Прво ниво

Геометриска прогресија. Сеопфатен водичсо примери (2019)

Редоследот на броеви

Значи, да седнеме и да почнеме да пишуваме некои бројки. На пример:

Можете да напишете какви било броеви, а може да ги има онолку колку што сакате (во нашиот случај, ги има). Колку и да напишеме броеви, секогаш можеме да кажеме кој е прв, кој е втор и така до последниот, односно да ги нумерираме. Ова е пример за броена низа:

Редоследот на броевие збир на броеви, од кои на секој може да му се додели единствен број.

На пример, за нашата низа:

Доделениот број е специфичен за само еден број во низата. Со други зборови, нема три втори броеви во низата. Вториот број (како и ти број) е секогаш ист.

Бројот со бројот се нарекува n-ти член на низата.

Обично ја нарекуваме целата низа со некоја буква (на пример,), и секој член од оваа низа е иста буква со индекс еднаков на бројот на овој член: .

Во нашиот случај:

Најчестите типови на прогресија се аритметичка и геометриска. Во оваа тема ќе зборуваме за вториот тип - геометриска прогресија.

Зошто е потребна геометриска прогресија и нејзината историја?

Дури и во античко време, италијанскиот математичар монах Леонардо од Пиза (попознат како Фибоначи) се занимавал со практичните потреби на трговијата. Монахот бил пред задача да определи со чија помош најмал изностегови можеш ли да ја измериш стоката? Во своите дела, Фибоначи докажува дека таков систем на тежини е оптимален: Ова е една од првите ситуации во кои луѓето мораа да се справат со геометриска прогресија, за која веројатно веќе сте слушнале и барем ја имате. општ концепт. Откако целосно ќе ја разберете темата, размислете зошто таков систем е оптимален?

Во моментов, во животна практика, геометриска прогресијаТоа се манифестира при вложување пари во банка, кога износот на каматата се пресметува на сумата акумулирана на сметката за претходниот период. Со други зборови, ако ставите пари на орочен депозит во штедилница, тогаш по една година депозитот ќе се зголеми за првичниот износ, т.е. нова сумаќе биде еднаков на придонесот помножен со. За уште една година оваа сума ќе се зголеми за, т.е. износот добиен во тоа време повторно ќе се помножи со и така натаму. Слична ситуацијаопишани во проблеми за пресметување на т.н сложена камата- процентот се зема секој пат од износот што е на сметката, земајќи ја предвид претходната камата. Ќе зборуваме за овие задачи малку подоцна.

Има уште многу едноставни случаи, каде што се применува геометриска прогресија. На пример, ширење на грип: едно лице заразило друго лице, тие, пак, заразиле друго лице, а со тоа вториот бран на инфекција е личност, а тие, пак, заразиле друго... и така натаму. .

Патем, финансиската пирамида, истата МММ, е едноставна и сува пресметка заснована на својствата на геометриска прогресија. Интересно? Ајде да го сфатиме.

Геометриска прогресија.

Да речеме дека имаме броена низа:

Веднаш ќе одговорите дека тоа е лесно и името на таквата низа е аритметичка прогресија со разликата на нејзините поими. Како за ова:

Ако го одземете претходниот од следниот број, тоа ќе го видите секој пат кога ќе го добиете нова разлика(итн.), но низата дефинитивно постои и лесно се забележува - секоја следниот бројпати повеќе од претходниот!

Овој тип на низа на броеви се нарекува геометриска прогресијаи е назначен.

Геометриската прогресија () е нумеричка низа, чиј прв член е различен од нула, а секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот, помножен со ист број. Овој број се нарекува именител на геометриска прогресија.

Ограничувањата дека првиот член ( ) не е еднаков и не се случајни. Да претпоставиме дека нема, а првиот член е сè уште еднаков, а q е еднаков на, хмм.. нека биде, тогаш излегува:

Согласете се дека ова повеќе не е прогресија.

Како што разбирате, ќе ги добиеме истите резултати ако има некој друг број освен нула, а. Во овие случаи, едноставно нема да има прогресија, бидејќи целата серија на броевиќе има или сите нули, или еден број и сите останати нули.

Сега да разговараме подетално за именителот на геометриската прогресија, односно о.

Да повториме: - ова е бројот колку пати се менува секој нареден поим?геометриска прогресија.

Што мислите, што би можело да биде? Така е, позитивно и негативно, но не и нула (за ова зборувавме малку повисоко).

Да претпоставиме дека нашето е позитивно. Нека во нашиот случај, а. Која е вредноста на вториот член и? Можете лесно да одговорите на тоа:

Тоа е точно. Според тоа, ако, тогаш сите последователни термини на прогресијата имаат истиот знак- Тие се позитивни.

Што ако е негативно? На пример, а. Која е вредноста на вториот член и?

Ова е сосема друга приказна

Обидете се да ги броите условите на оваа прогресија. Колку добивте? Имам. Така, ако, тогаш знаците на термините на геометриската прогресија се менуваат. Односно, ако видите прогресија со наизменични знаци за нејзините членови, тогаш нејзиниот именител е негативен. Ова знаење може да ви помогне да се тестирате кога решавате проблеми на оваа тема.

Сега да вежбаме малку: обидете се да одредите кои секвенци на броеви се геометриска прогресија, а кои аритметичка прогресија:

Разбрав? Ајде да ги споредиме нашите одговори:

• Геометриска прогресија - 3, 6.
• Аритметичка прогресија - 2, 4.
• Тоа не е ниту аритметичка ниту геометриска прогресија - 1, 5, 7.

Да се ​​вратиме на нашата последна прогресија и да се обидеме да го најдеме нејзиниот член, исто како во аритметичката. Како што можеби претпоставувате, постојат два начини да го најдете.

Секој член последователно го множиме со.

Значи, тиот член на опишаната геометриска прогресија е еднаков на.

Како што веќе погодивте, сега вие самите ќе изведете формула која ќе ви помогне да најдете кој било член на геометриската прогресија. Или веќе сте го развиле за себе, опишувајќи како чекор по чекор да го најдете тиот член? Ако е така, тогаш проверете ја точноста на вашето размислување.

