Một đặc tính khác của dao động điều hòa là pha dao động.
Như chúng ta đã biết, với một biên độ dao động nhất định, tại bất kỳ thời điểm nào chúng ta cũng có thể xác định được tọa độ của vật. Nó sẽ được xác định duy nhất bởi đối số của hàm lượng giác φ = ω0*t. Đại lượng φ, nằm dưới dấu của hàm lượng giác, gọi là pha dao động.
Đơn vị của pha là radian. Pha xác định duy nhất không chỉ tọa độ của vật thể tại bất kỳ thời điểm nào mà còn cả tốc độ hoặc gia tốc. Vì vậy, người ta tin rằng pha dao động quyết định trạng thái hệ thống dao động tại bất kỳ thời điểm nào.
Tất nhiên, với điều kiện biên độ dao động được xác định. Hai dao động có cùng tần số và chu kỳ dao động có thể khác nhau về pha.
- φ = ω0*t = 2*pi*t/T.
Nếu chúng ta biểu thị thời gian t bằng số chu kỳ đã trôi qua kể từ khi bắt đầu dao động, thì bất kỳ giá trị nào của thời gian t đều tương ứng với một giá trị pha được biểu thị bằng radian. Ví dụ: nếu chúng ta lấy thời gian t = T/4 thì giá trị này sẽ tương ứng với giá trị pha pi/2.
Do đó, chúng ta có thể vẽ biểu đồ sự phụ thuộc của tọa độ không phải theo thời gian mà theo pha, và chúng ta sẽ nhận được sự phụ thuộc chính xác như nhau. Hình dưới đây cho thấy một biểu đồ như vậy.
Pha dao động ban đầu
Khi mô tả tọa độ chuyển động dao động chúng ta đã sử dụng hàm sin và cosin. Đối với cosine, chúng tôi đã viết công thức sau:
- x = Xm*cos(ω0*t).
Nhưng chúng ta có thể mô tả quỹ đạo chuyển động tương tự bằng cách sử dụng hàm sin. Trong trường hợp này, chúng ta cần dịch đối số theo pi/2, tức là hiệu giữa sin và cosine là pi/2 hoặc một phần tư chu kỳ.
- x=Xm*sin(ω0*t+pi/2).
Giá trị pi/2 được gọi là pha ban đầu của dao động. Giai đoạn đầu dao động - vị trí cơ thể trong khoảnh khắc bắt đầu thời gian t = 0. Để làm cho con lắc dao động thì ta phải đưa nó ra khỏi vị trí cân bằng. Chúng ta có thể làm điều này theo hai cách:
- Đưa anh ta sang một bên và để anh ta đi.
- Đánh nó.
Trong trường hợp đầu tiên, chúng ta thay đổi ngay tọa độ của vật thể, tức là tại thời điểm ban đầu tọa độ sẽ bằng giá trị biên độ. Để mô tả một dao động như vậy, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng hàm cosine và dạng
- x = Xm*cos(ω0*t),
hoặc công thức
- x = Xm*sin(ω0*t+&phi),
trong đó φ là pha dao động đầu tiên.
Nếu chúng ta va vào vật thể, thì tại thời điểm ban đầu tọa độ của nó bằng 0 và trong trường hợp này sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng dạng:
- x = Xm*sin(ω0*t).
Hai dao động chỉ khác nhau về pha ban đầu gọi là dao động lệch pha.
Ví dụ: đối với các dao động được mô tả bằng các công thức sau:
- x = Xm*sin(ω0*t),
- x = Xm*sin(ω0*t+pi/2),
độ lệch pha là pi/2.
Sự dịch pha đôi khi còn được gọi là độ lệch pha.
>> Pha dao động
§ 23 GIAI ĐOẠN Dao động
Chúng ta hãy giới thiệu một đại lượng khác đặc trưng cho dao động điều hòa - pha của dao động.
Đối với một biên độ dao động nhất định, tọa độ của vật dao động tại bất kỳ thời điểm nào được xác định duy nhất bởi đối số cosin hoặc sin:
Đại lượng dưới dấu của hàm cosin hoặc hàm sin được gọi là pha dao động được mô tả bởi hàm này. Pha được biểu thị bằng đơn vị góc là radian.
Pha xác định không chỉ giá trị của tọa độ mà còn cả giá trị của các đại lượng vật lý, ví dụ: tốc độ và gia tốc, cũng thay đổi theo định luật điều hòa. Do đó, chúng ta có thể nói rằng pha xác định, với một biên độ cho trước, trạng thái của hệ dao động tại bất kỳ thời điểm nào. Đây là ý nghĩa của khái niệm pha.
Những dao động có cùng biên độ, tần số có thể khác nhau về pha.
Tỷ lệ này cho biết số chu kỳ đã trôi qua kể từ khi bắt đầu dao động. Bất kỳ giá trị thời gian t nào, được biểu thị bằng số chu kỳ T, đều tương ứng với giá trị pha được biểu thị bằng radian. Vậy sau thời gian t = (một phần tư chu kỳ), sau nửa chu kỳ =, sau cả chu kỳ = 2, v.v.
Bạn có thể mô tả trên đồ thị sự phụ thuộc tọa độ của một điểm dao động không theo thời gian mà theo pha. Hình 3.7 biểu diễn sóng cosin tương tự như trong Hình 3.6 nhưng trên trục hoành thay vì theo thời gian ý nghĩa khác nhau giai đoạn
Biểu diễn dao động điều hòa bằng cosin và sin. Bạn đã biết rằng trong quá trình dao động điều hòa, tọa độ của vật thay đổi theo thời gian theo định luật cosin hoặc sin. Sau khi giới thiệu khái niệm pha, chúng ta sẽ đi sâu vào vấn đề này chi tiết hơn.
Sin khác với cosin bằng cách dịch chuyển đối số theo , tương ứng, như có thể thấy từ phương trình (3.21), sang khoảng thời gian bằng một phần tư khoảng thời gian:
Nhưng trong trường hợp này, pha ban đầu, tức là giá trị pha tại thời điểm t = 0, không bằng 0, mà là .
Thông thường, chúng ta kích thích dao động của một vật gắn vào một lò xo, hoặc dao động của một con lắc, bằng cách đưa vật thể con lắc ra khỏi vị trí cân bằng rồi thả nó ra. Độ dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng có giá trị lớn nhất tại thời điểm ban đầu. Do đó, để mô tả các dao động, sử dụng công thức (3.14) sử dụng cosin sẽ thuận tiện hơn so với công thức (3.23) sử dụng sin.
Nhưng nếu chúng ta kích thích dao động của một vật đang đứng yên bằng một lực đẩy ngắn hạn thì tọa độ của vật tại thời điểm ban đầu sẽ bằng 0 và sẽ thuận tiện hơn khi mô tả sự thay đổi tọa độ theo thời gian bằng cách sử dụng hàm sin , tức là theo công thức
x = x m sint (3.24)
vì trong trường hợp này pha ban đầu bằng không.
Nếu tại thời điểm ban đầu (tại t = 0) pha dao động bằng , thì phương trình dao động có thể viết dưới dạng
x = x m sin(t + )
Chuyển pha. Các dao động được mô tả bằng công thức (3.23) và (3.24) chỉ khác nhau về pha. Độ lệch pha, hay như người ta thường nói, độ lệch pha của các dao động này là . Hình 3.8 biểu diễn đồ thị tọa độ theo thời gian dao động lệch pha . Đồ thị 1 tương ứng với các dao động xảy ra theo định luật hình sin: x = x m sin t và đồ thị 2 tương ứng với các dao động xảy ra theo định luật cosine:
Để xác định độ lệch pha giữa hai dao động, trong cả hai trường hợp đại lượng dao động phải được biểu diễn thông qua cùng một biểu thức hàm lượng giác- cosin hoặc sin.
1. Những dao động nào gọi là dao động điều hòa?
2. Gia tốc và tọa độ liên hệ với nhau như thế nào trong quá trình dao động điều hòa!
3. Tần số dao động tuần hoàn và chu kì dao động có liên hệ với nhau như thế nào?
4. Tại sao tần số dao động của một vật gắn vào lò xo lại phụ thuộc vào khối lượng của nó, còn tần số dao động con lắc toán học không phụ thuộc vào khối lượng!
5. Biên độ và chu kỳ của ba dao động điều hòa khác nhau có đồ thị như hình 3.8, 3.9!
Các quá trình dao động - yếu tố quan trọng khoa học hiện đại và công nghệ nên nghiên cứu của họ luôn được quan tâm như một trong những vấn đề “vĩnh cửu”. Nhiệm vụ của bất kỳ kiến thức nào không đơn giản là sự tò mò mà là việc sử dụng nó trong cuộc sống hàng ngày. Và đó là lý do tại sao những cái mới tồn tại và xuất hiện hàng ngày. hệ thống kỹ thuật và cơ chế. Chúng đang chuyển động, thể hiện bản chất của mình bằng cách thực hiện một số loại công việc, hoặc bất động, giữ lại tiềm năng, trong những điều kiện nhất định, để chuyển sang trạng thái chuyển động. Chuyển động là gì? Không đi sâu vào vấn đề cỏ dại, chúng ta hãy chấp nhận cách giải thích đơn giản nhất: thay đổi vị trí cơ thể vật chất liên quan đến bất kỳ hệ tọa độ nào, thường được coi là cố định.
Giữa số lượng khổng lồ những lựa chọn khả thi sự chuyển động mối quan tâm đặc biệtđại diện cho một hệ thống dao động, khác ở chỗ hệ thống lặp lại sự thay đổi tọa độ (hoặc đại lượng vật lý) của nó trong các khoảng - chu kỳ nhất định. Những dao động như vậy được gọi là tuần hoàn hoặc tuần hoàn. Trong số đó có một lớp riêng biệt ai có tính năng đặc trưng(tốc độ, gia tốc, vị trí trong không gian, v.v.) thay đổi theo thời gian theo định luật điều hòa, tức là. có hình sin. Tài sản đáng chú ý rung động hài hòa là sự kết hợp của chúng đại diện cho bất kỳ lựa chọn nào khác, bao gồm cả. và không hài hòa. Rất khái niệm quan trọng trong vật lý là “pha dao động”, có nghĩa là cố định vị trí của một vật dao động tại một thời điểm nào đó. Pha được đo bằng đơn vị góc - radian, khá thông thường, đơn giản là một kỹ thuật thuận tiện để giải thích các quá trình tuần hoàn. Nói cách khác, pha xác định giá trị trạng thái hiện tại hệ thống dao động. Không thể khác - xét cho cùng, pha dao động là một đối số của hàm mô tả các dao động này. Giá trị pha thực của chuyển động dao động có thể có nghĩa là tọa độ, tốc độ và các giá trị khác thông số vật lý, thay đổi theo quy luật điều hòa nhưng điểm chung của chúng là sự phụ thuộc vào thời gian.
Việc thể hiện dao động không hề khó - để làm được điều này, bạn sẽ cần cách đơn giản nhất hệ thống cơ khí- một sợi dây có chiều dài r và được treo trên đó “ điểm vật chất" - cân nặng. Buộc chặt sợi chỉ ở giữa hệ thống hình chữ nhật tọa độ và làm cho “con lắc” của chúng ta quay. Chúng ta hãy giả sử rằng anh ấy sẵn lòng làm điều này với vận tốc góc w. Khi đó trong thời gian t góc quay của tải sẽ là φ = wt. Ngoài ra, biểu thức này phải tính đến pha dao động ban đầu ở dạng góc φ0 - vị trí của hệ trước khi bắt đầu chuyển động. Vì thế, góc đầy đủ góc quay, pha, được tính từ hệ thức φ = wt+ φ0. Khi đó biểu thức cho hàm điều hòa, và đây là hình chiếu tọa độ của tải trọng lên trục X, ta có thể viết:
x = A * cos(wt + φ0), trong đó A là biên độ dao động, trong trường hợp của chúng ta bằng r - bán kính của sợi dây.
Tương tự, phép chiếu tương tự trên trục Y sẽ được viết như sau:
y = A * sin(wt + φ0).
Cần hiểu rằng pha dao động có nghĩa là trong trường hợp này không phải là thước đo góc quay, mà là thước đo góc của thời gian, biểu thị thời gian theo đơn vị góc. Trong thời gian này, tải quay theo một góc nhất định, góc này có thể được xác định duy nhất dựa trên thực tế là đối với dao động tuần hoàn w = 2 * π /T, trong đó T là chu kỳ dao động. Do đó, nếu một chu kỳ tương ứng với một phép quay 2π radian, thì một phần của chu kỳ, thời gian, có thể được biểu thị theo tỷ lệ bằng một góc dưới dạng một phần của tổng số phép quay 2π.
Rung động không tự tồn tại - âm thanh, ánh sáng, rung động luôn là sự chồng chất, sự áp đặt, số lượng lớn biến động từ nguồn khác nhau. Tất nhiên, kết quả của sự chồng chất của hai hoặc nhiều dao động bị ảnh hưởng bởi các tham số của chúng, bao gồm cả. và pha dao động. Công thức tính dao động toàn phần, thường là không điều hòa, có thể có một giá trị rất cái nhìn phức tạp, nhưng điều này chỉ làm cho nó thú vị hơn. Như đã nêu ở trên, mọi dao động không điều hòa đều có thể được biểu diễn dưới dạng số lượng lớn sóng hài có biên độ, tần số và pha khác nhau. Trong toán học, phép toán này được gọi là “mở rộng chuỗi hàm” và được sử dụng rộng rãi trong các phép tính, chẳng hạn như độ bền của các cấu trúc và kết cấu. Cơ sở của những tính toán như vậy là nghiên cứu các dao động điều hòa, có tính đến tất cả các tham số, bao gồm cả pha.
Pha dao độngđầy đủ - đối số hàm tuần hoàn, mô tả một quá trình dao động hoặc sóng.
Pha dao động ban đầu - giá trị của pha dao động (tổng) tại thời điểm ban đầu, tức là Tại t= 0 (đối với quá trình dao động), cũng như tại thời điểm ban đầu tại gốc của hệ tọa độ, tức là Tại t= 0 tại điểm ( x, y, z) = 0 (đối với quá trình sóng).
Pha dao động(trong kỹ thuật điện) - đối số của hàm hình sin (điện áp, dòng điện), được tính từ điểm mà giá trị đi qua 0 đến giá trị dương.
Pha dao động- dao động điều hòa ( φ ) .
Kích cỡ φ, đứng dưới dấu của hàm cosin hoặc hàm sin được gọi là pha dao độngđược mô tả bởi chức năng này.
φ = ω៰ t
Theo quy luật, pha được nói đến liên quan đến dao động điều hòa hoặc sóng đơn sắc. Khi mô tả một đại lượng trải nghiệm dao động điều hòa, ví dụ: một trong các biểu thức được sử dụng:
A cos (ω t + φ 0) (\displaystyle A\cos(\omega t+\varphi _(0))), Một tội lỗi (ω t + φ 0) (\displaystyle A\sin(\omega t+\varphi _(0))), A e i (ω t + φ 0) (\displaystyle Ae^(i(\omega t+\varphi _(0)))).Tương tự, khi mô tả sóng truyền trong không gian một chiều, chẳng hạn, các biểu thức có dạng được sử dụng:
A cos (k x − ω t + φ 0) (\displaystyle A\cos(kx-\omega t+\varphi _(0))), Một tội lỗi (k x − ω t + φ 0) (\displaystyle A\sin(kx-\omega t+\varphi _(0))), A e i (k x − ω t + φ 0) (\displaystyle Ae^(i(kx-\omega t+\varphi _(0)))),đối với sóng trong không gian có chiều bất kỳ (ví dụ: trong không gian ba chiều):
A cos (k ⋅ r − ω t + φ 0) (\displaystyle A\cos(\mathbf (k) \cdot \mathbf (r) -\omega t+\varphi _(0))), Một tội lỗi (k ⋅ r − ω t + φ 0) (\displaystyle A\sin(\mathbf (k) \cdot \mathbf (r) -\omega t+\varphi _(0))), A e i (k ⋅ r − ω t + φ 0) (\displaystyle Ae^(i(\mathbf (k) \cdot \mathbf (r) -\omega t+\varphi _(0)))).Pha dao động (tổng) trong các biểu thức này là lý lẽ chức năng, tức là biểu thức viết trong ngoặc đơn; pha dao động ban đầu - giá trị φ 0, là một trong những số hạng của pha tổng. Nói đến giai đoạn đầy đủ, từ đầy thường bị bỏ qua.
Những dao động có cùng biên độ, tần số có thể khác nhau về pha. Bởi vì ω៰ =2π/T, Cái đó φ = ω៰t = 2π t/T.
Thái độ t/t cho biết bao nhiêu chu kỳ đã trôi qua kể từ khi bắt đầu dao động. Bất kỳ giá trị thời gian t , thể hiện bằng số kỳ T , tương ứng với giá trị pha φ , được biểu thị bằng radian. Vì vậy, khi thời gian trôi qua t=T/4 (kỳ quý) φ=π/2, sau nửa thời gian φ =π/2, sau cả một khoảng thời gian φ=2 π vân vân.
Bởi vì chức năng tội lỗi(...) và cos(...) trùng với nhau khi đối số (tức là pha) được dịch chuyển bởi π / 2 , (\displaystyle \pi /2,) khi đó, để tránh nhầm lẫn, tốt hơn là chỉ sử dụng một trong hai hàm này để xác định pha chứ không nên sử dụng cả hai cùng một lúc. Theo quy ước thông thường, một giai đoạn được coi là đối số là cosine, không phải sin.
Nghĩa là, đối với quá trình dao động (xem ở trên) pha (đầy đủ)
φ = ω t + φ 0 (\displaystyle \varphi =\omega t+\varphi _(0)),đối với sóng trong không gian một chiều
φ = k x − ω t + φ 0 (\displaystyle \varphi =kx-\omega t+\varphi _(0)),đối với sóng trong không gian ba chiều hoặc không gian của bất kỳ chiều nào khác:
φ = k r − ω t + φ 0 (\displaystyle \varphi =\mathbf (k) \mathbf (r) -\omega t+\varphi _(0)),Ở đâu ω (\displaystyle \omega )- tần số góc (một giá trị cho biết pha sẽ thay đổi bao nhiêu radian hoặc độ trong 1 giây; giá trị càng cao thì pha càng tăng nhanh theo thời gian); t- thời gian ; φ 0 (\displaystyle \varphi _(0))- pha ban đầu (nghĩa là pha ở t = 0); k- số sóng; x- tọa độ điểm quan sát của quá trình sóng trong không gian một chiều; k- vectơ sóng; r- vectơ bán kính của một điểm trong không gian (một tập hợp tọa độ, ví dụ: Descartes).
Trong các biểu thức trên, pha có thứ nguyên là đơn vị góc (radian, độ). Pha của quá trình dao động, tương tự như quá trình quay cơ học, cũng được biểu thị bằng chu kỳ, nghĩa là các phân số của chu kỳ của quá trình lặp lại:
1 chu kỳ = 2 π (\displaystyle \pi ) radian = 360 độ.
TRONG biểu thức phân tích(trong các công thức) cách biểu diễn pha theo radian được sử dụng chủ yếu (và theo mặc định); cách biểu diễn theo độ cũng được tìm thấy khá thường xuyên (rõ ràng là cực kỳ rõ ràng và không dẫn đến nhầm lẫn, vì dấu độ thường không bao giờ bị bỏ qua trong bất kỳ công thức nào). lời nói bằng miệng, cũng không có trong hồ sơ). Việc chỉ ra giai đoạn theo chu kỳ hoặc thời kỳ (ngoại trừ các công thức bằng lời nói) là tương đối hiếm trong công nghệ.
Đôi khi (trong phép tính gần đúng cổ điển, trong đó sóng gần như đơn sắc được sử dụng, tức là gần với sóng đơn sắc, nhưng không hoàn toàn đơn sắc), cũng như trong chủ nghĩa hình thức tích phân đường đi, trong đó sóng có thể khác xa với sóng đơn sắc, mặc dù vẫn tương tự như sóng đơn sắc. ) pha được xem xét, là hàm phi tuyến của thời gian t Và tọa độ không gian r, về nguyên tắc - hàm tùy ý.
Nhưng bởi vì các vòng quay được dịch chuyển trong không gian, khi đó EMF gây ra trong chúng sẽ không đạt được biên độ và giá trị 0 cùng một lúc.
Tại thời điểm đầu tiên, EMF của lượt sẽ là:
Trong các biểu thức này, các góc được gọi là giai đoạn , hoặc giai đoạn . Các góc được gọi là giai đoạn đầu . Góc pha xác định giá trị của emf bất cứ lúc nào và pha ban đầu xác định giá trị của emf tại thời điểm ban đầu.
Độ lệch pha ban đầu của hai đại lượng hình sin có cùng tần số và biên độ được gọi là góc pha
Chia góc pha cho tần số góc, chúng ta thu được thời gian trôi qua kể từ đầu chu kỳ:
Biểu diễn đồ họa của đại lượng hình sin
U = (U 2 a + (U L - U c) 2)
Như vậy, do có góc pha nên điện áp U luôn nhỏ hơn tổng đại số U a + U L + U C . Hiệu U L - U C = U p được gọi là thành phần điện áp phản kháng.
Hãy xem xét sự thay đổi của dòng điện và điện áp trong mạch nối tiếp AC.
Trở kháng và góc pha. Nếu thay các giá trị U a = IR vào công thức (71); U L = lL và U C =I/(C) thì ta sẽ có: U = ((IR) 2 + 2), từ đó ta thu được công thức định luật Ohm cho mạch điện xoay chiều nối tiếp:
I = U / ((R 2 + 2)) = U / Z (72)
Ở đâu Z = (R 2 + 2) = (R 2 + (X L - X c) 2)
Giá trị Z được gọi trở kháng mạch, nó được đo bằng ohm. Hiệu L - l/(C) được gọi là phản ứng mạch và được ký hiệu là chữ X. Do đó, tổng điện trở của mạch
Z = (R 2 + X 2)
Mối quan hệ giữa công suất tác dụng, công suất phản kháng và trở kháng của mạch điện xoay chiều cũng có thể thu được bằng cách sử dụng định lý Pythagore từ tam giác điện trở (Hình 193). Tam giác điện trở A'B'C' có thể thu được từ tam giác điện áp ABC (xem hình 192,b) nếu chúng ta chia tất cả các cạnh của nó cho dòng điện I.
Góc dịch pha được xác định bởi mối quan hệ giữa các điện trở riêng lẻ có trong mạch này. Từ tam giác A’B’C (xem hình 193) ta có:
tội lỗi? =X/Z; vì sao? = R/Z; tg? = X/R
Ví dụ, nếu sức đề kháng tích cực R lớn hơn đáng kể so với điện kháng X, góc tương đối nhỏ. Nếu có một điện kháng cảm ứng hoặc điện dung lớn trong mạch thì góc dịch pha sẽ tăng và đạt tới 90°. Đồng thời, nếu điện kháng cảm ứng lớn hơn điện kháng điện dung thì điện áp và dòng điện i dẫn trước một góc; nếu điện kháng điện dung lớn hơn điện kháng cảm ứng thì điện áp chậm hơn dòng điện i một góc.
Một cuộn cảm lý tưởng, một cuộn dây thực và một tụ điện trong mạch điện xoay chiều.
Một cuộn dây thực, không giống như cuộn dây lý tưởng, không chỉ có độ tự cảm mà còn có điện trở chủ động, do đó, khi dòng điện xoay chiều chạy trong nó, nó không chỉ đi kèm với sự thay đổi năng lượng trong từ trường mà còn kèm theo sự biến đổi năng lượng điện sang một dạng khác. Cụ thể, trong cuộn dây, năng lượng điện được chuyển hóa thành nhiệt năng theo định luật Lenz-Joule.
Trước đây người ta phát hiện ra rằng trong mạch điện xoay chiều, quá trình chuyển đổi năng lượng điện sang dạng khác được đặc trưng bởi công suất tác dụng của mạch P , và độ biến thiên năng lượng trong từ trường là công suất phản kháng Q .
Trong một cuộn dây thực, cả hai quá trình đều diễn ra, tức là công suất tác dụng và công suất phản kháng của nó khác 0. Vì vậy, một cuộn dây thực trong mạch tương đương phải được biểu diễn bằng các phần tử tác dụng và phản kháng.