Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menghantar permintaan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda emel dll.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Dikumpul oleh kami maklumat peribadi membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman seperti pengauditan, analisis data dan pelbagai kajian untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, V perbicaraan, dan/atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Menentukan jarak antara: 1 - titik dan satah; 2 - lurus dan rata; 3 - kapal terbang; 4 - melintasi garis lurus dianggap bersama, kerana algoritma penyelesaian untuk semua masalah ini pada dasarnya adalah sama dan terdiri daripada binaan geometri, yang mesti dilakukan untuk menentukan jarak antara titik A dan satah α yang diberikan. Sekiranya terdapat sebarang perbezaan, ia hanya terdiri daripada fakta bahawa dalam kes 2 dan 3, sebelum mula menyelesaikan masalah, anda harus menandakan titik A sewenang-wenangnya pada garis lurus m (kes 2) atau satah β (kes 3). jarak antara garisan lintasan, kami mula-mula melampirkannya dalam satah selari α dan β dan kemudian menentukan jarak antara satah ini.

Mari kita pertimbangkan setiap kes penyelesaian masalah yang dinyatakan.

1. Menentukan jarak antara titik dan satah.

Jarak dari titik ke satah ditentukan oleh panjang segmen serenjang yang dilukis dari titik ke satah.

Oleh itu, penyelesaian kepada masalah ini terdiri daripada melaksanakan operasi grafik berikut secara berurutan:

1) dari titik A kita menurunkan serenjang dengan satah α (Rajah 269);

2) cari titik M persilangan serenjang ini dengan satah M = a ∩ α;

3) tentukan panjang segmen.

Jika satah α kedudukan umum, maka untuk menurunkan serenjang pada satah ini, perlu terlebih dahulu menentukan arah unjuran mendatar dan hadapan satah ini. Mencari titik pertemuan serenjang ini dengan satah juga memerlukan pembinaan geometri tambahan.

Penyelesaian kepada masalah dipermudahkan jika satah α menduduki kedudukan tertentu berbanding satah unjuran. Dalam kes ini, kedua-dua unjuran serenjang dan penemuan titik pertemuannya dengan pesawat dilakukan tanpa sebarang pembinaan tambahan tambahan.

CONTOH 1. Tentukan jarak dari titik A ke satah unjuran hadapan α (Rajah 270).

PENYELESAIAN. Melalui A" kita melukis unjuran mendatar l" ⊥ h 0α, dan melalui A" - unjuran hadapannya l" ⊥ f 0α. Kami menandakan titik M" = l" ∩ f 0α . Sejak AM || π 2, kemudian [A" M"] == |AM| = d.

Daripada contoh yang dipertimbangkan, jelaslah betapa mudahnya masalah itu diselesaikan apabila pesawat menempati kedudukan unjuran. Oleh itu, jika satah kedudukan am dinyatakan dalam data sumber, maka sebelum meneruskan penyelesaian, satah harus dialihkan ke kedudukan berserenjang dengan mana-mana satah unjuran.

CONTOH 2. Tentukan jarak dari titik K ke satah yang ditentukan oleh ΔАВС (Rajah 271).

1. Kami memindahkan pesawat ΔАВС ke kedudukan unjuran *. Untuk melakukan ini, kita bergerak dari sistem xπ 2 /π 1 ke x 1 π 3 /π 1: arah paksi x 1 baharu dipilih berserenjang dengan unjuran mendatar satah mendatar segitiga.

2. Unjurkan ΔABC ke satah baru π 3 (satah ΔABC diunjurkan ke π 3, dalam [ C " 1 B " 1 ]).

3. Unjurkan titik K pada satah yang sama (K" → K" 1).

4. Melalui titik K" 1 kita lukis (K" 1 M" 1)⊥ segmen [C" 1 B" 1]. Jarak yang diperlukan d = |K" 1 M" 1 |

Penyelesaian kepada masalah dipermudahkan jika satah ditakrifkan oleh jejak, kerana tidak perlu melukis unjuran garis aras.

CONTOH 3. Tentukan jarak dari titik K ke satah α, yang ditentukan oleh trek (Rajah 272).

* Cara paling rasional untuk memindahkan satah segi tiga ke kedudukan unjuran adalah dengan menggantikan satah unjuran, kerana dalam kes ini cukup untuk membina hanya satu unjuran tambahan.

