Hvis du tegner flere segmenter sekvensielt på et plan slik at hver neste begynner på stedet der den forrige sluttet, får du brutt linje. Disse segmentene kalles lenker, og skjæringspunktene deres kalles toppunkter. Når slutten av det siste segmentet krysser startpunktet til det første, vil du få en lukket stiplet linje som deler flyet i to deler. En av dem er endelig, og den andre er uendelig.

Enkel lukket linje sammen med den delen av planet som finnes i det (den som er endelig) kalles en polygon. Segmentene er sider, og vinklene de danner er hjørner. Antall sider av en polygon er lik antallet hjørner. En figur som har tre sider kalles en trekant, og fire kalles en firkant. En polygon er numerisk karakterisert ved en verdi som areal, som viser størrelsen på figuren. Hvordan finne arealet til en firkant? Dette læres av grenen matematikk - geometri.

For å finne arealet til en firkant, må du vite hvilken type det er - konveks eller ikke-konveks? det hele ligger relativt rett (og det inneholder nødvendigvis noen av sidene) på den ene siden. I tillegg er det slike typer firkanter som parallellogrammer med parvis like og parallelle motsatte sider(dens varianter: rektangel med rette vinkler, rombe med like sider, en firkant med alle rette vinkler og fire like sider), en trapes med to parallelle motsatte sider, og en deltoid med to par tilstøtende sider som er like.

Arealet til en hvilken som helst polygon er funnet ved å bruke generell metode, som består i å dele den inn i trekanter og beregne arealet for hver vilkårlig trekant og legge sammen resultatene. Noen konveks firkant er delt inn i to trekanter, er en ikke-konveks trekant delt inn i to eller tre i dette tilfellet kan det være summen av summen og differansen av resultatene. Arealet til en hvilken som helst trekant beregnes som halvparten av produktet av basen (a) og høyden (ħ) trukket til basen. Formelen som brukes i dette tilfellet for beregning er skrevet som: S = ½. en. ħ.

Hvordan finne arealet til en firkant, for eksempel et parallellogram? Du må vite lengden på grunnflaten (a), lengden på siden (ƀ) og finne sinusen til vinkelen α dannet av grunnflaten og siden (sinα), formelen for beregningen vil se slik ut: S = a. ƀ. sinα. Siden sinusen til vinkelen α er produktet av grunnflaten til et parallellogram og dets høyde (ħ = ƀ) - en linje vinkelrett på grunnflaten, beregnes arealet ved å multiplisere basen med høyden: S = a. ħ. Denne formelen er også egnet for å beregne arealet til en rombe og et rektangel. Siden rektangelet sideƀ faller sammen med høyden ħ, deretter beregnes arealet ved hjelp av formelen S = a. ƀ. fordi a = ƀ, vil være lik kvadratet på siden: S = a. a = a². beregnes som halvparten av summen av sidene multiplisert med høyden (den er tegnet vinkelrett på bunnen av trapesen): S = ½. (a + ƀ) . ħ.

Hvordan finne arealet til en firkant hvis lengden på sidene er ukjent, men diagonalene (e) og (f), samt sinusen til vinkelen α, er kjent? I dette tilfellet beregnes arealet som halvparten av produktet av diagonalene (linjene som forbinder polygonens toppunkter) multiplisert med sinusen til vinkelen α. Formelen kan skrives som følger: S = ½. (e.f). sinα. Spesielt i dette tilfellet vil det være lik halvparten av produktet av diagonalene (linjer som forbinder motsatte hjørner av romben): S = ½. (e. f).

Hvordan finne arealet til en firkant som ikke er et parallellogram eller trapes, kalles det vanligvis en vilkårlig firkant. Arealet til en slik figur uttrykkes gjennom halvperimeteren (P er summen av to sider med et felles toppunkt), sidene a, ƀ, c, d og summen av to motsatte hjørner(α + β): S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ). (Ρ-c). (Ρ - d) - a. ƀ. c. d. cos² ½ (α + β)].

Hvis en φ = 180°, for å beregne arealet, bruk formelen til Brahmagupta (indisk astronom og matematiker som levde på 600-700-tallet e.Kr.): S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ). (Ρ-c). (Ρ - d)]. Hvis en firkant er beskrevet av en sirkel, så (a + c = ƀ + d), og arealet beregnes: S = √[ a. ƀ. c. d] . sin ½ (α + β). Hvis en firkant samtidig er omskrevet av en sirkel og innskrevet i en annen sirkel, må du beregne arealet følgende formel: S = √.

Torget geometrisk figur - numerisk karakteristikk en geometrisk figur som viser størrelsen på denne figuren (en del av overflaten begrenset av den lukkede konturen til denne figuren). Størrelsen på området er uttrykt ved antall inneholdt i det kvadratiske enheter.

