Wstępne informacje
Obwód dowolnej płaskiej figury geometrycznej na płaszczyźnie definiuje się jako sumę długości wszystkich jej boków. Trójkąt nie jest tu wyjątkiem. Najpierw przedstawiamy pojęcie trójkąta, a także rodzaje trójkątów w zależności od boków.
Definicja 1
Trójkątem nazwiemy figurę geometryczną złożoną z trzech punktów połączonych ze sobą odcinkami (ryc. 1).
Definicja 2
W ramach Definicji 1 punkty będziemy nazywać wierzchołkami trójkąta.
Definicja 3
W ramach Definicji 1 odcinki będziemy nazywać bokami trójkąta.
Oczywiście każdy trójkąt będzie miał 3 wierzchołki i trzy boki.
W zależności od wzajemnego stosunku boków trójkąty dzielą się na skalenowe, równoramienne i równoboczne.
Definicja 4
Trójkąt skalenowy nazwiemy, jeśli żaden z jego boków nie jest równy żadnemu innemu.
Definicja 5
Trójkąt równoramienny nazwiemy, jeśli dwa jego boki są sobie równe, ale nie są równe trzeciemu bokowi.
Definicja 6
Trójkąt równoboczny nazwiemy, jeśli wszystkie jego boki są sobie równe.
Wszystkie typy tych trójkątów można zobaczyć na rysunku 2.
Jak znaleźć obwód trójkąta skalenowego?
Otrzymamy trójkąt skalenowy, którego długości boków są równe $α$, $β$ i $γ$.
Wniosek: Aby obliczyć obwód trójkąta skalenowego, należy dodać do siebie wszystkie długości jego boków.
Przykład 1
Znajdź obwód trójkąta skalenowego równy 34 $ cm, 12 $ cm i 11 $ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Odpowiedź: $57$ cm.
Przykład 2
Znajdź obwód trójkąta prostokątnego, którego nogi mają długość 6 $ i 8 $ cm.
Najpierw znajdźmy długość przeciwprostokątnych tego trójkąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Oznaczmy to zatem przez $α$
$α=10$ Zgodnie z zasadą obliczania obwodu trójkąta skalenowego otrzymujemy
$P=10+8+6=24$cm
Odpowiedź: 24 $ zobacz.
Jak znaleźć obwód trójkąta równoramiennego?
Dano nam trójkąt równoramienny, którego długości boków będą równe $α$, a długość podstawy będzie równa $β$.
Wyznaczając obwód płaskiej figury geometrycznej, uzyskujemy to
$P=α+α+β=2α+β$
Wniosek: Aby obliczyć obwód trójkąta równoramiennego, dodaj dwukrotnie długość jego boków do długości jego podstawy.
Przykład 3
Znajdź obwód trójkąta równoramiennego, jeśli jego boki wynoszą 12 $ cm, a jego podstawa wynosi 11 $ cm.
Z omówionego powyżej przykładu widzimy, że
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Odpowiedź: $35$ cm.
Przykład 4
Znajdź obwód trójkąta równoramiennego, jeśli jego wysokość poprowadzona do podstawy wynosi 8 $ cm, a podstawa wynosi 12 $ cm.
Spójrzmy na rysunek zgodnie z warunkami problemu:
Ponieważ trójkąt jest równoramienny, $BD$ jest także medianą, zatem $AD=6$ cm.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, z trójkąta $ADB$ wyznaczamy bok boczny. Oznaczmy to więc przez $α$
Zgodnie z zasadą obliczania obwodu trójkąta równoramiennego otrzymujemy
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Odpowiedź: 32 $ zobacz.
Jak znaleźć obwód trójkąta równobocznego?
Dany jest nam trójkąt równoboczny, którego długości wszystkich boków są równe $α$.
Wyznaczając obwód płaskiej figury geometrycznej, uzyskujemy to
$P=α+α+α=3α$
Wniosek: Aby obliczyć obwód trójkąta równobocznego, pomnóż długość boku trójkąta przez 3 $.
Przykład 5
Znajdź obwód trójkąta równobocznego, jeśli jego bok wynosi 12 $ cm.
Z omówionego powyżej przykładu widzimy, że
$P=3\cdot 12=36$ cm
Obwód to suma wszystkich boków figury. Ta cecha, wraz z powierzchnią, jest równie pożądana dla wszystkich liczb. Wzór na obwód trójkąta równoramiennego logicznie wynika z jego właściwości, jednak wzór nie jest tak skomplikowany, jak nabycie i utrwalenie umiejętności praktycznych.
Wzór na obliczenie obwodu
Boki boczne trójkąta równoramiennego są sobie równe. Wynika to z definicji i jest wyraźnie widoczne już w nazwie figury. Z tej właściwości wynika wzór na obwód:
P=2a+b, gdzie b jest podstawą trójkąta, a jest wartością boku.
Ryż. 1. Trójkąt równoramienny
Ze wzoru jasno wynika, że aby znaleźć obwód, wystarczy znać rozmiar podstawy i jednego z boków. Rozważ kilka problemów, aby znaleźć obwód trójkąta równoramiennego. Będziemy rozwiązywać problemy w miarę wzrostu ich złożoności, pozwoli nam to lepiej zrozumieć sposób myślenia, jaki należy zastosować, aby znaleźć obwód.
Problem 1
- W trójkącie równoramiennym podstawa wynosi 6, a wysokość poprowadzona do tej podstawy wynosi 4. Konieczne jest znalezienie obwodu figury.
Ryż. 2. Rysunek do zadania 1
Wysokość trójkąta równoramiennego narysowanego do podstawy jest jednocześnie medianą i wysokością. Właściwość ta jest bardzo często wykorzystywana przy rozwiązywaniu problemów dotyczących trójkątów równoramiennych.
Trójkąt ABC o wysokości BM dzieli się na dwa trójkąty prostokątne: ABM i BCM. W trójkącie ABM znana jest noga BM, noga AM jest równa połowie podstawy trójkąta ABC, ponieważ BM jest dwusieczną środkowej i wysokością. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, znajdujemy wartość przeciwprostokątnej AB.
$$АВ^2=AM^2+BM^2$$
$$AB=\sqrt(AM^2+BM^2)=\sqrt(3^2+4^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$
Znajdźmy obwód: P=AC+AB*2=6+5*2=16
Problem 2
- W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona do podstawy wynosi 10, a kąt ostry przy podstawie wynosi 30 stopni. musisz znaleźć obwód trójkąta.
Ryż. 3. Rysunek do zadania 2
Zadanie to komplikuje brak informacji o bokach trójkąta, ale znając wartość wysokości i kąta, w trójkącie prostokątnym ABH można znaleźć nogę AH, a wtedy rozwiązanie będzie przebiegało według tego samego scenariusza co w zadaniu 1.
Znajdźmy AH poprzez wartość sinusa:
$$sin (ABH)=(BH\over AB)=(1\over2)$$ - sinus 30 stopni jest wartością tabelaryczną.
Wyraźmy wymaganą stronę:
$$AB=((BH\ponad (1\ponad 2))) =BH*2=10*2=20$$
Korzystając z cotangensu, znajdujemy wartość AH:
$$ctg(BAH)=(AH\nad BH)=(1\nad\sqrt(3))$$
$$AH=(BH\over\sqrt(3))=10*\sqrt(3)=17,32$$ - zaokrąglij wynikową wartość do najbliższej setnej.
Znajdźmy podstawę:
AC=AH*2=17,32*2=34,64
Teraz, gdy znaleziono wszystkie wymagane wartości, określmy obwód:
P=AC+2*AB=34,64+2*20=74,64
Problem 3
- Trójkąt równoramienny ABC ma pole $16\over\sqrt(3)$$ i kąt ostry u podstawy wynoszący 30 stopni. Znajdź obwód trójkąta.
Wartości w warunku są często podawane jako iloczyn pierwiastka i liczby. Ma to na celu maksymalne zabezpieczenie kolejnego rozwiązania przed błędami. Wynik lepiej zaokrąglić na koniec obliczeń
Przy takim sformułowaniu problemu może się wydawać, że nie ma rozwiązań, gdyż z dostępnych danych trudno jest wyrazić jeden z boków czy wysokość. Spróbujmy rozwiązać to inaczej.
Oznaczmy wysokość i połowę podstawy literami łacińskimi: BH=h i AH=a
Wtedy podstawa będzie równa: AC=AH+HC=AH*2=2a
Powierzchnia: $$S=(1\nad 2)*AC*BH=(1\nad 2)*2a*h=ah$$
Z drugiej strony wartość h można wyrazić z trójkąta ABH w postaci tangensa kąta ostrego. Dlaczego styczny? Ponieważ w trójkącie ABH wyznaczyliśmy już dwie nogi a i h. Jedno musi być wyrażone poprzez drugie. Dwie nogi razem łączą styczną i cotangens. Tradycyjnie cotangens i cosinus są używane tylko wtedy, gdy tangens lub sinus nie pasują. To nie jest reguła, możesz zdecydować tak, jak jest to wygodne, po prostu jest to akceptowane.
$$tg(BAH)=(h\nad(a))=(1\nad\sqrt(3))$$
$$h=(a\nad\sqrt(3))$$
Podstawmy otrzymaną wartość do wzoru na pole powierzchni.
$$S=a*h=a*(a\nad\sqrt(3))=((a^2)\nad\sqrt(3))$$
Wyraźmy:
$$a=\sqrt(S*\sqrt(3))=\sqrt(16\over\sqrt(3)*\sqrt(3))=\sqrt(16)=4$$
Podstaw wartość a do wzoru na pole powierzchni i określ wartość wysokości:
$$S=a*h=(16\ponad\sqrt(3))$$
$$h=(S\over(a))=((16\over\sqrt(3))\over(4))=(4\over\sqrt(3))=2,31$$- uzyskana wartość Zaokrąglijmy do najbliższej setnej.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy bok trójkąta:
$$AB^2=AH^2+BH^2$$
$$AB=\sqrt(AH^2+BH^2)=\sqrt(4^2+2,31^2)=4,62$$
Podstawmy wartości do wzoru na obwód:
P=AB*2+AH*2=4,62*2+4*2=17,24
Czego się nauczyliśmy?
