Vi vil begynne studiet av trigonometri med høyre trekant. La oss definere hva sinus og cosinus er, samt tangent og cotangens spiss vinkel. Dette er det grunnleggende om trigonometri.
La oss minne deg på det rett vinkel er en vinkel lik 90 grader. Med andre ord en halv dreiet vinkel.
Skarpt hjørne- mindre enn 90 grader.
Stump vinkel- større enn 90 grader. I forhold til en slik vinkling er ikke "stump" en fornærmelse, men et matematisk begrep :-)
La oss tegne en rettvinklet trekant. En rett vinkel er vanligvis betegnet med . Vær oppmerksom på at siden motsatt hjørnet er angitt med samme bokstav, bare liten. Dermed er siden motsatt vinkel A betegnet .
Vinkelen er angitt med den tilsvarende Gresk bokstav.
Hypotenus av en rettvinklet trekant er siden motsatt den rette vinkelen.
Ben- sider som ligger motsatte spisse vinkler.
Benet som ligger motsatt vinkelen kalles motsatte(i forhold til vinkel). Det andre benet, som ligger på en av sidene av vinkelen, kalles ved siden av.
Sinus spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet motsatt side til hypotenusen:
Cosinus spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forhold tilstøtende ben til hypotenusen:
Tangent spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom den motsatte siden og den tilstøtende:
En annen (tilsvarende) definisjon: tangenten til en spiss vinkel er forholdet mellom vinkelens sinus og cosinus:
Cotangens spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte (eller, som er det samme, forholdet mellom cosinus og sinus):
Legg merke til de grunnleggende forholdene for sinus, cosinus, tangens og cotangens nedenfor. De vil være nyttige for oss når vi løser problemer.
La oss bevise noen av dem.
Ok, vi har gitt definisjoner og skrevet ned formler. Men hvorfor trenger vi fortsatt sinus, cosinus, tangens og cotangens?
Vi vet det summen av vinklene til en hvilken som helst trekant er lik.
Vi kjenner forholdet mellom fester høyre trekant. Dette er Pythagoras teorem: .
Det viser seg at når du kjenner to vinkler i en trekant, kan du finne den tredje. Når du kjenner de to sidene av en rettvinklet trekant, kan du finne den tredje. Dette betyr at vinklene har sitt eget forhold, og sidene har sitt eget. Men hva skal du gjøre hvis du i en rettvinklet trekant kjenner én vinkel (unntatt den rette vinkelen) og én side, men du må finne de andre sidene?
Dette er hva folk tidligere møtte når de lagde kart over området og stjernehimmelen. Det er tross alt ikke alltid mulig å måle alle sidene av en trekant direkte.
Sinus, cosinus og tangens – de kalles også trigonometriske vinkelfunksjoner- gi relasjoner mellom fester Og hjørner triangel. Når du kjenner vinkelen, kan du finne alle trigonometriske funksjoner ved hjelp av spesielle tabeller. Og når du kjenner sinus, cosinus og tangens til vinklene til en trekant og en av sidene, kan du finne resten.
Vi vil også tegne en tabell over verdiene for sinus, cosinus, tangens og cotangens for "gode" vinkler fra til.
Vær oppmerksom på de to røde strekene i tabellen. Ved passende vinkelverdier eksisterer ikke tangent og cotangens.
La oss se på flere trigonometriproblemer fra FIPI Task Bank.
1. I en trekant er vinkelen , . Finn .
Problemet er løst på fire sekunder.
Fordi det , .
2. I en trekant er vinkelen , , . Finn .
La oss finne det ved å bruke Pythagoras teorem.
Problemet er løst.
Ofte i oppgaver er det trekanter med vinkler og eller med vinkler og. Husk de grunnleggende forholdstallene for dem utenat!
For en trekant med vinkler og benet motsatt vinkelen på er lik halvparten av hypotenusen.
En trekant med vinkler og er likebenet. I den er hypotenusen ganger større enn benet.
Vi så på problemer med å løse rettvinklede trekanter – det vil si å finne ukjente parter eller hjørner. Men det er ikke alt! I Unified State Exam-alternativer i matematikk er det mange problemer hvor sinus, cosinus, tangens eller cotangens til den ytre vinkelen til en trekant vises. Mer om dette i neste artikkel.
Sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen.
Kapittel 5: Løse trekanter
5.1. Høyre trekant
Aksiomer 1.4 og 2.1 gjorde det mulig å tilordne tall lik deres mål til segmenter og vinkler, det vil si å måle segmenter og vinkler. Til nå var det ingen sammenheng mellom størrelsen på vinklene og lengdene på segmentene. Med introduksjonen av trekanter blir det mulig å koble sammen gradmålene til vinklene til en trekant og lengdene på sidene. Tenk på forholdet mellom sidene og vinklene i en rettvinklet trekant.
1
Figur 5.1.1.
Høyre trekant.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen. La vinkel (BAC) være ønsket spiss vinkel. Så for eksempel for vinkel BAC (fig. 5.1.1)
Teorem 5.1.
Cosinus av vinkelen avhenger bare av gradsmål vinkel og er ikke avhengig av plasseringen og størrelsen på trekanten.
Bevis
La ABC og A1B1C1 være to rette trekanter med samme vinkel ved toppunktene A og A1, lik α. La oss konstruere trekant AB2C2, lik en trekant A1B1C1 som vist i fig. 5.1.2. Dette er mulig i henhold til aksiom 4.1. Siden vinklene A og A1 er like, ligger B2 på linjen AB. Linjene BC og B2C2 er vinkelrette på linjen AC, og i følge 3.1 er de parallelle. Ved teorem 4.13
2
Figur 5.1.2.