Trekantarealformler

1. Formel for arealet av en trekant ved side og høyde
   Arealet av en trekant lik halvparten av produktet av lengden av en side av en trekant og lengden av høyden trukket til denne siden
   
2. Formel for arealet til en trekant basert på tre sider og radiusen til den omskrevne sirkelen
   
3. Formel for arealet av en trekant basert på tre sider og radiusen til den innskrevne sirkelen
   Arealet av en trekant er lik produktet av halvperimeteren til trekanten og radiusen til den innskrevne sirkelen.
   
hvor S er arealet av trekanten,
- lengder på sidene i trekanten,
- høyden på trekanten,
- vinkelen mellom sidene og,
- radius av den innskrevne sirkelen,
R - radius av den omskrevne sirkelen,

Kvadratarealformler

1. Formel for arealet av et kvadrat ved sidelengde
   Firkantet område lik kvadratet på lengden på siden.
2. Formel for arealet av en firkant langs diagonallengden
   Firkantet område lik halve kvadratet av lengden på diagonalen.
   

   S=	1	2
   	2

hvor S er arealet av kvadratet,
- lengden på siden av firkanten,
- lengden på kvadratets diagonal.

Formel for rektangelareal

Arealet av et rektangel lik produktet av lengdene til de to tilstøtende sidene

hvor S er arealet av rektangelet,
- lengder på sidene av rektangelet.

Parallelogramarealformler

1. Formel for arealet av et parallellogram basert på sidelengde og høyde
   Arealet av et parallellogram
2. Formel for arealet til et parallellogram basert på to sider og vinkelen mellom dem
   Arealet av et parallellogram er lik produktet av lengdene på sidene multiplisert med sinusen til vinkelen mellom dem.
   

   a b sin α

hvor S er arealet av parallellogrammet,
- lengder på sidene av parallellogrammet,
- lengden på parallellogramhøyden,
- vinkelen mellom sidene av parallellogrammet.

Formler for området til en rombe

1. Formel for området til en rombe basert på sidelengde og høyde
   Området til en rombe er lik produktet av lengden på siden og lengden på høyden senket til denne siden.
2. Formel for arealet til en rombe basert på sidelengde og vinkel
   Området til en rombe er lik produktet av kvadratet av lengden på siden og sinusen til vinkelen mellom sidene av romben.
3. Formel for området til en rombe basert på lengden på diagonalene
   Området til en rombe lik halvparten av produktet av lengdene på diagonalene.
hvor S er arealet av romben,
- lengden på siden av romben,
- lengden på høyden på romben,
- vinkelen mellom sidene av romben,
1, 2 - lengder av diagonaler.

Trapesformler

1. Herons formel for trapes

   Hvor S er arealet av trapeset,
   - lengder på basene til trapesen,
   - lengder på sidene av trapesen,
   

Første nivå

Arealet av en trekant og firkant. Eksempler på problemløsning (2019)

Fastsettelse av areal

Hva er areal? Rart spørsmål- er det ikke? I det vanlige livet er vi vant til at alle slags flate figurer(som overflaten på et bord, en stol, gulvet i leilighetene våre, etc.) det er ikke bare lengde og bredde, men også en annen egenskap, som vi uten å nøle kaller område. La oss nå tenke på det: hva er et område egentlig?

La oss starte med det enkleste. Grunnlaget er det faktum at:

Med andre ord anser vi arealet til en firkant med en side på en meter som en "meter med areal."

Se nøye på bildet og sørg for at det virkelig er tegnet der - "kvadratmeter"! Og husk betegnelsen.

Nå er her et vanskelig spørsmål: hva er det? Arealet av en firkant med side? Men nei!

Se: en firkant med en side.

Og for å få kvadratmeter (det vil si), må vi tegne for eksempel slik:

Hvordan få, si, ? Vel, for eksempel slik:

Og generelt, hvis vi tar et rektangel hvis sider er lik meter og meter, så i dette rektangelet:

Passer nøyaktig til kvadratmeter. Se nøye: vi har "lag", som hver er nøyaktig kvadratmeter.

Dette betyr at et rektangel av størrelse x inneholder totalt kvadratmeter. Dette tallet, hvor mange kvadratmeter som passer i et rektangel, er dets torget.

Hva om figuren ikke er et rektangel i det hele tatt, men en slags abrakadabra?

Jeg vil overraske deg - det er slike forferdelige abrakadabraer som det er helt umulig å bestemme hvor mange kvadratmeter det er. Til og med ca! Dessverre er det umulig å tegne slike figurer.

Men de finnes! De ser for eksempel ut som en "kam" med veldig fine tenner.

