La oss forstå hva en sirkel og en sirkel er. Formel for areal av en sirkel og omkrets.
Hver dag kommer vi over mange gjenstander som er formet som en sirkel eller tvert imot en sirkel. Noen ganger oppstår spørsmålet: hva er en sirkel og hvordan skiller den seg fra en sirkel? Selvfølgelig har vi alle tatt geometritimer, men noen ganger skader det ikke å friske opp kunnskapen din med noen veldig enkle forklaringer.
Hva er omkretsen og arealet til en sirkel: definisjon
Så en sirkel er en lukket buet linje som begrenser eller tvert imot danner en sirkel. En forutsetning for en sirkel er at den har et sentrum og alle punktene er like langt fra den. Enkelt sagt er en sirkel en gymnastikkbøyle (eller som det ofte kalles en hulahopring) på et flatt underlag.
Omkretsen til en sirkel er den totale lengden av selve kurven som danner sirkelen. Som kjent, uavhengig av størrelsen på sirkelen, er forholdet mellom dens diameter og lengde lik tallet π = 3,141592653589793238462643.
Det følger av dette at π=L/D, der L er omkretsen og D er sirkelens diameter.
Hvis du kjenner diameteren, kan lengden bli funnet ved å bruke en enkel formel: L= π* D
Hvis radiusen er kjent: L=2 πR
Vi har funnet ut hva en sirkel er og kan gå videre til definisjonen av en sirkel.
En sirkel er en geometrisk figur som er omgitt av en sirkel. Eller en sirkel er en figur, hvis grense består av et stort antall punkter like langt fra midten av figuren. Hele området som er inne i en sirkel, inkludert sentrum, kalles en sirkel.
Det er verdt å merke seg at sirkelen og sirkelen som er plassert i den har samme radius og diameter. Og diameteren er på sin side dobbelt så stor som radiusen.
En sirkel har et område på et plan, som kan finnes ved hjelp av en enkel formel:
Hvor S er arealet av sirkelen, og R er sirkelens radius.
Hvordan skiller en sirkel seg fra en sirkel: forklaring
Hovedforskjellen mellom en sirkel og en sirkel er at en sirkel er en geometrisk figur, mens en sirkel er en lukket kurve. Legg også merke til forskjellene mellom en sirkel og en sirkel:
- En sirkel er en lukket linje, og en sirkel er området innenfor den sirkelen;
- En sirkel er en buet linje på et plan, og en sirkel er et rom lukket inn i en ring av en sirkel;
- Likheter mellom sirkel og sirkel: radius og diameter;
- Sirkelen og omkretsen har et enkelt senter;
- Hvis rommet inne i sirkelen er skyggelagt, blir det til en sirkel;
- En sirkel har en lengde, men en sirkel har ikke det, og omvendt har en sirkel et areal som en sirkel ikke har.
Sirkel og omkrets: eksempler, bilder
For klarhetens skyld foreslår vi at du ser på et bilde som viser en sirkel til venstre og en sirkel til høyre.
Formel for omkrets og areal av en sirkel: sammenligning
Formel for omkrets L=2 πR
Formel for arealet av en sirkel S= πR²
Vær oppmerksom på at begge formlene inneholder radius og tallet π. Det anbefales å huske disse formlene, da de er de enkleste og vil definitivt komme godt med i hverdagen og på jobben.
Arealet av en sirkel etter omkrets: formel
S=π(L/2π)=L²/4π, der S er arealet av sirkelen, L er omkretsen.
Video: Hva er en sirkel, omkrets og radius
En sirkel er en buet lukket linje på et plan, der alle punkter er i samme avstand fra ett punkt; dette punktet kalles sentrum av sirkelen.
Den delen av planet som er avgrenset av en sirkel kalles en sirkel.
Et rett linjestykke som forbinder et punkt på en sirkel med sentrum kalles en radius(Fig. 84).
