Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com
Podpisy slajdów:
KĄT DWUSTRONNY Nauczyciel matematyki GOU szkoła średnia nr 10 Eremenko M.A.
Główne cele lekcji: Wprowadzenie pojęcia kąta dwuściennego i jego kąta liniowego. Rozważ zadania związane z zastosowaniem tych pojęć.
Definicja: Kąt dwuścienny to figura utworzona przez dwie półpłaszczyzny o wspólnej linii prostej granicznej.
Wielkość kąta dwuściennego jest wielkością jego kąta liniowego. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - liniowy kąt dwuścienny ACD B
Udowodnijmy, że wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są sobie równe. Rozważmy dwa kąty liniowe AOB i A 1 OB 1. Promienie OA i OA 1 leżą na tej samej ścianie i są prostopadłe do OO 1, więc są współkierunkowe. Belki OB i OB 1 są również współkierowane. Dlatego ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (podobnie jak kąty o współkierunkowych bokach).
Przykłady kątów dwuściennych:
Definicja: Kąt pomiędzy dwiema przecinającymi się płaszczyznami jest najmniejszym z kątów dwuściennych utworzonych przez te płaszczyzny.
Zadanie 1: W kostce A...D 1 znajdź kąt pomiędzy płaszczyznami ABC i CDD 1. Odpowiedź: 90 o.
Zadanie 2: W sześcianie A...D 1 znajdź kąt pomiędzy płaszczyznami ABC i CDA 1. Odpowiedź: 45 o.
Zadanie 3: W sześcianie A...D 1 znajdź kąt pomiędzy płaszczyznami ABC i BDD 1. Odpowiedź: 90 o.
Zadanie 4: W sześcianie A...D 1 znajdź kąt pomiędzy płaszczyznami ACC 1 i BDD 1. Odpowiedź: 90 o.
Zadanie 5: W sześcianie A...D 1 znajdź kąt pomiędzy płaszczyznami BC 1 D i BA 1 D. Rozwiązanie: Niech O będzie środkiem B D. A 1 OC 1 – kąt liniowy kąta dwuściennego A 1 B D C 1.
Zadanie 6: W czworościanie DABC wszystkie krawędzie są równe, punkt M jest środkiem krawędzi AC. Udowodnić, że ∠ DMB jest kątem liniowym kąta dwuściennego BACD .
Rozwiązanie: Trójkąty ABC i ADC są regularne, zatem BM ⊥ AC i DM ⊥ AC i stąd ∠ DMB jest kątem liniowym kąta dwuściennego DACB.
Zadanie 7: Z wierzchołka B trójkąta ABC, którego bok AC leży w płaszczyźnie α, poprowadzono do tej płaszczyzny prostopadłą BB 1. Znajdź odległość punktu B od prostej AC i od płaszczyzny α, jeśli AB=2, ∠ВАС=150 0 i kąt dwuścienny ВАСВ 1 równy 45 0.
Rozwiązanie: ABC jest trójkątem rozwartym o kącie rozwartym A, zatem podstawa wysokości BC leży na przedłużeniu boku AC. VC – odległość od punktu B do AC. BB 1 – odległość punktu B od płaszczyzny α
2) Ponieważ AC ⊥BK, to AC⊥KB 1 (na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o trzech prostopadłych). Dlatego ∠VKV 1 jest kątem liniowym kąta dwuściennego BASV 1 i ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA· sin 30 0, VK =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =
Kąt dwuścienny. Liniowy kąt dwuścienny. Kąt dwuścienny to figura utworzona przez dwie półpłaszczyzny, które nie należą do tej samej płaszczyzny i mają wspólną granicę - linię prostą a. Półpłaszczyzny tworzące kąt dwuścienny nazywane są jego ścianami, a wspólna granica tych półpłaszczyzn nazywana jest krawędzią kąta dwuściennego. Kąt liniowy kąta dwuściennego to kąt, którego boki są promieniami, wzdłuż których ściany kąta dwuściennego przecinają się z płaszczyzną prostopadłą do krawędzi kąta dwuściennego. Każdy kąt dwuścienny ma dowolną liczbę kątów liniowych: przez każdy punkt krawędzi można poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do tej krawędzi; Promienie, wzdłuż których ta płaszczyzna przecina ściany kąta dwuściennego, tworzą kąty liniowe.
Wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są sobie równe. Udowodnijmy, że jeśli kąty dwuścienne utworzone przez płaszczyznę podstawy ostrosłupa CABC i płaszczyzny jego ścian bocznych są równe, to podstawa prostopadłej wyprowadzonej z wierzchołka K jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
Dowód. Przede wszystkim skonstruujmy kąty liniowe z równych kątów dwuściennych. Z definicji płaszczyzna kąta liniowego musi być prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego. Dlatego krawędź kąta dwuściennego musi być prostopadła do boków kąta liniowego. Jeżeli KO jest prostopadłe do płaszczyzny bazowej, to możemy narysować OR prostopadłą AC, OR prostopadłą SV, OQ prostopadłą AB, a następnie połączyć punkty P, Q, R Z punktem K. W ten sposób skonstruujemy rzut ukośnego RK, QK , RK tak, aby krawędzie AC, NE, AB były prostopadłe do tych rzutów. W związku z tym krawędzie te są prostopadłe do samych nachylonych. I dlatego płaszczyzny trójkątów ROK, QOK, ROK są prostopadłe do odpowiednich krawędzi kąta dwuściennego i tworzą te równe kąty liniowe, które są wymienione w warunku. Trójkąty prostokątne ROK, QOK, ROK są przystające (ponieważ mają wspólną nogę OK i kąty przeciwne do tej nogi są równe). Zatem OR = OR = OQ. Jeśli narysujemy okrąg o środku O i promieniu OP, to boki trójkąta ABC są prostopadłe do promieni OP, OR i OQ, a zatem są styczne do tego okręgu.
Prostopadłość płaszczyzn. Płaszczyzny alfa i beta nazywane są prostopadłymi, jeśli kąt liniowy jednego z kątów dwuściennych utworzonych na ich przecięciu jest równy 90. Znaki prostopadłości dwóch płaszczyzn Jeśli jedna z dwóch płaszczyzn przechodzi przez linię prostopadłą do drugiej płaszczyzny, wówczas te płaszczyzny są prostopadłe.
Rysunek przedstawia równoległościan prostokątny. Jego podstawą są prostokąty ABCD i A1B1C1D1. A żebra boczne AA1 BB1, CC1, DD1 są prostopadłe do podstaw. Wynika z tego, że AA1 jest prostopadła do AB, czyli ściana boczna jest prostokątem. W ten sposób możemy uzasadnić właściwości prostokątnego równoległościanu: W prostokątnym równoległościanie wszystkie sześć ścian jest prostokątami. W prostopadłościanie prostokątnym wszystkie sześć ścian jest prostokątami. Wszystkie kąty dwuścienne równoległościanu prostokątnego są kątami prostymi. Wszystkie kąty dwuścienne równoległościanu prostokątnego są kątami prostymi.
Twierdzenie Kwadrat przekątnej równoległościanu prostokątnego jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów. Wróćmy do rysunku i udowodnijmy, że AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Ponieważ krawędź CC1 jest prostopadła do podstawy ABCD, kąt ACC1 jest prosty. Z trójkąta prostokątnego ACC1, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy AC12 = AC2 + CC12. Ale AC jest przekątną prostokąta ABCD, więc AC2 = AB2 + AD2. Ponadto CC1 = AA1. Zatem AC12= AB2+AD2+AA12 Twierdzenie zostało udowodnione.
Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
Ta lekcja jest przeznaczona do samodzielnego przestudiowania tematu „Kąt dwuścienny”. Podczas tej lekcji uczniowie zapoznają się z jednym z najważniejszych kształtów geometrycznych, czyli kątem dwuściennym. Również na lekcji dowiemy się, jak określić kąt liniowy omawianej figury geometrycznej i jaki jest kąt dwuścienny u podstawy figury.
Powtórzmy, czym jest kąt na płaszczyźnie i jak się go mierzy.
Ryż. 1. Samolot
Rozważmy płaszczyznę α (ryc. 1). Z punktu O emanują dwa promienie - OB I OA.
Definicja. Figura utworzona przez dwa promienie wychodzące z jednego punktu nazywa się kątem.
Kąt mierzony jest w stopniach i radianach.
Przypomnijmy sobie, czym jest radian.
Ryż. 2. Radiany
Jeśli mamy kąt środkowy, którego długość łuku jest równa promieniowi, wówczas taki kąt środkowy nazywa się kątem 1 radiana. ,∠ AOB= 1 rad (ryc. 2).
Zależność między radianami i stopniami.
zadowolony.
Rozumiemy, cieszę się. (). Następnie, 
Definicja. Kąt dwuścienny nazywa się figurę utworzoną z linii prostej A i dwie półpłaszczyzny ze wspólną granicą A, nie należące do tej samej płaszczyzny.
Ryż. 3. Półpłaszczyzny
Rozważmy dwie półpłaszczyzny α i β (ryc. 3). Ich wspólną granicą jest A. Liczba ta nazywana jest kątem dwuściennym.
