Докажете го исполнувањето на условите од тестот Лајбниц. Наизменични редови

Наизменични редови. Лајбницовиот знак.
Апсолутна и условна конвергенција

За да ги разберете примерите од оваа лекција, треба добро да ги разберете сериите со позитивни броеви: да разберете што е серија, да го знаете потребниот знак за конвергенција на серијата, да можете да применувате споредбени тестови, тестот на Д'Алембер. , тест на Коши. Темата може да се подигне речиси од нула со постојано проучување на написите Редови за куклиИ Знак D'Alembert. Знаци на Коши. Логично, оваа лекција е трета по ред, и ќе ви овозможи не само да ги разберете наизменичните редови, туку и да го консолидирате веќе опфатениот материјал! Ќе има малку новини, а совладувањето на наизменични редови нема да биде тешко. Сè е едноставно и достапно.

Што е наизменична серија?Ова е јасно или речиси јасно од самото име. Само едноставен пример.

Да ја погледнеме серијата и да ја опишеме подетално:

И сега ќе има убиствен коментар. Членовите на наизменична серија имаат наизменични знаци: плус, минус, плус, минус, плус, минус итн. до бесконечност.

Порамнувањето обезбедува множител: ако е парен, тогаш ќе има знак плус, ако е непарно, ќе има знак минус (како што се сеќавате од лекцијата за низите на броеви, ова нешто се нарекува „светло кое трепка“). Така, наизменична серија се „идентификува“ со минус еден до степен „en“.

Во практични примери, алтернацијата на термините од серијата може да се обезбеди не само од множителот, туку и од неговите браќа и сестри: , , , …. На пример:

Замката се „измамите“: , , итн. - такви множители не обезбедуваат промена на знакот. Апсолутно е јасно дека за секој природен: , , . Редовите со измами се лизгаат не само на особено надарените ученици, тие се појавуваат од време на време „сами“ за време на решението функционална серија.

Како да се испита наизменични серии за конвергенција?Користете го тестот на Лајбниц. Не сакам да кажам ништо за германскиот гигант на мислата Готфрид Вилхелм Лајбниц, бидејќи покрај неговите математички дела, тој напиша и неколку тома за филозофија. Опасно за мозокот.

Лајбницовиот тест: Ако членовите на наизменична серија монотононамалување на модулот, тогаш серијата конвергира.

Или во две точки:

1) Серијата е наизменично.

2) Условите на серијата се намалуваат во модулот: , и се намалуваат монотоно.

Ако овие услови се исполнети, тогаш серијата се конвергира.

Кратки информацииза модулот е даден во прирачникот Жешки формули за училишен курс по математика, но за погодност уште еднаш:

Што значи „модуло“? Модулот, како што се сеќаваме од училиште, го „јаде“ знакот минус. Да се ​​вратиме на редот . Ментално избришете ги сите знаци со гума и да ги погледнеме бројките. Тоа ќе го видиме секој следенчлен на серијата помалкуод претходниот. Така, следните фрази го означуваат истото:

– Членови на серијата без разлика на знакотсе намалуваат.
– Се намалуваат членовите на серијата модуло.
– Се намалуваат членовите на серијата Од страна на абсолутна вредност.
– Модулзаедничкиот член на серијата има тенденција на нула:

// Крај на помошта

Сега да зборуваме малку за монотонијата. Монотонијата е досадна конзистентност.

Членови на серијата строго монотононамалување на модулот ако СЕКОЈ СЛЕДЕН член од серијата модулоПОМАЛКУ од претходното: . За ред Строгата монотоност на намалувањето е исполнета, може детално да се опише:

Или можеме накратко да кажеме: секој следен член на серијата модулопомалку од претходниот: .

Членови на серијата не е строго монотононамалување на модулот ако СЕКОЈ СЛЕДЕН член од серискиот модул НЕ Е ПОГОЛЕМ од претходниот: . Размислете за серија со факториел: Овде постои лабава монотоност, бидејќи првите два члена од серијата се идентични по модул. Односно секој следен член на серијата модулоне повеќе од претходниот: .