Дозволете ни да го илустрираме ова со примерот за наоѓање на тиот член на оваа прогресија:

Со други зборови:

Сами пронајдете ја вредноста на членот на дадената геометриска прогресија.

Се случи? Ајде да ги споредиме нашите одговори:

Имајте предвид дека го добивте точно истиот број како и во претходниот метод, кога последователно се множивме со секој претходен член на геометриската прогресија.
Ајде да се обидеме да се „обезличиме“ оваа формула- Ајде да го ставиме во општа форма и да добиеме:

Изведената формула е точна за сите вредности - и позитивни и негативни. Проверете го ова сами со пресметување на условите на геометриската прогресија со следните услови: , А.

Дали броевте? Ајде да ги споредиме резултатите:

Согласете се дека би било можно да се најде термин на прогресија на ист начин како термин, но постои можност за погрешно пресметување. И ако веќе го најдовме тиот член на геометриската прогресија, тогаш што може да биде поедноставно од користењето на „отсечениот“ дел од формулата.

Бесконечно намалена геометриска прогресија.

Неодамна, разговаравме за тоа што може да биде или поголемо или помало од нула, сепак, постои посебни значењаза што се нарекува геометриска прогресија бескрајно се намалува.

Што мислите, зошто е дадено ова име?
Прво, да запишеме некоја геометриска прогресија која се состои од термини.
Да речеме, тогаш:

Гледаме дека секој нареден член е помал од претходниот за фактор, но дали ќе има некој број? Веднаш ќе одговорите - „не“. Затоа бескрајно се намалува - се намалува и се намалува, но никогаш не станува нула.

За јасно да разбереме како ова изгледа визуелно, ајде да се обидеме да нацртаме график на нашата прогресија. Значи, за нашиот случај, формулата ја има следната форма:

На графиконите сме навикнати да исцртуваме зависност од, затоа:

Суштината на изразот не е променета: во првиот запис ја покажавме зависноста на вредноста на член на геометриска прогресија од неговиот реден број, а во вториот запис едноставно ја земавме вредноста на член на геометриска прогресија како , и го означил редниот број не како, туку како. Сè што останува да се направи е да се изгради графикон.
Ајде да видиме што имаш. Еве го графикот до кој дојдов:

Дали гледате? Функцијата се намалува, се стреми кон нула, но никогаш не ја преминува, па бескрајно се намалува. Да ги означиме нашите точки на графиконот, а во исто време и што значи координатата и:

Обидете се шематски да прикажете график на геометриска прогресија ако нејзиниот прв член е исто така еднаков. Анализирајте која е разликата со нашиот претходен график?

Дали се снајде? Еве го графикот до кој дојдов:

Сега, кога целосно ги разбравте основите на темата за геометриска прогресија: знаете што е тоа, знаете како да го најдете неговиот термин, а исто така знаете што е бескрајно опаѓачка геометриска прогресија, да преминеме на нејзината главна карактеристика.

Својство на геометриска прогресија.

Дали се сеќавате на имотот на членовите аритметичка прогресија? Да, да, како да се најде вредноста одреден бројпрогресија, кога има претходни и последователни вредности на членовите на оваа прогресија. Дали се сеќаваш? Ова:

Сега сме соочени со точно истото прашање за термините на геометриска прогресија. Да се ​​повлече слична формула, да почнеме да цртаме и расудуваме. Ќе видите, тоа е многу лесно, а ако заборавите, можете сами да го извадите.

Да земеме уште една едноставна геометриска прогресија, во која знаеме и. Како да се најде? Со аритметичка прогресија е лесно и едноставно, но што е со овде? Всушност, нема ништо комплицирано ниту во геометрија - само треба да ја запишете секоја вредност што ни е дадена според формулата.

Можеби ќе прашате, што да правиме во врска со тоа сега? Да, многу едноставно. Прво, ајде да ги прикажеме овие формули на слика и да се обидеме да направиме разни манипулации со нив за да дојдеме до вредноста.

Да се ​​апстрахираме од бројките што ни се дадени, да се фокусираме само на нивното изразување преку формулата. Треба да ја најдеме означената вредност портокалова, познавајќи ги членовите во непосредна близина на него. Ајде да се обидеме да произведуваме со нив различни акции, како резултат на што можеме да добиеме.

Додаток.
Ајде да се обидеме да додадеме два израза и ќе добиеме:

Од даден израз, како што гледате, не можеме да го изразиме на кој било начин, затоа, ќе се обидеме со друга опција - одземање.

Одземање.

Како што можете да видите, ние не можеме да го изразиме ниту ова, затоа, ајде да се обидеме да ги помножиме овие изрази еден со друг.

Множење.

Сега погледнете внимателно што имаме со множење на условите на геометриската прогресија што ни е дадена во споредба со она што треба да се најде:

Погодете за што зборувам? Така е, за да најдеме треба да земеме Квадратен коренод геометриските броеви на прогресија во непосредна близина на саканиот помножени еден со друг:

Еве ти. Вие самите го извлековте својството на геометриска прогресија. Обидете се да ја напишете оваа формула во општ поглед. Се случи?

Го заборавивте условот за? Размислете зошто е важно, на пример, обидете се сами да го пресметате. Што ќе се случи во овој случај? Точно е, целосна глупост бидејќи формулата изгледа вака:

Според тоа, не заборавајте на ова ограничување.

Сега да пресметаме што е еднакво

Точен одговор - ! Ако не сте го заборавиле второто при пресметување можно значење, тогаш сте одличен колега и можете веднаш да преминете на тренинг, а ако сте заборавиле, прочитајте што се дискутира подолу и обрнете внимание зошто е неопходно да се запишат двата корени во одговорот.

Ајде да ги нацртаме двете наши геометриски прогресии - едната со вредност, а другата со вредност и да провериме дали и двете имаат право да постојат:

За да се провери дали таква геометриска прогресија постои или не, потребно е да се види дали е иста меѓу сите дадени членови? Пресметај q за првиот и вториот случај.

Видете зошто треба да напишеме два одговори? Бидејќи знакот на терминот што го барате зависи од тоа дали е позитивен или негативен! И бидејќи не знаеме што е тоа, треба да ги напишеме двата одговори со плус и минус.

