3. I et regulært trekantet prisme ABCA 1 B 1 C 1, der alle kanter er lik 1, finn vinkelen mellom linjene: AB og A 1 C. Løsning: Ønsket vinkel er lik vinkelen B 1 A 1 C. I trekanten B 1 A 1 C tegner vi høyde CD 1. I en rettvinklet trekant A 1 CD 1 ben A 1 D 1 er lik 0,5; hypotenusen A 1 C er lik. Derfor,
Løsning 1. La O 1 være sentrum av den regulære sekskanten A 1 ...F 1. Da er den rette linjen AO1 parallell med den rette linjen BC 1, og ønsket vinkel mellom de rette linjene AB 1 og BC 1 er lik vinkelen B 1 AO 1. I den likebenede trekanten B 1 AO 1 har vi : O 1 B 1 = 1; AB 1 = AO 1 =. Ved å anvende cosinussetningen får vi.
Løsning 2. La oss introdusere et koordinatsystem, og vurdere at punkt A er opprinnelsen til koordinatene, punkt B har koordinater (1, 0, 0), punkt A 1 har koordinater (0, 0, 1). Da har punkt C 1 koordinater (1,5, 1). En vektor har koordinater (1, 0, 1), en vektor har koordinater (0,5, 1). La oss bruke formelen som uttrykker cosinus til vinkelen mellom vektorer gjennom deres skalarprodukt og lengde. Vi har. Derfor er cosinus for vinkelen mellom rette linjer AB 1 og BC 1 0,75.
Løsning 2. La oss introdusere et koordinatsystem, og vurdere at punkt A er opprinnelsen til koordinatene, punkt B har koordinater (1, 0, 0), punkt A 1 har koordinater (0, 0, 1). Da har punkt D 1 koordinater (1, 1). En vektor har koordinater (1, 0, 1), en vektor har koordinater (0, 1). La oss bruke formelen som uttrykker cosinus til vinkelen mellom vektorer gjennom deres skalarprodukt og lengde. Vi har. Derfor er cosinus til vinkelen mellom rette linjer AB 1 og BC 1 lik.
Løsning 1. La oss bevise at vinkelen mellom rette linjer AB 1 og BE 1 er lik 90 grader. For å gjøre dette bruker vi teoremet om tre perpendikulære. Nemlig, hvis den ortogonale projeksjonen av et skråplan på et plan er vinkelrett på en rett linje som ligger i dette planet, så er selve den skråstilte vinkelrett på denne rette linjen. Den ortogonale projeksjonen av BE 1 på planet ABB 1 er den rette linjen A 1 B, vinkelrett på AB 1. Følgelig vil den rette linjen BE 1 også være vinkelrett på den rette linjen AB 1, dvs. ønsket vinkel er 90°.
Løsning 2. Gjennom punkt B trekker vi en linje parallelt med linjen AB 1, og betegner G 1 dens skjæringspunkt med linje A 1 B 1. Ønsket vinkel er lik vinkel E 1 BG 1. Side BG 1 av trekant E 1 BG 1 er lik. I den høyre trekanten BEE 1 er bena BE og EE 1 lik henholdsvis 2 og 1. Derfor er hypotenusen til BE 1 lik. I en rettvinklet trekant G 1 A 1 E 1 er bena A 1 G 1 og A 1 E 1 lik 2 hhv. Derfor er hypotenusen G 1 E 1 lik. I trekanten BE 1 G 1 har vi altså: BG 1 =, BE 1 =, G 1 E 1 =. I følge teoremet inverst til Pythagoras teorem finner vi at vinkelen E 1 BG 1 er lik 90 grader.
Løsning 3. La oss introdusere et koordinatsystem, og vurdere at punkt A er opprinnelsen til koordinatene, punkt B har koordinater (1, 0, 0), punkt A 1 skal ha koordinater (0, 0, 1), punkt E skal ha koordinater (0, 0). Da har punktet E 1 koordinater (0, 1), vektoren har koordinater (1, 0, 1), vektoren har koordinater (-1, 1). La oss bruke formelen som uttrykker cosinus til vinkelen mellom vektorer gjennom deres skalarprodukt og lengde. Vi har, og derfor er vinkelen mellom rette linjer AB 1 og BE 1 lik 90 grader.
13. I et regulært trekantet prisme ABCA 1 B 1 C 1, der alle kanter er lik 1, finn vinkelen mellom planene ABC og A 1 B 1 C. Løsning: La O, O 1 være midtpunktene til kantene AB og A 1 B 1. Den ønskede lineære vinkelen vil være vinkel OCO 1. I en rettvinklet trekant OCO 1 har vi OO 1 = 1; OC = Derfor
16. I det regulære 6. prismet A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn vinkelen mellom planene CDF 1 og AFD 1. Svar: Løsning: La O være sentrum av prismet, G, G 1 midtpunktene til kantene CD og C 1 D 1. Den nødvendige vinkelen er lik vinkelen GOG 1. I trekanten GOG 1 har vi: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Derfor = 60 o.
Kube 1 I terning A...D 1, finn vinkelen mellom linjene AC og BD 1. Svar. 90 o.
