saya. Ungkapan di mana nombor dan tanda boleh digunakan bersama dengan huruf operasi aritmetik dan kurungan dipanggil ungkapan algebra.

Contoh ungkapan algebra:

2m -n; 3 · (2a + b); 0.24x; 0.3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Oleh kerana huruf dalam ungkapan algebra boleh digantikan dengan beberapa nombor yang berbeza, maka huruf itu dipanggil pembolehubah, dan ungkapan algebra itu sendiri dipanggil ungkapan dengan pembolehubah.

II. Jika dalam ungkapan algebra huruf (pembolehubah) digantikan dengan nilainya dan tindakan yang ditentukan dilakukan, maka nombor yang terhasil dipanggil nilai ungkapan algebra.

Contoh.

Cari maksud ungkapan:

1) a + 2b -c dengan a = -2; b = 10; c = -3.5.

2) |x| + |y| -|z| pada x = -8; y = -5; z = 6..

Penyelesaian

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

1) a + 2b -c dengan a = -2; b = 10; c = -3.5. Daripada pembolehubah, mari kita gantikan nilainya. Kami mendapat: 2) |x| + |y| -|z| pada x = -8; y = -5; z = 6. Gantikan nilai yang ditentukan . Ingat bahawa modul nombor negatif

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

adalah sama dengan nombor bertentangannya, dan modulus nombor positif adalah sama dengan nombor ini sendiri. Kami mendapat: III.

Nilai huruf (pembolehubah) yang mana ungkapan algebra masuk akal dipanggil nilai yang dibenarkan huruf (pembolehubah). Contoh. Pada nilai apa

ungkapan berubah-ubah tidak masuk akal?

Penyelesaian.

Kami tahu bahawa anda tidak boleh membahagi dengan sifar, oleh itu, setiap ungkapan ini tidak akan masuk akal memandangkan nilai huruf (pembolehubah) yang menukarkan penyebut pecahan kepada sifar!

Dalam contoh 1) nilai ini ialah a = 0. Sesungguhnya, jika anda menggantikan 0 dan bukannya a, maka anda perlu membahagikan nombor 6 dengan 0, tetapi ini tidak boleh dilakukan. Jawapan: ungkapan 1) tidak masuk akal apabila a = 0.

Dalam contoh 2) penyebut x ialah 4 = 0 pada x = 4, oleh itu, nilai x = 4 ini tidak boleh diambil. Jawapan: ungkapan 2) tidak masuk akal apabila x = 4.
Dalam contoh 3) penyebutnya ialah x + 2 = 0 apabila x = -2. Jawapan: ungkapan 3) tidak masuk akal apabila x = -2. Dalam contoh 4) penyebutnya ialah 5 -|x| = 0 untuk |x| = 5. Dan sejak |5| = 5 dan |-5| = 5, maka anda tidak boleh mengambil x = 5 dan x = -5. Jawapan: ungkapan 4) tidak masuk akal pada x = -5 dan pada x = 5.

Contoh: 5 (a – b) dan 5a – 5b juga sama, kerana kesamaan 5 (a – b) = 5a – 5b adalah benar untuk sebarang nilai a dan b. Kesamaan 5 (a – b) = 5a – 5b ialah identiti.

identiti ialah kesamaan yang sah untuk semua nilai pembolehubah yang dibenarkan yang disertakan di dalamnya. Contoh identiti yang telah anda ketahui ialah, sebagai contoh, sifat penambahan dan pendaraban, harta pengagihan.

Menggantikan satu ungkapan dengan ungkapan lain yang serupa dipanggil transformasi identiti atau hanya transformasi ungkapan. Transformasi yang sama bagi ungkapan dengan pembolehubah dilakukan berdasarkan sifat operasi pada nombor.

Contoh.

a) tukar ungkapan kepada sama dengan menggunakan sifat taburan pendaraban:

1) 10·(1.2x + 2.3y); 2) 1.5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

2) |x| + |y| -|z| pada x = -8; y = -5; z = 6.. Mari kita ingat sifat pengagihan (undang-undang) pendaraban:

(a+b)c=ac+bc(hukum taburan pendaraban berbanding penambahan: untuk mendarab jumlah dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab setiap sebutan dengan nombor ini dan menambah hasil yang terhasil).
(a-b) c=a c-b c(hukum taburan pendaraban relatif kepada penolakan: untuk mendarab perbezaan dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab minuend dan menolak dengan nombor ini secara berasingan dan menolak yang kedua daripada hasil pertama).

1) 10·(1.2x + 2.3y) = 10 · 1.2x + 10 · 2.3y = 12x + 23y.

2) 1.5·(a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) mengubah ungkapan menjadi sama secara identik, menggunakan sifat komutatif dan bersekutu (undang-undang) penambahan:

4) x + 4.5 +2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

ungkapan berubah-ubah Mari kita gunakan undang-undang (sifat) penambahan:

a+b=b+a(komutatif: menyusun semula istilah tidak mengubah jumlah).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinatif: untuk menambah nombor ketiga kepada jumlah dua sebutan, anda boleh menambah jumlah kedua dan ketiga kepada nombor pertama).

4) x + 4.5 +2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

V) Tukar ungkapan kepada sama dengan menggunakan sifat komutatif dan bersekutu (undang-undang) pendaraban:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

ungkapan berubah-ubah Mari kita gunakan hukum (sifat) pendaraban:

a·b=b·a(komutatif: menyusun semula faktor tidak mengubah produk).
(a b) c=a (b c)(kombinatif: untuk mendarab hasil darab dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab nombor pertama dengan hasil darab kedua dan ketiga).

Jadi, jika ungkapan berangka terdiri daripada nombor dan tanda +, −, · dan:, maka mengikut urutan dari kiri ke kanan anda mesti melakukan pendaraban dan pembahagian, dan kemudian penambahan dan penolakan, yang membolehkan anda mencari nilai ungkapan yang dikehendaki.

Mari kita berikan beberapa contoh untuk penjelasan.

Contoh.

Kira nilai ungkapan 14−2·15:6−3.

ungkapan berubah-ubah

Untuk mencari nilai ungkapan, anda perlu melakukan semua tindakan yang dinyatakan di dalamnya mengikut perintah yang diterima untuk melaksanakan tindakan ini. Pertama, dalam susunan dari kiri ke kanan, kita melakukan pendaraban dan pembahagian, kita dapat 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Sekarang kita juga melakukan tindakan yang selebihnya mengikut tertib dari kiri ke kanan: 14−5−3=9−3=6. Ini adalah cara kami menemui nilai ungkapan asal, ia bersamaan dengan 6.

Jawapan:

14−2·15:6−3=6.

Contoh.

Cari maksud ungkapan tersebut.

ungkapan berubah-ubah

DALAM dalam contoh ini mula-mula kita perlu melakukan pendaraban 2·(−7) dan pembahagian dengan pendaraban dalam ungkapan . Mengingati bagaimana , kita dapati 2·(−7)=−14. Dan untuk melakukan tindakan dalam ungkapan terlebih dahulu , selepas itu , dan laksanakan: .

Kami menggantikan nilai yang diperoleh ke dalam ungkapan asal: .

Tetapi bagaimana jika terdapat ungkapan berangka di bawah tanda akar? Untuk mendapatkan nilai akar sedemikian, anda mesti mencari nilai ungkapan radikal terlebih dahulu, mematuhi perintah yang diterima untuk melaksanakan tindakan. Contohnya, .