Сега кога сте ги совладале главните точки и ја извлековте формулата за својството на геометриска прогресија, најдете, знаејќи и

Споредете ги вашите одговори со точните:

Што мислите, што ако ни беа дадени не вредностите на термините на геометриската прогресија во непосредна близина на саканиот број, туку на еднакво оддалечени од него. На пример, треба да најдеме, и дадено и. Можеме ли да ја искористиме формулата што ја изведовме во овој случај? Обидете се да ја потврдите или побиете оваа можност на ист начин, опишувајќи од што се состои секоја вредност, како што правевте кога првично ја изведовте формулата.
Што доби?

Сега повторно погледнете внимателно.
и соодветно:

Од ова можеме да заклучиме дека формулата функционира не само со соседнитесо саканите термини на геометриската прогресија, но и со на еднакво растојаниеод она што го бараат членовите.

Така, нашата почетна формула ја има формата:

Односно, ако во првиот случај го кажавме тоа, сега велиме дека може да биде еднаков на било кој природен број, што е помало. Главната работа е што е исто и за двата дадени броеви.

Вежбајте на конкретни примери, само бидете исклучително внимателни!

1. , . Најдете.
2. , . Најдете.
3. , . Најдете.

Одлучивте? Се надевам дека бевте исклучително внимателни и забележавте мал улов.

Ајде да ги споредиме резултатите.

Во првите два случаи, мирно ја применуваме горната формула и ги добиваме следните вредности:

Во третиот случај, по поблиско испитување сериски броевиброеви кои ни се дадени, разбираме дека тие не се подеднакво оддалечени од бројот што го бараме: е претходниот датум, но се отстранува на положбата, така што не е можно да се примени формулата.

Како да се реши? Всушност, не е толку тешко како што изгледа! Дозволете ни да запишеме од што се состои секој број што ни е даден и бројот што го бараме.

Значи имаме и. Ајде да видиме што можеме да направиме со нив? Предлагам да се подели со. Добиваме:

Ние ги заменуваме нашите податоци во формулата:

Следниот чекор што можеме да го најдеме - за ова треба да го преземеме коцка коренод добиениот број.

Сега да погледнеме повторно што имаме. Го имаме, но треба да го најдеме, а тоа, пак, е еднакво на:

Ги најдовме сите потребни податоци за пресметката. Заменете во формулата:

Нашиот одговор: .

Обидете се сами да решите друг сличен проблем:
Дадено: ,
Најдете:

Колку добивте? Имам - .

Како што можете да видите, во суштина ви треба запомнете само една формула- . Сето останато можете сами да го повлечете без никакви тешкотии во секое време. За да го направите ова, едноставно напишете ја наједноставната геометриска прогресија на парче хартија и запишете на што е еднаков секој негов број, според формулата опишана погоре.

Збирот на членовите на геометриската прогресија.

Сега да ги погледнеме формулите што ни овозможуваат брзо да го пресметаме збирот на членовите на геометриската прогресија во даден интервал:

За да се изведе формулата за збир на членови на конечна геометриска прогресија, помножете ги сите делови од горната равенка со. Добиваме:

Погледнете внимателно: што имаат заедничко последните две формули? Така е, заеднички членови, на пример, и така натаму, освен првиот и последниот член. Ајде да се обидеме да го одземеме 1-то од 2-та равенка. Што доби?

Сега изразете го терминот на геометриската прогресија преку формулата и заменете го добиениот израз во нашата последна формула:

Групирај го изразот. Треба да добиете:

Сè што останува да се направи е да се изрази:

Според тоа, во овој случај.

Што ако? Која формула функционира тогаш? Замислете геометриска прогресија на. Како изгледа таа? Точен ред идентични броеви, соодветно на формулата ќе изгледа на следниот начин:

Постојат многу легенди и за аритметичката и за геометриската прогресија. Една од нив е легендата на Сет, креаторот на шахот.

Многу луѓе знаат дека играта шах е измислена во Индија. Кога хинду кралот ја сретнал, бил воодушевен од нејзината духовитост и разновидноста на можните пози во неа. Откако дознал дека е измислен од еден од неговите поданици, кралот решил лично да го награди. Го повикал пронаоѓачот кај себе и му наредил да побара од него сè што ќе посака, ветувајќи дека ќе ја исполни и највештата желба.

Сета побара време да размисли, а кога следниот ден Сета се појави пред кралот, тој го изненади кралот со невидената скромност на неговото барање. Тој побара да даде зрно пченица за првиот квадрат на шаховската табла, зрно пченица за вториот, зрно пченица за третото, четвртото итн.

Царот се налутил и го избркал Сет, велејќи дека барањето на слугата е недостојно за дарежливоста на кралот, но ветил дека слугата ќе ги добие своите зрна за сите квадрати на таблата.

И сега прашањето: користејќи ја формулата за збир на членовите на геометриска прогресија, пресметајте колку зрна треба да добие Сет?

Да почнеме да расудуваме. Бидејќи, според условот, Сет побарал зрно пченица за првиот квадрат од шаховската табла, за вториот, за третиот, за четвртиот итн., тогаш гледаме дека во проблемот ние зборуваме заза геометриската прогресија. Што значи во овој случај?
Во право.

Вкупни квадрати на шаховската табла. Соодветно,. Ги имаме сите податоци, останува само да ги вклучиме во формулата и да пресметаме.

Да се ​​замисли барем приближно „скалата“ даден број, трансформирајте користејќи ги својствата на степенот:

Се разбира, ако сакате, можете да земете калкулатор и да пресметате со кој број ќе завршите, а ако не, ќе мора да ми го прифатите зборот: конечната вредност на изразот ќе биде.
Тоа е:

квинтилиони квадрилиони трилиони милијарди милиони илјади.

Пју) Ако сакате да ја замислите огромната бројка, тогаш проценете колку голема штала ќе биде потребна за да се смести целата количина на жито.
Ако шталата е висока m и широка m, нејзината должина би требало да се протега за km, т.е. двапати подалеку од Земјата до Сонцето.