Kube 2 I terning A...D 1, finn vinkelen mellom linjene AB 1 og BD 1. Svar. 90 o.
Kube 3 I terning A...D 1, finn vinkelen mellom linjene DA 1 og BD 1. Svar. 90 o.
Terning 4 I enhetsterningen A...D 1 finner du cosinus til vinkelen mellom linjene AE og BE 1, hvor E og E 1 er midtpunktene til henholdsvis kantene BC og B 1 C 1. Løsning. Gjennom punkt A trekker vi en linje AF 1 parallelt med BE 1. Ønsket vinkel er lik vinkelen EAF 1. I trekanten AEF 1 AE = AF 1 = , EF 1 =. Ved å bruke cosinussetningen finner vi svaret.
Terning 5 I terning A...D 1 finner du vinkelen mellom linjene AE og BF 1, hvor E og F 1 er midtpunktene til henholdsvis kantene BC og C 1 D 1. Løsning. Fra punkt F 1 senker vi perpendikulæren F 1 F til den rette linjen CD. Linje AE er vinkelrett på BF, derfor er den vinkelrett på BF 1. Svar. 90 o.
Pyramide 1 I et vanlig tetraeder ABCD, finn vinkelen mellom linjene AD og BC. Svar: 90 o.
Pyramide 1 I et vanlig tetraeder ABCD er punktene E, F, G midtpunktene til kantene AB, BD, CD. Finn vinkelen EFG. Løsning. Linjene EF og FG er parallelle med linjene AD og BC, som er vinkelrette. Derfor er vinkelen mellom dem 90 grader. Svar: 90 o.
Pyramide 2 I en vanlig pyramide SABCD, hvor alle kanter er lik 1, er punkt E midten av kanten SC. Finn tangenten til vinkelen mellom linjene SA og BE. Løsning. Gjennom punkt E trekker vi en linje parallelt med SA. Den vil skjære basen ved punkt O. Den nødvendige vinkelen er lik vinkel OEB. I den høyre trekanten OEB har vi: OB = Svar: , OE = . Derfor,
Pyramide 3 I en vanlig pyramide SABCD, der alle kanter er lik 1, er punktene E, F midtpunktene til kantene SB og SC. Finn cosinus til vinkelen mellom linjene AE og BF. Løsning. La G betegne midtpunktet på kanten AD. Linje GF er parallell med AE. Den nødvendige vinkelen er lik vinkel BFG. I trekant BFG har vi: BF = GF = , BG = . Ved å bruke cosinussetningen finner vi svaret:
Pyramide 4 I en vanlig pyramide SABCDEF, hvis grunnsider er lik 1 og sidekantene er lik 2, finn vinkelen mellom linjene SA og BF. Svar: 90 o.
Pyramide 5 I en vanlig pyramide SABCDEF, hvis grunnsider er lik 1 og sidekantene er lik 2, er punkt G midten av kanten SC. Finn tangenten til vinkelen mellom linjene SA og BG. Løsning. La H betegne midtpunktet til segmentet AC. Linje GH er parallell med SA. Den nødvendige vinkelen er lik vinkelen BGH. I trekanten BGH har vi: BH = 0, 5, GH = 1. Svar:
Prisme 1 I et regulært trekantet prisme ABCA 1 B 1 C 1, der alle kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom rette linjer AB 1 og BC 1. Løsning: La oss bygge prismet til et 4-vinklet prisme . La oss tegne AD 1 parallelt med BC 1. Ønsket vinkel vil være lik vinkel B 1 AD 1. I trekanten AB 1 D 1 Ved hjelp av cosinussetningen finner vi
Prisme 2 I et regulært trekantet prisme ABCA 1 B 1 C 1, hvor alle kanter er lik 1, er punktene D, E midtpunktene til kantene A 1 B 1 og B 1 C 1. Finn cosinus til vinkelen mellom linjene AD og BE. Løsning. La F betegne midtpunktet til segmentet AC. Linje EF er parallell med AD. Den nødvendige vinkelen er lik vinkelen BEF. I trekant BGH har vi: Ved å bruke cosinusloven finner vi svaret.
Prisme 3 I et regulært 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn vinkelen mellom rette linjer AA 1 og BD 1. Løsning: Den nødvendige vinkelen er lik vinkel B 1 BD 1. I en rettvinklet trekant B 1 BD 1 B 1 D 1 =; B1B = 1; BD 1=2. Derfor er ønsket vinkel 60°. Svar. 60 o.
Prisme 4 I et regulært 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn tangenten til vinkelen mellom rette linjer AA 1 og BE 1. Løsning: Ønsket vinkel er lik vinkel B 1 BE 1. I en rettvinklet trekant er B 1 BE 1 ben B 1 E 1 lik 2; side B 1 B er lik 1. Svar derfor. 2.
Prisme 5 I et regulært 6. prisme A…F 1, hvis kanter er lik 1, finn vinkelen mellom rette linjer AC 1 og BE. Svar. 90 o.
Prisme 6 I et regulært 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn vinkelen mellom rette linjer AD 1 og BF. Svar. 90 o.
Prisme 7 I et regulært 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn vinkelen mellom rette linjer AB 1 og BE 1. Svar. 90 o.
