Позитивний п'ятикутник– це багатокутник, у якого всі п'ять сторін та всі п'ять кутів рівні між собою. Навколо нього легко описати коло. Звести п'ятикутникі допоможе саме це коло.
Інструкція
1. Насамперед потрібно звести циркулем коло. Центр кола нехай збігається з точкою O. Проведіть осі симетрії перпендикулярні одна одній. У точці перетину однієї з цих осей з колом поставте точку V. Ця точка буде вершиною майбутнього п'ятикутника. У точці перетину іншої осі з колом розташуйте точку D.
2. На відрізку OD виявіть середину і позначте в ній точку А. Після цього необхідно звести циркулем коло з центром в цій точці. Крім того, вона повинна проходити через точку V, тобто радіусом CV. Точку перетину осі симетрії та цього кола позначте за В.
3. Після цього за допомогою циркуляпроведіть коло такого ж радіусу, поставивши голку в точку V. Перетин цього кола з початковою позначте як точку F. Ця точка стане другою вершиною майбутнього вірного п'ятикутника.
4. Зараз необхідно провести таке ж коло через точку Е, але з центром у F. Перетин щойно проведеного кола з початковим позначте як точку G. Ця точка так само стане ще однією з вершин п'ятикутника. Аналогічно потрібно звести ще одне коло. Центр його в G. Точка перетину його з початковим колом нехай буде H. Це остання вершина правильного багатокутника.
5. У вас має вийти п'ять вершин. Залишається їх легко поєднати по лінійці. У результаті всіх цих операцій ви отримаєте вписаний в коло позитивний п'ятикутник .
Побудова позитивних п'ятикутниківможна за допомогою циркуля і лінійки. Щоправда, процес це досить довгий, як, однак, і побудова будь-якого позитивного багатокутника з непарною кількістю сторін. Сучасні комп'ютерні програми дозволяють зробити це за кілька секунд.
Вам знадобиться
- – комп'ютер із програмою AutoCAD.
Інструкція
1. Виявіть у програмі AutoCAD верхнє меню, а в ньому – вкладку «Основна». Натисніть на неї лівою кнопкою миші. З'явиться панель "Малювання". З'являться різні типи ліній. Виберіть замкнуту полілінію. Вона і є багатокутником, залишається тільки ввести параметри. AutoCAD. Дозволяє малювати різні правильні багатокутники. Число сторін може досягати 1024. Можна використовувати і командний рядок, залежно від версії набравши « _polygon» або «мн.-кут».
2. Незалежно від того, чи ви користуєтеся командним рядком або контекстними меню, на екрані у вас з'явиться віконце, в яке пропонується ввести число сторін. Введіть туди цифру "5" і натисніть клавішу Enter. Вам буде запропоновано визначити центр п'ятикутника. Вбийте в віконце координати, що з'явилося. Можна позначити їх як (0,0), але можуть бути і будь-які інші дані.
3. Виберіть необхідний спосіб побудови. . AutoCAD пропонує три варіанти. П'ятикутник може бути описаним навколо кола або вписаним у неї, але можна звести його і по заданому розміру сторони. Виберіть потрібний варіант і натисніть на введення. У разі потреби задайте радіус кола і натисніть enter.
4. П'ятикутник по заданій стороні спочатку будується так само. Виберіть «Малювання», замкнуту полілінію та введіть число сторін. Правою клавішею миші натисніть контекстне меню. Натисніть команду "edge" або "сторона". У командному рядку наберіть координати вихідної та фінальної точок однієї зі сторін п'ятикутника. Після цього п'ятикутник з'явиться на екрані.
5. Усі операції можна виконувати за допомогою командного рядка. Скажімо, для побудови п'ятикутника збоку у російськомовній версії програми введіть букву «с». В англомовній версії це буде "_e". Щоб звести вписаний або описаний п'ятикутник, введіть пізніше визначення числа сторін букви «о» або «в» (або англійські “_с” або “_i”)
Відео на тему
Відео на тему
Корисна порада
Таким нехитрим методом можна звести не тільки п'ятикутник. Для того щоб звести трикутник, необхідно розведіть ніжки циркуля на відстань, що дорівнює радіусу кола. Після цього в будь-яку точку встановіть голку. Проведіть тонке допоміжне коло. Дві точки перетину кіл, а так само точка, в якій була ніжка циркуля, утворюють три вершини позитивного трикутника.
Побудова вписаного в коло правильного шестикутника.
Побудова шестикутника полягає в тому, що сторона його дорівнює радіусу описаного кола. Тому для побудови достатньо розділити коло на шість рівних частин і поєднати знайдені точки між собою.
Правильний шестикутник можна побудувати, користуючись рейсшиною та косинцем 30X60°. Для виконання цієї побудови приймаємо горизонтальний діаметр кола за бісектрису кутів 1 і 4, будуємо сторони 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 і 7 - 2, після чого проводимо сторони 5 - 6 і 3 - 2.
Вершини такого трикутника можна побудувати за допомогою циркуля та косинця з кутами 30 і 60° або тільки одного циркуля. Розглянемо два способи побудови вписаного в коло рівностороннього трикутника.
Перший спосіб(фіг. 61,a) заснований на тому, що всі три кути трикутника 7, 2, 3 містять по 60°, а вертикальна пряма, проведена через точку 7, є одночасно висотою і бісектрисою кута 1. Так як кут 0 - 1 - 2 дорівнює 30 °, то для знаходження сторони 1 - 2 достатньо побудувати по точці 1 і стороні 0 - 1 кут 30 °. Для цього встановлюємо рейсшину та косинець так, як це показано на фігурі, проводимо лінію 1 - 2, яка буде однією зі сторін шуканого трикутника. Щоб побудувати бік 2 - 3, встановлюємо рейсшину в положення, показане штриховими лініями, і через точку 2 проводимо пряму, яка визначить третю вершину трикутника.
Другий спосібзаснований на тому, що якщо побудувати правильний шестикутник, вписаний в коло, а потім з'єднати його вершини через одну, то вийде рівносторонній трикутник.
Для побудови трикутника намічаємо на діаметрі вершину точку 1 і проводимо діаметральну лінію 1 - 4. Далі з точки 4 радіусом, що дорівнює D/2, описуємо дугу до перетину з колом в точках 3 і 2. Отримані точки будуть двома іншими вершинами шуканого трикутника.
Цю будову можна виконати за допомогою косинця та циркуля.
Перший спосібзаснований на тому, що діагоналі квадрата перетинаються в центрі описаного кола і нахилені до осей під кутом 45°. Виходячи з цього, встановлюємо рейсшину та косинець з кутами 45° так, як це показано на фіг. 62 а, і відзначаємо точки 1 і 3. Далі через ці точки проводимо за допомогою рейсшини горизонтальні сторони квадрата 4 - 1 і 3 -2. Потім за допомогою рейсшини по катету косинця проводимо вертикальні сторони квадрата 1 – 2 та 4 – 3.
Другий спосібзаснований на тому, що вершини квадрата ділять навпіл дуги кола, укладені між кінцями діаметра. Намічаємо на кінцях двох взаємно перпендикулярних діаметрів точки А, В і С і з них радіусом описуємо дуги до взаємного їх перетину.
Далі через точки перетину дуг проводимо допоміжні прямі, відзначені на фігурі суцільними лініями. Крапки їх перетину з колом визначать вершини 1 та 3; 4 і 2. Отримані таким чином вершини квадрата, що шукається, з'єднуємо послідовно між собою.
Побудова вписаного в коло правильного п'ятикутника.
Щоб вписати в коло правильний п'ятикутник, робимо такі побудови. Намічаємо на колі точку 1 і приймаємо її за одну з вершин п'ятикутника. Ділимо відрізок АТ навпіл. Для цього радіусом АТ з точки А описуємо дугу до перетину з колом у точках M і В. З'єднавши ці точки прямий, отримаємо точку К, яку з'єднуємо потім з точкою 1. Радіусом, рівним відрізку A7, описуємо з точки До дугу до перетину з діаметральною лінією АТ у точці H. З'єднавши точку 1 з точкою H, отримаємо бік п'ятикутника. Потім розчином циркуля, рівним відрізку 1H, описавши дугу з вершини 1 до перетину з колом, знайдемо вершини 2 і 5. Зробивши тим самим розчином циркуля засічки з вершин 2 і 5, отримаємо решту вершин 3 і 4. Знайдені точки послідовно з'єднуємо між собою.
Побудова правильного п'ятикутника з цієї стороні.
Для побудови правильного п'ятикутника з даної стороні (фіг. 64) ділимо відрізок AB на шість рівних частин. З точок А і В радіусом AB описуємо дуги, перетин яких дасть точку К. Через цю точку і розподіл 3 на прямий AB проводимо вертикальну пряму. Далі від точки До цієї прямої відкладаємо відрізок, рівний 4/6 AB. Отримаємо точку 1-вершину п'ятикутника. Потім радіусом, що дорівнює АВ, з точки 1 описуємо дугу до перетину з дугами, раніше проведеними з точок А і В. Точки перетину дуг визначають вершини п'ятикутника 2 і 5. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою.
Побудова вписаного в коло правильного семикутника.
Нехай дано коло діаметра D; потрібно вписати до неї правильний семикутник (фіг. 65). Ділимо вертикальний діаметр кола на сім рівних частин. З точки 7 радіусом, що дорівнює діаметру кола D, описуємо дугу до перетину з продовженням горизонтального діаметра в точці F. Точку F назвемо полюсом багатокутника. Прийнявши точку VII за одну з вершин семикутника, проводимо з полюса F через парні поділки вертикального діаметра промені, перетин яких з колом визначать вершини VI, V і IV семикутника. Для отримання вершин / - // - /// З точок IV, V і VI проводимо до перетину з колом горизонтальні прямі. Знайдені вершини послідовно з'єднуємо між собою. Семикутник може бути побудований шляхом проведення променів із полюса F і через непарні поділки вертикального діаметра.