Terminologia
Półpłaszczyzny α i β są ścianami kąta dwuściennego.
Prosty A jest krawędzią kąta dwuściennego.
Na wspólnej krawędzi A kąt dwuścienny, wybierz dowolny punkt O(ryc. 4). W półpłaszczyźnie α od punktu O przywrócić prostopadłość OA do linii prostej A. Z tego samego punktu O w drugiej półpłaszczyźnie β konstruujemy prostopadłą OB do krawędzi A. Mam kąt AOB, który nazywany jest kątem liniowym kąta dwuściennego.
Ryż. 4. Pomiar kąta dwuściennego
Udowodnimy równość wszystkich kątów liniowych dla danego kąta dwuściennego.
Miejmy kąt dwuścienny (ryc. 5). Wybierzmy punkt O i okres O 1 na linii prostej A. Skonstruujmy kąt liniowy odpowiadający punktowi O, czyli rysujemy dwie prostopadłe OA I OB odpowiednio w płaszczyznach α i β do krawędzi A. Dostajemy kąt AOB- kąt liniowy kąta dwuściennego.
Ryż. 5. Ilustracja dowodu
Z punktu O 1 narysujmy dwie prostopadłe OA 1 I PO 1 do krawędzi A odpowiednio w płaszczyznach α i β i otrzymujemy drugi kąt liniowy A 1 O 1 B 1.
Promienie O 1 A 1 I OA współkierunkowe, ponieważ leżą w tej samej półpłaszczyźnie i są do siebie równoległe jak dwie prostopadłe do tej samej linii A.
Podobnie promienie Około 1 w 1 I OB są współkierowane, co oznacza ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 jako kąty o bokach współkierunkowych, co należało udowodnić.
Płaszczyzna kąta liniowego jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego.
Udowodnić: A ⊥ AOB.
Ryż. 6. Ilustracja dowodu
Dowód:
OA ⊥ A przez budowę, OB ⊥ A według konstrukcji (ryc. 6).
Uważamy, że jest to linia A prostopadle do dwóch przecinających się linii OA I OB wyjść z samolotu AOB, co oznacza, że jest prosty A prostopadle do płaszczyzny OAV, co należało udowodnić.
Kąt dwuścienny mierzy się za pomocą kąta liniowego. Oznacza to, że tyle stopni radianów zawiera się w kącie liniowym, tyle samo stopni radianów zawiera się w jego kącie dwuściennym. Zgodnie z tym rozróżnia się następujące typy kątów dwuściennych.
Ostry (ryc. 6)
Kąt dwuścienny jest ostry, jeśli jego kąt liniowy jest ostry, tj. .
Prosto (ryc. 7)
Kąt dwuścienny jest prosty, gdy jego kąt liniowy wynosi 90° - Rozwarty (ryc. 8)
Kąt dwuścienny jest rozwarty, gdy jego kąt liniowy jest rozwarty, tj. 
.
Ryż. 7. Kąt prosty
Ryż. 8. Kąt rozwarty
Przykłady konstruowania kątów liniowych w figurach rzeczywistych
ABCD- czworościan.
1. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego z krawędzią AB.
Ryż. 9. Ilustracja problemu
Budowa:
Mówimy o kącie dwuściennym utworzonym przez krawędź AB i krawędzie ABD I ABC(ryc. 9).
Zróbmy bezpośredni DN prostopadle do płaszczyzny ABC, N- podstawa prostopadłej. Narysujmy pochylenie DM prostopadle do linii prostej AB,M- pochylona podstawa. Z twierdzenia o trzech prostopadłych wnioskujemy, że rzut jest ukośny NM również prostopadle do linii AB.
To znaczy z punktu M przywracane są dwie prostopadłe do krawędzi AB z dwóch stron ABD I ABC. Mamy kąt liniowy DMN.
Zauważ, że AB, krawędź kąta dwuściennego, prostopadła do płaszczyzny kąta liniowego, tj. płaszczyzny DMN. Problem jest rozwiązany.
Komentarz. Kąt dwuścienny można oznaczyć w następujący sposób: DABC, Gdzie
AB- krawędź i punkty D I Z leżą po różnych stronach kąta.
2. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego z krawędzią AC.
Narysujmy prostopadłą DN do samolotu ABC i skłonny DN prostopadle do linii prostej AC. Stwierdzamy to korzystając z twierdzenia o trzech prostopadłościach N.N- projekcja ukośna DN do samolotu ABC, również prostopadle do linii AC.DNH- kąt liniowy kąta dwuściennego z krawędzią AC.