PENYELESAIAN. Kami menggantikan satah π 1 dengan satah π 3, untuk ini kita lukis paksi baru x 1 ⊥ f 0α. Pada h 0α kita menandakan titik arbitrari 1" dan menentukan unjuran mendatar baharunya pada satah π 3 (1" 1). Melalui titik X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) dan 1" 1 kita lukis h 0α 1. Kita tentukan unjuran mendatar baharu bagi titik K → K" 1. Dari titik K" 1 kita menurunkan serenjang kepada h 0α 1 dan menandakan titik persilangannya dengan h 0α 1 - M" 1. Panjang segmen K" 1 M" 1 akan menunjukkan jarak yang diperlukan.

2. Menentukan jarak antara garis lurus dengan satah.

Jarak antara garis dan satah ditentukan oleh panjang segmen serenjang yang dijatuhkan dari titik sewenang-wenang garis ke atas satah (lihat Rajah 248).

Oleh itu, penyelesaian kepada masalah menentukan jarak antara garis lurus m dan satah α tidak berbeza daripada contoh yang dibincangkan dalam perenggan 1 untuk menentukan jarak antara titik dan satah (lihat Rajah 270 ... 272). Sebagai titik, anda boleh mengambil mana-mana titik kepunyaan garis m.

3. Penentuan jarak antara satah.

Jarak antara satah ditentukan oleh saiz segmen serenjang yang dijatuhkan dari titik yang diambil pada satu satah ke satah lain.

Daripada definisi ini, algoritma untuk menyelesaikan masalah mencari jarak antara satah α dan β berbeza daripada algoritma yang serupa untuk menyelesaikan masalah menentukan jarak antara garis m dan satah α sahaja dalam garisan m itu mesti tergolong dalam satah α. , iaitu, untuk menentukan jarak antara satah α dan β berikut:

1) ambil garis lurus m dalam satah α;

2) pilih titik A sewenang-wenangnya pada baris m;

3) dari titik A, turunkan serenjang l ke satah β;

4) tentukan titik M - titik pertemuan l serenjang dengan satah β;

5) tentukan saiz segmen.

Dalam amalan, adalah dinasihatkan untuk menggunakan algoritma penyelesaian yang berbeza, yang akan berbeza daripada yang diberikan hanya dalam itu, sebelum meneruskan dengan langkah pertama, pesawat harus dipindahkan ke kedudukan unjuran.

Memasukkan operasi tambahan ini dalam algoritma memudahkan pelaksanaan semua mata lain tanpa pengecualian, yang akhirnya membawa kepada penyelesaian yang lebih mudah.

CONTOH 1. Tentukan jarak antara satah α dan β (Rajah 273).

PENYELESAIAN. Kami bergerak dari sistem xπ 2 /π 1 kepada x 1 π 1 /π 3. Berkenaan dengan satah baru π 3, satah α dan β menduduki kedudukan unjuran, oleh itu jarak antara jejak hadapan baharu f 0α 1 dan f 0β 1 adalah yang diingini.

Dalam amalan kejuruteraan, selalunya perlu untuk menyelesaikan masalah membina satah selari dengan yang tertentu dan jauh daripadanya dengan jarak yang ditentukan. Contoh 2 di bawah menggambarkan penyelesaian kepada masalah tersebut.

CONTOH 2. Ia dikehendaki membina unjuran satah β selari dengan satah tertentu α (m || n), jika diketahui bahawa jarak antaranya ialah d (Rajah 274).

1. Dalam satah α, lukis garisan mendatar sewenang-wenangnya h (1, 3) dan garisan hadapan f (1,2).

2. Dari titik 1 kita memulihkan l berserenjang ke satah α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Pada l serenjang kita tandakan titik sewenang-wenangnya A.

4. Tentukan panjang segmen - (kedudukan menunjukkan pada gambar rajah arah metrik tidak herot bagi garis lurus l).

5. Letakkan segmen = d pada garis lurus (1"A 0) dari titik 1".

6. Tandakan pada unjuran l" dan l" titik B" dan B", sepadan dengan titik Pada 0.

7. Melalui titik B kita lukis satah β (h 1 ∩ f 1). Kepada β || α, adalah perlu untuk mematuhi syarat h 1 || h dan f 1 || f.

4. Menentukan jarak antara garisan bersilang.

Jarak antara garis bersilang ditentukan oleh panjang serenjang yang tertutup di antara satah selari yang menjadi milik garis bersilang.

