Begrepene sinus (), cosinus (), tangens (), cotangens () er uløselig knyttet til begrepet vinkel. For å forstå disse godt, ved første øyekast, komplekse konsepter(som forårsaker en tilstand av redsel hos mange skolebarn), og for å sikre at "djevelen ikke er så skummel som han er malt," la oss starte helt fra begynnelsen og forstå konseptet med en vinkel.
Vinkelkonsept: radian, grad
La oss se på bildet. Vektoren har "snudd" i forhold til punktet med en viss mengde. Så målet for denne rotasjonen i forhold til utgangsposisjonen vil være hjørne.
Hva annet trenger du å vite om begrepet vinkel? Vel, selvfølgelig, vinkelenheter!
Vinkel, både i geometri og trigonometri, kan måles i grader og radianer.
En vinkel på (én grad) kalles sentral vinkel i en sirkel, basert på en sirkelbue lik en del av sirkelen. Dermed består hele sirkelen av "biter" av sirkelbuer, eller vinkelen beskrevet av sirkelen er lik.
Det vil si at figuren over viser en vinkel lik, det vil si at denne vinkelen hviler på en sirkelbue på størrelse med omkretsen.
En vinkel i radianer er den sentrale vinkelen i en sirkel dekket av en sirkelbue hvis lengde er lik radiusen til sirkelen. Vel, fant du ut av det? Hvis ikke, la oss finne det ut fra tegningen.
Så, figuren viser en vinkel lik en radian, det vil si at denne vinkelen hviler på en sirkelbue, hvis lengde er lik radiusen til sirkelen (lengden er lik lengden eller radiusen lik lengde buer). Dermed beregnes buelengden med formelen:
Hvor er den sentrale vinkelen i radianer.
Vel, når du vet dette, kan du svare på hvor mange radianer som finnes i vinkelen beskrevet av sirkelen? Ja, for dette må du huske formelen for omkrets. Her er hun:
Vel, la oss nå korrelere disse to formlene og finne at vinkelen beskrevet av sirkelen er lik. Det vil si at ved å korrelere verdien i grader og radianer får vi det. Henholdsvis. Som du kan se, i motsetning til "grader", er ordet "radian" utelatt, siden måleenheten vanligvis er tydelig fra konteksten.
Hvor mange radianer er det? Det er riktig!
Har det? Så fortsett og fiks det:
Har du vanskeligheter? Så se svar:
Rettvinklet trekant: sinus, cosinus, tangens, cotangens av vinkelen
Så vi fant ut konseptet med en vinkel. Men hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, vil en rettvinklet trekant hjelpe oss.
Hva kalles sidene i en rettvinklet trekant? Det er riktig, hypotenusa og ben: hypotenusen er siden som ligger motsatt den rette vinkelen (i vårt eksempel er dette siden); bena er de to gjenværende sidene og (de ved siden av rett vinkel), og hvis vi vurderer bena i forhold til vinkelen, er benet det tilstøtende ben, og benet er motsatt. Så la oss nå svare på spørsmålet: hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel?
Sinus av vinkel- dette er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet til hypotenusen.
I vår trekant.
Cosinus av vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.
I vår trekant.
Tangent av vinkelen- dette er forholdet mellom den motsatte (fjerne) siden til den tilstøtende (nære).
I vår trekant.
Kotangens av vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og det motsatte (langt).
I vår trekant.
Disse definisjonene er nødvendige huske! For å gjøre det lettere å huske hvilket ben du skal dele inn i hva, må du tydelig forstå det i tangent Og cotangens bare bena sitter, og hypotenusen vises bare i sinus Og kosinus. Og så kan du komme opp med en kjede av assosiasjoner. For eksempel denne:
Cosinus→berøring→berøring→tilstøtende;
Kotangens→berøring→berøring→tilstøtende.
Først av alt, må du huske at sinus, cosinus, tangens og cotangens som forholdet mellom sidene i en trekant ikke avhenger av lengdene på disse sidene (i samme vinkel). Tror ikke? Pass deretter på ved å se på bildet:
Tenk for eksempel på cosinus til en vinkel. Per definisjon, fra en trekant: , men vi kan beregne cosinus til en vinkel fra en trekant: . Du ser, lengdene på sidene er forskjellige, men verdien av cosinus til en vinkel er den samme. Dermed avhenger verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens utelukkende av størrelsen på vinkelen.
Hvis du forstår definisjonene, så fortsett og konsolider dem!
For trekanten vist i figuren nedenfor finner vi.
Vel, fikk du det? Så prøv det selv: beregn det samme for vinkelen.
Enhetssirkel (trigonometrisk).
For å forstå begrepene grader og radianer, betraktet vi en sirkel med en radius lik. En slik sirkel kalles enkelt. Det vil være veldig nyttig når du studerer trigonometri. La oss derfor se litt mer detaljert på det.
Som du kan se, gitt sirkel innebygd Kartesisk system koordinater Sirkelradius lik en, mens sentrum av sirkelen ligger ved origo, startposisjon Radiusvektoren er festet langs den positive retningen til aksen (i vårt eksempel er dette radiusen).
Hvert punkt på sirkelen tilsvarer to tall: aksekoordinaten og aksekoordinaten. Hva er disse koordinattallene? Og generelt, hva har de med emnet å gjøre? For å gjøre dette må vi huske på den betraktede rettvinklet. I figuren over kan du se to hele rette trekanter. Tenk på en trekant. Den er rektangulær fordi den er vinkelrett på aksen.
