Sama dengan jangkaan matematik jumlah pembolehubah rawak. Jangkaan dan varians pembolehubah rawak

Pembolehubah rawak, sebagai tambahan kepada undang-undang pengedaran, juga boleh diterangkan ciri berangka .

Jangkaan matematik M (x) pembolehubah rawak dipanggil nilai minnya.

Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret dikira menggunakan formula

di mana – nilai pembolehubah rawak, p saya - kebarangkalian mereka.

Mari kita pertimbangkan sifat jangkaan matematik:

1. Jangkaan matematik bagi pemalar adalah sama dengan pemalar itu sendiri

2. Jika pembolehubah rawak didarab dengan nombor k tertentu, maka jangkaan matematik akan didarab dengan nombor yang sama

M (kx) = kM (x)

3. Jangkaan matematik jumlah pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah jangkaan matematiknya

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. Untuk pembolehubah rawak bebas x 1, x 2, … x n, jangkaan matematik hasil darab adalah sama dengan hasil darab jangkaan matematiknya.

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

Mari kita hitung jangkaan matematik untuk pembolehubah rawak dari Contoh 11.

M(x) = = .

Contoh 12. Biarkan pembolehubah rawak x 1, x 2 ditentukan dengan sewajarnya oleh undang-undang taburan:

x 1 Jadual 2

x 2 Jadual 3

Mari kita hitung M (x 1) dan M (x 2)

M (x 1) = (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 = 0

Jangkaan matematik kedua-dua pembolehubah rawak adalah sama - ia sama dengan sifar. Walau bagaimanapun, sifat pengedaran mereka berbeza. Jika nilai x 1 berbeza sedikit daripada jangkaan matematiknya, maka nilai x 2 berbeza secara besar-besaran daripada jangkaan matematiknya, dan kebarangkalian penyelewengan tersebut tidaklah kecil. Contoh-contoh ini menunjukkan bahawa adalah mustahil untuk menentukan daripada nilai purata yang mana sisihan daripadanya berlaku, kedua-duanya lebih kecil dan lebih besar. Oleh itu, dengan purata hujan tahunan yang sama di dua kawasan, tidak boleh dikatakan bahawa kawasan ini adalah sama baik untuk kerja pertanian. Begitu juga, berdasarkan penunjuk gaji purata, adalah tidak mungkin untuk menilai bahagian pekerja bergaji tinggi dan rendah. Oleh itu, ciri berangka diperkenalkan - penyebaran D(x) , yang mencirikan tahap sisihan pembolehubah rawak daripada nilai puratanya:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Serakan ialah jangkaan matematik bagi sisihan kuasa dua pembolehubah rawak daripada jangkaan matematik. Untuk pembolehubah rawak diskret, varians dikira menggunakan formula:

D(x)= = (3)

Daripada takrifan serakan ia mengikuti bahawa D (x) 0.

Sifat serakan:

1. Varians pemalar ialah sifar

2. Jika pembolehubah rawak didarab dengan nombor k tertentu, maka varians akan didarab dengan kuasa dua nombor ini

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. Untuk pembolehubah rawak bebas berpasangan x 1 , x 2 , … x n varians hasil tambah adalah sama dengan hasil tambah varians.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

Mari kita hitung varians untuk pembolehubah rawak daripada Contoh 11.

Jangkaan matematik M (x) = 1. Oleh itu, mengikut formula (3) kita ada:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Ambil perhatian bahawa lebih mudah untuk mengira varians jika anda menggunakan sifat 3:

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

Mari kita hitung varians untuk pembolehubah rawak x 1 , x 2 daripada Contoh 12 menggunakan formula ini. Jangkaan matematik kedua-dua pembolehubah rawak adalah sifar.

D (x 1) = 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 = 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 = 0.00204

D (x 2) = (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 = 240 +20 = 260

Semakin hampir nilai varians kepada sifar, semakin kecil sebaran pembolehubah rawak berbanding nilai min.

Kuantiti itu dipanggil sisihan piawai. Mod pembolehubah rawak x jenis diskret Md Nilai pembolehubah rawak yang mempunyai kebarangkalian tertinggi dipanggil.

Mod pembolehubah rawak x jenis berterusan Md, ialah nombor nyata yang ditakrifkan sebagai titik maksimum ketumpatan taburan kebarangkalian f(x).

Median pembolehubah rawak x jenis berterusan Mn ialah nombor nyata yang memenuhi persamaan

Jangkaan matematik adalah definisi

Checkmate menunggu adalah salah satu konsep yang paling penting dalam statistik matematik dan teori kebarangkalian, mencirikan taburan nilai atau kebarangkalian pembolehubah rawak. Biasanya dinyatakan sebagai purata wajaran semua parameter yang mungkin bagi pembolehubah rawak. Digunakan secara meluas dalam analisis teknikal, kajian siri nombor, dan kajian proses berterusan dan memakan masa. Ia penting dalam menilai risiko, meramal penunjuk harga apabila berdagang di pasaran kewangan, dan digunakan dalam membangunkan strategi dan kaedah taktik permainan dalam teori perjudian.

Checkmate menunggu- Ini nilai min pembolehubah rawak, taburan kebarangkalian pembolehubah rawak dipertimbangkan dalam teori kebarangkalian.

Checkmate menunggu adalah ukuran nilai purata pembolehubah rawak dalam teori kebarangkalian. Semak semakan jangkaan pembolehubah rawak x dilambangkan dengan M(x).

Jangkaan matematik (min populasi) ialah

Checkmate menunggu adalah

Checkmate menunggu adalah dalam teori kebarangkalian, purata wajaran semua nilai yang mungkin yang boleh diambil oleh pembolehubah rawak.

Checkmate menunggu adalah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan kebarangkalian nilai ini.

Jangkaan matematik (min populasi) ialah

Checkmate menunggu adalah faedah purata daripada keputusan tertentu, dengan syarat keputusan sedemikian boleh dipertimbangkan dalam kerangka teori bilangan besar dan jarak jauh.

Checkmate menunggu adalah dalam teori perjudian, jumlah kemenangan yang boleh diperoleh atau hilang oleh spekulator, secara purata, pada setiap pertaruhan. Dalam bahasa perjudian spekulator ini kadangkala dipanggil "kelebihan" spekulator" (jika ia positif untuk spekulator) atau "house edge" (jika ia negatif untuk spekulator).

Jangkaan matematik (min populasi) ialah

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Laman web. Wenn Sie diese Laman web weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. okey

Jangkaan ialah taburan kebarangkalian pembolehubah rawak

Jangkaan matematik, definisi, jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret dan berterusan, sampel, jangkaan bersyarat, pengiraan, sifat, masalah, anggaran jangkaan, serakan, fungsi taburan, formula, contoh pengiraan

Kembangkan kandungan

Runtuhkan kandungan

Jangkaan matematik adalah definisi

Salah satu konsep yang paling penting dalam statistik matematik dan teori kebarangkalian, mencirikan taburan nilai atau kebarangkalian pembolehubah rawak. Biasanya dinyatakan sebagai purata wajaran semua parameter yang mungkin bagi pembolehubah rawak. Digunakan secara meluas dalam analisis teknikal, kajian siri nombor, dan kajian proses berterusan dan memakan masa. Ia penting dalam menilai risiko, meramal penunjuk harga apabila berdagang dalam pasaran kewangan, dan digunakan dalam membangunkan strategi dan kaedah taktik permainan dalam teori perjudian.

Jangkaan matematik adalah nilai purata pembolehubah rawak, taburan kebarangkalian pembolehubah rawak dipertimbangkan dalam teori kebarangkalian.

Jangkaan matematik adalah ukuran nilai purata pembolehubah rawak dalam teori kebarangkalian. Jangkaan matematik pembolehubah rawak x dilambangkan dengan M(x).

Jangkaan matematik adalah

Jangkaan matematik adalah dalam teori kebarangkalian, purata wajaran semua nilai yang mungkin yang boleh diambil oleh pembolehubah rawak.

Jangkaan matematik adalah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan kebarangkalian nilai ini.

Jangkaan matematik adalah faedah purata daripada keputusan tertentu, dengan syarat keputusan sedemikian boleh dipertimbangkan dalam kerangka teori bilangan besar dan jarak jauh.

Jangkaan matematik adalah dalam teori perjudian, jumlah kemenangan yang boleh diperoleh atau hilang oleh pemain, secara purata, untuk setiap pertaruhan. Dalam bahasa perjudian, ini kadangkala dipanggil "pemain kelebihan" (jika ia positif untuk pemain) atau "rumah tepi" (jika ia negatif untuk pemain).

Jangkaan matematik adalah peratusan keuntungan setiap kemenangan didarab dengan keuntungan purata, tolak kebarangkalian kerugian didarab dengan kerugian purata.

Jangkaan matematik pembolehubah rawak dalam teori matematik

Salah satu ciri berangka yang penting bagi pembolehubah rawak ialah jangkaan matematiknya. Mari kita perkenalkan konsep sistem pembolehubah rawak. Mari kita pertimbangkan satu set pembolehubah rawak yang merupakan keputusan eksperimen rawak yang sama. Jika adalah salah satu daripada nilai yang mungkin sistem, maka peristiwa itu sepadan dengan kebarangkalian tertentu yang memenuhi aksiom Kolmogorov. Fungsi yang ditakrifkan untuk sebarang kemungkinan nilai pembolehubah rawak dipanggil undang-undang pengedaran bersama. Fungsi ini membolehkan anda mengira kebarangkalian sebarang peristiwa daripada. Khususnya, hukum taburan bersama pembolehubah rawak dan, yang mengambil nilai daripada set dan, diberikan oleh kebarangkalian.

