Området til et rektangel høres kanskje ikke arrogant ut, men det er et viktig konsept. I hverdagen møter vi det hele tiden. Finn ut størrelsen på åkre, grønnsakshager, beregn mengden maling som trengs for å kalke taket, hvor mye tapet som trengs for å lime
penger og mer.
Geometrisk figur
Først, la oss snakke om rektangelet. Dette er en figur på et plan som har fire rette vinkler og dens motsatte sider er like. Sidene kalles vanligvis lengde og bredde. De måles i millimeter, centimeter, desimeter, meter, etc. Nå vil vi svare på spørsmålet: "Hvordan finne arealet til et rektangel?" For å gjøre dette må du multiplisere lengden med bredden.
Areal=lengde*bredde
Men ett forbehold til: lengde og bredde må uttrykkes i de samme måleenhetene, det vil si meter og meter, og ikke meter og centimeter. Området er skrevet med den latinske bokstaven S. La oss for enkelhets skyld angi lengden med den latinske bokstaven b, og bredden med den latinske bokstaven a, som vist på figuren. Fra dette konkluderer vi med at arealenheten er mm 2, cm 2, m 2 osv.
La oss se på et spesifikt eksempel på hvordan du finner arealet til et rektangel. Lengde b=10 enheter. Bredde a=6 enheter. Løsning: S=a*b, S=10 enheter*6 enheter, S=60 enheter 2. Oppgave. Hvordan finne ut arealet til et rektangel hvis lengden er 2 ganger bredden og er 18 m? Løsning: hvis b=18 m, så a=b/2, a=9 m. Hvordan finne arealet til et rektangel hvis begge sider er kjent? Det stemmer, bytt det inn i formelen. S=a*b, S=18*9, S=162 m 2. Svar: 162 m2. Oppgave. Hvor mange tapetruller trenger du å kjøpe for et rom hvis dimensjonene er: lengde 5,5 m, bredde 3,5 m og høyde 3 m? Mål på en tapetrulle: lengde 10 m, bredde 50 cm Løsning: lag en tegning av rommet.
Arealene på motsatte sider er like. La oss beregne arealet til en vegg med dimensjoner på 5,5 m og 3 m. S vegg 1 = 5,5 * 3,
S vegg 1 = 16,5 m 2. Derfor har den motsatte veggen et areal på 16,5 m2. La oss finne arealet til de neste to veggene. Sidene deres er henholdsvis 3,5 m og 3 m. S vegg 2 = 3,5 * 3, S vegg 2 = 10,5 m 2. Dette betyr at motsatt side også er lik 10,5 m2. La oss legge sammen alle resultatene. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 m2. Hvordan beregne arealet til et rektangel hvis sidene er uttrykt i forskjellige måleenheter. Tidligere har vi beregnet arealer i m2, og i dette tilfellet vil vi bruke målere. Da vil bredden på tapetrullen være lik 0,5 m. S roll = 10 * 0,5, S roll = 5 m 2. Nå skal vi finne ut hvor mange ruller som trengs for å dekke et rom. 54:5=10,8 (ruller). Siden de måles i hele tall, må du kjøpe 11 ruller med tapet. Svar: 11 ruller med tapet. Oppgave. Hvordan beregne arealet til et rektangel hvis det er kjent at bredden er 3 cm kortere enn lengden, og summen av sidene til rektangelet er 14 cm? Løsning: la lengden være x cm, så er bredden (x-3) cm x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 cm - lengde rektangel, 5-3=2 cm - bredde på rektangelet, S=5*2, S=10 cm 2 Svar: 10 cm 2.
Sammendrag
Etter å ha sett på eksemplene, håper jeg det har blitt klart hvordan man finner arealet til et rektangel. La meg minne om at måleenhetene for lengde og bredde må stemme overens, ellers får du feil resultat Les oppgaven nøye for å unngå feil. Noen ganger kan en side uttrykkes gjennom den andre siden, ikke vær redd. Vennligst se våre løste problemer, det er ganske mulig at de kan hjelpe. Men minst en gang i livet står vi overfor å finne området til et rektangel.
Et rektangel er et spesialtilfelle av en firkant. Dette betyr at rektangelet har fire sider. Dens motsatte sider er like: for eksempel, hvis en av sidene er 10 cm, vil den motsatte siden også være lik 10 cm. Et spesialtilfelle av et rektangel er en firkant. Et kvadrat er et rektangel med alle sider like. For å beregne arealet av et kvadrat kan du bruke samme algoritme som for å beregne arealet til et rektangel.
Hvordan finne ut arealet til et rektangel basert på to sider
For å finne arealet til et rektangel, må du multiplisere lengden med bredden: Areal = Lengde × Bredde. I tilfellet gitt nedenfor: Areal = AB × BC.
Hvordan finne ut arealet til et rektangel ved side og diagonallengde
Noen problemer krever at du finner arealet til et rektangel ved å bruke lengden på diagonalen og en av sidene. Diagonalen til et rektangel deler det i to like rette trekanter. Derfor kan vi bestemme den andre siden av rektangelet ved å bruke Pythagoras setning. Etter dette reduseres oppgaven til forrige punkt.
