Hvert skolebarn vet at hypotenusen alltid er kvadratet lik summen ben, som hver er firkantet. Dette utsagnet kalles Pythagoras teorem. Det er en av de mest kjente teoremene innen trigonometri og matematikk generelt. La oss se nærmere på det.
Konseptet med en rettvinklet trekant
Før vi går videre til å vurdere Pythagoras teorem, der kvadratet av hypotenusen er lik summen av bena som er kvadratisk, bør vi vurdere konseptet og egenskapene til en rettvinklet trekant som teoremet er sant for.
Trekant - flat figur har tre vinkler og tre sider. En rettvinklet trekant, som navnet antyder, har én rett vinkel, det vil si at denne vinkelen er lik 90 o.
Fra generelle egenskaper for alle trekanter er det kjent at summen av alle tre vinklene i denne figuren er 180 o, noe som betyr at for en rettvinklet trekant er summen av to vinkler som ikke er rette vinkler 180 o - 90 o = 90 o. Siste faktum betyr at enhver vinkel inn høyre trekant, som ikke er direkte, vil alltid være mindre enn 90 o.
Siden som ligger mot rett vinkel, kalles vanligvis hypotenusen. De to andre sidene er trekantens ben, de kan være like med hverandre, eller de kan være forskjellige. Fra trigonometri vet vi at jo større vinkel en side av en trekant ligger mot, jo større er lengden på den siden. Dette betyr at i en rettvinklet trekant vil hypotenusen (ligger motsatt vinkelen på 90 o) alltid være større enn noen av bena (ligger motsatt av vinklene)< 90 o).
Matematisk notasjon av Pythagoras teorem
Denne teoremet sier at kvadratet på hypotenusen er lik summen av bena, som hver tidligere er kvadratisk. For å skrive denne formuleringen matematisk, tenk på en rettvinklet trekant der sidene a, b og c er henholdsvis de to bena og hypotenusen. I dette tilfellet kan teoremet, som er formulert som kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena, representeres med følgende formel: c 2 = a 2 + b 2. Herfra kan andre formler som er viktige for praksis fås: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) og c = √(a 2 + b 2).
Merk at i tilfelle av en rektangulær likesidet trekant, det vil si a = b, formulering: kvadratet på hypotenusen er lik summen av benene, som hver er kvadratisk, matematisk skrevet som følger: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, som innebærer likhet: c = a√2.
Historisk referanse
Pythagoras teorem, som sier at kvadratet på hypotenusen er lik summen av bena, som hver er kvadratisk, var kjent lenge før den berømte greske filosofen ga oppmerksomhet til det. Mange papyrus Det gamle Egypt, samt leirtavler av babylonerne bekrefter at disse folkene brukte den bemerkede egenskapen til sidene i en rettvinklet trekant. For eksempel en av de første egyptiske pyramider, Khafre-pyramiden, hvis konstruksjon dateres tilbake til det 26. århundre f.Kr. (2000 år før Pythagoras liv), ble bygget basert på kunnskap om sideforholdet i en rettvinklet trekant 3x4x5.
Hvorfor bærer teoremet nå navnet på grekeren? Svaret er enkelt: Pythagoras er den første som matematisk beviser denne teoremet. I å overleve babylonsk og egyptisk skriftlige kilder Den snakker bare om bruken, men gir ikke noe matematisk bevis.
Det antas at Pythagoras beviste det aktuelle teoremet ved å bruke egenskapene lignende trekanter, som han fikk ved å tegne høyden i en rettvinklet trekant fra en vinkel på 90 o til hypotenusen.
Et eksempel på bruk av Pythagoras teorem
La oss vurdere enkel oppgave: det er nødvendig å bestemme lengden på den skrånende trappen L, hvis det er kjent at den har en høyde H = 3 meter, og avstanden fra veggen som trappen hviler mot til foten er P = 2,5 meter.
I i dette tilfellet H og P er bena, og L er hypotenusen. Siden lengden på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena, får vi: L 2 = H 2 + P 2, hvorfra L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2 ) = 3.905 meter eller 3 m og 90, 5 cm.
En ting du kan være hundre prosent sikker på er at når du blir spurt hvorfor lik kvadrat hypotenusen, vil enhver voksen dristig svare: "Summen av kvadratene på bena." Denne teoremet er godt forankret i hodet til alle. utdannet person, men alt du trenger å gjøre er å be noen om å bevise det, og det kan oppstå vanskeligheter. Så la oss huske og vurdere forskjellige måter bevis på Pythagoras teorem.
Kort biografi
Pythagoras teorem er kjent for nesten alle, men av en eller annen grunn er ikke biografien til personen som brakte den til verden så populær. Dette kan fikses. Derfor, før du utforsker de forskjellige måtene å bevise Pythagoras' teorem, må du kort bli kjent med hans personlighet.
Pythagoras - filosof, matematiker, tenker opprinnelig fra I dag er det veldig vanskelig å skille biografien hans fra legendene som har utviklet seg til minne om denne store mannen. Men som følger av verkene til hans tilhengere, ble Pythagoras fra Samos født på øya Samos. Faren hans var en vanlig steinskjærer, men moren kom fra en adelig familie.