Istilah "jangkaan matematik" diperkenalkan oleh Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) dan berasal dari konsep "nilai jangkaan kemenangan," yang pertama kali muncul pada abad ke-17 dalam teori perjudian dalam karya Blaise Pascal dan Christiaan Huygens. Walau bagaimanapun, pemahaman teori dan penilaian lengkap pertama konsep ini diberikan oleh Pafnuty Lvovich Chebyshev (pertengahan abad ke-19).

Hukum taburan pembolehubah berangka rawak (fungsi taburan dan siri taburan atau ketumpatan kebarangkalian) menerangkan sepenuhnya kelakuan pembolehubah rawak. Tetapi dalam beberapa masalah, cukup untuk mengetahui beberapa ciri berangka kuantiti yang dikaji (contohnya, nilai purata dan kemungkinan sisihan daripadanya) untuk menjawab soalan yang dikemukakan. Ciri berangka utama pembolehubah rawak ialah jangkaan matematik, varians, mod dan median.

Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil darab nilai yang mungkin dan kebarangkalian sepadannya. Kadangkala jangkaan matematik dipanggil purata wajaran, kerana ia lebih kurang sama dengan min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak ke atas sejumlah besar eksperimen. Daripada definisi jangkaan matematik, nilainya adalah tidak kurang daripada nilai terkecil yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan tidak lebih daripada yang terbesar. Jangkaan matematik pembolehubah rawak ialah pembolehubah bukan rawak (malar).

Jangkaan matematik mempunyai makna fizikal yang mudah: jika anda meletakkan jisim unit pada garis lurus, meletakkan jisim tertentu pada beberapa titik (untuk pengedaran diskret), atau "menyapu"nya dengan ketumpatan tertentu (untuk pengedaran yang benar-benar berterusan) , maka titik yang sepadan dengan jangkaan matematik akan menjadi koordinat "pusat graviti" adalah lurus.

Nilai purata pembolehubah rawak ialah nombor tertentu iaitu, seolah-olah, "wakil"nya dan menggantikannya dalam kira-kira anggaran pengiraan. Apabila kami menyebut: "purata masa operasi lampu ialah 100 jam" atau "purata titik hentaman dianjakkan berbanding sasaran sebanyak 2 m ke kanan", kami menunjukkan ciri berangka tertentu pembolehubah rawak yang menerangkan lokasinya pada paksi berangka, i.e. "ciri kedudukan".

Daripada ciri-ciri kedudukan dalam teori kebarangkalian, peranan yang paling penting dimainkan oleh jangkaan matematik pembolehubah rawak, yang kadangkala dipanggil hanya nilai purata pembolehubah rawak.

Pertimbangkan pembolehubah rawak X, mempunyai nilai yang mungkin x1, x2, …, xn dengan kebarangkalian p1, p2, …, pn. Kita perlu mencirikan dengan beberapa nombor kedudukan nilai pembolehubah rawak pada paksi-x, dengan mengambil kira hakikat bahawa nilai-nilai ini mempunyai kebarangkalian yang berbeza. Untuk tujuan ini, adalah wajar untuk menggunakan apa yang dipanggil "purata wajaran" nilai xi, dan setiap nilai xi semasa purata perlu diambil kira dengan "berat" berkadar dengan kebarangkalian nilai ini. Oleh itu, kita akan mengira purata pembolehubah rawak X, yang kami nyatakan M |X|:

Purata wajaran ini dipanggil jangkaan matematik pembolehubah rawak. Oleh itu, kami memperkenalkan satu daripada konsep yang paling penting bagi teori kebarangkalian - konsep jangkaan matematik. Jangkaan matematik pembolehubah rawak ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan kebarangkalian nilai ini.

X disambungkan oleh pergantungan yang pelik dengan min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak ke atas sejumlah besar eksperimen. Pergantungan ini adalah jenis yang sama seperti pergantungan antara kekerapan dan kebarangkalian, iaitu: dengan sejumlah besar eksperimen, min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pendekatan pembolehubah rawak (menumpu dalam kebarangkalian) kepada jangkaan matematiknya. Daripada kehadiran sambungan antara kekerapan dan kebarangkalian, seseorang boleh menyimpulkan sebagai akibatnya kehadiran sambungan yang serupa antara min aritmetik dan jangkaan matematik. Sesungguhnya, pertimbangkan pembolehubah rawak X, dicirikan oleh siri pengedaran:

Biar terhasil N eksperimen bebas, dalam setiap satunya nilai X mengambil nilai tertentu. Mari kita anggap bahawa nilai x1 muncul m1 masa, nilai x2 muncul m2 sekali, dalam pengertian umum xi muncul mi kali. Mari kita hitung min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi nilai X, yang, berbeza dengan jangkaan matematik M|X| kita menandakan M*|X|:

Dengan peningkatan bilangan eksperimen N frekuensi pi akan menghampiri (bertumpu dalam kebarangkalian) kebarangkalian yang sepadan. Akibatnya, min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak M|X| dengan peningkatan dalam bilangan eksperimen ia akan mendekati (menumpu dalam kebarangkalian) kepada jangkaan matematiknya. Kaitan antara min aritmetik dan jangkaan matematik yang dirumuskan di atas membentuk kandungan salah satu bentuk hukum nombor besar.

Kita sedia maklum bahawa semua bentuk undang-undang nombor besar menyatakan fakta bahawa beberapa purata adalah stabil dalam sebilangan besar eksperimen. Di sini kita bercakap tentang kestabilan min aritmetik daripada satu siri cerapan kuantiti yang sama. Dengan sebilangan kecil eksperimen, min aritmetik keputusannya adalah rawak; dengan peningkatan yang mencukupi dalam bilangan eksperimen, ia menjadi "hampir tidak rawak" dan, menstabilkan, mendekati nilai malar - jangkaan matematik.

Kestabilan purata ke atas sejumlah besar percubaan boleh disahkan dengan mudah secara eksperimen. Sebagai contoh, apabila menimbang badan di makmal pada skala yang tepat, hasil daripada menimbang kita memperoleh nilai baru setiap kali; Untuk mengurangkan ralat pemerhatian, kami menimbang badan beberapa kali dan menggunakan min aritmetik bagi nilai yang diperolehi. Adalah mudah untuk melihat bahawa dengan peningkatan lagi dalam bilangan eksperimen (penimbang), min aritmetik bertindak balas terhadap peningkatan ini semakin kurang dan, dengan bilangan eksperimen yang cukup besar, secara praktikalnya tidak lagi berubah.

Perlu diingatkan bahawa ciri yang paling penting bagi kedudukan pembolehubah rawak - jangkaan matematik - tidak wujud untuk semua pembolehubah rawak. Adalah mungkin untuk mengarang contoh pembolehubah rawak sedemikian yang jangkaan matematiknya tidak wujud, kerana jumlah atau kamiran yang sepadan menyimpang. Walau bagaimanapun, kes sebegini tidak begitu menarik untuk diamalkan. Biasanya, pembolehubah rawak yang kita hadapi mempunyai julat nilai yang mungkin terhad dan, sudah tentu, mempunyai jangkaan matematik.

Sebagai tambahan kepada ciri-ciri yang paling penting bagi kedudukan pembolehubah rawak - jangkaan matematik - dalam amalan, ciri-ciri lain kedudukan kadang-kadang digunakan, khususnya, mod dan median pembolehubah rawak.

Mod pembolehubah rawak ialah nilai yang paling berkemungkinan. Istilah "nilai paling berkemungkinan" secara tegasnya hanya terpakai kepada kuantiti tidak berterusan; untuk kuantiti berterusan, mod ialah nilai di mana ketumpatan kebarangkalian adalah maksimum. Angka-angka menunjukkan mod untuk pembolehubah rawak tak selanjar dan berterusan, masing-masing.

Jika poligon taburan (lengkung agihan) mempunyai lebih daripada satu maksimum, taburan itu dipanggil "multimodal".

Kadang-kadang terdapat pengedaran yang mempunyai minimum di tengah dan bukannya maksimum. Pengagihan sedemikian dipanggil "anti-modal".

Dalam kes umum, mod dan jangkaan matematik pembolehubah rawak tidak bertepatan. Dalam kes tertentu, apabila taburan adalah simetri dan modal (iaitu mempunyai mod) dan terdapat jangkaan matematik, maka ia bertepatan dengan mod dan pusat simetri taburan.

Satu lagi ciri kedudukan sering digunakan - apa yang dipanggil median pembolehubah rawak. Ciri ini biasanya digunakan hanya untuk pembolehubah rawak berterusan, walaupun ia boleh ditakrifkan secara rasmi untuk pembolehubah tak selanjar. Secara geometri, median ialah absis titik di mana kawasan yang dilingkungi oleh lengkung taburan dibahagikan kepada separuh.

Dalam kes taburan modal simetri, median bertepatan dengan jangkaan dan mod matematik.

Jangkaan matematik ialah nilai purata pembolehubah rawak - ciri berangka bagi taburan kebarangkalian pembolehubah rawak. Dalam cara yang paling umum, jangkaan matematik pembolehubah rawak X(w) ditakrifkan sebagai kamiran Lebesgue berkenaan dengan ukuran kebarangkalian R dalam ruang kebarangkalian asal:

Jangkaan matematik juga boleh dikira sebagai kamiran Lebesgue X dengan taburan kebarangkalian px kuantiti X:

Konsep pembolehubah rawak dengan jangkaan matematik tak terhingga boleh ditakrifkan secara semula jadi. Contoh biasa ialah masa kembali beberapa jalan rawak.