Untuk melukis satah selari α dan β melalui garis lurus yang bersilang m dan f, adalah memadai untuk melukis melalui titik A (A ∈ m) garis lurus p selari dengan garis lurus f, dan melalui titik B (B ∈ f) garis lurus k selari dengan lurus m . Garis bersilang m dan p, f dan k mentakrifkan satah selari α dan β (lihat Rajah 248, e). Jarak antara satah α dan β adalah sama dengan jarak yang diperlukan antara garisan lintasan m dan f.

Satu lagi cara untuk menentukan jarak antara garis bersilang boleh dicadangkan, iaitu menggunakan beberapa jenis kaedah transformasi unjuran ortogon salah satu garisan lintasan dipindahkan ke kedudukan unjuran. Dalam kes ini, satu unjuran garis merosot menjadi titik. Jarak antara unjuran baharu garisan lintasan (titik A" 2 dan segmen C" 2 D" 2) adalah yang diperlukan.

Dalam Rajah. 275 menunjukkan penyelesaian kepada masalah menentukan jarak antara garisan lintasan a dan b, segmen yang diberikan[AB] dan [CD]. Penyelesaian dilakukan dalam urutan berikut:

1. Gerakkan salah satu garisan silang (a) ke kedudukan selari dengan kapal terbangπ 3; untuk melakukan ini, mereka bergerak dari sistem satah unjuran xπ 2 /π 1 kepada x 1 π 1 /π 3 baharu, paksi x 1 adalah selari dengan unjuran mendatar garis lurus a. Tentukan a" 1 [A" 1 B" 1 ] dan b" 1.

2. Dengan menggantikan satah π 1 dengan satah π 4 kita menterjemah garis lurus

dan untuk meletakkan a" 2, berserenjang dengan satah π 4 (paksi x 2 baharu dilukis berserenjang dengan a" 1).

3. Bina unjuran mendatar baharu bagi garis lurus b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. Jarak dari titik A" 2 ke garis lurus C" 2 D" 2 (segmen (A" 2 M" 2 ] (adalah yang diperlukan.

Perlu diingat bahawa pemindahan salah satu garisan silang ke kedudukan unjuran tidak lebih daripada pemindahan satah selari, di mana garis a dan b boleh disertakan, juga ke kedudukan unjuran.

Malah, dengan menggerakkan garis a ke kedudukan berserenjang dengan satah π 4, kami memastikan bahawa mana-mana satah yang mengandungi garis a berserenjang dengan satah π 4, termasuk satah α yang ditakrifkan oleh garis a dan m (a ∩ m, m | |. b ). Jika kita sekarang melukis garis n, selari dengan a dan garis bersilang b, maka kita memperoleh satah β, iaitu satah kedua selari, yang mengandungi garis bersilang a dan b. Sejak β || α, kemudian β ⊥ π 4 .

Arahan

Untuk mencari jarak dari mata kepada kapal terbang menggunakan kaedah deskriptif: pilih pada kapal terbang titik sewenang-wenangnya; lukis dua garis lurus melaluinya (berbaring dalam ini kapal terbang); pulihkan berserenjang dengan kapal terbang melalui titik ini (bina garisan berserenjang dengan kedua-dua garis bersilang pada masa yang sama); lukis garis lurus selari dengan serenjang yang dibina melalui titik tertentu; cari jarak antara titik persilangan garis ini dengan satah dan titik yang diberi.

Jika jawatan mata diberikan oleh koordinat tiga dimensinya, dan kedudukannya kapal terbang – persamaan linear, kemudian untuk mencari jarak dari kapal terbang kepada mata, gunakan kaedah geometri analisis: menunjukkan koordinat mata melalui x, y, z, masing-masing (x – abscissa, y – ordinat, z – terpakai); nyatakan dengan A, B, C, D persamaan kapal terbang(A – parameter pada abscissa, B – pada , C – pada terpakai, D – jangka bebas); hitung jarak dari mata kepada kapal terbang mengikut formula:s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,dengan s ialah jarak antara titik dan satah,|| - nilai mutlak(atau modul).

Contoh: Cari jarak antara titik A dengan koordinat (2, 3, -1) dan satah, diberikan oleh persamaan: 7x-6y-6z+20=0 Penyelesaian berikut bahawa: x=2,y=3,z=-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20. . Gantikan nilai ini ke dalam yang di atas Anda mendapat: s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2.Jawapan: Jarak daripada mata kepada kapal terbang sama dengan 2 (unit arbitrari).