Prisme 8 I det regulære 6. prismet A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom rette linjer BA 1 og FC 1. Løsning: Gjennom midten O av segmentet FC 1, tegne en rett linje PP 1, parallelt med BA 1. Ønsket vinkel er lik vinkelen POC 1. I trekant POC 1 har vi: PO = ; OC 1= PC 1= Svar derfor. .
Prisme 9 I det regulære 6. prismet A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom rette linjer AB 1 og BC 1. Løsning: La O 1 være sentrum av den regulære 6. prisme A 1...F 1. Da er AO 1 parallell BC 1, og den nødvendige vinkelen er lik vinkel B 1 AO 1. I en likebenet trekant B 1 AO 1 O 1 B 1=1; AB 1=AO 1= Ved å anvende cosinussetningen får vi
Prisme 10 I det regulære 6. prismet A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom rette linjer AB 1 og BD 1. Løsning: Ønsket vinkel er lik vinkel B 1 AE 1. I trekant B 1 AE 1 AB 1= ; B 1 E 1 = AE 1 = 2. Derfor,
Prisme 11 I et regulært 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom rette linjer AB 1 og BF 1. Løsning: La O, O 1 være sentrum av baser av prismet. På prismets akse plotter vi O 1 O 2 = OO 1. Da vil F 1 O 2 være parallell med AB 1, og ønsket vinkel vil være lik vinkelen BF 1 O 2. I trekanten BF 1 O 2 B02 = BF1 = 2; F 1 O 2 = Ved cosinussetningen har vi
Prisme 12 I et regulært 6. prisme A…F 1, hvis kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom rette linjer AB 1 og CD 1. Løsning: Ønsket vinkel er lik vinkelen CD 1 E. I trekanten CD 1 E CD 1= ED 1 = ; CE = Ved cosinussetningen har vi
Prisme 13 I det regulære 6. prismet A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom rette linjer AB 1 og CE 1. Løsning: Merk at CE 1 er parallell med BF 1. Derfor er den nødvendige vinkelen lik vinkelen mellom AB 1 og BF 1, som ble funnet tidligere. Nemlig
Prisme 14 I et regulært 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom rette linjer AB 1 og CF 1. Løsning: La O, O 1 være sentrum av baser av prismet. På prismets akse plotter vi O 1 O 2 = OO 1. Da vil F 1 O 2 være parallell med AB 1, og ønsket vinkel vil være lik vinkelen CF 1 O 2. I trekanten CF 1 O 2 CO 2= CF 1 = F 1 O 2 = Da
Prisme 15 I det regulære 6. prismet A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom rette linjer AB 1 og CA 1. Løsning: I fortsettelsen av BB 1 legger du B til side 1 B 2 = BB 1. Da vil A 1 B 2 være parallell med AB 1, og ønsket vinkel vil være lik vinkel CA 1 B 2. I en trekant CA 1 B 2 CA 1= 2; CB 2 = A 1 B 2 = Da
Prisme 16 I det regulære 6. prismet A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom rette linjer AB 1 og DF 1. Løsning: Merk at DF 1 er parallell med CA 1. Derfor er den ønskede vinkelen lik vinkelen mellom AB 1 og CA 1, som ble funnet tidligere. Nemlig
Prisme 17 I det regulære 6. prismet A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn vinkelen mellom rette linjer AB 1 og DA 1. Løsning: I fortsettelsen av BB 1 legger vi til side B 1 B 2 = BB 1. Da vil A 1 B 2 være parallell AB 1, og den nødvendige vinkelen vil være lik vinkelen DA 1 B 2. I trekanten DA 1 B 2 DA 1= DB 2 = A 1 B 2 = Derfor, den nødvendige vinkelen er 90 o.
Prisme 18 I et regulært 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom rette linjer AB 1 og DC 1. Løsning: La O være midten av bunnen av prisme. Segmentene OC 1 og OB 1 vil være like og parallelle med henholdsvis segmentene AB 1 og DC 1. Ønsket vinkel vil være lik vinkel B 1 OC 1. I trekanten B 1 OC 1 OB 1 = OC 1 = ; B 1 C 1 = 1. Deretter ved cosinussetningen
Prisme 19 I det regulære 6. prismet A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom linjene AC 1 og BD 1. Løsning: Merk at AE 1 er parallell med BD 1. Derfor , den ønskede vinkelen er lik vinkel C 1 AE 1 I trekant C 1 AE 1 AC 1 = AE 1 = 2; C 1 E 1 = Ved cosinussetningen har vi
Prisme 20 I et regulært 6. prisme A...F 1, hvis kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom linjene AC 1 og BE 1. Løsning: Merk at segmentet GG 1 går gjennom midtpunktene til kantene AF og C 1 D 1 er parallelle og er lik segmentet AC 1. Den nødvendige vinkelen er lik vinkelen G 1 OE 1. I trekanten G 1 OE 1 OG 1 = 1; OE 1 =; G 1 E 1 = Ved cosinussetningen har vi.