Наведений спосіб придатний для побудови правильних багатокутників із будь-яким числом сторін.
Розподіл кола на будь-яке число рівних частин можна проводити також, користуючись даними табл. 2, в якій наведені коефіцієнти, що дають можливість визначати розміри сторін правильних багатокутників вписаних.
Довжина сторін правильних вписаних багатокутників.
У першому стовпчику цієї таблиці вказані числа сторін правильного вписаного багатокутника, а в другій - коефіцієнти. Довжина сторони заданого багатокутника вийде від множення радіусу даного кола на коефіцієнт, що відповідає числу сторін цього багатокутника.
5.3. Золотий п'ятикутник; побудова Евкліда.
Чудовий приклад «золотого перерізу» є правильним п'ятикутником – опуклим і зірчастим (рис. 5).
Для побудови пентаграми потрібно побудувати правильний п'ятикутник.
Нехай О – центр кола, А – точка на колі та Е – середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіуса ОА, відновлений у точці О, перетинається з колом у точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на колі відрізки DC та отримаємо п'ять точок для накреслення правильного п'ятикутника. З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями та отримуємо пентаграму. Усі діагоналі п'ятикутника ділять одне одного на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією.
Кожен кінець п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Його сторони утворюють кут 36° при вершині, а основа, відкладена на бік, ділить її в пропорції золотого перерізу.
Є і золотий кубоїд-це прямокутний паралелепіпед з ребрами, що мають довжини 1.618, 1 і 0.618.
Тепер розглянемо доказ, запропонований Евклідом у «Початках».
| |
з центру описаного кола. Почнемо з
відрізка АВЕ, розділеного в середньому та
Отже, нехай АС = АЕ. Позначимо через a рівні кути ЄВС та ПЕВ. Оскільки АС=АЕ, то кут АСЕ також дорівнює a. Теорема у тому, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів, дозволяє знайти кут ВСІ: він дорівнює 180-2a, а кут ЕАС - 3a - 180. Але тоді кут АВС дорівнює 180-a. Підсумовуючи кути трикутника АВС отримуємо,
180 = (3a -180) + (3a-180) + (180 - a)
Звідки 5a=360, отже a=72.
Отже, кожен з кутів при основі трикутника ВЕС удвічі більший за кут при вершині, що дорівнює 36 градусів. Отже, щоб побудувати правильний п'ятикутник, необхідно лише провести будь-яке коло з центром у точці Е, що перетинає ЄС у точці Х та сторону ЕВ у точці Y: відрізок XY служить однією зі сторін вписаного в коло правильного п'ятикутника; Обійшовши навколо всього кола, можна знайти і всі інші сторони.
Доведемо тепер, що АС = АЕ. Припустимо, що вершина З з'єднана відрізком прямої з серединою N відрізка ВЕ. Зауважимо, що оскільки СВ = РЄ, то кут СNЕ прямий. За теоремою Піфагора:
CN 2 = а 2 – (а/2j) 2 = а 2 (1-4j 2)
Звідси маємо (АС/а) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2
Отже, АС = jа = jАВ = АЕ, що потрібно було довести
5.4.Спіраль Архімеда.
Послідовно відтинаючи від золотих прямокутників квадрати до нескінченності, щоразу з'єднуючи протилежні точки чвертю кола, ми отримаємо досить витончену криву. Першим на неї звернув давньогрецький вчений Архімед, ім'я якого вона і носить. Він вивчав її та вивів рівняння цієї спіралі.
В даний час спіраль Архімед широко використовується в техніці.
6. Числа Фібоначчі.
Із золотим перетином побічно пов'язане ім'я італійського математика Леонардо з Пізи, який відомий більше на прізвисько Фібоначчі (Fibonacci - скорочене filius Bonacci, тобто син Боначчі)
У 1202р. їм була написана книга "Liber abacci", тобто "Книга про абака". "Liber abacci" являє собою об'ємну працю, що містить майже всі арифметичні та алгебраїчні відомості того часу і відіграв помітну роль у розвитку математики в Західній Європі протягом кількох наступних століть. Зокрема, саме з цієї книги європейці познайомилися з індуськими ("арабськими") цифрами.
Матеріал, що повідомляється в книзі, пояснюється на великій кількості завдань, що становлять значну частину цього трактату.
Розглянемо одне таке завдання:
Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народжується?
Хтось помістив пару кроликів у якомусь місці, обгородженому з усіх боків стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться протягом цього року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів відтворить іншу, а народжують кролики з другого місяця після свого народження.
| Місяці | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Пари кроликів | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
Перейдемо тепер від кроликів до чисел і розглянемо таку числову послідовність:
u 1 , u 2 … u n
у якій кожен член дорівнює сумі двох попередніх, тобто. при всякому n>2
u n = u n -1 + u n -2 .