Siden alle punktene i sirkelen er i samme avstand fra sentrum, er alle radiene i samme sirkel like med hverandre. Radius er vanligvis angitt med bokstaven R eller r.
Et punkt tatt inne i en sirkel er plassert fra sentrum i en avstand mindre enn radiusen. Dette kan enkelt verifiseres hvis en radius trekkes gjennom dette punktet (fig. 85).
Et punkt tatt utenfor sirkelen er plassert fra sentrum i en avstand større enn radiusen. Dette kan enkelt verifiseres ved å koble dette punktet til midten av sirkelen (fig. 85).
Et rett linjestykke som forbinder to punkter på en sirkel kalles en korde.
Korden som går gjennom midten kalles diameteren(Fig. 84). Diameteren er vanligvis betegnet med bokstaven D. Diameteren er lik to radier:
Siden alle radiene til den samme sirkelen er lik hverandre, er alle diametrene til en gitt sirkel lik hverandre.
Teorem. En korde som ikke går gjennom midten av en sirkel er mindre enn diameteren tegnet i samme sirkel.
Faktisk, hvis vi tegner en akkord, for eksempel AB, og forbinder endene med midten O (fig. 86), vil vi se at akkorden AB er mindre enn den stiplede linjen AO+OB, dvs. AB r, og siden 2 r= D, deretter AB
Hvis sirkelen er bøyd langs diameteren (fig. 87), vil begge deler av sirkelen og sirkelen justeres. Diameteren deler sirkelen og omkretsen i to like deler.
To sirkler (to sirkler) kalles like hvis de kan legges over hverandre slik at de faller sammen.
Derfor er to sirkler (to sirkler) med like radier like.
2. En sirkelbue.
En del av en sirkel kalles en bue.
Ordet "bue" erstattes noen ganger med tegnet \(\breve( )\). En bue er betegnet med to eller tre bokstaver, hvorav to er plassert i enden av buen, og den tredje på et eller annet punkt på buen. På tegning 88 er to buer indikert: \(\breve(ACB)\) og \(\breve(ADB)\).
Når en bue er mindre enn en halvsirkel, er den vanligvis betegnet med to bokstaver. Dermed kan bue ADB betegnes \(\breve(AB)\) (fig. 88). En akkord som forbinder endene av en bue sies å underspenne buen.
Hvis vi flytter buen AC (fig. 89, a) slik at den glir langs den gitte sirkelen, og hvis den samtidig faller sammen med buen MN, så er \(\breve(AC)\) = \(\breve (NM)\).
På tegning 89, b, er buene AC og AB ikke like med hverandre. Begge buene begynner ved punkt A, men den ene buen \(\breve(AB)\) er bare en del av den andre buen \(\breve(AC)\).
Derfor \(\breve(AC)\) > \(\breve(AB)\); \(\breve(AB)\)
Konstruere en sirkel med tre punkter
Oppgave. Tegn en sirkel gjennom tre punkter som ikke ligger på samme linje.
La oss få tre punkter A, B og C som ikke ligger på samme rette linje (fig. 311).
La oss koble disse punktene med segmentene AB og BC. For å finne punkter like langt fra punktene A og B, del segmentet AB i to og tegn en linje vinkelrett på AB gjennom midten (punkt M). Hvert punkt i denne perpendikulæren er like langt fra punktene A og B.
For å finne punkter like langt fra punktene B og C deler vi segmentet BC i to og trekker en linje vinkelrett på BC gjennom midten (punkt N). Hvert punkt i denne perpendikulæren er like langt fra punktene B og C.
Punkt O i skjæringspunktet mellom disse perpendikulære vil være i samme avstand fra disse punktene A, B og C (AO = BO = CO). Hvis vi, tar punktet O som sentrum av en sirkel, med en radius lik AO, tegner en sirkel, så vil den gå gjennom alle gitte punkter A, B og C.