Dalam ungkapan berangka, akar harus dianggap sebagai beberapa nombor, dan dinasihatkan untuk segera menggantikan akar dengan nilainya, dan kemudian mencari nilai ungkapan yang terhasil tanpa akar, melakukan tindakan dalam urutan yang diterima.

Contoh.

Cari maksud ungkapan dengan akar.

ungkapan berubah-ubah

Mula-mula mari kita cari nilai akar . Untuk melakukan ini, pertama, kita mengira nilai ungkapan radikal, yang kita ada −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Dan kedua, kita dapati nilai akar.

Sekarang mari kita hitung nilai punca kedua daripada ungkapan asal: .

Akhirnya, kita boleh mencari makna ungkapan asal dengan menggantikan akar dengan nilainya: .

Jawapan:

Selalunya, untuk mencari makna ungkapan dengan akar, pertama sekali perlu mengubahnya. Mari tunjukkan penyelesaian contoh.

Contoh.

Apakah maksud ungkapan tersebut .

ungkapan berubah-ubah

Kami tidak dapat menggantikan punca tiga dengan nilai tepatnya, yang menghalang kami daripada mengira nilai ungkapan ini mengikut cara yang diterangkan di atas. Walau bagaimanapun, kita boleh mengira nilai ungkapan ini dengan melakukan transformasi mudah. Berkenaan formula perbezaan kuasa dua: . Mengambil kira, kita dapat . Oleh itu, nilai ungkapan asal ialah 1.

Jawapan:

.

Dengan ijazah

Jika asas dan eksponen ialah nombor, maka nilainya dikira dengan menentukan darjah, contohnya, 3 2 =3·3=9 atau 8 −1 =1/8. Terdapat juga entri di mana asas dan/atau eksponen adalah beberapa ungkapan. Dalam kes ini, anda perlu mencari nilai ungkapan dalam asas, nilai ungkapan dalam eksponen, dan kemudian mengira nilai darjah itu sendiri.

Contoh.

Cari nilai ungkapan dengan kuasa bentuk 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4.

ungkapan berubah-ubah

Dalam ungkapan asal terdapat dua kuasa 2 3·4−10 dan (1−1/2) 3.5−2·1/4. Nilai mereka mesti dikira sebelum melakukan tindakan lain.

Mari kita mulakan dengan kuasa 2 3·4−10. Penunjuknya mengandungi ungkapan berangka, mari kita hitung nilainya: 3·4−10=12−10=2. Sekarang anda boleh mencari nilai darjah itu sendiri: 2 3·4−10 =2 2 =4.

Asas dan eksponen (1−1/2) 3.5−2 1/4 mengandungi ungkapan; kita mengira nilainya untuk kemudian mencari nilai eksponen. Kami ada (1−1/2) 3.5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Sekarang kita kembali kepada ungkapan asal, gantikan darjah di dalamnya dengan nilainya, dan cari nilai ungkapan yang kita perlukan: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Jawapan:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 =6.

Perlu diingat bahawa terdapat lebih banyak kes biasa apabila dinasihatkan untuk menjalankan awal penyederhanaan ungkapan dengan kuasa di pangkalan.

Contoh.

Cari maksud ungkapan tersebut .

ungkapan berubah-ubah

Berdasarkan eksponen dalam ungkapan ini, nilai yang tepat Anda tidak akan mendapat ijazah. Cuba kita permudahkan ungkapan asal, mungkin ini akan membantu mencari maknanya. Kami ada

Jawapan:

.

Kuasa dalam ungkapan sering seiring dengan logaritma, tetapi kita akan bercakap tentang mencari makna ungkapan dengan logaritma dalam salah satu daripadanya.

Mencari nilai ungkapan dengan pecahan

Ungkapan Berangka mungkin mengandungi pecahan dalam tatatandanya. Apabila anda perlu mencari nilai ungkapan serupa, pecahan selain daripada pecahan mesti digantikan dengan nilainya sebelum meneruskan langkah-langkah yang lain.

Pengangka dan penyebut pecahan (yang berbeza daripada pecahan biasa) boleh mengandungi beberapa nombor dan ungkapan. Untuk mengira nilai pecahan sedemikian, anda perlu mengira nilai ungkapan dalam pengangka, mengira nilai ungkapan dalam penyebut, dan kemudian mengira nilai pecahan itu sendiri. Tertib ini dijelaskan oleh fakta bahawa pecahan a/b, dengan a dan b ialah beberapa ungkapan, pada asasnya mewakili hasil bagi bentuk (a):(b), sejak .

Mari lihat contoh penyelesaian.

Contoh.

Cari maksud ungkapan dengan pecahan .

ungkapan berubah-ubah

Terdapat tiga pecahan dalam ungkapan berangka asal Dan . Untuk mencari nilai ungkapan asal, kita perlu menggantikan pecahan ini terlebih dahulu dengan nilainya. Jom buat ini.

Pengangka dan penyebut pecahan mengandungi nombor. Untuk mencari nilai pecahan sedemikian, gantikan bar pecahan dengan tanda bahagi dan lakukan tindakan ini: .

Dalam pengangka pecahan terdapat ungkapan 7−2·3, nilainya mudah dicari: 7−2·3=7−6=1. Justeru, . Anda boleh meneruskan untuk mencari nilai pecahan ketiga.

Pecahan ketiga dalam pengangka dan penyebut mengandungi ungkapan berangka, oleh itu, anda perlu mengira nilainya terlebih dahulu, dan ini akan membolehkan anda mencari nilai pecahan itu sendiri. Kami ada .

Ia kekal untuk menggantikan nilai yang ditemui ke dalam ungkapan asal dan melakukan tindakan yang selebihnya: .

Jawapan:

.

Selalunya, apabila mencari nilai ungkapan dengan pecahan, anda perlu melakukan penyederhanaan ungkapan pecahan , berdasarkan menjalankan operasi dengan pecahan dan pecahan pengurangan.

Contoh.

Cari maksud ungkapan tersebut .

ungkapan berubah-ubah

Punca lima tidak boleh diekstrak sepenuhnya, jadi untuk mencari nilai ungkapan asal, mari kita permudahkan dahulu. Untuk ini mari kita buang sifat tidak rasional dalam penyebut pecahan pertama: . Selepas ini, ungkapan asal akan mengambil bentuk . Selepas menolak pecahan, akar akan hilang, yang akan membolehkan kita mencari nilai ungkapan yang diberikan pada mulanya: .

Jawapan:

.

Dengan logaritma

Jika ungkapan berangka mengandungi , dan jika mungkin untuk menyingkirkannya, maka ini dilakukan sebelum melakukan tindakan lain. Sebagai contoh, apabila mencari nilai ungkapan log 2 4+2·3, logaritma log 2 4 digantikan dengan nilainya 2, selepas itu tindakan yang selebihnya dilakukan dalam susunan biasa, iaitu log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Apabila terdapat ungkapan berangka di bawah tanda logaritma dan/atau pada asasnya, nilainya pertama kali dijumpai, selepas itu nilai logaritma dikira. Sebagai contoh, pertimbangkan ungkapan dengan logaritma bentuk . Di dasar logaritma dan di bawah tandanya terdapat ungkapan berangka; Sekarang kita mencari logaritma, selepas itu kita melengkapkan pengiraan: .