Etter legenden å dømme ble Pythagoras' fødsel spådd av en kvinne ved navn Pythia, til hvis ære gutten ble navngitt. I følge hennes spådom skulle den fødte gutten bringe mye nytte og godt til menneskeheten. Det er akkurat det han gjorde.
Teoremets fødsel
I sin ungdom flyttet Pythagoras til Egypt for å møte kjente egyptiske vismenn der. Etter å ha møtt dem fikk han lov til å studere, hvor han lærte alle de store prestasjonene til egyptisk filosofi, matematikk og medisin.
Det var sannsynligvis i Egypt at Pythagoras ble inspirert av pyramidenes majestet og skjønnhet og skapte sine egne storslått teori. Dette kan sjokkere leserne, men moderne historikere De mener at Pythagoras ikke beviste teorien sin. Men han ga kun kunnskapen sin videre til sine tilhengere, som senere fullførte alle nødvendige matematiske beregninger.
Uansett er det i dag ikke én metode for å bevise dette teoremet kjent, men flere på en gang. I dag kan vi bare gjette nøyaktig hvordan de gamle grekerne utførte sine beregninger, så her skal vi se på forskjellige måter å bevise Pythagoras teoremet på.
Pythagoras teorem
Før du starter noen beregninger, må du finne ut hvilken teori du vil bevise. Pythagoras teorem går slik: "I en trekant der en av vinklene er 90°, er summen av kvadratene på bena lik kvadratet på hypotenusen."
Det er totalt 15 forskjellige måter å bevise Pythagoras setning på. Dette er et ganske stort antall, så vi vil ta hensyn til de mest populære av dem.
Metode én
Først, la oss definere hva vi har fått. Disse dataene vil også gjelde for andre metoder for å bevise Pythagoras teorem, så det er verdt å umiddelbart huske alle tilgjengelige notasjoner.
Anta at vi får en rettvinklet trekant med ben a, b og en hypotenus lik c. Den første bevismetoden er basert på det faktum at du må tegne en firkant fra en rettvinklet trekant.
For å gjøre dette må du legge til et segment lik ben b til benlengde a, og omvendt. Dette burde bli to like sider torget. Det gjenstår bare å tegne to parallelle linjer, og firkanten er klar.
Inne i den resulterende figuren må du tegne en annen firkant med en side lik hypotenusen den opprinnelige trekanten. For å gjøre dette, fra hjørnene ас og св må du tegne to parallelt med segmentet lik Dermed får vi tre sider av kvadratet, hvorav den ene er hypotenusen til den opprinnelige rettvinklet. Det gjenstår bare å tegne det fjerde segmentet.
Basert på den resulterende figuren kan vi konkludere med at arealet av den ytre firkanten er (a + b) 2. Hvis du ser på innsiden av figuren, kan du se at det i tillegg til den indre firkanten er fire rette trekanter. Arealet til hver er 0,5av.
Derfor er arealet lik: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2
Derfor (a+c) 2 =2ab+c 2
Og derfor er c 2 =a 2 + b 2
Teoremet er bevist.
Metode to: lignende trekanter
Denne formelen for å bevise Pythagoras teorem ble utledet basert på en uttalelse fra delen av geometri om lignende trekanter. Den sier at benet til en rettvinklet trekant er gjennomsnittet proporsjonalt med hypotenusen og segmentet av hypotenusen som kommer fra toppunktet til 90°-vinkelen.
De første dataene forblir de samme, så la oss begynne med beviset umiddelbart. La oss tegne et segment CD vinkelrett på siden AB. Basert på utsagnet ovenfor, er sidene til trekantene like:
AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.
For å svare på spørsmålet om hvordan man kan bevise Pythagoras teorem, må beviset fullføres ved å kvadrere begge ulikhetene.
AC 2 = AB * AD og CB 2 = AB * DV
Nå må vi legge sammen de resulterende ulikhetene.
AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), hvor AD + DV = AB
Det viser seg at:
AC 2 + CB 2 =AB*AB
Og derfor:
AC 2 + CB 2 = AB 2
Beviset for Pythagoras teorem og ulike metoder for å løse det krever en allsidig tilnærming til dette problemet. Imidlertid er dette alternativet et av de enkleste.
En annen beregningsmetode
Beskrivelser av ulike måter å bevise Pythagoras teoremet på betyr kanskje ikke noe før du begynner å praktisere det selv. Mange teknikker involverer ikke bare matematiske beregninger, men også konstruksjon av nye figurer fra den opprinnelige trekanten.
I dette tilfellet er det nødvendig å fullføre en annen rettvinklet trekant VSD fra siden BC. Dermed er det nå to trekanter med et felles ben BC.
Å vite at området lignende tall har et forhold som kvadratene av deres lignende lineære dimensjoner, da:
S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs *(fra 2 - til 2) = a 2 *(S avd -S vsd)
fra 2 - til 2 =a 2
c 2 =a 2 + b 2
Siden av de ulike metodene for å bevise Pythagoras teorem for klasse 8, er dette alternativet neppe egnet, kan du bruke følgende metode.