Под условите на Лајбницовата теорема, мора да се задоволи опаѓачката монотоност (не е важно дали е строга или нестрога). Покрај тоа, членовите на серијата можат дури и зголемување на модулот за некое време, но „опашката“ на серијата нужно мора монотоно да се намалува.

Нема потреба да се плашите од она што го натрупав; практичните примери ќе стават сè на свое место:

Пример 1

Вообичаениот термин на серијата го вклучува факторот , и ова поттикнува природна идеја да се провери дали се исполнети условите од тестот Лајбниц:

1) Проверка на редот за алтернација. Обично во овој момент серијата на одлуки е детално опишана и ја изрече пресудата „Серијата е наизменично“.

2) Дали условите од серијата се намалуваат во апсолутна вредност? Тука треба да ја решите границата, која најчесто е многу едноставна.

– условите на серијата не се намалуваат во модулот, а тоа автоматски имплицира нејзино дивергенција – од причина што границата не постои *, односно не е исполнет потребниот критериум за конвергенција на серијата.

Пример 9

Испитајте ја серијата за конвергенција

Пример 10

Испитајте ја серијата за конвергенција

По висококвалитетно проучување на нумерички позитивни и наизменични серии, со чиста совест, можете да преминете на функционални серии, кои не се помалку монотони и монотоно интересни.

Ако за наизменична бројна серија

Исполнети се два услови:

1. Условите на серијата се намалуваат во апсолутна вредност u 1>u 2>…>u n>…,

2.

тогаш серијата (19) конвергира, а нејзиниот збир е позитивен и не го надминува првиот член од серијата.

Последица.Остатокот од серијата Лајбниц го има знакот на својот прв член и е помал од него во апсолутна вредност, т.е.

Ако во наизменична серија членовите на серијата монотоно се намалуваат во апсолутни вредности и imU n =0 (nà∞), тогаш серијата конвергира.

Дадени: U 1 >U 2 >U 3 >... ; imU n =0 (nà∞); U 1 -U 2 +U 3 -U 4 +... , U i >0

Доказ: S 2 n ¾ дури и делумна сума:

S 2n =+U 1 -U 2 +U 3 -U 4 +...-U 2n ;

S 2n =(U 1 -U 2)+(U 3 -U 4)+...+(U 2n-1 -U 2n);

S 2n >0 ¾ се зголемува.

S 2n =U 1 -(U 2 -U 3)-(U 4 -U 5)-...-U 2n; S 2n 0; imS 2n =S (nà∞)

imS 2n+1 (nà∞) = im(S 2n +U 2n+1)=S;

Парни и непарни збирови со иста граница => серијата конвергира.

1) Забележете дека S>0, т.е. знакот на збирот се совпаѓа со знакот на првиот член.

38.Апсолутна и условна конвергенција.

О. Прикажи серии (1)

наречен знак на алтернација.

Лајбницовиот тест(нацртајте го симболот на редот).

За серијата (1) сх-я доволно е апсолутните вредности да се намалуваат и →0 како што се зголемува n, т.е.

O. Ако серијата се состои од апсолутни вредности на количини cx-xia, тогаш се вели дека серијата е апсолутно конвергентна.

Теорема: Ако серијата е апсолутна cx-xia, тогаш оригиналната серија е xx-xia.

Документ: 1 знак за споредба

Размислете за редот - низа апсолутни вредности на количини

sx е докажано врз основа на вториот критериум за споредба, по кој реф серијата sx е апсолутно.

A. Ако една серија, слика од апсолутните вредности на нејзините количини, е exp-xia, а оригиналната серија е cx-xia, тогаш таа се нарекува условно xx-xia.

39.Концептот на моќна серија. Регионот на конвергенција на сериите на моќност. Абелова теорема.