Og så, for vanlige figurer, kan du intuitivt (det vil si for deg selv) anta at arealet til en figur er antall kvadratenheter (meter, centimeter, etc.) som "passer" i denne figuren strengt, "ekte" definisjonsområde, se følgende teorinivåer.

Og bare forestill deg, matematikere har lært å uttrykke områder for mange figurer gjennom noen lineære (de som kan måles med en linjal) elementer av figurene. Disse uttrykkene kalles "arealformler". Det er ganske mange av disse formlene - matematikere har prøvd lenge. Prøv å huske de enkleste og mest grunnleggende formlene først, og deretter de mer komplekse.

Områdeformler

Torget

Rektangel

Høyre trekant

Trekant (gratis)

Det er flere arealformler for en trekant.

Grunnformel

Den andre grunnleggende formelen

Tredje formel

Hvilken formel bør du velge for problemet ditt? De viktigste er formlene 1 og 2. Den tredje formelen må brukes hvis alt er gitt til deg: tre sider og radiusen til den innskrevne sirkelen. Men det skjer ikke, ikke sant? Derfor vi bruker formel 3 snarere det motsatte, for å finne radiusen til den innskrevne sirkelen. Deretter må du finne området ved å bruke en av formlene 1, 2 eller 4, og deretter radiusen: .

Vel, formel 4 lar deg finne arealet på begge sider ved å bruke lang aritmetikk. Og ikke gjør feil i aritmetikk når du bruker Herons formel!

Vilkårlig firkant

For en vilkårlig firkant er det ikke noe mer, men for "gode" firkanter er det andre formler.

Parallelogram

Grunnformel

Den andre formelen

Rombe

En rombe har diagonaler som er vinkelrette, altså grunnleggende for ham blir det formel:

Den andre formelen

EN tilleggsformel blir

Trapes

Grunnformel

Den andre formelen

"Vanskelige spørsmål om området"

I tillegg til problemer som rett og slett ber deg finne området, er det også alle mulige spørsmål. Vel, for eksempel:

La oss svare på dette spørsmålet på to måter. Den første metoden er formell: vi bruker formelen for arealet av en firkant. Så det var det, noe som betyr at området har økt flere ganger!

Når det gjelder ruter, er det en annen måte å "røre" på og bli overbevist direkte om dette tallet.

La oss tegne:

Hvis du ikke har en firkant, gjenstår det bare å erstatte nye verdier i formlene - og ikke bli overrasket om tallene plutselig viser seg å være ganske store.

OMRÅDE MED TREKANT OG QUADAGON. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

Høyre trekant

Firkant er en figur som består av fire hjørner, hvorav tre ikke ligger på samme linje, og segmenter som forbinder dem.

Det er mange firkanter. Disse inkluderer parallellogrammer, firkanter, romber og trapeser. Finn kan bli funnet ved sidene, enkelt beregnet av diagonaler. I en vilkårlig firkant kan du også bruke alle elementene for å utlede formelen for arealet av firkanten. Først, la oss se på formelen for arealet til en firkant når det gjelder diagonalen. For å bruke den trenger du lengdene på diagonalene og størrelsen på den spisse vinkelen mellom dem. Når du kjenner de nødvendige dataene, kan du utføre et eksempel på å beregne arealet til en firkant ved å bruke følgende formel:

Halvparten av produktet av diagonalene og sinusen til den spisse vinkelen mellom dem er arealet av firkanten. La oss vurdere et eksempel på beregning av arealet til en firkant ved hjelp av diagonalen.

La en firkant med to diagonaler d1 =5 cm;d2 =4cm gis. Skarpt hjørne mellom dem er lik α = 30°. Formelen for arealet til en firkant når det gjelder diagonalene, brukes lett for kjente forhold. La oss erstatte dataene:

Ved å bruke eksempelet på å beregne arealet til en firkant ved hjelp av diagonaler, forstår vi at formelen er veldig lik beregningen.

Arealet av en firkant langs sidene

Når lengdene på sidene til en figur er kjent, kan du bruke formelen for arealet til en firkant langs sidene. For å bruke disse beregningene, må du finne halvperimeteren til figuren. Vi husker at omkretsen er summen av lengdene til alle sider. En semiperimeter er en halv omkrets. I vårt rektangel med sidene a, b, c, d, vil halvperimeterformelen se slik ut:
Når vi kjenner sidene, utleder vi formelen. Arealet til en firkant er roten til produktet av forskjellen mellom halvperimeteren og lengden på hver side:

La oss se på et eksempel på beregning av arealet til en firkant ved å bruke sidene. Gitt en vilkårlig firkant med sidene a = 5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, d = 6 cm La oss først finne halvperimeteren.

bruk den funnet verdien for å beregne arealet:

Arealet av en firkant gitt av koordinater

Formelen for arealet til en firkant med koordinater brukes til å beregne arealet av figurer som er plassert i koordinatsystemet. I dette tilfellet må du først beregne lengdene på de nødvendige sidene. Avhengig av typen firkant, kan selve formelen endres. La oss se på et eksempel på å beregne arealet til en firkant ved å bruke et kvadrat som ligger i XY-koordinatsystemet.