Unified State Exam 2010. MATEMATIKK
Oppgave C2
Arbeidsbok
Redigert av og
Forlag MCNMO
2010
INTRODUKSJON
Denne håndboken er ment å forberede deg til å fullføre oppgave C2 i Unified State-eksamen i matematikk. Dens mål er:
– viser omtrentlige emner og vanskelighetsgrad for geometriske problemer inkludert i innholdet i Unified State Examination;
– sjekke kvaliteten på studentenes kunnskap og ferdigheter i geometri, deres beredskap til å ta Unified State Exam;
– utvikling av elevenes ideer om grunnleggende geometriske figurer og deres egenskaper, utvikling av ferdigheter i å arbeide med tegninger og evne til å utføre tilleggskonstruksjoner;
– forbedre datakulturen til studenter.
Manualen inneholder problemer med å finne vinkler mellom rette linjer i rommet, en rett linje og et plan, to plan; finne avstandene fra et punkt til en linje, fra et punkt til et plan, mellom to linjer. Tilstedeværelsen av tegninger bidrar til å bedre forstå forholdene til problemene, forestille seg den tilsvarende geometriske situasjonen, skissere en løsningsplan og utføre ytterligere konstruksjoner og beregninger.
For å løse de foreslåtte problemene kreves kunnskap om definisjonene av trigonometriske funksjoner, formler for å finne elementene i en trekant, Pythagoras teorem, cosinussetningen, evnen til å utføre tilleggskonstruksjoner og kunnskap om koordinat- og vektormetoder for geometri. .
Hver oppgave scores basert på to poeng. Ett poeng gis for å konstruere eller beskrive ønsket vinkel eller avstand korrekt. Det gis også ett poeng for riktig utførte beregninger og riktig svar.
Først foreslås diagnostisk arbeid for å finne vinkler og avstander for ulike polyedre. For de som ønsker å kontrollere riktigheten av løsningene på de foreslåtte oppgavene eller forsikre seg om at svaret som er mottatt er riktig, gis løsninger på oppgavene, vanligvis på to forskjellige måter, og svarene er gitt. Deretter, for å konsolidere de vurderte metodene for å løse problemer, foreslås treningsarbeid for å finne vinkler og avstander for hver av figurtypene som vurderes i det diagnostiske arbeidet.
Hvis disse oppgavene løses på en vellykket måte, kan du gå videre til å utføre endelig diagnostisk arbeid som inneholder oppgaver av forskjellige typer.
På slutten av manualen er det gitt svar på alle problemer.
Legg merke til at den beste måten å forberede seg til Unified State-eksamen i geometri er å systematisk studere i en lærebok i geometri. Denne håndboken erstatter ikke læreboken. Den kan brukes som ekstra samling oppgaver ved studiet av geometri på 10.-11. trinn, samt ved organisering av generalisert repetisjon eller selvstendige geometristudier.
Diagnostisk arbeid
1.1. I en enhetskube EN…D 1 finn vinkelen mellom linjene AB 1 og B.C. 1.
1.2.
I en enhetskube EN…D 1 finn vinkelen mellom linjene D.A. 1 og BD 1.
1.3 . ABCA 1B 1C AD 1 og C.E. 1, hvor D 1 og E 1 – henholdsvis midten av ribbeina EN 1C 1 og B 1C 1.
2.1. EN…F A.F. og fly
2.2.
I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, der alle kanter er lik 1, finn vinkelen mellom linjen CC 1 og fly
2.3
. SABCD VÆRE og fly LEI SEG., Hvor E– midten av ribben S.C..
3.1.
I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lik 1, finn vinkelen mellom planene
AFF 1 og DEE 1.
3.2. I en enhetskube EN…D
LEGG TIL 1 og BDC 1.
3.3.
I et vanlig trekantet prisme ABCA 1B 1C 1D 1 ACB 1 og B.A. 1C 1.
4.1. I et vanlig sekskantet prisme EN…F EN til en rett linje D 1F 1.
4.2.
I en enhetskube EN…D EN til en rett linje BD 1.
4.3. SABCDEF F til en rett linje B.G., Hvor G– midten av ribben S.C..
5.1. I en enhetskube EN…D 1 finn avstanden fra punktet ENå fly BDA 1.
5.2.
I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF, sidene av basen er lik 1 og sidekantene er lik 2, finn avstanden fra punktet ENå fly SBC.
5.3.
I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punktet ENå fly B.F.E. 1.
6.1.
I en vanlig firkantet pyramide SABCD S.A. Og B.C..
6.2. I en enhetskube EN…D AB 1 og B.C. 1.
6.3.
I et vanlig sekskantet prisme EN…F A.A. 1 og CF 1.
Løsninger på problemer 1.1 – 1.3 med diagnostisk arbeid
1.1.
Første løsning. Rett AD 1 er parallell med linjen B.C. 1 og dermed vinkelen mellom linjene AB 1 og B.C. 1 er lik vinkel B 1AD 1. Trekant B 1AD 1 likesidet og derfor vinkel B 1AD 1 er lik 60o.
Andre løsning EN, koordinatakser – rette linjer AB, AD, A.A. 1. Vektor har koordinater (1, 0, 1). Vektor har koordinater (0, 1, 1). La oss bruke formelen for å finne cosinus til vinkelen mellom vektorer Og . Vi får, og derfor er vinkelen 60°. Derfor ønsket vinkel mellom linjene AB 1 og B.C. 1 er lik 60o.