Ця послідовність асимптотично (наближаючись все повільніше і повільніше) прагне деякому постійному співвідношенні. Однак, це співвідношення ірраціонально, тобто є числом з нескінченною, непередбачуваною послідовністю десяткових цифр у дробовій частині. Його неможливо висловити точно.
Якщо якийсь член послідовності Фібоначчі розділити на попередній (наприклад, 13:8), результатом буде величина, що коливається біля ірраціонального значення 1.61803398875... і через раз то перевищує, то не досягає його.
Асимптотична поведінка послідовності, що загасають коливання її співвідношення біля ірраціонального числа Ф можуть стати більш зрозумілими, якщо показати відносини кількох перших членів послідовності. У цьому прикладі наведено відношення другого члена до першого, третього до другого, четвертого до третього, і так далі:
1:1 = 1.0000, що менше фі на 0.6180
2:1 = 2.0000, що більше фі на 0.3820
3:2 = 1.5000, що менше фі на 0.1180
5:3 = 1.6667, що більше фі на 0.0486
8:5 = 1.6000, що менше фі на 0.0180
У міру просування по суммаційній послідовності Фібоначчі кожен новий член ділитиме наступний з дедалі більшим і більшим наближенням до недосяжного Ф.
Людина підсвідомо шукає Божественну пропорцію: вона потрібна задоволення її потреби у комфорті.
При діленні будь-якого члена послідовності Фібоначчі на наступний за ним виходить просто зворотна до 1.618 величина (1: 1.618 = 0.618). Але це теж дуже незвичайне, навіть чудове явище. Оскільки початкове співвідношення - нескінченна дрібниця, у цього співвідношення також не повинно бути кінця.
При розподілі кожного числа на наступне за ним через одне отримуємо число 0.382
Підбираючи таким чином співвідношення, отримуємо основний набір коефіцієнтів Фібоначчі: 4.235, 2.618, 1.618,0.618,0.382,0.236. Згадаємо також 0.5.
Тут слід зазначити, що Фібоначчі лише нагадав свою послідовність людству, оскільки вона була відома ще в найдавніші часи під назвою Золотий перетин.
Золотий перетин, як ми бачили, виникає у зв'язку з правильним п'ятикутником, тому й числа Фібоначчі грають роль у всьому, що стосується правильних п'ятикутників - опуклих і зірчастих.
Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого поділу в рослинному та тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичного виразу закону золотого поділу. Вчені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі та золотого перерізу. Ю. Матіясевич з використанням чисел Фібоначчі вирішує 10 проблему Гільберта (про рішення Діофантових рівнянь). Виникають витончені методи вирішення низки кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі та золотого перерізу. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 випускає спеціальний журнал.
Одним із досягнень у цій галузі є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі та узагальнених золотих перерізів. Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий ним же «двійковий» ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16 ... (тобто ряд чисел до n де будь-яке натуральне число, менше n можна уявити сумою деяких чисел цього ряду) на перший погляд зовсім різні. Але алгоритми їх побудови дуже схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сумою попереднього числа із самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2 ..., у другому - це сума двох попередніх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Чи не можна відшукати загальну математичну формулу, з якої виходять і « двійковий» ряд, і ряд Фібоначчі?
Справді, задамося числовим параметром S, який може набувати будь-яких значень: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Розглянемо числовий ряд, S + 1 перших членів якого – одиниці, а кожен із наступних дорівнює сумі двох членів попереднього і віддаленого від попереднього на S кроків. Якщо n член цього ряду ми позначимо через S (n), то отримаємо загальну формулу S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1).
Очевидно, що за S = 0 з цієї формули ми отримаємо «двійковий» ряд, за S = 1 –ряд Фібоначчі, за S = 2, 3, 4. нові ряди чисел, які отримали назву S-чисел Фібоначчі.
У загальному вигляді золота S-пропорція є позитивним коренем рівняння золотого S-перетину x S+1 – x S – 1 = 0.
Неважко показати, що за S = 0 виходить розподіл відрізка навпіл, а за S = 1 – знайомий класичний золотий перетин.
Відносини сусідніх S-чисел Фібоначчі з абсолютною математичною точністю збігаються у межі із золотими S-пропорціями! Тобто золоті S-перетини є числовими інваріантами S-чисел Фібоначчі.
7.Золотий перетин у мистецтві.
7.1. Золотий перетин у живописі.
Переходячи до прикладів «золотого перерізу» у живописі, не можна не зупинити свою увагу на творчості Леонардо да Вінчі. Його особистість – одна із загадок історії. Сам Леонардо да Вінчі говорив: «Нехай ніхто, не будучи математиком, не сміється читати мою працю».