Hva er trekanten lik? Det er riktig. I tillegg vet vi at dette er radiusen enhetssirkel, som betyr . La oss erstatte denne verdien i formelen vår for cosinus. Her er hva som skjer:
Hva er trekanten lik? Selvfølgelig, ! Bytt ut radiusverdien i denne formelen og få:
Så, kan du si hvilke koordinater et punkt som tilhører en sirkel har? Vel, ingen måte? Hva om du innser det og bare er tall? Hvilken koordinat tilsvarer det? Vel, selvfølgelig, koordinatene! Og hvilken koordinat tilsvarer det? Det stemmer, koordinater! Altså punktum.
Hva er og lik da? Det stemmer, la oss bruke de tilsvarende definisjonene av tangent og cotangens og få det, a.
Hva om vinkelen er større? For eksempel, som på dette bildet:
Hva har endret seg i i dette eksemplet? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, la oss snu igjen til en rettvinklet trekant. Tenk på en rettvinklet trekant: vinkel (som ved siden av en vinkel). Hva er verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel? Det er riktig, vi følger de riktige definisjonene trigonometriske funksjoner:
Vel, som du kan se, tilsvarer verdien av sinusen til vinkelen fortsatt koordinaten; verdien av vinkelens cosinus - koordinaten; og verdiene av tangent og cotangens til de tilsvarende forholdene. Dermed gjelder disse relasjonene for enhver rotasjon av radiusvektoren.
Det er allerede nevnt at startposisjonen til radiusvektoren er langs den positive retningen til aksen. Så langt har vi rotert denne vektoren mot klokken, men hva skjer hvis vi roterer den med klokken? Ikke noe ekstraordinært, du vil også få en vinkel med en viss verdi, men bare den vil være negativ. Når vi roterer radiusvektoren mot klokken, får vi altså positive vinkler, og når du roterer med klokken - negativ.
Så vi vet at en hel omdreining av radiusvektoren rundt en sirkel er eller. Er det mulig å rotere radiusvektoren til eller til? Vel, selvfølgelig kan du det! I det første tilfellet vil derfor radiusvektoren gjøre en hel omdreining og stoppe ved posisjon eller.
I det andre tilfellet, det vil si at radiusvektoren vil utgjøre tre fulle revolusjoner og stopper i posisjonen eller.
Fra eksemplene ovenfor kan vi konkludere med at vinkler som er forskjellige med eller (hvor er et heltall) tilsvarer den samme posisjonen til radiusvektoren.
Figuren under viser en vinkel. Det samme bildet tilsvarer hjørnet osv. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse vinklene kan skrives med den generelle formelen eller (hvor er et heltall)
Nå, når du kjenner definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene og bruker enhetssirkelen, prøv å svare på hva verdiene er:
Her er en enhetssirkel for å hjelpe deg:
Har du vanskeligheter? Så la oss finne ut av det. Så vi vet at:
Herfra bestemmer vi koordinatene til punktene som tilsvarer visse vinkelmål. Vel, la oss starte i rekkefølge: vinkelen ved tilsvarer et punkt med koordinater, derfor:
Eksisterer ikke;
Videre, ved å følge den samme logikken, finner vi ut at hjørnene i samsvarer med henholdsvis punkter med koordinater. Når du vet dette, er det lett å bestemme verdiene til trigonometriske funksjoner i tilsvarende punkter. Prøv selv først, og sjekk deretter svarene.
Svar:
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Dermed kan vi lage følgende tabell:
Det er ikke nødvendig å huske alle disse verdiene. Det er nok å huske korrespondansen mellom koordinatene til punktene på enhetssirkelen og verdiene til trigonometriske funksjoner:
Men verdiene til de trigonometriske funksjonene til vinkler i og gitt i tabellen nedenfor, må huskes:
Ikke vær redd, nå skal vi vise deg ett eksempel ganske enkelt å huske de tilsvarende verdiene:
For å bruke denne metoden er det viktig å huske verdiene til sinusen for alle tre vinkelmålene (), samt verdien av tangensen til vinkelen. Når du kjenner disse verdiene, er det ganske enkelt å gjenopprette hele tabellen - cosinusverdiene overføres i samsvar med pilene, det vil si:
Når du vet dette, kan du gjenopprette verdiene for. Telleren " " vil matche og nevneren " " vil matche. Kotangensverdier overføres i samsvar med pilene angitt i figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med pilene, vil det være nok å huske alle verdiene fra tabellen.
Koordinater til et punkt på en sirkel
Er det mulig å finne et punkt (dets koordinater) på en sirkel, kjenne koordinatene til sirkelens sentrum, radius og rotasjonsvinkel?
Vel, selvfølgelig kan du det! La oss få det ut generell formel for å finne koordinatene til et punkt.
For eksempel, her er en sirkel foran oss:
Vi er gitt at punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til et punkt oppnådd ved å rotere punktet i grader.
Som det fremgår av figuren, tilsvarer koordinaten til punktet lengden på segmentet. Lengden på segmentet tilsvarer koordinaten til sentrum av sirkelen, det vil si at den er lik. Lengden på et segment kan uttrykkes ved å bruke definisjonen av cosinus:
Så har vi det for punktkoordinaten.
Ved å bruke samme logikk finner vi y-koordinatverdien for punktet. Dermed,
Så inn generelt syn koordinater av punkter bestemmes av formlene:
Koordinater til sentrum av sirkelen,
Sirkelradius,
Rotasjonsvinkelen til vektorradiusen.
Som du kan se, for enhetssirkelen vi vurderer, er disse formlene betydelig redusert, siden koordinatene til sentrum er lik null og radius er lik en:
Vel, la oss prøve disse formlene ved å øve på å finne punkter på en sirkel?
1. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.
2. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.
3. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.
4. Punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere den opprinnelige radiusvektoren med.
5. Punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere den opprinnelige radiusvektoren med.
Har du problemer med å finne koordinatene til et punkt på en sirkel?