Dengan menggunakan jangkaan matematik, banyak ciri berangka dan fungsi bagi sesuatu taburan ditentukan (sebagai jangkaan matematik bagi fungsi sepadan pembolehubah rawak), contohnya, fungsi penjanaan, fungsi ciri, momen bagi sebarang susunan, khususnya serakan, kovarians .

Jangkaan matematik adalah ciri lokasi nilai pembolehubah rawak (nilai purata pengedarannya). Dalam kapasiti ini, jangkaan matematik berfungsi sebagai beberapa parameter taburan "tipikal" dan peranannya adalah serupa dengan peranan momen statik - koordinat pusat graviti taburan jisim - dalam mekanik. Daripada ciri-ciri lain lokasi dengan bantuan yang taburan diterangkan dalam istilah umum - median, mod, jangkaan matematik berbeza dalam nilai yang lebih besar bahawa ia dan ciri serakan yang sepadan - penyebaran - ada dalam teorem had teori kebarangkalian. Maksud jangkaan matematik didedahkan sepenuhnya oleh undang-undang nombor besar (ketaksamaan Chebyshev) dan undang-undang nombor besar yang diperkukuh.

Jangkaan pembolehubah rawak diskret

Biarkan terdapat beberapa pembolehubah rawak yang boleh mengambil salah satu daripada beberapa nilai berangka (contohnya, bilangan mata semasa membaling dadu boleh menjadi 1, 2, 3, 4, 5 atau 6). Selalunya dalam amalan, untuk nilai sedemikian, persoalan timbul: apakah nilai yang diperlukan "secara purata" dengan sejumlah besar ujian? Apakah purata pendapatan (atau kerugian) kami daripada setiap transaksi berisiko?

Katakan ada sejenis loteri. Kami ingin memahami sama ada ia menguntungkan atau tidak untuk mengambil bahagian di dalamnya (atau mengambil bahagian berulang kali, secara kerap). Katakan setiap tiket keempat adalah pemenang, hadiahnya ialah 300 rubel, dan harga mana-mana tiket ialah 100 rubel. Dengan jumlah penyertaan yang tidak terhingga, inilah yang berlaku. Dalam tiga perempat kes kita akan kalah, setiap tiga kerugian akan menelan belanja 300 rubel. Dalam setiap kes keempat kami akan memenangi 200 rubel. (hadiah tolak kos), iaitu, untuk empat penyertaan kami kehilangan purata 100 rubel, untuk satu - secara purata 25 rubel. Secara keseluruhan, kadar purata kerosakan kami ialah 25 rubel setiap tiket.

Kita baling dadu. Jika ia tidak menipu (tanpa mengalihkan pusat graviti, dsb.), maka berapa banyak mata yang kita akan ada secara purata pada satu masa? Oleh kerana setiap pilihan berkemungkinan sama, kita hanya mengambil min aritmetik dan mendapat 3.5. Oleh kerana ini adalah PURATA, tidak perlu marah kerana tiada gulungan tertentu akan memberikan 3.5 mata - baiklah, kiub ini tidak mempunyai wajah dengan nombor sedemikian!

Sekarang mari kita ringkaskan contoh kita:

Jom tengok gambar yang diberi tadi. Di sebelah kiri ialah jadual taburan pembolehubah rawak. Nilai X boleh mengambil satu daripada n nilai yang mungkin (ditunjukkan di baris atas). Tidak boleh ada makna lain. Di bawah setiap nilai yang mungkin adalah kebarangkaliannya. Di sebelah kanan ialah formula, di mana M(X) dipanggil jangkaan matematik. Maksud nilai ini ialah dengan bilangan ujian yang banyak (dengan sampel yang besar), nilai purata akan cenderung kepada jangkaan matematik yang sama ini.

Mari kita kembali semula ke kiub bermain yang sama. Jangkaan matematik bilangan mata semasa membaling ialah 3.5 (kira sendiri menggunakan formula jika anda tidak percaya saya). Katakan anda melemparkannya beberapa kali. Keputusannya ialah 4 dan 6. Puratanya ialah 5, iaitu jauh daripada 3.5. Mereka melontar sekali lagi, mereka mendapat 3, iaitu secara purata (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... Entah bagaimana jauh dari jangkaan matematik. Sekarang lakukan percubaan gila - gulung kiub 1000 kali! Dan walaupun puratanya tidak betul-betul 3.5, ia akan hampir dengan itu.

Mari kita hitung jangkaan matematik untuk loteri yang diterangkan di atas. Plat akan kelihatan seperti ini:

Maka jangkaan matematik adalah, seperti yang kami tetapkan di atas:

Perkara lain ialah melakukannya "dengan jari", tanpa formula, akan menjadi sukar jika terdapat lebih banyak pilihan. Baiklah, katakan akan ada 75% tiket yang hilang, 20% tiket yang menang dan 5% terutamanya yang menang.

Kini beberapa sifat jangkaan matematik.

Mudah untuk dibuktikan:

Faktor malar boleh diambil sebagai tanda jangkaan matematik, iaitu:

Ini ialah kes khas bagi sifat lineariti jangkaan matematik.

Satu lagi akibat daripada kelinearan jangkaan matematik:

iaitu jangkaan matematik jumlah pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik pembolehubah rawak.

Biarkan X, Y ialah pembolehubah rawak bebas, Kemudian:

Ini juga mudah dibuktikan) Kerja XY itu sendiri adalah pembolehubah rawak, dan jika nilai awal boleh diambil n Dan m nilai mengikut, maka XY boleh mengambil nilai nm. Kebarangkalian setiap nilai dikira berdasarkan fakta bahawa kebarangkalian peristiwa bebas didarab. Akibatnya, kami mendapat ini:

Jangkaan pembolehubah rawak berterusan

Pembolehubah rawak berterusan mempunyai ciri seperti ketumpatan taburan (ketumpatan kebarangkalian). Ia pada dasarnya mencirikan keadaan bahawa pembolehubah rawak mengambil beberapa nilai daripada set nombor nyata dengan lebih kerap, dan beberapa kurang kerap. Sebagai contoh, pertimbangkan graf ini:

Di sini X- pembolehubah rawak sebenar, f(x)- ketumpatan pengedaran. Berdasarkan graf ini, semasa eksperimen nilai X selalunya akan menjadi nombor yang hampir kepada sifar. Peluang sudah melebihi 3 atau menjadi lebih kecil -3 agak teori semata-mata.

Biarkan, sebagai contoh, terdapat pengedaran seragam:

Ini agak konsisten dengan pemahaman intuitif. Katakan, jika kita mendapat banyak nombor nyata rawak dengan taburan seragam, setiap segmen |0; 1| , maka min aritmetik hendaklah kira-kira 0.5.

Sifat jangkaan matematik - kelinearan, dsb., terpakai untuk pembolehubah rawak diskret, juga terpakai di sini.

Hubungan antara jangkaan matematik dan penunjuk statistik lain

Dalam analisis statistik, bersama-sama dengan jangkaan matematik, terdapat sistem penunjuk saling bergantung yang mencerminkan kehomogenan fenomena dan kestabilan proses. Selalunya, penunjuk variasi tidak mempunyai makna bebas dan digunakan untuk analisis data selanjutnya. Pengecualian ialah pekali variasi, yang mencirikan kehomogenan data, yang merupakan ciri statistik yang berharga.

Tahap kebolehubahan atau kestabilan proses dalam sains statistik boleh diukur menggunakan beberapa penunjuk.

Penunjuk terpenting yang mencirikan kebolehubahan pembolehubah rawak ialah Penyerakan, yang paling rapat dan secara langsung berkaitan dengan jangkaan matematik. Parameter ini digunakan secara aktif dalam jenis analisis statistik lain (ujian hipotesis, analisis hubungan sebab-akibat, dsb.). Seperti sisihan linear purata, varians juga mencerminkan tahap penyebaran data di sekitar nilai min.

Ia berguna untuk menterjemah bahasa tanda ke dalam bahasa perkataan. Ternyata serakan adalah kuasa dua purata sisihan. Iaitu, nilai purata pertama dikira, kemudian perbezaan antara setiap nilai asal dan purata diambil, kuasa dua, ditambah, dan kemudian dibahagikan dengan bilangan nilai dalam populasi. Perbezaan antara nilai individu dan purata mencerminkan ukuran sisihan. Ia adalah kuasa dua supaya semua sisihan menjadi nombor positif secara eksklusif dan untuk mengelakkan pemusnahan bersama sisihan positif dan negatif apabila menjumlahkan mereka. Kemudian, memandangkan sisihan kuasa dua, kita hanya mengira min aritmetik. Purata - segi empat sama - sisihan. Sisihan adalah kuasa dua dan purata dikira. Jawapan kepada perkataan ajaib "penyebaran" terletak pada tiga perkataan sahaja.

Walau bagaimanapun, dalam bentuk tulennya, seperti min aritmetik, atau indeks, serakan tidak digunakan. Ia adalah penunjuk tambahan dan perantaraan yang digunakan untuk jenis analisis statistik yang lain. Ia tidak mempunyai unit ukuran biasa. Berdasarkan formula, ini ialah kuasa dua unit ukuran data asal.

Mari kita ukur pembolehubah rawak N kali, sebagai contoh, kita mengukur kelajuan angin sepuluh kali dan ingin mencari nilai purata. Bagaimanakah nilai purata berkaitan dengan fungsi taburan?

Atau kita akan membaling dadu berkali-kali. Bilangan mata yang akan muncul pada dadu dengan setiap lontaran adalah pembolehubah rawak dan boleh mengambil sebarang nilai semula jadi dari 1 hingga 6. Purata aritmetik bagi mata yang dijatuhkan yang dikira untuk semua balingan dadu juga merupakan pembolehubah rawak, tetapi untuk besar. N ia cenderung kepada nombor yang sangat spesifik - jangkaan matematik Mx. Dalam kes ini Mx = 3.5.