Jika logaritma tidak dikira dengan tepat, maka pemudahcaraan awal menggunakan . Dalam kes ini, anda perlu menguasai bahan artikel dengan baik menukar ungkapan logaritma.

Contoh.

Cari nilai ungkapan dengan logaritma .

ungkapan berubah-ubah

Mari kita mulakan dengan mengira log 2 (log 2 256) . Oleh kerana 256=2 8, maka log 2 256=8, oleh itu, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Logaritma log 6 2 dan log 6 3 boleh dikumpulkan. Jumlah log logaritma 6 2+log 6 3 adalah sama dengan logaritma log hasil darab 6 (2 3), dengan itu log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Sekarang mari kita lihat pecahan. Sebagai permulaan, kita menulis semula asas logaritma dalam penyebut dalam bentuk pecahan sepunya sebagai 1/5, selepas itu kita akan menggunakan sifat logaritma, yang akan membolehkan kita memperoleh nilai pecahan:
.

Apa yang tinggal ialah menggantikan hasil yang diperoleh ke dalam ungkapan asal dan menyelesaikan mencari nilainya:

Jawapan:

Bagaimana untuk mencari nilai ungkapan trigonometri?

Apabila ungkapan berangka mengandungi atau, dsb., nilainya dikira sebelum melakukan tindakan lain. Jika di bawah tanda fungsi trigonometri Sekiranya terdapat ungkapan berangka, nilainya pertama kali dikira, selepas itu nilai fungsi trigonometri ditemui.

Contoh.

Cari maksud ungkapan tersebut .

ungkapan berubah-ubah

Berbalik kepada artikel, kita dapat dan cosπ=−1 . Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam ungkapan asal, ia mengambil bentuk . Untuk mencari nilainya, anda perlu melakukan eksponen terlebih dahulu, dan kemudian selesaikan pengiraan: .

Jawapan:

.

Perlu diingat bahawa mengira nilai ungkapan dengan sinus, kosinus, dll. selalunya memerlukan terlebih dahulu transformasi ungkapan trigonometri .

Contoh.

Apakah nilai ungkapan trigonometri .

ungkapan berubah-ubah

Mari kita ubah ungkapan asal menggunakan , menjadi dalam kes ini kita perlukan formula kosinus sudut berganda dan formula untuk kosinus hasil tambah:

Transformasi yang kami buat membantu kami mencari makna ungkapan tersebut.

Jawapan:

.

Kes am

DALAM kes am ungkapan berangka boleh mengandungi punca, kuasa, pecahan, sebarang fungsi dan kurungan. Mencari nilai ungkapan tersebut terdiri daripada melakukan tindakan berikut:

• punca pertama, kuasa, pecahan, dsb. digantikan dengan nilai mereka,
• tindakan selanjutnya dalam kurungan,
• dan mengikut urutan dari kiri ke kanan, operasi yang selebihnya dilakukan - pendaraban dan pembahagian, diikuti dengan penambahan dan penolakan.

Tindakan yang disenaraikan dilakukan sehingga keputusan akhir diperolehi.

Contoh.

Cari maksud ungkapan tersebut .

ungkapan berubah-ubah

Bentuk ungkapan ini agak kompleks. Dalam ungkapan ini kita melihat pecahan, punca, kuasa, sinus dan logaritma. Bagaimana untuk mencari nilainya?

Bergerak melalui rekod dari kiri ke kanan, kami menjumpai sebahagian kecil daripada borang tersebut . Kita tahu bahawa apabila bekerja dengan pecahan jenis kompleks, kita perlu mengira secara berasingan nilai pengangka, secara berasingan penyebut, dan akhirnya mencari nilai pecahan.

Dalam pengangka kita mempunyai akar bentuk . Untuk menentukan nilainya, anda perlu mengira nilai ungkapan radikal terlebih dahulu . Terdapat sinus di sini. Kita boleh mencari nilainya hanya selepas mengira nilai ungkapan . Ini boleh kita lakukan: . Kemudian dari mana dan dari .

Penyebutnya mudah: .

Oleh itu, .

Selepas menggantikan hasil ini ke dalam ungkapan asal, ia akan mengambil bentuk . Ungkapan yang terhasil mengandungi darjah . Untuk mencari nilainya, kita perlu mencari nilai penunjuk, kita ada .

Jadi, .

Jawapan:

.

Sekiranya tidak mungkin untuk mengira nilai sebenar akar, kuasa, dll., maka anda boleh cuba menyingkirkannya menggunakan beberapa transformasi, dan kemudian kembali untuk mengira nilai mengikut skema yang ditentukan.

Cara rasional untuk mengira nilai ungkapan

Mengira nilai ungkapan berangka memerlukan ketekalan dan ketepatan. Ya, anda mesti mengikut urutan tindakan yang direkodkan dalam perenggan sebelumnya, tetapi anda tidak perlu melakukannya secara membabi buta dan mekanikal. Apa yang kami maksudkan dengan ini ialah selalunya mungkin untuk merasionalkan proses mencari makna ungkapan. Sebagai contoh, sifat tertentu operasi dengan nombor boleh mempercepatkan dan memudahkan pencarian nilai ungkapan dengan ketara.

Sebagai contoh, kita tahu sifat pendaraban ini: jika salah satu faktor dalam hasil darab sama dengan sifar, maka nilai produk ialah sifar. Menggunakan sifat ini, kita boleh dengan segera mengatakan bahawa nilai ungkapan 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) bersamaan dengan sifar. Jika kita tersekat susunan standard pelaksanaan tindakan, kami mula-mula perlu mengira nilai-nilai ungkapan yang menyusahkan dalam kurungan, dan ini akan mengambil banyak masa, dan hasilnya masih sifar.

Ia juga mudah untuk menggunakan sifat penolakan nombor yang sama: Jika anda menolak nombor yang sama daripada nombor, hasilnya ialah sifar. Sifat ini boleh dianggap lebih luas: perbezaan antara dua ungkapan berangka yang sama ialah sifar. Sebagai contoh, tanpa mengira nilai ungkapan dalam kurungan, anda boleh mencari nilai ungkapan (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), ia sama dengan sifar, kerana ungkapan asal ialah perbezaan ungkapan yang sama.

Transformasi identiti boleh memudahkan pengiraan rasional nilai ungkapan. Sebagai contoh, istilah dan faktor pengelompokan boleh berguna untuk meletakkan faktor sepunya daripada kurungan tidak kurang kerap digunakan. Jadi nilai ungkapan 53·5+53·7−53·11+5 sangat mudah didapati selepas mengambil faktor 53 daripada kurungan: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Pengiraan langsung akan mengambil masa yang lebih lama.

Untuk menyimpulkan perkara ini, mari kita perhatikan pendekatan rasional untuk mengira nilai ungkapan dengan pecahan - faktor yang sama dalam pengangka dan penyebut pecahan dibatalkan. Contohnya, mengurangkan ungkapan yang sama dalam pengangka dan penyebut pecahan membolehkan anda segera mencari nilainya, yang sama dengan 1/2.

Mencari nilai ungkapan literal dan ungkapan dengan pembolehubah

Maksud ungkapan literal dan ungkapan dengan pembolehubah ditemui untuk khusus tetapkan nilai huruf dan pembolehubah. iaitu, kita bercakap tentang tentang mencari nilai ungkapan literal untuk nilai huruf yang diberikan atau tentang mencari nilai ungkapan dengan pembolehubah untuk nilai pembolehubah yang dipilih.

peraturan mencari nilai ungkapan literal atau ungkapan dengan pembolehubah untuk nilai huruf tertentu atau nilai pembolehubah yang dipilih adalah seperti berikut: anda perlu menggantikan nilai huruf atau pembolehubah yang diberikan ke dalam ungkapan asal, dan mengira nilai ungkapan angka yang terhasil; ia adalah nilai yang dikehendaki.