Szczegółowo zrozumieliśmy wszystkie zawiłości znajdowania obwodu trójkąta równoramiennego. Rozwiązaliśmy trzy problemy o różnym stopniu złożoności, pokazując na przykładzie, jak rozwiązuje się typowe problemy rozwiązywania trójkąta równoramiennego.
Testuj w temacie
Ocena artykułu
Średnia ocena: 4.4. Łączna liczba otrzymanych ocen: 83.
Obwód trójkąta, jak w przypadku każdej figury, nazywa się sumą długości wszystkich boków. Dość często wartość ta pomaga znaleźć obszar lub służy do obliczenia innych parametrów figury.
Wzór na obwód trójkąta wygląda następująco:
Przykład obliczenia obwodu trójkąta. Niech dany będzie trójkąt o bokach a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Podstaw dane do wzoru: cm
Wzór na obliczenie obwodu Trójkąt równoramienny będzie wyglądać tak:
Wzór na obliczenie obwodu trójkąt równoboczny:
Przykład obliczenia obwodu trójkąta równobocznego. Jeśli wszystkie boki figury są równe, można je po prostu pomnożyć przez trzy. Załóżmy, że mamy trójkąt foremny o boku 5 cm, w tym przypadku: cm
Ogólnie rzecz biorąc, po podaniu wszystkich boków znalezienie obwodu jest dość proste. W innych sytuacjach musisz znaleźć rozmiar brakującego boku. W trójkącie prostokątnym można znaleźć trzeci bok twierdzenie Pitagorasa. Na przykład, jeśli znane są długości nóg, przeciwprostokątną można znaleźć za pomocą wzoru: 
Rozważmy przykład obliczenia obwodu trójkąta równoramiennego, pod warunkiem, że znamy długość ramion w prawym trójkącie równoramiennym.
Biorąc pod uwagę trójkąt o nogach a =b =5 cm. Najpierw znajdźmy brakujący bok c. cm
Teraz obliczmy obwód: cm
Obwód prawego trójkąta równoramiennego będzie wynosił 17 cm.
W przypadku, gdy znana jest przeciwprostokątna i długość jednej nogi, brakującą można znaleźć korzystając ze wzoru: 
Jeśli w trójkącie prostokątnym znana jest przeciwprostokątna i jeden z kątów ostrych, brakujący bok znajduje się za pomocą wzoru.
Każdy trójkąt jest równy sumie długości jego trzech boków. Ogólny wzór na znalezienie obwodu trójkątów:
P = A + B + C
Gdzie P jest obwodem trójkąta, A, B I C- jego boki.
Można go znaleźć, dodając kolejno długości jego boków lub mnożąc długość boku przez 2 i dodając do iloczynu długość podstawy. Ogólny wzór na znalezienie obwodu trójkątów równoramiennych będzie wyglądał następująco:
P = 2A + B
Gdzie P jest obwodem trójkąta równoramiennego, A- dowolna ze stron, B- baza.
Można go znaleźć, dodając kolejno długości jego boków lub mnożąc długość dowolnego z jego boków przez 3. Ogólny wzór na znalezienie obwodu trójkąta równobocznego będzie wyglądać następująco:
P = 3A
Gdzie P jest obwodem trójkąta równobocznego, A- którykolwiek z jego boków.
Kwadrat
Aby zmierzyć obszar trójkąta, możesz porównać go z równoległobokiem. Rozważmy trójkąt ABC:
Jeśli weźmiesz równy mu trójkąt i ułożysz go tak, aby otrzymać równoległobok, otrzymasz równoległobok o tej samej wysokości i podstawie co dany trójkąt:
W tym przypadku wspólnym bokiem złożonych razem trójkątów jest przekątna utworzonego równoległoboku. Z właściwości równoległoboków wiadomo, że przekątna zawsze dzieli równoległobok na dwa równe trójkąty, co oznacza, że pole każdego trójkąta jest równe połowie pola równoległoboku.
Ponieważ powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi jego podstawy i wysokości, powierzchnia trójkąta będzie równa połowie tego iloczynu. Zatem dla Δ ABC pole będzie równe
Rozważmy teraz trójkąt prostokątny:
Dwa równe trójkąty prostokątne można złożyć w prostokąt, umieszczając ich przeciwprostokątną względem siebie. Ponieważ pole prostokąta jest równe iloczynowi sąsiednich boków, pole danego trójkąta wynosi:
Z tego możemy wywnioskować, że powierzchnia dowolnego trójkąta prostokątnego jest równa iloczynowi nóg podzielonemu przez 2.
Z tych przykładów możemy to wywnioskować Pole dowolnego trójkąta jest równe iloczynowi długości podstawy i wysokości podstawy podzielonej przez 2. Ogólny wzór na znalezienie obszaru trójkątów będzie wyglądał następująco:
| S = | Aha |
| 2 |
Gdzie S jest polem trójkąta, A- jego fundament, h- wysokość obniżona do podstawy A.