Немає сумнівів, що Леонардо да Вінчі був великим художником, це визнавали вже його сучасники, але його особистість та діяльність залишаться покритими таємницею, оскільки він залишив нащадкам не зв'язний виклад своїх ідей, а лише численні рукописні нариси, замітки, в яких говориться всім у світі».
Портрет Монни Лізи (Джоконди) довгі роки привертає увагу дослідників, які виявили, що композиція малюнка заснована на золотих трикутниках, що є частинами правильного п'ятикутника.
Також пропорція золотого перерізу проявляється у картині Шишкіна. На цій знаменитій картині І. І. Шишкіна очевидно проглядаються мотиви золотого перерізу. Яскраво освітлена сонцем сосна (яка стоїть першому плані) ділить довжину картини по золотому перерізу. Праворуч від сосни - освітлений сонцем пагорб. Він ділить за золотим перерізом праву частину картини по горизонталі.
У картині Рафаеля "Побиття немовлят" проглядається інший елемент золотої пропорції - золота спіраль. На підготовчому ескізі Рафаеля проведені червоні лінії, що йдуть від смислового центру композиції - точки, де пальці воїна зімкнулися навколо щиколотки дитини - вздовж фігур дитини, жінки, що притискає її до себе, воїна із занесеним мечем і потім уздовж фігур такої ж групи у правій частині ескізу . Невідомо, чи Рафаель будував золоту спіраль чи відчував її.
Т.Кук використовував при аналізі картини Сандро Боттічеллі «народження Венери» золотий перетин.
7.2. Піраміди золотого перерізу.
Широко відомі медичні властивості пірамід, особливо золотого перерізу. За деякими найбільш поширеними думками, кімната, в якій знаходиться така піраміда, здається більше, а повітря - прозоріше. Сни починають запам'ятовуватись краще. Також відомо, що золотий переріз широко застосовувався в архітектурі та скульптурі. Прикладом цього стали: Пантеон і Парфенон у Греції, будівлі архітекторів Баженова та Малевича
8. Висновок.
Необхідно сказати, що золотий переріз має велике застосування у нашому житті.
Було доведено, що тіло людини ділиться в пропорції золотого перерізу лінією пояса.
Раковина наутілуса закручена подібно до золотої спіралі.
Завдяки золотому перерізу було відкрито пояс астероїдів між Марсом і Юпітером – за пропорцією там має бути ще одна планета.
Порушення струни в точці, що ділить її щодо золотого поділу, не викличе коливань струни, тобто точка компенсації.
На літальних апаратах із електромагнітними джерелами енергії створюються прямокутні осередки з пропорцією золотого перерізу.
Джоконда побудована на золотих трикутниках, золота спіраль присутня на картині Рафаеля «Побиття немовлят».
Пропорція виявлена в картині Сандро Боттічеллі «Народження Венери»
Відомо багато пам'яток архітектури, збудованих з використанням золотої пропорції, зокрема Пантеон та Парфенон в Афінах, будівлі архітекторів Баженова та Малевича.
Іоанну Кеплеру, що жив п'ять століть тому, належить висловлювання: "Геометрія має два великі скарби. Перше - це теорема Піфагора, друге - поділу відрізка в крайньому і середньому відношенні"
Список літератури
1. Д. Підоу. Геометрія та мистецтво. - М.: Світ, 1979.
2. Журнал "Наука та техніка"
3. Журнал «Квант», 1973 № 8.
4. Журнал «Математика в школі», 1994 № 2; №3.
5. Ковальов Ф.В. Золотий перетин у живописі. К.: Вища школа, 1989.
6. Стахов А. Коди золотої пропорції.
7.Воробйов Н.М. "Числа Фібоначчі" - М.: Наука 1964
8. "Математика - Енциклопедія для дітей" М: Аванта +, 1998
9. Інформація з Інтернету.
Матриць Фібоначчі та так званих «золотих» матриць, нові комп'ютерні арифметики, нова теорія кодування та нова теорія криптографії. Суть нової науки, у перегляді з погляду золотого перерізу всієї математики, починаючи з Піфагора, що, природно, спричинить теорії нові і напевно дуже цікаві математичні результати. У практичному відношенні – «золоту» комп'ютеризацію. А оскільки...
Чи не вплинуть на цей результат. Заснування золотої пропорції є інваріантом рекурсивних співвідношень 4 і 6. У цьому виявляється «стійкість» золотого перерізу, одного з принципів організації живої матерії. Також, основа золотої пропорції є рішенням двох екзотичних рекурсивних послідовностей (рис 4.) Рис. 4 Рекурсивні послідовності Фібоначчі так...
Юшка - j5, а відстань від вуха до верхівки - j6. Таким чином, у цій статуї ми бачимо геометричну прогресію із знаменником j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Рис.9). Таким чином, золотий перетин – один із основоположних принципів у мистецтві античної Греції. Ритми серця та мозку. Поступово б'ється серце людини – близько 60 ударів на хвилину у стані спокою. Серце як поршень стискає...