Den enkleste måten å bevise Pythagoras teorem. Anmeldelser
I følge historikere ble denne metoden først brukt for å bevise teoremet tilbake antikkens Hellas. Det er det enkleste, siden det ikke krever absolutt noen beregninger. Hvis du tegner bildet riktig, vil beviset på påstanden om at a 2 + b 2 = c 2 være godt synlig.
Vilkår for denne metoden vil være litt forskjellig fra den forrige. For å bevise teoremet, anta at en rektangulær trekant ABC- likebent.
Vi tar hypotenusen AC som siden av kvadratet og tegner dens tre sider. I tillegg er det nødvendig å tegne to diagonale linjer i den resulterende firkanten. Slik at inni den får du fire likebenede trekanter.
Du må også tegne en firkant til bena AB og CB og tegne en diagonal rett linje i hver av dem. Vi tegner den første linjen fra toppunktet A, den andre fra C.
Nå må du se nøye på den resulterende tegningen. Siden det på hypotenusen AC er fire trekanter lik den opprinnelige, og på sidene er det to, indikerer dette sannheten til denne teoremet.
Forresten, takket være denne metoden for å bevise Pythagoras teorem, kjent setning: "Pythagoreanbukser er like i alle retninger."
Bevis av J. Garfield
James Garfield er den tjuende presidenten i USA. I tillegg til å sette sitt preg på historien som hersker over USA, var han også en begavet autodidakt.
I begynnelsen av karrieren var han fast lærer i offentlig skole, men ble snart direktør for en av de høyeste utdanningsinstitusjoner. Ønsket om selvutvikling tillot ham å tilby ny teori bevis på Pythagoras teorem. Teoremet og et eksempel på løsningen er som følger.
Først må du tegne to rette trekanter på et stykke papir slik at benet til en av dem er en fortsettelse av den andre. Toppene til disse trekantene må kobles sammen for til slutt å danne en trapes.
Som du vet, er arealet til en trapes lik produktet av halvparten av summen av basene og høyden.
S=a+b/2 * (a+b)
Hvis vi ser på den resulterende trapesen som en figur som består av tre trekanter, kan området bli funnet som følger:
S=av/2 *2 + s 2/2
Nå må vi utjevne de to opprinnelige uttrykkene
2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2
c 2 =a 2 + b 2
Mer enn ett bind kan skrives om Pythagoras teorem og metoder for å bevise det. læremiddel. Men er det noen vits i det når denne kunnskapen ikke kan brukes i praksis?
Praktisk anvendelse av Pythagoras teorem
Dessverre i moderne skoleprogrammer Denne teoremet er kun ment å brukes i geometriske problemer. Nyutdannede vil snart forlate skolen uten å vite hvordan de kan bruke sine kunnskaper og ferdigheter i praksis.
Bruk faktisk Pythagoras teorem i din Hverdagen alle kan. Og ikke bare i profesjonell aktivitet, men også i vanlige husarbeid. La oss vurdere flere tilfeller når Pythagoras teorem og metoder for å bevise det kan være ekstremt nødvendig.
Forholdet mellom teoremet og astronomi
Det ser ut til hvordan stjerner og trekanter på papir kan kobles sammen. Faktisk er astronomi det vitenskapelig felt, som gjør utstrakt bruk av Pythagoras teorem.
Tenk for eksempel på bevegelsen lysstråle i verdensrommet. Det er kjent at lys beveger seg i begge retninger fra samme hastighet. La oss kalle banen AB som lysstrålen beveger seg langs l. Og la oss kalle halve tiden det tar lys å komme fra punkt A til punkt B t. Og hastigheten på strålen - c. Det viser seg at: c*t=l
Hvis du ser på den samme strålen fra et annet plan, for eksempel fra en romskip som beveger seg med hastighet v, vil hastigheten endres når du observerer kropper på denne måten. I dette tilfellet vil selv stasjonære elementer begynne å bevege seg med hastighet v i motsatt retning.
La oss si at tegneserien seiler til høyre. Da vil punktene A og B, som strålen suser mellom, begynne å bevege seg mot venstre. Dessuten, når strålen beveger seg fra punkt A til punkt B, har punkt A tid til å bevege seg, og følgelig vil lyset allerede ankomme kl. nytt punkt C. For å finne halvparten av avstanden som punktet A har beveget seg med, må du multiplisere hastigheten til foringen med halvparten av bjelkens reisetid (t").
Og for å finne ut hvor langt en lysstråle kan bevege seg i løpet av denne tiden, må du merke halve banen med en ny bokstav s og få følgende uttrykk:
Hvis vi forestiller oss at lyspunktene C og B, samt spaceliner, er toppunktene likebent trekant, så vil segmentet fra punkt A til liner dele det i to rette trekanter. Derfor, takket være Pythagoras teorem, kan du finne avstanden som en lysstråle kan reise.
Dette eksemplet er selvfølgelig ikke det mest vellykkede, siden bare noen få vil være heldige nok til å prøve det ut i praksis. La oss derfor vurdere mer verdslige anvendelser av denne teoremet.