Petua 2: Bagaimana untuk menentukan jarak dari titik ke satah

Menentukan jarak dari mata kepada kapal terbang- salah satu tugas biasa planimetri sekolah. Seperti yang diketahui, yang paling kecil jarak daripada mata kepada kapal terbang akan ada serenjang yang dilukis daripada ini mata kepada ini kapal terbang. Oleh itu, panjang serenjang ini diambil sebagai jarak dari mata kepada kapal terbang.

Anda akan perlukan

• persamaan satah

Arahan

Biarkan yang pertama daripada selari f1 diberikan oleh persamaan y=kx+b1. Menterjemah ungkapan ke dalam bentuk am, anda mendapat kx-y+b1=0, iaitu, A=k, B=-1. Normalnya ialah n=(k, -1).
Kini mengikuti absis arbitrari bagi titik x1 pada f1. Maka ordinatnya ialah y1=kx1+b1.
Biarkan persamaan kedua garis selari f2 dalam bentuk:
y=kx+b2 (1),
di mana k adalah sama untuk kedua-dua garis, disebabkan keselariannya.

Seterusnya anda perlu buat persamaan kanonik garis berserenjang dengan f2 dan f1 yang mengandungi titik M (x1, y1). Dalam kes ini, diandaikan bahawa x0=x1, y0=y1, S=(k, -1). Akibatnya, anda harus mendapat persamaan berikut:
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).

Setelah menyelesaikan sistem persamaan yang terdiri daripada ungkapan (1) dan (2), anda akan menemui titik kedua yang menentukan jarak yang diperlukan antara yang selari N(x2, y2). Jarak yang diperlukan itu sendiri akan sama dengan d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.

Contoh. Biarkan persamaan garis selari yang diberi pada satah f1 – y=2x +1 (1);
f2 – y=2x+5 (2). Ambil titik arbitrari x1=1 pada f1. Kemudian y1=3. Oleh itu, titik pertama akan mempunyai koordinat M (1,3). Persamaan serenjang am (3):
(x-1)/2 = -y+3 atau y=-(1/2)x+5/2.
Menggantikan nilai y ini kepada (1), anda mendapat:
-(1/2)x+5/2=2x+5, (5/2)x=-5/2, x2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2= 3.
Tapak kedua serenjang adalah pada titik dengan koordinat N (-1, 3). Jarak antara garis selari ialah:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4.47.

Sumber:

• Pembangunan olahraga di Rusia

Bahagian atas mana-mana rata atau isipadu angka geometri ditentukan secara unik oleh koordinatnya di angkasa. Dengan cara yang sama, sebarang titik sewenang-wenang dalam sistem koordinat yang sama boleh ditentukan secara unik, dan ini memungkinkan untuk mengira jarak antara ini titik sewenang-wenangnya dan bahagian atas rajah itu.

Anda akan perlukan

• - kertas;
• - pen atau pensel;
• - kalkulator.

Arahan

Kurangkan masalah untuk mencari panjang segmen antara dua titik, jika koordinat titik yang dinyatakan dalam masalah dan bucu rajah geometri diketahui. Panjang ini boleh dikira menggunakan teorem Pythagoras berhubung dengan unjuran segmen pada paksi koordinat - ia akan sama dengan punca kuasa dua daripada hasil tambah kuasa dua bagi panjang semua unjuran. Sebagai contoh, biarkan titik A(X₁;Y₁;Z₁) dan bucu C mana-mana rajah geometri dengan koordinat (X₂;Y₂;Z₂) diberikan dalam sistem koordinat tiga dimensi. Kemudian panjang unjuran segmen antara mereka ke paksi koordinat boleh sebagai X₁-X₂, Y₁-Y₂ dan Z₁-Z₂, dan panjang segmen sebagai √((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²+(Z₁-Z₂)²). Sebagai contoh, jika koordinat titik ialah A(5;9;1), dan bucunya ialah C(7;8;10), maka jarak antara titik tersebut akan sama dengan √((5-7)²+ (9-8)²+(1- 10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9.274.

