstawa jest płaska. Inna definicja piramidy pojawiła się w XIX-wiecznym podręczniku: „piramida to kąt bryłowy przecięty płaszczyzną”.

Piramida jako bryła geometryczna.

To. Piramida to wielościan, którego jedna ściana (podstawa) jest wielokątem, pozostałe ściany (boki) to trójkąty mające jeden wspólny wierzchołek (wierzchołek piramidy).

Nazywa się prostopadłą poprowadzoną ze szczytu piramidy do płaszczyzny podstawy wysokośćH piramidy.

Oprócz dowolnej piramidy istnieją prawidłowa piramida u podstawy którego znajduje się wielokąt foremny i ścięta piramida.

Na rysunku znajduje się piramida PABCD, ABCD to jej podstawa, PO to jej wysokość.

Obszar pełna powierzchnia piramida to suma pól wszystkich jej ścian.

Sfull = Strona + Smain, Gdzie Strona– suma pól ścian bocznych.

Objętość piramidy znajduje się według wzoru:

V=1/3Sbas. H, gdzie Sbas. - powierzchnia podstawy, H- wysokość.

Oś regularnej piramidy to linia prosta zawierająca jej wysokość.
Apotem ST to wysokość bocznej ściany regularnej piramidy.

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy wyraża się w następujący sposób: Sside. =1/2P H, gdzie P jest obwodem podstawy, H- wysokość ściany bocznej (apotem regularnej piramidy). Jeżeli ostrosłup przecina płaszczyzna A’B’C’D’, równoległa do podstawy, to:

1) żebra boczne i wysokość są podzielone przez tę płaszczyznę na proporcjonalne części;

2) w przekroju uzyskuje się wielokąt A’B’C’D’ podobny do podstawy;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" szerokość="287" wysokość="151">

Podstawy ściętej piramidy – podobne wielokąty ABCD i A`B`C`D`, ściany boczne są trapezami.

Wysokośćścięta piramida - odległość między podstawami.

Obcięta objętość Piramidę oblicza się ze wzoru:

V=1/3 H(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" wyrównania="left" szerokość="91" wysokość="96"> Powierzchnia boczna regularnej ściętej piramidy wyraża się następująco: Sside = ½(P+P') H, gdzie P i P’ są obwodami podstaw, H- wysokość ściany bocznej (apotem w kształcie regularnego ściętego pirami

Sekcje piramidy.

Przekroje piramidy płaszczyznami przechodzącymi przez jej wierzchołek są trójkątami.

Nazywa się odcinek przechodzący przez dwie niesąsiadujące ze sobą boczne krawędzie piramidy przekrój diagonalny.

Jeśli odcinek przechodzi przez punkt na bocznej krawędzi i boku podstawy, to jego ślad do płaszczyzny podstawy piramidy będzie tym bokiem.

Przekrój przechodzący przez punkt leżący na ścianie piramidy i zadany ślad przekroju na płaszczyźnie podstawy, wówczas konstrukcję należy wykonać w następujący sposób:

· znaleźć punkt przecięcia płaszczyzny danej ściany ze śladem przekroju ostrosłupa i go wyznaczyć;

skonstruuj prostą przechodzącą przez nią dany punkt i powstały punkt przecięcia;

· Powtórz te kroki dla kolejnych ścian.

, co odpowiada stosunkowi przyprostokątnych trójkąta prostokątnego 4:3. Ten stosunek nóg odpowiada dobrze znanemu trójkątowi prostokątnemu o bokach 3:4:5, który nazywany jest trójkątem „doskonałym”, „świętym” lub „egipskim”. Według historyków trójkąt „egipski” otrzymał magiczne znaczenie. Plutarch napisał, że Egipcjanie porównali naturę wszechświata do „świętego” trójkąta; symbolicznie porównali pionową nogę do męża, podstawę do żony, a przeciwprostokątną do tej, która rodzi się z obu.

Dla trójkąta 3:4:5 prawdziwa jest równość: 32 + 42 = 52, co wyraża twierdzenie Pitagorasa. Czy to nie jest twierdzenie, które chcieli utrwalić? kapłani egipscy, budując piramidę na podstawie trójkąta 3:4:5? Trudno znaleźć bardziej udany przykład ilustrujący twierdzenie Pitagorasa, które było znane Egipcjanom na długo przed jego odkryciem przez Pitagorasa.

