Gjennomsnittlig nivå

Høyre trekant. Den komplette illustrerte veiledningen (2019)

HØYRE TREKANT. FØRSTE NIVÅ.

I problemer er rett vinkel ikke nødvendig i det hele tatt - nede til venstre, så du må lære å gjenkjenne en rettvinklet trekant i denne formen,

og i dette

og i dette

Hva er bra med en rettvinklet trekant? Vel... for det første er det spesielle vakre navn for hans sider.

Oppmerksomhet på tegningen!

Husk og ikke forveksle: det er to ben, og det er bare én hypotenuse(en eneste, unik og lengst)!

Vel, vi har diskutert navnene, nå det viktigste: Pythagoras teorem.

Pythagoras teorem.

Denne teoremet er nøkkelen til å løse mange problemer som involverer en rettvinklet trekant. Pythagoras beviste det fullstendig uminnelige tider, og siden den gang har hun brakt mye nytte for de som kjenner henne. Og det beste med det er at det er enkelt.

Så, Pythagoras teorem:

Husker du vitsen: «Pythagorean-bukser er like på alle kanter!»?

La oss tegne de samme pytagoreiske buksene og se på dem.

Ser det ikke ut som en slags shorts? Vel, på hvilke sider og hvor er de like? Hvorfor og hvor kom vitsen fra? Og denne vitsen henger nettopp sammen med Pythagoras teorem, eller mer presist med måten Pythagoras selv formulerte teoremet sitt på. Og han formulerte det slik:

"Sum arealer av firkanter, bygget på bena, er lik kvadratisk areal, bygget på hypotenusen."

Høres det virkelig litt annerledes ut? Og så, da Pythagoras tegnet utsagnet til teoremet sitt, var dette akkurat bildet som kom ut.

På dette bildet er summen av arealene til de små firkantene lik arealet til den store firkanten. Og slik at barn bedre kan huske at summen av kvadratene på bena er lik kvadratet på hypotenusen, kom noen vittig på denne vitsen om pytagoreiske bukser.

Hvorfor formulerer vi Pythagoras teorem nå?

Led Pythagoras og snakket om firkanter?

Du skjønner, i oldtiden var det ingen... algebra! Det var ingen tegn og så videre. Det var ingen inskripsjoner. Kan du forestille deg hvor forferdelig det var for de stakkars eldgamle studentene å huske alt med ord??! Og vi kan glede oss over at vi har en enkel formulering av Pythagoras teorem. La oss gjenta det igjen for å huske det bedre:

Det skal være enkelt nå:

Kvadrat av hypotenusen lik summen firkanter av ben.

Vel, det viktigste teoremet om rette trekanter har blitt diskutert. Hvis du er interessert i hvordan det er bevist, les følgende teorinivåer, og la oss nå gå videre... til mørk skog... trigonometri! Til de forferdelige ordene sinus, cosinus, tangent og cotangens.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant.

Faktisk er ikke alt så skummelt i det hele tatt. Selvfølgelig bør den "virkelige" definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens ses på i artikkelen. Men jeg vil virkelig ikke, gjør jeg? Vi kan glede oss: for å løse problemer om en rettvinklet trekant, kan du bare fylle ut følgende enkle ting:

Hvorfor er alt rett rundt hjørnet? Hvor er hjørnet? For å forstå dette må du vite hvordan påstandene 1 - 4 er skrevet med ord. Se, forstå og husk!

1.
Egentlig høres det slik ut:

Hva med vinkelen? Er det et ben som er motsatt hjørnet, det vil si et motsatt (for en vinkel) ben? Selvfølgelig har! Dette er et bein!

Hva med vinkelen? Se nøye. Hvilket ben er ved siden av hjørnet? Selvfølgelig beinet. Dette betyr at for vinkelen er benet tilstøtende, og

Vær oppmerksom! Se hva vi har:

Se hvor kult det er:

La oss nå gå videre til tangent og cotangens.

Hvordan kan jeg skrive dette ned i ord nå? Hva er beinet i forhold til vinkelen? Motsatt, selvfølgelig - det "ligger" overfor hjørnet. Hva med beinet? I tilknytning til hjørnet. Så hva har vi?

Ser du hvordan telleren og nevneren har byttet plass?

Og nå hjørnene igjen og gjorde en utveksling:

Sammendrag

La oss kort skrive ned alt vi har lært.

Pythagoras teorem:

Hovedsetningen om rette trekanter er Pythagoras teorem.

Pythagoras teorem

Husker du forresten godt hva ben og hypotenusa er? Hvis ikke veldig bra, så se på bildet - oppdater kunnskapen din

Det er godt mulig at du allerede har brukt Pythagoras teorem mange ganger, men har du noen gang lurt på hvorfor en slik teorem er sann? Hvordan kan jeg bevise det? La oss gjøre som de gamle grekerne. La oss tegne en firkant med en side.

Se hvor smart vi delte sidene inn i lengder og!

La oss nå koble sammen de merkede prikkene

Her noterte vi imidlertid noe annet, men du ser selv på tegningen og tenker hvorfor det er slik.

Hva er arealet av den større firkanten? Ikke sant, . Hva med et mindre område? Gjerne,. Det totale arealet av de fire hjørnene gjenstår. Tenk deg at vi tok dem to om gangen og lente dem mot hverandre med hypotenusene deres. Hva skjedde? To rektangler. Dette betyr at arealet av "kuttene" er likt.