Bagaimana anda mendapat nilai ini? Biar masuk N ujian n1 1 mata digolek sekali n2 sekali - 2 mata dan seterusnya. Kemudian bilangan hasil di mana satu mata jatuh:

Begitu juga untuk hasil apabila 2, 3, 4, 5 dan 6 mata digulung.

Sekarang mari kita anggap bahawa kita mengetahui hukum taburan pembolehubah rawak x, iaitu, kita tahu bahawa pembolehubah rawak x boleh mengambil nilai x1, x2, ..., xk dengan kebarangkalian p1, p2, ..., pk.

Jangkaan matematik Mx pembolehubah rawak x adalah sama dengan:

Jangkaan matematik tidak selalunya merupakan anggaran munasabah bagi beberapa pembolehubah rawak. Jadi, untuk menganggarkan purata gaji, adalah lebih munasabah untuk menggunakan konsep median, iaitu nilai sedemikian sehingga bilangan orang yang menerima gaji lebih rendah daripada median dan lebih tinggi bertepatan.

Kebarangkalian p1 bahawa pembolehubah rawak x akan kurang daripada x1/2, dan kebarangkalian p2 bahawa pembolehubah rawak x akan lebih besar daripada x1/2, adalah sama dan sama dengan 1/2. Median tidak ditentukan secara unik untuk semua taburan.

Sisihan Piawai atau Piawai dalam statistik, darjah sisihan data pemerhatian atau set daripada nilai AVERAGE dipanggil. Ditandakan dengan huruf s atau s. Sisihan piawai yang kecil menunjukkan bahawa kelompok data mengelilingi min, manakala sisihan piawai yang besar menunjukkan bahawa data awal terletak jauh daripadanya. Sisihan piawai adalah sama dengan punca kuasa dua kuantiti yang dipanggil varians. Ia adalah purata jumlah perbezaan kuasa dua data awal yang menyimpang daripada nilai purata. Sisihan piawai pembolehubah rawak ialah punca kuasa dua varians:

Contoh. Di bawah keadaan ujian apabila menembak pada sasaran, hitung serakan dan sisihan piawai pembolehubah rawak:

Variasi- turun naik, kebolehubahan nilai ciri antara unit populasi. Nilai berangka individu bagi ciri yang terdapat dalam populasi yang dikaji dipanggil varian nilai. Ketidakcukupan nilai purata untuk mencirikan populasi sepenuhnya memaksa kita untuk menambah nilai purata dengan penunjuk yang membolehkan kita menilai tipikal purata ini dengan mengukur kebolehubahan (variasi) ciri yang dikaji. Pekali variasi dikira menggunakan formula:

Julat variasi(R) mewakili perbezaan antara nilai maksimum dan minimum atribut dalam populasi yang dikaji. Penunjuk ini memberikan idea paling umum tentang kebolehubahan ciri yang sedang dikaji, kerana ia hanya menunjukkan perbezaan antara nilai maksimum pilihan. Kebergantungan pada nilai ekstrem sesuatu ciri memberikan skop variasi watak rawak yang tidak stabil.

Sisihan linear purata mewakili min aritmetik bagi sisihan mutlak (modulo) semua nilai populasi yang dianalisis daripada nilai puratanya:

Jangkaan matematik dalam teori perjudian

Jangkaan matematik adalah Jumlah purata wang yang seorang penjudi boleh menang atau kalah pada pertaruhan tertentu. Ini adalah konsep yang sangat penting untuk pemain kerana ia adalah asas kepada penilaian kebanyakan situasi permainan. Jangkaan matematik juga merupakan alat yang optimum untuk menganalisis reka letak kad asas dan situasi permainan.

Katakan anda bermain permainan syiling dengan rakan, bertaruh sama rata $1 setiap kali, tidak kira apa yang berlaku. Ekor bermakna anda menang, kepala bermakna anda kalah. Kemungkinannya adalah satu lawan satu yang ia akan muncul, jadi anda bertaruh $1 hingga $1. Oleh itu, jangkaan matematik anda adalah sifar, kerana Dari sudut pandangan matematik, anda tidak boleh tahu sama ada anda akan mendahului atau kalah selepas dua balingan atau selepas 200.

Keuntungan setiap jam anda adalah sifar. Kemenangan setiap jam ialah jumlah wang yang anda jangkakan untuk menang dalam satu jam. Anda boleh melambung syiling 500 kali dalam sejam, tetapi anda tidak akan menang atau kalah kerana... peluang anda tidak positif mahupun negatif. Jika dilihat, dari sudut pemain yang serius, sistem pertaruhan ini tidak buruk. Tetapi ini hanya membuang masa.

Tetapi katakan seseorang ingin bertaruh $2 melawan $1 anda pada permainan yang sama. Kemudian anda serta-merta mempunyai jangkaan positif sebanyak 50 sen daripada setiap pertaruhan. Kenapa 50 sen? Secara purata, anda memenangi satu pertaruhan dan kalah yang kedua. Pertaruhan dolar pertama dan kalah $1 pertaruhan kedua dan menang $2. Anda bertaruh $1 dua kali dan mendahului $1. Jadi setiap pertaruhan satu dolar anda memberi anda 50 sen.

Jika syiling muncul 500 kali dalam satu jam, kemenangan setiap jam anda sudah menjadi $250, kerana... Secara purata, anda kehilangan satu dolar 250 kali dan memenangi dua dolar 250 kali. $500 tolak $250 bersamaan dengan $250, iaitu jumlah kemenangan. Sila ambil perhatian bahawa nilai jangkaan, iaitu jumlah purata yang anda menangi setiap pertaruhan, ialah 50 sen. Anda memenangi $250 dengan membuat pertaruhan satu dolar 500 kali, yang bersamaan dengan 50 sen setiap pertaruhan.

Jangkaan matematik tiada kaitan dengan keputusan jangka pendek. Lawan anda, yang memutuskan untuk bertaruh $2 terhadap anda, boleh menewaskan anda pada sepuluh pusingan pertama berturut-turut, tetapi anda, yang mempunyai kelebihan pertaruhan 2 berbanding 1, semua perkara lain adalah sama, akan memperoleh 50 sen pada setiap $1 pertaruhan dalam mana-mana keadaan. Tidak ada bezanya sama ada anda menang atau kalah satu pertaruhan atau beberapa pertaruhan, selagi anda mempunyai wang tunai yang mencukupi untuk menampung kos dengan selesa. Jika anda terus bertaruh dengan cara yang sama, maka dalam jangka masa yang panjang kemenangan anda akan menghampiri jumlah jangkaan dalam balingan individu.

Setiap kali anda membuat pertaruhan terbaik (pertaruhan yang mungkin menguntungkan dalam jangka masa panjang), apabila peluang memihak kepada anda, anda pasti akan memenangi sesuatu padanya, tidak kira sama ada anda kalah atau tidak dalam diberi tangan. Sebaliknya, jika anda membuat pertaruhan underdog (pertaruhan yang tidak menguntungkan dalam jangka masa panjang) apabila kemungkinan menentang anda, anda kehilangan sesuatu tanpa mengira sama ada anda menang atau kalah.

Anda membuat pertaruhan dengan hasil terbaik jika jangkaan anda adalah positif, dan ia adalah positif jika kemungkinannya menyebelahi anda. Apabila anda membuat pertaruhan dengan hasil yang paling teruk, anda mempunyai jangkaan negatif, yang berlaku apabila kemungkinan menentang anda. Pemain yang serius hanya bertaruh pada hasil terbaik jika yang paling teruk berlaku, mereka akan berlipat. Apakah maksud kemungkinan memihak kepada anda? Anda mungkin akan menang lebih daripada peluang sebenar. Kemungkinan sebenar kepala pendaratan adalah 1 berbanding 1, tetapi anda mendapat 2 berbanding 1 disebabkan nisbah kemungkinan. Dalam kes ini, kemungkinan memihak kepada anda. Anda pasti mendapat hasil terbaik dengan jangkaan positif sebanyak 50 sen setiap pertaruhan.

Berikut ialah contoh jangkaan matematik yang lebih kompleks. Rakan menulis nombor dari satu hingga lima dan bertaruh $5 terhadap $1 anda bahawa anda tidak akan meneka nombor itu. Sekiranya anda bersetuju dengan pertaruhan sedemikian? Apakah jangkaan di sini?

Secara purata anda akan salah empat kali. Berdasarkan ini, kemungkinan anda meneka nombor adalah 4 berbanding 1. Kemungkinan anda kehilangan satu dolar pada satu percubaan. Walau bagaimanapun, anda menang 5 berbanding 1, dengan kemungkinan tewas 4 berbanding 1. Jadi kemungkinan besar memihak kepada anda, anda boleh mengambil pertaruhan dan berharap untuk keputusan yang terbaik. Jika anda membuat pertaruhan ini lima kali, secara purata anda akan kehilangan $1 empat kali dan memenangi $5 sekali. Berdasarkan ini, untuk kelima-lima percubaan anda akan memperoleh $1 dengan jangkaan matematik positif sebanyak 20 sen setiap pertaruhan.

Seorang pemain yang akan menang lebih daripada pertaruhannya, seperti dalam contoh di atas, sedang mengambil peluang. Sebaliknya, dia merosakkan peluangnya apabila dia menjangkakan untuk menang kurang daripada yang dia pertaruhkan. Seorang petaruh boleh mempunyai sama ada jangkaan positif atau negatif, yang bergantung pada sama ada dia menang atau merosakkan peluang.