Mula-mula hitung koordinat puncak jika ia tidak dibentangkan secara eksplisit dalam keadaan masalah. Kaedah khusus bergantung pada jenis angka dan parameter tambahan yang diketahui. Sebagai contoh, jika koordinat tiga dimensi bagi tiga bucu A(X₁;Y₁;Z₁), B(X₂;Y₂;Z₂) dan C(X₃;Y₃;Z₃) diketahui, maka koordinat bucu keempatnya ( bertentangan dengan bucu B) ialah (X₃+X₂-X₁; Y₃+Y₂-Y₁; Z₃+Z₂-Z₁). Selepas menentukan koordinat bucu yang hilang, pengiraan jarak antaranya dan titik arbitrari sekali lagi akan dikurangkan untuk menentukan panjang segmen antara dua titik ini dalam sistem yang diberikan koordinat - lakukan ini dengan cara yang sama seperti yang diterangkan dalam langkah sebelumnya. Contohnya, untuk bucu segiempat selari yang diterangkan dalam langkah ini dan titik E dengan koordinat (X₄;Y₄;Z₄), formula untuk mengira jarak dari langkah sebelumnya boleh seperti berikut: √((X₃+X₂-X₁- X₄)²+(Y₃+Y₂-Y₁- Y₄)²+(Z₃+Z₂-Z₁-Z₄)²).

Untuk pengiraan praktikal, anda boleh menggunakan, sebagai contoh, yang terbina dalam enjin carian Google. Jadi, untuk mengira nilai menggunakan formula yang diperolehi dalam langkah sebelumnya, untuk titik dengan koordinat A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7; 9; 2), masukkan ini pertanyaan carian: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). Enjin carian akan mengira dan memaparkan hasil pengiraan (5.19615242).

Video mengenai topik

Pemulihan berserenjang Kepada kapal terbang– salah satu daripada tugas penting dalam geometri, ia mendasari banyak teorem dan bukti. Untuk membina garis serenjang kapal terbang, anda perlu melakukan beberapa langkah secara berurutan.

Anda akan perlukan

• - kapal terbang yang diberikan;
• - titik dari mana anda ingin melukis serenjang;
• - kompas;
• - pembaris;
• - pensel.

Belakang Hadapan

Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili semua ciri pembentangan. Jika anda berminat kerja ini, sila muat turun versi penuh.

Matlamat:

• generalisasi dan sistematisasi pengetahuan dan kemahiran pelajar;
• pembangunan kemahiran untuk menganalisis, membandingkan, membuat kesimpulan.

peralatan:

• projektor multimedia;
• komputer;
• helaian dengan teks masalah

KEMAJUAN KELAS

I. Detik organisasi

II. Peringkat pengemaskinian pengetahuan(slaid 2)

Kami mengulangi bagaimana jarak dari titik ke satah ditentukan

III. Syarahan(slaid 3-15)

Dalam kelas kita akan tengok pelbagai cara mencari jarak dari satu titik ke satah.

Kaedah pertama: pengiraan langkah demi langkah

Jarak dari titik M ke satah α:
– sama dengan jarak ke satah α dari titik sewenang-wenangnya P yang terletak pada garis lurus a, yang melalui titik M dan selari dengan satah α;
– adalah sama dengan jarak ke satah α dari titik sewenang-wenangnya P yang terletak pada satah β, yang melalui titik M dan selari dengan satah α.

Kami akan menyelesaikan masalah berikut:

№1. Dalam kubus A...D 1, cari jarak dari titik C 1 ke satah AB 1 C.

Ia kekal untuk mengira nilai panjang segmen O 1 N.

№2. Dalam prisma heksagon sekata A...F 1, semua tepinya sama dengan 1, cari jarak dari titik A ke satah DEA ​​1.

Kaedah seterusnya: kaedah isipadu.

Jika isipadu piramid ABCM adalah sama dengan V, maka jarak dari titik M ke satah α yang mengandungi ∆ABC dikira dengan formula ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Apabila menyelesaikan masalah, kami menggunakan kesamaan isipadu satu angka, dinyatakan dalam dua cara yang berbeza.

Jom selesaikan masalah berikut:

№3. Tepi AD piramid DABC berserenjang dengan satah asas ABC. Cari jarak dari A ke satah yang melalui titik tengah tepi AB, AC dan AD, jika.