Hvordan finne ut arealet til et rektangel etter omkretsen og siden
Omkretsen til et rektangel er summen av alle sidene. Hvis du kjenner omkretsen til rektangelet og den ene siden (for eksempel bredden), kan du beregne arealet til rektangelet ved å bruke følgende formel:
Område = (perimeter×bredde – bredde^2)/2.
Arealet av et rektangel gjennom sinusen til den spisse vinkelen mellom diagonalene og lengden på diagonalen
Diagonalene i et rektangel er like, så for å beregne arealet basert på lengden på diagonalen og sinusen til den spisse vinkelen mellom dem, bør du bruke følgende formel: Areal = Diagonal^2 × sin(spiss vinkel mellom diagonalene )/2.
er et parallellogram der alle vinkler er lik 90°, og motsatte sider er parallelle og like i par.
Et rektangel har flere ugjendrivelige egenskaper som brukes til å løse mange problemer, i formler for arealet til et rektangel og dets omkrets. Her er de:
Lengden på en ukjent side eller diagonal av et rektangel beregnes ved å bruke eller bruke Pythagoras teoremet. Arealet til et rektangel kan finnes på to måter - ved produktet av sidene eller ved formelen for arealet av et rektangel gjennom diagonalen. Den første og enkleste formelen ser slik ut:
Et eksempel på å beregne arealet til et rektangel ved hjelp av denne formelen er veldig enkelt. Når vi kjenner to sider, for eksempel a = 3 cm, b = 5 cm, kan vi enkelt beregne arealet av rektangelet:
Vi finner at i et slikt rektangel vil arealet være lik 15 kvadratmeter. cm.
Arealet av et rektangel gjennom diagonaler
Noen ganger må du bruke formelen for arealet av et rektangel gjennom diagonalene. Det krever ikke bare å finne ut lengden på diagonalene, men også vinkelen mellom dem:
La oss se på et eksempel på beregning av arealet til et rektangel ved hjelp av diagonaler. La et rektangel med diagonal d = 6 cm og vinkel = 30° gis. Vi erstatter dataene med den allerede kjente formelen:
Så eksemplet med å beregne arealet til et rektangel gjennom diagonalen viste oss at det er ganske enkelt å finne området på denne måten, hvis en vinkel er gitt.
La oss se på et annet interessant problem som vil hjelpe oss å strekke hjernen litt.
Oppgave: Gitt en firkant. Området er 36 kvadratmeter. cm Finn omkretsen til et rektangel hvis lengde på den ene siden er 9 cm og arealet er det samme som kvadratet gitt ovenfor.
Så vi har flere forhold. For klarhet, la oss skrive dem ned for å se alle kjente og ukjente parametere: 
Sidene av figuren er parallelle og like parvis. Derfor er omkretsen av figuren lik to ganger summen av lengdene på sidene:
Fra formelen for arealet til et rektangel, som er lik produktet av de to sidene av figuren, finner vi lengden på side b
Herfra:
Vi erstatter de kjente dataene og finner lengden på side b:
Regn ut omkretsen av figuren: 
Slik kan du, ved å kjenne noen få enkle formler, beregne omkretsen til et rektangel ved å kjenne området.
Vi har allerede blitt kjent med konseptet området av figuren, lærte en av enhetene for arealmåling - kvadratcentimeter. I denne leksjonen vil vi utlede en regel for hvordan du beregner arealet til et rektangel.
Vi vet allerede hvordan vi finner arealet av figurer som er delt inn i kvadratcentimeter.
For eksempel:
Vi kan bestemme at arealet til den første figuren er 8 cm 2, arealet til den andre figuren er 7 cm 2.
Hvordan finne arealet til et rektangel hvis sider er 3 cm og 4 cm lange?
For å løse problemet deler vi rektangelet i 4 strimler på 3 cm 2 hver.
Da vil arealet av rektangelet være lik 3 * 4 = 12 cm 2.
Det samme rektangelet kan deles i 3 strimler på 4 cm 2 hver.
Da vil arealet av rektangelet være lik 4 * 3 = 12 cm 2.
I begge tilfeller For å finne arealet til et rektangel multipliseres tallene som uttrykker lengden på sidene til rektangelet.
Finn arealet av hvert rektangel.
Tenk på rektangelet AKMO.
Det er 6 cm 2 i en strimmel, og det er 2 slike strimler i dette rektangelet. Dette betyr at vi kan utføre følgende handling:
Tallet 6 representerer lengden på rektangelet, og 2 representerer bredden på rektangelet. Så vi multipliserte sidene av rektangelet for å finne arealet av rektangelet.
Tenk på rektangelet KDCO.
I rektangelet KDCO er det 2 cm 2 i en strimmel, og det er 3 slike strimler. Derfor kan vi utføre handlingen
Tallet 3 angir lengden på rektangelet, og 2 angir rektangelets bredde. Vi multipliserte dem og fant ut arealet av rektangelet.
Vi kan konkludere: For å finne arealet til et rektangel, trenger du ikke å dele figuren i kvadratcentimeter hver gang.