Jika anda bertaruh $50 untuk memenangi $10 dengan peluang 4 hingga 1 untuk menang, anda akan mendapat jangkaan negatif sebanyak $2 kerana Secara purata, anda akan memenangi $10 empat kali dan kehilangan $50 sekali, yang menunjukkan bahawa kerugian setiap pertaruhan ialah $10. Tetapi jika anda bertaruh $30 untuk memenangi $10, dengan kemungkinan yang sama untuk menang 4 berbanding 1, maka dalam kes ini anda mempunyai jangkaan positif sebanyak $2, kerana anda sekali lagi memenangi $10 empat kali dan kehilangan $30 sekali, untuk keuntungan $10. Contoh-contoh ini menunjukkan bahawa pertaruhan pertama adalah buruk, dan yang kedua adalah baik.

Jangkaan matematik adalah pusat mana-mana situasi permainan. Apabila pembuat taruhan menggalakkan peminat bola sepak untuk bertaruh $11 untuk memenangi $10, dia mempunyai jangkaan positif sebanyak 50 sen pada setiap $10. Jika kasino membayar walaupun wang dari garis pas dalam bentuk omong kosong, maka jangkaan positif kasino ialah kira-kira $1.40 untuk setiap $100, kerana Permainan ini disusun supaya sesiapa yang bertaruh pada baris ini kehilangan 50.7% secara purata dan menang 49.3% daripada jumlah masa. Tidak dinafikan, jangkaan positif yang kelihatan minimum inilah yang membawa keuntungan besar kepada pemilik kasino di seluruh dunia. Seperti yang dinyatakan oleh pemilik kasino Vegas World Bob Stupak, "seperseribu satu peratus kebarangkalian negatif dalam jarak yang cukup jauh akan merosakkan lelaki terkaya di dunia."

Jangkaan apabila bermain Poker

Permainan Poker adalah contoh yang paling ilustrasi dan ilustrasi dari sudut pandangan menggunakan teori dan sifat jangkaan matematik.

Nilai Jangkaan dalam Poker ialah faedah purata daripada keputusan tertentu, dengan syarat keputusan sedemikian boleh dipertimbangkan dalam kerangka teori bilangan besar dan jarak jauh. Permainan poker yang berjaya adalah sentiasa menerima pergerakan dengan nilai jangkaan positif.

Maksud matematik jangkaan matematik semasa bermain poker ialah kita sering menghadapi pembolehubah rawak semasa membuat keputusan (kita tidak tahu kad apa yang ada pada lawan di tangannya, kad apa yang akan datang dalam pusingan pertaruhan berikutnya). Kita mesti mempertimbangkan setiap penyelesaian dari sudut pandangan teori nombor besar, yang menyatakan bahawa dengan sampel yang cukup besar, nilai purata pembolehubah rawak akan cenderung kepada jangkaan matematiknya.

Di antara formula khusus untuk mengira jangkaan matematik, yang berikut paling sesuai dalam poker:

Apabila bermain poker, nilai yang dijangkakan boleh dikira untuk kedua-dua pertaruhan dan panggilan. Dalam kes pertama, ekuiti lipatan harus diambil kira, dalam kes kedua, kemungkinan bank itu sendiri. Apabila menilai jangkaan matematik bagi langkah tertentu, anda harus ingat bahawa lipatan sentiasa mempunyai jangkaan sifar. Oleh itu, membuang kad akan sentiasa menjadi keputusan yang lebih menguntungkan daripada sebarang langkah negatif.

Jangkaan memberitahu anda apa yang anda boleh jangkakan (keuntungan atau kerugian) untuk setiap dolar yang anda risiko. Kasino menghasilkan wang kerana jangkaan matematik semua permainan yang dimainkan di dalamnya memihak kepada kasino. Dengan siri permainan yang cukup panjang, anda boleh menjangkakan bahawa pelanggan akan kehilangan wangnya, kerana "kemungkinan" memihak kepada kasino. Walau bagaimanapun, pemain kasino profesional mengehadkan permainan mereka kepada tempoh masa yang singkat, dengan itu menyusun kemungkinan yang memihak kepada mereka. Begitu juga dengan pelaburan. Jika jangkaan anda positif, anda boleh membuat lebih banyak wang dengan membuat banyak dagangan dalam tempoh yang singkat. Jangkaan ialah peratusan keuntungan setiap kemenangan anda didarabkan dengan keuntungan purata anda, tolak kebarangkalian kerugian anda didarab dengan purata kerugian anda.

Poker juga boleh dipertimbangkan dari sudut jangkaan matematik. Anda mungkin menganggap bahawa langkah tertentu menguntungkan, tetapi dalam beberapa kes ia mungkin bukan yang terbaik kerana langkah lain lebih menguntungkan. Katakan anda mencapai rumah penuh dalam poker cabutan lima kad. Lawan anda membuat pertaruhan. Anda tahu bahawa jika anda menaikkan pertaruhan, dia akan bertindak balas. Oleh itu, menaikkan nampaknya adalah taktik terbaik. Tetapi jika anda menaikkan pertaruhan, dua pemain yang tinggal pasti akan berlipat. Tetapi jika anda menghubungi, anda mempunyai keyakinan penuh bahawa dua pemain lain di belakang anda akan melakukan perkara yang sama. Apabila anda menaikkan pertaruhan anda, anda mendapat satu unit, dan apabila anda hanya memanggil anda mendapat dua. Oleh itu, panggilan memberi anda nilai jangkaan positif yang lebih tinggi dan akan menjadi taktik terbaik.

Jangkaan matematik juga boleh memberi gambaran tentang taktik poker mana yang kurang menguntungkan dan yang mana lebih menguntungkan. Sebagai contoh, jika anda memainkan tangan tertentu dan anda fikir kerugian anda akan purata 75 sen termasuk ante, maka anda harus memainkan tangan itu kerana ini lebih baik daripada melipat apabila ante ialah $1.

Satu lagi sebab penting untuk memahami konsep nilai yang dijangkakan ialah ia memberikan anda ketenangan fikiran sama ada anda memenangi pertaruhan atau tidak: jika anda membuat pertaruhan yang baik atau dilipat pada masa yang betul, anda akan tahu bahawa anda telah memperoleh atau menyimpan sejumlah wang yang tidak dapat disimpan oleh pemain yang lemah. Ia lebih sukar untuk dilipat jika anda kecewa kerana lawan anda menarik tangan yang lebih kuat. Dengan semua ini, wang yang anda simpan dengan tidak bermain dan bukannya pertaruhan ditambah kepada kemenangan anda untuk malam atau bulan.

Ingatlah bahawa jika anda bertukar tangan, lawan anda akan memanggil anda, dan seperti yang anda akan lihat dalam artikel Teorem Asas Poker, ini hanyalah salah satu kelebihan anda. Anda sepatutnya gembira apabila ini berlaku. Anda juga boleh belajar untuk menikmati kehilangan tangan kerana anda tahu bahawa pemain lain dalam kedudukan anda akan kehilangan lebih banyak lagi.

Seperti yang dinyatakan dalam contoh permainan syiling pada permulaan, kadar keuntungan setiap jam saling berkaitan dengan jangkaan matematik, dan konsep ini amat penting untuk pemain profesional. Apabila anda pergi bermain poker, anda harus menganggarkan secara mental berapa banyak yang anda boleh menang dalam satu jam permainan. Dalam kebanyakan kes, anda perlu bergantung pada intuisi dan pengalaman anda, tetapi anda juga boleh menggunakan beberapa matematik. Sebagai contoh, anda bermain draw lowball dan anda melihat tiga pemain bertaruh $10 dan kemudian menukar dua kad, yang merupakan taktik yang sangat buruk, anda boleh mengetahui bahawa setiap kali mereka bertaruh $10, mereka kehilangan kira-kira $2. Setiap daripada mereka melakukan ini lapan kali sejam, yang bermaksud bahawa ketiga-tiga mereka kehilangan kira-kira $48 sejam. Anda adalah salah satu daripada baki empat pemain yang lebih kurang sama, jadi empat pemain ini (dan anda di antara mereka) mesti membahagikan $48, setiap satu mendapat keuntungan $12 sejam. Peluang setiap jam anda dalam kes ini adalah sama dengan bahagian anda daripada jumlah wang yang hilang oleh tiga pemain buruk dalam satu jam.

Dalam jangka masa yang panjang, jumlah kemenangan pemain adalah jumlah jangkaan matematiknya dalam tangan individu. Lebih banyak tangan anda bermain dengan jangkaan positif, lebih banyak anda menang, dan sebaliknya, lebih banyak tangan anda bermain dengan jangkaan negatif, lebih banyak anda kalah. Akibatnya, anda harus memilih permainan yang boleh memaksimumkan jangkaan positif anda atau menafikan jangkaan negatif anda supaya anda boleh memaksimumkan kemenangan setiap jam anda.

Jangkaan matematik yang positif dalam strategi permainan

Jika anda tahu cara mengira kad, anda boleh mendapat kelebihan berbanding kasino jika mereka tidak menyedari dan membuang anda. Kasino suka pemain mabuk dan tidak tahan dengan pemain mengira kad. Satu kelebihan akan membolehkan anda menang lebih banyak kali daripada anda kalah dari semasa ke semasa. Pengurusan wang yang baik menggunakan pengiraan nilai jangkaan boleh membantu anda mengeluarkan lebih banyak keuntungan daripada kelebihan anda dan mengurangkan kerugian anda. Tanpa kelebihan, lebih baik anda memberikan wang itu untuk amal. Dalam permainan di bursa saham, kelebihan diberikan oleh sistem permainan, yang menghasilkan keuntungan yang lebih besar daripada kerugian, perbezaan harga dan komisen. Tiada jumlah pengurusan wang boleh menyelamatkan sistem permainan yang buruk.