Ако кралот беше силен во математиката, можеше да го покани самиот научник да ги изброи зрната, бидејќи за да изброи милион зрна, ќе му требаше барем еден ден неуморно броење, а со оглед на тоа дека е неопходно да се избројат квинтилиони, зрната ќе треба да се брои во текот на неговиот живот.

Сега да решиме едноставен проблем кој вклучува збир на членови на геометриска прогресија.
Ученик од класа 5А Васија се разболе од грип, но продолжува да оди на училиште. Секој ден Васија заразува две лица, кои, пак, заразуваат уште две лица итн. Во класот има само луѓе. За колку дена цело одделение ќе биде болно од грип?

Значи, првиот термин на геометриската прогресија е Васија, односно личност. Третиот термин на геометриската прогресија се двете лица што ги заразил на првиот ден од неговото пристигнување. вкупна количиначленовите на прогресијата е еднаква на бројот на ученици во 5А. Според тоа, зборуваме за прогресија во која:

Да ги замениме нашите податоци во формулата за збирот на членовите на геометриската прогресија:

Целото одделение ќе се разболи за неколку дена. Не верувате во формули и бројки? Обидете се сами да ја прикажете „инфекцијата“ на учениците. Се случи? Погледнете како ми изгледа:

Пресметајте сами колку дена ќе им требаат на учениците да се разболат од грип ако секој зарази по едно лице, а во класот има само еден човек.

Која вредност ја добивте? Се испостави дека сите почнаа да се разболуваат по еден ден.

Како што гледате, слична задачаа цртежот кон него наликува на пирамида, во која секоја наредна „донесува“ нови луѓе. Сепак, порано или подоцна доаѓа момент кога второто не може да привлече никого. Во нашиот случај, ако замислиме дека класата е изолирана, лицето од го затвора синџирот (). Така, ако некое лице било вклучено во финансиска пирамида, во која се дадени пари ако донесете уште двајца учесници, тогаш лицето (или општ случај) не би донеле никого, и затоа би изгубиле се што инвестирале во оваа финансиска измама.

Сè што беше кажано погоре се однесува на намалена или зголемена геометриска прогресија, но, како што се сеќавате, имаме посебен вид- бескрајно опаѓачка геометриска прогресија. Како да се пресмета збирот на неговите членови? И зошто овој тип на прогресија има одредени карактеристики? Ајде да го сфатиме заедно.

Значи, прво, да го погледнеме повторно овој цртеж на бескрајно опаѓачка геометриска прогресија од нашиот пример:

Сега да ја погледнеме формулата за збир на геометриска прогресија, изведена малку порано:
или

Кон што се стремиме? Така е, графикот покажува дека има тенденција на нула. Тоа е, во, ќе биде речиси еднакво, соодветно, при пресметување на изразот ќе го добиеме речиси. Во овој поглед, веруваме дека при пресметување на збирот на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија, оваа заграда може да се занемари, бидејќи ќе биде еднаква.

- формулата е збир од членовите на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија.

ВАЖНО!Ја користиме формулата за збир на членови на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија само ако условот експлицитно вели дека треба да го најдеме збирот бесконечнаброј на членови.

Ако е наведен одреден број n, тогаш ја користиме формулата за збир од n членови, дури и ако или.

Сега ајде да вежбаме.

1. Најдете го збирот на првите членови на геометриската прогресија со и.
2. Најдете го збирот на членовите на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија со и.

Се надевам дека бевте исклучително внимателни. Ајде да ги споредиме нашите одговори:

Сега знаете сè за геометриската прогресија и време е да преминете од теорија во пракса. Најчестите проблеми со геометриската прогресија што се среќаваат на испитот се проблемите со пресметување на сложената камата. Ова се оние за кои ќе зборуваме.

Проблеми при пресметување сложена камата.

Веројатно сте слушнале за таканаречената формула за сложена камата. Дали разбирате што значи тоа? Ако не, ајде да го сфатиме, бидејќи штом ќе го разберете самиот процес, веднаш ќе разберете каква врска има геометриската прогресија со него.

Сите одиме во банка и знаеме дека има различни условина депозити: ова е рокот, и дополнителна услуга, и камата со два различни начининеговите пресметки - едноставни и сложени.

СО едноставен интерессè е повеќе или помалку јасно: каматата се акумулира еднаш на крајот на рокот на депозитот. Тоа е, ако кажеме дека депонираме 100 рубли за една година, тогаш тие ќе бидат кредитирани само на крајот на годината. Соодветно на тоа, до крајот на депозитот ќе добиеме рубли.

Сложена камата- ова е опција во која се јавува каматна капитализација, т.е. нивно додавање на износот на депозитот и последователна пресметка на приходот не од првичниот, туку од акумулираниот износ на депозит. Капитализацијата не се случува постојано, туку со одредена фреквенција. По правило, таквите периоди се еднакви и најчесто банките користат месец, квартал или година.

Да претпоставиме дека ги депонираме истите рубли годишно, но со месечна капитализација на депозитот. Што правиме?

Дали разбираш сè овде? Ако не, ајде да го сфатиме чекор по чекор.

Донесовме рубли во банката. До крајот на месецот, треба да имаме износ на нашата сметка што се состои од нашите рубли плус камата на нив, односно:

Се согласувате?

Можеме да го извадиме од загради и потоа да добиеме:

Се согласувам, оваа формула е веќе повеќе слична на она што го напишавме на почетокот. Останува само да ги дознаеме процентите

Во изјавата за проблемот ни се кажува за годишните стапки. Како што знаете, ние не се множиме со - ние ги претвораме процентите во децимални фракции, односно:

нели? Сега може да прашате, од каде е бројот? Многу едноставно!
Повторувам: изјавата за проблемот вели за ГОДИШЕНкаматата што се акумулира МЕСЕЧЕН. Како што знаете, за една година од месеци, соодветно, банката ќе ни наплати дел од годишната камата месечно:

Го реализираше тоа? Сега обидете се да напишете како би изгледал овој дел од формулата ако кажам дека каматата се пресметува дневно.
Дали се снајде? Ајде да ги споредиме резултатите:

Добро сторено! Да се ​​вратиме на нашата задача: напишете колку ќе се кредитираат на нашата сметка во вториот месец, имајќи предвид дека каматата се акумулира на акумулираниот износ на депозит.
Еве што добив:

Или, со други зборови:

Мислам дека веќе забележавте шема и видовте геометриска прогресија во сето ова. Напишете со што ќе биде еднаков неговиот член или, со други зборови, колкава сума на пари ќе добиеме на крајот на месецот.
Правеше? Ајде да провериме!