Løs disse fem eksemplene (eller bli flink til å løse dem) så lærer du å finne dem!
1.
Det kan du merke. Men vi vet hva som tilsvarer en full revolusjon av utgangspunktet. Dermed, ønsket punkt vil være i samme posisjon som når du slår på. Når vi vet dette, finner vi de nødvendige koordinatene til punktet:
2. Enhetssirkelen er sentrert i et punkt, noe som betyr at vi kan bruke forenklede formler:
Det kan du merke. Vi vet hva som tilsvarer to hele omdreininger av utgangspunktet. Dermed vil ønsket punkt være i samme posisjon som når du svinger til. Når vi vet dette, finner vi de nødvendige koordinatene til punktet:
Sinus og cosinus er tabellverdier. Vi husker betydningen deres og får:
Dermed har ønsket punkt koordinater.
3. Enhetssirkelen er sentrert i et punkt, noe som betyr at vi kan bruke forenklede formler:
Det kan du merke. La oss skildre det aktuelle eksemplet i figuren:
Radius gjør vinkler lik og med aksen. Å vite at tabellverdiene til cosinus og sinus er like, og å ha bestemt at cosinus her tar negativ betydning, og sinusen er positiv, har vi:
Mer informasjon lignende eksempler forstås når man studerer formler for å redusere trigonometriske funksjoner i emnet.
Dermed har ønsket punkt koordinater.
4.
Rotasjonsvinkel for vektorens radius (etter tilstand)
For å bestemme de tilsvarende tegnene for sinus og cosinus, konstruerer vi en enhetssirkel og vinkel:
Som du kan se, er verdien, det vil si, positiv, og verdien, det vil si, er negativ. Når vi kjenner tabellverdiene til de tilsvarende trigonometriske funksjonene, får vi at:
La oss erstatte de oppnådde verdiene i formelen vår og finne koordinatene:
Dermed har ønsket punkt koordinater.
5. For å løse dette problemet bruker vi formler i generell form, hvor
Koordinater til sentrum av sirkelen (i vårt eksempel,
Sirkelradius (etter tilstand)
Rotasjonsvinkel for vektorens radius (etter tilstand).
La oss erstatte alle verdiene i formelen og få:
og - tabellverdier. La oss huske og erstatte dem med formelen:
Dermed har ønsket punkt koordinater.
SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMLER
Sinusen til en vinkel er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og hypotenusen.
Cosinus av en vinkel er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.
Tangensen til en vinkel er forholdet mellom motsatt (fjern) side og tilstøtende (nær) side.
Kotangensen til en vinkel er forholdet mellom den tilstøtende (nære) siden til den motsatte (fjerne) siden.
Bruksanvisning
En trekant kalles rettvinklet hvis en av vinklene er 90 grader. Den består av to ben og en hypotenuse. Hypotenusen kalles stor side denne trekanten. Den ligger mot en rett vinkel. Bena kalles derfor de mindre sidene. De kan enten være like hverandre eller ha forskjellige størrelser. Likestilling av ben er det du jobber med en rettvinklet trekant. Dens skjønnhet er at den kombinerer to figurer: rektangulær og likebent trekant. Hvis bena ikke er like, så er trekanten vilkårlig og følger grunnloven: jo større vinkelen er, jo mer ruller den som ligger overfor den.
Det er flere måter å finne hypotenusen etter og vinkel. Men før du bruker en av dem, bør du bestemme hvilken vinkel som er kjent. Hvis du får en vinkel og en side ved siden av den, er det lettere å finne hypotenusen ved å bruke cosinus til vinkelen. Cosinus spiss vinkel(cos a) i en rettvinklet trekant er forholdet mellom den tilstøtende siden og hypotenusen. Det følger at hypotenusen (c) vil være lik forholdet mellom det tilstøtende benet (b) og cosinus til vinkelen a (cos a). Dette kan skrives slik: cos a=b/c => c=b/cos a.
Hvis en vinkel og et motsatt ben er gitt, bør du jobbe. Sinusen til en spiss vinkel (sin a) i en rettvinklet trekant er forholdet motsatt side(a) til hypotenusen (c). Her er prinsippet det samme som i forrige eksempel, bare i stedet for cosinusfunksjonen tas sinusen. sin a=a/c => c=a/sin a.
Du kan også bruke en trigonometrisk funksjon som f.eks. Men å finne ønsket verdi vil bli litt mer komplisert. Tangensen til en spiss vinkel (tg a) i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det motsatte benet (a) og det tilstøtende benet (b). Etter å ha funnet begge sider, bruk Pythagoras teorem (kvadrat på hypotenusen lik summen kvadrater av ben) og den større vil bli funnet.
Merk
Når du arbeider med Pythagoras teorem, husk at du har med en grad å gjøre. Etter å ha funnet summen av kvadratene til bena, må du ta kvadratroten for å få det endelige svaret.
Kilder:
- hvordan finne benet og hypotenusen
Hypotenusen er siden i en rettvinklet trekant som er motsatt 90 graders vinkel. For å beregne lengden er det nok å vite lengden på et av bena og størrelsen på en av de spisse vinklene i trekanten.
Bruksanvisning
Gitt en kjent og spiss rektangulær vinkel, vil størrelsen på hypotenusen være forholdet mellom benet og/av denne vinkelen, hvis denne vinkelen er motsatt/ved siden av den:
h = Cl(eller C2)/sina;
h = C1 (eller C2)/cosα.
Eksempel: La ABC med hypotenusen AB og C gis La vinkelen B være 60 grader og vinkelen A være 30 grader Lengden på benet BC er 8 cm Lengden på hypotenusen AB kreves. For å gjøre dette kan du bruke en av metodene som er foreslått ovenfor:
AB = BC/cos60 = 8 cm.