Jangkaan positif ditakrifkan sebagai nilai yang lebih besar daripada sifar. Semakin besar angka ini, semakin kuat jangkaan statistik. Jika nilainya kurang daripada sifar, maka jangkaan matematik juga akan menjadi negatif. Semakin besar modul nilai negatif, semakin teruk keadaannya. Jika keputusan adalah sifar, maka penantian adalah pulang modal. Anda hanya boleh menang apabila anda mempunyai jangkaan matematik yang positif dan sistem permainan yang munasabah. Bermain mengikut gerak hati membawa kepada bencana.

Jangkaan matematik dan perdagangan saham

Jangkaan matematik ialah penunjuk statistik yang digunakan secara meluas dan popular apabila menjalankan perdagangan pertukaran dalam pasaran kewangan. Pertama sekali, parameter ini digunakan untuk menganalisis kejayaan perdagangan. Tidak sukar untuk meneka bahawa semakin tinggi nilai ini, semakin banyak sebab untuk menganggap perdagangan yang sedang dikaji berjaya. Sudah tentu, analisis kerja peniaga tidak boleh dijalankan menggunakan parameter ini sahaja. Walau bagaimanapun, nilai yang dikira, digabungkan dengan kaedah lain untuk menilai kualiti kerja, boleh meningkatkan ketepatan analisis dengan ketara.

Jangkaan matematik sering dikira dalam perkhidmatan pemantauan akaun dagangan, yang membolehkan anda menilai dengan cepat kerja yang dilakukan pada deposit. Pengecualian termasuk strategi yang menggunakan "duduk di luar" perdagangan yang tidak menguntungkan. Seorang peniaga mungkin bertuah untuk beberapa waktu, dan oleh itu mungkin tidak ada kerugian dalam kerjanya sama sekali. Dalam kes ini, tidak mungkin untuk dipandu hanya oleh jangkaan matematik, kerana risiko yang digunakan dalam kerja tidak akan diambil kira.

Dalam dagangan pasaran, jangkaan matematik paling kerap digunakan apabila meramalkan keuntungan mana-mana strategi dagangan atau apabila meramalkan pendapatan pedagang berdasarkan data statistik daripada dagangannya sebelum ini.

Berkenaan dengan pengurusan wang, adalah sangat penting untuk memahami bahawa apabila membuat perdagangan dengan jangkaan negatif, tidak ada skim pengurusan wang yang pasti boleh membawa keuntungan yang tinggi. Jika anda terus bermain pasaran saham di bawah syarat-syarat ini, maka tidak kira bagaimana anda menguruskan wang anda, anda akan kehilangan keseluruhan akaun anda, tidak kira betapa besarnya ia pada mulanya.

Aksiom ini benar bukan sahaja untuk permainan atau perdagangan dengan jangkaan negatif, ia juga benar untuk permainan dengan peluang yang sama. Oleh itu, satu-satunya masa anda mempunyai peluang untuk mendapat keuntungan dalam jangka panjang adalah jika anda mengambil dagangan dengan nilai jangkaan positif.

Perbezaan antara jangkaan negatif dan jangkaan positif ialah perbezaan antara hidup dan mati. Tidak kira positif atau negatif jangkaan itu; Apa yang penting ialah sama ada positif atau negatif. Oleh itu, sebelum mempertimbangkan pengurusan wang, anda harus mencari permainan dengan jangkaan positif.

Jika anda tidak mempunyai permainan sedemikian, maka semua pengurusan wang di dunia tidak akan menyelamatkan anda. Sebaliknya, jika anda mempunyai jangkaan yang positif, anda boleh, melalui pengurusan wang yang betul, mengubahnya menjadi fungsi pertumbuhan eksponen. Tidak kira sekecil mana harapan positif itu! Dalam erti kata lain, tidak kira betapa menguntungkan sistem perdagangan berdasarkan kontrak tunggal. Jika anda mempunyai sistem yang memenangi $10 setiap kontrak setiap dagangan (selepas komisen dan slippage), anda boleh menggunakan teknik pengurusan wang untuk menjadikannya lebih menguntungkan daripada sistem yang purata $1,000 setiap dagangan (selepas potongan komisen dan gelinciran).

Apa yang penting bukanlah seberapa menguntungkan sistem itu, tetapi sejauh mana sistem itu boleh dikatakan menunjukkan sekurang-kurangnya keuntungan minimum pada masa hadapan. Oleh itu, persediaan paling penting yang boleh dilakukan oleh peniaga adalah untuk memastikan bahawa sistem akan menunjukkan nilai jangkaan yang positif pada masa hadapan.

Untuk mempunyai nilai jangkaan yang positif pada masa hadapan, adalah sangat penting untuk tidak mengehadkan darjah kebebasan sistem anda. Ini dicapai bukan sahaja dengan menghapuskan atau mengurangkan bilangan parameter untuk dioptimumkan, tetapi juga dengan mengurangkan seberapa banyak peraturan sistem yang mungkin. Setiap parameter yang anda tambah, setiap peraturan yang anda buat, setiap perubahan kecil yang anda buat pada sistem mengurangkan bilangan darjah kebebasan. Sebaik-baiknya, anda perlu membina sistem yang agak primitif dan mudah yang secara konsisten akan menjana keuntungan kecil dalam hampir mana-mana pasaran. Sekali lagi, adalah penting untuk anda memahami bahawa tidak kira betapa menguntungkan sistem itu, asalkan ia menguntungkan. Wang yang anda buat dalam perdagangan akan dibuat melalui pengurusan wang yang berkesan.

Sistem perdagangan hanyalah alat yang memberikan anda nilai jangkaan positif supaya anda boleh menggunakan pengurusan wang. Sistem yang berfungsi (menunjukkan sekurang-kurangnya keuntungan minimum) dalam hanya satu atau beberapa pasaran, atau mempunyai peraturan atau parameter yang berbeza untuk pasaran yang berbeza, kemungkinan besar tidak akan berfungsi dalam masa nyata untuk masa yang lama. Masalah dengan kebanyakan pedagang yang berorientasikan teknikal ialah mereka menghabiskan terlalu banyak masa dan usaha untuk mengoptimumkan pelbagai peraturan dan nilai parameter sistem perdagangan. Ini memberikan hasil yang bertentangan sepenuhnya. Daripada membuang tenaga dan masa komputer untuk meningkatkan keuntungan sistem perdagangan, arahkan tenaga anda untuk meningkatkan tahap kebolehpercayaan untuk mendapatkan keuntungan minimum.

Mengetahui bahawa pengurusan wang hanyalah permainan nombor yang memerlukan penggunaan jangkaan positif, seorang peniaga boleh berhenti mencari "holy grail" perdagangan saham. Sebaliknya, dia boleh mula menguji kaedah dagangannya, mengetahui betapa logiknya kaedah ini, dan sama ada ia memberikan jangkaan positif. Kaedah pengurusan wang yang betul, digunakan untuk mana-mana, walaupun kaedah perdagangan yang sangat sederhana, akan melakukan kerja yang lain sendiri.

Untuk berjaya dalam kerja anda, mana-mana peniaga perlu menyelesaikan tiga tugas paling penting: . Untuk memastikan bahawa bilangan transaksi yang berjaya melebihi kesilapan dan salah pengiraan yang tidak dapat dielakkan; Sediakan sistem dagangan anda supaya anda berpeluang memperoleh wang sekerap mungkin; Mencapai keputusan positif yang stabil daripada operasi anda.

Dan di sini, bagi kami peniaga yang bekerja, jangkaan matematik boleh sangat membantu. Istilah ini adalah salah satu yang penting dalam teori kebarangkalian. Dengan bantuannya, anda boleh memberikan anggaran purata beberapa nilai rawak. Jangkaan matematik pembolehubah rawak adalah serupa dengan pusat graviti, jika anda membayangkan semua kebarangkalian yang mungkin sebagai titik dengan jisim yang berbeza.

Berhubung dengan strategi dagangan, jangkaan matematik keuntungan (atau kerugian) paling kerap digunakan untuk menilai keberkesanannya. Parameter ini ditakrifkan sebagai jumlah produk tahap keuntungan dan kerugian tertentu dan kebarangkalian kejadiannya. Sebagai contoh, strategi perdagangan yang dibangunkan mengandaikan bahawa 37% daripada semua urus niaga akan membawa keuntungan, dan bahagian selebihnya - 63% - tidak akan menguntungkan. Pada masa yang sama, purata pendapatan daripada transaksi yang berjaya ialah $7, dan purata kerugian ialah $1.4. Mari kita mengira jangkaan matematik perdagangan menggunakan sistem ini:

Apakah maksud nombor ini? Ia mengatakan bahawa, mengikut peraturan sistem ini, secara purata kami akan menerima $1,708 daripada setiap transaksi yang ditutup. Oleh kerana penarafan kecekapan yang terhasil adalah lebih besar daripada sifar, sistem sedemikian boleh digunakan untuk kerja sebenar. Jika, sebagai hasil pengiraan, jangkaan matematik ternyata negatif, maka ini sudah menunjukkan kerugian purata dan perdagangan sedemikian akan membawa kepada kehancuran.

Jumlah keuntungan bagi setiap transaksi juga boleh dinyatakan sebagai nilai relatif dalam bentuk %. Sebagai contoh:

– peratusan pendapatan setiap 1 transaksi - 5%;

– peratusan operasi dagangan yang berjaya - 62%;

– peratusan kerugian setiap 1 transaksi - 3%;

– peratusan transaksi yang tidak berjaya - 38%;

Iaitu, perdagangan purata akan membawa 1.96%.