Contoh.

Hitung nilai ungkapan 0.5·x−y pada x=2.4 dan y=5.

ungkapan berubah-ubah

Untuk mencari nilai ungkapan yang diperlukan, anda perlu menggantikan nilai pembolehubah yang diberikan kepada ungkapan asal, dan kemudian lakukan langkah berikut: 0.5·2.4−5=1.2−5=−3.8.

Jawapan:

−3,8 .

Sebagai nota akhir, kadangkala melakukan transformasi pada ungkapan literal dan pembolehubah akan menghasilkan nilainya, tanpa mengira nilai huruf dan pembolehubah. Sebagai contoh, ungkapan x+3−x boleh dipermudahkan, selepas itu ia akan mengambil bentuk 3. Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa nilai ungkapan x+3−x adalah sama dengan 3 untuk sebarang nilai pembolehubah x daripada julat nilai yang dibenarkan (APV). Contoh lain: nilai ungkapan ialah 1 untuk semua nilai positif x , jadi kawasan nilai yang boleh diterima pembolehubah x dalam ungkapan asal ialah set nombor positif, dan kesaksamaan dipegang di rantau ini.

Rujukan.

• Matematik: buku teks untuk darjah 5. pendidikan am institusi / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - ed. ke-21, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: sakit. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematik. darjah 6: pendidikan. untuk pendidikan am institusi / [N. Ya. Vilenkin dan lain-lain]. - ed. ke-22, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: sakit. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: buku teks untuk darjah 7 pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; disunting oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: buku teks untuk darjah 8. pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; disunting oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: darjah 9: pendidikan. untuk pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; disunting oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra dan permulaan analisis: Proc. untuk gred 10-11. pendidikan am institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn dan lain-lain; Ed. A. N. Kolmogorov - ed ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 ms. - ISBN 5-09-013651-3.

Sekarang kita telah mempelajari cara menambah dan mendarab pecahan individu, kita boleh melihat lebih banyak lagi reka bentuk yang kompleks. Sebagai contoh, bagaimana jika masalah yang sama melibatkan penambahan, penolakan dan pendaraban pecahan?

Pertama sekali, anda perlu menukar semua pecahan kepada pecahan tak wajar. Kemudian kami melakukan tindakan yang diperlukan secara berurutan - dalam susunan yang sama seperti nombor biasa. Iaitu:

1. Eksponen dilakukan terlebih dahulu - buang semua ungkapan yang mengandungi eksponen;
2. Kemudian - pembahagian dan pendaraban;
3. Langkah terakhir ialah penambahan dan penolakan.

Sudah tentu, jika terdapat kurungan dalam ungkapan, susunan operasi berubah - semua yang ada di dalam kurungan mesti dikira terlebih dahulu. Dan ingat tentang pecahan tak wajar: anda perlu menyerlahkan keseluruhan bahagian hanya apabila semua tindakan lain telah selesai.

Mari tukar semua pecahan daripada ungkapan pertama kepada yang tidak wajar, dan kemudian lakukan langkah berikut:

Sekarang mari kita cari nilai ungkapan kedua. Di sini pecahan dengan keseluruhan bahagian tidak, tetapi terdapat kurungan, jadi kami melakukan penambahan terlebih dahulu, dan barulah pembahagian. Perhatikan bahawa 14 = 7 · 2. Kemudian:

Akhir sekali, pertimbangkan contoh ketiga. Terdapat tanda kurung dan ijazah di sini - lebih baik mengiranya secara berasingan. Memandangkan 9 = 3 3, kita mempunyai:

Perhatikan contoh terakhir. Untuk menaikkan pecahan kepada kuasa, anda mesti menaikkan secara berasingan pengangka kepada kuasa ini, dan secara berasingan, penyebut.

Anda boleh membuat keputusan secara berbeza. Jika kita ingat definisi ijazah, masalahnya berkurangan kepada pendaraban biasa pecahan:

Pecahan berbilang tingkat

Setakat ini kita hanya mempertimbangkan pecahan "tulen", apabila pengangka dan penyebutnya nombor biasa. Ini agak konsisten dengan definisi pecahan nombor yang diberikan dalam pelajaran pertama.

Tetapi bagaimana jika pengangka atau penyebut mengandungi lebih daripada objek kompleks? Sebagai contoh, pecahan berangka lain? Pembinaan sedemikian sering timbul, terutamanya apabila bekerja dengan ekspresi panjang. Berikut adalah beberapa contoh:

Terdapat hanya satu peraturan untuk bekerja dengan pecahan berbilang tingkat: anda mesti menyingkirkannya dengan segera. Mengeluarkan lantai "tambahan" agak mudah, jika anda ingat bahawa garis miring bermaksud operasi pembahagian standard. Oleh itu, mana-mana pecahan boleh ditulis semula seperti berikut:

Menggunakan fakta ini dan mengikut prosedur, kita boleh mengurangkan mana-mana pecahan berbilang tingkat kepada pecahan biasa dengan mudah. Lihat contoh:

Tugasan. Tukar pecahan berbilang tingkat kepada pecahan biasa:

Dalam setiap kes, kami menulis semula pecahan utama, menggantikan garis pembahagi dengan tanda bahagi. Juga ingat bahawa mana-mana integer boleh diwakili sebagai pecahan dengan penyebut 1. Iaitu 12 = 12/1; 3 = 3/1. Kami mendapat:

DALAM contoh terakhir pecahan telah dibatalkan sebelum pendaraban akhir.

Spesifik bekerja dengan pecahan pelbagai peringkat

Terdapat satu kehalusan dalam pecahan berbilang peringkat yang mesti sentiasa diingati, jika tidak, anda boleh mendapat jawapan yang salah, walaupun semua pengiraan adalah betul. Lihatlah:

1. Pengangka mengandungi nombor tunggal 7, dan penyebutnya mengandungi pecahan 12/5;
2. Pengangka mengandungi pecahan 7/12, dan penyebutnya mengandungi nombor berasingan 5.

Jadi, untuk satu entri kami dapat dua sepenuhnya tafsiran yang berbeza. Jika anda mengira, jawapannya juga berbeza:

Untuk memastikan rekod sentiasa dibaca dengan jelas, gunakan peraturan mudah: garis pembahagi pecahan utama mestilah lebih panjang daripada garis pecahan bersarang. Sebaiknya beberapa kali.

Jika anda mengikuti peraturan ini, maka pecahan di atas hendaklah ditulis seperti berikut:

Ya, ia mungkin tidak sedap dipandang dan memakan terlalu banyak ruang. Tetapi anda akan mengira dengan betul. Akhir sekali, beberapa contoh di mana pecahan berbilang tingkat sebenarnya timbul:

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Jadi, mari kita bekerja dengan contoh pertama. Mari tukar semua pecahan kepada pecahan tak wajar, dan kemudian lakukan operasi tambah dan bahagi:

Mari kita lakukan perkara yang sama dengan contoh kedua. Mari tukar semua pecahan kepada pecahan tak wajar dan lakukan operasi yang diperlukan. Untuk tidak membosankan pembaca, saya akan meninggalkan beberapa pengiraan yang jelas. Kami ada:

Disebabkan fakta bahawa pengangka dan penyebut pecahan asas mengandungi jumlah, peraturan untuk menulis pecahan berbilang cerita diperhatikan secara automatik. Juga, dalam contoh terakhir, kami sengaja meninggalkan 46/1 dalam bentuk pecahan untuk melaksanakan pembahagian.