Серии од формата, каде што броевите се нарекуваат коефициенти на серии, x– променлива, наречена смири следно.Интервалот (-R;R) се нарекува интервал од серијата чекори. Забележете дека за x €(-R;R) серијата апсолутно конвергира, а во точките x= ± R серијата на моќност може да се конвергира или да се разминува. За да го пронајдете радиусот на конвергенција, можете да ги користите тестовите на D'Alembert или Cauchy. Теорема. Ако има | a n +1 / a n |=L, потоа R=1/L= | a n / a n +1 |. (Док. Размислете за серијата a n x n . Применете го тестот на d’Alembert на неа. | a n +1 x n +1 / a n x n |= | a n +1 / a n |∙| x | =L∙| x |. Следува дека ако L ∙|x|<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, тогаш серијата се разминува. Теоремата е докажана.) Забележете дека ако L=0, за кој било | x | тогаш R=∞. Ако L=∞, за било кој x≠0, тогаш R=0. Ако R=0, тогаш серијата конвергира во една точка x 0 =0; ако R=∞, тогаш серијата конвергира на целата бројна права. Значи, интервалот на конвергенција на серијата a n x n е (-R;R) . За да се најде областа на конвергенција на серијата, потребно е посебно да се испита конвергенцијата во точките x=R и x=-R; во зависност од резултатите од ова истражување, земјоделскиот регион од серијата може да биде еден од интервалите: [-R;R],(-R;R),[-R;R],(-R;R]. Абелова теорема: 1) Ако серијата на моќност a n x n конвергира на x=x 0, тогаш таа конвергира апсолутно за сите x што ја задоволува неравенката |x|<|x 0 |. 2) Если же ряд a n x n расходится при x=x 1 , то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x 1 |. (Док. 1) Бидејќи бројната серија a n x 0 n конвергира, тогаш a n x 0 n =0. Ова значи дека низата на броеви (a n x 0 n ) е ограничена. Потоа ја препишуваме серијата моќност во форма a 0 + a 1 x 0 (x/x 0) + a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) +…+… = a n x 0 n (x/x 0) 2 . Да разгледаме серија апсолутни вредности. |а 0 | + |a 1 x 0 (x/x 0) | + |a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) | +…+…<= M + M| x/x 0 | + M| x/x 0 | 2 +…= M(1+q+ q 2 +…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x 0)<1-сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x * , | x * |>x 1. Но, тогаш, според првиот дел од теоремата, серијата на моќност конвергира за сите | x |< x * . В том числе должен сходится и при x= x 0 , так как | x |< | x * | . Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)

Дефиниција. Серија наизменични знаци се нарекуваат наизменична ако нејзините соседни членови имаат различни знаци.

Примери за наизменични серии се геометриски прогресии со негативни именители.

За серии на наизменични знаци постои прилично општ, чувствителен и практичен тест на конвергенција, поради Лајбниц.

Теорема (Тест за конвергенција на Лајбниц). Ако апсолутните вредности на термините на наизменичната серија

формираат монотоно нерастечка низа со тенденција на нула, т.е. ако

тогаш серијата (4.32) конвергира.

Доказ. Имаме по нешто за секого

или, комбинирање на членовите во групи (збирот содржи само конечен број поими, и затоа основните закони на дејствување важат овде без никакви ограничувања),

Врз основа на нерастечката низа на апсолутни вредности на термините од серијата, сите загради содржат ненегативни броеви. Оттука,

Според тоа, парцијалните збирови на серијата (4.32) со парни броеви сочинуваат ограничена низа.

Од друга страна, поради истата монотонија

па затоа и низата парцијални соби со парни броеви не се намалува. Затоа оваа низа има граница

Двете граници на десната страна постојат, а втората од нив е еднаква на нула по услов. Следствено, постои граница лево, и за тоа

Заедно со (4.35) ова ни дава

што се бараше.

Последица. За наизменична серија што го задоволува Лајбницовиот тест за конвергенција, остатокот може да се процени од горе во апсолутна вредност:

Всушност, остатокот може да се смета како збир на серијата

што, како што произлегува од докажаната теорема, не го надминува во апсолутна вредност неговиот прв член, што во овој случај е

Пример. Применето на серија

Лајбницовиот знак дава

што значи дека серијата конвергира. (Оваа конвергенција беше воспоставена со директни пресметки во § 2.)