Adalah mungkin untuk membangunkan sistem yang, walaupun terdapat banyak perdagangan yang tidak menguntungkan, akan memberikan hasil yang positif, sejak MO>0.

Namun, menunggu sahaja tidak cukup. Sukar untuk membuat wang jika sistem memberikan isyarat dagangan yang sangat sedikit. Dalam kes ini, keuntungannya akan setanding dengan faedah bank. Biarkan setiap operasi menghasilkan purata hanya 0.5 dolar, tetapi bagaimana jika sistem itu melibatkan 1000 operasi setahun? Ini akan menjadi jumlah yang sangat serius dalam masa yang agak singkat. Secara logiknya berikutan daripada ini bahawa satu lagi ciri tersendiri bagi sistem perdagangan yang baik boleh dianggap sebagai tempoh singkat untuk memegang jawatan.

Sumber dan pautan

dic.academic.ru – kamus dalam talian akademik

mathematics.ru – laman web pendidikan dalam matematik

nsu.ru – laman web pendidikan Universiti Negeri Novosibirsk

webmath.ru ialah portal pendidikan untuk pelajar, pemohon dan pelajar sekolah.

laman web matematik pendidikan exponenta.ru

ru.tradimo.com – sekolah perdagangan dalam talian percuma

crypto.hut2.ru – sumber maklumat pelbagai disiplin

poker-wiki.ru – ensiklopedia percuma poker

sernam.ru – Perpustakaan saintifik penerbitan sains semula jadi terpilih

reshim.su – laman web KAMI AKAN MENYELESAIKAN masalah kerja kursus ujian

unfx.ru – Forex di UNFX: latihan, isyarat dagangan, pengurusan amanah

slovopedia.com – Kamus Ensiklopedia Besar Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Panduan anda dalam dunia poker

statanaliz.info – blog maklumat “Analisis data statistik”

forex-trader.rf – Portal Forex-Trader

megafx.ru – analitik Forex semasa

fx-by.com – segala-galanya untuk seorang peniaga

Teori kebarangkalian adalah cabang khusus matematik yang hanya dipelajari oleh pelajar institusi pengajian tinggi. Adakah anda suka pengiraan dan formula? Tidakkah anda takut dengan prospek untuk membiasakan diri dengan taburan normal, entropi ensemble, jangkaan matematik dan serakan pembolehubah rawak diskret? Kemudian subjek ini akan menjadi sangat menarik kepada anda. Mari kita berkenalan dengan beberapa konsep asas yang paling penting dalam cabang sains ini.

Mari kita ingat asasnya

Walaupun anda masih ingat konsep paling mudah bagi teori kebarangkalian, jangan abaikan perenggan pertama artikel. Intinya ialah tanpa pemahaman yang jelas tentang asas, anda tidak akan dapat bekerja dengan formula yang dibincangkan di bawah.

Jadi, beberapa peristiwa rawak berlaku, beberapa percubaan. Hasil daripada tindakan yang kami ambil, kami boleh memperoleh beberapa hasil - sesetengah daripadanya berlaku lebih kerap, yang lain lebih jarang. Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nisbah bilangan hasil yang sebenarnya diperoleh daripada satu jenis kepada jumlah bilangan yang mungkin. Hanya dengan mengetahui definisi klasik konsep ini anda boleh mula mengkaji jangkaan matematik dan serakan pembolehubah rawak berterusan.

Purata

Semasa di sekolah, semasa pelajaran matematik, anda mula bekerja dengan min aritmetik. Konsep ini digunakan secara meluas dalam teori kebarangkalian, dan oleh itu tidak boleh diabaikan. Perkara utama bagi kita pada masa ini ialah kita akan menemuinya dalam formula untuk jangkaan matematik dan serakan pembolehubah rawak.

Kami mempunyai urutan nombor dan ingin mencari min aritmetik. Apa yang diperlukan daripada kita ialah meringkaskan semua yang ada dan bahagikan dengan bilangan elemen dalam urutan itu. Marilah kita mempunyai nombor dari 1 hingga 9. Jumlah unsur akan sama dengan 45, dan kita akan membahagikan nilai ini dengan 9. Jawapan: - 5.

Penyerakan

Dalam istilah saintifik, serakan ialah purata kuasa dua sisihan nilai yang diperoleh bagi sesuatu ciri daripada min aritmetik. Ia ditetapkan dengan satu huruf Latin besar D. Apakah yang diperlukan untuk mengiranya? Bagi setiap elemen jujukan, kami mengira perbezaan antara nombor sedia ada dan min aritmetik dan kuasa duakannya. Akan ada nilai yang sama banyaknya dengan hasil untuk acara yang sedang kita pertimbangkan. Seterusnya, kami merumuskan semua yang diterima dan membahagikan dengan bilangan elemen dalam urutan. Jika kita mempunyai lima hasil yang mungkin, maka bahagikan dengan lima.

Penyerakan juga mempunyai ciri-ciri yang perlu diingat untuk digunakan semasa menyelesaikan masalah. Sebagai contoh, apabila pembolehubah rawak meningkat sebanyak X kali, varians meningkat sebanyak X kuasa dua kali (iaitu X*X). Ia tidak pernah kurang daripada sifar dan tidak bergantung pada peralihan nilai ke atas atau ke bawah dengan jumlah yang sama. Selain itu, untuk percubaan bebas, varians jumlah adalah sama dengan jumlah varians.

Sekarang kita pasti perlu mempertimbangkan contoh varians pembolehubah rawak diskret dan jangkaan matematik.

Katakan kami menjalankan 21 eksperimen dan mendapat 7 hasil yang berbeza. Kami memerhati setiap daripada mereka 1, 2, 2, 3, 4, 4 dan 5 kali, masing-masing. Apakah varians akan sama dengan?

Mula-mula, mari kita hitung min aritmetik: jumlah unsur, sudah tentu, ialah 21. Bahagikannya dengan 7, dapatkan 3. Sekarang tolak 3 daripada setiap nombor dalam urutan asal, kuasa duakan setiap nilai, dan tambah hasilnya bersama-sama. Hasilnya ialah 12. Sekarang apa yang perlu kita lakukan ialah membahagikan nombor dengan bilangan elemen, dan, nampaknya, itu sahaja. Tetapi ada tangkapan! Mari kita bincangkannya.

Pergantungan kepada bilangan eksperimen

Ternyata apabila mengira varians, penyebut boleh mengandungi satu daripada dua nombor: sama ada N atau N-1. Di sini N ialah bilangan eksperimen yang dilakukan atau bilangan elemen dalam jujukan (yang pada asasnya adalah perkara yang sama). Ini bergantung pada apa?

Jika bilangan ujian diukur dalam ratusan, maka kita mesti meletakkan N dalam penyebut Jika dalam unit, maka N-1. Para saintis memutuskan untuk melukis sempadan secara simbolik: hari ini ia melalui nombor 30. Jika kami menjalankan kurang daripada 30 eksperimen, maka kami akan membahagikan jumlahnya dengan N-1, dan jika lebih, maka dengan N.

Tugasan

Mari kita kembali kepada contoh penyelesaian masalah varians dan jangkaan matematik. Kami mendapat nombor perantaraan 12, yang perlu dibahagikan dengan N atau N-1. Memandangkan kami menjalankan 21 eksperimen, iaitu kurang daripada 30, kami akan memilih pilihan kedua. Jadi jawapannya ialah: varians ialah 12/2 = 2.

Nilai yang dijangkakan

Mari kita beralih kepada konsep kedua, yang mesti kita pertimbangkan dalam artikel ini. Jangkaan matematik adalah hasil daripada menambah semua hasil yang mungkin didarab dengan kebarangkalian yang sepadan. Adalah penting untuk memahami bahawa nilai yang diperolehi, serta hasil pengiraan varians, diperolehi sekali sahaja untuk keseluruhan masalah, tidak kira berapa banyak hasil yang dipertimbangkan di dalamnya.

Formula untuk jangkaan matematik agak mudah: kita mengambil hasilnya, darab dengan kebarangkaliannya, menambah yang sama untuk hasil kedua, ketiga, dan lain-lain. Semua yang berkaitan dengan konsep ini tidak sukar untuk dikira. Sebagai contoh, jumlah nilai jangkaan adalah sama dengan nilai jangkaan jumlah tersebut. Perkara yang sama berlaku untuk kerja. Tidak setiap kuantiti dalam teori kebarangkalian membenarkan anda melakukan operasi mudah tersebut. Mari kita ambil masalah dan kirakan maksud dua konsep yang telah kita pelajari sekaligus. Selain itu, kami terganggu oleh teori - sudah tiba masanya untuk berlatih.

Satu lagi contoh

Kami menjalankan 50 percubaan dan mendapat 10 jenis hasil - nombor dari 0 hingga 9 - muncul dalam peratusan yang berbeza. Ini adalah, masing-masing: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Ingat bahawa untuk mendapatkan kebarangkalian, anda perlu membahagikan nilai peratusan dengan 100. Oleh itu, kita mendapat 0.02; 0.1, dsb. Mari kita kemukakan contoh penyelesaian masalah bagi varians pembolehubah rawak dan jangkaan matematik.

Kami mengira min aritmetik menggunakan formula yang kami ingat dari sekolah rendah: 50/10 = 5.

Sekarang mari kita tukar kebarangkalian kepada bilangan hasil "sebahagian" untuk memudahkan pengiraan. Kami mendapat 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 dan 9. Daripada setiap nilai yang diperolehi, kita tolak min aritmetik, selepas itu kita kuasa duakan setiap keputusan yang diperolehi. Lihat cara melakukan ini menggunakan elemen pertama sebagai contoh: 1 - 5 = (-4). Seterusnya: (-4) * (-4) = 16. Untuk nilai lain, lakukan sendiri operasi ini. Jika anda melakukan semuanya dengan betul, maka selepas menambah semuanya, anda akan mendapat 90.