Како што можете да видите, ако ставите пари во банка една година со едноставна каматна стапка, ќе добиете рубљи, а ако со сложена камата, ќе добиете рубли. Придобивката е мала, но тоа се случува само во текот на годината, но за повеќе долг периодкапитализацијата е многу попрофитабилна:

Ајде да разгледаме друг тип на проблем: сложена камата. После тоа што сте го смислиле, ќе ви биде елементарно. Значи, задачата:

Компанијата Звезда почна да инвестира во индустријата во 2000 година, со капитал во долари. Секоја година од 2001 година добива добивка која е еднаква на капиталот од претходната година. Колкава добивка ќе добие компанијата Звезда на крајот на 2003 година доколку не се повлече добивката од оптек?

Капитал на компанијата Звезда во 2000 година.
- капитал на компанијата Звезда во 2001 година.
- капитал на компанијата Звезда во 2002 година.
- капитал на компанијата Звезда во 2003 година.

Или можеме накратко да напишеме:

За нашиот случај:

2000, 2001, 2002 и 2003 година.

Соодветно:
рубли
Имајте предвид дека во овој проблем немаме поделба ниту со ниту со, бидејќи процентот се дава ГОДИШНО и се пресметува ГОДИШНО. Односно, кога читате проблем за сложена камата, внимавајте колкав процент е даден и во кој период се пресметува, па дури потоа преминете на пресметките.
Сега знаете сè за геометриската прогресија.

Обука.

1. Најдете го членот на геометриската прогресија ако се знае дека, и
2. Најдете го збирот на првите членови на геометриската прогресија ако се знае дека, и
3. Компанијата МДМ Капитал започна да инвестира во индустријата во 2003 година, со капитал во долари. Секоја година од 2004 година добива добивка која е еднаква на капиталот од претходната година. Компанијата МСК Паричните текови„почна да инвестира во индустријата во 2005 година во износ од 10.000 долари, почнувајќи да остварува профит во 2006 година во износ од. За колку долари е поголем капиталот на едната компанија од другата на крајот на 2007 година, доколку добивката не се повлече од оптек?

Одговори:

1. Бидејќи изјавата за проблемот не вели дека прогресијата е бесконечна и треба да ја пронајдете сумата конкретен бројнеговите членови, тогаш пресметката се врши според формулата:
2. 
   МДМ Капитална компанија:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007 година.
   - се зголемува за 100%, односно 2 пати.
   Соодветно:
   рубли
   Компанија MSK Cash Flows:

   2005, 2006, 2007 година.
   - се зголемува за, односно по пати.
   Соодветно:
   рубли
   рубли

Да резимираме.

1) Геометриска прогресија ( ) е нумеричка низа, чиј прв член е различен од нула, а секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот, помножен со ист број. Овој број се нарекува именител на геометриска прогресија.

2) Равенката на членовите на геометриската прогресија е .

3) може да земе какви било вредности освен и.

• ако, тогаш сите наредни термини на прогресијата имаат ист знак - тие се позитивни;
• ако, тогаш сите наредни услови на прогресијата алтернативни знаци;
• кога - прогресијата се нарекува бесконечно опаѓачка.

4) , со - својство на геометриска прогресија (соседни поими)

или
, на (еднакво растојание)

Кога ќе го најдете, не заборавајте го тоа треба да има два одговори.

На пример,

5) Збирот на членовите на геометриската прогресија се пресметува со формулата:
или

Ако прогресијата бесконечно се намалува, тогаш:
или

ВАЖНО!Ја користиме формулата за збир на членови на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија само ако условот експлицитно вели дека треба да го најдеме збирот бесконечен бројчленови.

6) Проблемите што вклучуваат сложена камата се пресметуваат и со формулата за тиот член на геометриска прогресија, под услов готовинане беа повлечени од оптек:

ГЕОМЕТРИСКА ПРОГРЕСИЈА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Геометриска прогресија( ) е нумеричка низа, чиј прв член е различен од нула, а секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот, помножен со ист број. Овој број се нарекува именителот на геометриска прогресија.

Именител на геометриска прогресијаможе да земе било која вредност освен и.

• Ако, тогаш сите последователни термини на прогресијата имаат ист знак - тие се позитивни;
• ако, тогаш сите наредни членови на прогресијата алтернативни знаци;
• кога - прогресијата се нарекува бесконечно опаѓачка.

Равенка на термини на геометриска прогресија - .

Збир на членови на геометриска прогресијапресметано со формулата:
или

НУМЕРИЧКИ РЕЗЕЛОВИ VI

§ 148. Збир на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија

Досега, кога зборуваме за збирови, секогаш претпоставувавме дека бројот на членовите во овие збирови е конечен (на пример, 2, 15, 1000 итн.). Но, кога решавате некои проблеми (особено виша математика) треба да се справиме со збировите на бесконечен број членови

S= а 1 + а 2 + ... + а n + ... . (1)

Кои се овие суми? А-приоритет збир на бесконечен број членови а 1 , а 2 , ..., а n , ... се нарекува граница на збирот С n прво П броеви кога П -> ∞ :

S=S n = (а 1 + а 2 + ... + а n ). (2)

Границата (2), се разбира, може или не може да постои. Според тоа, тие велат дека збирот (1) постои или не постои.

Како можеме да дознаеме дали збирот (1) постои во секоја од нив конкретен случај? Заедничка одлукаОва прашање оди многу подалеку од опсегот на нашата програма. Сепак, постои една важна посебен случај, што сега треба да го разгледаме. Ќе зборуваме за сумирање на условите на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија.