Zatem genialni twórcy Piramidy egipskie starali się zadziwić odległych potomków głębią swojej wiedzy i osiągnęli to, wybierając „złoty” trójkąt prostokątny jako „główną ideę geometryczną” piramidy Cheopsa oraz trójkąt „święty” lub „egipski” dla piramidy Cheopsa .

Bardzo często w swoich badaniach naukowcy wykorzystują właściwości piramid o proporcjach Złotego Podziału.

W matematyce słownik encyklopedyczny Podano następującą definicję Złotego Podziału – jest to podział harmoniczny, podział w stosunku skrajnym i średnim – dzielący odcinek AB na dwie części w taki sposób, że jego większa część AC jest średnią proporcjonalną pomiędzy całym odcinkiem AB i jego mniejsza część NE.

Algebraiczne wyznaczanie złotego przekroju odcinka AB = a sprowadza się do rozwiązania równania a: x = x: (a – x), z którego x wynosi w przybliżeniu 0,62a. Stosunek x można wyrazić jako ułamki 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, gdzie 2, 3, 5, 8, 13, 21 to liczby Fibonacciego.

Geometryczną konstrukcję złotego przekroju odcinka AB przeprowadza się w następujący sposób: w punkcie B przywracana jest prostopadłość do AB, na niej układany jest odcinek BE = 1/2 AB, A i E są połączone, DE = BE zostaje zwolnione i ostatecznie AC = AD, wówczas spełniona jest równość AB: CB = 2:3.

Złoty podział często używane w dziełach sztuki, architekturze i spotykane w przyrodzie. Żywe przykłady są rzeźba Apolla Belvedere, Partenon. Podczas budowy Partenonu zastosowano stosunek wysokości budynku do jego długości i stosunek ten wynosi 0,618. Otaczające nas przedmioty również dostarczają przykładów złotego podziału, na przykład oprawy wielu książek mają stosunek szerokości do długości bliski 0,618. Rozważając rozmieszczenie liści na wspólnej łodydze roślin, można zauważyć, że pomiędzy każdymi dwiema parami liści trzecia znajduje się w złotym stosunku (slajdy). Każdy z nas „nosi” ze sobą „w rękach” Złoty Podział - jest to stosunek paliczków palców.

Dzięki odkryciu kilku matematycznych papirusów egiptolodzy dowiedzieli się czegoś o starożytnych egipskich systemach obliczeń i pomiarów. Zadania w nich zawarte rozwiązywali skrybowie. Jednym z najbardziej znanych jest papirus matematyczny Rhinda. Badając te problemy, egiptolodzy dowiedzieli się, jak radzili sobie starożytni Egipcjanie w różnych ilościach, które powstały przy obliczaniu miar masy, długości i objętości, w których często używano ułamków i jak radzili sobie z kątami.

Starożytni Egipcjanie stosowali metodę obliczania kątów opartą na stosunku wysokości do podstawy trójkąta prostokątnego. Wyrażali dowolny kąt w języku gradientu. Nachylenie nachylenia wyrażono jako stosunek liczb całkowitych zwany „seced”. W książce Mathematics in the Age of the Pharaohs Richard Pillins wyjaśnia: „Seked regularnej piramidy to nachylenie dowolnej z czterech trójkątnych ścian do płaszczyzny podstawy, mierzone jako n-ta liczba jednostek poziomych na pionową jednostkę wzrostu . Zatem ta jednostka miary jest równoważna naszemu współczesnemu cotangensowi kąta nachylenia. Dlatego egipskie słowo „seced” jest powiązane z naszym współczesne słowo"gradient"".

Klucz numeryczny piramid leży w stosunku ich wysokości do podstawy. W w sensie praktycznym- to najprostszy sposób na wykonanie potrzebnych szablonów ciągłe sprawdzanie prawidłowy kąt nachylenia w całej konstrukcji piramidy.

Egiptolodzy chętnie przekonaliby nas, że każdy faraon pragnął wyrazić swoją indywidualność, stąd różnice w kątach nachylenia poszczególnych piramid. Ale może być inny powód. Być może wszyscy chcieli ucieleśnić różne skojarzenia symboliczne, ukryte w różnych proporcjach. Jednakże kąt piramidy Chefre'a (oparty na trójkącie (3:4:5) pojawia się w trzech problemach przedstawionych przez piramidy w Papirusie Matematycznym Rhinda). Zatem takie podejście było dobrze znane starożytnym Egipcjanom.