Гледаме дека Лајбницовиот тест за конвергенција е прилично широк по применливост, многу практичен и идеално чувствителен. Ова не е во спротивност со она што беше кажано на крајот од § 5 од Поглавје 3: условната конвергенција на наизменични серии е „во просек“, така да се каже, поширок факт од конвергенцијата на серија со позитивни поими; затоа, излегува дека е полесно во некоја смисла да се препознае.

Да забележиме, конечно, дека критериумот на Лајбниц не е само доволен, туку и неопходен критериум на конвергенција за серии наизменични знаци со монотоно опаѓачки поими: ако тогаш, врз основа на неопходниот критериум за конвергенција од § 6 од Поглавје 2, серија

не може да се спои.

Теоремата е формулирана на следниов начин. Наизменична серија

конвергира ако се исполнети двата услови:

Последица

Следи заклучок од теоремата на Лајбниц што ни овозможува да ја процениме грешката при пресметување на нецелосен збир од серија:

Остаток од конвергентна наизменична серија Р n = С − С n ќе биде помал во апсолутна вредност од првиот отфрлен член:

Извори

  • Бронштајн И.Н., Семендјаев К.А.Прирачник по математика. - Ед. 7-ми, стереотипно. - М.: Државна издавачка куќа за техничка и теориска литература, 1967. - стр. 296.

Фондацијата Викимедија. 2010 година.

Погледнете што е „Знакот Лајбниц“ во другите речници:

    Дирихлеовиот тест е теорема која покажува доволни услови за конвергенција на неправилни интеграли и сумирање на бесконечни серии. Именуван по германскиот математичар Лежене Дирихле. Содржина... Википедија

    Дини тестот е тест за точкеста конвергенција на Фуриеова серија. И покрај фактот што Фуриеовата серија на функцијата од конвергира кон неа во смисла на норма, таа воопшто не е обврзана точкастично да се конвергира кон неа (дури и во случај на континуирана функција). Меѓутоа, со некои... ... Википедија

    Знак за споредба е изјава за симултаност на дивергенција или конвергенција на две серии, врз основа на споредба на термините од овие серии. Содржина 1 Формулација 2 Доказ ... Википедија

    Тест за конвергенција на бројна серија, предложен од Лобачевски помеѓу 1834 и 1836 година. Нека има секвенца на позитивни броеви што се намалуваат, тогаш серијата конвергира или дивергира истовремено со серијата... Википедија

    Знак за конвергенција на Фуриеовите серии: ако периодичната функција има ограничена варијација на сегмент, тогаш нејзината Фуриеова серија конвергира во секоја точка до број; ако функцијата е континуирана на сегментот... Википедија

    - (Рабе Духамелов тест) тест за конвергенција на серии на позитивни броеви, воспоставен од Џозеф Лудвиг Рабе и независно од Жан Мари Духамел. Содржина 1 Формулација 2 Формули ... Википедија

    Тест за конвергенција на серии на броеви со позитивни членови, воспоставен од Џозеф Бертранд. Содржина 1 Формулација 2 Формулација во екстремна форма ... Википедија

    Општ критериум за конвергенција на сериите на броеви со позитивни поими, воспоставен во 1812 година од Карл Гаус, при проучување на конвергенција на хипергеометриска серија. Формулација Нека се дадени серија и ограничена нумеричка низа. Тогаш ако... ... Википедија

    Тест за конвергенција на серии на броеви со позитивни членови, воспоставен од Василиј Ермаков. Неговата специфичност лежи во тоа што по својата чувствителност ги надминува сите други знаци. Ова дело е објавено во написите: „Општа теорија... ... Википедија

    Тест за конвергенција на сериите на броеви со позитивни членови, воспоставен од Пјер Жамет. Содржина 1 Формулација 2 Формулација во екстремна форма ... Википедија