AB = BC/sin30 = 8 cm.
Ordet " bein" avledet fra greske ord"vinkelrett" eller "lodd" - dette forklarer hvorfor begge sider av en rettvinklet trekant, som utgjør dens nitti-graders vinkel, ble kalt på den måten. Finn lengden på noen av bein ov er ikke vanskelig hvis verdien av den tilstøtende vinkelen og eventuelle andre parametere er kjent, siden i dette tilfellet vil verdiene til alle tre vinklene faktisk bli kjent.
Bruksanvisning
Hvis, i tillegg til verdien av den tilstøtende vinkelen (β), lengden på den andre bein a (b), deretter lengden bein og (a) kan defineres som kvotienten av lengden til det kjente bein og på kjent vinkel: a=b/tg(β). Dette følger av definisjonen av denne trigonometriske. Du klarer deg uten tangenten hvis du bruker teoremet. Det følger av det at lengden av den ønskede til sinusen til den motsatte vinkelen til forholdet mellom lengden til den kjente bein og til sinusen til en kjent vinkel. Motsatt av ønsket bein y spiss vinkel kan uttrykkes gjennom den kjente vinkelen som 180°-90°-β = 90°-β, siden summen av alle vinklene til enhver trekant må være 180°, og en av vinklene er 90°. Så, den nødvendige lengden bein og kan beregnes ved å bruke formelen a=sin(90°-β)∗b/sin(β).
Hvis verdien av den tilstøtende vinkelen (β) og lengden på hypotenusen (c) er kjent, så er lengden bein og (a) kan beregnes som produktet av lengden av hypotenusen og cosinus til den kjente vinkelen: a=c∗cos(β). Dette følger av definisjonen av cosinus som en trigonometrisk funksjon. Men du kan bruke, som i forrige trinn, teoremet for sinus og deretter lengden på ønsket bein a vil være lik produktet av sinusen mellom 90° og den kjente vinkelen og forholdet mellom lengden på hypotenusen og sinusen til den rette vinkelen. Og siden sinusen til 90° er lik én, kan vi skrive det slik: a=sin(90°-β)∗c.
Praktiske beregninger kan utføres for eksempel ved å bruke det medfølgende OS Windows-programvare kalkulator. For å kjøre den, kan du velge "Kjør" fra hovedmenyen på "Start"-knappen, skriv inn calc-kommandoen og klikk "OK". I den enkleste versjonen av grensesnittet til dette programmet som åpnes som standard, er trigonometriske funksjoner ikke gitt, så etter å ha startet det, må du klikke på "Vis" -delen i menyen og velge linjen "Vitenskapelig" eller "Engineering" ( avhengig av versjonen som brukes operativsystem).
Video om emnet
Ordet "kathet" kom på russisk fra gresk. I nøyaktig oversettelse det betyr en loddlinje, det vil si vinkelrett på jordoverflaten. I matematikk er ben sidene som danner en rett vinkel i en rettvinklet trekant. Siden motsatt denne vinkelen kalles hypotenusen. Begrepet "katet" brukes også i arkitektur og teknologi sveisearbeid.
Tegn en rettvinklet trekant DIA. Merk bena som a og b, og hypotenusen som c. Alle sider og vinkler i en rettvinklet trekant er definert innbyrdes. Forholdet mellom benet motsatt en av de spisse vinklene til hypotenusen kalles sinus gitt vinkel. I gitt trekant sinCAB=a/c. Cosinus er forholdet til hypotenusen til det tilstøtende benet, det vil si cosCAB=b/c. De omvendte relasjonene kalles sekant og cosekant.
Sekanten til denne vinkelen oppnås ved å dele hypotenusen med det tilstøtende benet, det vil si secCAB = c/b. Resultatet er den resiproke av cosinus, det vil si at den kan uttrykkes ved hjelp av formelen secCAB=1/cosSAB.
Kosekanten er lik kvotienten til hypotenusen delt på motsatt side og er mengden invers av sinus. Det kan beregnes ved hjelp av formelen cosecCAB=1/sinCAB
Begge bena er forbundet med hverandre og med en cotangens. I i dette tilfellet tangenten vil være forholdet mellom side a og side b, det vil si den motsatte siden til den tilstøtende siden. Dette forholdet kan uttrykkes med formelen tgCAB=a/b. Henholdsvis omvendt relasjon det vil være en cotangens: ctgCAB=b/a.
Forholdet mellom størrelsene på hypotenusen og begge bena ble bestemt av den gamle greske Pythagoras. Folk bruker fortsatt teoremet og navnet hans. Det står at kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena, det vil si c2 = a2 + b2. Følgelig vil hvert ben være lik kvadratrot fra forskjellen mellom kvadratene på hypotenusen og det andre benet. Denne formelen kan skrives som b=√(c2-a2).
Lengden på beinet kan også uttrykkes gjennom relasjonene du kjenner til. I følge teoremer av sinus og cosinus, benet lik produktet hypotenusen til en av disse funksjonene. Det kan uttrykkes som og eller cotangens. Leg a kan for eksempel bli funnet ved å bruke formelen a = b*tan CAB. På nøyaktig samme måte, avhengig av gitt tangent eller , bestemmes den andre etappen.
Begrepet "katet" brukes også i arkitektur. Den påføres den joniske hovedstaden og lodd gjennom midten av ryggen. Det vil si at i dette tilfellet er dette leddet vinkelrett på en gitt linje.
Innen sveiseteknologi er det et "filetsveiseben". Som i andre tilfeller er dette den korteste avstanden. Her vi snakker om om gapet mellom en av delene som sveises til grensen til sømmen som ligger på overflaten av den andre delen.