Aby oddać sprawiedliwość egiptologom, którzy twierdzą, że starożytni Egipcjanie nie byli świadomi istnienia trójkąta 3:4:5, długość przeciwprostokątnej 5 nigdy nie została wspomniana. Ale problemy matematyczne pytania dotyczące piramid są zawsze rozstrzygane na podstawie drugiego kąta – stosunku wysokości do podstawy. Ponieważ nigdy nie wspomniano o długości przeciwprostokątnej, wyciągnięto wniosek, że Egipcjanie nigdy nie obliczyli długości trzeciego boku.

Stosunek wysokości do podstawy stosowany w piramidach w Gizie był niewątpliwie znany starożytnym Egipcjanom. Możliwe, że te zależności dla każdej piramidy zostały wybrane arbitralnie. Jest to jednak sprzeczne z wagą, jaką przywiązuje się do symboliki liczb we wszystkich typach języka egipskiego Dzieła wizualne. Jest bardzo prawdopodobne, że relacje te były istotne, ponieważ wyrażały określone idee religijne. Inaczej mówiąc, cały kompleks w Gizie został podporządkowany spójnemu projektowi, mającemu odzwierciedlać pewien boski motyw. To wyjaśniałoby, dlaczego projektanci tak wybrali różne kąty nachylenie trzech piramid.

W Tajemnicy Oriona Bauval i Gilbert przedstawili przekonujące dowody łączące piramidy w Gizie z konstelacją Oriona, w szczególności z gwiazdami Pasa Oriona. Ta sama konstelacja jest obecna w micie o Izydzie i Ozyrysie i istnieją podstawy, aby sądzić, że każda piramida przedstawia jednego z trzech głównych bóstw – Ozyrysa, Izydy i Horusa.

CUDA „GEOMETRYCZNE”.

Wśród wielkie piramidy Egipt specjalne miejsce trwa Wielka Piramida Faraona Cheopsa (Khufu). Zanim zaczniemy analizować kształt i wielkość piramidy Cheopsa, warto przypomnieć sobie, jakim systemem miar posługiwali się Egipcjanie. Egipcjanie mieli trzy jednostki długości: „łokieć” (466 mm), który był równy siedmiu „dłoniom” (66,5 mm), co z kolei równało się czterem „palcom” (16,6 mm).

Przeanalizujmy wymiary piramidy Cheopsa (ryc. 2), kierując się argumentami podanymi we wspaniałej książce ukraińskiego naukowca Nikołaja Wasyutyńskiego „ Złoty podział„(1990).

Większość badaczy zgadza się, że długość boku podstawy piramidy, np. GF równy L= 233,16 m. Wartość ta odpowiada niemal dokładnie 500 „łokciom”. Pełna zgodność z 500 „kolokami” nastąpi, jeśli długość „łokcia” przyjmie się jako równą 0,4663 m.

Wysokość piramidy ( H) badacze szacują różnie od 146,6 do 148,2 m, a w zależności od przyjętej wysokości piramidy zmieniają się wszystkie jej proporcje elementy geometryczne. Jaka jest przyczyna różnic w szacunkach wysokości piramidy? Faktem jest, że ściśle rzecz biorąc, piramida Cheopsa jest obcięta. Jej górna platforma ma dziś wymiary około 10 x 10 m, ale sto lat temu było to 6 x 6 m. Oczywiście wierzchołek piramidy został rozebrany i nie odpowiada on pierwotnemu.

Oceniając wysokość piramidy, należy to wziąć pod uwagę czynnik fizyczny, jako „szkic” konstrukcji. Za długi czas pod wpływem kolosalnego ciśnienia (sięgającego 500 ton na 1 m2 dolnej powierzchni) wysokość piramidy zmniejszyła się w porównaniu do pierwotnej wysokości.

Jaka była pierwotna wysokość piramidy? Wysokość tę można odtworzyć, znajdując podstawową „ideę geometryczną” piramidy.

Rysunek 2.

W 1837 r. Angielski pułkownik G. Wise zmierzył kąt nachylenia ścian piramidy: okazał się równy A= 51°51”. Wartość ta jest nadal uznawana przez większość badaczy. Określona wartość kąt odpowiada stycznej (tg A), równa 1,27306. Wartość ta odpowiada stosunkowi wysokości piramidy AC do połowy podstawy C.B.(ryc. 2), tj AC / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

I tu badaczy spotkała wielka niespodzianka!.png" szerokość="25" wysokość="24">= 1,272. Porównanie tej wartości z wartością tg A= 1,27306, widzimy, że wartości te są bardzo blisko siebie. Jeśli przyjmiemy kąt A= 51°50”, czyli zmniejsz ją o jedną minutę łuku, a następnie wartość A stanie się równy 1,272, to znaczy będzie pokrywał się z wartością. Warto zaznaczyć, że w 1840 r. G. Wise powtórzył swoje pomiary i wyjaśnił, że wartość kąta A=51°50".

