Об'єм трикутної приз. Обсяг призми

Обсяг призми. Вирішення задач

Геометрія є наймогутнішим засобом для витончення наших розумових здібностей і дає можливість правильно мислити і міркувати.

Г.Галілей

Мета уроку:

  • навчити вирішення завдань на обчислення обсягу призм, узагальнити та систематизувати наявні у учнів відомості про призм та її елементи, формувати вміння вирішувати завдання підвищеної складності;
  • розвивати логічне мислення, вміння самостійно працювати, навички взаємоконтролю та самоконтролю, вміння говорити та слухати;
  • виробити звичку до постійної зайнятості, якоюсь корисною справою, виховання чуйності, працьовитості, акуратності.

Тип уроку: урок застосування знань, умінь та навичок.

Обладнання: картки контролю, медіапроектор, презентація “Урок. Об'єм Призми”, комп'ютери.

Хід уроку

  • Бічні ребра призми (рис. 2).
  • Бічна поверхняпризми (рис 2, рис 5).
  • Висоту призми (рис 3, рис 4).
  • Пряму призму (рис 2,3,4).
  • Похилий призму(Рис 5).
  • Правильна призму (рис 2, рис 3).
  • Діагональний перерізпризми (рис 2).
  • Діагональ призми (рис. 2).
  • Перпендикулярний переріз призми (рі3, рис4).
  • Площа бічній поверхні призми.
  • Площі повної поверхні призми.
  • Обсяг призми.

    1. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ (8 хв)

      2. Обміняйтесь зошитами, перевірте рішення на слайдах і виставте позначку (позначка 10 якщо складено завдання)

      Складіть завдання задачі і розв'яжіть її. Учень захищає складене завдання дошки. Рис 6 та рис 7.

      Глава 2, §3
      Завдання.2. Довжина всіх ребер правильної трикутної призми дорівнює між собою. Обчисліть об'єм призми, якщо площа поверхні дорівнює cм 2 (рис8)

      Глава 2, §3
      Завдання 5. Основа прямої призми АВСА 1В 1С1 є прямокутний трикутник АВС (кут АВС = 90 °), АВ = 4см. Обчисліть обсяг призми, якщо радіус кола, описаного навколо трикутника АВС, дорівнює 2,5см, а висота призми дорівнює 10см. (Рис 9).

      Глава2, §3
      Завдання 29.Довжина сторони підстави правильної чотирикутної призми дорівнює 3см. Діагональ призми утворює з площиною бічної грані кут 30 °. Обчислити обсяг призми (рис. 10).

    2. Спільна роботавчителі з класом (2-3хв.).

      3. Мета: підбиття підсумків теоретичної розминки (учні проставляють оцінки один одному), вивчення способів вирішення завдань на тему.

    3. Фізкультхвилинка (3 хв)
    4. РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ (10 хв)

      5. на даному етапівчитель організує фронтальну роботу з повторення способів розв'язання планиметричних завдань, формул планіметрії.

      Клас ділиться на дві групи, одні вирішують завдання, інші працюють за комп'ютером. Потім змінюються.

      Учням пропонується вирішити всім №8 (усно), №9 (усно). Після поділяються на групи і починають вирішувати задачі № 14, № 30, № 32.

      Розділ 2, §3, сторінка 66-67
      Завдання 8. Усі ребра правильної трикутної призми рівні між собою. Знайдіть об'єм призми, якщо площа перерізу площиною, що проходить через ребро нижньої основи та середину сторони верхньої основи, дорівнює см (рис.11). Розділ 2, §3, сторінка 66-67Завдання 9. основа прямої призми – квадрат, та її бічні ребра вдвічі більше боку основания. Обчисліть об'єм призми, якщо радіус кола, описаного біля перерізу призми площиною, що проходить через бік основи та середину протилежного

      Розділ 2, §3, сторінка 66-67
      бокового ребра, дорівнює див. (рис.12) Завдання 14.Підстава прямої призми - ромб, одна з діагоналей якого дорівнює його стороні. Обчисліть периметр перерізу площиною, що проходить черезвелику діагональ