Video om emnet
Kilder:
- hva er ben og hypotenus i 2019
I livet vil vi ofte måtte forholde oss til matematiske problemer: på skolen, på universitetet, og deretter hjelpe barnet ditt med å fullføre hjemmelekser. Mennesker i visse yrker vil møte matematikk på daglig basis. Derfor er det nyttig å huske eller huske matematiske regler. I denne artikkelen skal vi se på en av dem: finne siden av en rettvinklet trekant.
Hva er en rettvinklet trekant
La oss først huske hva en rettvinklet trekant er. Høyre trekant- Dette geometrisk figur av tre segmenter som forbinder punkter som ikke ligger på samme rette linje, og en av vinklene på denne figuren er 90 grader. Sidene som danner en rett vinkel kalles ben, og siden som ligger motsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen.
Finne beinet til en rettvinklet trekant
Det er flere måter å finne ut lengden på benet. Jeg vil gjerne vurdere dem mer detaljert.
Pythagoras teorem for å finne siden av en rettvinklet trekant
Hvis vi kjenner hypotenusen og benet, kan vi finne lengden kjent bein ifølge Pythagoras teorem. Det høres slik ut: "Kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene på bena." Formel: c²=a²+b², hvor c er hypotenusen, a og b er bena. Vi transformerer formelen og får: a²=c²-b².
Eksempel. Hypotenusen er 5 cm, og benet er 3 cm Vi transformerer formelen: c²=a²+b² → a²=c²-b². Deretter løser vi: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Trigonometriske forhold for å finne beinet til en rettvinklet trekant
Du kan også finne et ukjent ben hvis en annen side og en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er kjent. Det er fire alternativer for å finne et ben ved hjelp av trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens, cotangens. Tabellen nedenfor vil hjelpe oss med å løse problemer. La oss vurdere disse alternativene.
Finn etappen til en rettvinklet trekant ved å bruke sinus
Sinusen til en vinkel (sin) er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen. Formel: sin=a/c, hvor a er benet motsatt den gitte vinkelen, og c er hypotenusen. Deretter transformerer vi formelen og får: a=sin*c.
Eksempel. Hypotenusen er 10 cm, vinkel A er 30 grader. Ved hjelp av tabellen beregner vi sinus til vinkel A, den er lik 1/2. Deretter, ved hjelp av den transformerte formelen, løser vi: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Finn etappen til en rettvinklet trekant ved å bruke cosinus
Cosinus til en vinkel (cos) er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen. Formel: cos=b/c, hvor b er benet ved siden av en gitt vinkel, og c er hypotenusen. La oss transformere formelen og få: b=cos*c.
Eksempel. Vinkel A er lik 60 grader, hypotenusen er lik 10 cm. Ved hjelp av tabellen regner vi ut cosinus til vinkel A, den er lik 1/2. Deretter løser vi: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Finn etappen til en rettvinklet trekant ved å bruke tangent
Tangent av en vinkel (tg) er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side. Formel: tg=a/b, der a er siden motsatt av vinkelen, og b er siden ved siden av. La oss transformere formelen og få: a=tg*b.
Eksempel. Vinkel A er lik 45 grader, hypotenusen er lik 10 cm Ved hjelp av tabellen beregner vi tangenten til vinkel A, den er lik Løs: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Finn benet til en rettvinklet trekant ved å bruke cotangens
Vinkel cotangens (ctg) er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden. Formel: ctg=b/a, der b er benet ved siden av vinkelen, og er det motsatte benet. Med andre ord, cotangens er en "invertert tangent." Vi får: b=ctg*a.
Eksempel. Vinkel A er 30 grader, motsatt ben er 5 cm. I følge tabellen er tangenten til vinkel A √3. Vi beregner: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Så nå vet du hvordan du finner et ben i en rettvinklet trekant. Som du kan se, er det ikke så vanskelig, det viktigste er å huske formlene.
Bruksanvisning
Video om emnet
Merk
Når du beregner sidene til en rettvinklet trekant, kan kunnskap om dens egenskaper spille en rolle:
1) Hvis benet i en rett vinkel ligger motsatt en vinkel på 30 grader, så lik halvparten hypotenuse;
2) Hypotenusen er alltid lengre enn noen av bena;
3) Hvis en sirkel er omskrevet rundt en rettvinklet trekant, må senteret ligge i midten av hypotenusen.
Hypotenusen er siden i en rettvinklet trekant som er motsatt 90 graders vinkel. For å beregne lengden er det nok å vite lengden på et av bena og størrelsen på en av de spisse vinklene i trekanten.
Bruksanvisning
Gi oss beskjed om et av bena og vinkelen ved siden av det. For å være spesifikk, la disse være siden |AB| og vinkel α. Da kan vi bruke formelen for trigonometrisk cosinus– cosinus av forholdet mellom det tilstøtende benet og . De. i vår notasjon cos α = |AB| / |AC|. Fra dette får vi lengden på hypotenusen |AC| = |AB| / cos α.
Hvis vi kjenner siden |BC| og vinkel α, så vil vi bruke formelen for å beregne sinus til vinkelen - sinus til vinkelen lik forholdet motsatt side av hypotenusen: sin α = |BC| / |AC|. Vi finner at lengden på hypotenusen er |AC| = |BC| / cos α.
For klarhet, la oss se på et eksempel. La lengden på benet |AB| være gitt. = 15. Og vinkel α = 60°. Vi får |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
La oss se på hvordan du kan sjekke resultatet ditt ved å bruke Pythagoras teorem. For å gjøre dette må vi beregne lengden på den andre etappen |BC|. Ved å bruke formelen for tangenten til vinkelen tan α = |BC| / |AC|, får vi |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Deretter bruker vi Pythagoras teorem, vi får 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Kontroll fullført.