Pomiary te doprowadziły badaczy do następujących wniosków ciekawa hipoteza: trójkąt ACB piramidy Cheopsa został oparty na relacji AC / C.B. = = 1,272!

Rozważmy teraz trójkąt prostokątny ABC, w którym stosunek nóg AC / C.B.= (ryc. 2). Jeśli teraz długości boków prostokąta ABC wyznaczyć przez X, y, z, a także wziąć pod uwagę, że stosunek y/X= , to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa długość z można obliczyć korzystając ze wzoru:

Jeśli zaakceptujemy X = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" szerokość="143" wysokość="27">

Rysunek 3.„Złoty” trójkąt prostokątny.

Trójkąt prostokątny, w którym boki są ze sobą powiązane jako T:złoty" trójkąt prostokątny.

Następnie, jeśli przyjmiemy za podstawę hipotezę, że główną „ideą geometryczną” piramidy Cheopsa jest „złoty” trójkąt prostokątny, wówczas możemy z łatwością obliczyć „projektową” wysokość piramidy Cheopsa. Jest równe:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Wyprowadźmy teraz inne zależności dla piramidy Cheopsa, które wynikają ze „złotej” hipotezy. W szczególności znajdziemy stosunek zewnętrznej powierzchni piramidy do powierzchni jej podstawy. Aby to zrobić, bierzemy długość nogi C.B. na jednostkę, czyli: C.B.= 1. Ale potem długość boku podstawy piramidy GF= 2 i obszar podstawy E F G H będzie równe SEFGH = 4.

Obliczmy teraz pole powierzchni bocznej piramidy Cheopsa SD. Ponieważ wysokość AB trójkąt AEF równy T, wówczas obszar powierzchni bocznej będzie równy SD = T. Wtedy całkowita powierzchnia wszystkich czterech bocznych ścian piramidy będzie równa 4 T, a stosunek całkowitej zewnętrznej powierzchni piramidy do powierzchni podstawy będzie równy złotemu podziałowi! To jest to - główna tajemnica geometryczna piramidy Cheopsa!

Do grupy” geometryczne cuda„Piramidę Cheopsa można przypisać rzeczywistym i fikcyjnym właściwościom relacji pomiędzy różnymi wymiarami piramidy.

Z reguły uzyskuje się je w poszukiwaniu pewnych „stałych”, w szczególności liczby „pi” (liczba Ludolfa), równej 3,14159...; fusy logarytmy naturalne„e” (liczba Nepera), równa 2,71828…; liczba „F”, liczba „złotego podziału”, równa na przykład 0,618… itd.

Można wymienić np.: 1) Własność Herodota: (Wysokość)2 = 0,5 sztuki. podstawowy x Apotem; 2) Własność V. Cena: Wysokość: 0,5 szt. podstawa = pierwiastek kwadratowy z „F”; 3) Własność M. Eista: Obwód podstawy: 2 Wysokość = „Pi”; w innej interpretacji - 2 łyżki. podstawowy : Wysokość = „Pi”; 4) Własność G. Krawędź: Promień okręgu wpisanego: 0,5 szt. podstawowy = „F”; 5) Własność K. Kleppischa: (Art. main.)2: 2(Art. main. x Apothema) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothema) : ((2 art. .podstawa X Apotem) + (podstawa art.)2). Itp. Możesz wymyślić wiele takich właściwości, zwłaszcza jeśli połączysz dwie sąsiednie piramidy. Na przykład jako „Właściwości A. Arefiewa” można wspomnieć, że różnica objętości piramidy Cheopsa i piramidy Chefrena jest równa dwukrotności objętości piramidy Mikerina…

Wiele ciekawe postanowienia W szczególności budowę piramid według „złotego podziału” opisano w książkach D. Hambidge’a „Dynamiczna symetria w architekturze” i M. Gicka „Estetyka proporcji w przyrodzie i sztuce”. Przypomnijmy, że „złoty podział” to podział odcinka w takim stosunku, że część A jest tyle razy większa od części B, ile razy A jest mniejsze od całego odcinka A + B. Stosunek A/B jest równa liczbie „F” == 1,618... Stosowanie „złotego podziału” jest wskazane nie tylko w poszczególnych piramidach, ale także w całym kompleksie piramid w Gizie.