Apabila menyelesaikan masalah kaedah koordinat jarak dari titik M ke satah α boleh dikira menggunakan formula ρ(M; α) = , dengan M(x 0; y 0; z 0), dan satah diberikan oleh persamaan ax + by + cz + d = 0

Jom selesaikan masalah berikut:

№4. Dalam kubus unit A...D 1, cari jarak dari titik A 1 ke satah BDC 1.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat dengan asalan di titik A, paksi-y akan berjalan di sepanjang tepi AB, paksi-x di sepanjang tepi AD, dan paksi-z di sepanjang tepi AA 1. Kemudian koordinat titik B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Mari kita buat persamaan untuk satah yang melalui titik B, D, C 1.

Kemudian – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Oleh itu, ρ =

Kaedah berikut boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah jenis ini – kaedah tugas sokongan.

Permohonan kaedah ini terdiri daripada aplikasi masalah sokongan yang diketahui, yang dirumuskan sebagai teorem.

Jom selesaikan masalah berikut:

№5. Dalam kubus unit A...D 1, cari jarak dari titik D 1 ke satah AB 1 C.

Mari kita pertimbangkan permohonan itu kaedah vektor.

№6. Dalam kubus unit A...D 1, cari jarak dari titik A 1 ke satah BDC 1.

Jadi, kami melihat pelbagai kaedah yang boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah jenis ini. Pilihan satu kaedah atau yang lain bergantung pada tugas khusus dan pilihan anda.

IV. Kerja berkumpulan

Cuba selesaikan masalah dengan cara yang berbeza.

№1. Tepi kubus A...D 1 adalah sama dengan . Cari jarak dari bucu C ke satah BDC 1.

№2. DALAM tetrahedron biasa ABCD dengan tepi, cari jarak dari titik A ke satah BDC

№3. Dalam prisma segi tiga sekata ABCA 1 B 1 C 1 yang kesemua tepinya adalah sama dengan 1, cari jarak dari A ke satah BCA 1.

№4. Dalam piramid segi empat biasa SABCD, semua tepinya sama dengan 1, cari jarak dari A ke satah SCD.

V. Ringkasan pelajaran, kerja rumah, renungan

Artikel ini membincangkan tentang menentukan jarak dari satu titik ke satah. Mari kita menganalisisnya menggunakan kaedah koordinat, yang akan membolehkan kita mencari jarak dari titik tertentu dalam ruang tiga dimensi. Untuk mengukuhkan ini, mari lihat contoh beberapa tugasan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jarak dari satu titik ke satah didapati oleh jarak yang diketahui dari satu titik ke titik, di mana salah satu daripadanya diberikan, dan satu lagi adalah unjuran ke satah tertentu.

Apabila titik M 1 dengan satah χ dinyatakan dalam ruang, maka melalui titik itu anda boleh melukis berserenjang dengan satah langsung. H 1 ialah titik biasa persimpangan mereka. Daripada ini kita dapati bahawa segmen M 1 H 1 ialah serenjang yang dilukis dari titik M 1 ke satah χ, di mana titik H 1 ialah tapak serenjang.

Definisi 1

Panggil jarak dari titik tertentu ke tapak serenjang yang dilukis dari titik tertentu ke kapal terbang yang diberi.

Definisi boleh ditulis dalam rumusan yang berbeza.

Definisi 2

Jarak dari titik ke satah ialah panjang serenjang yang dilukis dari titik tertentu ke satah tertentu.

Jarak dari titik M 1 ke satah χ ditentukan seperti berikut: jarak dari titik M 1 ke satah χ akan menjadi yang terkecil dari titik tertentu ke mana-mana titik pada satah. Jika titik H 2 terletak dalam satah χ dan tidak sama dengan titik H 2, maka kita dapat segi tiga tepat jenis M 2 H 1 H 2 , iaitu segi empat tepat, di mana terdapat kaki M 2 H 1, M 2 H 2 – hipotenus. Ini bermakna ia berikutan bahawa M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 dianggap condong, yang dilukis dari titik M 1 ke satah χ. Kami mempunyai bahawa serenjang yang dilukis dari titik tertentu ke satah adalah kurang daripada condong yang dilukis dari titik ke satah yang diberikan. Mari kita lihat kes ini dalam rajah di bawah.

Jarak dari titik ke satah - teori, contoh, penyelesaian

Ada nombor masalah geometri, penyelesaian yang mesti mengandungi jarak dari titik ke satah. Mungkin terdapat pelbagai cara untuk mengenal pasti perkara ini. Untuk menyelesaikan, gunakan teorem Pythagoras atau persamaan segi tiga. Apabila, mengikut keadaan, adalah perlu untuk mengira jarak dari titik ke satah, yang dinyatakan dalam sistem segi empat tepat koordinat ruang tiga dimensi diselesaikan dengan kaedah koordinat. Perenggan ini membincangkan kaedah ini.