Saya juga akan ambil perhatian bahawa dalam kedua-dua contoh bar pecahan sebenarnya menggantikan kurungan: pertama sekali, kami mendapati jumlahnya, dan hanya kemudian hasil bagi.

Ada yang akan mengatakan bahawa peralihan kepada pecahan tak wajar dalam contoh kedua adalah jelas berlebihan. Mungkin ini benar. Tetapi dengan melakukan ini, kita menginsuranskan diri kita terhadap kesilapan, kerana contoh lain mungkin menjadi lebih rumit. Pilih sendiri apa yang lebih penting: kelajuan atau kebolehpercayaan.

Tahap kemasukan

Menukar Ungkapan. Teori terperinci (2019)

Menukar Ungkapan

Ini sering kita dengar frasa yang tidak menyenangkan: “permudahkan ungkapan.” Biasanya kita melihat beberapa jenis raksasa seperti ini:

"Ia lebih mudah," kami berkata, tetapi jawapan sedemikian biasanya tidak berfungsi.

Sekarang saya akan mengajar anda untuk tidak takut apa-apa tugasan yang serupa. Selain itu, pada akhir pelajaran anda akan memudahkan contoh ini kepada (hanya!) nombor biasa(ya, neraka dengan surat-surat ini).

Tetapi sebelum anda memulakan pelajaran ini, anda perlu dapat mengendalikan pecahan dan polinomial faktor. Oleh itu, pertama, jika anda belum melakukan ini sebelum ini, pastikan anda menguasai topik "" dan "".

Adakah anda telah membacanya? Jika ya, maka anda kini sudah bersedia.

Operasi penyederhanaan asas

Sekarang mari kita lihat teknik asas yang digunakan untuk memudahkan ungkapan.

Yang paling mudah ialah

1. Membawa serupa

Apakah yang serupa? Anda mengambil ini dalam gred 7, apabila huruf dan bukannya nombor mula-mula muncul dalam matematik. Serupa dengan istilah (monomial) dengan bahagian huruf yang sama. Sebagai contoh, secara keseluruhan istilah yang serupa- ini saya.

Adakah anda ingat?

Untuk membawa maksud yang serupa untuk menambah beberapa istilah yang serupa antara satu sama lain dan mendapatkan satu istilah.

Bagaimanakah kita boleh menyusun huruf? - anda bertanya.

Ini sangat mudah difahami jika anda membayangkan bahawa huruf itu adalah sejenis objek. Sebagai contoh, surat adalah kerusi. Kemudian apakah ungkapan itu sama dengan? Dua kerusi ditambah tiga kerusi, berapakah bilangannya? Betul, kerusi: .

Sekarang cuba ungkapan ini: .

Untuk mengelakkan kekeliruan, biarkan huruf yang berbeza mewakili objek yang berbeza. Sebagai contoh, - ialah (seperti biasa) kerusi, dan - ialah meja. Kemudian:

kerusi meja kerusi meja kerusi kerusi meja

Nombor yang mana huruf dalam sebutan tersebut didarab dipanggil pekali. Sebagai contoh, dalam monomial pekali adalah sama. Dan di dalamnya adalah sama.

Jadi, peraturan untuk membawa yang serupa ialah:

Contoh:

Berikan yang serupa:

Jawapan:

2. (dan serupa, kerana, oleh itu, istilah ini mempunyai bahagian huruf yang sama).

2. Pemfaktoran

Ini biasanya yang paling banyak bahagian penting dalam memudahkan ungkapan. Selepas anda memberikan yang serupa, selalunya ungkapan yang terhasil perlu difaktorkan, iaitu, dibentangkan sebagai produk. Ini amat penting dalam pecahan: untuk dapat mengurangkan pecahan, pengangka dan penyebut mesti diwakili sebagai hasil darab.

Anda telah melalui kaedah pemfaktoran ungkapan secara terperinci dalam topik "", jadi di sini anda hanya perlu mengingati apa yang anda pelajari. Untuk melakukan ini, tentukan beberapa contoh(perlu difaktorkan):

Penyelesaian:

3. Mengurangkan pecahan.

Nah, apa yang lebih menyenangkan daripada memotong sebahagian daripada pengangka dan penyebut dan membuangnya daripada hidup anda?

Itulah indahnya mengecilkan saiz.

Ia mudah:

Jika pengangka dan penyebut mengandungi faktor yang sama, ia boleh dikurangkan, iaitu, dikeluarkan daripada pecahan.

Peraturan ini mengikuti dari sifat asas pecahan:

Iaitu, intipati operasi pengurangan itu Kami membahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan nombor yang sama (atau dengan ungkapan yang sama).

Untuk mengurangkan pecahan yang anda perlukan:

1) pengangka dan penyebut memfaktorkan

2) jika pengangka dan penyebut mengandungi faktor biasa, mereka boleh dicoret.

Prinsipnya, saya rasa, jelas?

Saya ingin menarik perhatian anda kepada satu perkara kesilapan tipikal apabila berkontrak. Walaupun topik ini mudah, ramai orang melakukan semua yang salah, tidak memahaminya kurangkan- ini bermakna bahagikan pengangka dan penyebut adalah nombor yang sama.

Tiada singkatan jika pengangka atau penyebut adalah jumlah.

Contohnya: kita perlu permudahkan.

Sesetengah orang melakukan ini: yang sama sekali salah.

Contoh lain: kurangkan.

Yang "paling bijak" akan melakukan ini: .

Beritahu saya apa yang salah di sini? Nampaknya: - ini adalah pengganda, yang bermaksud ia boleh dikurangkan.

Tetapi tidak: - ini adalah faktor hanya satu sebutan dalam pengangka, tetapi pengangka itu sendiri secara keseluruhannya tidak difaktorkan.

Ini satu lagi contoh: .

Ungkapan ini difaktorkan, yang bermaksud anda boleh mengurangkannya, iaitu, bahagikan pengangka dan penyebut dengan, dan kemudian dengan:

Anda boleh membahagikannya dengan segera kepada:

Untuk mengelakkan kesilapan sedemikian, ingat cara mudah bagaimana untuk menentukan sama ada ungkapan difaktorkan:

Operasi aritmetik yang dilakukan terakhir semasa mengira nilai ungkapan ialah operasi "induk". Iaitu, jika anda menggantikan beberapa (mana-mana) nombor dan bukannya huruf dan cuba mengira nilai ungkapan, maka jika tindakan terakhir akan ada pendaraban, yang bermaksud kita mempunyai produk (ungkapan difaktorkan). Jika tindakan terakhir ialah penambahan atau penolakan, ini bermakna ungkapan itu tidak difaktorkan (dan oleh itu tidak boleh dikurangkan).