Нека а 1 , а 1 q , а 1 q 2, ... е бесконечно опаѓачка геометриска прогресија. Ова значи дека | q |< 1. Сумма первых П условите на оваа прогресија е еднаква

Од главните теореми за границите променливи(види § 136) добиваме:

Но, 1 = 1, а qn = 0. Затоа

Значи, збирот на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија е еднаква на првиот член од оваа прогресија поделен со еден минус именителот на оваа прогресија.

1) Збирот на геометриската прогресија 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... е еднаков на

а збирот на геометриската прогресија е 12; -6; 3; - 3/2 , ... еднакви

2) Едноставно периодична дропка 0,454545 ... конвертирате во обични.

За да го решиме овој проблем, да замислиме дадена дропкакако бесконечен збир:

Десната страна на оваа еднаквост е збир на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија, чиј прв член е еднаков на 45/100, а именителот е 1/100. Затоа

Користејќи го опишаниот метод, може да се добие општо правило за претворање на едноставни периодични дропки во обични дропки (види Поглавје II, § 38):

За да конвертирате едноставна периодична дропка во обична дропка, треба да го направите следново: ставете ја точката во броител децимална, а именителот е број кој се состои од деветки земени онолку пати колку што има цифри во периодот на децималната дропка.

3) Претворете ја мешаната периодична дропка 0,58333 .... во обична дропка.

Да ја замислиме оваа дропка како бесконечен збир:

На десната страна на оваа еднаквост, сите членови, почнувајќи од 3/1000, формираат бесконечно опаѓачка геометриска прогресија, чиј прв член е еднаков на 3/1000, а именителот е 1/10. Затоа

Користејќи го опишаниот метод, може да се добие општо правило за претворање на мешани периодични фракции во обични фракции (види Поглавје II, § 38). Намерно не го презентираме овде. Нема потреба да се сеќавате на ова незгодно правило. Многу е покорисно да се знае дека секоја мешана периодична дропка може да се претстави како збир на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија и одреден број. И формулата

за збирот на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија, мора, се разбира, да запомните.

Како вежба, ви предлагаме, покрај проблемите бр. 995-1000 дадени подолу, уште еднаш да се свртите кон проблемот бр. 301 § 38.

Вежби

995. Што се нарекува збир на геометриска прогресија која бескрајно се намалува?

996. Најдете ги збировите на бесконечно смалувачките геометриски прогресии:

997. По кои вредности X прогресија

дали бескрајно се намалува? Најдете го збирот на таквата прогресија.

998.В рамностран триаголниксо страната А впишан со спојување на средните точки на неговите страни нов триаголник; нов триаголник е впишан во овој триаголник на ист начин, и така натаму ad infinitum.

а) збирот на периметрите на сите овие триаголници;

б) збирот на нивните површини.

999. Квадрат со страна А впишан со спојување на средните точки на неговите страни нов плоштад; квадрат е впишан на овој квадрат на ист начин, и така натаму ad infinitum. Најдете го збирот на периметрите на сите овие квадрати и збирот на нивните плоштини.

1000. Состави бесконечно опаѓачка геометриска прогресија така што нејзиниот збир е еднаков на 25/4, а збирот на квадратите на неговите членови е еднаков на 625/24.

Со воведување на ознаката на почетокот на поглавјето, ние вешто го избегнавме прашањето за бесконечните суми, суштински велејќи: „Да го оставиме тоа за подоцна. Во меѓувреме, можеме да претпоставиме дека сите збирови што се случуваат имаат само конечен број не-нула членови! Но, конечно дојде времето на пресметка - мора да се соочиме со фактот дека

износите можат да бидат бесконечни. И да ја кажам вистината, бесконечни количинипридружени и со пријатни и со непријатни околности.

Прво, за непријатното: излегува дека методите што ги користевме при ракување со суми не секогаш важат за бесконечни суми. И сега за добрите работи: има огромен договорен часбескрајни суми, за кои сите операции што ги правевме беа целосно легални. Причините зад двете околности ќе станат јасни откако ќе дознаеме вистинско значењесумирање.

Секој знае што е тоа конечна сума: ги додаваме сите поими во вкупниот број, еден по друг, додека не се соберат сите. Но, бесконечно количество треба да се определи поделикатно за да не влезете во неволја.

е еднакво на 2, бидејќи кога ќе го удвоиме добиваме

Но потоа, по истата логика, ќе треба да ја пресметаме сумата

еднакво на -1, бидејќи кога ќе го удвоиме добиваме

Нешто чудно се случува: како можеш да добиеш негативен број, сумирање на позитивни вредности? Се чини дека е подобро да се остави збирот на Т недефиниран, и можеби треба да претпоставиме дека бидејќи членовите во Т стануваат поголеми од кој било фиксен конечен број. (Забележете дека количината е уште едно „решение“ на равенката; исто така ја „реша“ равенката

Ајде да се обидеме да дадеме соодветна дефиниција за вредноста на произволна сума каде множеството K може да биде бесконечно. За почеток, претпоставете дека сите поими на a се не-негативни. Во овој случај соодветна дефиницијане е тешко да се најде: ако за некое конечно подмножество постои ограничувачка константа A таква што

тогаш збирот го земаме како најмал од сите такви А. (Како што произлегува од добро познатите својства на реалните броеви, множеството од сите такви А секогаш го содржи најмалиот елемент.) Но, ако таква ограничувачка константа А не постои , го земаме ова да значи дека ако А -

некој реален број, тогаш има одреден конечен број членови на a, чиј збир го надминува А.

Дефиницијата во претходниот пасус е формулирана толку деликатно што не зависи од некој редослед што може да постои во индексното множество К. Затоа, аргументите што ќе ги дадеме ќе важат не само за суми над множество цели броеви, но и за повеќекратни суми со многу индекси

Особено, кога K е множество од ненегативни цели броеви, нашата дефиниција за ненегативните поими значи дека

И еве зошто: секоја ненамалувачка низа од реални броеви има граница (можно е еднаква на Ако оваа граница е еднаква, некое конечно множество од ненегативни цели броеви, од кои сите се тогаш; затоа, или или A е ограничувачка константа. Но, ако А е некој број помал воспоставена границаА, тогаш постои такво што, покрај тоа, конечното множество сведочи за фактот дека А не е ограничувачка константа.