Mengikut keadaan masalah, kita mempunyai titik dalam ruang tiga dimensi dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1) dengan satah χ adalah perlu untuk menentukan jarak dari M 1 ke kapal terbang χ. Beberapa kaedah penyelesaian digunakan untuk menyelesaikan.

Cara pertama

Kaedah ini adalah berdasarkan kepada mencari jarak dari titik ke satah menggunakan koordinat titik H 1, iaitu tapak serenjang dari titik M 1 ke satah χ. Seterusnya, anda perlu mengira jarak antara M 1 dan H 1.

Untuk menyelesaikan masalah dengan cara kedua, gunakan persamaan biasa kapal terbang yang diberi.

Cara kedua

Dengan syarat, kita mempunyai bahawa H 1 ialah tapak serenjang, yang diturunkan dari titik M 1 ke satah χ. Kemudian kita tentukan koordinat (x 2, y 2, z 2) bagi titik H 1. Jarak yang diperlukan dari M 1 ke satah χ didapati dengan formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, di mana M 1 (x 1, y 1, z 1) dan H 1 (x 2, y 2, z 2). Untuk menyelesaikannya, anda perlu mengetahui koordinat titik H 1.

Kita mempunyai bahawa H 1 ialah titik persilangan satah χ dengan garis a, yang melalui titik M 1 yang terletak berserenjang dengan satah χ. Ia berikutan bahawa adalah perlu untuk menyusun persamaan untuk garis lurus yang melalui titik tertentu berserenjang dengan satah tertentu. Pada masa itu kita akan dapat menentukan koordinat titik H 1. Ia adalah perlu untuk mengira koordinat titik persilangan garis dan satah.

Algoritma untuk mencari jarak dari titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1) ke satah χ:

Definisi 3

• lukiskan persamaan garis lurus a melalui titik M 1 dan pada masa yang sama
• berserenjang dengan satah χ;
• cari dan kira koordinat (x 2 , y 2 , z 2) bagi titik H 1, iaitu titik
• persilangan garis a dengan satah χ;
• hitung jarak dari M 1 ke χ menggunakan formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

cara ketiga

Dalam sistem koordinat segi empat tepat O x y z terdapat satah χ, maka kita memperoleh persamaan normal satah itu. taip cosα · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Dari sini kita memperoleh bahawa jarak M 1 H 1 dengan titik M 1 (x 1 , y 1 , z 1) dilukis ke satah χ, dikira dengan formula M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Formula ini sah, kerana ia ditubuhkan berkat teorem.

Teorem

Jika titik M 1 (x 1 , y 1 , z 1) diberikan dalam ruang tiga dimensi, mempunyai persamaan normal satah χ dalam bentuk cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, maka jarak dari titik ke satah M 1 H 1 dikira daripada formula M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, kerana x = x 1, y = y 1, z = z 1.

Bukti

Bukti teorem datang untuk mencari jarak dari titik ke garis. Dari sini kita dapati bahawa jarak dari M 1 ke satah χ ialah modulus perbezaan antara unjuran berangka bagi vektor jejari M 1 dengan jarak dari asal ke satah χ. Kemudian kita dapat ungkapan M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Vektor normal satah χ mempunyai bentuk n → = cos α, cos β, cos γ, dan panjangnya adalah sama dengan satu, n p n → O M → ialah unjuran berangka bagi vektor O M → = (x 1, y 1 , z 1) dalam arah yang ditentukan oleh vektor n → .

Mari gunakan formula pengiraan vektor skalar. Kemudian kita memperoleh ungkapan untuk mencari vektor bentuk n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , kerana n → = cos α , cos β , cos γ · z dan O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Bentuk koordinat rekod akan berbentuk n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , kemudian M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorem telah terbukti.

Dari sini kita dapati bahawa jarak dari titik M 1 (x 1, y 1, z 1) ke satah χ dikira dengan menggantikan ke dalam sebelah kiri persamaan normal satah cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 dan bukannya koordinat x, y, z x 1, y 1 dan z 1, berkaitan dengan titik M 1, mengambil nilai mutlak nilai yang diperolehi.