Mari kita teruskan mengira varians dan nilai jangkaan dengan membahagikan 90 dengan N. Mengapa kita memilih N berbanding N-1? Betul, kerana bilangan eksperimen yang dilakukan melebihi 30. Jadi: 90/10 = 9. Kami mendapat varians. Jika anda mendapat nombor yang berbeza, jangan putus asa. Kemungkinan besar, anda membuat kesilapan mudah dalam pengiraan. Semak semula apa yang anda tulis, dan semuanya mungkin akan sesuai.

Akhir sekali, ingat formula untuk jangkaan matematik. Kami tidak akan memberikan semua pengiraan, kami hanya akan menulis jawapan yang boleh anda semak selepas menyelesaikan semua prosedur yang diperlukan. Nilai jangkaan ialah 5.48. Mari kita hanya ingat bagaimana untuk menjalankan operasi, menggunakan elemen pertama sebagai contoh: 0*0.02 + 1*0.1... dan seterusnya. Seperti yang anda lihat, kami hanya mendarabkan nilai hasil dengan kebarangkaliannya.

penyelewengan

Konsep lain yang berkait rapat dengan serakan dan jangkaan matematik ialah sisihan piawai. Ia dilambangkan sama ada dengan huruf Latin sd, atau dengan huruf kecil Yunani "sigma". Konsep ini menunjukkan berapa banyak secara purata nilai menyimpang daripada ciri pusat. Untuk mencari nilainya, anda perlu mengira punca kuasa dua varians.

Jika anda memplot graf taburan normal dan ingin melihat sisihan kuasa dua terus padanya, ini boleh dilakukan dalam beberapa peringkat. Ambil separuh daripada imej ke kiri atau kanan mod (nilai pusat), lukiskan serenjang dengan paksi mendatar supaya kawasan angka yang terhasil adalah sama. Saiz segmen antara tengah taburan dan unjuran yang terhasil pada paksi mendatar akan mewakili sisihan piawai.

Perisian

Seperti yang dapat dilihat daripada huraian formula dan contoh yang dikemukakan, mengira varians dan jangkaan matematik bukanlah prosedur yang paling mudah dari sudut aritmetik. Untuk tidak membuang masa, masuk akal untuk menggunakan program yang digunakan di institusi pengajian tinggi - ia dipanggil "R". Ia mempunyai fungsi yang membolehkan anda mengira nilai untuk banyak konsep daripada statistik dan teori kebarangkalian.

Sebagai contoh, anda menentukan vektor nilai. Ini dilakukan seperti berikut: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Akhirnya

Serakan dan jangkaan matematik adalah sukar untuk mengira apa-apa pada masa hadapan. Dalam kursus utama kuliah di universiti, mereka sudah dibincangkan pada bulan pertama mempelajari subjek tersebut. Justru kerana kekurangan pemahaman tentang konsep-konsep mudah ini dan ketidakupayaan untuk mengiranya, ramai pelajar serta-merta mula ketinggalan dalam program dan kemudian menerima gred buruk pada akhir sesi, yang menghalang mereka daripada biasiswa.

Berlatih selama sekurang-kurangnya satu minggu, setengah jam sehari, menyelesaikan tugas yang serupa dengan yang dibentangkan dalam artikel ini. Kemudian, pada mana-mana ujian dalam teori kebarangkalian, anda akan dapat mengatasi contoh tanpa petua dan helaian menipu.

Tugasan 1. Kebarangkalian percambahan biji gandum ialah 0.9. Apakah kebarangkalian bahawa daripada empat biji benih yang disemai, sekurang-kurangnya tiga akan bercambah?

Penyelesaian. Biarkan acara itu A– daripada 4 biji sekurang-kurangnya 3 biji akan bercambah; peristiwa DALAM– daripada 4 biji 3 biji akan bercambah; peristiwa DENGAN– daripada 4 biji 4 biji akan bercambah. Dengan teorem penambahan kebarangkalian

Kebarangkalian
Dan
kita tentukan dengan formula Bernoulli, digunakan dalam kes berikut. Biarkan siri itu diadakan P ujian bebas, semasa setiap satu kebarangkalian kejadian itu berlaku adalah tetap dan sama dengan R, dan kebarangkalian peristiwa ini tidak berlaku adalah sama dengan
. Kemudian kebarangkalian bahawa peristiwa itu A V P ujian akan muncul dengan tepat kali, dikira menggunakan formula Bernoulli

di mana
– bilangan gabungan daripada P unsur oleh . Kemudian

Kebarangkalian yang diperlukan

Tugasan 2. Kebarangkalian percambahan biji gandum ialah 0.9. Cari kebarangkalian bahawa daripada 400 biji benih yang disemai, 350 biji benih akan bercambah.

Penyelesaian. Kira kebarangkalian yang diperlukan
menggunakan formula Bernoulli adalah sukar kerana kerumitan pengiraan. Oleh itu, kami menggunakan formula anggaran yang menyatakan teorem tempatan Laplace:

di mana
Dan
.

Daripada keadaan masalah. Kemudian

Daripada jadual 1 lampiran yang kita dapati. Kebarangkalian yang diperlukan adalah sama dengan

Tugasan 3. Biji gandum mengandungi 0.02% rumpai. Apakah kebarangkalian sekiranya 10,000 biji dipilih secara rawak, 6 biji rumpai akan dijumpai?

Penyelesaian. Penggunaan teorem tempatan Laplace kerana kebarangkalian yang rendah
membawa kepada sisihan ketara kebarangkalian daripada nilai yang tepat
. Oleh itu, pada nilai yang kecil R untuk mengira
gunakan formula Poisson asimptotik

, Di mana.

Formula ini digunakan apabila
, dan yang kurang R dan banyak lagi P, lebih tepat hasilnya.

Mengikut keadaan masalah
;
. Kemudian

Tugasan 4. Kadar percambahan biji gandum ialah 90%. Cari kebarangkalian bahawa daripada 500 biji benih yang disemai, dari 400 hingga 440 biji benih akan bercambah.

Penyelesaian. Jika kebarangkalian sesuatu kejadian berlaku A dalam setiap P ujian adalah tetap dan sama R, maka kebarangkalian
bahawa peristiwa itu A dalam ujian tersebut tidak akan kurang sekali dan tidak lagi kali ditentukan oleh teorem kamiran Laplace dengan formula berikut:

, Di mana

,
.

Fungsi
dipanggil fungsi Laplace. Lampiran (Jadual 2) memberikan nilai fungsi ini untuk
. Pada
fungsi
. Untuk nilai negatif X disebabkan oleh keganjilan fungsi Laplace
. Menggunakan fungsi Laplace, kita mempunyai:

Mengikut syarat tugas. Menggunakan formula di atas kita dapati
Dan :

Tugasan 5. Hukum taburan pembolehubah rawak diskret diberikan X:

Cari: 1) jangkaan matematik; 2) penyebaran; 3) sisihan piawai.

Penyelesaian. 1) Jika hukum taburan pembolehubah rawak diskret diberikan oleh jadual

Di mana baris pertama mengandungi nilai pembolehubah rawak x, dan baris kedua mengandungi kebarangkalian nilai ini, maka jangkaan matematik dikira menggunakan formula

2) Varians
pembolehubah rawak diskret X dipanggil jangkaan matematik bagi sisihan kuasa dua pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya, i.e.

Nilai ini mencirikan purata nilai jangkaan bagi sisihan kuasa dua X daripada
. Daripada formula terakhir yang kita ada

Varians
boleh didapati dengan cara lain, berdasarkan sifat berikut: penyebaran
sama dengan perbezaan antara jangkaan matematik kuasa dua pembolehubah rawak X dan kuasa dua jangkaan matematiknya
, itu dia

Untuk mengira
mari kita lukiskan hukum taburan kuantiti berikut
:

3) Untuk mencirikan penyerakan nilai kemungkinan pembolehubah rawak di sekitar nilai puratanya, sisihan piawai diperkenalkan
pembolehubah rawak X, sama dengan punca kuasa dua varians
, itu dia

Daripada formula ini kita ada:

Tugasan 6. Pembolehubah rawak berterusan X diberikan oleh fungsi pengagihan kumulatif

Cari: 1) fungsi taburan pembezaan
; 2) jangkaan matematik
; 3) varians
.

Penyelesaian. 1) Fungsi pengagihan pembezaan
pembolehubah rawak berterusan X dipanggil derivatif fungsi taburan kumulatif
, itu dia

Fungsi pembezaan yang dicari mempunyai bentuk berikut:

2) Jika pembolehubah rawak selanjar X diberikan oleh fungsi
, maka jangkaan matematiknya ditentukan oleh formula

Sejak fungsi
di
dan pada
adalah sama dengan sifar, maka dari formula terakhir yang kita ada

3) Varians
kita akan tentukan dengan formula

Tugasan 7. Panjang bahagian ialah pembolehubah rawak taburan normal dengan jangkaan matematik 40 mm dan sisihan piawai 3 mm. Cari: 1) kebarangkalian bahawa panjang bahagian yang diambil secara sewenang-wenangnya adalah lebih daripada 34 mm dan kurang daripada 43 mm; 2) kebarangkalian bahawa panjang bahagian akan menyimpang daripada jangkaan matematiknya tidak lebih daripada 1.5 mm.

Penyelesaian. 1) Biarkan X- panjang bahagian. Jika pembolehubah rawak X diberikan oleh fungsi pembezaan
, maka kebarangkalian bahawa X akan mengambil nilai kepunyaan segmen
, ditentukan oleh formula