Punkt O er det eneste punktet som kan tjene som sentrum av en sirkel som går gjennom tre punkter A, B og C som ikke ligger på samme linje, siden to perpendikulærer til segmentene AB og BC kan krysse bare i ett punkt. Dette betyr at problemet har en unik løsning.
Merk. Hvis tre punkter A, B og C ligger på samme rette linje, vil ikke problemet ha en løsning, siden perpendikulærene til segmentene AB og BC vil være parallelle og det vil ikke være noe punkt like langt fra punktene A, B, C, dvs. et punkt som kan tjene som sentrum av den ønskede sirkelen.
Hvis vi kobler punktene A og C med et segment og forbinder midten av dette segmentet (punkt K) med sentrum av sirkelen O, så vil OK være vinkelrett på AC (fig. 311), siden i den likebenede trekanten er AOC OK medianen, derfor OK⊥AC.
Konsekvens. Tre perpendikulære sider på sidene av en trekant trukket gjennom midtpunktene deres, skjærer hverandre i ett punkt.
Demomateriale: kompass, materiale for eksperiment: runde gjenstander og tau (for hver elev) og linjaler; sirkelmodell, fargestifter.
Mål: Studerer konseptet "sirkel" og dets elementer, etablerer forbindelser mellom dem; introduksjon av nye vilkår; utvikle evnen til å gjøre observasjoner og trekke konklusjoner ved hjelp av eksperimentelle data; pleie kognitiv interesse for matematikk.
I løpet av timene
I. Organisatorisk øyeblikk
Hilsener. Målsetting.
II. Verbal telling
III. Nytt materiale
Blant alle slags flate figurer skiller to hovedfigurer seg ut: trekanten og sirkelen. Disse tallene har vært kjent for deg siden tidlig barndom. Hvordan definere en trekant? Gjennom segmenter! Hvordan kan vi finne ut hva en sirkel er? Tross alt, bøyer denne linjen på hvert punkt! Den berømte matematikeren Grathendieck, som husket skoleårene sine, bemerket at han ble interessert i matematikk etter å ha lært definisjonen av en sirkel.
La oss tegne en sirkel ved hjelp av en geometrisk enhet - kompass. Konstruere en sirkel med et demonstrasjonskompass på tavlen:
- marker et punkt på flyet;
- Vi justerer benet på kompasset med spissen med det merkede punktet, og roterer benet med pennen rundt dette punktet.
Resultatet er en geometrisk figur - sirkel.
(lysbilde nr. 1)
Så hva er en sirkel?
Definisjon. Omkrets - er en lukket buet linje, som alle punkter er i lik avstand fra et gitt punkt på planet, kalt senter sirkler.
(lysbilde nr. 2)
Hvor mange deler deler et fly en sirkel i?
Punkt O- senter sirkler.
ELLER - radius sirkel (dette er et segment som forbinder sentrum av sirkelen med et hvilket som helst punkt på den). På latin radius- hjul-Eik.
AB – akkord sirkel (dette er et segment som forbinder to punkter på en sirkel).
DC – diameter sirkel (dette er en akkord som går gjennom midten av sirkelen). Diameter kommer fra det greske "diameter".
DR– bue sirkel (dette er en del av en sirkel avgrenset av to punkter).
Hvor mange radier og diametre kan tegnes i en sirkel?
Den delen av planet innenfor sirkelen og selve sirkelen danner en sirkel.
Definisjon. Sirkel - Dette er den delen av planet som er avgrenset av en sirkel. Avstanden fra et hvilket som helst punkt på sirkelen til sentrum av sirkelen overskrider ikke avstanden fra sentrum av sirkelen til noe punkt på sirkelen.
Hvordan skiller en sirkel og en sirkel seg fra hverandre, og hva har de til felles?
Hvordan er lengdene på radiusen (r) og diameteren (d) til en sirkel relatert til hverandre?
d = 2 * r (d- diameter lengde; r – radius lengde)
Hvordan er lengdene til en diameter og eventuelle akkorder relatert?