Mobil signaloverføringsrekkevidde
Det moderne livet kan ikke lenger forestilles uten at det finnes smarttelefoner. Men hvor mye ville de vært hvis de ikke kunne koble abonnenter via mobilkommunikasjon?!
Kvaliteten på mobilkommunikasjon avhenger direkte av høyden som mobiloperatørens antenne er plassert på. For å beregne hvor langt fra et mobiltårn en telefon kan motta et signal, kan du bruke Pythagoras teorem.
La oss si at du må finne den omtrentlige høyden til et stasjonært tårn slik at det kan distribuere et signal innenfor en radius på 200 kilometer.
AB (tårnhøyde) = x;
BC (signaloverføringsradius) = 200 km;
OS (radius kloden) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Ved å bruke Pythagoras teorem finner vi ut det minimumshøyde tårnet skal være 2,3 kilometer langt.
Pythagoras teorem i hverdagen
Merkelig nok kan Pythagoras teorem være nyttig selv i hverdagslige saker, som for eksempel å bestemme høyden på en garderobe. Ved første øyekast er det ikke nødvendig å bruke slike komplekse beregninger, fordi du ganske enkelt kan ta mål ved hjelp av et målebånd. Men mange lurer på hvorfor det oppstår visse problemer under monteringsprosessen hvis alle målinger ble tatt mer enn nøyaktig.
Faktum er at garderoben er montert i horisontal stilling og først da hevet og installert mot veggen. Derfor, under prosessen med å løfte strukturen, må siden av skapet bevege seg fritt både langs høyden og diagonalt i rommet.
La oss anta at det er en garderobe med en dybde på 800 mm. Avstand fra gulv til tak - 2600 mm. En erfaren møbelmaker vil si at høyden på skapet skal være 126 mm mindre enn høyden på rommet. Men hvorfor akkurat 126 mm? La oss se på et eksempel.
Med ideelle skapdimensjoner, la oss sjekke driften av Pythagoras teoremet:
AC =√AB 2 +√BC 2
AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - alt passer.
La oss si at høyden på skapet ikke er 2474 mm, men 2505 mm. Deretter:
AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.
Derfor er dette skapet ikke egnet for montering i dette rommet. Fordi å løfte den i vertikal stilling kan forårsake skade på kroppen.
Kanskje, etter å ha vurdert forskjellige måter å bevise Pythagoras teorem av forskjellige forskere, kan vi konkludere med at det er mer enn sant. Nå kan du bruke informasjonen du mottar i ditt daglige liv og være helt trygg på at alle beregninger ikke bare vil være nyttige, men også riktige.
Pythagoras teorem: Summen av arealer av firkanter som hviler på bena ( en Og b), lik arealet av kvadratet bygget på hypotenusen ( c).
Geometrisk formulering:
Teoremet ble opprinnelig formulert som følger:
Algebraisk formulering:
Det vil si å angi lengden på trekantens hypotenusa med c, og lengdene på beina gjennom en Og b :
en 2 + b 2 = c 2Begge formuleringene av teoremet er likeverdige, men den andre formuleringen er mer elementær den krever ikke arealbegrepet. Det vil si at det andre utsagnet kan verifiseres uten å vite noe om arealet og ved å måle bare lengdene på sidene i en rettvinklet trekant.
Omvendt Pythagoras teorem:
Bevis
På dette øyeblikket V vitenskapelig litteratur 367 bevis på denne teoremet er registrert. Sannsynligvis er Pythagoras teorem den eneste teoremet med et så imponerende antall bevis. Et slikt mangfold kan bare forklares med den grunnleggende betydningen av teoremet for geometri.
Selvfølgelig kan alle konseptuelt deles inn i et lite antall klasser. De mest kjente av dem: bevis etter områdemetoden, aksiomatiske og eksotiske bevis (for eksempel ved å bruke differensiallikninger).
Gjennom lignende trekanter
Følgende bevis for den algebraiske formuleringen er det enkleste av bevisene, konstruert direkte fra aksiomene. Spesielt bruker den ikke konseptet med arealet til en figur.
La ABC det er en rettvinklet trekant med rett vinkel C. La oss tegne høyden fra C og angi basen med H. Triangel ACH ligner på en trekant ABC i to hjørner. Likeledes trekant CBH lignende ABC. Ved å introdusere notasjonen
vi får
Hva er ekvivalent
Legger vi det sammen, får vi
Bevis ved bruk av arealmetoden
Følgende bevis, til tross for det tilsynelatende enkelhet, er ikke så enkle i det hele tatt. De bruker alle egenskapene til området, bevisene på dette vanskeligere bevis selve Pythagoras teorem.
Bevis via ekvikomplementaritet
- La oss ordne fire like rette trekanter som vist i figur 1.
- Firkant med sider c er et kvadrat, siden summen av to spisse vinkler er 90°, og den rette vinkelen er 180°.
- Arealet til hele figuren er på den ene siden lik arealet til en firkant med side (a + b), og på den annen side summen fire ruter trekanter og to indre firkanter.
Q.E.D.
Bevis gjennom ekvivalens
Elegant bevis ved hjelp av permutasjon
Et eksempel på et slikt bevis er vist på tegningen til høyre, der en firkant bygget på hypotenusen er omorganisert til to firkanter bygget på bena.