Etter å ha beregnet hypotenusen, sjekk om den resulterende verdien tilfredsstiller Pythagoras teorem.
Kilder:
- Bord primtall fra 1 til 10 000
Ben er de to korte sidene av en rettvinklet trekant som utgjør toppunktet hvis størrelse er 90°. Den tredje siden i en slik trekant kalles hypotenusen. Alle disse sidene og vinklene til trekanten er forbundet med visse forhold som gjør det mulig å beregne lengden på benet hvis flere andre parametere er kjent.
Bruksanvisning
Bruk Pythagoras teorem for ben (A) hvis du vet lengden på de to andre sidene (B og C) i den rettvinklede trekanten. Denne teoremet sier at summen av de kvadrerte lengdene på bena er lik kvadratet på hypotenusen. Det følger av dette at lengden på hvert ben er lik kvadratroten av lengdene på hypotenusen og det andre beinet: A=√(C²-B²).
Bruk definisjonen av den direkte trigonometriske funksjonen "sinus" for en spiss vinkel hvis du vet størrelsen på vinkelen (α) som ligger motsatt benet som beregnes og lengden på hypotenusen (C). Dette sier at sinus av dette kjent for lengden på ønsket ben til lengden på hypotenusen. Dette betyr at lengden på ønsket ben er lik produktet av lengden på hypotenusen og sinusen til den kjente vinkelen: A=C∗sin(α). For disse samme kjente mengder Du kan også bruke cosecanten og beregne nødvendig lengde ved å dele lengden på hypotenusen med cosecanten til den kjente vinkelen A=C/cosec(α).
Bruk definisjonen av den direkte trigonometriske cosinusfunksjonen hvis, i tillegg til lengden på hypotenusen (C), størrelsen på den spisse vinkelen (β) ved siden av den ønskede også er kjent. Cosinus til denne vinkelen er forholdet mellom lengdene til det ønskede benet og hypotenusen, og fra dette kan vi konkludere med at lengden på benet er lik produktet av lengden på hypotenusen og cosinus til den kjente vinkelen: A=C∗cos(β). Du kan bruke definisjonen av sekantfunksjonen og beregne ønsket verdi, dividere lengden av hypotenusen med sekanten til den kjente vinkelen A=C/sek(β).
Produksjon den nødvendige formelen fra en lignende definisjon for den deriverte av den trigonometriske funksjonstangens, hvis i tillegg til verdien av den spisse vinkelen (α) som ligger motsatt ønsket ben (A), er lengden av det andre benet (B) kjent. Tangensen til vinkelen motsatt av ønsket ben er forholdet mellom lengden på dette beinet og lengden på det andre beinet. Dette betyr at den ønskede verdien vil være lik produktet av lengden på det kjente benet og tangenten til den kjente vinkelen: A=B∗tg(α). Fra disse samme kjente størrelsene kan en annen formel utledes hvis vi bruker definisjonen av cotangensfunksjonen. I dette tilfellet, for å beregne lengden på benet, vil det være nødvendig å finne forholdet mellom lengden på det kjente benet og cotangensen til den kjente vinkelen: A=B/ctg(α).
Video om emnet
Ordet "kathet" kom på russisk fra gresk. I nøyaktig oversettelse betyr det en loddlinje, det vil si vinkelrett på jordoverflaten. I matematikk er ben sidene som danner en rett vinkel i en rettvinklet trekant. Siden motsatt denne vinkelen kalles hypotenusen. Begrepet "katet" brukes også i arkitektur og sveiseteknologi.
Sekanten til denne vinkelen oppnås ved å dele hypotenusen med det tilstøtende benet, det vil si secCAB = c/b. Resultatet er den resiproke av cosinus, det vil si at den kan uttrykkes ved hjelp av formelen secCAB=1/cosSAB.
Kosekanten er lik kvotienten til hypotenusen delt på motsatt side og er den resiproke av sinusen. Det kan beregnes ved hjelp av formelen cosecCAB=1/sinCAB
Begge bena er forbundet med hverandre og med en cotangens. I dette tilfellet vil tangenten være forholdet mellom side a og side b, det vil si den motsatte siden til den tilstøtende siden. Dette forholdet kan uttrykkes med formelen tgCAB=a/b. Følgelig vil det inverse forholdet være cotangensen: ctgCAB=b/a.
Forholdet mellom størrelsene på hypotenusen og begge bena ble bestemt av den gamle greske Pythagoras. Folk bruker fortsatt teoremet og navnet hans. Det står at kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena, det vil si c2 = a2 + b2. Følgelig vil hvert ben være lik kvadratroten av forskjellen mellom kvadratene på hypotenusen og det andre benet. Denne formelen kan skrives som b=√(c2-a2).
Lengden på beinet kan også uttrykkes gjennom relasjonene du kjenner til. I følge teoremene for sinus og cosinus er et ben lik produktet av hypotenusen og en av disse funksjonene. Det kan uttrykkes som og eller cotangens. Leg a kan for eksempel bli funnet ved å bruke formelen a = b*tan CAB. På nøyaktig samme måte, avhengig av gitt tangent eller , bestemmes den andre etappen.
Begrepet "katet" brukes også i arkitektur. Den påføres den joniske hovedstaden og lodd gjennom midten av ryggen. Det vil si at i dette tilfellet er dette leddet vinkelrett på en gitt linje.
Innen sveiseteknologi er det et "filetsveiseben". Som i andre tilfeller er dette den korteste avstanden. Her snakker vi om gapet mellom en av delene som sveises til kanten av sømmen som ligger på overflaten av den andre delen.
