У складі ЄДІ з математики є цілий рядзадач визначення площі поверхні та обсягу складових багатогранників. Це, мабуть, одні з самих простих завданьза стереометрією. АЛЕ! Є нюанс. Незважаючи на те, що самі обчислення прості, помилку при вирішенні такого завдання допустити дуже легко.
У чому справа? Далеко не всі мають гарне просторове мислення, щоб відразу побачити всі грані та паралелепіпеди з яких «складаються» багатогранники. Навіть якщо ви вмієте робити це дуже добре, можете подумки зробити таку розбивку, все ж таки слід не поспішати і скористатися рекомендаціями цієї статті.
До речі, поки працював над цим матеріалом, знайшов помилку в одному із завдань на сайті. Потрібна уважність та ще раз уважність, ось так.
Отже, якщо стоїть питання про площу поверхні, то на аркуші в клітину побудуйте всі межі багатогранника, позначте розміри. Далі уважно обчислюйте суму площ усіх отриманих граней. Якщо ви будете гранично уважні при побудові та обчисленні, то помилка буде виключена.
Використовуємо обумовлений спосіб. Він наочний. На аркуші в клітину будуємо всі елементи (грані) у масштабі. Якщо довжини ребер будуть більшими, то просто підпишіть їх.
Відповідь: 72
Вирішіть самостійно:
Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку (все двогранні кутипрямі).
Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).
Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).
Ще завдання, . У них наведено рішення іншим способом (без побудови), постарайтеся розібратися, що звідки взялося. Також вирішіть вже наданим способом.
* * *
Якщо потрібно знайти обсяг складеного багатогранника. Розбиваємо багатогранник на складові його паралелепіпеди, уважно записуємо довжини їх ребер і обчислюємо.
Об'єм багатогранника, зображеного на малюнку дорівнює суміобсягів двох багатогранників з ребрами 6,2,4 та 4,2,2
Відповідь: 64
Вирішіть самостійно:
Знайдіть обсяг багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути багатогранника прямі).
Знайдіть обсяг просторового хреста, зображеного на малюнку та складеного з одиничних кубів.
Знайдіть обсяг багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).
Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачіЄДІ з математики на 60-65 балів. Цілком всі завдання 1-13 Профільного ЄДІз математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!
Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.
Вся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.
Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.
Сотні завдань ЄДІ. Текстові завданнята теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, розбір всіх типів завдань ЄДІ Стереометрія. Хитрі прийоми рішення, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.
Останні рішення
u84236168 ✎ Біотичний фактор – вплив живих організмів один на одного. А біотичний фактор- Вплив неорганічного середовища на живі організми (хімічні та фізичні). А) Підвищення тиску є фізичним фактором, отже, відносимо його до абіотичних. Б) Землетрус – фізичний абіотичний фактор. В) Епідемія викликається мікроорганізмами, отже тут біотичний фактор. Г) Взаємодія вовків у зграї – біотичний фактор. Д) Конкуренція між соснами – біотичний чинник, т.к. сосни – живі організми. Відповідь: 11222 до завдання
u84236168 ✎ 1) За таблицею видно, що якщо пташенят у гнізді більше 5, то частка пташенят, що вижили, різко скорочується, отже, ми погоджуємося з даним твердженням. 2) Загибель пташенят у таблиці ніяк не пояснюється, отже, ми нічого не можемо сказати щодо цього твердження. 3) Так, по таблиці видно, що чим менше в кладці яєць, тим вище турбота про потомство, так, високий відсотокпташенят (100%), що вижили, корелює з їх найменшою кількістю (1), тому ми погоджуємося з цим твердженням. 4) За четвертим твердженням у нас немає жодної точної інформації + частка пташенят, що вижили, знижується, значить, ми не згодні з цим твердженням. 5) У таблиці немає інформації, з чим пов'язана кількість яєць у кладці, отже, ми ігноруємо це твердження. Відповідь: 1, 3. до задачі
u84236168 ✎ А) Колючки кактуса та колючки барбарису - органи рослин, приклад використовується в порівняльно-анатомічному методі вивчення еволюції. Б) Останки є скам'янілі частини древніх живих істот, вивченням яких займається наука палеонтологія, отже, це палеонтологічний метод. В) Філогенез – процес історичного розвиткуприроди та окремих організмів. У філогенетичному ряді коні можуть бути її древні предки, отже, це палеонтологічний метод. Г) багатососковість людини відноситься до порівняльно-анатомічного методу, т.к. порівнюється норма (два соски) та атавізм. Д) Апендикс у людини є рудиментом, отже, тут також порівнюється норма та рудимент. Відповідь: 21122 до завдання
u84236168 ✎ 1) Швидкість не може бути прямо пропорційна, інакше б при зменшенні температури швидкість строго збільшувалася б, що на графіку ми не спостерігаємо. 2) Про ресурси середовища на графіку нічого не сказано, тому і ми про це твердження сказати нічого не можемо. 3) Про генетичну програмуна графіці теж ніякої інформації немає, отже, і сказати нічого не можемо. 4) За графіком видно, що швидкість розмноження збільшується на проміжку від 20 до 36 градусів, з цим твердженням ми погоджуємося. 5) За графіком видно, що після 36 градусів швидкість падає, отже, із цим твердженням ми погоджуємося. Відповідь: 4, 5. до завдання
u84236168 ✎ На цьому малюнку зовнішній слуховий прохід, барабанна перетинка та равлик (що видно за формою) позначені правильно. Інші елементи: 3 - камера внутрішнього вуха, 4 - молоточок, 5 - ковадло. Відповідь: 1, 2, 6. до завдання
ПЛОЩА ПОВЕРХНІ МНОГОГРАНИКА Площею поверхні багатогранника за визначенням вважається сума площ, що входять в цю поверхню багатокутників. Площа поверхні призми складається з площі бічної поверхні та площ основ. Площа поверхні піраміди складається з площі бічної поверхні та площі основи.
Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку, всі двогранні кути якого прямі. Відповідь. 22. Рішення. Поверхня багатогранника складається з двох квадратів площі 4, чотирьох прямокутників площі 2 і двох невипуклі шестикутників площі 3. Отже, площа поверхні багатогранника дорівнює 22. Вправа 6
Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку, всі двогранні кути якого прямі. Відповідь. 22. Рішення. Поверхня багатогранника складається з двох квадратів площі 4, чотирьох прямокутників площі 2 і двох невипуклих шестикутників площі 3. Отже, площа поверхні багатогранника дорівнює 22. Вправа 7
Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку, всі двогранні кути якого прямі. Відповідь. 22. Рішення. Поверхня багатогранника складається з двох квадратів площі 4, чотирьох прямокутників площі 2 і двох невипуклі шестикутників площі 3. Отже, площа поверхні багатогранника дорівнює 22. Вправа 8
Відповідь. 38. Рішення. Поверхня багатогранника складається з квадрата площі 9, семи прямокутників площі яких дорівнюють 3, і двох невипуклих восьмикутників площі яких дорівнюють 4. Отже, площа поверхні багатогранника дорівнює 38. Вправа 9
Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку, всі двогранні кути якого прямі. Відповідь. 24. Рішення. Поверхня багатогранника складається з трьох квадратів площі 4, трьох квадратів площі 1 і трьох невипуклі шестикутників площі 3. Отже, площа поверхні багатогранника дорівнює 24. Вправа 10
Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку, всі двогранні кути якого прямі. Відповідь. 92. Рішення. Поверхня багатогранника складається з двох квадратів площі 16, прямокутника площі 12, трьох прямокутників площі 4, двох прямокутників площі 8 і двох невипуклих восьмикутників площі 10. Отже, площа поверхні багатогранника дорівнює 92. Вправа 11
29
Вправа 26 Осьовий перерізциліндра – квадрат. Площа основи дорівнює 1. Знайдіть площу поверхні циліндра. Відповідь: 6.
Радіуси двох куль рівні 6 і 8. Знайдіть радіус кулі, площа поверхні якої дорівнює сумі площ їх поверхонь. Відповідь. 10. Рішення. Площі поверхонь даних куль рівні і. Їхня сума дорівнює. Отже, радіус кулі, площа поверхні якої дорівнює цій сумі, дорівнює 10. Вправа 30
Ми вже розглянули теоретичні моменти, які необхідні для вирішення. У складі ЄДІ з математики є цілий ряд завдань на визначення площі поверхні та обсягу складових багатогранників. Це, напевно, одні з найпростіших завдань з стереометрії. АЛЕ! Є нюанс. Не дивлячись на те, що самі обчислення проти, помилку при вирішенні такого завдання допустити дуже легко.
У чому справа? Далеко не всі мають гарне просторове мислення, щоб відразу побачити всі грані та паралелепіпеди з яких «складаються» багатогранники. Навіть якщо ви вмієте робити це дуже добре, можете подумки зробити таку розбивку, все ж таки слід не поспішати і скористатися рекомендаціями цієї статті.
До речі, поки працював над цим матеріалом, знайшов помилку в одному із завдань на сайті. Потрібна уважність та ще раз уважність, ось так.
Отже, якщо стоїть питання про площу поверхні, то на аркуші в клітку збудуйте всі грані багатогранника, позначте розміри. Далі уважно обчислюйте суму площ усіх отриманих граней. Якщо ви будете гранично уважні при побудові та обчисленні, то помилка буде виключена.
Використовуємо обумовлений спосіб. Він наочний. На аркуші в клітину будуємо всі елементи (грані) у масштабі. Якщо довжини ребер будуть більшими, то просто підпишіть їх.
Вирішіть самостійно:
Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).
Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).
Ще завдання, . У них наведено рішення іншим способом (без побудови), постарайтеся розібратися – що звідки взялося. Також вирішіть вже наданим способом.
Якщо потрібно знайти обсяг складеного багатогранника. Розбиваємо багатогранник на складові його паралелепіпеди, уважно записуємо довжини їх ребер і обчислюємо.
Об'єм багатогранника, зображеного на малюнку дорівнює сумі обсягів двох багатогранників з ребрами 6,2,4 та 4,2,2
Вирішіть самостійно:
Знайдіть обсяг багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути багатогранника прямі).
Насамперед визначимося, що таке багатогранник. Це тривимірна геометрична фігура, грані якої представлені у вигляді плоских багатокутників. Єдиної формули пошуку обсягу багатогранника немає, оскільки багатогранники бувають різної форми. Для того щоб знайти об'єм складного багатогранника, його умовно ділять на кілька простих, таких як паралелепіпед, призма, піраміда, а потім складають об'єми простих багатогранників і одержують в результаті об'єм фігури, що шукається.
Як знайти обсяг багатогранника - паралелепіпеда
Для початку знайдемо площу прямокутного паралелепіпеда. У такої геометричної фігуривсі грані представлені у вигляді плоских прямокутних фігур.
- Найпростіший прямокутний паралелепіпед – це куб. Усі ребра куба рівні між собою. Загалом у такого паралелепіпеда 6 граней, тобто 6 однакових квадратів. Обсяг такої фігури розраховується таким чином:
де a - Довжина будь-якого ребра куба.
- Об'єм прямокутного паралелепіпеда, сторони якого мають різні виміри, розраховується за такою формулою:
де a, b і с – довжини ребер.
Як знайти обсяг багатогранника - похилого паралелепіпеда
У похилого паралелепіпеда так само 6 граней, 2 з них – основи фігури, ще 4 – бічні грані. Похилий паралелепіпедвідрізняється від прямого тем, що його бічні грані по відношенню до основи розташовані не під прямим кутом. Обсяг такої фігури розраховується як добуток між площею основи та висотою:
де S – це площа чотирикутника, що лежить у основі, h – висота шуканої фігури.
Як знайти обсяг багатогранника - призми
Об'ємна геометрична фігура, основа якої представлена багатокутником будь-якої форми, а бічні грані – паралелограмами, що мають спільні сторониз основою – називається призмою. У призми дві основи, а бічних граней стільки, скільки сторін у фігури, що є основою.
Для знаходження обсягу будь-якої призми, як прямої, так і похилої, множать площу основи на висоту:
де S – площа багатокутника на основі фігури, а h – висота призми.
Як знайти об'єм багатогранника - піраміди
Якщо в основі фігури розташований багатокутник, а бічні грані представлені у вигляді трикутників, що змикаються у загальній вершині, таку фігуру називають пірамідою. Вона відрізняється від перелічених вище фігур тим, що в неї є тільки одна підстава, крім цього, у неї є вершина. Щоб знайти обсяг піраміди, її основу множать на висоту і ділять результат на 3:
тут S – площа основи шуканої геометричної фігури, а h – висота.
Площу простого багатогранника знайти досить просто, набагато складніше знайти площу фігури, що складається з безлічі багатогранників. Особлива увагадоведеться приділити правильному поділу складного багатогранника на прості.
Продовжуємо вирішувати завдання з відкритого банкузавдань ЄДІ з математики категорії «№8» . Сьогодні розбираємо завдання, у яких фігурують складові багатогранники. (Ми вже зустрічалися із завданнями на складовими багатогранниками).
Завдання 1.
Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).
Рішення:
Площа поверхні багатогранника дорівнює різниці площі поверхні прямокутного паралелепіпеда з вимірами 3, 3 та 2 та двох площ квадратів 1х1.
Завдання 2.
З одиничного куба вирізано правильну чотирикутна призмазі стороною основи 0,4 і бічним ребром 1. Знайдіть площу поверхні частини куба, що залишилася.
Рішення:
Площа поверхні частини куба, що залишилася, є сума площі поверхні куба (ребро 1) і площі бічної поверхні призми, зменшена на подвійну площуквадрата (зі стороною 0,4).
Відповідь: 7,28.
Завдання 3.
У скільки разів збільшиться площа поверхні октаедра, якщо всі його ребра збільшити у 6 разів?
Рішення:
При збільшенні всіх ребер у 6 разів площа кожної грані зміниться у 36 разів, тому сума площ усіх граней (площа поверхні) збільшеного октаедра буде у 36 разів. більше площіповерхні вихідного октаедра.
Завдання 4.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 1. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін цього тетраедра.
Рішення:
Поверхня багатогранника, що шукається, складається з 8 граней - трикутників.
Площа кожного такого трикутника з пари (на малюнку виділено одним кольором)
у 4 рази менше площівідповідної грані тетраедра.
Тоді сума площ граней багатогранника є половиною поверхні тетраедра. Тобто
Відповідь: 0,5.
Ви можете подивитись і відеоролик до завдання 4:
Завдання 5.
Знайдіть обсяг просторового хреста, зображеного на малюнку та складеного з одиничних кубів.
Рішення:
Обсяг цього просторового хреста – 7 обсягів одиничних кубів. Тому
Завдання 6.
Знайдіть обсяг багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).
Рішення:
Об'єм даного багатогранника – є обсяг прямокутного паралелепіпеда з вимірами 3, 6 та 2 без обсягу прямокутного паралелепіпеда з вимірами 1, 2, 2.
Завдання 7.
Об'єм тетраедра дорівнює 1,5. Знайдіть обсяг багатогранника, вершинами якого є середини сторін цього тетраедра.