Svar. 60o.
1.2. Første løsning. Tenk på den ortogonale projeksjonen AD 1 rett BD 1 per fly LEGG TIL 1. Rett AD 1 og D.A. 1 er vinkelrett. Av teoremet om tre perpendikulærer følger det at rette linjer D.A. 1 og BD 1 er også perpendikulære, dvs. den ønskede vinkelen mellom rette linjer D.A. 1 og BD 1 er lik 90o.
Andre løsning. La oss introdusere et koordinatsystem, vurdere punktet som opprinnelsen til koordinatene EN, koordinatakser – rette linjer AB, AD, A.A. 1. Vektor har koordinater (0, -1, 1). Vektor har koordinater (-1, 1, 1). Skalarproduktet til disse vektorene er lik null og derfor den ønskede vinkelen mellom linjene D.A. 1 og BD 1 er lik 90o.
Svar. 90o.
1.3 . Første løsning. La oss betegne D Og F 1 henholdsvis midten av ribbeina A.C. Og EN 1B 1.
Direkte DC 1 og DF 1 vil være parallelle med rette linjer AD 1 og C.E. 1. Derfor vinkelen mellom linjene AD 1 og C.E. 1 vil være lik vinkelen C 1DF 1. Trekant C 1DF 1 likebenet, DC 1 = DF 1 = , C 1F 1 = . Ved å bruke cosinussetningen får vi 
.
Andre løsning. La oss introdusere et koordinatsystem, vurdere punktet som opprinnelsen til koordinatene EN, som vist på bildet. Punktum C har koordinater , punkt D 1 har koordinater, punkt E 1 har koordinater. Vektoren har koordinater. Vektoren har koordinater 
. Cosinus av vinkelen mellom linjene AD 1 og C.E. 1 er lik cosinus til vinkelen mellom vektorene og . La oss bruke formelen for å finne cosinus til vinkelen mellom vektorer. Vi får det.
Svar. 0,7.
Treningsarbeid 1. Vinkel mellom rette linjer
1.
Terninger EN…D 1 finn cosinus til vinkelen mellom linjene AB Og C.A. 1.
2. I et vanlig tetraeder ABCD punktum E– midten av ribben CD. Finn cosinus til vinkelen mellom linjene B.C. Og A.E..
3. I et vanlig trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, der alle kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom linjene AB Og C.A. 1.
4.
I en vanlig firkantet pyramide SABCD E– midten av ribben SD S.B. Og A.E..
5.
I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, der alle kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom linjene AB Og F.E. 1.
6. I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, der alle kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom linjene AB 1 og B.C. 1.
7. I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF S.B. Og A.E..
8. I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF, sidene av basen er lik 1 og sidekantene er lik 2, finn cosinus til vinkelen mellom linjene S.B. Og AD.
Løsninger på problemer 2.1 – 2.3 med diagnostisk arbeid
2.1. Løsning. La O– midten av den nedre basen av prismet. Rett B.O. parallell A.F.. Siden flyet ABC Og BCC 1 er vinkelrett, så vil den nødvendige vinkelen være vinkelen OBC. Siden trekanten OBC likesidet, så vil denne vinkelen være lik 60°.
Svar. 60o.
2.2.
Løsning. Siden rett BB 1 og CC 1 er parallelle, så vil den ønskede vinkelen være lik vinkelen mellom den rette linjen BB 1 og fly BDE 1. Direkte BD, som flyet passerer gjennom BDE 1, vinkelrett på planet ABB 1 og derfor et fly BDE 1 vinkelrett på planet ABB 1. Derfor vil ønsket vinkel være lik vinkelen EN 1BB 1, dvs. lik 45o.
Svar. 45o.
2.3. Løsning. Gjennom toppen S tegne en linje parallelt med linjen AB, og plott et segment på den SF, lik segmentet AB. I et tetraeder SBCF alle kanter er lik 1 og planet BCF parallelt med flyet LEI SEG.. Vinkelrett E.H., falt fra poenget E til flyet BCF, er lik halve høyden av tetraederet, dvs. lik . Vinkel mellom rett linje VÆRE og fly LEI SEG. lik vinkel EBH, hvis sinus er lik .
Svar. .
Treningsarbeid 2. Vinkel mellom en rett linje og et plan
1.
Terninger EN…D 1 finn tangenten til vinkelen mellom linjen A.C. 1 og fly
2.
Terninger EN…D AB og fly
C.B. 1D 1.
3.
I et vanlig tetraeder ABCD punktum E– midten av ribben BD. Finn sinusen til vinkelen mellom linjen A.E. og fly
4. I et vanlig trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, der alle kanter er lik 1, finn tangenten til vinkelen mellom linjen BB 1 og fly
AB 1C 1.
5. I en vanlig firkantet pyramide SABCD, der alle kanter er lik 1, finn sinusen til vinkelen mellom linjen BD og fly
6.
I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF B.C. og fly
7. I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, der alle kanter er lik 1, finn vinkelen mellom linjen A.A. 1 og fly
8. I et vanlig sekskantet prisme EN…F B.C. 1 og fly
Løsninger på problemer 3.1 – 3.3 diagnostisk arbeid
3.1.