Video om emnet
Kilder:
- hva er ben og hypotenus i 2019
Hva som er sinus, cosinus, tangens, cotangens av en vinkel vil hjelpe deg å forstå en rettvinklet trekant.
Hva kalles sidene i en rettvinklet trekant? Det er riktig, hypotenusa og ben: hypotenusen er siden som ligger motsatt den rette vinkelen (i vårt eksempel er dette siden \(AC\)); bena er de to gjenværende sidene \(AB\) og \(BC\) (de som grenser til den rette vinkelen), og hvis vi ser på bena i forhold til vinkelen \(BC\), så er bena \(AB\) det tilstøtende benet, og benet \(BC\) er motsatt. Så la oss nå svare på spørsmålet: hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel?
Sinus av vinkel– dette er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og hypotenusen.
I vår trekant:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Cosinus av vinkel– dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.
I vår trekant:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangent av vinkelen– dette er forholdet mellom den motsatte (fjerne) siden til den tilstøtende (nære).
I vår trekant:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Kotangens av vinkel– dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og det motsatte (langt).
I vår trekant:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Disse definisjonene er nødvendige huske! For å gjøre det lettere å huske hvilket ben du skal dele inn i hva, må du tydelig forstå det i tangent Og cotangens bare bena sitter, og hypotenusen vises bare i sinus Og kosinus. Og så kan du komme opp med en kjede av assosiasjoner. For eksempel denne:
Cosinus→berøring→berøring→tilstøtende;
Kotangens→berøring→berøring→tilstøtende.
Først av alt, må du huske at sinus, cosinus, tangens og cotangens som forholdet mellom sidene i en trekant ikke avhenger av lengdene på disse sidene (i samme vinkel). Tror ikke? Pass deretter på ved å se på bildet:
Tenk for eksempel på cosinus til vinkelen \(\beta \) . Per definisjon, fra en trekant \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), men vi kan beregne cosinus til vinkelen \(\beta \) fra trekanten \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Du ser, lengdene på sidene er forskjellige, men verdien av cosinus til en vinkel er den samme. Dermed avhenger verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens utelukkende av størrelsen på vinkelen.
Hvis du forstår definisjonene, så fortsett og konsolider dem!
For trekanten \(ABC \) vist i figuren under finner vi \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)
Vel, fikk du det? Så prøv selv: beregn det samme for vinkelen \(\beta \) .
Svar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Enhetssirkel (trigonometrisk).
For å forstå begrepene grader og radianer, betraktet vi en sirkel med en radius lik \(1\) . En slik sirkel kalles enkelt. Det vil være veldig nyttig når du studerer trigonometri. La oss derfor se litt mer detaljert på det.
Som du kan se, er denne sirkelen konstruert i det kartesiske koordinatsystemet. Sirkelens radius er lik én, mens sentrum av sirkelen ligger ved opprinnelsen til koordinatene, er startposisjonen til radiusvektoren fast langs den positive retningen til \(x\)-aksen (i vårt eksempel er dette er radiusen \(AB\)).
Hvert punkt på sirkelen tilsvarer to tall: koordinaten langs \(x\)-aksen og koordinaten langs \(y\)-aksen. Hva er disse koordinattallene? Og generelt, hva har de med emnet å gjøre? For å gjøre dette må vi huske på den betraktede rettvinklet. I figuren over kan du se to hele rette trekanter. Tenk på trekanten \(ACG\) . Den er rektangulær fordi \(CG\) er vinkelrett på \(x\)-aksen.
Hva er \(\cos \ \alpha \) fra trekanten \(ACG \)? Det er riktig \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). I tillegg vet vi at \(AC\) er radiusen til enhetssirkelen, som betyr \(AC=1\) . La oss erstatte denne verdien i formelen vår for cosinus. Her er hva som skjer:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Hva er \(\sin \ \alpha \) fra trekanten \(ACG \) lik? Selvfølgelig, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Bytt inn verdien av radiusen \(AC\) i denne formelen og få:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Så, kan du si hvilke koordinater punktet \(C\) som tilhører sirkelen har? Vel, ingen måte? Hva om du innser at \(\cos \ \alpha \) og \(\sin \alpha \) bare er tall? Hvilken koordinat tilsvarer \(\cos \alpha \)? Vel, selvfølgelig, koordinaten \(x\)! Og hvilken koordinat tilsvarer \(\sin \alpha \)? Det stemmer, koordinere \(y\)! Så poenget \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Hva er da \(tg \alpha \) og \(ctg \alpha \) lik? Det stemmer, la oss bruke de tilsvarende definisjonene av tangent og cotangens og få det \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Hva om vinkelen er større? For eksempel, som på dette bildet:
Hva har endret seg i dette eksemplet? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, la oss snu igjen til en rettvinklet trekant. Tenk på en rettvinklet trekant \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : vinkel (som ved siden av vinkel \(\beta \) ). Hva er verdien av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Det er riktig, vi holder oss til de tilsvarende definisjonene av trigonometriske funksjoner:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\vinkel ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\vinkel ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
Vel, som du kan se, tilsvarer verdien av sinusen til vinkelen fortsatt koordinaten \(y\) ; verdien av cosinus til vinkelen - koordinat \(x\) ; og verdiene av tangent og cotangens til de tilsvarende forholdene. Dermed gjelder disse relasjonene for enhver rotasjon av radiusvektoren.
Det er allerede nevnt at startposisjonen til radiusvektoren er langs den positive retningen til \(x\)-aksen. Så langt har vi rotert denne vektoren mot klokken, men hva skjer hvis vi roterer den med klokken? Ikke noe ekstraordinært, du vil også få en vinkel med en viss verdi, men bare den vil være negativ. Når vi roterer radiusvektoren mot klokken, får vi altså positive vinkler, og når du roterer med klokken – negativ.