Diameter er den største akkorden i en sirkel!
Sirkelen er en utrolig harmonisk figur de gamle grekerne anså den som den mest perfekte, siden sirkelen er den eneste kurven som kan "gli av seg selv" og rotere rundt midten. Hovedegenskapen til en sirkel svarer på spørsmålene hvorfor kompass brukes til å tegne den og hvorfor hjul er laget runde, og ikke firkantede eller trekantede. Forresten, om hjulet. Dette er en av menneskehetens største oppfinnelser. Det viser seg at å komme opp med hjulet ikke var så lett som det kan virke. Tross alt, selv aztekerne, som bodde i Mexico, kjente ikke hjulet før nesten på 1500-tallet.
Sirkelen kan tegnes på rutete papir uten kompass, det vil si for hånd. Riktignok viser sirkelen seg å være en viss størrelse. (Lærer viser på det rutete brettet)
Regelen for å skildre en slik sirkel er skrevet som 3-1, 1-1, 1-3.
Tegn en fjerdedel av en slik sirkel for hånd.
Hvor mange celler er radiusen til denne sirkelen lik? De sier at den store tyske kunstneren Albrecht Dürer kunne tegne en sirkel så nøyaktig med én bevegelse av hånden (uten regler) at en etterfølgende kontroll med et kompass (senteret ble angitt av kunstneren) ikke viste noen avvik.
Laboratoriearbeid
Du vet allerede hvordan du måler lengden på et segment, finn omkretsen til polygoner (trekant, firkant, rektangel). Hvordan måle lengden på en sirkel hvis selve sirkelen er en buet linje, og måleenheten for lengde er et segment?
Det er flere måter å måle omkrets på.
Sporet fra sirkelen (én omdreining) på en rett linje.
Læreren tegner en rett linje på tavlen, markerer et punkt på den og på grensen til sirkelmodellen. Kombinerer dem, og ruller deretter sirkelen jevnt i en rett linje til det merkede punktet EN på en sirkel vil ikke være på en rett linje i et punkt I. Linjestykke AB vil da være lik omkretsen.
Leonardo da Vinci: "Bevegelsen av vogner har alltid vist oss hvordan vi kan rette ut omkretsen av en sirkel."
Oppgave til studenter:
a) tegne en sirkel ved å sirkle bunnen av en rund gjenstand;
b) pakk bunnen av gjenstanden med tråd (en gang) slik at enden av tråden faller sammen med begynnelsen på samme punkt på sirkelen;
c) rett ut denne tråden til et segment og mål lengden med en linjal, dette vil være omkretsen.
Læreren er interessert i måleresultatene til flere elever.
Disse metodene for direkte måling av omkretsen er imidlertid upraktiske og gir grove resultater. Derfor begynte de siden antikken å se etter mer avanserte måter å måle omkrets på. Under måleprosessen la vi merke til at det er et visst forhold mellom lengden på en sirkel og lengden på dens diameter.
d) Mål diameteren på bunnen av objektet (den største av akkordene i sirkelen);
e) finn forholdet C:d (nøyaktig til tideler).
Spør flere elever om resultatene av beregninger.
Mange forskere og matematikere prøvde å bevise at dette forholdet er et konstant tall, uavhengig av størrelsen på sirkelen. Den gamle greske matematikeren Archimedes var den første som gjorde dette. Han fant en ganske nøyaktig betydning for dette forholdet.
Dette forholdet begynte å bli betegnet med en gresk bokstav (les "pi") - den første bokstaven i det greske ordet "periferi" er en sirkel.
C - omkrets;
d – diameter lengde.