Mari kita lihat contoh mencari jarak dari titik dengan koordinat ke satah tertentu.

Contoh 1

Kira jarak dari titik dengan koordinat M 1 (5, - 3, 10) ke satah 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Penyelesaian

Mari selesaikan masalah dengan dua cara.

Kaedah pertama bermula dengan mengira vektor arah garis a. Dengan keadaan, kita mempunyai persamaan yang diberi 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ialah persamaan satah pandangan umum, dan n → = (2, - 1, 5) ialah vektor normal bagi satah yang diberi. Ia digunakan sebagai vektor arah bagi garis lurus a, yang berserenjang dengan satah tertentu. Ia adalah perlu untuk menuliskan persamaan kanonik garis dalam ruang yang melalui M 1 (5, - 3, 10) dengan vektor arah dengan koordinat 2, - 1, 5.

Persamaan akan menjadi x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Titik persimpangan mesti ditentukan. Untuk melakukan ini, perlahan-lahan gabungkan persamaan ke dalam sistem untuk bergerak dari kanonik kepada persamaan dua garis bersilang. Perkara ini mari ambil H 1. Kami dapat itu

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Selepas itu anda perlu mendayakan sistem

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Mari kita beralih kepada peraturan penyelesaian sistem Gaussian:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Kami mendapat bahawa H 1 (1, - 1, 0).

Kami mengira jarak dari titik tertentu ke satah. Kami mengambil mata M 1 (5, - 3, 10) dan H 1 (1, - 1, 0) dan mendapat

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Penyelesaian kedua ialah terlebih dahulu membawa persamaan yang diberi 2 x - y + 5 z - 3 = 0 kepada bentuk normal. Kami menentukan faktor penormalan dan mendapatkan 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. Dari sini kita terbitkan persamaan satah 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Bahagian kiri persamaan dikira dengan menggantikan x = 5, y = - 3, z = 10, dan anda perlu mengambil jarak dari M 1 (5, - 3, 10) hingga 2 x - y + 5 z - 3 = 0 modulo. Kami mendapat ungkapan:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Jawapan: 2 30.

Apabila satah χ ditentukan oleh salah satu kaedah dalam bahagian kaedah untuk menentukan satah, maka anda perlu mendapatkan persamaan satah χ terlebih dahulu dan mengira jarak yang diperlukan menggunakan sebarang kaedah.

Contoh 2

Dalam ruang tiga dimensi, titik dengan koordinat M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) ditentukan. Kira jarak dari M 1 ke satah A B C.

Penyelesaian

Mula-mula anda perlu menuliskan persamaan satah yang melalui tiga titik yang diberikan dengan koordinat M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Ia berikutan bahawa masalah itu mempunyai penyelesaian yang serupa dengan yang sebelumnya. Ini bermakna jarak dari titik M 1 ke satah A B C mempunyai nilai 2 30.

Jawapan: 2 30.

Mencari jarak dari titik tertentu pada satah atau ke satah yang selari dengannya adalah lebih mudah dengan menggunakan formula M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Daripada ini kita memperolehi bahawa persamaan normal satah diperoleh dalam beberapa langkah.

Contoh 3

Cari jarak dari titik tertentu dengan koordinat M 1 (- 3 , 2 , - 7) ke satah koordinat Mengenai x y z dan satah yang ditakrifkan oleh persamaan 2 y - 5 = 0.

Penyelesaian

Satah koordinat O y z sepadan dengan persamaan bentuk x = 0. Bagi satah O y z ia adalah perkara biasa. Oleh itu, adalah perlu untuk menggantikan nilai x = - 3 ke sebelah kiri ungkapan dan mengambil nilai mutlak jarak dari titik dengan koordinat M 1 (- 3, 2, - 7) ke satah. Kami mendapat nilai yang sama dengan - 3 = 3.

Selepas penjelmaan, persamaan normal satah 2 y - 5 = 0 akan mengambil bentuk y - 5 2 = 0. Kemudian anda boleh mencari jarak yang diperlukan dari titik dengan koordinat M 1 (- 3, 2, - 7) ke satah 2 y - 5 = 0. Menggantikan dan mengira, kita mendapat 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Jawapan: Jarak yang diperlukan dari M 1 (- 3, 2, - 7) ke O y z mempunyai nilai 3, dan ke 2 y - 5 = 0 mempunyai nilai 5 2 - 2.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter