Để vẽ một mặt phẳng đi qua ba điểm bất kỳ trong không gian, điều cần thiết là các điểm này không nằm trên cùng một đường thẳng.
Xét các điểm M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) nói chung Hệ thống Descartes tọa độ
Để một điểm M(x, y, z) tùy ý nằm trong cùng mặt phẳng với các điểm M 1, M 2, M 3 thì các vectơ phải đồng phẳng.
Định nghĩa 2.1.
Hai đường thẳng trong không gian được gọi là song song nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
Nếu hai đường thẳng a và b song song thì, như trong phép đo mặt phẳng, hãy viết a || b. Trong không gian, các đường thẳng có thể được đặt sao cho chúng không cắt nhau hoặc song song. Trường hợp này là đặc biệt cho phép đo lập thể.
Định nghĩa 2.2.
Các đường thẳng không có điểm chung và không song song được gọi là giao nhau.
Định lý 2.1.
Thông qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, người ta có thể vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
| Dấu hiệu của đường thẳng song song |
| Hai đường thẳng trong không gian được gọi là song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không cắt nhau. Thông qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, bạn có thể vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng này và chỉ có một đường thẳng đó. |
25.Tuyên bố này rút gọn thành tiên đề của các đường song song trong một mặt phẳng.
Định lý. Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba thì song song.
Cho đường thẳng b và c song song với đường thẳng a. Hãy chứng minh rằng b || Với. Trường hợp các đường thẳng a, b và nằm trên cùng một mặt phẳng được xét trong phép đo mặt phẳng; Giả sử a, b và c không nằm trong cùng một mặt phẳng. Nhưng vì hai đường thẳng song song nằm trong cùng một mặt phẳng nên chúng ta có thể giả sử rằng a và b nằm trong mặt phẳng và a b và c nằm trong mặt phẳng (Hình 61). Trên dòng c chúng ta đánh dấu một điểm (bất kỳ) M và qua dòng b và điểm M chúng ta vẽ một mặt phẳng . Cô ấy, , cắt nhau theo một đường thẳng l. Đường thẳng l không cắt mặt phẳng, vì nếu l cắt nhau thì giao điểm của chúng phải nằm trên a (a và l nằm trong cùng một mặt phẳng) và trên b (b và l nằm trong cùng một mặt phẳng). Như vậy, một giao điểm l và phải nằm trên cả hai đường thẳng a và đường b, điều này không thể xảy ra: a || b. Vì vậy, một || , tôi || một, l || b. Vì a và l nằm trong cùng một mặt phẳng nên l trùng với đường thẳng c (theo tiên đề song song), và do đó trùng với || b. Định lý đã được chứng minh.
Dấu hiệu song song giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định lý
27.Nếu một đường thẳng không thuộc mặt phẳng mà song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng đó thì nó song song với chính mặt phẳng đó.
Định lý. Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba thì song song.
Bằng chứng
Dấu hiệu song song giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho α là một mặt phẳng, một đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng đó và a1 là một đường thẳng trong mặt phẳng α song song với đường thẳng a. Vẽ mặt phẳng α1 đi qua các đường thẳng a và a1. Các mặt phẳng α và α1 cắt nhau dọc theo đường thẳng a1. Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng α thì giao điểm sẽ thuộc đường thẳng a1. Nhưng điều này là không thể, vì đường thẳng a và a1 song song với nhau. Do đó, đường thẳng a không cắt mặt phẳng α và do đó song song với mặt phẳng α. Định lý đã được chứng minh. Sự tồn tại của một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước, người ta có thể vẽ được một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho và chỉ có một mặt phẳng đó.
Trong mặt phẳng này chúng ta vẽ hai đường thẳng cắt nhau a và b bất kỳ. Bởi vì điểm nàyα. Chúng ta hãy đánh dấu một số điểm C trên mặt phẳng β1 không nằm trong mặt phẳng β. Vẽ mặt phẳng γ đi qua các điểm A, C và một số điểm B của mặt phẳng α. Mặt phẳng này sẽ cắt các mặt phẳng α, β và β1 dọc theo các đường thẳng b, a và c. Đường thẳng a và c không cắt đường thẳng b vì chúng không cắt mặt phẳng α. Do đó chúng song song với đường thẳng b. Nhưng trong mặt phẳng γ chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng b có thể đi qua điểm A. điều này mâu thuẫn với giả định. Định lý đã được chứng minh.
28.Tính chất của các mặt phẳng song song th
29. 
Các đường vuông góc trong không gian. Hai đường thẳng trong không gian được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90 độ. c. m. k. k. m. c. k. Giao nhau. Lai tạo.
| Định lý 1 DẤU HIỆU QUẢ CỦA ĐƯỜNG ĐƯỜNG VÀ MẶT BẰNG. Nếu một đường thẳng cắt một mặt phẳng và vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng này đi qua giao điểm của đường thẳng này và mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. | |
| Chứng minh: Cho a là đường thẳng vuông góc với b và c trong mặt phẳng. Khi đó đường thẳng a đi qua điểm A là giao điểm của đường thẳng b và c. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng. Chúng ta vẽ một đường thẳng x tùy ý đi qua điểm A trong mặt phẳng và chứng minh rằng nó vuông góc với đường thẳng a. Vẽ một đường thẳng tùy ý trong mặt phẳng không đi qua điểm A và cắt các đường thẳng b, c và x. Gọi giao điểm là B, C và X. Vẽ a trên đường thẳng từ điểm A đến các mặt khác nhau phân đoạn bằng nhau AA1 và AA2. Tam giác A 1 CA 2 là tam giác cân, vì đoạn AC là chiều cao theo định lý và đường trung tuyến theo cách dựng (AA 1 = AA 2) Vì lý do tương tự, tam giác A 1 BA 2 cũng là tam giác cân. Do đó, hai tam giác A 1 BC và A 2 BC có ba cạnh bằng nhau. Từ sự bằng nhau của các tam giác A 1 BC và A 2 BC suy ra các góc A 1 BC và A 2 BC bằng nhau nên các tam giác A 1 BC và A 2 BC có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng . Từ sự bằng nhau của các cạnh A 1 X và A 2 X của các tam giác này, ta kết luận rằng tam giác A 1 XA 2 là tam giác cân. Do đó đường trung bình XA của nó cũng chính là chiều cao của nó. Và điều này có nghĩa là đường thẳng x vuông góc với a. Theo định nghĩa, đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng. Định lý đã được chứng minh. |
| Định lý 2 ĐẶC ĐIỂM 1 CỦA ĐƯỜNG NGUYÊN TẮC VÀ MẶT BẰNG. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia. |  |
| Chứng minh: Cho 1 và 2 - 2 là hai đường thẳng song song và vuông góc với đường thẳng a 1. Chứng minh mặt phẳng này vuông góc với đường thẳng a2. Vẽ một đường thẳng x 2 tùy ý trong mặt phẳng đi qua điểm A 2 là giao điểm của đường thẳng a 2 với mặt phẳng. Vẽ trong mặt phẳng đi qua điểm A 1 giao điểm của đường thẳng a 1 với đường thẳng x 1 song song với đường thẳng x 2. Vì đường thẳng a 1 vuông góc với mặt phẳng nên a 1 và x 1 vuông góc với nhau. Và theo Định lý 1, các đường thẳng giao nhau song song với chúng là a 2 và x 2 cũng vuông góc. Do đó, đường thẳng a 2 vuông góc với bất kỳ đường thẳng x 2 nào trong mặt phẳng. Và điều này (theo định nghĩa) có nghĩa là đường thẳng a 2 vuông góc với mặt phẳng. Định lý đã được chứng minh. Xem thêm vấn đề tham khảo №2. | |
| Định lý 3 ĐẶC ĐIỂM 2 CỦA ĐƯỜNG ĐƯỜNG NGUYÊN TẮC VÀ MẶT BẰNG. Hai đường thẳng vuông góc với cùng một mặt phẳng thì song song. |  |
| Chứng minh: Cho a và b là 2 đường thẳng mặt phẳng vuông góc. Giả sử đường thẳng a và b không song song. Chúng ta hãy chọn một điểm C trên đường thẳng b không nằm trong mặt phẳng. Vẽ đường thẳng b 1 đi qua điểm C và song song với đường thẳng a. Đường thẳng b 1 vuông góc với mặt phẳng theo Định lý 2. Gọi B và B 1 là giao điểm của đường b và b 1 với mặt phẳng. Khi đó đường thẳng BB 1 vuông góc với các đường thẳng b và b 1 cắt nhau. Và điều này là không thể. Chúng ta đã đi đến một sự mâu thuẫn. Định lý đã được chứng minh. |
33.vuông góc, hạ thấp từ một điểm cho trước trên một mặt phẳng cho trước, là đoạn nối một điểm cho trước với một điểm trên mặt phẳng và nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó. Điểm cuối của đoạn này nằm trong mặt phẳng được gọi là đáy của đường vuông góc.
Nghiêngđược vẽ từ một điểm cho trước đến một mặt phẳng cho trước là đoạn thẳng nối một điểm đã cho với một điểm trên mặt phẳng không vuông góc với mặt phẳng đó. Điểm cuối của đoạn nằm trong mặt phẳng được gọi là đế nghiêng. Đoạn nối hai đáy của một hình vuông góc với một hình vuông vẽ từ cùng một điểm được gọi là hình chiếu xiên.
AB vuông góc với mặt phẳng α.
AC – xiên, CB – hình chiếu.
Phát biểu định lý
Nếu một đường thẳng vẽ trên mặt phẳng đi qua đáy của một đường nghiêng và vuông góc với hình chiếu của nó thì nó vuông góc với đường nghiêng.
Dấu hiệu song song giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho phép AB- vuông góc với mặt phẳng α, A.C.- nghiêng và c- đường thẳng trong mặt phẳng đi qua điểm C Và vuông góc với hình chiếu BC. Hãy trực tiếp thực hiện CK song song với đường thẳng AB. Thẳng CK vuông góc với mặt phẳng α (vì nó song song với AB), và do đó mọi đường thẳng của mặt phẳng này, do đó, CK vuông góc với một đường thẳng c. Hãy vẽ qua các đường thẳng song song AB Và CK mặt phẳng β (các đường song song xác định một mặt phẳng và chỉ một mặt phẳng). Thẳng c vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng β, đây là BC theo điều kiện và CK theo cách xây dựng, nó có nghĩa là nó vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào thuộc mặt phẳng này, nghĩa là nó vuông góc với đường thẳng A.C..
Giả sử chúng ta cần tìm phương trình của một mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước không nằm trên cùng một đường thẳng. Biểu thị vectơ bán kính của chúng bằng và vectơ bán kính hiện tại bằng , chúng ta có thể dễ dàng thu được phương trình cần tìm trong dạng vector. Trên thực tế, các vectơ phải đồng phẳng (tất cả chúng đều nằm trong mặt phẳng mong muốn). Do đó, tích vô hướng vectơ của các vectơ này phải bằng 0:
Đây là phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước, dưới dạng vectơ.
Chuyển sang tọa độ, chúng ta có được phương trình theo tọa độ:
Nếu ba điểm cho trước cùng nằm trên một đường thẳng thì các vectơ thẳng hàng. Do đó, các phần tử tương ứng của hai dòng cuối cùngđịnh thức trong phương trình (18) sẽ tỷ lệ thuận và định thức sẽ giống hệt nhau bằng 0. Do đó, phương trình (18) sẽ trở nên giống hệt với mọi giá trị x, y và z. Về mặt hình học, điều này có nghĩa là qua mỗi điểm trong không gian có một mặt phẳng chứa ba điểm đã cho.
Nhận xét 1. Bài toán tương tự có thể được giải mà không cần sử dụng vectơ.
Biểu thị tọa độ tương ứng của ba điểm đã cho, chúng ta sẽ viết phương trình của mặt phẳng bất kỳ đi qua điểm đầu tiên:
Để có được phương trình của mặt phẳng mong muốn, cần phải thỏa mãn phương trình (17) bởi tọa độ của hai điểm khác:
Từ các phương trình (19), cần xác định tỉ số của hai hệ số trên hệ số thứ ba và nhập các giá trị tìm được vào phương trình (17).
Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm.
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm đầu tiên sẽ là:
Điều kiện để mặt phẳng (17) đi qua hai điểm còn lại và điểm thứ nhất là:
Cộng phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất, ta tìm được:
Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
Thay các số tương ứng vào phương trình (17) thay cho A, B, C lần lượt là 1, 5, -4 (các số tỉ lệ với chúng), ta thu được:
Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).
Phương trình của mặt phẳng bất kỳ đi qua điểm (0, 0, 0) sẽ là]
Điều kiện để mặt phẳng này đi qua các điểm (1, 1, 1) và (2, 2, 2) là:
Giảm phương trình thứ hai đi 2, ta thấy rằng để xác định hai ẩn số có một phương trình với
Từ đây chúng tôi nhận được . Bây giờ thay thế giá trị của mặt phẳng vào phương trình, chúng ta tìm thấy:
Đây là phương trình của mặt phẳng mong muốn; nó phụ thuộc vào tùy ý
đại lượng B, C (cụ thể là từ quan hệ tức là có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm đã cho (ba điểm đã cho nằm trên cùng một đường thẳng).
Nhận xét 2. Bài toán vẽ mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng có thể giải dễ dàng bằng cái nhìn tổng quát, nếu chúng ta sử dụng định thức. Thật vậy, vì trong các phương trình (17) và (19) các hệ số A, B, C không thể đồng thời bằng 0 nên khi coi các phương trình này là hệ thống đồng nhất với ba ẩn số A, B, C, hãy viết những điều cần thiết và đủ điều kiện tồn tại nghiệm của hệ này khác 0 (Phần 1, Chương VI, § 6):
Sau khi mở rộng định thức này thành các phần tử của hàng đầu tiên, chúng ta thu được phương trình bậc nhất đối với tọa độ hiện tại, đặc biệt là tọa độ của ba điểm đã cho.
Bạn cũng có thể trực tiếp xác minh điều này sau bằng cách thay thế tọa độ của bất kỳ điểm nào trong số này thay vì . Ở vế bên trái, chúng ta nhận được định thức trong đó các phần tử của hàng đầu tiên bằng 0 hoặc có hai hàng giống hệt nhau. Do đó, phương trình được xây dựng biểu thị một mặt phẳng đi qua ba điểm đã cho.
13. Góc giữa các mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng α và β cắt nhau trên một đường thẳng c.
Góc giữa các mặt phẳng là góc giữa các đường vuông góc với đường giao nhau của chúng vẽ trên các mặt phẳng đó.
Nói cách khác, trong mặt phẳng α ta vẽ đường thẳng a vuông góc với c. Trong mặt phẳng β - đường thẳng b cũng vuông góc với c. Góc giữa hai mặt phẳng α và β bằng góc giữa dòng a và b.
Lưu ý rằng khi hai mặt phẳng cắt nhau thì bốn góc thực sự được tạo thành. Bạn có nhìn thấy chúng trong hình không? Là góc giữa các mặt phẳng chúng ta lấy cay góc.
Nếu góc giữa các mặt phẳng là 90 độ thì các mặt phẳng vuông góc,
Đây là định nghĩa về độ vuông góc của các mặt phẳng. Khi giải các bài toán về lập thể, chúng ta cũng sử dụng dấu hiệu vuông góc của mặt phẳng:
Nếu mặt phẳng α đi qua đường vuông góc với mặt phẳng β thì các mặt phẳng α và β vuông góc với nhau.
khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng
Xét điểm T, được xác định bởi tọa độ của nó:
T = (x 0 , y 0 , z 0)
Chúng ta cũng xét mặt phẳng α, được cho bởi phương trình:
Ax + By + Cz + D = 0
Khi đó khoảng cách L từ điểm T đến mặt phẳng α có thể được tính bằng công thức:
Nói cách khác, chúng ta thay tọa độ của điểm vào phương trình của mặt phẳng, rồi chia phương trình này cho độ dài của vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng:
Số kết quả là khoảng cách. Chúng ta hãy xem định lý này hoạt động như thế nào trong thực tế.
Chúng ta đã rút ra được phương trình tham số của đường thẳng trên mặt phẳng, hãy lấy phương trình tham số của đường thẳng cho trong hệ thống hình chữ nhật tọa độ trong không gian ba chiều.
Cho hệ tọa độ chữ nhật cố định trong không gian ba chiều oxyz. Hãy xác định một đường thẳng trong đó Một(xem phần phương pháp xác định đường thẳng trong không gian), chỉ ra vectơ chỉ phương của đường thẳng 
và tọa độ của một số điểm trên đường thẳng 
. Chúng ta sẽ bắt đầu từ những dữ liệu này khi vẽ phương trình tham số của một đường thẳng trong không gian.
Giả sử là một điểm tùy ý trong không gian ba chiều. Nếu chúng ta trừ đi tọa độ của điểm M tọa độ điểm tương ứng M 1, khi đó ta sẽ được tọa độ của vectơ (xem bài tìm tọa độ của vectơ từ tọa độ các điểm đầu và cuối của nó), tức là 
.
Rõ ràng, tập hợp các điểm xác định một đường thẳng MỘT khi và chỉ nếu các vectơ và thẳng hàng.
Hãy viết điều kiện cần và đủ để các vectơ thẳng hàng 
Và : 
, ở đâu - một số số thực. Phương trình kết quả được gọi là phương trình tham số vectơ của đường thẳng trong hệ tọa độ chữ nhật oxyz trong không gian ba chiều. Phương trình tham số vectơ của đường thẳng ở dạng tọa độ có dạng 
và đại diện phương trình tham số của đường thẳng Một. Cái tên “tham số” không phải ngẫu nhiên, vì tọa độ của tất cả các điểm trên đường thẳng được chỉ định bằng tham số.
Cho một ví dụ về phương trình tham số của đường thẳng trong hệ tọa độ chữ nhật oxyz trong không gian: . Đây
15. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng.
Mọi phương trình bậc một đối với tọa độ x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)
xác định một mặt phẳng và ngược lại: bất kỳ mặt phẳng nào cũng có thể được biểu diễn bằng phương trình (3.1), được gọi là phương trình mặt phẳng.
Vectơ N(A, B, C), vuông góc với mặt phẳng, gọi điện vectơ chuẩn máy bay. Trong phương trình (3.1), các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0.
Trường hợp đặc biệt phương trình (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - mặt phẳng song song với trục Oz.
3. C = D = 0, Ax + By = 0 - mặt phẳng đi qua trục Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - mặt phẳng song song với mặt phẳng Oyz.
phương trình mặt phẳng tọa độ: x = 0, y = 0, z = 0.
Một đường thẳng trong không gian có thể được xác định:
1) là đường giao nhau của hai mặt phẳng, tức là hệ phương trình:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)
2) qua hai điểm M 1 (x 1, y 1, z 1) và M 2 (x 2, y 2, z 2) thì đường thẳng đi qua chúng được cho bởi các phương trình:
3) điểm M 1 (x 1, y 1, z 1) thuộc điểm đó và vectơ Một(m, n, p), thẳng hàng với nó. Khi đó đường thẳng được xác định theo phương trình:
. (3.4)
Phương trình (3.4) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng.
Vectơ Một gọi điện vector hướng thẳng.
phương trình tham số chúng ta thu được một đường thẳng bằng cách đánh đồng từng quan hệ (3.4) với tham số t:
x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)
Hệ giải (3.2) là một hệ thống phương trình tuyến tính tương đối không rõ x Và y, ta đi đến phương trình của đường thẳng trong phép chiếu hoặc để các phương trình đường thẳng đã cho:
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
Từ phương trình (3.6) chúng ta có thể đi đến phương trình chính tắc, tìm z từ mỗi phương trình và đánh đồng các giá trị kết quả:
.
Từ các phương trình tổng quát (3.2), bạn có thể chuyển sang các phương trình chính tắc theo cách khác, nếu bạn tìm thấy bất kỳ điểm nào trên đường thẳng này và vectơ chỉ phương của nó N= [N 1 , N 2 ], ở đâu N 1 (A 1, B 1, C 1) và N 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng đã cho. Nếu một trong các mẫu số tôi, n hoặc r trong phương trình (3.4) hóa ra bằng 0, thì tử số của phân số tương ứng phải được đặt bằng 0, tức là hệ thống
tương đương với hệ thống 
; đường thẳng đó vuông góc với trục Ox.
Hệ thống 
tương đương với hệ x = x 1, y = y 1; đường thẳng song song với trục Oz.
Ví dụ 1.15. Lập phương trình cho mặt phẳng, biết rằng điểm A(1,-1,3) đóng vai trò là đáy của đường vuông góc kẻ từ gốc tọa độ đến mặt phẳng này.
Giải pháp. Theo điều kiện bài toán, vectơ viêm khớp(1,-1,3) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nên phương trình của nó có thể viết là
x-y+3z+D=0. Thay tọa độ điểm A(1,-1,3), thuộc về máy bay, ta tìm được D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Vậy x-y+3z-11=0.
Ví dụ 1.16. Viết phương trình mặt phẳng đi qua trục Oz và tạo thành một góc 60° với mặt phẳng 2x+y-z-7=0.
Giải pháp. Mặt phẳng đi qua trục Oz được cho bởi phương trình Ax+By=0, trong đó A và B không biến mất đồng thời. Để B không
bằng 0, A/Bx+y=0. Sử dụng công thức cosin tính góc giữa hai mặt phẳng
.
Quyết định phương trình bậc hai 3m 2 + 8m - 3 = 0, tìm nghiệm của nó
m 1 = 1/3, m 2 = -3, từ đó ta có hai mặt phẳng 1/3x+y = 0 và -3x+y = 0.
Ví dụ 1.17. Viết các phương trình chính tắc của đường thẳng:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Giải pháp.phương trình chính tắcđường thẳng có dạng:
Ở đâu m, n, p- tọa độ vectơ chỉ hướng của đường thẳng, x 1 , y 1 , z 1- tọa độ của bất kỳ điểm nào thuộc một đường thẳng. Đường thẳng được định nghĩa là đường giao nhau của hai mặt phẳng. Để tìm một điểm thuộc một đường thẳng, một trong các tọa độ được cố định (cách dễ nhất là đặt, ví dụ: x=0) và hệ kết quả được giải dưới dạng hệ phương trình tuyến tính với hai ẩn số. Vì vậy, đặt x=0, thì y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, do đó y=-1, z=1. Ta tìm được tọa độ điểm M(x 1, y 1, z 1) thuộc đường thẳng này: M (0,-1,1). Dễ dàng tìm được vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng ban đầu N 1 (5,1,1) và N 2 (2,3,-2). Sau đó
Các phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.
Ví dụ 1.18. Trong chùm tia xác định bởi các mặt phẳng 2x-y+5z-3=0 và x+y+2z+1=0, tìm hai mặt phẳng vuông góc, một trong số đó đi qua điểm M(1,0,1).
Giải pháp. Phương trình của chùm tia xác định bởi các mặt phẳng này có dạng u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, trong đó u và v không triệt tiêu đồng thời. Hãy viết lại phương trình chùm tia như sau:
(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.
Để chọn một mặt phẳng từ tia đi qua điểm M, ta thay tọa độ điểm M vào phương trình của tia. Chúng tôi nhận được:
(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, hoặc v = - u.
Khi đó ta tìm phương trình mặt phẳng chứa M bằng cách thay v = - u vào phương trình dầm:
u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.
Bởi vì u¹0 (nếu không thì v=0, và điều này mâu thuẫn với định nghĩa về chùm tia), khi đó chúng ta có phương trình của mặt phẳng x-2y+3z-4=0. Mặt phẳng thứ hai thuộc chùm tia phải vuông góc với nó. Hãy viết điều kiện trực giao của các mặt phẳng:
(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, hoặc v = - 19/5u.
Điều này có nghĩa là phương trình của mặt phẳng thứ hai có dạng:
u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 hoặc 9x +24y + 13z + 34 = 0
Bạn có thể thiết lập theo những cách khác nhau(một điểm và một vectơ, hai điểm và một vectơ, ba điểm, v.v.). Với suy nghĩ này, phương trình của mặt phẳng có thể có nhiều loại. Ngoài ra, tùy thuộc vào các điều kiện nhất định, các mặt phẳng có thể song song, vuông góc, giao nhau, v.v. Chúng ta sẽ nói về điều này trong bài viết này. Chúng ta sẽ học cách tạo một phương trình tổng quát của mặt phẳng và hơn thế nữa.
Dạng phương trình thông thường
Giả sử có một không gian R 3 có hệ tọa độ XYZ hình chữ nhật. Chúng ta hãy xác định vectơ α, vectơ này sẽ được giải phóng khỏi điểm ban đầu O. Qua điểm cuối của vectơ α, chúng ta vẽ một mặt phẳng P sẽ vuông góc với nó.
Chúng ta hãy biểu thị một điểm tùy ý trên P là Q = (x, y, z). Hãy ký hiệu vectơ bán kính của điểm Q bằng chữ p. Trong trường hợp này, độ dài của vectơ α bằng р=IαI và Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).
Cái này vectơ đơn vị, hướng sang một bên, giống như vectơ α. α, β và γ lần lượt là các góc tạo giữa vectơ Ʋ và hướng dương của các trục không gian x, y, z. Hình chiếu của điểm QϵП bất kỳ lên vectơ Ʋ là giá trị không đổi, bằng p: (p,Ʋ) = p(p ≥0).
Phương trình trên có ý nghĩa khi p=0. Điều duy nhất là mặt phẳng P trong trường hợp này sẽ cắt điểm O (α=0), là gốc tọa độ, và vectơ đơn vị Ʋ được thả ra từ điểm O sẽ vuông góc với P, bất chấp hướng của nó. có nghĩa là vectơ Ʋ được xác định chính xác đến dấu. Phương trình trước đó là phương trình của mặt phẳng P của chúng ta, được biểu thị dưới dạng vectơ. Nhưng trong tọa độ nó sẽ trông như thế này:
P ở đây lớn hơn hoặc bằng 0. Ta đã tìm được phương trình mặt phẳng trong không gian ở dạng chuẩn.
phương trình tổng quát
Nếu chúng ta nhân phương trình trong tọa độ với bất kỳ số nào không bằng 0, chúng ta thu được một phương trình tương đương với phương trình này, xác định chính mặt phẳng đó. Nó sẽ trông như thế này:
Ở đây A, B, C là các số khác 0 đồng thời. Phương trình này được gọi là phương trình mặt phẳng tổng quát.
Phương trình của mặt phẳng. Trường hợp đặc biệt
Phương trình ở dạng tổng quát có thể được sửa đổi nếu có điều kiện bổ sung. Chúng ta hãy nhìn vào một số trong số họ.
Giả sử hệ số A là 0. Điều này có nghĩa là mặt phẳng đã cho song song với trục Ox đã cho. Trong trường hợp này, dạng của phương trình sẽ thay đổi: Ву+Cz+D=0.
Tương tự, dạng của phương trình sẽ thay đổi theo các điều kiện sau:
- Đầu tiên, nếu B = 0 thì phương trình sẽ thay đổi thành Ax + Cz + D = 0, biểu thị sự song song với trục Oy.
- Thứ hai, nếu C=0 thì phương trình sẽ được chuyển thành Ax+By+D=0, biểu thị sự song song với trục Oz đã cho.
- Thứ ba, nếu D=0, phương trình sẽ có dạng Ax+By+Cz=0, điều này có nghĩa là mặt phẳng cắt O (gốc).
- Thứ tư, nếu A=B=0 thì phương trình sẽ thay đổi thành Cz+D=0, chứng tỏ nó song song với Oxy.
- Thứ năm, nếu B=C=0 thì phương trình trở thành Ax+D=0, có nghĩa là mặt phẳng tới Oyz song song.
- Thứ sáu, nếu A=C=0 thì phương trình sẽ có dạng Ву+D=0, nghĩa là nó sẽ báo cáo tính song song với Oxz.
Loại phương trình trong phân đoạn
Trong trường hợp các số A, B, C, D khác 0 thì dạng phương trình (0) có thể như sau:
x/a + y/b + z/c = 1,
trong đó a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.
Kết quả chúng ta nhận được là điều đáng chú ý là mặt phẳng này sẽ cắt trục Ox tại một điểm có tọa độ (a,0,0), Oy - (0,b,0) và Oz - (0,0,c). ).
Khi tính đến phương trình x/a + y/b + z/c = 1, không khó để hình dung trực quan vị trí của mặt phẳng so với một hệ tọa độ nhất định.
Tọa độ vector chuẩn
Vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng P có tọa độ là các hệ số phương trình tổng quát của một mặt phẳng cho trước, tức là n (A, B, C).
Để xác định tọa độ của pháp tuyến n, chỉ cần biết phương trình tổng quát của một mặt phẳng đã cho là đủ.
Khi sử dụng phương trình trong các đoạn có dạng x/a + y/b + z/c = 1, cũng như khi sử dụng phương trình tổng quát, bạn có thể viết tọa độ của bất kỳ vectơ pháp tuyến nào của một mặt phẳng đã cho: (1/a + 1/b + 1/ Với).
Điều đáng chú ý là vectơ pháp tuyến giúp giải quyết nhiệm vụ khác nhau. Những dạng phổ biến nhất bao gồm các bài toán liên quan đến việc chứng minh tính vuông góc hoặc song song của các mặt phẳng, bài toán tìm góc giữa các mặt phẳng hoặc góc giữa mặt phẳng và đường thẳng.
Kiểu phương trình mặt phẳng theo tọa độ điểm và vectơ pháp tuyến
Một vectơ khác 0 n vuông góc với một mặt phẳng đã cho được gọi là vectơ bình thường đối với một mặt phẳng đã cho.
Giả sử rằng trong không gian tọa độ (hệ tọa độ hình chữ nhật) Oxyz được cho:
- điểm Mₒ có tọa độ (xₒ,yₒ,zₒ);
- vectơ không n=A*i+B*j+C*k.
Cần phải lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm Mₒ vuông góc với pháp tuyến n.
Chúng ta chọn bất kỳ điểm tùy ý nào trong không gian và ký hiệu là M (x y, z). Đặt vectơ bán kính của điểm M (x,y,z) bất kỳ là r=x*i+y*j+z*k và vectơ bán kính của điểm Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Điểm M sẽ thuộc một mặt phẳng cho trước nếu vectơ MₒM vuông góc với vectơ n. Chúng ta hãy viết điều kiện trực giao bằng tích vô hướng:
[MₒM, n] = 0.
Vì MₒM = r-rₒ nên phương trình vectơ của mặt phẳng sẽ như sau:
Phương trình này có thể có dạng khác. Để làm điều này, các tính chất của tích vô hướng được sử dụng và phép biến đổi được thực hiện bên trái phương trình
= - . Nếu chúng ta ký hiệu nó là c, chúng ta nhận được phương trình sau: - c = 0 hoặc = c, biểu thị hằng số của các hình chiếu lên vectơ pháp tuyến của các vectơ bán kính của các điểm đã cho thuộc mặt phẳng. Bây giờ bạn có thể có được chế độ xem tọa độ của bản ghi phương trình vectơ
mặt phẳng của chúng ta = 0. Vì r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k và n = A*i+B*j+C*k, nên chúng ta chúng tôi có:
Hóa ra chúng ta có phương trình cho một mặt phẳng đi qua một điểm vuông góc với pháp tuyến n:
A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.
Kiểu phương trình mặt phẳng theo tọa độ của hai điểm và một vectơ thẳng hàng với mặt phẳng
Chúng ta hãy xác định hai điểm tùy ý M′ (x′,y′,z′) và M" (x",y",z"), cũng như một vectơ a (a′,a",a‴).
Bây giờ chúng ta có thể tạo một phương trình cho một mặt phẳng cho trước sẽ đi qua các điểm M′ và M″ hiện có, cũng như bất kỳ điểm M nào có tọa độ (x, y, z) song song với vectơ a đã cho.
Trong trường hợp này, các vectơ M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) và M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) phải đồng phẳng với vectơ a=(a′,a″,a‴), có nghĩa là (M′M, M″M, a)=0.
Vì vậy, phương trình mặt phẳng của chúng ta trong không gian sẽ như thế này:
Dạng phương trình mặt phẳng cắt ba điểm
Giả sử chúng ta có ba điểm: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), không thuộc cùng một đường thẳng. Cần viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước. Lý thuyết hình học cho rằng loại mặt phẳng này thực sự tồn tại, nhưng nó là duy nhất và duy nhất. Vì mặt phẳng này cắt điểm (x′,y′,z′), nên phương trình của nó sẽ có dạng như sau:
Ở đây A, B, C đồng thời khác 0. Ngoài ra, mặt phẳng đã cho cắt thêm hai điểm: (x",y",z") và (x‴,y‴,z‴). Về vấn đề này, các điều kiện sau phải được đáp ứng:
Bây giờ chúng ta có thể tạo ra một hệ thống thuần nhất với các ẩn số u, v, w: Trong của chúng tôi trường hợp x, y hoặc z nhô rađiểm tùy ý
, thỏa mãn phương trình (1). Cho phương trình (1) và hệ phương trình (2) và (3), hệ phương trình biểu thị ở hình trên thỏa mãn vectơ N (A,B,C), không tầm thường. Đó là lý do tại sao định thức của hệ thống này bằng 0. Phương trình (1) mà chúng ta thu được là phương trình của mặt phẳng. Nó đi qua chính xác 3 điểm và điều này rất dễ kiểm tra. Để làm điều này, chúng ta cần mở rộng định thức thành các phần tử ở hàng đầu tiên. Từđịnh thức, theo đó mặt phẳng của chúng ta đồng thời cắt ba điểm cho trước ban đầu (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴). Tức là chúng ta đã giải quyết được nhiệm vụ được giao.
Góc nhị diện giữa các mặt phẳng
Một góc nhị diện thể hiện một không gian hình hình học, được tạo bởi hai nửa mặt phẳng cùng xuất phát từ một đường thẳng. Nói cách khác, đây là phần không gian bị giới hạn bởi các nửa mặt phẳng này.
Giả sử chúng ta có hai mặt phẳng có các phương trình sau:
Chúng ta biết rằng các vectơ N=(A,B,C) và N¹=(A¹,B¹,C¹) vuông góc theo mặt phẳng nhất định. Về vấn đề này, góc φ giữa các vectơ N và N¹ bằng góc (lưỡng diện) nằm giữa các mặt phẳng này. Sản phẩm chấm có dạng:
NN¹=|N||N¹|cos φ,
chính xác là vì
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A2+B2+C2))*(√(A¹)2+(B¹)²+(C¹)²)).
Chỉ cần tính đến 0 φ π là đủ.
Trên thực tế, hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành hai góc (lưỡng diện): φ 1 và φ 2. Tổng của chúng bằng π (φ 1 + φ 2 = π). Đối với các cosin của chúng, giá trị tuyệt đối của chúng bằng nhau nhưng khác nhau về dấu, tức là cos φ 1 = -cos φ 2. Nếu trong phương trình (0) chúng ta thay A, B và C lần lượt bằng các số -A, -B và -C thì phương trình ta nhận được sẽ xác định cùng một mặt phẳng, duy nhất, là góc φ trong phương trình cosφ=NN 1 /|N||N 1 | sẽ được thay thế bằng π-φ.
Phương trình mặt phẳng vuông góc
Các mặt phẳng có góc bằng 90 độ được gọi là vuông góc. Sử dụng tài liệu đã trình bày ở trên, chúng ta có thể tìm được phương trình của một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác. Giả sử chúng ta có hai mặt phẳng: Ax+By+Cz+D=0 và A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Chúng ta có thể nói rằng chúng sẽ vuông góc nếu cosφ=0. Điều này có nghĩa là NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
Phương trình mặt phẳng song song
Hai mặt phẳng không chứa điểm chung gọi là song song.
Điều kiện (phương trình của chúng giống như trong đoạn trước) là các vectơ N và N¹ vuông góc với chúng thì thẳng hàng. Điều này có nghĩa là chúng đã được đáp ứng điều kiện sau sự cân xứng:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
Nếu các điều kiện tỷ lệ được mở rộng - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,
điều này chỉ ra rằng những mặt phẳng này trùng nhau. Điều này có nghĩa là các phương trình Ax+By+Cz+D=0 và A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 mô tả một mặt phẳng.
Khoảng cách đến mặt phẳng từ điểm
Giả sử chúng ta có một mặt phẳng P, được cho bởi phương trình (0). Cần tìm khoảng cách đến nó từ một điểm có tọa độ (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Để làm điều này, bạn cần đưa phương trình của mặt phẳng P về dạng bình thường:
(ρ,v)=р(р ≥0).
TRONG trong trường hợp nàyρ(x,y,z) là vectơ bán kính của điểm Q nằm trên P, p là độ dài đường vuông góc P được thả ra từ điểm không, v là vectơ đơn vị, nằm theo hướng a.
Vectơ bán kính hiệu ρ-ρº của một số điểm Q = (x, y, z) thuộc P, cũng như vectơ bán kính của một điểm cho trước Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) là một vectơ như vậy, giá trị tuyệt đối có hình chiếu lên v bằng khoảng cách d, cần tìm từ Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) đến P:
D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, nhưng
(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).
Hóa ra là vậy
d=|(ρ 0 ,v)-р|.
Vì vậy chúng ta sẽ tìm thấy giá trị tuyệt đối biểu thức thu được, tức là biểu thức mong muốn d.
Sử dụng ngôn ngữ tham số, chúng ta có được điều hiển nhiên:
d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).
Nếu như điểm đặt Q 0 nằm ở phía bên kia của mặt phẳng P, giống như gốc tọa độ nên nằm giữa vectơ ρ-ρ 0 và v do đó nằm:
d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.
Trong trường hợp điểm Q 0 cùng với gốc tọa độ nằm cùng phía với P thì góc tạo ra là góc nhọn, đó là:
d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.
Kết quả là, trong trường hợp đầu tiên (ρ 0 ,v)>р, trong trường hợp thứ hai (ρ 0 ,v)<р.
Mặt phẳng tiếp tuyến và phương trình của nó
Mặt phẳng tiếp tuyến với bề mặt tại điểm tiếp xúc M° là mặt phẳng chứa tất cả các tiếp tuyến có thể có của các đường cong vẽ qua điểm này trên bề mặt.
Với dạng phương trình mặt F(x,y,z)=0 này, phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến tại điểm tiếp tuyến Mº(xº,yº,zº) sẽ có dạng như sau:
F x (x°,y°,z°)(x- xº)+ F x (x°, y°, z°)(y- yº)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0.
Nếu bạn chỉ định bề mặt ở dạng rõ ràng z=f (x,y), thì mặt phẳng tiếp tuyến sẽ được mô tả bằng phương trình:
z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).
Giao điểm của hai mặt phẳng
Trong hệ tọa độ (hình chữ nhật) có Oxyz, cho trước hai mặt phẳng П′ và П″ cắt nhau và không trùng nhau. Vì bất kỳ mặt phẳng nào nằm trong hệ tọa độ hình chữ nhật đều được xác định bởi một phương trình tổng quát, nên chúng ta sẽ giả sử rằng P′ và P″ được cho bởi các phương trình A′x+B′y+C′z+D′=0 và A″x +B″y+ С″z+D″=0. Trong trường hợp này, chúng ta có pháp tuyến n′ (A′,B′,C′) của mặt phẳng P′ và pháp tuyến n″ (A″,B″,C″) của mặt phẳng P″. Vì các mặt phẳng của chúng ta không song song và không trùng nhau nên các vectơ này không thẳng hàng. Sử dụng ngôn ngữ toán học, chúng ta có thể viết điều kiện này như sau: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Giả sử đường thẳng nằm tại giao điểm của P′ và P″ được ký hiệu là a, trong trường hợp này a = P′ ∩ P″.
a là đường thẳng gồm tập hợp tất cả các điểm thuộc các mặt phẳng (chung) P' và P'. Điều này có nghĩa là tọa độ của bất kỳ điểm nào thuộc đường thẳng a phải đồng thời thỏa mãn các phương trình A′x+B′y+C′z+D′=0 và A″x+B″y+C″z+D″=0 . Điều này có nghĩa là tọa độ của điểm sẽ là nghiệm một phần của hệ phương trình sau:
Kết quả là nghiệm (tổng quát) của hệ phương trình này sẽ xác định được tọa độ của từng điểm trên đường thẳng, đóng vai trò là giao điểm của P′ và P″, đồng thời xác định được đường thẳng a trong hệ tọa độ Oxyz (hình chữ nhật) trong không gian.