For å beregne arealet til et rektangel, må du finne lengden og bredden (lengdene på sidene av rektangelet må uttrykkes i samme måleenheter), og deretter beregne produktet av de resulterende tallene (området vil bli uttrykt i de tilsvarende arealenhetene)
La oss oppsummere: Arealet til et rektangel er lik produktet av lengden og bredden.
Løs problemet.
Beregn arealet av et rektangel hvis lengden på rektangelet er 9 cm og bredden er 2 cm.
La oss tenke slik. I denne oppgaven er både lengden og bredden av rektangelet kjent. Derfor følger vi regelen: arealet til et rektangel er lik produktet av lengden og bredden.
La oss skrive ned løsningen.
Svar: rektangelareal 18 cm 2
Hvilke andre lengder av sidene til et rektangel med et slikt område tror du?
Du kan tenke slik. Siden arealet er produktet av lengdene på sidene i et rektangel, må du huske multiplikasjonstabellen. Hvilke tall multipliseres for å gi svaret 18?
Det stemmer, når du multipliserer 6 og 3, får du også 18. Dette betyr at et rektangel kan ha sider på 6 cm og 3 cm og arealet vil også være lik 18 cm 2.
Løs problemet.
Lengden på rektangelet er 8 cm og bredden er 2 cm. Finn området og omkretsen.
Vi kjenner lengden og bredden på rektangelet. Det er nødvendig å huske at for å finne området må du finne produktet av lengden og bredden, og for å finne omkretsen må du multiplisere summen av lengden og bredden med to.
La oss skrive ned løsningen.
Svar: Arealet av rektangelet er 16 cm2 og rektangelets omkrets er 20 cm.
Løs problemet.
Lengden på rektangelet er 4 cm, og bredden er 3 cm. Hva er arealet av trekanten? (se bilde)
For å svare på spørsmålet i oppgaven, må du først finne området til rektangelet. Vi vet at for dette må vi gange lengden med bredden.
Se på tegningen. La du merke til hvordan diagonalen delte rektangelet i to like trekanter? Derfor er arealet av en trekant 2 ganger mindre enn arealet til et rektangel. Dette betyr at 12 må halveres.
Svar: Arealet av trekanten er 6 cm 2.
I dag i klassen lærte vi om regelen for å beregne arealet til et rektangel og lærte å bruke denne regelen når vi løser problemer med å finne arealet til et rektangel.
1. M.I.Moro, M.A.Bantova m.fl. Matematikk: Lærebok. 3. klasse: i 2 deler, del 1. M., «Enlightenment», 2012.
2. M.I.Moro, M.A.Bantova m.fl. Matematikk: Lærebok. 3. klasse: i 2 deler, del 2. M., «Enlightenment», 2012.
3. M.I.Moro. Matematikktimer: Metodiske anbefalinger for lærere. 3. klasse. - M.: Utdanning, 2012.
4. Reguleringsdokument. Overvåking og evaluering av læringsutbytte. M., "Enlightenment", 2011.
5. "Russlands skole": Programmer for grunnskolen. - M.: "Enlightenment", 2011.
6. S.I.Volkova. Matematikk: Prøveoppgaver. 3. klasse. - M.: Utdanning, 2012.
7. V.N.Rudnitskaya. Tester. M., «Eksamen», 2012 (127 s.)
2. Forlaget "Prosveshcheniye" ()
1. Lengden på rektangelet er 7 cm, bredden er 4 cm. Finn arealet av rektangelet.
2. Siden av kvadratet er 5 cm. Finn arealet av kvadratet.
3. Tegn mulige alternativer for rektangler med et areal på 18 cm 2.
4. Lag en oppgave om emnet for leksjonen til vennene dine.
Arealet av en polygon
Vi vil forbinde konseptet med arealet til en polygon med en slik geometrisk figur som en firkant. For enhetsarealet til en polygon tar vi arealet til et kvadrat med en side lik én. La oss introdusere to grunnleggende egenskaper for konseptet med arealet til en polygon.
Eiendom 1: For like polygoner er arealene like.
Eiendom 2: Enhver polygon kan deles inn i flere polygoner. I dette tilfellet er arealet til den opprinnelige polygonen lik summen av arealene til alle polygonene som denne polygonen er delt inn i.
Firkantet område
Teorem 1
Arealet til en firkant er definert som kvadratet på lengden på siden.
der $a$ er lengden på siden av kvadratet.
Bevis.
For å bevise dette må vi vurdere tre saker.
Teoremet er bevist.
Arealet av et rektangel
Teorem 2
Arealet til et rektangel bestemmes av produktet av lengdene på dens tilstøtende sider.
Matematisk kan dette skrives som følger
Bevis.
La oss få et rektangel $ABCD$ med $AB=b,\ AD=a$. La oss bygge den opp til et kvadrat $APRV$, hvis sidelengde er lik $a+b$ (fig. 3).
Figur 3.
Ved den andre egenskapen til områder vi har
\ \ \
Ved teorem 1
\ \
Teoremet er bevist.
Eksempel på oppgaver
Eksempel 1
Finn arealet til et rektangel med sidene $5$ og $3$.