Gitt et kvadrat ABCD plassert i et XY-koordinatsystem. Finn arealet av figuren hvis koordinatene til toppunktene er A (2;10); B(10;8); C(8;0); D(0;2).

Vi vet at alle sidene av figuren er like, og formelen for arealet av en firkant finner du av formelen:
La oss finne en av sidene, for eksempel AB:
La oss erstatte verdiene i formelen:
Vi vet at alle sider er like. Vi erstatter verdien i formelen for å beregne arealet:

Denne online kalkulatoren hjelper deg med å beregne, bestemme og beregne arealet av land i online-modus. Det presenterte programmet kan korrekt foreslå hvordan man beregner arealet tomter uregelmessig form.

Viktig! Det viktige området skal passe omtrent inn i sirkelen. Ellers blir ikke beregningene helt nøyaktige.

Vi angir alle data i meter

A B, D A, C D, B C— Størrelsen på hver side av tomten.

I henhold til de angitte dataene utfører programmet vårt online beregninger og bestemmer landområdet i kvadratmeter, hundredeler, dekar og hektar.

Metode for å bestemme størrelsen på en tomt manuelt

For å beregne arealet av tomter riktig, trenger du ikke bruke komplekse verktøy. Vi tar treknagger eller metallstenger og installer dem i hjørnene på nettstedet vårt. Deretter, ved hjelp av et målebånd, bestemmer du bredden og lengden på plottet. Som regel er det nok å måle en bredde og en lengde, for rektangulære eller likesidede områder. For eksempel har vi følgende data: bredde – 20 meter og lengde – 40 meter.

Deretter går vi videre til å beregne arealet av tomten. På korrekt form tomt, kan brukes geometrisk formel bestemme arealet (S) av et rektangel. I henhold til denne formelen må du multiplisere bredden (20) med lengden (40), det vil si produktet av lengdene på de to sidene. I vårt tilfelle S=800 m².

Etter at vi har bestemt vårt areal kan vi fastsette antall dekar pr jordstykke. I følge allment aksepterte data er hundre kvadratmeter 100 m². Deretter deler vi vår parameter S med 100 ved å bruke enkel aritmetikk. Det ferdige resultatet og vil være lik tomtens størrelse i dekar. For vårt eksempel er dette resultatet 8. Dermed finner vi at arealet av tomten er åtte dekar.

I tilfellet hvor landarealet er veldig stort, er det best å utføre alle målinger i andre enheter - i hektar. I henhold til allment aksepterte måleenheter - 1 Ha = 100 dekar. For eksempel, hvis tomten vår, i henhold til de oppnådde målingene, er 10 000 m², er arealet i dette tilfellet lik 1 hektar eller 100 dekar.

Hvis tomten din har uregelmessig form, avhenger antallet dekar direkte av området. Det er av denne grunn at bruk online kalkulator Du vil være i stand til å beregne parameteren S til plottet riktig, og deretter dele resultatet med 100. Dermed vil du motta beregninger i dekar. Denne metoden gjør det mulig å måle tomter komplekse former, noe som er veldig praktisk.

Total informasjon

Beregning av arealet av tomter er basert på klassiske beregninger, som utføres i henhold til generelt aksepterte geodetiske formler.

Det er flere metoder tilgjengelig for å beregne arealet av land - mekanisk (beregnet i henhold til planen ved hjelp av målepaletter), grafisk (bestemt av prosjektet) og analytisk (ved hjelp av områdeformelen basert på målte grenselinjer).

Langt mest på en nøyaktig måte fortjent vurdert - analytisk. Ved hjelp av denne metoden, feil i beregninger vises som regel på grunn av feil i terrenget til de målte linjene. Denne metoden Det er også ganske komplekst hvis grensene er buede eller antallet vinkler på plottet er mer enn ti.

Den grafiske metoden er litt lettere å beregne. Den brukes best når grensene til stedet presenteres i form av en brutt linje, med et lite antall svinger.

Og den mest tilgjengelige og enkleste metoden, og den mest populære, men samtidig den mest stor feil- mekanisk metode. Ved å bruke denne metoden kan du enkelt og raskt beregne arealet av land med enkel eller kompleks form.

Blant de alvorlige manglene ved mekanisk eller grafisk metode, marker følgende, i tillegg til feil ved måling av et sted, under beregninger legges det til en feil på grunn av papirdeformasjon eller en feil ved utarbeidelse av planer.