Сега можете лесно да ги пресметате величините на специфичните бесконечни збирови во согласност со штотуку дадената дефиниција. На пример, ако тогаш

Конкретно, бесконечните збирови и Т, за кои се дискутираше пред момент, се еднакви на 2 и, соодветно, како што очекувавме. Друг вреден пример:

Сега да го разгледаме случајот кога, заедно со ненегативните суми, збирот може да содржи негативни термини. Колкав, на пример, треба да биде износот на

Ако ги групираме поимите во парови, добиваме:

па износот испаѓа дека е еднаква на нула; но ако почнеме да се групираме во парови чекор подоцна, добиваме

т.е. збирот е еднаков на еден.

Можеме и да се обидеме да ја внесеме формулата бидејќи знаеме дека оваа формула важи, но тогаш ќе бидеме принудени да признаеме дека оваа бесконечна сума е еднаква затоа што е збир на цели броеви!

Друг интересен пример е збирот бесконечен во двете насоки во кој на k 0 и на E може да се запише како

Ако ја пресметаме оваа сума почнувајќи од „централниот“ елемент и движејќи се нанадвор,

тогаш добиваме 1; и ја добиваме истата 1 ако ги поместиме сите загради еден елемент налево,

бидејќи збирот на сите броеви затворени во внатрешни загради е

Сличното размислување покажува дека вредноста на збирот останува еднаква на 1 ако овие загради се поместат кој било фиксен број елементи налево или надесно - ова го зајакнува нашето мислење дека сумата навистина е еднаква на 1. Но, од друга страна, ако ги групираме термините на следниов начин:

тогаш парот внатрешни загради ќе содржи броеви

Во гл. 9 ќе се покаже дека, според тоа, овој методгрупирањето води до идејата дека збирот кој е бесконечен во двете насоки всушност треба да биде еднаков на

Има нешто бесмислено во сумата што ја дава различни значењапри додавање на своите членови различни начини. Современите прирачници за анализа вклучуваат цела линијадефиниции со кои им се доделуваат значајни значења на таквите патолошки збирови; но ако ги позајмиме овие дефиниции, нема да можеме да работиме со -нотацијата толку слободно како што правевме досега. Целите на оваа книга се такви што не ни требаат рафинирани појаснувања на концептот " условна конвергенција“ - ќе се придржуваме до таквата дефиниција за бесконечни суми, со што се оставаат во сила сите операции што ги користевме во ова поглавје.

Во суштина, нашата дефиниција за бесконечни суми е прилично едноставна. Нека K е множество и нека a е реален член од сумата дефинирана за секој . (Всушност, тоа може да значи неколку индекси така што самото множество K може да биде повеќедимензионално.) Секој реален број x може да се претстави како разлика на неговите позитивни и негативни делови,

(Или или Веќе објаснивме како да ја одредиме големината на бесконечните збирови бидејќи тие се ненегативни. Затоа, нашите општа дефиницијаДали е ова:

освен ако двата збира од десната страна не се еднакви. ВО вториот случајСумата на Хлек останува неизвесна.

Нека Tskekak и Ако збировите се конечни, тогаш тие велат дека збирот апсолутно конвергира во . Ако е конечен, тогаш велат дека збирот се разминува до Слично, ако е конечен, тогаш велат дека се разминува во Ако, тогаш не велат ништо.

Започнавме со дефиниција која „работа“ за ненегативните услови на збирот, а потоа ја прошири на сите реални поими. Ако членовите на збирот се сложени броеви, тогаш нашата дефиниција очигледно може да се прошири на овој случај: збирот се дефинира како - реален и имагинарен дел а, под услов да постојат и двата збира. во спротивноизносот на Hkek не е одреден. (Види вежба 18.)

Жалното, како што веќе споменавме, е што некои бесконечни количини мора да останат недефинирани бидејќи операциите што ги правиме со нив може да доведат до апсурди. (Види вежба 34.) Убавото е што сите операции од ова поглавје се апсолутно валидни секогаш кога се работи за суми кои апсолутно се спојуваат во смислата штотуку утврдена.

Можеме да го потврдиме овој пријатен факт со тоа што ќе покажеме дека секое наше правило за трансформација на сумата ја остава големината на која било апсолутно конвергентна сума непроменета. Поконкретно, тоа значи дека треба да се провери исполнувањето на дистрибутивните, комбинираните и комутативните закони, плус правилото според кое може да се започне да се сумира над која било променлива; сè друго што направивме во ова поглавје може да се изведе од овие четири основни операции со суми.

Законот за распределба (2.15) може да се формулира построго на следниов начин: ако збирот Xek a конвергира апсолутно во и ако c е некој комплексен број, тогаш Лкек апсолутно конвергира во Ова може да се докаже со тоа што прво се дели збирот на реални и имагинарни, потоа на позитивни и негативни делови, како што правеа претходно, и се докажува посебниот случај кога секој член од збирот е ненегативен. Доказот во конкретниов случај функционира поради фактот што за секое конечно множество последниот факт може да се докаже со индукција на големината на множеството

Комбинирано право(2.16) може да се формулира на следниов начин: ако збировите се спојуваат апсолутно на A и B, соодветно, тогаш сумата апсолутно конвергира на Излегува дека ова е посебен случај на повеќе општа теорема, што ќе го докажеме наскоро.

Всушност, нема потреба да се докажува комутативниот закон (2.17), бидејќи кога ја дискутиравме формулата (2.35) покажавме како да се изведе како посебен случај општо правилопромени во редоследот на собирање.

Дефиниции и својства на бесконечно мали и бесконечно големи функции во точка. Доказ за својства и теореми. Врска помеѓу бесконечно мали и бесконечно големи функции.

Дефиниции на бесконечно мали и бесконечно мали функции

Нека x 0 е конечна или бесконечна точка: ∞, -∞ или +∞.

Дефиниција на бесконечно мала функција
Функција α (x)повикани бесконечно малокако што x се стреми кон x 0 0 , и тоа е еднакво на нула:
.