Historisk informasjon om tallet π:
Arkimedes, som bodde i Syracuse (Sicilia) fra 287 til 212 f.Kr., fant meningen uten målinger, bare ved å resonnere
Faktisk kan tallet π ikke uttrykkes som en eksakt brøk. Matematikeren Ludolph fra 1500-tallet hadde tålmodighet til å beregne det med 35 desimaler og testamenterte denne verdien av π til å bli skåret ut på gravmonumentet hans. I 1946 – 1947 to forskere beregnet uavhengig de 808 desimalene til pi. Nå er mer enn en milliard siffer av tallet π funnet på datamaskiner.
Den omtrentlige verdien av π, nøyaktig til fem desimaler, kan huskes ved å bruke følgende linje (basert på antall bokstaver i ordet):
π ≈ 3,14159 – "Jeg vet og husker dette perfekt."
Introduksjon til omkretsformelen
Når du vet at C:d = π, hva blir lengden på sirkel C?
(lysbilde nr. 3) C = πd C = 2πr
Hvordan ble den andre formelen til?
Leser: omkrets er lik produktet av tallet π og dets diameter (eller to ganger produktet av tallet π og dets radius).
Arealet av en sirkel er lik produktet av tallet π og kvadratet av radien.
S=πr 2
IV. Problemløsning
№1. Finn lengden på en sirkel hvis radius er 24 cm. Avrund tallet π til nærmeste hundredel.
Løsning:π ≈ 3,14.
Hvis r = 24 cm, så er C = 2 π r ≈ 2 3,14 24 = 150,72 (cm).
Svar: omkrets 150,72 cm.
nr. 2 (muntlig): Hvordan finne lengden på en bue lik en halvsirkel?
Oppgave: Hvis du vikler en ledning rundt jordkloden langs ekvator og deretter legger til 1 meter til lengden, vil en mus kunne skli mellom ledningen og bakken?
Løsning: C = 2 πR, C+1 = 2π(R+x) 
Ikke bare en mus, men også en stor katt vil gli inn i et slikt gap. Og det ser ut til, hva betyr 1 m sammenlignet med 40 millioner meter av jordens ekvator?
V. Konklusjon
- Hvilke hovedpunkter bør du være oppmerksom på når du bygger en sirkel?
- Hvilke deler av leksjonen var mest interessante for deg?
- Hva nytt lærte du i denne leksjonen?
Løsning på kryssord med bilder(lysbilde nr. 3)
Den er ledsaget av en repetisjon av definisjonene av sirkel, akkord, bue, radius, diameter, formler for omkrets. Og som et resultat - nøkkelordet: "CIRCLE" (horisontalt).
Leksjonssammendrag: karaktersetting, kommentarer til lekser. Hjemmelekser: s. 24, nr. 853, 854. Utfør et eksperiment for å finne tallet π 2 ganger til.
For de fleste voksne er skoletid forbundet med en bekymringsløs barndom. Mange kvier seg selvsagt for å gå på skolen, men bare der kan de få grunnleggende kunnskaper som senere vil være nyttige for dem i livet. En av disse er spørsmålet om hvorvidt og sirkelen. Det er ganske lett å forveksle disse begrepene, fordi ordene har samme rot. Men forskjellen mellom dem er ikke så stor som den kan virke for et uerfarent barn. Barn elsker dette emnet på grunn av dets enkelhet.
Hva er en sirkel?
En sirkel er en lukket linje, hvor hvert punkt er like langt fra det sentrale. Det mest slående eksemplet på en sirkel er en bøyle, som er en lukket kropp. Egentlig er det ikke nødvendig å snakke mye om sirkelen. I spørsmålet om hva en sirkel og en sirkel er, er den andre delen mye mer interessant.
Hva er en sirkel?
Tenk deg at du bestemte deg for å fargelegge sirkelen tegnet over. For å gjøre dette kan du velge hvilken som helst farger: blå, gul eller grønn - hva som passer din smak. Og så begynte du å fylle tomrommet med noe. Når dette var fullført, endte vi opp med en form kalt en sirkel. I hovedsak er en sirkel en del av en overflate skissert av en sirkel.