Untuk menyatukan, selesaikan beberapa sendiri contoh:

Jawapan:

1. Saya harap anda tidak segera tergesa-gesa untuk memotong dan? Ia masih tidak mencukupi untuk "mengurangkan" unit seperti ini:

Langkah pertama hendaklah pemfaktoran:

4. Menambah dan menolak pecahan. Mengurangkan pecahan kepada penyebut sepunya.

Penambahan dan penolakan pecahan biasa- operasi ini terkenal: kami mencari penyebut biasa, darab setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan tambah/tolak pengangka. Mari kita ingat:

Jawapan:

1. Penyebut dan secara relatifnya prima, iaitu, mereka tidak mempunyai faktor sepunya. Oleh itu, LCM nombor ini adalah sama dengan produknya. Ini akan menjadi penyebut biasa:

2. Di sini penyebut biasa ialah:

3. Perkara pertama di sini pecahan bercampur kami mengubahnya menjadi salah, dan kemudian ikuti corak biasa:

Perkara yang sama sekali berbeza jika pecahan mengandungi huruf, contohnya:

Mari kita mulakan dengan sesuatu yang mudah:

a) Penyebut tidak mengandungi huruf

Semuanya di sini sama seperti biasa pecahan berangka: cari penyebut biasa, darab setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan tambah/tolak pengangka:

Sekarang dalam pengangka anda boleh memberikan yang serupa, jika ada, dan memfaktorkannya:

Cuba sendiri:

b) Penyebut mengandungi huruf

Mari kita ingat prinsip mencari penyebut biasa tanpa huruf:

· pertama sekali, kami menentukan faktor sepunya;

· kemudian kami menulis semua faktor sepunya satu demi satu;

· dan darabkannya dengan semua faktor bukan lazim yang lain.

Untuk menentukan faktor sepunya penyebut, kita terlebih dahulu memasukkannya ke dalam faktor perdana:

Mari kita tekankan faktor biasa:

Sekarang mari kita tuliskan faktor sepunya satu demi satu dan tambahkan padanya semua faktor tidak lazim (tidak digariskan):

Ini adalah penyebut biasa.

Mari kita kembali kepada huruf. Penyebut diberikan dengan cara yang sama:

· faktorkan penyebut;

· menentukan faktor sepunya (sama);

· tulis semua faktor sepunya sekali;

· darabkannya dengan semua faktor bukan sepunya yang lain.

Jadi, mengikut urutan:

1) faktorkan penyebut:

2) tentukan faktor sepunya (sama):

3) tulis semua faktor sepunya sekali dan darabkannya dengan semua faktor lain (tidak bergaris):

Jadi ada penyebut biasa di sini. Pecahan pertama mesti didarab dengan, yang kedua - dengan:

By the way, ada satu helah:

Contohnya: .

Kami melihat faktor yang sama dalam penyebut, hanya semua dengan penunjuk yang berbeza. Penyebut biasa akan menjadi:

ke tahap

ke tahap

ke tahap

ke tahap.

Mari kita rumitkan tugas:

Bagaimana untuk membuat pecahan mempunyai penyebut yang sama?

Mari kita ingat sifat asas pecahan:

Tiada tempat yang mengatakan bahawa nombor yang sama boleh ditolak (atau ditambah) daripada pengangka dan penyebut pecahan. Kerana ia tidak benar!

Lihat sendiri: ambil mana-mana pecahan, sebagai contoh, dan tambahkan beberapa nombor pada pengangka dan penyebut, contohnya, . Apa yang anda pelajari?

Jadi, satu lagi peraturan yang tidak tergoyahkan:

Apabila anda mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa, gunakan hanya operasi pendaraban!

Tetapi apa yang anda perlu darabkan untuk mendapatkan?

Jadi darab dengan. Dan darab dengan:

Kami akan memanggil ungkapan yang tidak boleh difaktorkan sebagai "faktor asas". Sebagai contoh, - ini adalah faktor asas. - Sama. Tetapi tidak: ia boleh difaktorkan.

Bagaimana dengan ungkapan? Adakah ia rendah?

Tidak, kerana ia boleh difaktorkan:

(anda sudah membaca tentang pemfaktoran dalam topik “”).

Jadi, faktor asas di mana anda mengembangkan ungkapan dengan huruf adalah analog faktor utama, di mana anda menguraikan nombor. Dan kita akan berurusan dengan mereka dengan cara yang sama.

Kami melihat bahawa kedua-dua penyebut mempunyai pengganda. Ia akan pergi ke penyebut biasa kepada darjah (ingat kenapa?).

Faktornya adalah asas, dan mereka tidak mempunyai faktor sepunya, yang bermaksud bahawa pecahan pertama hanya perlu didarab dengannya:

Contoh lain:

Penyelesaian:

Sebelum anda mendarabkan penyebut ini dalam keadaan panik, anda perlu memikirkan cara memfaktorkannya? Kedua-duanya mewakili:

Hebat! Kemudian:

Contoh lain:

Penyelesaian:

Seperti biasa, mari kita memfaktorkan penyebutnya. Dalam penyebut pertama kita hanya meletakkannya daripada kurungan; dalam kedua - perbezaan segi empat sama:

Nampaknya tidak ada faktor biasa. Tetapi jika anda melihat dengan teliti, mereka adalah serupa... Dan memang benar:

Jadi mari kita tulis:

Iaitu, ternyata seperti ini: di dalam kurungan kami menukar istilah, dan pada masa yang sama tanda di hadapan pecahan berubah menjadi sebaliknya. Ambil perhatian, anda perlu melakukan ini dengan kerap.

Sekarang mari kita bawa ia kepada penyebut biasa:

faham? Jom semak sekarang.

Tugas untuk penyelesaian bebas:

Jawapan:

Di sini kita perlu ingat satu lagi perkara - perbezaan kiub:

Sila ambil perhatian bahawa penyebut pecahan kedua tidak mengandungi formula "kuadrat jumlah"! Kuasa dua jumlah akan kelihatan seperti ini: .

A ialah apa yang dipanggil kuasa dua tidak lengkap hasil tambah: sebutan kedua di dalamnya ialah hasil darab pertama dan terakhir, dan bukan hasil darabnya. Kuasa dua separa hasil tambah ialah salah satu faktor dalam pengembangan perbezaan kubus:

Apa yang perlu dilakukan jika sudah ada tiga pecahan?

Ya, perkara yang sama! Pertama sekali, mari kita pastikan itu kuantiti maksimum faktor dalam penyebut adalah sama:

Sila ambil perhatian: jika anda menukar tanda di dalam satu kurungan, tanda di hadapan pecahan bertukar kepada sebaliknya. Apabila kita menukar tanda dalam kurungan kedua, tanda di hadapan pecahan berubah lagi kepada sebaliknya. Akibatnya, ia (tanda di hadapan pecahan) tidak berubah.

Kami menulis keseluruhan penyebut pertama ke dalam penyebut biasa, dan kemudian menambah padanya semua faktor yang belum ditulis, dari yang kedua, dan kemudian dari yang ketiga (dan seterusnya, jika terdapat lebih banyak pecahan). Iaitu, ternyata seperti ini:

Hmm... Sudah jelas apa yang perlu dilakukan dengan pecahan. Tetapi bagaimana dengan kedua-duanya?

Ia mudah: anda tahu cara menambah pecahan, bukan? Jadi, kita perlu menjadikan dua menjadi pecahan! Mari kita ingat: pecahan ialah operasi bahagi (pengangka dibahagikan dengan penyebut, sekiranya anda terlupa). Dan tidak ada yang lebih mudah daripada membahagikan nombor dengan. Dalam kes ini, nombor itu sendiri tidak akan berubah, tetapi akan berubah menjadi pecahan:

Hanya apa yang anda perlukan!