Euklids bevis
Tegning for Euklids bevis
Illustrasjon for Euklids bevis
Ideen til Euklids bevis er som følger: la oss prøve å bevise at halve arealet av kvadratet bygget på hypotenusen er lik summen av de halve arealene av kvadratene bygget på bena, og deretter arealene til de store og to små rutene er like.
La oss se på tegningen til venstre. På den konstruerte vi firkanter på sidene av en rettvinklet trekant og tegnet en stråle s fra toppunktet til den rette vinkelen C vinkelrett på hypotenusen AB, den kutter kvadratet ABIK, bygget på hypotenusen, i to rektangler - BHJI og HAKJ, hhv. Det viser seg at arealene til disse rektanglene er nøyaktig lik arealene til firkantene bygget på de tilsvarende bena.
La oss prøve å bevise at arealet av kvadratet DECA er lik arealet av rektangelet AHJK For å gjøre dette, vil vi bruke en hjelpeobservasjon: Arealet av en trekant med samme høyde og base som. gitt rektangel, lik halve arealet av det gitte rektangelet. Dette er en konsekvens av å definere arealet av en trekant som halvparten av produktet av basen og høyden. Fra denne observasjonen følger det at arealet av trekanten ACK er lik arealet av trekanten AHK (ikke vist på figuren), som igjen er lik halvparten av arealet av rektangelet AHJK.
La oss nå bevise at arealet av trekanten ACK også er lik halvparten av arealet av kvadratet DECA. Det eneste som må gjøres for dette er å bevise likheten til trekantene ACK og BDA (siden arealet av trekanten BDA er lik halvparten av kvadratet i henhold til egenskapen ovenfor). Denne likheten er åpenbar, trekantene er like på begge sider og vinkelen mellom dem. Nemlig - AB=AK,AD=AC - likheten mellom vinklene CAK og BAD er lett å bevise med bevegelsesmetoden: vi roterer trekanten CAK 90° mot klokken, da er det åpenbart at de tilsvarende sidene til de to trekantene i spørsmålet vil falle sammen (på grunn av det faktum at vinkelen ved toppen av kvadratet er 90°).
Begrunnelsen for likheten mellom arealene til kvadratet BCFG og rektangelet BHJI er helt lik.
Dermed beviste vi at arealet til en firkant bygget på hypotenusen er sammensatt av arealene med firkanter bygget på bena. Ideen bak dette beviset er ytterligere illustrert av animasjonen ovenfor.
Bevis for Leonardo da Vinci
Bevis for Leonardo da Vinci
Hovedelementene i beviset er symmetri og bevegelse.
La oss vurdere tegningen, som kan sees fra symmetrien, et segment CJeg kutter firkanten ENBHJ i to identiske deler (siden trekanter ENBC Og JHJeg lik i konstruksjon). Ved å bruke en 90 graders rotasjon mot klokken ser vi likheten til de skraverte figurene CENJJeg Og GDENB . Nå er det klart at arealet av figuren vi har skyggelagt er lik summen av halvparten av arealene til rutene bygget på bena og arealet til den opprinnelige trekanten. På den annen side er det lik halve arealet av kvadratet bygget på hypotenusen, pluss arealet av den opprinnelige trekanten. Det siste trinnet i beviset overlates til leseren.
Bevis med den uendelige metoden
Følgende bevis ved bruk av differensialligninger tilskrives ofte den berømte engelske matematikeren Hardy, som levde i første halvdel av 1900-tallet.
Ser på tegningen vist i figuren og observerer endringen i side en, kan vi skrive følgende relasjon for infinitesimale sideinkrementer Med Og en(ved hjelp av trekantlikhet):
Bevis med den uendelige metoden
Ved å bruke metoden for separasjon av variabler finner vi
Mer generelt uttrykkå endre hypotenusen ved økninger av begge ben
Integrering gitt ligning og bruker Innledende forhold, vi får
c 2 = en 2 + b 2 + konstant.Dermed kommer vi frem til ønsket svar
c 2 = en 2 + b 2 .Hvor lett det er å se kvadratisk avhengighet vises i den endelige formelen takket være lineær proporsjonalitet mellom sidene av trekanten og inkrementene, mens summen er assosiert med uavhengige bidrag fra inkrement av forskjellige ben.
Et enklere bevis kan oppnås hvis vi antar at et av bena ikke opplever en økning (i dette tilfellet benet b). Så for integrasjonskonstanten vi får
Variasjoner og generaliseringer
- Hvis vi i stedet for kvadrater konstruerer andre lignende figurer på sidene, er følgende generalisering av Pythagoras teoremet sann: I en rettvinklet trekant er summen av arealene til lignende figurer bygget på sidene lik arealet av figuren bygget på hypotenusen. Spesielt:
- Summen av arealene til vanlige trekanter bygget på sidene er lik arealet vanlig trekant, bygget på hypotenusen.
- Summen av arealene av halvsirkler bygget på bena (som på diameteren) er lik arealet av halvsirkelen bygget på hypotenusen. Dette eksemplet brukes til å bevise egenskapene til figurer avgrenset av buene til to sirkler og kalt Hippocratic lunulae.