På teorem 5.1.
Men ved konstruksjon AC2 = A1C1; AB2 = A1B1, derfor
Q.E.D.
Teorem 5.2.
Pythagoras teorem. I en rettvinklet trekant, kvadratet på hypotenusen lik summen firkanter av ben.
Modell 5.2. Bevis for Pythagoras teorem.
Figur 5.1.3 viser en rettvinklet trekant. BC og AC er dens ben, AB er hypotenusen. Ved teorem BC2 + AC2 = AB2.
Bevis
La ABC være den gitte rette trekanten med rett vinkel i toppunktet C.
3
Figur 5.1.3.
Mot beviset for Pythagoras teorem.
La oss tegne høyden CD fra toppunktet C. Per definisjon, fra trekant ACD og fra trekant ABC. Ved teorem 5.1 og derfor . Tilsvarende fra Δ CDB, fra Δ ACB, og dermed AB · BD = BC2. Ved å legge til de resulterende likhetene og legge merke til at AD + BD = AB, får vi AC2 + BC2 = AB · AD + AB · BD = AB (AD + BD) = AB2. Teoremet er bevist.
I en rettvinklet trekant er noen av bena mindre enn hypotenusen. Cosinus for enhver spiss vinkel er mindre enn én.
La være vinkelrett trukket fra punkt B til linje a, og A være et hvilket som helst punkt på denne linjen annet enn C. Segmentet AB kalles den skrå linjen trukket fra punkt B til linje a. Punkt C kalles grunnen av skråningen. Segmentet AC kalles en skråprojeksjon.
Ved å bruke Pythagoras teorem kan det vises at hvis en vinkelrett og skrå linje trekkes til en rett linje fra ett punkt, så
enhver skråning er større enn vinkelrett,
like skråninger har like projeksjoner,
Av de to tilbøyelige er den med større projeksjon større.
Sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen. A-priory
Tangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side. For vinkelen (BAC) til den høyre trekanten vist i fig. 5.1.1, har vi
Akkurat som cosinus avhenger sinusen til en vinkel og tangensen til en vinkel bare av størrelsen på vinkelen.
4
Figur 5.1.4.
Fra disse definisjonene får vi følgende forhold mellom vinklene og sidene i en rettvinklet trekant: hvis α er en spiss vinkel i en rettvinklet trekant,
bein motsatt vinkel α, lik produktet hypotenuse ved sin α;
benet ved siden av vinkelen α er lik produktet av hypotenusen og cos α;
benet motsatt vinkelen α er lik produktet av det andre benet ved tan α.
Trigonometriske funksjoner til en spiss vinkel er de numeriske verdiene av det gjensidige forholdet mellom to sider av en rettvinklet trekant. Avhengig av forholdet mellom hvilke sider av en rettvinklet trekant som betraktes, kalles trigonometriske funksjoner: sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tg), cotangens (ctg), etc.
Sinus En spiss vinkel er den numeriske verdien av forholdet mellom lengden på det motsatte benet og lengden på hypotenusen:
(31)
Cosinus En spiss vinkel er den numeriske verdien av forholdet mellom lengden på det tilstøtende benet og lengden på hypotenusen:
(32)
Tangent En spiss vinkel er den numeriske verdien av forholdet mellom lengden på det motsatte benet og lengden på det tilstøtende benet:
(33)
Cotangens En spiss vinkel er den numeriske verdien av forholdet mellom lengden på det tilstøtende benet og lengden på det motsatte benet:
(34)
Funksjonene til spisse vinkler spiller viktig rolle Når man løser mange matematiske og geodetiske problemer, er imidlertid bruken begrenset av grensene for endringer i spisse vinkler fra 0 (0-00) til 90 (30-00). Ved topogeodetisk referanse benytter systemet for å bestemme retningsvinkler vinkler (retninger) med målegrenser opp til 360 (60-00). Derfor er det behov for å utvide konseptet med trigonometriske funksjoner til vinkler av enhver størrelse.
Trigonometriske funksjoner av enhver vilkårlig vinkel kan uttrykkes gjennom verdiene til trigonometriske funksjoner i en spiss vinkel (kvart hjørne, se figur 23). Tatt i betraktning slike transformasjoner, er det utarbeidet en "Tabell over naturlige verdier av trigonometriske funksjoner av sinus og cosinus" (Vedlegg 6). Ved hjelp av tabellen kan du bestemme de trigonometriske funksjonene til sinus og cosinus uten å redusere vinkelen til en fjerdedel.
Trekantløsning.
Alle typer seriffer er forbundet med å løse en trekant. Å løse en trekant betyr å bestemme de ukjente verdiene til de vinkelmessige og lineære elementene. For å løse en trekant, må du kjenne verdiene til alle tre av elementene, hvorav det må være minst én side.
I praksisen med topografisk og geodetisk arbeid kommer kobling av elementer i en kampformasjon med seriffer ned til å beregne den tredje vinkelen og to andre sider fra kjente to vinkler og en side, eller å beregne den tredje siden og to vinkler fra kjente to sider og vinkelen mellom dem.
Løsningen av en trekant utføres ved å bruke formler for forholdene mellom elementene, kjent fra trigonometrikurset.
Merket i en trekant ABC(Fig. 17) sider gjennom 
,
Og
og vinklene gjennom A, B Og MED, La oss skrive ned de grunnleggende relasjonene:
(vinkelsumteorem); (35)
(teorem av sines); (36)
(cosinus-teorem); (37)
(tangentteorem). (38)