5. Pendaraban dan pembahagian pecahan.

Nah, bahagian yang paling sukar sudah berakhir sekarang. Dan di hadapan kita adalah yang paling mudah, tetapi pada masa yang sama yang paling penting:

Prosedur

Apakah prosedur untuk mengira ungkapan berangka? Ingat dengan mengira maksud ungkapan ini:

Adakah anda mengira?

Ia sepatutnya berfungsi.

Jadi, izinkan saya mengingatkan anda.

Langkah pertama ialah mengira darjah.

Yang kedua ialah pendaraban dan pembahagian. Jika terdapat beberapa pendaraban dan pembahagian pada masa yang sama, ia boleh dilakukan dalam sebarang susunan.

Dan akhirnya, kami melakukan penambahan dan penolakan. Sekali lagi, dalam sebarang susunan.

Tetapi: ungkapan dalam kurungan dinilai mengikut giliran!

Jika beberapa kurungan didarab atau dibahagikan dengan satu sama lain, kami mula-mula mengira ungkapan dalam setiap kurungan, dan kemudian mendarab atau membahagikannya.

Bagaimana jika terdapat lebih banyak kurungan di dalam kurungan? Baiklah, mari kita fikirkan: beberapa ungkapan ditulis di dalam kurungan. Apabila mengira ungkapan, apakah yang perlu anda lakukan dahulu? Betul, kira kurungan. Nah, kami memikirkannya: mula-mula kami mengira kurungan dalaman, kemudian segala-galanya.

Jadi, prosedur untuk ungkapan di atas adalah seperti berikut (tindakan semasa diserlahkan dengan warna merah, iaitu tindakan yang saya lakukan sekarang):

Okay, semuanya mudah.

Tetapi ini tidak sama dengan ungkapan dengan huruf?

Tidak, ia sama! Hanya daripada operasi aritmetik, anda perlu melakukan yang algebra, iaitu, tindakan yang diterangkan dalam bahagian sebelumnya: membawa serupa, menambah pecahan, mengurangkan pecahan dan sebagainya. Satu-satunya perbezaan adalah tindakan pemfaktoran polinomial (kita sering menggunakan ini apabila bekerja dengan pecahan). Selalunya, untuk memfaktorkan, anda perlu menggunakan I atau hanya keluarkan pengganda biasa daripada kurungan.

Biasanya matlamat kami adalah untuk mewakili ungkapan sebagai produk atau hasil bagi.

Contohnya:

Mari kita permudahkan ungkapan.

1) Pertama, kita permudahkan ungkapan dalam kurungan. Di sana kami mempunyai perbezaan pecahan, dan matlamat kami adalah untuk membentangkannya sebagai hasil atau hasil bagi. Jadi, kami membawa pecahan kepada penyebut biasa dan menambah:

Adalah mustahil untuk mempermudahkan lagi ungkapan ini; semua faktor di sini adalah asas (adakah anda masih ingat maksud ini?).

2) Kami mendapat:

Mendarab pecahan: apa yang lebih mudah.

3) Kini anda boleh memendekkan:

Nah, itu sahaja. Tidak ada yang rumit, bukan?

Contoh lain:

Permudahkan ungkapan.

Pertama, cuba selesaikan sendiri, dan kemudian lihat penyelesaiannya.

Pertama sekali, mari kita tentukan susunan tindakan. Mula-mula, mari kita tambah pecahan dalam kurungan, jadi daripada dua pecahan kita mendapat satu. Kemudian kita akan melakukan pembahagian pecahan. Baiklah, mari kita tambahkan hasilnya dengan pecahan terakhir. Saya akan menomborkan langkah-langkah secara skematik:

Sekarang saya akan menunjukkan kepada anda prosesnya, mewarnakan tindakan semasa dengan warna merah:

Akhirnya, saya akan memberi anda dua petua berguna:

1. Jika ada yang serupa, hendaklah dibawa segera. Walau apa pun yang serupa timbul di negara kita, adalah dinasihatkan untuk membawanya segera.

2. Perkara yang sama berlaku untuk mengurangkan pecahan: sebaik sahaja peluang untuk mengurangkan muncul, ia mesti diambil kesempatan. Pengecualian adalah untuk pecahan yang anda tambah atau tolak: jika ia ada sekarang penyebut yang sama, maka pengurangan itu harus ditinggalkan untuk kemudian.

Berikut ialah beberapa tugasan untuk anda selesaikan sendiri:

Dan apa yang dijanjikan pada mulanya:

Penyelesaian (ringkas):

Jika anda telah mengatasi sekurang-kurangnya tiga contoh pertama, maka pertimbangkan diri anda telah menguasai topik tersebut.

Sekarang untuk belajar!

MENUKARKAN UNGKAPAN. RINGKASAN DAN FORMULA ASAS

Operasi pemudahan asas:

• Membawa serupa: untuk menambah (mengurangkan) istilah yang serupa, anda perlu menambah pekalinya dan menetapkan bahagian huruf.
• Pemfaktoran: meletakkan faktor sepunya daripada kurungan, menerapkannya, dsb.
• Mengurangkan pecahan: Pengangka dan penyebut pecahan boleh didarab atau dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama, yang tidak mengubah nilai pecahan.
  1) pengangka dan penyebut memfaktorkan
  2) jika pengangka dan penyebut mempunyai faktor sepunya, ia boleh dicoret.

  PENTING: hanya pengganda boleh dikurangkan!

• Menambah dan menolak pecahan:
  ;
• Mendarab dan membahagi pecahan:
  ;

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Tentukan tindakan. Lakukan tindakan pertama dalam kurungan dalam 489–296=193. Kemudian, darabkan 193∙8=1544 dan 34∙10=340. Tindakan seterusnya: 340+1544=1884. Seterusnya, bahagikan 1884:4=461 dan kemudian tolak 461–410=60. Anda telah menemui maksud ungkapan ini.

Contoh. Cari nilai ungkapan 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Permudahkan ungkapan ini. Untuk melakukan ini, gunakan formula tg α∙ctg α=1. Dapatkan: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Diketahui bahawa sin 30º=1/2 dan cos 30º=√3/2. Oleh itu, 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Anda telah menemui maksud ungkapan ini.

Nilai ungkapan algebra daripada . Untuk mencari nilai ungkapan algebra yang diberi pembolehubah, mudahkan ungkapan itu. Pengganti untuk pembolehubah nilai-nilai tertentu. Lengkapkan langkah yang diperlukan. Akibatnya, anda akan menerima nombor, yang akan menjadi nilai ungkapan algebra untuk pembolehubah yang diberikan.

Contoh. Cari nilai bagi ungkapan 7(a+y)–3(2a+3y) dengan a=21 dan y=10. Permudahkan ungkapan ini dan dapatkan: a–2y. Gantikan nilai pembolehubah yang sepadan dan hitung: a–2y=21–2∙10=1. Ini ialah nilai ungkapan 7(a+y)–3(2a+3y) dengan a=21 dan y=10.

Sila ambil perhatian

ada ungkapan algebra, yang tidak masuk akal untuk beberapa nilai pembolehubah. Contohnya, ungkapan x/(7–a) tidak masuk akal jika a=7, kerana dalam kes ini, penyebut pecahan menjadi sifar.