Første løsning. Siden flyet FCC 1 parallelt med planet DEE AFF 1 og FCC 1. Siden flyet AFF 1 og FCC 1 vinkelrett på planet ABC A.F.C., som er lik 60o.
Andre løsning. Siden flyet AFF 1 parallelt med planet BIE 1, så er den ønskede vinkelen lik vinkelen mellom planene BIE 1 og DEE 1. Siden flyet BIE 1 og DEE 1 vinkelrett på planet ABC, da vil den tilsvarende lineære vinkelen være vinkelen SENG, som er lik 60o.
Svar. 60o.
3.2.
Løsning. Siden flyet LEGG TIL 1 parallelt med planet BCC 1, så er den ønskede vinkelen lik vinkelen mellom planene BCC 1 og BDC 1. La E– midten av segmentet B.C. 1. Så rett C.E. Og DE vil være vinkelrett på linjen B.C. 1 og dermed vinkelen CED vil være den lineære vinkelen mellom planene BCC 1 og BDC 1. Trekant CED rektangulær, ben CD tilsvarer 1, ben C.E. lik . Derfor, 
.
3.3. La DE– skjæringslinjen for disse planene, F– midten av segmentet DE, G– midten av segmentet EN 1C 1. Vinkel GFB 1 er den lineære vinkelen mellom disse planene. I en trekant GFB 1 vi har: FG =
FB 1 = , G.B. 1 = . Ved å bruke cosinussetningen finner vi 
.
Svar. .
Treningsarbeid 3. Vinkel mellom to plan
1.
Terninger EN…D 1 finn tangenten til vinkelen mellom planene
ABC Og C.B. 1D 1.
2.
Terninger EN…D B
EN 1C 1 og AB 1D 1.
3.
I et vanlig trekantet prisme ABCA 1B 1C
ABC Og C.A. 1B 1.
4. I en vanlig firkantet pyramide SABCD, der alle kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom planene S
AD Og SBC.
5. I en vanlig firkantet pyramide SABCD, som alle kanter er lik 1, finn cosinus til den dihedrale vinkelen dannet av flatene
SBC Og SCD.
6.
I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF
SBC Og S.E.F..
7. I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF, sidene av basen er lik 1 og sidekantene er lik 2, finn cosinus til vinkelen mellom planene
SAF Og SBC.
8. I et vanlig sekskantet prisme EN… F 1, der alle kanter er lik 1, finn tangenten til vinkelen mellom planene
ABC Og D.B. 1F 1.
Løsninger på problemer 4.1 – 4.3 med diagnostisk arbeid
4.1. Løsning. Siden det er rett D 1F 1 vinkelrett på planet AFF 1, deretter segmentet A.F. 1 vil være den nødvendige perpendikulæren droppet fra punktet EN direkte D 1F 1. Lengden er .
4.2. Første løsning A.H. høyre trekant ABD 1, hvori AB = 1, AD 1 = , BD 1 = . For areal S . Hvor finner vi det fra? A.H. = .
Andre løsning. Den nødvendige vinkelrett er høyden A.H. høyre trekant ABD 1, hvori AB = 1, AD 1 = , BD 1 = . Trekanter DÅRLIG 1 og B.H.A. AD 1:BD 1 = A.H.:AB. Hvor finner vi det fra? A.H. = .
Tredje løsning. Den nødvendige vinkelrett er høyden A.H. høyre trekant ABD 1, hvori AB = 1, AD 1 = , BD 1 = . Hvor 
og derfor 
Svar. .
4.3. Nødvendig avstand fra punktet F til en rett linje B.G. lik høyde FH triangel FBG, hvori FB = FG = , B.G.= . Ved å bruke Pythagoras teorem finner vi FH = .
Treningsarbeid 4. Avstand fra et punkt til en linje
1.
I en enhetskube EN…D 1 finn avstanden fra punktet B til en rett linje D.A. 1.
2.
I et vanlig trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punktet B til en rett linje A.C. 1.
3. I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF, sidene av basen er lik 1 og sidekantene er lik 2, finn avstanden fra punktet S til en rett linje B.F..
4.
I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF, sidene av basen er lik 1 og sidekantene er lik 2, finn avstanden fra punktet B til en rett linje S.A..
5.
I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punktet B til en rett linje EN 1F 1.
6. I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punktet B til en rett linje EN 1D 1.
7.
I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punktet B til en rett linje F.E. 1.
8. I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punktet B til en rett linje AD 1.
Løsninger på problemer 5.1 – 5.3 med diagnostisk arbeid
5.1.
Første løsning. La O– midten av segmentet BD. Rett BD vinkelrett på planet AOA 1. Derfor fly BDA 1 og AOA EN til flyet BDA 1, er høyden A.H. høyre trekant AOA 1, hvori A.A. 1 = 1, A.O. = , O.A. 1 = . For areal S av denne trekanten holder likhetene . Hvor finner vi det fra? A.H. = .