Historie
Chu-pei 500–200 f.Kr. Til venstre er inskripsjonen: summen av kvadratene av lengdene på høyden og bunnen er kvadratet av lengden på hypotenusen.
Den gamle kinesiske boken Chu-pei snakker om Pythagoras trekant med side 3, 4 og 5: I samme bok er det foreslått en tegning som sammenfaller med en av tegningene av den hinduistiske geometrien til Bashara.
Cantor (den største tyske historikeren av matematikk) mener at likheten 3² + 4² = 5² allerede var kjent for egypterne rundt 2300 f.Kr. e. under kong Amenemhet I's tid (ifølge papyrus 6619 fra Berlin-museet). I følge Cantor bygde harpedonaptes, eller "tautrekkere", rette vinkler ved å bruke rette trekanter med sidene 3, 4 og 5.
Det er veldig enkelt å reprodusere deres konstruksjonsmetode. La oss ta et tau 12 m langt og knytte en farget stripe til det i en avstand på 3 m. fra den ene enden og 4 meter fra den andre. Den rette vinkelen vil være innelukket mellom sider som er 3 og 4 meter lange. Det kunne innvendes overfor Harpedonaptianerne at deres byggemetode blir overflødig dersom man bruker for eksempel en trekant, som brukes av alle snekkere. Det er faktisk kjent egyptiske tegninger der et slikt verktøy finnes, for eksempel tegninger som viser et snekkerverksted.
Noe mer er kjent om Pythagoras teorem blant babylonerne. I en tekst som dateres tilbake til Hammurabis tid, det vil si til 2000 f.Kr. e. en omtrentlig beregning av hypotenusen til en rettvinklet trekant er gitt. Fra dette kan vi konkludere med at de i Mesopotamia var i stand til å utføre beregninger med rette trekanter, i det minste i noen tilfeller. Basert, på den ene siden, på dagens kunnskapsnivå om egyptisk og babylonsk matematikk, og på den andre, på en kritisk studie av greske kilder, kom Van der Waerden (nederlandsk matematiker) til følgende konklusjon:
Litteratur
På russisk
- Skopets Z.A. Geometriske miniatyrer. M., 1990
- Elensky Shch. I fotsporene til Pythagoras. M., 1961
- Van der Waerden B.L. Awakening Science. Matematikk fra det gamle Egypt, Babylon og Hellas. M., 1959
- Glazer G.I. Matematikkens historie på skolen. M., 1982
- W. Litzman, "The Pythagorean Theorem" M., 1960.
- Et nettsted om Pythagoras teorem med et stort antall bevis, materiale hentet fra boken av V. Litzmann, stort antall tegninger presenteres i form av separate grafikkfiler.
- Pythagoras teorem og Pythagoras tredobler kapittel fra boken av D. V. Anosov "Et blikk på matematikk og noe fra det"
- Om Pythagoras teoremet og metoder for å bevise det G. Glaser, akademiker ved det russiske utdanningsakademiet, Moskva
På engelsk
- Pythagoras teorem ved WolframMathWorld
- Cut-The-Knot, seksjon om Pythagoras teorem, omtrent 70 bevis og omfattende tilleggsinformasjon (engelsk)
Wikimedia Foundation. 2010.
Pythagoras teorem
På samme måte ligner trekant CBH på ABC. Ved å introdusere notasjonen 
1. Plasser fire like rette trekanter som vist på figuren. 
Ideen til Euklids bevis er som følger: la oss prøve å bevise at halve arealet av kvadratet bygget på hypotenusen er lik summen av de halve arealene av kvadratene bygget på bena, og deretter arealene til de store og to små rutene er like. La oss se på tegningen til venstre. På den konstruerte vi firkanter på sidene av en rettvinklet trekant og tegnet en stråle s fra toppunktet til den rette vinkelen C vinkelrett på hypotenusen AB, den kutter kvadratet ABIK, bygget på hypotenusen, i to rektangler - BHJI og HAKJ, hhv. Det viser seg at arealene til disse rektanglene er nøyaktig lik arealene til firkantene bygget på de tilsvarende bena. La oss prøve å bevise at arealet av kvadratet DECA er lik arealet av rektangelet AHJK For å gjøre dette, vil vi bruke en hjelpeobservasjon: Arealet av en trekant med samme høyde og base som. det gitte rektangelet er lik halve arealet av det gitte rektangelet. Dette er en konsekvens av å definere arealet av en trekant som halvparten av produktet av basen og høyden. Fra denne observasjonen følger det at arealet av trekanten ACK er lik arealet av trekanten AHK (ikke vist på figuren), som igjen er lik halvparten av arealet av rektangelet AHJK. La oss nå bevise at arealet av trekanten ACK også er lik halvparten av arealet av kvadratet DECA. Det eneste som må gjøres for dette er å bevise likheten til trekantene ACK og BDA (siden arealet av trekanten BDA er lik halvparten av kvadratet i henhold til egenskapen ovenfor). Denne likheten er åpenbar, trekantene er like på begge sider og vinkelen mellom dem. Nemlig - AB=AK,AD=AC - likheten mellom vinklene CAK og BAD er lett å bevise med bevegelsesmetoden: vi roterer trekanten CAK 90° mot klokken, da er det åpenbart at de tilsvarende sidene til de to trekantene i spørsmålet vil falle sammen (på grunn av det faktum at vinkelen ved toppen av kvadratet er 90°). Begrunnelsen for likheten mellom arealene til kvadratet BCFG og rektangelet BHJI er helt lik. Dermed beviste vi at arealet til en firkant bygget på hypotenusen er sammensatt av arealene med firkanter bygget på bena. 