      Розділ 2, §3, сторінка 66-67
      нижньої основи, якщо обсяг призми дорівнює і всебічні грані

      Розділ 2, §3, сторінка 66-67
      квадрати (рис.13).Завдання 30

      .АВСА 1 В 1 З 1 –правильна трикутна призма, всі ребра якої рівні між собою, точка про середину ребра ВВ 1 . Обчисліть радіус кола, вписаного в переріз призми площиною АОС, якщо обсяг призми дорівнює (рис.14). Завдання 32.У правильній чотирьох вугільній призмі сума площ основ дорівнює площі бічної поверхні. Обчисліть об'єм призми, якщо діаметр кола, описаного біля перерізу призми площиною, що проходить через дві вершини нижньої основи та протилежну вершину верхньої основи, дорівнює 6 см (рис15).

    5. У ході вирішення завдань учні зіставляють свої відповіді з тими, що показує вчитель. Це зразок вирішення задачі з докладними коментарями.Індивідуальна робота

      6. вчителі з "сильними" учнями (10хв.).

      1) 152) 45 3) 104) 125) 18

      Самостійна робота

      учнів над тестом за комп'ютером

      1. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює , а висота-5. Знайдіть обсяг призми.

      2. Виберіть правильне затвердження. 1) Обсяг прямої призми, основою якої є прямокутний трикутник, дорівнює добутку площі основи на висоту. 2) Об'єм правильної трикутної призми обчислюється за формулою V = 0,25а 2 h -де а - сторона основи, h-висота призми.

      4) Обсяг правильної чотирикутної призми обчислюється за формулою V=a 2 h-де а-сторона основи,h-висота призми.

      5) Обсяг правильної шестикутної призмиобчислюється за формулою V=1.5а 2 h, де а-бік підстави,h-висота призми.

      3.Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює. Через бік нижньої основи тапротилежну вершину

      1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

      верхньої основи проведено площину, яка проходить під кутом 45° до основи. Знайдіть обсяг призми.

4. Підставою прямої призми є ромб, сторона якого дорівнює 13 а одна з діагоналей-24. Знайдіть обсяг призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 14.Нехай потрібно знайти об'єм прямої трикутної призми, площа основи якої дорівнює S, а висота дорівнює

h = AA' = BB' = CC' (рис. 306).Накреслимо окремо підставу призми, тобто трикутник АВС (рис. 307 а), і добудуємо його до прямокутника, для чого через вершину В проведемо пряму КМ || АС та з точок A та С опустимо на цю пряму перпендикуляри АF та РЄ. Отримаємо прямокутник АСЕF. Провівши висоту ВD трикутника АВС, побачимо, що прямокутник АСЕF розбився на 4 прямокутний трикутник. Причому \(\Delta\)ВСЕ = \(\Delta\)BCD і \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Значить, площа прямокутника АСЕF вдвічі

більше площі Знайдіть обсяг призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 14.трикутника АВС, тобто дорівнює 2S.

До цієї призми з основою АВС прибудуємо призми з основами ВСЕ і ВАF і висотою

(Рис. 307, б). Отримаємо прямокутний паралелепіпед з основою АСЕF.

Якщо цей паралелепіпед розсічемо площиною, що проходить через прямі BD і BB', то побачимо, що прямокутний паралелепіпед складається з 4 призм з основами BCD, ВСІ, BAD і BAF. Призми з основами BCD і ВСІ можуть бути поєднані, так як основи їх рівні (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BСЕ) і також рівні їх бічні ребра, що є перпендикулярами до однієї площини. Отже, обсяги цих призм є рівними. Також рівні обсяги призм із підставами BAD і BAF.Таким чином, виявляється, що обсяг цієї трикутної призми з основою АВС вдвічі менший за обсяг

прямокутного паралелепіпеда з основою АСЕF.Нам відомо, що обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює творуплощі його основи на висоту, тобто в Знайдіть обсяг призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 14.даному випадку Знайдіть обсяг призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 14..