Najciekawsze jest jednak to, że jedna i ta sama piramida Cheopsa po prostu „nie może” zawierać tak wielu cudownych właściwości. Biorąc pewną własność jedną po drugiej, można ją „dopasować”, ale nie wszystkie od razu pasują - nie pokrywają się, są ze sobą sprzeczne. Dlatego jeśli np. sprawdzając wszystkie właściwości, początkowo przyjmiemy tę samą stronę podstawy piramidy (233 m), to wysokości piramid o różnych właściwościach również będą inne. Innymi słowy, istnieje pewna „rodzina” piramid, które zewnętrznie są podobne do Cheopsa, ale odpowiadają różne właściwości. Zauważ, że we właściwościach „geometrycznych” nie ma nic szczególnie cudownego - wiele powstaje czysto automatycznie, z właściwości samej figury. Za „cud” należy uważać jedynie coś, co było wyraźnie niemożliwe dla starożytnych Egipcjan. Dotyczy to w szczególności cudów „kosmicznych”, w których porównuje się wymiary piramidy Cheopsa lub kompleksu piramid w Gizie z niektórymi pomiarami astronomicznymi i wskazuje liczby „parzyste”: milion razy mniej, miliard razy mniej i Wkrótce. Rozważmy pewne „kosmiczne” relacje.

Jedno ze stwierdzeń brzmi: „jeśli podzielisz bok podstawy piramidy przez dokładna długość roku otrzymujemy dokładnie 10-milionową część oś Ziemi„. Oblicz: podziel 233 przez 365, otrzymamy 0,638. Promień Ziemi wynosi 6378 km.

Kolejne stwierdzenie jest właściwie przeciwieństwem poprzedniego. F. Noetling zwrócił uwagę, że jeśli użyje się wymyślonego przez niego „łokcia egipskiego”, wówczas bok piramidy będzie odpowiadał „najdokładniejszemu czasowi trwania rok słoneczny, wyrażony z dokładnością do miliardowej części dnia” – 365.540.903.777.

Oświadczenie P. Smitha: „Wysokość piramidy wynosi dokładnie jedną miliardową odległości od Ziemi do Słońca”. Chociaż zwykle przyjmuje się wysokość 146,6 m, Smith przyjął ją jako 148,2 m. Według współczesnych pomiarów radarowych, półoś wielka orbita Ziemi wynosi 149 597 870 + 1,6 km. Jest to średnia odległość Ziemi od Słońca, jednak w peryhelium jest ona o 5 000 000 kilometrów mniejsza niż w aphelium.

Ostatnie ciekawe stwierdzenie:

„Jak możemy wyjaśnić, że masy piramid Cheopsa, Chefrena i Mykerinusa odnoszą się do siebie, podobnie jak masy planet Ziemia, Wenus i Mars?” Obliczmy. Masy trzech piramid wynoszą: Chefre - 0,835; Cheopsa – 1000; Mikerin - 0,0915. Stosunki mas trzech planet: Wenus - 0,815; Ziemia - 1000; Mars - 0,108.

Zatem pomimo sceptycyzmu zauważamy znaną harmonię konstrukcji twierdzeń: 1) wysokość piramidy, podobnie jak linia „wchodząc w przestrzeń”, odpowiada odległości Ziemi od Słońca; 2) strona podstawy piramidy, znajdująca się najbliżej „podłoża”, czyli Ziemi, odpowiada za promień Ziemi i ziemski obieg; 3) objętości piramidy (czytaj - masy) odpowiadają stosunkowi mas planet najbliższych Ziemi. Podobny „szyfr” można odnaleźć na przykład w języku pszczół analizowanym przez Karla von Frischa. Na razie jednak powstrzymamy się od komentowania tej kwestii.

KSZTAŁT PIRAMIDY

Słynny czworościenny kształt piramid nie powstał natychmiast. Scytowie dokonywali pochówków w postaci ziemnych wzgórz - kopców. Egipcjanie budowali „wzgórza” z kamienia – piramidy. Po raz pierwszy miało to miejsce po zjednoczeniu Górnego i Dolnego Egiptu, w 28 wieku p.n.e., kiedy to było jeszcze przed założycielem III dynastia Faraon Dżeser (Zoser) otrzymał zadanie wzmocnienia jedności kraju.