En sirkel har flere viktige parametere, hvorav noen også er karakteristiske for en sirkel. Den første er radiusen. Det er avstanden mellom sentralpunktet i en sirkel (eller sirkel) og selve sirkelen, som skaper sirkelens grenser. Den andre viktige egenskapen, som gjentatte ganger brukes i skoleproblemer, er diameter (det vil si avstanden mellom motsatte punkter i sirkelen).
Og til slutt, den tredje egenskapen iboende i en sirkel er arealet. Denne egenskapen er kun spesifikk for den, sirkelen har ikke noe areal på grunn av det faktum at den ikke har noe inne, og sentrum, i motsetning til sirkelen, er mer imaginært enn ekte. I selve sirkelen kan du etablere et tydelig senter der du kan tegne en rekke linjer som deler den inn i sektorer.
Eksempler på en sirkel i det virkelige liv
Faktisk er det nok mulige objekter som kan kalles en type sirkel. For eksempel, hvis du ser direkte på et bilhjul, så er her et eksempel på en ferdig sirkel. Ja, det trenger ikke å være fylt i en enkelt farge. Det andre eksemplet på en sirkel er solen. Selvfølgelig vil det være vanskelig å se på det, men det ser ut som en liten sirkel på himmelen.
Ja, selve solstjernen er ikke en sirkel, den har også volum. Men selve solen, som vi ser over hodet om sommeren, er en typisk sirkel. Riktignok vil han fortsatt ikke være i stand til å beregne arealet. Tross alt er sammenligningen med en sirkel gitt bare for klarhet, for å gjøre det lettere å forstå hva en sirkel og en sirkel er.
Forskjeller mellom en sirkel og en sirkel
Så hvilken konklusjon kan vi trekke? Forskjellen mellom en sirkel og en sirkel er at sistnevnte har et areal, og i de fleste tilfeller er sirkelen grensen til sirkelen. Selv om det er unntak ved første øyekast. Det kan noen ganger virke som det ikke er noen sirkel i en sirkel, men det er ikke slik. I alle fall er det noe. Det er bare det at sirkelen kan være veldig liten, og da er den ikke synlig for det blotte øye.
Sirkelen kan også være det som gjør at sirkelen skiller seg ut fra bakgrunnen. For eksempel, i bildet ovenfor, er den blå sirkelen på en hvit bakgrunn. Men linjen som vi forstår at figuren begynner med, kalles i dette tilfellet en sirkel. Dermed er omkretsen en sirkel. Dette er forskjellen mellom en sirkel og en sirkel.
Hva er en sektor?
En sektor er en del av en sirkel som er dannet av to radier trukket langs den. For å forstå denne definisjonen trenger du bare å tenke på pizza. Når den er kuttet i like stykker, er alle deler av sirkelen, som presenteres i form av en så deilig rett. I dette tilfellet trenger ikke sektorene nødvendigvis å være like. De kan ha forskjellige størrelser. Hvis du for eksempel kutter halvparten av en pizza, vil den også være en del av denne sirkelen.
Objektet representert av dette konseptet kan bare ha en sirkel. Dette kan også gjøres, selvfølgelig, men etter det vil det bli en sirkel) har ikke noe areal, så det vil ikke være mulig å velge en sektor.
konklusjoner
Ja, temaet sirkel og omkrets (hva er det) er veldig lett å forstå. Men generelt er alt relatert til disse det vanskeligste å studere. En student må være forberedt på at en sirkel er en lunefull figur. Men, som de sier, det er vanskelig å lære, men det er lett å kjempe. Ja, geometri er en kompleks vitenskap. Men dens vellykkede mestring lar deg ta et lite skritt mot suksess. Fordi innsats i læring lar deg ikke bare fylle på din egen kunnskap, men også tilegne deg ferdighetene som er nødvendige i livet. Egentlig er det dette skolen har som mål. Og svaret på spørsmålet om hva en sirkel og en sirkel er er sekundært, selv om det er viktig.