La oss vurdere tegningen, som kan sees fra symmetrien, segmentet CI kutter kvadratet ABHJ i to identiske deler (siden Gjennomsnittlig nivå
Høyre trekant. Den komplette illustrerte veiledningen (2019)
HØYRE TREKANT. FØRSTE NIVÅ.
I problemer er rett vinkel ikke nødvendig i det hele tatt - nede til venstre, så du må lære å gjenkjenne en rettvinklet trekant i denne formen,
og i dette
og i dette 
Hva er bra med en rettvinklet trekant? Vel... for det første er det spesielle vakre navn for hans sider.
Oppmerksomhet på tegningen!
Husk og ikke forveksle: det er to ben, og det er bare én hypotenuse(den eneste, den unike og den lengste)!
Vel, vi har diskutert navnene, nå det viktigste: Pythagoras teorem.
Pythagoras teorem.
Denne teoremet er nøkkelen til å løse mange problemer som involverer en rettvinklet trekant. Pythagoras beviste det fullstendig uminnelige tider, og siden den gang har hun brakt mye nytte for de som kjenner henne. Og det beste med det er at det er enkelt.
Så, Pythagoras teorem:
Husker du vitsen: «Pythagorean-bukser er like på alle kanter!»?
La oss tegne de samme pytagoreiske buksene og se på dem. 
Ser det ikke ut som en slags shorts? Vel, på hvilke sider og hvor er de like? Hvorfor og hvor kom vitsen fra? Og denne vitsen henger nettopp sammen med Pythagoras teorem, eller mer presist med måten Pythagoras selv formulerte teoremet sitt på. Og han formulerte det slik:
"Sum arealer av firkanter, bygget på bena, er lik kvadratisk areal, bygget på hypotenusen."
Høres det virkelig litt annerledes ut? Og så, da Pythagoras tegnet utsagnet til teoremet sitt, var dette akkurat bildet som kom ut.
På dette bildet er summen av arealene til de små firkantene lik arealet til den store firkanten. Og slik at barn bedre kan huske at summen av kvadratene på bena er lik kvadratet på hypotenusen, kom noen vittig på denne vitsen om pytagoreiske bukser.
Hvorfor formulerer vi Pythagoras teorem nå?
Led Pythagoras og snakket om firkanter?
Du skjønner, i oldtiden var det ingen... algebra! Det var ingen tegn og så videre. Det var ingen inskripsjoner. Kan du forestille deg hvor forferdelig det var for de stakkars eldgamle studentene å huske alt med ord??! Og vi kan glede oss over at vi har en enkel formulering av Pythagoras teorem. La oss gjenta det igjen for å huske det bedre:
Det skal være enkelt nå:
| Kvadraten på hypotenusen er lik summen av kvadratene på bena. |
Vel, det viktigste teoremet om rette trekanter har blitt diskutert. Hvis du er interessert i hvordan det er bevist, les følgende teorinivåer, og la oss nå gå videre... til mørk skog... trigonometri! Til de forferdelige ordene sinus, cosinus, tangent og cotangens.
Sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant.
Faktisk er ikke alt så skummelt i det hele tatt. Selvfølgelig bør den "virkelige" definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens ses på i artikkelen. Men jeg vil virkelig ikke, gjør jeg? Vi kan glede oss: for å løse problemer om en rettvinklet trekant, kan du bare fylle ut følgende enkle ting:
Hvorfor er alt rett rundt hjørnet? Hvor er hjørnet? For å forstå dette må du vite hvordan påstandene 1 - 4 er skrevet med ord. Se, forstå og husk!
1.
Egentlig høres det slik ut:
Hva med vinkelen? Er det et ben som er motsatt hjørnet, det vil si et motsatt (for en vinkel) ben? Selvfølgelig har! Dette er et bein!
Hva med vinkelen? Se nøye. Hvilket ben er ved siden av hjørnet? Selvfølgelig beinet. Dette betyr at for vinkelen er benet tilstøtende, og
Vær oppmerksom! Se hva vi har:
Se hvor kult det er:
La oss nå gå videre til tangent og cotangens.
Hvordan kan jeg skrive dette ned i ord nå? Hva er beinet i forhold til vinkelen? Motsatt, selvfølgelig - det "ligger" overfor hjørnet. Hva med beinet? I tilknytning til hjørnet. Så hva har vi?
Ser du hvordan telleren og nevneren har byttet plass?
Og nå hjørnene igjen og gjorde en utveksling:
Sammendrag
La oss kort skrive ned alt vi har lært.
 |
Pythagoras teorem: |
Hovedsetningen om rette trekanter er Pythagoras teorem.