Дефиниција на бесконечно голема функција
Функција f (x)повикани бескрајно големкако што x се стреми кон x 0 , ако функцијата има граница како x → x 0 , и тоа е еднакво на бесконечност:
.

Својства на бесконечно мали функции

Својство на збирот, разликата и производот на бесконечно мали функции

Збир, разлика и производконечен број на бесконечно мали функции како x → x 0 е бесконечно мала функција како x → x 0 .

Ова својство е директна последица на аритметичките својства на границите на функцијата.

Теорема на производот ограничена функцијадо бесконечно мало

Производ на ограничена функцијана некое дупнато соседство на точката x 0 , до бесконечно мало, како x → x 0 , е бесконечно мала функција како x → x 0 .

Својството да се претставува функција како збир на константа и бесконечно мала функција

Со цел функцијата f (x)имаше конечна граница, тоа е неопходно и доволно за
,
каде - бесконечно мала функцијакако x → x 0 .

Својства на бесконечно големи функции

Теорема за збир на ограничена функција и бесконечно голема

Збирот или разликата на ограничена функција на некое пробиено соседство на точката x 0 , и бесконечно голема функција, како x → x 0 , е бесконечна одлична функцијакако x → x 0 .

Теорема за делење на ограничена функција со бесконечно голема

Ако функцијата f (x)е бескрајно голем како x → x 0 , и функцијата g (x)- се граничи со некоја дупната околина на точката x 0 , Тоа
.

Теорема за делење на функција ограничена подолу со бесконечно мала

Ако функцијата , на некое пробиено соседство на точката , од абсолутна вредностограничени подолу позитивен број:
,
а функцијата е бесконечно мала како x → x 0 :
,
и има дупнато соседство на точката на која, тогаш
.

Својство на неравенки на бесконечно големи функции

Ако функцијата е бесконечно голема на:
,
а функциите и , на некое пробиено соседство на точката ја задоволуваат нееднаквоста:
,
тогаш функцијата е исто така бесконечно голема на:
.

Овој имот има два посебни случаи.

Нека, на некое пробиено соседство на точката , функциите и задоволување на неравенството:
.
Тогаш ако , тогаш и .
Ако, тогаш и.

Врска помеѓу бесконечно големи и бесконечно мали функции

Од двете претходни својства следува врската помеѓу бесконечно големи и бесконечно мали функции.

Ако функцијата е бесконечно голема во , тогаш функцијата е бесконечно мала на .

Ако функцијата е бесконечно мала за , и , тогаш функцијата е бесконечно голема за .

Односот помеѓу бесконечно мала и бесконечно голема функција може да се изрази симболично:
, .

Ако бесконечно мала функција има одреден знак на , односно е позитивна (или негативна) на некое пробиено соседство на точката, тогаш можеме да ја запишеме вака:
.
На ист начин, ако бесконечно голема функција има одреден знак на , тогаш тие пишуваат:
, или .

Тогаш симболичката врска помеѓу бесконечно малите и бесконечно големите функции може да се надополни со следните односи:
, ,
, .

Дополнителни формули, поврзувајќи ги симболите за бесконечност може да се најдат на страницата
„Точки во бесконечност и нивните својства“.

Доказ за својства и теореми

Доказ за теоремата за производ на ограничена функција и бесконечно мала

Нека функцијата е бесконечно голема за:
.
И нека има дупнато маало на точката на која
во .

Дозволете ни да земеме произволна низа што се конвергира во . Потоа, почнувајќи од некој број N, елементите на низата ќе припаѓаат на ова соседство:
во .
Потоа
во .

Според дефиницијата за граница на функција според Хајне,
.
Потоа, според својството на неравенки на бесконечно големи низи,
.
Бидејќи низата е произволна, конвергира во, тогаш, со дефиницијата на границата на функцијата според Хајне,
.

Имотот е докажан.

Референци:
Л.Д. Кудрјавцев. Па математичка анализа. Том 1. Москва, 2003 година.

Со цел да се пресметајте го збирот на серијата, само треба да ги додавате елементите на редот одреден број пати. На пример:

Во примерот погоре, ова беше направено многу едноставно, бидејќи требаше да се сумира конечен број пати. Но, што ако горната граница на собирање е бесконечност? На пример, ако треба да го најдеме збирот од следната серија:

По аналогија со претходниот пример, оваа сума можеме да ја напишеме вака:

Но, што понатаму?! Во оваа фаза потребно е да се воведе концептот делумна сумаред. Значи, делумна сума на серијата(означува S n) е збир од првите n членови од серијата. Оние. во нашиот случај:

Тогаш збирот на оригиналната серија може да се пресмета како граница на делумната сума:

Така, за пресметување на збир на серија, потребно е некако да се најде израз за делумниот збир на серијата (S n ). Во нашиот конкретен случај, серијата е опаѓачка геометриска прогресија со именител од 1/3. Како што знаете, збирот на првите n елементи на геометриската прогресија се пресметува со формулата:

овде b 1 е првиот елемент на геометриската прогресија (во нашиот случај е 1) и q е именителот на прогресијата (во нашиот случај 1/3). Затоа, парцијалната сума S n за нашата серија е еднаква на:

Тогаш збирот на нашата серија (S) според дефиницијата дадена погоре е еднаква на:

Примерите дискутирани погоре се прилично едноставни. Вообичаено, пресметувањето на збирот на серијата е многу потешко, а најголемата тешкотија лежи во пронаоѓањето на делумниот збир на серијата. Наведено подолу онлајн калкулатор, базиран на системот Wolfram Alpha, ви овозможува да го пресметате збирот на прилично сложени серии. Покрај тоа, ако калкулаторот не може да го најде збирот на серијата, веројатно е дека оваа серијае дивергентен (во овој случај калкулаторот прикажува порака како „збирот се разминува“), т.е. Овој калкулатор, исто така, индиректно помага да се добие идеја за конвергенција на сериите.

За да го пронајдете збирот на вашата серија, мора да ја наведете сериската променлива, долната и горните границисумирање, како и изразот за n-тиот член од серијата (т.е. вистинскиот израз за самата серија).