Så vi vet at hele omdreiningen til radiusvektoren rundt sirkelen er \(360()^\sirkel \) eller \(2\pi \) . Er det mulig å rotere radiusvektoren med \(390()^\sirkel \) eller med \(-1140()^\sirkel \)? Vel, selvfølgelig kan du det! I det første tilfellet, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), dermed vil radiusvektoren gjøre en hel omdreining og stoppe ved posisjonen \(30()^\circ \) eller \(\dfrac(\pi )(6) \) .
I det andre tilfellet, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), det vil si at radiusvektoren vil gjøre tre hele omdreininger og stoppe ved posisjonen \(-60()^\circ \) eller \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Fra eksemplene ovenfor kan vi konkludere med at vinkler som avviker med \(360()^\circ \cdot m \) eller \(2\pi \cdot m \) (hvor \(m \) er et hvilket som helst heltall ), tilsvarer den samme posisjonen til radiusvektoren.
Figuren under viser vinkelen \(\beta =-60()^\circ \) . Det samme bildet tilsvarer hjørnet \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse vinklene kan skrives med den generelle formelen \(\beta +360()^\circ \cdot m\) eller \(\beta +2\pi \cdot m \) (hvor \(m \) er et hvilket som helst heltall)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Nå, når du kjenner definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene og bruker enhetssirkelen, prøv å svare på hva verdiene er:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\tekst (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Her er en enhetssirkel for å hjelpe deg:
Har du vanskeligheter? Så la oss finne ut av det. Så vi vet at:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array)\)
Herfra bestemmer vi koordinatene til punktene som tilsvarer visse vinkelmål. Vel, la oss starte i rekkefølge: hjørnet inn \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) tilsvarer et punkt med koordinater \(\left(0;1 \right) \) , derfor:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\tekst(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 90()^\circ \)- eksisterer ikke;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Videre, ved å følge den samme logikken, finner vi ut at hjørnene i \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) samsvarer med punkter med koordinater \(\venstre(-1;0 \høyre),\tekst( )\venstre(0;-1 \høyre),\tekst( )\venstre(1;0 \høyre),\tekst( )\venstre(0 ;1 \right) \), henholdsvis. Når du vet dette, er det lett å bestemme verdiene til trigonometriske funksjoner på de tilsvarende punktene. Prøv selv først, og sjekk deretter svarene.
Svar:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Høyrepil \tekst(ctg)\ \pi \)- eksisterer ikke
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\tekst(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 270()^\circ \)- eksisterer ikke
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\tekst(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(ctg)\ 2\pi \)- eksisterer ikke
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\tekst(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 450()^\circ \)- eksisterer ikke
\(\tekst(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Dermed kan vi lage følgende tabell:
Det er ikke nødvendig å huske alle disse verdiene. Det er nok å huske korrespondansen mellom koordinatene til punktene på enhetssirkelen og verdiene til trigonometriske funksjoner:
\(\venstre. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Du må huske eller kunne vise det!! \) !}
Men verdiene til de trigonometriske funksjonene til vinkler i og \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) gitt i tabellen nedenfor, må du huske:
Ikke vær redd, nå skal vi vise deg ett eksempel på en ganske enkel memorering av de tilsvarende verdiene:
For å bruke denne metoden er det viktig å huske sinusverdiene for alle tre vinkelmålene ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), samt verdien av tangenten til vinkelen i \(30()^\circ \) . Når du kjenner disse \(4\) verdiene, er det ganske enkelt å gjenopprette hele tabellen - cosinusverdiene overføres i samsvar med pilene, det vil si:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) Når du vet dette, kan du gjenopprette verdiene for \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Telleren "\(1 \)" vil tilsvare \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) og nevneren "\(\sqrt(\text(3)) \)" vil tilsvare \(\tekst (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangensverdier overføres i samsvar med pilene angitt i figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med pilene, vil det være nok å huske bare \(4\) verdier fra tabellen.
Koordinater til et punkt på en sirkel
Er det mulig å finne et punkt (dets koordinater) på en sirkel, og kjenne koordinatene til sirkelens sentrum, radius og rotasjonsvinkel? Vel, selvfølgelig kan du det! La oss utlede en generell formel for å finne koordinatene til et punkt. For eksempel, her er en sirkel foran oss:
Vi får det poenget \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er \(1,5\) . Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet \(P\) oppnådd ved å rotere punktet \(O\) med \(\delta \) grader.
Som det fremgår av figuren, tilsvarer koordinaten \(x\) til punktet \(P\) lengden på segmentet \(TP=UQ=UK+KQ\) . Lengden på segmentet \(UK\) tilsvarer koordinaten \(x\) til sentrum av sirkelen, det vil si at den er lik \(3\) . Lengden på segmentet \(KQ\) kan uttrykkes ved å bruke definisjonen av cosinus:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Høyrepil KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Så har vi det for punktet \(P\) koordinaten \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Ved å bruke samme logikk finner vi verdien av y-koordinaten for punktet \(P\) . Dermed,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Så generelt er koordinatene til punktene bestemt av formlene:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Hvor
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinater til sentrum av sirkelen,
\(r\) - radius av sirkelen,
\(\delta \) - rotasjonsvinkelen til vektorradiusen.
Som du kan se, for enhetssirkelen vi vurderer, er disse formlene betydelig redusert, siden koordinatene til sentrum er lik null og radius er lik en:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
JavaScript er deaktivert i nettleseren din.For å utføre beregninger må du aktivere ActiveX-kontroller!