Andre løsning. La O– midten av segmentet BD. Rett BD vinkelrett på planet AOA 1. Derfor fly BDA 1 og AOA 1 er vinkelrett. Den nødvendige perpendikularen falt fra punktet EN til flyet BDA 1, er høyden A.H. høyre trekant AOA 1, hvori A.A. 1 = 1, A.O. = , O.A. 1 = . Trekanter AOA 1 og HOA lik i tre vinkler. Derfor, A.A. 1:O.A. 1 = A.H.:A.O.. Hvor finner vi det fra? A.H. = .
Tredje løsning. La O– midten av segmentet BD. Rett BD vinkelrett på planet AOA 1. Derfor fly BDA 1 og AOA 1 er vinkelrett. Den nødvendige perpendikularen falt fra punktet EN til flyet BDA 1, er høyden A.H. høyre trekant AOA 1, hvori A.A. 1 = 1, A.O. = , O.A. 1 = . Hvor 
og derfor 
Svar. .
5.2.
Første løsning. La O A.O. parallelt med linjen B.C. SBC Oå fly SBC. La G– midten av segmentet B.C.. Så rett O.G. vinkelrett B.C. O til flyet SBC, er høyden ÅH høyre trekant SOG. I denne trekanten O.G. = , S.G. = , SÅ= . For areal S av denne trekanten holder likhetene . Hvor finner vi det fra? ÅH = .
Andre løsning. La O– midten av bunnen av pyramiden. Rett A.O. parallelt med linjen B.C. og derfor parallelt med flyet SBC. Derfor er den nødvendige avstanden lik avstanden fra punktet Oå fly SBC. La G– midten av segmentet B.C.. Så rett O.G. vinkelrett B.C. og ønsket perpendikulær falt fra punktet O til flyet SBC, er høyden ÅH høyre trekant SOG. I denne trekanten O.G. = , S.G. = , SÅ= . Trekanter SOG Og OHG lik i tre vinkler. Derfor, SÅ:S.G. = ÅH:O.G.. Hvor finner vi det fra? ÅH = .
Svar. .
5.3. Første løsning. La O Og O 1 – senter av prismebasene. Rett A.O. 1 parallelt med planet B.F.E. 1 og dermed avstanden fra punktet ENå fly B.F.E. 1 er lik avstanden fra linjen A.O. 1 til fly B.F.E. 1. Fly AOO 1 vinkelrett på planet B.F.E. 1 og dermed avstanden fra den rette linjen A.O. 1 til fly B.F.E. 1 er lik avstanden fra linjen A.O. 1 til skjæringslinjen GG 1 fly AOO 1 og B.F.E. 1. Trekant AOO 1 rektangulær, A.O. =
OO 1 = 1, GG 1 – midtlinjen. Derfor er avstanden mellom linjene A.O. 1 og GG 1 er lik halve høyden ÅH triangel AOO 1, dvs. lik .
Andre løsning. La G– skjæringspunkt for linjer AD Og B.F.. Vinkel mellom rett linje AD og fly B.F.E. 1 er lik vinkelen mellom linjene B.C. Og B.C. 1 og er lik 45o. Vinkelrett A.H., falt fra poenget EN til flyet B.F.E. 1, lik . Fordi A.G. = 0,5 da A.H. = .
Svar. .
Treningsarbeid 5. Avstand fra punkt til fly
1.
I en enhetskube EN…D 1 finn avstanden fra punktet ENå fly C.B. 1D 1.
2.
I en enhetskube EN…D 1 finn avstanden fra punktet ENå fly BDC 1.
3.
I et vanlig trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punktet ENå fly B.C.A. 1.
4.
I et vanlig trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punktet ENå fly C.A. 1B 1.
5. I en vanlig firkantet pyramide SABCD, som alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punktet ENå fly SCD.
6. I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF, sidene av basen er lik 1 og sidekantene er lik 2, finn avstanden fra punktet ENå fly SDE.
7. I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punktet ENå fly D.E.A. 1.
8. I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punktet ENå fly DEF 1.
Løsninger på problemer 6.1 – 6.3 med diagnostisk arbeid
6.1. Løsning. Rett B.C. parallelt med flyet LEI SEG., som inneholder den rette linjen S.A.. Derfor er avstanden mellom linjene S.A. Og B.C. lik avstanden fra den rette linjen B.C.å fly LEI SEG..
La E Og F henholdsvis midten av ribbeina AD Og B.C.. Da vil den nødvendige vinkelrett være høyden FH triangel S.E.F.. I en trekant S.E.F. vi har: EF = 1, S.E. = SF= , høyde SÅ lik . For areal S triangel S.E.F. likestillingene holder, som vi henter fra.
6.2.
Løsning. Fly AB 1D 1 og BDC 1, hvori disse linjene ligger, er parallelle. Derfor er avstanden mellom disse rette linjene lik avstanden mellom de tilsvarende planene.
Diagonal C.A. 1 kube er vinkelrett på disse planene. La oss betegne E Og F diagonale skjæringspunkter C.A. 1 henholdsvis med fly AB 1D 1 og BDC 1. Lengde på segmentet EF vil være lik avstanden mellom linjene AB 1 og B.C. 1. La O Og O 1 henholdsvis midten av ansiktene ABCD Og EN 1B 1C 1D 1 kube. I en trekant ESS linjestykke AV parallell A.E. og går gjennom midten A.C.. Derfor, AV ESS og derfor, EF = F.C.. På samme måte er det bevist at O 1E– midtlinjen i trekanten EN 1C 1F og derfor, EN 1E = EF. Dermed, EF er en tredjedel av diagonalen C.A. 1, dvs. EF = .
Svar. .
6.3. Løsning. Avstand mellom linjene A.A. 1 og CF 1 er lik avstanden mellom parallelle plan ABB 1 og CFF 1 hvor disse linjene ligger. Det er likt.
Treningsarbeid 6. Avstand mellom to rette linjer
1.
I en enhetskube EN…D 1 finn avstanden mellom linjene B.A. 1 og D.B. 1.
2.
I et vanlig trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden mellom linjene CC 1 og AB.
3.
I et vanlig trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden mellom linjene AB Og C.B. 1.
4.
I en vanlig firkantet pyramide SABCD, som alle kanter er lik 1, finn avstanden mellom linjene S.B. Og A.C..
5.
I en vanlig firkantet pyramide SABCD, som alle kanter er lik 1, finn avstanden mellom linjene S.A. Og CD.
6.
I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF S.B. Og A.F..
7.
I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF, sidene på basen er lik 1 og sidekantene er lik 2, finn avstanden mellom linjene S.B. Og A.E..
8.
I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden mellom linjene BB 1 og EF 1.
Diagnostisk arbeid 1
1. Terninger EN…D 1 finn vinkelen mellom linjene B.A. 1 og B 1D 1.
2. I et vanlig trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, der alle kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom linjene AB 1 og B.C. 1.
3.
I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, der alle kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom linjene AB 1 og DC 1.
4. Terninger EN…D 1 finn sinusen til vinkelen mellom linjen EN 1 D 1 og fly
5. I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF, sidene av basen er lik 1 og sidekantene er lik 2, finn sinusen til vinkelen mellom linjen AB og fly
6.
I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, der alle kanter er lik 1, finn sinusen til vinkelen mellom linjen A.F. 1 og fly
7. I en vanlig firkantet pyramide SABCD, der alle kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom planene
ABC Og SCD.
8.
I et vanlig sekskantet prisme EN…F
AFF 1 og BCC 1.
9. Terninger EN…D 1 finn cosinus til vinkelen mellom planene
AB 1D 1 og C.B. 1D 1.
10. I en enhetskube EN…D 1 finn avstanden fra punktet B til en rett linje D.A. 1.
11. I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punktet EN til en rett linje E.B. 1.
12.
I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF, sidene av basen er lik 1 og sidekantene er lik 2, finn avstanden fra punktet EN til en rett linje SD.
13. I en enhetskube EN…D 1 finn avstanden fra punktet Bå fly D.A. 1C 1.
14. I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punktet ENå fly B.F.A. 1.
15.
I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF, sidene av basen er lik 1 og sidekantene er lik 2, finn avstanden fra punktet ENå fly S.C.E..
16.
I et vanlig trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden mellom linjene A.A. 1 og B.C..
17. I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden mellom linjene BB 1 og CD 1.
18. I en enhetskube EN…D 1 finn avstanden mellom linjene AB 1 og BD 1.
Diagnostisk arbeid 2
1. Terninger EN…D 1 finn vinkelen mellom linjene AB 1 og BD 1.
2. I en vanlig firkantet pyramide SABCD, som alle kanter er lik 1, punkt E– midten av ribben S.B.. Finn tangenten til vinkelen mellom linjene S.A. Og VÆRE.
3. I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, der alle kanter er lik 1, finn cosinus til vinkelen mellom linjene AB 1 og BD 1.
4. Terninger EN…D 1 finn sinusen til vinkelen mellom linjen DD 1 og fly
5. I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF, sidene av basen er lik 1 og sidekantene er lik 2, finn sinusen til vinkelen mellom linjen A.F. og fly
6. I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, der alle kanter er lik 1, finn sinusen til vinkelen mellom linjen B.C. 1 og fly
7.
I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF, sidene av basen er lik 1 og sidekantene er lik 2, finn cosinus til vinkelen mellom planene
ABC Og S.E.F..
8.
I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1 finn vinkelen mellom planene
AFF 1 og BDD 1.
9. Terninger EN…D 1 finn tangenten til vinkelen mellom planene
ABC Og D.A. 1C 1.
10.
I et vanlig trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punktet EN til en rett linje C.B. 1.
11.
I et vanlig sekskantet prisme EN … F 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punktet EN til en rett linje VÆRE 1.
12. I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF, sidene av basen er lik 1 og sidekantene er lik 2, finn avstanden fra punktet EN til en rett linje S.C..
13.
I en enhetskube EN…D 1 finn avstanden fra punktet Bå fly AB 1D 1.
14.
I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punktet ENå fly CEF 1.
15.
I en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF, sidene av basen er lik 1 og sidekantene er lik 2, finn avstanden fra punktet ENå fly SBF.
16.
I et vanlig trekantet prisme ABCA 1B 1C 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden mellom linjene A.A. 1 og B.C. 1.
17. I et vanlig sekskantet prisme EN…F 1, hvor alle kanter er lik 1, finn avstanden mellom linjene BB 1 og F.E. 1.