дорівнює 2S

. Звідси обсяг цієї прямої трикутної призми дорівнює S

Обсяг прямої трикутної призми дорівнює добутку площі її основи на висоту. Знайдіть обсяг призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 14. 2. Обсяг прямої багатокутної призми.

Позначивши площі основи трикутних призм через S 1 , S 2 і S 3 а обсяг даної багатокутної призми через V, отримаємо:

V = S 1 Знайдіть обсяг призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 14.+ S 2 Знайдіть обсяг призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 14.+ S 3 Знайдіть обсяг призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 14., або

V = (S 1 + S 2 + S 3) Знайдіть обсяг призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 14..

І остаточно: V = S Знайдіть обсяг призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 14..

Таким же шляхом виводиться формула обсягу прямої призми, що має в основі будь-який багатокутник.

Значить, Обсяг будь-якої прямої призми дорівнює добутку площі її підстави на висоту.

Обсяг призми

Теорема. Обсяг призми дорівнює добутку площі основи висоту.

Спочатку доведемо цю теорему для трикутної призми, та був і багатокутної.

1) Проведемо (чорт. 95) через ребро AA 1 трикутної призми АВСА 1 В 1 С 1 площину, паралельну грані ВР 1 С 1 С, а через ребро СС 1 - площину, паралельну грані AA 1 B 1 B; потім продовжимо площини обох підстав призми до перетину з проведеними площинами.

Тоді ми отримаємо паралелепіпед BD 1 , який діагональною площиною АА 1 С 1 С ділиться на дві трикутні призми (з них одна є дана). Доведемо, що ці призми є рівновеликими. Для цього проведемо перпендикулярний переріз abcd. У перетині вийде паралелограм, який діагоналлю асділиться на два рівних трикутника. Ця призма рівновелика такій прямій призмі, яка має основу \(\Delta\) аbcа висота - ребро АА 1 . Інша трикутна призма рівновелика такої прямої, у якої основа є (Delta) аdса висота - ребро АА 1 . Але дві прямі призми з рівними підставамиі рівними висотамирівні (бо при вкладенні вони поєднуються), отже, призми АВСА 1 В 1 С 1 і ADCA 1 D 1 C 1 рівновеликі. З цього випливає, що обсяг цієї призми становить половину обсягу паралелепіпеда BD 1 ; тому, позначивши висоту призми через H, отримаємо:

$$ V_(\Delta ін.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Проведемо через ребро АА 1 багатокутної призми (рис. 96) діагональні площини АА 1 З 1 З і AA 1 D 1 D.

Тоді ця призма розрахується на кілька трикутних призм. Сума обсягів цих призм складає об'єм, що шукається. Якщо позначимо площі їх підстав через b 1 , b 2 , b 3 а загальну висоту через Н, то отримаємо:

обсяг багатокутної призми = b 1 H + b 2 H + b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (площі ABCDE) H.

Слідство.

Якщо V, В і Н будуть числа, що виражають у відповідних одиницях об'єм, площу основи та висоту призми, то, за доведеним, можна написати:

У фізиці трикутна призма, зроблена зі скла, часто використовується для вивчення спектру білого світла, оскільки вона здатна розкладати його на окремі складові. У цій статті розглянемо формулу обсягу

Що таке трикутна призма?

Перед тим, як наводити формулу об'єму, розглянемо властивості цієї фігури.

Щоб отримати цей, необхідно взяти трикутник довільної форми і паралельно самому собі перенести його на деяку відстань. Вершини трикутника у початковому та кінцевому положенні слід з'єднати прямими відрізками. Отримана об'ємна фігураназивається трикутною призмою. Вона складається із п'яти сторін. Дві з них називаються основами: вони паралельні та рівні один одному. Підставами аналізованої призми є трикутники. Три сторони, що залишилися, - це паралелограми.

Крім сторін, призма, що розглядається, характеризується шістьма вершинами (по три для кожної основи) і дев'ятьма ребрами (6 ребер лежать у площинах основ і 3 ребра утворені перетином бічних сторін). Якщо бічні ребра перпендикулярні до основ, то така призма називається прямокутною.

Відмінність трикутної призми від решти фігур цього класу полягає в тому, що вона завжди є опуклою (чотирьох-, п'яти-, ..., n-вугільні призмиможуть бути увігнутими).

Це прямокутна фігура, в основі якої лежить рівносторонній трикутник.

Об'єм трикутної призми загального типу

Як знайти обсяг трикутної призми? Формула в загальному виглядіаналогічна такою для призми будь-якого виду. Вона має такий математичний запис:

Тут h – це висота фігури, тобто відстань між її основами, S o – площа трикутника.

Величину S o можна знайти, якщо відомі деякі параметри для трикутника, наприклад, одна його сторона і два кути або дві сторони і один кут. Площа трикутника дорівнює половині добутку його висоти на довжину сторони, яку опущена ця висота.

Що стосується висоти h фігури, то її найпростіше знайти для прямокутної призми. У останньому випадку h збігається із довжиною бічного ребра.

Об'єм правильної трикутної призми

Загальну формулуобсягу трикутної призми, яка наведена у попередньому розділі статті, можна використовувати для обчислення відповідної величини для правильної трикутної призми. Оскільки у її основі лежить рівносторонній трикутник, його площа дорівнює:

Цю формулу може отримати кожен, якщо згадає, що в рівносторонньому трикутнику всі кути дорівнюють один одному і становлять 60 o . Тут символ a – це довжина сторони трикутника.

Висота h є довжиною ребра. Вона ніяк не пов'язана з підставою правильної призми та може приймати довільні значення. У результаті формула обсягу трикутної призми правильного виглядувиглядає так:

Обчисливши корінь, можна переписати цю формулу так:

Таким чином, щоб знайти обсяг правильної призми з трикутною основою, необхідно звести у квадрат бік основи, помножити цю величину на висоту та отримане значення помножити на 0,433.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачіЄДІ з математики на 60-65 балів. Цілком всі завдання 1-13 Профільного ЄДІз математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Вся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завданнята теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, розбір всіх типів завдань ЄДІ Стереометрія. Хитрі прийоми рішення, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Різні призми не схожі один на одного. У той же час вони мають багато спільного. Щоб знайти площу підстави призми, потрібно розібратися в тому, який вигляд має.

Загальна теорія

Призмою є будь-який багатогранник, бічні сторониякого мають вигляд паралелограма. При цьому в її підставі може бути будь-який багатогранник - від трикутника до n-кутника. Причому підстави призми завжди дорівнюють один одному. Що не стосується бічних граней - вони можуть істотно відрізнятися за розмірами.

При вирішенні завдань зустрічається не тільки площа підстави призми. Може знадобитися знання бічної поверхні, тобто всіх граней, які не є підставами. Повною поверхнеювже буде об'єднання всіх граней, що становлять призму.

Іноді у завданнях фігурує висота. Вона є перпендикуляром до основ. Діагоналлю багатогранника є відрізок, який попарно з'єднує дві будь-які вершини, що не належать одній грані.

Слід зазначити, що площа основи прямої призми або похилої не залежить від кута між ними та бічними гранями. Якщо у них однакові фігуриу верхній та нижній гранях, то їх площі будуть рівними.

Трикутна призма

Вона має в основі фігуру, що має три вершини, тобто трикутник. Він, як відомо, буває різним. Якщо досить згадати, що його площа визначається половиною твору катетів.

Математичний запис виглядає так: S = ½ ав.

Щоб дізнатися площу основи у загальному вигляді, стануть у нагоді формули: Герона і та, в якій береться половина сторони на висоту, проведену до неї.

Перша формула має бути записана так: S = √(р(р-а)(р-в)(р-с)). У цьому записі є напівпериметр (р), тобто сума трьох сторін, розділена на дві.

Друга: S = ½ н а * а.

Якщо потрібно дізнатися площу основи трикутної призми, яка є правильною, трикутник виявляється рівностороннім. Для нього існує своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Чотирикутна призма

Її основою є будь-який із відомих чотирикутників. Це може бути прямокутник або квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожному разі для того, щоб обчислити площу підстави призми, буде потрібна своя формула.

Якщо основа — прямокутник, його площа визначається так: S = ав, де а, в — сторони прямокутника.

Коли мова йдепро чотирьох вугільної призмито площа основи правильної призми обчислюється за формулою для квадрата. Тому що саме він виявляється лежачим у основі. S = а2.

У разі коли основа — це паралелепіпед, знадобиться така рівність: S = а * н а. Буває таке, що дано сторону паралелепіпеда та один із кутів. Тоді для обчислення висоти потрібно скористатися додатковою формулою: н а = в * sin А. Причому кут А прилягає до сторони «в», а висота н а протилежна до цього куту.

Якщо підставі призми лежить ромб, то визначення його площі буде необхідна та сама формула, що у паралелограма (оскільки є його окремим випадком). Але можна скористатися і такою: S = ½ d 1 d 2 . Тут d 1 і d 2 – дві діагоналі ромба.

Правильна п'ятикутна призма

Цей випадок передбачає розбиття багатокутника на трикутники, площі яких простіше дізнатися. Хоча буває, що фігури можуть бути з іншою кількістю вершин.

Оскільки основа призми — правильний п'ятикутник, він може бути розділений на п'ять рівносторонніх трикутників. Тоді площа підстави призми дорівнює площі одного такого трикутника (формулу можна переглянути вище), помноженою на п'ять.

Правильна шестикутна призма

За принципом, описаним для п'ятикутної призми, вдається розбити шестикутник основи на 6 рівносторонніх трикутників. Формула площі підстави такої призми подібна до попередньої. Тільки у ній слід множити на шість.

Виглядатиме формула таким чином: S = 3/2 а 2 * √3.

Завдання

№ 1. Дана правильна пряма Її діагональ дорівнює 22 см, висота багатогранника - 14 см. Обчислити площу основи призми та всієї поверхні.

Рішення.Підставою призми є квадрат, але його сторона не відома. Знайти її значення можна з діагоналі квадрата (х), яка пов'язана з діагоналлю призми (d) та її висотою (н). х 2 = d 2 - н 2. З іншого боку, цей відрізок «х» є гіпотенузою в трикутнику, катети якого дорівнюють стороні квадрата. Тобто х2 = а2+а2. Отже виходить, що а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Підставити замість d число 22, а "н" замінити його значенням - 14, то виходить, що сторона квадрата дорівнює 12 см. Тепер просто дізнатися площу основи: 12 * 12 = 144 см 2 .

Щоб дізнатися площу всієї поверхні, потрібно скласти подвоєне значення площі основи та чотиристоронню бічну. Останню легко знайти за формулою для прямокутника: перемножити висоту багатогранника та бік основи. Тобто 14 і 12, це число дорівнюватиме 168 см 2 . Загальна площаповерхні призми виявляється 960 см 2 .

Відповідь.Площа основи призми дорівнює 144 см 2 . Всієї поверхні - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основі лежить трикутник зі стороною 6 см. При цьому діагональ бічної грані становить 10 см. Обчислити площі: основи та бічній поверхні.

Рішення.Оскільки призма правильна, її основою є рівносторонній трикутник. Тому його площа виявляється дорівнює 6 квадраті, помноженому на ¼ і на корінь квадратний з 3. Просте обчислення призводить до результату: 9√3 см 2 . Це площа однієї підстави призми.

Усі бічні грані однакові і є прямокутниками зі сторонами 6 і 10 см. Щоб обчислити їх площі, достатньо перемножити ці числа. Потім помножити їх на три, бо бічних граней призми саме стільки. Тоді площа бічної поверхні виявляється раною 180 см 2 .

Відповідь.Площа: підстави - 9√3 см 2 , бічної поверхні призми - 180 см 2 .