La oss sette alt sammen nå.

La oss transformere:

Så vi besøkte Pythagoras - vi beviste teoremet hans på en eldgammel måte.

Rettvinklet trekant og trigonometri

For en rettvinklet trekant gjelder følgende relasjoner:

Sinus med spiss vinkel lik forholdet motsatt side til hypotenusen

Cosinus til en spiss vinkel er lik forholdet tilstøtende ben til hypotenusen.

Tangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.

Kotangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.

Og nok en gang alt dette i form av et nettbrett:

Det er veldig behagelig!

Tegn på likhet av rette trekanter

I. På to sider

II. Ved ben og hypotenus

III. Ved hypotenus og spiss vinkel

IV. Langs benet og spiss vinkel

en)

b)

Merk følgende! Det er veldig viktig her at bena er "passende". For eksempel, hvis det går slik:

DA ER IKKE TREKANTENE LIKE, til tross for at de har en identisk spiss vinkel.

Trenger å i begge trekantene var benet tilstøtende, eller i begge var det motsatt.

Har du lagt merke til hvordan likhetstegnene til rette trekanter skiller seg fra de vanlige likhetstegnene til trekanter? Ta en titt på emnet "og vær oppmerksom på det faktum at for likestilling av "vanlige" trekanter, må tre av elementene deres være like: to sider og vinkelen mellom dem, to vinkler og siden mellom dem, eller tre sider. Men for likestilling av rette trekanter er bare to tilsvarende elementer nok. Flott, ikke sant?

Situasjonen er omtrent den samme med tegn på likhet til rettvinklede trekanter.

Tegn på likhet med rette trekanter

I. Langs en spiss vinkel

II. På to sider

III. Ved ben og hypotenus

Median i en rettvinklet trekant

Hvorfor er det slik?

I stedet for en rettvinklet trekant, tenk på et helt rektangel.

La oss tegne en diagonal og vurdere et punkt - skjæringspunktet mellom diagonalene. Hva vet du om diagonalene til et rektangel?

Og hva følger av dette?

Så det viste seg at

1. - median:

Husk dette faktum! Hjelper mye!

Det som er enda mer overraskende er at det motsatte også er sant.

Hva godt kan man få ut av det faktum at medianen trukket til hypotenusen er lik halve hypotenusen? La oss se på bildet

Se nøye. Vi har: , det vil si at avstandene fra punktet til alle tre hjørnene i trekanten viste seg å være like. Men det er bare ett punkt i trekanten, hvor avstandene fra alle tre hjørnene i trekanten er like, og dette er SIRKELENS senter. Så hva skjedde?

Så la oss starte med dette "foruten ...".

La oss se på og.

Men lignende trekanter alle vinkler er like!

Det samme kan sies om og

La oss nå tegne det sammen:

Hvilken fordel kan man få ut av denne "trippel" likheten?

Vel, for eksempel - to formler for høyden til en rettvinklet trekant.

La oss skrive ned forholdet til de tilsvarende partene:

For å finne høyden løser vi proporsjonen og får den første formelen "Høyde i en rettvinklet trekant":

Så la oss bruke likheten: .

Hva vil skje nå?

Igjen løser vi proporsjonen og får den andre formelen:

Du må huske begge disse formlene veldig godt og bruke den som er mer praktisk. La oss skrive dem ned igjen

Pythagoras teorem:

I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene til bena:.

Tegn på likhet i rette trekanter:

• på to sider:
• ved ben og hypotenuse: eller
• langs benet og tilstøtende spiss vinkel: eller
• langs benet og motsatt spiss vinkel: eller
• ved hypotenuse og spiss vinkel: eller.

Tegn på likhet med rette trekanter:

• ett akutt hjørne: eller
• fra proporsjonaliteten til to ben:
• fra proporsjonaliteten til benet og hypotenusen: eller.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant

• Sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen:
• Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:
• Tangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side:
• Kotangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden: .

Høyde på en rettvinklet trekant: eller.

I en rettvinklet trekant, medianen trukket fra toppunktet rett vinkel, er lik halve hypotenusen: .

Arealet av en rettvinklet trekant:

• via bena:

Pythagoras teorem: Summen av arealer av firkanter som hviler på bena ( en Og b), lik arealet av kvadratet bygget på hypotenusen ( c).

Geometrisk formulering:

Teoremet ble opprinnelig formulert som følger:

Algebraisk formulering:

Det vil si å angi lengden på hypotenusen til trekanten med c, og lengdene på beina gjennom en Og b :

en 2 + b 2 = c 2

Begge formuleringene av teoremet er ekvivalente, men den andre formuleringen er mer elementær; den krever ikke arealbegrepet. Det vil si at det andre utsagnet kan verifiseres uten å vite noe om arealet og ved å måle bare lengdene på sidene i en rettvinklet trekant.

Omvendt Pythagoras teorem:

Bevis

På dette øyeblikket V vitenskapelig litteratur 367 bevis på denne teoremet er registrert. Sannsynligvis er Pythagoras teorem den eneste teoremet med et så imponerende antall bevis. Et slikt mangfold kan bare forklares med den grunnleggende betydningen av teoremet for geometri.