Sumber:

• cari nilai terkecil ungkapan
• Cari maksud ungkapan bagi c 14

Belajar untuk memudahkan ungkapan dalam matematik hanya perlu untuk menyelesaikan masalah dengan betul dan cepat, pelbagai persamaan. Memudahkan ungkapan melibatkan pengurangan bilangan langkah, yang menjadikan pengiraan lebih mudah dan menjimatkan masa.

Arahan

Belajar mengira kuasa c. Apabila mendarab kuasa c, nombor diperoleh yang asasnya sama, dan eksponen ditambah b^m+b^n=b^(m+n). Apabila membahagikan darjah dengan atas alasan yang sama mereka memperoleh kuasa nombor, asasnya tetap sama, dan eksponen ditolak, dan eksponen pembahagi b^m ditolak daripada eksponen dividen: b^n=b^(m-n). Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, kuasa nombor diperolehi, asasnya kekal sama, dan eksponen didarabkan (b^m)^n=b^(mn) Apabila dinaikkan kepada kuasa, setiap faktor dinaikkan kepada kuasa ini (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Polinomial faktor, i.e. bayangkan mereka sebagai hasil daripada beberapa faktor - dan monomial. Keluarkan faktor sepunya daripada kurungan. Pelajari formula asas untuk pendaraban singkatan: perbezaan kuasa dua, perbezaan kuasa dua, hasil tambah, perbezaan kubus, kubus hasil tambah dan perbezaan. Contohnya, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Formula ini adalah yang utama dalam penyederhanaan. Gunakan kaedah pemilihan persegi penuh dalam trinomial dalam bentuk ax^2+bx+c.

Ringkaskan pecahan sekerap mungkin. Contohnya, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Tetapi ingat bahawa anda hanya boleh mengurangkan pengganda. Jika pengangka dan penyebut pecahan algebra didarab dengan nombor yang sama selain sifar, nilai pecahan tidak akan berubah. Anda boleh menukar ungkapan dalam dua cara: berantai dan mengikut tindakan. Kaedah kedua adalah lebih baik, kerana lebih mudah untuk menyemak keputusan tindakan perantaraan.

Selalunya perlu untuk mengekstrak akar dalam ungkapan. Malah akar diekstrak hanya daripada ungkapan atau nombor bukan negatif. Akar ganjil boleh diekstrak daripada sebarang ungkapan.

Sumber:

• penyederhanaan ungkapan dengan kuasa

Fungsi trigonometri mula-mula muncul sebagai alat abstrak. pengiraan matematik kebergantungan kuantiti sudut tajam V segi tiga tepat daripada panjang sisinya. Kini ia digunakan secara meluas dalam kedua-dua bidang saintifik dan teknikal. aktiviti manusia. Untuk pengiraan praktikal fungsi trigonometri hujah yang diberikan, anda boleh menggunakan alat yang berbeza - beberapa yang paling mudah diakses diterangkan di bawah.

Arahan

Gunakan, sebagai contoh, yang dipasang secara lalai dengan sistem pengendalian program kalkulator. Ia dibuka dengan memilih item "Kalkulator" dalam folder "Utiliti" daripada subseksyen "Standard", diletakkan di bahagian "Semua program". Bahagian ini boleh dibuka dengan mengklik pada butang “Mula” untuk membuka menu pengendalian utama. Jika anda menggunakan versi Windows 7, maka anda hanya boleh memasukkan "Kalkulator" dalam medan "Cari program dan fail" pada menu utama, dan kemudian klik pada pautan yang sepadan dalam hasil carian.

Kira kuantiti tindakan yang perlu dan fikirkan tentang susunan yang sepatutnya dilakukan. Jika anda rasa susah soalan ini, sila ambil perhatian bahawa operasi yang disertakan dalam kurungan dilakukan dahulu, kemudian pembahagian dan pendaraban; dan penolakan dilakukan dalam pilihan terakhir. Untuk memudahkan untuk mengingati algoritma tindakan yang dilakukan, dalam ungkapan di atas setiap tanda pengendali tindakan (+,-,*,:), dengan pensel nipis, tuliskan nombor yang sepadan dengan pelaksanaan tindakan.

Teruskan dengan langkah pertama, mengikut perintah yang ditetapkan. Kira dalam kepala anda jika tindakan itu mudah dilakukan secara lisan. Jika pengiraan diperlukan (dalam lajur), tuliskannya di bawah ungkapan, menunjukkan nombor siri tindakan.

Jejaki dengan jelas urutan tindakan yang dilakukan, nilaikan perkara yang perlu ditolak daripada apa, dibahagikan kepada apa, dsb. Selalunya jawapan dalam ungkapan itu ternyata tidak betul kerana kesilapan yang dilakukan pada peringkat ini.

Ciri tersendiri ekspresi ialah kehadiran operasi matematik. Ia ditunjukkan oleh tanda-tanda tertentu (pendaraban, pembahagian, penolakan atau penambahan). Urutan melaksanakan operasi matematik dibetulkan dengan kurungan jika perlu. Untuk melaksanakan operasi matematik bermakna mencari .

Apa yang bukan ungkapan

Tidak setiap tatatanda matematik boleh diklasifikasikan sebagai ungkapan.

Persamaan bukan ungkapan. Sama ada operasi matematik terdapat dalam kesamaan atau tidak tidak menjadi masalah. Sebagai contoh, a=5 ialah kesamaan, bukan ungkapan, tetapi 8+6*2=20 juga tidak boleh dianggap sebagai ungkapan, walaupun ia mengandungi pendaraban. Contoh ini juga tergolong dalam kategori kesamaan.

Konsep ekspresi dan kesaksamaan tidak saling eksklusif; Tanda yang sama menghubungkan dua ungkapan:
5+7=24:2

Persamaan ini boleh dipermudahkan:
5+7=12

Ungkapan sentiasa menganggap bahawa operasi matematik yang diwakilinya boleh dilakukan. 9+:-7 bukan ungkapan, walaupun terdapat tanda-tanda operasi matematik di sini, kerana adalah mustahil untuk melakukan tindakan ini.

Terdapat juga matematik yang secara formal ungkapan, tetapi tidak mempunyai makna. Contoh ungkapan sedemikian:
46:(5-2-3)

Nombor 46 mesti dibahagikan dengan hasil tindakan dalam kurungan, dan ia sama dengan sifar. Anda tidak boleh membahagi dengan sifar tindakan itu dianggap dilarang.

Ungkapan angka dan algebra

Terdapat dua jenis ungkapan matematik.

Jika ungkapan hanya mengandungi nombor dan simbol operasi matematik, ungkapan sedemikian dipanggil angka. Jika dalam ungkapan, bersama dengan nombor, terdapat pembolehubah yang dilambangkan dengan huruf, atau tiada nombor sama sekali, ungkapan itu hanya terdiri daripada pembolehubah dan simbol operasi matematik, ia dipanggil algebra.

Perbezaan asas nilai berangka daripada algebra ialah ungkapan berangka hanya mempunyai satu nilai. Sebagai contoh, nilai ungkapan berangka 56–2*3 akan sentiasa sama dengan 50; Ungkapan algebra boleh mempunyai banyak nilai, kerana sebarang nombor boleh digantikan. Jadi, jika dalam ungkapan b–7 kita menggantikan 9 dengan b, nilai ungkapan itu akan menjadi 2, dan jika 200, ia akan menjadi 193.

Sumber:

• Ungkapan angka dan algebra