W czworościanie DABC wszystkie krawędzie są równe. Kropka M- środek żebra AC. Udowodnić, że kąt DSN- liniowy kąt dwuścienny TYD, czyli kąt dwuścienny z krawędzią AC. Jedną z jego twarzy jest ACD, drugi - ŚREDNICA(ryc. 10).
Ryż. 10. Ilustracja problemu
Rozwiązanie:
Trójkąt ADC- równoboczny, DM- mediana, a co za tym idzie wysokość. Oznacza, DM ⊥ AC. Podobnie trójkąt AWC- równoboczny, WM- mediana, a co za tym idzie wysokość. Oznacza, maszyna wirtualna ⊥ AC.
Zatem z punktu Mżeberka AC kąt dwuścienny przywrócił dwie prostopadłe DM I maszyna wirtualna do tej krawędzi w ścianach kąta dwuściennego.
Zatem ∠ DMW jest kątem liniowym kąta dwuściennego, co należało udowodnić.
Zatem zdefiniowaliśmy kąt dwuścienny, kąt liniowy kąta dwuściennego.
Na następnej lekcji przyjrzymy się prostopadłości prostych i płaszczyzn, następnie dowiemy się, czym jest kąt dwuścienny u podstawy figur.
Lista literatury na temat „Kąt dwuścienny”, „Kąt dwuścienny u podstawy figur geometrycznych”
- Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego / Sharygin I. F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: chory.
- Geometria. klasa 10: podręcznik dla szkół ogólnokształcących z pogłębioną i specjalistyczną nauką matematyki /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - wydanie 6, stereotyp. - M.: Drop, 2008. - 233 s.: il.
- Yaklass.ru ().
- E-science.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
- Tutoronline.ru ().
Praca domowa na temat „Kąt dwuścienny”, określająca kąt dwuścienny u podstawy figur
Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalistyczny) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i rozszerzone - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il.
Zadania 2, 3 s. 67.
Co to jest liniowy kąt dwuścienny? Jak to zbudować?
ABCD- czworościan. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego z krawędzią:
A) WD B) DZ.
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - sześcian Skonstruuj kąt liniowy z kąta dwuściennego 1 ABC z żebrem AB. Określ miarę jego stopnia.
TRANSKRYPT TEKSTOWY LEKCJI:
W planimetrii głównymi obiektami są linie, odcinki, półproste i punkty. Promienie wychodzące z jednego punktu tworzą jeden ze swoich geometrycznych kształtów - kąt.
Wiemy, że kąt liniowy mierzy się w stopniach i radianach.
W stereometrii do obiektów dodaje się płaszczyznę. Figura utworzona przez linię prostą a i dwie półpłaszczyzny o wspólnej granicy a, które w geometrii nie należą do tej samej płaszczyzny, nazywa się kątem dwuściennym. Półpłaszczyzny są ścianami kąta dwuściennego. Linia prosta a jest krawędzią kąta dwuściennego.
Kąt dwuścienny, podobnie jak kąt liniowy, można nazwać, zmierzyć i skonstruować. Tego właśnie musimy się dowiedzieć na tej lekcji.
Znajdźmy kąt dwuścienny w modelu czworościanu ABCD.
Kąt dwuścienny o krawędzi AB nazywa się CABD, gdzie punkty C i D należą do różnych ścian kąta, a krawędź AB nazywa się środkiem
Wokół nas znajduje się całkiem sporo obiektów z elementami w postaci kąta dwuściennego.
W wielu miastach w parkach instalowane są specjalne ławki do pojednania. Ławka wykonana jest w formie dwóch nachylonych płaszczyzn zbiegających się w kierunku środka.
Przy budowie domów często stosuje się tzw. dach dwuspadowy. W tym domu dach wykonany jest w formie dwuściennego kąta 90 stopni.
Kąt dwuścienny jest również mierzony w stopniach lub radianach, ale jak go zmierzyć.
Ciekawostką jest fakt, że dachy domów opierają się na krokwiach. A poszycie krokwi tworzy dwie połacie dachowe pod danym kątem.
Przenieśmy obraz na rysunek. Na rysunku, aby znaleźć kąt dwuścienny, na jego krawędzi zaznaczamy punkt B. Z tego punktu poprowadzono dwa promienie BA i BC prostopadle do krawędzi kąta. Kąt ABC utworzony przez te promienie nazywa się liniowym kątem dwuściennym.
Stopień miary kąta dwuściennego jest równy stopniowi jego kąta liniowego.
Zmierzmy kąt AOB.
Miara stopnia danego kąta dwuściennego wynosi sześćdziesiąt stopni.
Dla kąta dwuściennego można narysować nieskończoną liczbę kątów liniowych; ważne jest, aby wiedzieć, że wszystkie są równe.
Rozważmy dwa kąty liniowe AOB i A1O1B1. Promienie OA i O1A1 leżą na tej samej ścianie i są prostopadłe do prostej OO1, więc są współkierunkowe. Belki OB i O1B1 są również współkierowane. Dlatego kąt AOB jest równy kątowi A1O1B1 jako kąty o bokach współkierunkowych.
Zatem kąt dwuścienny charakteryzuje się kątem liniowym, a kąty liniowe są ostre, rozwarte i proste. Rozważmy modele kątów dwuściennych.
Kąt rozwarty występuje wtedy, gdy jego kąt liniowy wynosi od 90 do 180 stopni.
Kąt prosty, jeśli jego kąt liniowy wynosi 90 stopni.
Kąt ostry, jeśli jego kąt liniowy wynosi od 0 do 90 stopni.
Udowodnimy jedną z ważnych właściwości kąta liniowego.
Płaszczyzna kąta liniowego jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego.
Niech kąt AOB będzie kątem liniowym danego kąta dwuściennego. Z konstrukcji promienie AO i OB są prostopadłe do prostej a.
Płaszczyzna AOB przechodzi przez dwie przecinające się proste AO i OB zgodnie z twierdzeniem: Płaszczyzna przechodzi przez dwie przecinające się proste i tylko jedną.
Linia a jest prostopadła do dwóch przecinających się linii leżących w tej płaszczyźnie, co oznacza, że biorąc pod uwagę prostopadłość tej linii i płaszczyzny, prosta a jest prostopadła do płaszczyzny AOB.
Aby rozwiązać problemy, ważna jest umiejętność skonstruowania kąta liniowego zadanego kąta dwuściennego. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego z krawędzią AB dla czworościanu ABCD.
Mówimy o kącie dwuściennym, który tworzą najpierw krawędź AB, jedna ściana ABD, a druga ściana ABC.
Oto jeden ze sposobów jego zbudowania.
Narysujmy prostopadłą z punktu D do płaszczyzny ABC. Zaznaczmy punkt M jako podstawę prostopadłej. Przypomnijmy, że w czworościanie podstawa prostopadłej pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego u podstawy czworościanu.
Narysujmy linię ukośną od punktu D prostopadle do krawędzi AB, zaznaczmy punkt N jako podstawę linii ukośnej.
W trójkącie DMN odcinek NM będzie rzutem nachylonej DN na płaszczyznę ABC. Zgodnie z twierdzeniem o trzech prostopadłych, krawędź AB będzie prostopadła do rzutu NM.
Oznacza to, że boki kąta DNM są prostopadłe do krawędzi AB, co oznacza, że skonstruowany kąt DNM jest pożądanym kątem liniowym.
Rozważmy przykład rozwiązania problemu obliczania kąta dwuściennego.
Trójkąt równoramienny ABC i trójkąt foremny ADB nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Odcinek CD jest prostopadły do płaszczyzny ADB. Znajdź kąt dwuścienny DABC, jeśli AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.
Kąt dwuścienny DABC jest równy jego kątowi liniowemu. Zbudujmy ten kąt.
Narysujmy pochyłą CM prostopadle do krawędzi AB, ponieważ trójkąt ACB jest równoramienny, wówczas punkt M będzie pokrywał się ze środkiem krawędzi AB.
Prosta CD jest prostopadła do płaszczyzny ADB, czyli jest prostopadła do prostej DM leżącej w tej płaszczyźnie. Natomiast odcinek MD jest rzutem nachylonego CM na płaszczyznę ADV.
Prosta AB jest konstrukcyjnie prostopadła do nachylonej CM, co oznacza, zgodnie z twierdzeniem o trzech prostopadłych, że jest prostopadła do rzutu MD.
Zatem do krawędzi AB znajdują się dwie prostopadłe CM i DM. Oznacza to, że tworzą kąt liniowy CMD kąta dwuściennego DABC. I wszystko, co musimy zrobić, to znaleźć to z trójkąta prostokątnego CDM.
Zatem odcinek SM to mediana i wysokość trójkąta równoramiennego ACB, to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa ramię SM wynosi 4 cm.
Z trójkąta prostokątnego DMB, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, noga DM jest równa dwóm pierwiastkom z trzech.
Cosinus kąta w trójkącie prostokątnym jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi MD do przeciwprostokątnej CM i jest równy trzem pierwiastkom z trzy razy dwa. Oznacza to, że kąt CMD wynosi 30 stopni.