Selvfølgelig kan alle konseptuelt deles inn i et lite antall klasser. De mest kjente av dem: bevis etter områdemetoden, aksiomatiske og eksotiske bevis (for eksempel ved å bruke differensiallikninger).

Gjennom lignende trekanter

Følgende bevis for den algebraiske formuleringen er det enkleste av bevisene, konstruert direkte fra aksiomene. Spesielt bruker den ikke konseptet med areal av en figur.

La ABC det er en rettvinklet trekant med rett vinkel C. La oss tegne høyden fra C og angi basen med H. Triangel ACH ligner på en trekant ABC i to hjørner. Likeledes trekant CBH lignende ABC. Ved å introdusere notasjonen

vi får

Hva er tilsvarende

Legger vi det sammen, får vi

Bevis ved bruk av arealmetoden

Bevisene nedenfor, til tross for deres tilsynelatende enkelhet, er ikke så enkle i det hele tatt. De bruker alle egenskapene til området, bevisene på det vanskeligere bevis selve Pythagoras teorem.

Bevis via ekvikomplementering

1. La oss arrangere fire like høyre trekant som vist i figur 1.
2. Firkant med sider c er et kvadrat, siden summen av to skarpe hjørner 90°, og den utfoldede vinkelen er 180°.
3. Arealet til hele figuren er på den ene siden lik arealet av en firkant med side (a + b), og på den annen side summen fire ruter trekanter og to indre firkanter.

Q.E.D.

Bevis gjennom ekvivalens

Elegant bevis ved hjelp av permutasjon

Et eksempel på et slikt bevis er vist på tegningen til høyre, der en firkant bygget på hypotenusen er omorganisert til to firkanter bygget på bena.

Euklids bevis

Tegning for Euklids bevis

Illustrasjon for Euklids bevis

Ideen til Euklids bevis er som følger: la oss prøve å bevise at halve arealet av kvadratet bygget på hypotenusen er lik summen av de halve arealene av kvadratene bygget på bena, og deretter arealene av de store og to små rutene er like.

La oss se på tegningen til venstre. På den konstruerte vi firkanter på sidene av en rettvinklet trekant og tegnet en stråle s fra toppunktet til den rette vinkelen C vinkelrett på hypotenusen AB, den kutter kvadratet ABIK, bygget på hypotenusen, i to rektangler - BHJI og HAKJ, hhv. Det viser seg at arealene til disse rektanglene er nøyaktig lik arealene til firkantene bygget på de tilsvarende bena.

La oss prøve å bevise at arealet av kvadratet DECA er lik arealet av rektangelet AHJK. For å gjøre dette vil vi bruke en hjelpeobservasjon: Arealet av en trekant med samme høyde og base som gitt rektangel, lik halve arealet av det gitte rektangelet. Dette er en konsekvens av å definere arealet av en trekant som halvparten av produktet av basen og høyden. Fra denne observasjonen følger det at arealet av trekanten ACK er lik arealet av trekanten AHK (ikke vist på figuren), som igjen er lik halvparten av arealet av rektangelet AHJK.

La oss nå bevise at arealet av trekanten ACK også er lik halvparten av arealet av kvadratet DECA. Det eneste som må gjøres for dette er å bevise likheten til trekantene ACK og BDA (siden arealet av trekanten BDA er lik halvparten av kvadratet i henhold til egenskapen ovenfor). Denne likheten er åpenbar, trekantene er like på begge sider og vinkelen mellom dem. Nemlig - AB=AK,AD=AC - likheten mellom vinklene CAK og BAD er lett å bevise med bevegelsesmetoden: vi roterer trekanten CAK 90° mot klokken, da er det åpenbart at de tilsvarende sidene til de to trekantene i spørsmålet vil falle sammen (på grunn av det faktum at vinkelen ved toppen av kvadratet er 90°).

Begrunnelsen for likheten mellom arealene til kvadratet BCFG og rektangelet BHJI er helt lik.

Dermed beviste vi at arealet til en firkant bygget på hypotenusen er sammensatt av arealene med firkanter bygget på bena. Ideen bak dette beviset er ytterligere illustrert av animasjonen ovenfor.

Bevis for Leonardo da Vinci

Bevis for Leonardo da Vinci

Hovedelementene i beviset er symmetri og bevegelse.

La oss vurdere tegningen, som kan sees fra symmetrien, et segment CJeg kutter firkanten ENBHJ i to identiske deler (siden trekanter ENBC Og JHJeg lik i konstruksjon). Ved å bruke en 90 graders rotasjon mot klokken ser vi likheten mellom de skraverte figurene CENJJeg Og GDENB . Nå er det klart at arealet av figuren vi har skyggelagt er lik summen av halvparten av arealene til rutene bygget på bena og arealet til den opprinnelige trekanten. På den annen side er det lik halve arealet av kvadratet bygget på hypotenusen, pluss arealet av den opprinnelige trekanten. Det siste trinnet i beviset overlates til leseren.

Bevis med den uendelige metoden

Følgende bevis ved bruk av differensialligninger tilskrives ofte den berømte engelske matematikeren Hardy, som levde i første halvdel av 1900-tallet.

Ser på tegningen vist på figuren og observerer endringen i side en, kan vi skrive følgende relasjon for infinitesimale sideinkrementer Med Og en(ved å bruke triangellikhet):

Bevis med den uendelige metoden

Ved å bruke metoden for separasjon av variabler finner vi

Mer generelt uttrykkå endre hypotenusen ved økninger av begge ben

Integrering gitt ligning og bruker Innledende forhold, vi får

c 2 = en 2 + b 2 + konstant.