I tutaj, według historyków, ważna rola we wzmocnieniu rząd centralny grał" nowy koncept„przebóstwianie” króla. Choć pochówki królewskie odznaczały się większym przepychem, w zasadzie nie różniły się od grobowców szlachty dworskiej, były to te same budowle – mastaby. Nad komnatą z sarkofagiem mieszczącym mumię, prostokątna wylano wzgórze z małych kamieni, na którym następnie postawiono niewielki budynek z dużych bloków kamiennych – „mastaba” (po arabsku – „ławka”). Na miejscu mastaby swojego poprzednika, Sanachta, faraon Dżeser wzniósł pierwszą piramida była schodkowa i stanowiła widoczny etap przejściowy od jednej formy architektonicznej do drugiej, od mastaby do piramidy.

W ten sposób mędrzec i architekt Imhotep, uważany później za czarodzieja i utożsamiany przez Greków z bogiem Asklepiosem, „wychował” faraona. To było tak, jakby w rzędzie ustawiono sześć mastab. Co więcej, pierwsza piramida zajmowała powierzchnię 1125 x 115 metrów i szacowaną wysokość na 66 metrów (według standardów egipskich - 1000 „palm”). Początkowo architekt planował budowę mastaby, ale nie podłużnej, ale kwadratowej. Później został rozszerzony, ale ponieważ przedłużenie zostało obniżone, wydawało się, że są dwa stopnie.

Taka sytuacja nie zadowalała architekta i na górnej platformie ogromnej płaskiej mastaby Imhotep umieścił jeszcze trzy, stopniowo opadając ku górze. Grobowiec znajdował się pod piramidą.

Znanych jest kilka kolejnych piramidy schodkowe, ale później budowniczowie przeszli na budowanie bardziej znanych nam piramid czworościennych. Dlaczego jednak nie trójkątny lub, powiedzmy, ośmiokątny? Pośredniej odpowiedzi udziela fakt, że prawie wszystkie piramidy są doskonale zorientowane w czterech głównych kierunkach, a zatem mają cztery boki. Ponadto piramida była „domem”, skorupą czworokątnej komory grobowej.

Ale co determinowało kąt nachylenia twarzy? W książce „Zasada proporcji” poświęcony jest temu cały rozdział: „Co mogło określić kąty nachylenia piramid”. W szczególności wskazano, że „obraz, do którego ciążą wielkie piramidy Starożytne królestwo- trójkąt z kątem prostym w wierzchołku.

W przestrzeni jest to półoktaedr: piramida, w której krawędzie i boki podstawy są równe, a krawędzie są trójkątami równobocznymi.” Pewne rozważania na ten temat poświęcono książkom Hambidge’a, Gicka i innych.

Jaka jest zaleta kąta półoktaedru? Według opisów archeologów i historyków niektóre piramidy zawaliły się pod własnym ciężarem. Potrzebny był „kąt trwałości”, kąt najbardziej niezawodny energetycznie. Czysto empirycznie, kąt ten można obliczyć z kąta wierzchołkowego w kupie kruszącego się suchego piasku. Ale aby uzyskać dokładne dane, musisz użyć modelu. Biorąc cztery mocno zamocowane kulki, należy umieścić na nich piątą i zmierzyć kąty nachylenia. Można tu jednak popełnić błąd, dlatego pomocne są obliczenia teoretyczne: należy połączyć środki piłek liniami (w myślach). Podstawą będzie kwadrat o boku równym dwukrotności promienia. Kwadrat będzie tylko podstawą piramidy, której długość krawędzi będzie również równa dwukrotności promienia.

Zatem ścisłe upakowanie kulek, takie jak 1:4, da nam regularny półoktaedr.

Jednak dlaczego wiele piramid zmierza ku podobna forma, mimo to nie zapisz go? Piramidy prawdopodobnie się starzeją. Wbrew słynnemu powiedzeniu:

„Wszystko na świecie boi się czasu, a czas boi się piramid”, budynki piramid muszą się starzeć, mogą i powinny w nich zachodzić nie tylko procesy wietrzenia zewnętrznego, ale także procesy wewnętrznego „skurczu”, które mogą spowodować obniżenie piramid. Skurcz jest również możliwy, ponieważ, jak wykazały prace D. Davidovitsa, starożytni Egipcjanie stosowali technologię wytwarzania bloków z wiórów wapiennych, czyli innymi słowy z „betonu”. Właśnie podobne procesy mogłyby wyjaśnić przyczynę zniszczenia Piramidy Medum, położonej 50 km na południe od Kairu. Ma 4600 lat, wymiary podstawy to 146 x 146 m, wysokość 118 m. „Dlaczego jest tak zniekształcony?” – pyta W. Zamarowski. „Zwykłe odniesienia do niszczycielskiego działania czasu i „wykorzystania kamienia do innych budynków” nie są tu odpowiednie.

Przecież większość jej bloków i płyt licowych pozostała na swoim miejscu do dziś, w ruinach u jej podnóża.” Jak zobaczymy, szereg zapisów każe nawet sądzić, że słynna piramida Cheopsa również „schłapała”. w każdym razie na wszystkich starożytnych obrazach piramidy są skierowane ...

Kształt piramid mógł również powstać w wyniku naśladownictwa: niektóre naturalne próbki, „cudowna doskonałość”, powiedzmy, niektóre kryształy w kształcie ośmiościanu.

Podobnymi kryształami mogą być kryształy diamentu i złota. Charakterystyka duża liczba„nakładające się” znaki dla takich pojęć jak Faraon, Słońce, Złoto, Diament. Wszędzie - szlachetny, genialny (genialny), wspaniały, nienaganny i tak dalej. Podobieństwa nie są przypadkowe.

Jak wiadomo, kult słońca był ważna część religia Starożytny Egipt. „Nieważne, jak przetłumaczymy nazwę największej z piramid” – zauważa jeden z nowoczesne pomoce- „Firmament Chufu” lub „Firmament Chufu” oznaczało, że królem jest słońce.” Jeśli Chufu w blasku swojej mocy wyobrażał sobie, że jest drugim słońcem, wówczas jego syn Dżedef-Ra stał się pierwszy z egipskich królów, który nazywał siebie „synem Ra”, czyli synem Słońca. Słońce prawie wszystkich ludów było symbolizowane przez „słoneczny metal”, złoto. „Duży dysk z jasnego złota” - tak Egipcjanie nazywali nasze światło dzienne. Egipcjanie doskonale znali złoto, znali jego rodzime formy, gdzie złote kryształy mogą pojawiać się w postaci ośmiościanów.

Jak interesujące są tutaj „przykładowe formularze” i „ kamień słoneczny" - diament. Nazwa diamentu pochodzi właśnie od świat arabski, „almas” - najtwardszy, najbardziej zahartowany, niezniszczalny. Starożytni Egipcjanie dość dobrze znali diament i jego właściwości. Według niektórych autorów do wiercenia używano nawet rur z brązu z frezami diamentowymi.

Obecnie głównym dostawcą diamentów jest Afryka Południowa, ale Afryka Zachodnia jest również bogata w diamenty. Terytorium Republiki Mali nazywane jest nawet „Diamentową Krainą”. Tymczasem to właśnie na terenie Mali zamieszkują Dogoni, z którymi zwolennicy hipotezy paleowizyty wiążą wiele nadziei (patrz niżej). Diamenty nie mogły być przyczyną kontaktów starożytnych Egipcjan z tym regionem. Jednak w ten czy inny sposób możliwe jest, że to właśnie kopiując ośmiościany diamentów i kryształów złota starożytni Egipcjanie deifikowali faraonów, „niezniszczalnych” jak diament i „błyszczących” jak złoto, synów Słońca, porównywalnych tylko do najbardziej wspaniałe dzieła Natura.

Wniosek:

Po przestudiowaniu piramidy jako bryły geometrycznej, zapoznaniu się z jej elementami i właściwościami, przekonaliśmy się o słuszności opinii o pięknie kształtu piramidy.

W wyniku naszych badań doszliśmy do wniosku, że Egipcjanie, zebrawszy najcenniejszą wiedzę matematyczną, ucieleśnili ją w piramidzie. Dlatego piramida jest naprawdę najdoskonalszym dziełem natury i człowieka.

BIBLIOGRAFIA

„Geometria: podręcznik. dla klas 7 – 9. ogólne wykształcenie instytucje itp. - wyd. 9 - M.: Edukacja, 1999

Historia matematyki w szkole, M: „Prosveshchenie”, 1982.

Geometria 10-11 klas, M: „Oświecenie”, 2000

„Sekrety” Petera Tompkinsa Wielka Piramida Cheops”, M: „Tsentropoligraf”, 2005.

Zasoby internetowe

http://veka-i-mig. *****/

http://tambow. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/en/54373.html

Rozwiązując Problem C2 metodą współrzędnych, wielu uczniów staje przed tym samym problemem. Nie potrafią kalkulować współrzędne punktów zawarte w formule produkt kropkowy. Pojawiają się największe trudności piramidy. A jeśli punkty bazowe uznać za mniej więcej normalne, to szczyty to prawdziwe piekło.