Інструкція
Побудуйте ще один діаметр, перпендикулярний до діаметра МН. Для цього циркулем проведіть дуги з точок М та Н з однаковим радіусом. Радіус вибирайте такий, щоб обидві дуги перетнулися між собою і з цим колом в одній точці. Це буде перша точка другого діаметра. Проведіть через неї і точку О пряму. Вийде діаметр АВ, перпендикулярний до прямої МН.
Знайдіть середину радіусу ВО. Для цього циркулем з радіусом кола проведіть дугу з точки В так, щоб вона перетнула коло у двох точках С і Р. Через ці точки проведіть пряму. Ця пряма розділить радіус У рівно навпіл. Поставте точку К у місці перетину СР та ВО.
З'єднайте точки М та К відрізком. Задайте на циркулі відстань, що дорівнює відрізку МК. З точки М проведіть дугу так, щоб вона перетинала радіус АТ. У місці цього перетину поставте точку Е. Отримана відстань МЕ відповідає довжині однієї сторони п'ятикутника, що вписується.
Побудуйте вершини п'ятикутника, що залишилися. Для цього встановіть відстань ніжок циркуля рівним відрізку МЕ. З першої вершини пентагону М проведіть дугу до перетину з колом. Крапка перетину і буде другою вершиною F. З отриманої точки у свою чергу також проведіть дугу того ж радіуса з перетином кола. Отримайте третю вершину пентагону G. Аналогічно побудуйте інші точки S і L.
З'єднайте отримані вершини прямими відрізками. Вписаний у коло, правильний п'ятикутник MFGSL побудований.
Джерела:
- Правильні багатокутники
Шестикутник - це багатокутник, який має шість кутів. Для того, щоб накреслити довільний шестикутник, потрібно виконати всього 2 дії.
Вам знадобиться
- Олівець, лінійка, аркуш паперу.
Інструкція
Взяти лінійку і накреслити за даними точками 6 відрізків, які з'єднувалися один з одним по накресленим раніше точках (рис.2)
Відео на тему
Зверніть увагу
Особливим типом шестикутник є правильний шестикутник. Він називається таким тому, що всі його сторони та кути рівні між собою. Навколо такого шестикутника можна описати чи вписати коло. Варто зазначити, що в точках, які вийшли шляхом торкання вписаного кола та сторін шестикутника, сторони правильного шестикутника діляться навпіл.
Корисна порада
У природі правильні шестикутники мають велику популярність. Наприклад, кожна бджолина стільника має правильну шестикутну форму.
Або кристалічні грати графена (модифікація вуглецю) теж має форму правильного шестикутника.
Зображення геометричних фігур використовуються створення багатьох і багатьох ігор, колажів, ілюстрацій. Використовуючи засоби фотошоп, можна намалювати будь-яку об'ємну фігуру, у тому числі шестигранник.
Вам знадобиться
- Adobe Photoshop
Інструкція
Відкрийте новий документ. На інструменти вибирайте Polygon Tool. На панелі властивостей встановіть sides=6 і будь-який color, на ваш смак. Натисніть , натиснувши клавішу Shift. Наведіть курсор на фігуру, натисніть праву клавішу миші і вибирайте команду Rasterize Layer.
Двічі скопіюйте цей шар (Ctrl+J), щоб у вас вийшло три шестикутники. Встаньте на новий шар. Затиснувши Ctrl, клацніть на іконці із зображенням нової , щоб отримати виділення. На панелі інструментів встановіть кольором переднього темніший відтінок. За допомогою інструмента Paint Bucket Tool залийте шестикутник. Знову перейдіть на новий шар і залийте фігуру відповідним. Таким чином, ваші шестикутники будуть забарвлені у різні відтінки одного кольору.
За допомогою інструмента Move Tool розташуйте шестикутники так, як показано на малюнку. При цьому враховуйте, де у вашій картині буде джерело світла. Там, куди падає світло, має бути світліша грань. Найтемніша грань буде в тіні.
Для шарів із шестикутниками, що зображують бічні грані, встановіть Opacity=50%. На панелі інструментів виберіть Eraser Tool. Встановіть hardness=100% і починайте обережно та акуратно стирати зайве зображення. Для того, щоб видалити непотрібний колір біля грані, робіть так: зменшіть діаметр гумки, щоб не захопити зайвого. Наведіть курсор на один кінець ребра шестигранника і клацніть лівою кнопкою миші. Потім переведіть курсор на інший кінець, натисніть клавішу Shift і клацніть знову лівою клавішею. Вийде рівна порожня смужка. Повторіть цю процедуру стільки разів, скільки потрібно, щоб усунути непотрібне тло навколо фігури.
Для шарів із бічними гранями поверніть Opacity=100%.
Відео на тему
Корисна порада
При підборі відтінків кольору для граней враховуйте розташування джерела світла на зображенні
Правильний багатокутник - це опуклий багатокутник, у якого всі сторони та всі кути рівні. Навколо правильного багатокутника можна описати коло. Саме це коло і допомагає у його побудові. Одним із правильних багатокутників, побудову якого можна зробити з використанням найпростіших інструментів, є правильний п'ятикутник.
Вам знадобиться
- лінійка, циркуль
Інструкція
Далі через точку O проведіть пряму, перпендикулярну до прямої OA. Побудувати перпендикулярну пряму можна за допомогою косинця або (методом двох кіл однакового радіуса). Її перетин з колом можна позначити за точку B.
Побудуйте на відрізку OB точку C, яка буде його серединою. Потім потрібно провести коло з центром у точці C, що проходить через точку A, тобто радіусом CA. Точку перетину цього кола з прямою OB всередині кола з центром O (або початкового кола) позначте D.
Потім проведіть коло з центром A через точку D. Її перетин з початковим колом позначте за точки E і F. Це будуть дві вершини п'ятикутника.
Проведіть коло з центром в E через точку A. Позначте її перетин з початковим колом як точку G. Це буде одна з вершин п'ятикутника.
Аналогічно проведіть коло з центром у F через точку A. Позначте її інше перетин з початковим колом як точку H. Ця точка також буде вершиною прямокутника.
Потім з'єднайте точки A, E, G, H і F. В результаті вийде правильний п'ятикутник, вписаний у коло.
Відео на тему
Шестикутником називають окремий випадок полігону - фігури, утвореної безліччю точок площини, обмеженим замкненою полілінією. Правильний шестикутник (гексагон), у свою чергу, також є окремим випадком - це полігон з шістьма рівними сторонами та рівними кутами. Ця фігура примітна тим, що довжина кожної з її сторін дорівнює радіусу описаної навколо фігури кола.
Вам знадобиться
- - циркуль;
- - Лінійка;
- - олівець;
- - аркуш паперу.
Інструкція
Виберіть довжину сторони. Візьміть циркуль і встановіть відстань кінцем голки, розташованої на одній з його ніжок, і кінцем грифеля, розташованим на іншій ніжці, рівним довжині сторони фігури, що викреслюється. Для цього можна скористатися лінійкою або вибрати випадкову відстань, якщо цей момент несуттєвий. Зафіксуйте ніжки циркуля гвинтом, якщо така можливість.
Намалюйте коло за допомогою циркуля. Вибрана відстань між ніжками буде радіусом кола.
Ніжку циркуля з голкою встановіть у довільну точку, що знаходиться на лінії окресленого кола. Голка має точно проткнути лінію. Від точності установки циркуля безпосередньо залежить точність побудов. Окресліть циркулем дугу так, щоб вона перетнула у двох точках коло, накреслене першим.
Переставте ніжку циркуля з голкою в одну з точок перетину накресленої дуги з початковим колом. Викресліть ще одну дугу, яка також перетинає коло у двох точках (одна з них збігається з точкою попереднього розташування голки циркуля).
Подібним чином переставляйте голку циркуля і викреслюйте дуги ще чотири рази. Переміщуйте ніжку циркуля з голкою в одному напрямку вздовж кола (завжди по або проти годинникової стрілки). В результаті повинні бути виявлені шість точок перетину дуг з спочатку побудованим колом.
Намалюйте правильний шестикутник. Послідовно попарно з'єднайте відрізками отримані на попередньому кроці шість точок. Викреслюйте відрізки за допомогою олівця та лінійки. В результаті буде отримано правильний шестикутник. Після здійснення побудови можна стерти допоміжні елементи (дуги та коло).
Зверніть увагу
Має сенс вибирати таку відстань між ніжками циркуля, щоб кут між ними дорівнював 15-30 градусів, інакше при здійсненні побудов дана відстань може легко збитися.
Свого часу процес креслення правильного шестикутника було описано ще давнім греком Евклідом. Однак на сьогоднішній день існують інші способи побудови цієї геометричної фігури. Головний принцип – дотримуватись при кресленні фігури деяких відомих правил.
Якщо під руками немає циркуля, можна намалювати просту зірку з п'ятьма променями потім просто з'єднати ці промені. як бачимо на малюнку нижче, виходить абсолютно правильний п'ятикутник.
Математика складна наука і має багато своїх секретиків, деякі з них дуже забавні. Якщо ви захоплюєтеся такими речами раджу знайти книгу Забавна математика.
Коло можна намалювати не лише за допомогою циркуля. Можна, наприклад, використовувати олівець та нитку. Вимірюємо потрібний діаметр на нитці. Один кінець щільно затискаємо на аркуші паперу, де креслитимемо коло. А на інший кінець нитки встановлюються олівець і одержимий. Тепер діє як з циркулем: натягуємо нитку і по колу злегка натискаючи олівцем чкртим коло.
Усередині кола малюємо селян від центру: вертикальна лінія та горизонтальна лінія. Точка перетину вертикальної лінії та кола буде вершиною п'ятикутника (точка 1). Тепер праву половину горизонтальної лінії ділимо навпіл (точка 2). Вимірюємо відстань від цієї точки до вершини п'ятикутника, і цей відрізок відкладає вліво від точки 2 (точка 3). За допомогою нитки та олівця проводимо від точки 1 радіусом до точки 3 дугу, що перетинає перше коло ліворуч і праворуч – точки перетину будуть вершинами п'ятикутника. Позначимо їх точка 4 та 5.
Тепер від точки 4 робимо дугу, що перетинає коло в нижній частині, радіусом, що дорівнює довжині від точки 1 до 4 - це буде точкою 6. Точно так само і від точки 5 - позначимо точкою 7.
Залишиться з'єднати наш п'ятикутник із вершинами 1, 5, 7, 6, 4.
Я знаю, як побудувати простий п'ятикутник за допомогою циркуля: Будуємо коло, відзначаємо п'ять точок, з'єднуємо їх. Можна збудувати п'ятикутник з рівними сторонами, для цього нам ще знадобиться транспортир. Просто ті самі 5 точок ставимо по транспортирові. Для цього відзначаємо кути по 72 градуси. Після цього з'єднуємо відрізками і отримуємо необхідну нам фігуру.
Зелене коло можна креслити довільним радіусом. У це коло будемо вписувати правильний п'ятикутник. Без циркуля накреслити точно коло не можна, але це не обов'язково. Коло та всі подальші побудови можна виконувати від руки. Далі через центр кола Про потрібно провести дві взаємно перпендикулярні прямі та одну з точок перетину прямої з колом позначити А. Точка А буде вершиною п'ятикутника. Радіус ВВ розділимо навпіл і поставимо точку С. З точки З проводимо друге коло радіусом АС. З точки А проводимо третє коло радіусом АD. Точки перетину третього кола з першою (Е і F) будуть також вершинами п'ятикутника. З точок Е і F радіусом АЕ робимо засічки на першому колі та отримуємо решту вершин п'ятикутника G і H.
Адептам чорного мистецтва: щоб просто, красиво і швидко намалювати п'ятикутник, слід накреслити правильну, гармонійну основу для пентаграми (п'ятикутна зірка) і з'єднати закінчення променів цієї зірки за допомогою прямих, рівних ліній. Якщо все було зроблено правильно - сполучна характеристика навколо основи і буде шуканим п'ятикутником.
(на малюнку – завершена, але незаповнена пентаграма)
Для тих, хто невпевнений у правильності зображення пентаграми: візьміть за основу вітрувіанської людини Да Вінчі (див. нижче)
Якщо потрібний п'ятикутник – тикаєте довільним чином 5 точці та їх зовнішній контур буде п'ятикутником.
Якщо потрібен правильний п'ятикутник, то без математичного циркуля цю будову зробити неможливо, оскільки без нього не можна провести два однакові, але не паралельні відрізки. Будь-який інший інструмент, який дозволяє провести два однакові, але не паралельні відрізки еквівалентний математичному циркулю.
Спочатку треба накреслити коло, потім напрямні, потім друге пунктирне коло, знаходимо верхню точку, потім відміряємо два кути верхні, від них креслимо нижні. Зауважте, радіус циркуля той самий при всій побудові.
Все залежить від того, який п'ятикутник вам необхідний. Якщо будь-який, то ставите п'ять точок і з'єднуєте їх між собою (природно, точки ставимо не по прямій лінії). А якщо потрібен п'ятикутник правильно форми, візьміть будь-які п'ять по довжині (смужок паперу, сірників, олівців тощо), викладіть п'ятикутник та обкресліть його.
П'ятикутник можна накреслити, наприклад, із зірки. Якщо вмієте креслити зірку, але не вмієте п'ятикутник, накресліть олівцем зірку, потім з'єднайте між собою сусідні кінці зірки, а саму зірку потім зітріть.
Другий спосіб. Виріжте смужку з паперу, довжиною, що дорівнює бажаній стороні п'ятикутника, а шириною вузькою, допустимо 0.5 – 1 см. Як за шаблоном, виріжте по цій смужці ще чотири таких смужки, щоб їх вийшло всього 5.
Потім покладіть аркуш паперу (краще закріпити його на столі за допомогою чотирьох кнопок або голочок). Потім накладіть ці 5 смужок на листок так, щоб вони утворили п'ятикутник. Приколоти ці 5 смужок до аркуша паперу кнопками або голочками, щоб вони залишалися нерухомими. Потім обведіть отриманий п'ятикутник і зніміть смужки з листка.
Якщо немає циркуля і потрібно збудувати п'ятикутник, то я можу порадити наступне. Я сама так будувала. Можна накреслити правильну п'ятикутну зірку. І після цього, щоб отримати п'ятикутник, потрібно з'єднати всі вершини зірки. Ось так і вийде п'ятикутник. Ось що ми отримаємо
Рівними чорними лініями ми поєднали вершини зірки та отримали п'ятикутник.