Dermed kommer vi frem til ønsket svar

c 2 = en 2 + b 2 .

Hvor lett det er å se kvadratisk avhengighet vises i den endelige formelen takket være lineær proporsjonalitet mellom sidene av trekanten og inkrementene, mens summen er assosiert med uavhengige bidrag fra inkrement av forskjellige ben.

Et enklere bevis kan fås hvis vi antar at ett av bena ikke opplever en økning (i i dette tilfellet bein b). Så for integrasjonskonstanten vi får

Variasjoner og generaliseringer

• Hvis vi i stedet for kvadrater konstruerer andre lignende figurer på sidene, er følgende generalisering av Pythagoras teoremet sann: I en rettvinklet trekant er summen av arealene lignende tall bygget på bena er lik arealet av figuren bygget på hypotenusen. Spesielt:
  • Summen av arealene til vanlige trekanter bygget på sidene er lik arealet vanlig trekant, bygget på hypotenusen.
  • Summen av arealene av halvsirkler bygget på bena (som på diameteren) er lik arealet av halvsirkelen bygget på hypotenusen. Dette eksemplet brukes til å bevise egenskapene til figurer avgrenset av buene til to sirkler og kalt Hippocratic lunulae.

Historie

Chu-pei 500–200 f.Kr. Til venstre er inskripsjonen: summen av kvadratene av lengdene på høyden og bunnen er kvadratet av lengden på hypotenusen.

Den gamle kinesiske boken Chu-pei snakker om Pythagoras trekant med side 3, 4 og 5: I samme bok er det foreslått en tegning som sammenfaller med en av tegningene av den hinduistiske geometrien til Bashara.

Cantor (den største tyske historikeren av matematikk) mener at likheten 3² + 4² = 5² allerede var kjent for egypterne rundt 2300 f.Kr. e. under kong Amenemhet I's tid (ifølge papyrus 6619 fra Berlin-museet). I følge Cantor bygde harpedonaptes, eller "tautrekkere", rette vinkler ved å bruke rette trekanter med sidene 3, 4 og 5.

Det er veldig enkelt å reprodusere deres konstruksjonsmetode. La oss ta et tau 12 m langt og knytte en farget stripe til det i en avstand på 3 m. fra den ene enden og 4 meter fra den andre. Den rette vinkelen vil være innelukket mellom sider som er 3 og 4 meter lange. Det kunne innvendes overfor Harpedonaptianerne at deres byggemetode blir overflødig dersom man bruker for eksempel en trekant, som brukes av alle snekkere. Det er faktisk kjent egyptiske tegninger der et slikt verktøy finnes, for eksempel tegninger som viser et snekkerverksted.

Noe mer er kjent om Pythagoras teorem blant babylonerne. I en tekst som dateres tilbake til Hammurabis tid, det vil si til 2000 f.Kr. e. en omtrentlig beregning av hypotenusen til en rettvinklet trekant er gitt. Av dette kan vi konkludere med at de i Mesopotamia var i stand til å utføre beregninger med rette trekanter, i det minste i noen tilfeller. Basert, på den ene siden, på dagens kunnskapsnivå om egyptisk og babylonsk matematikk, og på den andre, på en kritisk studie av greske kilder, kom Van der Waerden (nederlandsk matematiker) til følgende konklusjon:

Litteratur

På russisk

• Skopets Z.A. Geometriske miniatyrer. M., 1990
• Elensky Shch. I fotsporene til Pythagoras. M., 1961
• Van der Waerden B.L. Awakening Science. Matematikk Det gamle Egypt, Babylon og Hellas. M., 1959
• Glazer G.I. Matematikkens historie på skolen. M., 1982
• W. Litzman, "The Pythagorean Theorem" M., 1960.
  • Et nettsted om Pythagoras teorem med et stort antall bevis, materiale hentet fra boken av V. Litzmann, et stort antall tegninger presenteres i form av separate grafiske filer.
• Pythagoras teorem og Pythagoras tredobler kapittel fra boken av D. V. Anosov "Et blikk på matematikk og noe fra det"
• Om Pythagoras teoremet og metoder for å bevise det G. Glaser, akademiker ved det russiske utdanningsakademiet, Moskva

På engelsk

• Pythagoras teorem ved WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, seksjon om Pythagoras teorem, omtrent 70 bevis og omfattende tilleggsinformasjon (engelsk)

Wikimedia Foundation. 2010.

Pass på at trekanten du får oppgitt er en rettvinklet trekant, siden Pythagoras teorem kun gjelder for rette trekanter. I rette trekanter er en av de tre vinklene alltid 90 grader.

• En rett vinkel i en rettvinklet trekant er indikert med et firkantet ikon i stedet for kurven som representerer skrå vinkler.

Merk sidene av trekanten. Merk bena som "a" og "b" (bena er sider som krysser hverandre i rette vinkler), og hypotenusen som "c" (hypotenusen er mest stor side rettvinklet, liggende motsatt den rette vinkelen).

Bestem hvilken side av trekanten du vil finne. Pythagoras teorem lar deg finne hvilken som helst side av en rettvinklet trekant (hvis de to andre sidene er kjent). Bestem hvilken side (a, b, c) du må finne.

• For eksempel gitt en hypotenus lik 5, og gitt et ben lik 3. I dette tilfellet er det nødvendig å finne det andre benet. Vi kommer tilbake til dette eksemplet senere.
• Hvis de to andre sidene er ukjente, må du finne lengden på en av de ukjente sidene for å kunne bruke Pythagoras teorem. For å gjøre dette, bruk det grunnleggende trigonometriske funksjoner(hvis du får oppgitt verdien av en av de skrå vinklene).

Bytt ut verdiene gitt til deg (eller verdiene du fant) med formelen a 2 + b 2 = c 2. Husk at a og b er ben, og c er hypotenusen.

• I vårt eksempel, skriv: 3² + b² = 5².

Firkant hver kjent side. Eller la potensene stå - du kan kvadre tallene senere.

• I vårt eksempel, skriv: 9 + b² = 25.

Isoler den ukjente siden på den ene siden av ligningen. For å gjøre dette, flytt kjente verdier til den andre siden av ligningen. Hvis du finner hypotenusen, så er den i Pythagoras teorem allerede isolert på den ene siden av ligningen (så du trenger ikke å gjøre noe).

• I vårt eksempel flytter du 9 til høyre side ligninger for å isolere den ukjente b². Du vil få b² = 16.

Fjerne Kvadratrot fra begge sider av ligningen etter at det ukjente (kvadrat) er tilstede på den ene siden av ligningen og det frie leddet (tall) er tilstede på den andre siden.

• I vårt eksempel er b² = 16. Ta kvadratroten av begge sider av ligningen og få b = 4. Dermed er det andre benet 4.

Bruk Pythagoras teorem i Hverdagen, siden den kan brukes i stort nummer praktiske situasjoner. For å gjøre dette, lær å gjenkjenne rette trekanter i hverdagen - i enhver situasjon der to objekter (eller linjer) krysser hverandre i rette vinkler, og et tredje objekt (eller linje) forbinder (diagonalt) toppen av de to første objektene (eller linjer), kan du bruke Pythagoras teorem for å finne den ukjente siden (hvis de to andre sidene er kjent).

• Eksempel: gitt en trapp som lener seg mot en bygning. Nedre del Trappen er plassert 5 meter fra bunnen av veggen. Øverste del Trappen er plassert 20 meter fra bakken (opp veggen). Hva er lengden på trappen?
  • "5 meter fra bunnen av veggen" betyr at a = 5; "plassert 20 meter fra bakken" betyr at b = 20 (det vil si at du får to ben i en rettvinklet trekant, siden bygningens vegg og jordoverflaten skjærer hverandre i rette vinkler). Lengden på trappen er lengden på hypotenusen, som er ukjent.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Dermed er den omtrentlige lengden på trappen 20,6 meter.

MÅLING AV AREAL AV GEOMETRISKE FIGURER.

§ 58. PYTHAGOREISK TEOREM 1.

__________
1 Pythagoras er en gresk vitenskapsmann som levde for rundt 2500 år siden (564-473 f.Kr.).
_________

La oss få en rettvinklet trekant hvis sider EN, b Og Med(tegning 267).

La oss bygge firkanter på sidene. Arealene til disse rutene er henholdsvis like EN 2 , b 2 og Med 2. La oss bevise det Med 2 = a 2 + b 2 .

La oss konstruere to kvadrater MKOR og M"K"O"R" (tegninger 268, 269), og tar som siden av hver av dem et segment som er lik summen av bena til den rettvinklede trekanten ABC.

Etter å ha fullført konstruksjonene vist på tegningene 268 og 269 i disse rutene, vil vi se at MCOR-plassen er delt inn i to ruter med arealer EN 2 og b 2 og fire like rette trekanter, som hver er lik rettvinklet ABC. Firkanten M"K"O"R" ble delt inn i en firkant (den er skyggelagt på tegning 269) og fire rette trekanter, som hver også er lik trekant ABC. En skyggelagt firkant er en firkant, siden sidene er like (hver er lik hypotenusen til trekanten ABC, dvs. Med), og vinklene er riktige / 1 + / 2 = 90°, hvorfra / 3 = 90°).

Dermed er summen av arealene til rutene bygget på bena (på tegning 268 er disse rutene skyggelagt) lik arealet av kvadratet MCOR uten summen av arealene til fire like trekanter, og arealet av ​​firkanten bygget på hypotenusen (på tegning 269 er denne firkanten også skyggelagt) er lik arealet av kvadratet M"K"O"R", lik kvadratet av MCOR, uten summen av arealene til fire like trekanter. Derfor er arealet av et kvadrat bygget på hypotenusen til en rettvinklet trekant lik summen av arealene til kvadratene bygget på bena.

Vi får formelen Med 2 = a 2 + b 2 hvor Med- hypotenusen, EN Og b- ben i en rettvinklet trekant.

Pythagoras teoremet er vanligvis kort formulert som følger:

Kvadraten på hypotenusen til en rettvinklet trekant er lik summen av kvadratene på bena.

Fra formelen Med 2 = a 2 + b 2 kan du få følgende formler:

EN 2 = Med 2 - b 2 ;
b 2 = Med 2 - EN 2 .

Disse formlene kan brukes til å finne ukjent side en rettvinklet trekant langs de to gitte sidene.
For eksempel:

a) hvis bena er gitt EN= 4 cm, b=3 cm, så kan du finne hypotenusen ( Med):
Med 2 = a 2 + b 2, dvs. Med 2 = 4 2 + 3 2; med 2 = 25, hvorfra Med= √25 =5 (cm);

b) hvis hypotenusen er gitt Med= 17 cm og ben EN= 8 cm, så kan du finne et annet ben ( b):

b 2 = Med 2 - EN 2, dvs. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, hvorfra b= √225 = 15 (cm).

Konsekvens: Hvis to rette trekanter ABC og A har 1 B 1 C 1 hypotenusa Med Og Med 1 er like, og ben b trekant ABC er lengre enn beinet b 1 trekant A 1 B 1 C 1,
deretter beinet EN trekant ABC mindre bein EN 1 trekant A 1 B 1 C 1. (Lag en tegning som illustrerer denne konsekvensen.)

Faktisk, basert på Pythagoras teorem får vi:

EN 2 = Med 2 - b 2 ,
EN 1 2 = Med 1 2 - b 1 2

I de skrevne formlene er minuenden like, og subtrahenden i den første formelen er større enn subtrahenden i den andre formelen, derfor er den første forskjellen mindre enn den andre,
dvs. EN 2 < EN 12 . Hvor EN< EN 1 .

Øvelser.

1. Bruk tegning 270 til å bevise Pythagoras teorem for en likebenet rettvinklet trekant.

2. Ett ben i en rettvinklet trekant er 12 cm, det andre er 5 cm. Regn ut lengden på hypotenusen til denne trekanten.

3. Hypotenusen til en rettvinklet trekant er 10 cm, det ene bena er 8 cm.. Regn ut lengden på det andre benet i denne trekanten.

4. Hypotenusen til en rettvinklet trekant er 37 cm, den ene bena er 35 cm.. Regn ut lengden på det andre benet i denne trekanten.

5. Konstruer en firkant med et areal som er dobbelt så stort som det gitte.

6. Konstruer en firkant med et areal som er halvparten av størrelsen på den gitte. Merk. Tegn diagonaler i denne firkanten. Firkantene som er konstruert på halvdelene av disse diagonalene vil være de vi ser etter.

7. Bena til en rettvinklet trekant er henholdsvis 12 cm og 15 cm.. Regn ut lengden på hypotenusen til denne trekanten med en nøyaktighet på 0,1 cm.

8. Hypotenusen til en rettvinklet trekant er 20 cm, det ene bena er 15 cm.. Regn ut lengden på det andre benet til nærmeste 0,1 cm.

9. Hvor lang må stigen være slik at den kan settes mot et vindu plassert i 6 m høyde, dersom stigens nedre ende må være 2,5 m fra bygget? (Diagram 271.)

hjem

Metoder for å bevise Pythagoras teorem.

G. Glaser,
Akademiker ved det russiske utdanningsakademiet, Moskva

Om Pythagoras teorem og metoder for å bevise det

Arealet til et kvadrat bygget på hypotenusen til en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene bygget på bena...

Dette er en av de mest kjente geometriske teoremer antikken, kalt Pythagoras teorem. Nesten alle som noen gang har studert planimetri vet det selv nå. Det virker for meg at hvis vi ønsker å gi deg beskjed utenomjordiske sivilisasjoner om eksistensen av intelligent liv på jorden, bør et bilde av den pythagoriske figuren sendes ut i verdensrommet. Jeg tror at hvis tenkende vesener kan akseptere denne informasjonen, vil de uten kompleks signaldekoding forstå at det er en ganske utviklet sivilisasjon på jorden.

Den berømte greske filosofen og matematikeren Pythagoras fra Samos, som teoremet er oppkalt etter, levde for rundt 2,5 tusen år siden. De som har nådd oss biografisk informasjon om Pythagoras er fragmentariske og langt fra pålitelige. Mange legender er knyttet til navnet hans. Det er pålitelig kjent at Pythagoras reiste mye i landene i øst, og besøkte Egypt og Babylon. I en av greske kolonier Sør-Italia han grunnla den berømte " Pythagoras skole", som spilte viktig rolle i vitenskapelig og politiske liv antikkens Hellas. Det er Pythagoras som er kreditert for å bevise det berømte geometriske teoremet. Basert på legender spredt kjente matematikere(Proclus, Plutarch, etc.), lang tid Det ble antatt at denne teoremet ikke var kjent før Pythagoras, derav navnet - Pythagoras teorem.

Det er imidlertid ingen tvil om at denne teoremet var kjent mange år før Pythagoras. Så, 1500 år før Pythagoras, visste de gamle egypterne at en trekant med sidene 3, 4 og 5 er rettvinklet, og brukte denne egenskapen (dvs. setningen invers til Pythagoras setning) for å konstruere rette vinkler når de planla tomter og bygningskonstruksjoner. Selv i dag tegner bygdebyggere og snekkere, når de legger grunnlaget til en hytte og lager delene, denne trekanten for å få en rett vinkel. Det samme ble gjort for tusenvis av år siden i byggingen av praktfulle templer i Egypt, Babylon, Kina og sannsynligvis i Mexico. Det eldste kinesiske matematiske og astronomiske verket som har kommet ned til oss, Zhou Bi, skrevet omtrent 600 år før Pythagoras, inneholder blant annet forslag knyttet til den rettvinklede trekanten, Pythagoras teorem. Selv tidligere var denne teoremet kjent for hinduene. Dermed oppdaget ikke Pythagoras denne egenskapen til en rettvinklet trekant; han var sannsynligvis den første som generaliserte og beviste den, og dermed overførte den fra praksisfeltet til vitenskapsfeltet. Vi vet ikke hvordan han gjorde det. Noen matematikkhistorikere antar at Pythagoras’ bevis ikke var grunnleggende, men bare en bekreftelse, en test av denne egenskapen på en rekke spesielle typer trekanter, som starter med en likebenet rettvinklet trekant, som det åpenbart følger av fig. 1.

MED Siden antikken har matematikere funnet flere og flere nye bevis på Pythagoras teorem, flere og flere nye ideer for beviset. Mer enn hundre og femti slike bevis - mer eller mindre strenge, mer eller mindre visuelle - er kjent, men ønsket om å øke antallet har bestått. Jeg tror at uavhengig "oppdagelse" av bevis for Pythagoras teoremet vil være nyttig for moderne skolebarn.

La oss se på noen eksempler på bevis som kan antyde retningen for slike søk.

Pythagoras bevis

"Et kvadrat bygget på hypotenusen til en rettvinklet trekant er lik summen av kvadratene bygget på bena." Det enkleste beviset for teoremet fås i det enkleste tilfellet av en likebenet rettvinklet trekant. Det var sannsynligvis her teoremet begynte. Faktisk er det nok bare å se på mosaikken av likebenede rettvinklede trekanter for å bli overbevist om gyldigheten av teoremet. For eksempel, for DABC: et kvadrat bygget på hypotenusen AC, inneholder 4 originale trekanter, og firkanter bygget på ben av to. Teoremet er bevist.

Bevis basert på bruk av begrepet like størrelse på figurer.

I dette tilfellet kan vi vurdere bevis der et kvadrat bygget på hypotenusen til en gitt rett trekant er "sammensatt" av de samme figurene som kvadrater bygget på sidene. Vi kan også vurdere bevis som bruker omorganiseringer av summene av figurene og tar hensyn til en rekke nye ideer.

I fig. 2 viser to lik kvadrat. Lengden på sidene til hver rute er a + b. Hver av rutene er delt inn i deler som består av firkanter og rette trekanter. Det er klart at hvis vi subtraherer firedoblet arealet av en rettvinklet trekant med ben a, b fra arealet av kvadratet, vil vi stå igjen med like områder, dvs. c2 = a2 + b2. Imidlertid skrev de gamle hinduene, som dette resonnementet tilhører, vanligvis ikke det ned, men fulgte tegningen med bare ett ord: "se!" Det er godt mulig at Pythagoras ga det samme beviset.

Additive bevis.

Disse bevisene er basert på dekomponering av firkanter bygget på bena til figurer som man kan legge til en firkant bygget på hypotenusen.

Her: ABC er en rettvinklet trekant med rett vinkel C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Uavhengig bevis den parvise likheten til trekanter oppnådd ved å dele firkanter bygget på bena og hypotenusen.

Bevis teoremet ved å bruke denne partisjonen.

 Basert på beviset til al-Nayriziyah ble det utført en annen dekomponering av firkanter i par like tall(Fig. 5, her er ABC en rettvinklet trekant med rett vinkel C).

 Et annet bevis ved metoden for å dekomponere firkanter i like deler, kalt "hjulet med blader", er vist i fig. 6. Her: ABC er en rettvinklet trekant med rett vinkel C; O er sentrum av en firkant bygget på en stor side; Stiplede linjer som går gjennom punkt O er vinkelrette eller parallelle med hypotenusen.

 Denne dekomponeringen av kvadrater er interessant fordi den er parvis like firkanter kan kartlegges på hverandre parallell overføring. Mange andre bevis på Pythagoras teorem kan tilbys ved å bruke dekomponering av kvadrater til figurer.

Bevis ved fullføringsmetoden.

Essensen av denne metoden er at like tall legges til kvadratene bygget på bena og kvadratet bygget på hypotenusen på en slik måte at like tall oppnås.

Gyldigheten til Pythagorean-setningen følger av den samme størrelsen på sekskantene AEDFPB og ACBNMQ. Her deler CEP, linje EP sekskanten AEDFPB i to like firkanter, linje CM deler sekskanten ACBNMQ i to like firkanter; Rotering av planet 90° rundt sentrum A kartlegger firkanten AEPB på firkanten ACMQ.

I fig. 8 Den pytagoreiske figuren er fullført til et rektangel, hvis sider er parallelle med de tilsvarende sidene av firkantene som er bygget på sidene. La oss dele dette rektangelet inn i trekanter og rektangler. Fra det resulterende rektangelet trekker vi først alle polygonene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, og etterlater et kvadrat bygget på hypotenusen. Så fra det samme rektangelet trekker vi rektanglene 5, 6, 7 og de skyggelagte rektanglene, vi får firkanter bygget på bena.

La oss nå bevise at tallene som trekkes fra i det første tilfellet er like store som tallene som trekkes fra i det andre tilfellet.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2;

derfor c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;

CBML = CBNQ = a 2;

OBMP = ABMF = c2;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2.

Algebraisk bevismetode.

	Ris. 12 illustrerer beviset til den store indiske matematikeren Bhaskari (den kjente forfatteren Lilavati, X II århundre). Tegningen ble ledsaget av bare ett ord: SE! Blant bevisene for Pythagoras teorem algebraisk metode Den første plassen (kanskje den eldste) er okkupert av beviset ved hjelp av likhet.
	La oss ta inn moderne presentasjon et slikt bevis tilhører Pythagoras.

N og fig. 13 ABC – rektangulær, C – rett vinkel, CMAB, b 1 – projeksjon av ben b på hypotenusen, a 1 – projeksjon av ben a på hypotenusen, h – trekantens høyde trukket til hypotenusen.

Fra det faktum at ABC ligner ACM følger det

b 2 = cb 1; (1)

fra det faktum at ABC er lik BCM følger det

a 2 = ca 1 . (2)

Ved å legge til likheter (1) og (2) ledd for ledd, får vi a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2.

Hvis Pythagoras virkelig foreslo et slikt bevis, så var han også kjent med en rekke viktige geometriske teoremer som moderne historikere matematikere tilskriver det vanligvis Euklid.

Moehlmanns bevis (fig. 14). Arealet til en gitt rettvinklet trekant er på den ene siden lik den andre, hvor p er halvomkretsen til trekanten, r er radiusen til sirkelen som er innskrevet i den Vi har:

hvorav det følger at c 2 =a 2 + b 2.

i den andre

Ved å sette likhetstegn mellom disse uttrykkene får vi Pythagoras teorem.

Kombinert metode

Likestilling av trekanter

c 2 = a 2 + b 2. (3)

Ved å sammenligne relasjoner (3) og (4), får vi det

c 1 2 = c 2, eller c 1 = c.

Dermed er trekantene - gitt og konstruert - like, siden de har tre hhv like sider. Vinkel C 1 er rett, derfor vinkel C gitt trekant også rett.

Gamle indiske bevis.

Matematikk Det gamle India la merke til at for å bevise Pythagoras teorem er det nok å bruke den indre delen av en gammel kinesisk tegning. I avhandlingen "Siddhanta Shiromani" ("Kunnskapens krone") skrevet på palmeblader av den største indiske matematikeren på 1800-tallet. Bha-skaraer er plassert i en tegning (fig. 4)

Karakteristisk for indiske bevis er ordet "se!" Som du kan se, er det lagt rette trekanter her med hypotenusen vendt utover og en firkant Med 2 overført til "brudestolen" Med 2 -b 2 . Legg merke til at spesielle tilfeller av Pythagoras teorem (for eksempel å konstruere et kvadrat hvis areal er dobbelt så stort Fig.4 område gitt kvadrat) funnet i den gamle indiske avhandlingen "Sulva"

Vi løste en rettvinklet trekant og firkanter bygget på bena, eller med andre ord figurer som består av 16 like likebenede rettvinklede trekanter og passer derfor inn i en firkant. Det er slik lily er. en liten brøkdel av rikdommen som er gjemt i perlen til gammel matematikk - Pythagoras teorem.

Gamle kinesiske bevis.

Matematiske avhandlinger fra det gamle Kina har kommet ned til oss i utgaven av det 2. århundre. f.Kr. Faktum er at i 213 f.Kr. Den kinesiske keiseren Shi Huang Di, som prøvde å eliminere tidligere tradisjoner, beordret at alle eldgamle bøker skulle brennes. I P århundre f.Kr. I Kina ble papiret oppfunnet og samtidig begynte rekonstruksjonen av eldgamle bøker.Det viktigste av de bevarte astronomiske verkene er boken "Matematikk" som inneholder en tegning (Fig. 2, a) som beviser Pythagoras teorem. Nøkkelen til dette beviset er ikke vanskelig å finne. Faktisk, i den gamle kinesiske tegningen er det fire like rettvinklede trekanter med sidene a, b og hypotenusen Med stablet G) slik at deres ytre kontur danner Fig. 2 en firkant med side a+b, og den indre er en firkant med siden c, bygget på hypotenusen (fig. 2, b). Hvis en firkant med siden c kuttes ut og de resterende 4 skraverte trekantene plasseres i to rektangler (fig. 2, V), da er det klart at det resulterende tomrommet på den ene siden er lik MED 2 , og på den andre - Med 2 +b 2 , de. c 2=  2 +b 2 . Teoremet er bevist. Legg merke til at med dette beviset brukes ikke konstruksjonene inne i firkanten på hypotenusen, som vi ser i den gamle kinesiske tegningen (fig. 2, a). Tilsynelatende hadde gamle kinesiske matematikere et annet bevis. Nettopp hvis i en firkant med side Med to skraverte trekanter (fig. 2, b) klipp av og fest hypotenusene til de to andre hypotenusene (fig. 2, G), da er det lett å oppdage det

Den resulterende figuren, noen ganger kalt "brudens stol", består av to firkanter med sider EN Og b, de. c 2 == en 2 +b 2 .

N og figur 3 gjengir en tegning fra avhandlingen "Zhou-bi...". Her vurderes Pythagoras teorem for Egyptisk trekant med ben 3, 4 og hypotenusa 5 måleenheter. Firkanten på hypotenusen inneholder 25 celler, og firkanten som er innskrevet i den på det større benet inneholder 16. Det er tydelig at den gjenværende delen inneholder 9 celler. Dette vil være firkanten på den mindre siden.