Dzisiaj będziemy pracować nad regularną czworokątną piramidą. Istnieje również trójkątna piramida (znana również jako - czworościan). To więcej złożony projekt, dlatego zostanie mu poświęcona osobna lekcja.

Na początek przypomnijmy sobie definicję:

Zwykła piramida to taka, która:

1. Podstawą jest wielokąt foremny: trójkąt, kwadrat itp.;
2. Wysokość poprowadzona do podstawy przechodzi przez jej środek.

W szczególności podstawa czworokątnej piramidy jest kwadrat. Podobnie jak Cheops, tylko trochę mniejszy.

Poniżej znajdują się obliczenia dla piramidy, w której wszystkie krawędzie są równe 1. Jeśli w Twoim zadaniu tak nie jest, obliczenia się nie zmienią - jedynie liczby będą inne.

Wierzchołki czworokątnej piramidy

Niech więc będzie regularny czworokątny piramida SABCD, gdzie S jest wierzchołkiem, podstawą ABCD jest kwadrat. Wszystkie krawędzie są równe 1. Musisz wprowadzić układ współrzędnych i znaleźć współrzędne wszystkich punktów. Mamy:

Wprowadzamy układ współrzędnych, którego początek znajduje się w punkcie A:

1. Oś OX jest skierowana równolegle do krawędzi AB;
2. Oś OY jest równoległa do AD. Ponieważ ABCD jest kwadratem, AB ⊥ AD;
3. Na koniec kierujemy oś OZ w górę, prostopadle do płaszczyzny ABCD.

Teraz obliczamy współrzędne. Dodatkowa konstrukcja: SH - wysokość dociągnięta do podstawy. Dla wygody podstawę piramidy umieścimy na osobnym rysunku. Ponieważ punkty A, B, C i D leżą na płaszczyźnie OXY, ich współrzędna wynosi z = 0. Mamy:

1. A = (0; 0; 0) - pokrywa się z początkiem;
2. B = (1; 0; 0) - krok po 1 wzdłuż osi OX od początku;
3. C = (1; 1; 0) - krok o 1 wzdłuż osi OX i o 1 wzdłuż osi OY;
4. D = (0; 1; 0) - krok tylko wzdłuż osi OY.
5. H = (0,5; 0,5; 0) - środek kwadratu, środek odcinka AC.

Pozostaje znaleźć współrzędne punktu S. Zauważ, że współrzędne x i y punktów S i H są takie same, ponieważ leżą one na linii prostej, oś równoległa OZ. Pozostaje znaleźć współrzędną z punktu S.

Rozważmy trójkąty ASH i ABH:

1. AS = AB = 1 według warunku;
2. Kąt AHS = AHB = 90°, ponieważ SH to wysokość, a AH ⊥ HB to przekątne kwadratu;
3. Strona AH jest powszechna.

Stąd, trójkąty prostokątne POPIÓŁ i ABH równy każda z jedną nogą i jedną przeciwprostokątną. Oznacza to SH = BH = 0,5 BD. Ale BD jest przekątną kwadratu o boku 1. Zatem mamy:

Całkowite współrzędne punktu S:

Podsumowując, zapisujemy współrzędne wszystkich wierzchołków regularnej prostokątnej piramidy:

Co zrobić, gdy żebra są inne

Co się stanie, jeśli boczne krawędzie piramidy nie będą równe krawędziom podstawy? W tym przypadku rozważmy trójkąt AHS:

Trójkąt AHS - prostokątny, a przeciwprostokątna AS jest także boczną krawędzią pierwotnej piramidy SABCD. Nogę AH można łatwo obliczyć: AH = 0,5 AC. Znajdziemy pozostałą nogę SH zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa. Będzie to współrzędna z punktu S.

Zadanie. Biorąc pod uwagę regularną czworokątną piramidę SABCD, u podstawy której leży kwadrat o boku 1. Boczne żebro BS = 3. Znajdź współrzędne punktu S.

Znamy już współrzędne x i y tego punktu: x = y = 0,5. Wynika to z dwóch faktów:

1. Rzut punktu S na płaszczyznę OXY to punkt H;
2. Jednocześnie punkt H jest środkiem kwadratu ABCD, którego wszystkie boki są równe 1.

Pozostaje znaleźć współrzędną punktu S. Rozważmy trójkąt AHS. Jest prostokątny, z przeciwprostokątną AS = BS = 3, a noga AH stanowi połowę przekątnej. Do dalszych obliczeń potrzebujemy jego długości:

Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Mamy:

Zatem współrzędne punktu S: