Теорема за збир на внатрешни агли на триаголник
Збир агли на триаголникеднаква на 180°.
Доказ:
- Дан триаголник ABC.
- Преку темето B повлекуваме права линија DK паралелна со основата AC.
- \агол CBK= \агол C како внатрешен попречно кој лежи со паралелни DK и AC, и секнува BC.
- \агол DBA = \агол Внатрешен вкрстено лежи со DK \паралелно AC и секанта AB. Аголот DBK е обратен и еднаков на
- \агол DBK = \агол DBA + \агол B + \агол CBK
- Бидејќи расклопениот агол е еднаков на 180 ^\circ , и \агол CBK = \агол C и \агол DBA = \агол A, добиваме 180 ^\circ = \агол A + \агол B + \агол В.
Теоремата е докажана
Последици од теоремата за збир на агли на триаголник:
- Збир остри агли правоаголен триаголникеднаква на 90°.
- Во рамнокрак правоаголен триаголник, секој остар агол е еднаков на 45°.
- Во рамностран триаголник, секој агол е еднаков 60°.
- Во секој триаголник, или сите агли се остри, или два агли се остри, а третиот е тап или правилен.
- Надворешен агол на триаголник еднаков на збиротдва внатрешни агли, не во непосредна близина на него.
Теорема за надворешен агол на триаголник
Надворешниот агол на триаголникот е еднаков на збирот на двата преостанати агли на триаголникот кои не се блиску до овој надворешен агол
Доказ:
- Даден е триаголник ABC, каде што е BCD надворешен агол.
- \агол BAC + \агол ABC +\агол BCA = 180^0
- Од еднаквостите аголот \агол BCD + \агол BCA = 180^0
- Добиваме \агол BCD = \агол BAC+\агол ABC.
. (Слајд 1)
Тип на лекција:лекција за учење нов материјал.
Цели на лекцијата:
- Образовни:
- разгледајте ја теоремата за збирот на аглите на триаголникот,
- прикажете ја примената на теоремата при решавање проблеми.
- Образовни:
- негување позитивен однос на учениците кон знаењето,
- Влезете самодоверба кај учениците преку часови.
- Развојна:
- развој аналитичко размислување,
- развој на „вештини за учење“: користење знаења, вештини и способности во образовен процес,
- развој логично размислување, способност јасно да ги формулирате вашите мисли.
Опрема:интерактивна табла, презентација, картички.
ЗА ВРЕМЕ НА ЧАСОТ
– Денеска на часот ќе се потсетиме на дефинициите за правоаголни, рамнокраки и рамностран триаголници. Да ги повториме својствата на аглите на триаголниците. Користејќи ги својствата на внатрешните еднострани и внатрешни вкрстени агли, ќе ја докажеме теоремата за збирот на аглите на триаголникот и ќе научиме како да ја применуваме при решавање на проблеми.
II. Усно(Слајд 2)
1) Најдете правоаголни, рамнокраки, рамностран триаголници на сликите.
2) Дефинирајте ги овие триаголници.
3) Формулирајте ги својствата на рамностран и рамностран агли рамнокрак триаголник.
4) На сликата KE II NH. (слајд 3)
– Наведете секанти за овие редови
– Најдете внатрешни еднострани агли, внатрешни агли кои лежат попречно, наведете ги нивните својства
III. Објаснување на нов материјал
Теорема.Збирот на аглите на триаголникот е 180°
Според формулацијата на теоремата, момците градат цртеж, ја запишуваат состојбата и заклучокот. Со одговарање на прашања тие самостојно ја докажуваат теоремата.
 |
Со оглед на: Доказ: |
Доказ:
1. Низ темето B на триаголникот повлекуваме права линија BD II AC.
2. Наведете секанти за паралелни прави.
3. Што може да се каже за аглите CBD и ACB? (направи белешка)
4. Што знаеме за аглите CAB и ABD? (направи белешка)
5. Заменете го аголот CBD со аголот ACB
6. Извлечете заклучок.
IV. Заврши ја реченицата.(Слајд 4)
1. Збирот на аглите на триаголникот е ...
2. Во триаголник, еден од аглите е еднаков, другиот, трет агол на триаголникот е еднаков на ...
3. Збирот на острите агли на правоаголен триаголник е ...
4. Аглите на рамнокрак правоаголен триаголник се еднакви ...
5. Агли рамностран триаголникеднакви...
6. Ако аголот меѓу страничните страни на рамнокрак триаголник е 1000, тогаш аглите на основата се еднакви ...
V. Малку историја.(Слајдови 5-7)
| Доказ за теоремата за збир на агли на триаголник „Збир на внатрешни агли на триаголник еднакви на два прави агли“ му се припишува на Питагора (580-500 п.н.е.) |
|
| Антички грчки научник Проклус (410-485 н.е.), |
Оваа теорема е формулирана и во учебникот од Л.С. , а во учебникот на Погорелов А.В. . Доказите за оваа теорема во овие учебници не се разликуваат значително и затоа го прикажуваме нејзиниот доказ, на пример, од учебникот на А.В.
Теорема: Збирот на аглите на триаголникот е 180°
Доказ. Нека ABC - даден триаголник. Дозволете ни да повлечеме права низ темето B паралелна со правата AC. Да ја означиме точката D на неа така што точките A и D лежат заедно различни страниод директната линија BC (сл. 6).
Аглите DBC и ACB се еднакви како внатрешните вкрстени, формирани од секантата BC со паралелни прави линии AC и BD. Според тоа, збирот на аглите на триаголникот на темињата B и C е еднаков на аголот ABD. А збирот на сите три агли на триаголникот е еднаков на збирот на аглите ABD и BAC. Бидејќи ова се еднострани внатрешни агли за паралелни AC и BD и секанта AB, нивниот збир е 180°. Теоремата е докажана.
Идејата на овој доказ е да се спроведе паралелна линијаи означување на еднаквост на саканите агли. Дозволете ни да ја реконструираме идејата за таква дополнителна конструкција со докажување на оваа теорема користејќи го концептот на мисловен експеримент. Доказ за теоремата со помош на мисловен експеримент. Значи, предмет на нашиот мисловен експеримент се аглите на триаголникот. Да го поставиме ментално во услови во кои неговата суштина може да се открие со особена сигурност (фаза 1).
Такви услови ќе биде таков распоред на аглите на триаголникот во кој сите три нивни темиња ќе се спојат во една точка. Таквата комбинација е можна доколку дозволиме можност за „поместување“ на аглите со поместување на страните на триаголникот без промена на аголот на наклон (сл. 1). Таквите движења се во суштина последователни ментални трансформации (фаза 2).
Означувајќи ги аглите и страните на триаголникот (слика 2), аглите добиени со „движење“, на тој начин ментално ја формираме околината, системот на врски во кој го ставаме нашиот предмет на размислување (фаза 3).
Правата AB, „движејќи се“ по правата BC и без да го промени аголот на наклон кон неа, го пренесува аголот 1 на аголот 5, а „движејќи се“ по правата AC, го пренесува аголот 2 на аголот 4. Бидејќи со такво „движење“ правата AB не го менува аголот на наклон кон правите AC и BC, тогаш заклучокот е очигледен: зраците a и a1 се паралелни со AB и се трансформираат едни во други, а зраците b и b1 се продолжение на страните BC и AC, соодветно. Бидејќи аголот 3 и аголот помеѓу зраците b и b1 се вертикални, тие се еднакви. Збирот на овие агли е еднаков на ротираниот агол aa1 - што значи 180°.
ЗАКЛУЧОК
ВО дипломска работаспроведе „конструирани“ докази на некое училиште геометриски теореми, користејќи структура на мисловен експеримент, кој ја потврди формулираната хипотеза.
Изложените докази се засноваа на такви визуелни и сетилни идеализации: „компресија“, „истегнување“, „лизгање“, што овозможи да се трансформира оригиналот геометриски објекти да ги истакне неговите суштински карактеристики, што е типично за мисловен експеримент. При што мисловен експериментделува како одредена „креативна алатка“ која придонесува за појава на геометриско знаење (на пример, за средната линијатрапез или околу аглите на триаголникот). Ваквите идеализации овозможуваат да се сфати целата идеја за докажување, идејата за спроведување „дополнителна конструкција“, што ни овозможува да зборуваме за можноста за посвесно разбирање од страна на учениците на процесот на формално дедуктивно докажување на геометриски теореми.
Мисловниот експеримент е еден од основни методидобивање и откривање на геометриски теореми. Потребно е да се развие методологија за пренесување на методот на ученикот. Останува отворено прашањеза возраста на ученикот прифатлива за „прифаќање“ на методот, за „ несакани ефекти» вака презентираните докази.
Овие прашања бараат дополнителна студија. Но, во секој случај, едно е сигурно: се развива мисловен експеримент кај учениците теоретско размислување, е неговата основа и затоа треба да се развие способноста за ментално експериментирање.
Прелиминарни информации
Прво, да го погледнеме директно концептот на триаголник.
Дефиниција 1
Ќе го наречеме триаголник геометриска фигура, кој е составен од три точки поврзани со отсечки (сл. 1).
Дефиниција 2
Во рамките на Дефиницијата 1, точките ќе ги нарекуваме темиња на триаголникот.
Дефиниција 3
Во рамките на Дефиницијата 1, отсечките ќе се нарекуваат страни на триаголникот.
Очигледно, секој триаголник ќе има 3 темиња, како и три страни.
Теорема за збир на агли во триаголник
Да воведеме и докажеме една од главните теореми поврзани со триаголниците, имено теоремата за збир на агли во триаголник.
Теорема 1
Збирот на аглите во кој било произволен триаголник е $180^\circ$.
Доказ.
Размислете за триаголникот $EGF$. Да докажеме дека збирот на аглите во овој триаголник е еднаков на $180^\circ$. Ајде да направиме дополнителна конструкција: нацртајте ја правата линија $XY||EG$ (сл. 2)
Бидејќи правите $XY$ и $EG$ се паралелни, тогаш $∠E=∠XFE$ лежат вкрстено на секантот $FE$, а $∠G=∠YFG$ лежат вкрстено на секантот $FG$
Аголот $XFY$ ќе биде обратен и затоа е еднаков на $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Оттука
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Теоремата е докажана.
Теорема за надворешен агол на триаголник
Друга теорема за збирот на агли за триаголник може да се смета за теорема за надворешниот агол. Прво, да го воведеме овој концепт.
Дефиниција 4
Надворешен агол на триаголник ќе го наречеме агол што е во непосредна близина на кој било агол на триаголникот (сл. 3).
Сега да ја разгледаме теоремата директно.
Теорема 2
Надворешниот агол на триаголникот е еднаков на збирот на два агли на триаголникот кои не се соседни со него.
Доказ.
Ајде да размислиме произволен триаголник$EFG$. Нека има надворешен агол на триаголникот $FGQ$ (сл. 3).
Со теорема 1, ќе имаме дека $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, затоа,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Бидејќи аголот $FGQ$ е надворешен, тогаш тој е во непосредна близина на аголот $∠G$
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Теоремата е докажана.
Примерок задачи
Пример 1
Најдете ги сите агли на триаголник ако е рамностран.
Бидејќи сите страни на рамностран триаголник се еднакви, ќе имаме дека и сите агли во него се еднакви еден со друг. Да ги означиме степен меркипреку $α$.
Потоа, со теорема 1 добиваме
$α+α+α=180^\circ$
Одговор: сите агли се еднакви на $60^\circ$.
Пример 2
Најдете ги сите агли на рамнокрак триаголник ако еден од неговите агли е еднаков на $100^\circ$.
Да ја воведеме следната нотација за агли во рамнокрак триаголник:
Бидејќи во условот не ни е даден точно каков агол е еднаков $100^\circ$, тогаш можни се два случаи:
Агол еднаков на $100^\circ$ е аголот на основата на триаголникот.
Користејќи ја теоремата за аглите на основата на рамнокрак триаголник, добиваме
$∠2=∠3=100^\circ$
Но, тогаш само нивниот збир ќе биде поголем од $180^\circ$, што е во спротивност со условите од теоремата 1. Тоа значи дека овој случај не се случува.
Агол еднаков на $100^\circ$ е аголот помеѓу еднакви страни, тоа е