Pythagoras teorem
Husker du forresten godt hva ben og hypotenusa er? Hvis ikke veldig bra, så se på bildet - oppdater kunnskapen din
Det er godt mulig at du allerede har brukt Pythagoras teorem mange ganger, men har du noen gang lurt på hvorfor en slik teorem er sann? Hvordan kan jeg bevise det? La oss gjøre som de gamle grekerne. La oss tegne en firkant med en side.
Se hvor smart vi delte sidene inn i lengder og!
La oss nå koble sammen de merkede prikkene
Her noterte vi imidlertid noe annet, men du ser selv på tegningen og tenker hvorfor det er slik.
Hva er arealet lik? større firkant? Ikke sant, . Hva med et mindre område? Gjerne,. Det totale arealet av de fire hjørnene gjenstår. Tenk deg at vi tok dem to om gangen og lente dem mot hverandre med hypotenusene deres. Hva skjedde? To rektangler. Dette betyr at arealet av "kuttene" er likt.
La oss sette alt sammen nå.
La oss konvertere:
Så vi besøkte Pythagoras - vi beviste teoremet hans på en eldgammel måte.
Rettvinklet trekant og trigonometri
For en rettvinklet trekant gjelder følgende relasjoner:
Sinus spiss vinkel lik forholdet motsatt side til hypotenusen
Cosinus til en spiss vinkel er lik forholdet tilstøtende ben til hypotenusen.
Tangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.
Kotangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.
Og nok en gang alt dette i form av et nettbrett:
Det er veldig behagelig!
Tegn på likhet av rette trekanter
I. På to sider
II. Ved ben og hypotenus
III. Ved hypotenus og spiss vinkel
IV. Langs benet og spiss vinkel
en) 
b) 
Merk følgende! Det er veldig viktig her at bena er "passende". For eksempel, hvis det går slik:
DA ER IKKE TREKANTENE LIKE, til tross for at de har en identisk spiss vinkel.
Trenger å i begge trekantene var benet tilstøtende, eller i begge var det motsatt.
Har du lagt merke til hvordan likhetstegnene til rette trekanter skiller seg fra de vanlige likhetstegnene til trekanter? Ta en titt på emnet "og vær oppmerksom på det faktum at for likestilling av "vanlige" trekanter, må tre av elementene deres være like: to sider og vinkelen mellom dem, to vinkler og siden mellom dem, eller tre sider. Men for likestilling av rette trekanter er bare to tilsvarende elementer nok. Flott, ikke sant?
Situasjonen er omtrent den samme med tegnene på likhet til rettvinklede trekanter.
Tegn på likhet med rette trekanter
I. Langs en spiss vinkel
II. På to sider
III. Ved ben og hypotenus
Median i en rettvinklet trekant
Hvorfor er det slik?
I stedet for en rettvinklet trekant, tenk på et helt rektangel.
La oss tegne en diagonal og vurdere et punkt - skjæringspunktet mellom diagonalene. Hva vet du om diagonalene til et rektangel?
Og hva følger av dette?
Så det viste seg at
- - median:
Husk dette faktum! Hjelper mye!
Det som er enda mer overraskende er at det motsatte også er sant.
Hva godt kan man få ut av det faktum at medianen trukket til hypotenusen er lik halve hypotenusen? La oss se på bildet
Se nøye. Vi har: , det vil si at avstandene fra punktet til alle tre hjørnene i trekanten viste seg å være like. Men det er bare ett punkt i trekanten, hvor avstandene fra alle tre hjørnene i trekanten er like, og dette er SIRKELENS senter. Så hva skjedde?
Så la oss starte med dette "foruten ...".
La oss se på og.
Men like trekanter har alle like vinkler!
Det samme kan sies om og
La oss nå tegne det sammen:
Hvilken fordel kan man få ut av denne "trippel" likheten?
Vel, for eksempel - to formler for høyden til en rettvinklet trekant.
La oss skrive ned forholdet til de tilsvarende partene:
For å finne høyden løser vi proporsjonen og får den første formelen "Høyde i en rettvinklet trekant":
Så la oss bruke likheten: .
Hva vil skje nå?
Igjen løser vi proporsjonen og får den andre formelen:
Du må huske begge disse formlene veldig godt og bruke den som er mer praktisk. La oss skrive dem ned igjen
Pythagoras teorem:
I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene til bena:.
Tegn på likhet i rette trekanter:
- på to sider:
- ved ben og hypotenuse: eller
- langs benet og tilstøtende spiss vinkel: eller
- langs benet og motsatt spiss vinkel: eller
- ved hypotenusa og spiss vinkel: eller.
Tegn på likhet med rette trekanter:
- ett akutt hjørne: eller
- fra proporsjonaliteten til to ben:
- fra proporsjonaliteten til benet og hypotenusen: eller.
Sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant
- Sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen:
- Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:
- Tangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side:
- Kotangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden: .
Høyde på en rettvinklet trekant: eller.
I en rettvinklet trekant er medianen trukket fra toppunktet til den rette vinkelen lik halve hypotenusen:.
Arealet av en rettvinklet trekant:
- via bena: