Визначення:
Дві прямі на-зи-ва-ють-ся пара-лель-ни-ми, Якщо вони не пе-ре-се-ка-ють-ся (Рис. 1). Обозна-ча-ється це так: .
Через точку, що не лежить на даній пря мій, проходить тільки одна пря-мая, параллельна даною (Рис. 2) .
Слідства з аксіоми
Слідство1:
Якщо пря-мая пе-ре-се-ка-є одну з парал-лель-них пря-мих, то вона пе-ре-се-ка-є і іншу.
Дано:
.
Доказати:.
До-ка-за-тель-ство:
Будемо до-казати від проти-ного. Перед-по-ложим, що зне пе-ре-се-ка-є пря-му b(Мал. 4).
Тоді: (за умовою), (за перед-по-ло-жен-ня). Тобто через точку Мпроходять дві прямі ( аі c), параллельні пря-мий b. А це проти-ре-чит ак-сіоме. Значить, наше передпо-ло-ження невірне. Тоді пряма cпе-ре-се-чет пря-му b.
Наслідок 2:
Якщо дві прямі парал-лель-ни третьої пря-мий, то вони парал-лель-ни(Мал. 5) .
Дано:.
Доказати:.
До-ка-за-тель-ство:
Будемо до-казати від проти-ного. Перед-по-ложим, що прямі aі bпе-ре-се-ка-ють-ся в деякій точці М(Мал. 6).
Таким чином, по-лучаю про-ти-во-ре-чіе з ак-сі-о-мою: через точку Мпроходять дві пря-ми, од-но-вре-мен-но парал-лель-ние третьої прямою.
Слі-до-ва-тель-но, наше перед-по-ло-же-ня невір-но. Тоді.
Теореми про властивості паралельних прямі
Теорема 1:
Якщо дві прямі пе-ре-се-че-ни се-ку-щей, то на-хрест лежа-щі-кути рівні(Мал. 7).
Дано:.
Доказати:.
До-ка-за-тель-ство:
Будемо до-казати від проти-ного. Перед-по-ло-жим, що: .
Тоді від променя MNможна відкладати єдиний кут ∠ PMN, який буде дорівнювати ∠ 2 (Мал. 7). Але тоді ∠ PMNі ∠ 2 - Нахрест лежать і рівні. Тоді прямі PMі b- Парал-лель-ни. Тоді через точку Мпроходять дві прямі, паралельні третій. А саме:
По-лу-ча-єм про-ти-во-ре-чіе з ак-сі-о-мою. Значить, наше передпо-ло-ження невірно. Тобто: .
Слідство:
Якщо пря-мая пер-пен-ді-ку-ляр-на одній з парал-лель-них пря-мих, то вона пер-пен-ді-ку-ляр-на і другий.
Дано:
Доказати:
До-ка-за-тель-ство:
1. зпе-ре-се-ка-є а, а значить, і пе-ре-се-ка-є парал-лель-ну їй пряму, тобто b. Тоді з- се-ку-ща по відношенню до аі b.
2. по-скільки вони яв-ля-ють-ся на-хрест ле-жа-щи-ми. Тоді. Тобто .
Тео-ре-ма 2:
Якщо дві парал-лель-ные пря-мі пе-ре-се-че-ни се-ку-щей, то відповідні кути рівні.
Дано:- се-ку-ча.
Доказати:(Мал. 9).
До-ка-за-тель-ство:
Якщо , то з попередньої теореми слід, що на-хрест лежать кути рівні. Тобто.
Ознаки паралельності двох прямих
Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих січні:
навхрест лежачі кути рівні, або
відповідні кути рівні, або
сума односторонніх кутів дорівнює 180 °, то
прямі паралельні(Рис.1).
Доказ. Обмежимося підтвердженням випадку 1.
Нехай при перетині прямих а і b сікної АВ навхрест кути, що лежать, рівні. Наприклад, ∠4 = ∠6. Доведемо, що а || b.
Припустимо, що прямі а та b не паралельні. Тоді вони перетинаються в деякій точці М і, отже, один із кутів 4 або 6 буде зовнішнім кутом трикутника АВМ. Нехай для визначеності ∠4 – зовнішній кут трикутника АВМ, а ∠6 – внутрішній. З теореми про зовнішньому вугіллітрикутника слід, що ∠4 більше ∠6, а це суперечить умові, отже, прямі а і 6 не можуть перетинатися, тому вони паралельні.
Наслідок 1 . Дві різні прямі на площині, перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, паралельні(Рис.2).
Зауваження. Спосіб, яким ми щойно довели випадок 1 теореми 1, називається методом доказу від неприємності або приведенням до безглуздості. Першу назву цей спосіб отримав тому, що на початку міркування робиться припущення, неприємне (протилежне) тому, що потрібно довести. Приведенням до безглуздості він називається внаслідок того, що, розмірковуючи на підставі зробленого припущення, ми приходимо до безглуздого висновку (абсурду). Отримання такого висновку змушує нас відкинути зроблене спочатку припущення і прийняти те, що потрібно було довести.
Завдання 1.Побудувати пряму, що проходить через дану точкуМ і паралельну даній прямий а, що не проходить через точку М.
Рішення. Проводимо через точку М пряму р перпендикулярно до прямої а (рис. 3).
Потім проводимо через точку М пряму b перпендикулярно до прямої р. Пряма b паралельна прямий а відповідно до слідства теореми 1.
З розглянутого завдання випливає важливий висновок:
через точку, що не лежить на даній прямій, завжди можна провести пряму, паралельну даній.
Основна властивість паралельних прямих полягає у наступному.
Аксіома паралельних прямих. Через цю точку, що не лежить на даній прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній.
Розглянемо деякі властивості паралельних прямих, які випливають із цієї аксіоми.
1) Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і іншу (рис.4).
2) Якщо дві різні прямі паралельні до третьої прямої, то вони паралельні (рис.5).
Справедлива та наступна теорема.
Теорема 2. Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то:
навхрест лежачі кути рівні;
відповідні кути рівні;
сума односторонніх кутів дорівнює 180 °.
Наслідок 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої(Див. рис.2).
Зауваження. Теорема 2 називається зворотної теореми 1. Висновок теореми 1 є умовою теореми 2. А умова теореми 1 є укладанням теореми 2. Не всяка теорема має зворотну, тобто якщо дана теоремавірна, то зворотна теорема може бути невірною.
Пояснимо це на прикладі теореми про вертикальні кути. Цю теорему можна сформулювати так: якщо два кути вертикальні, то вони рівні. Зворотна їй теорема була б такою: якщо два кути рівні, то вони вертикальні. А це, звісно, не так. Два рівних кутаНе повинні бути вертикальними.
приклад 1.Дві паралельні прямі перетнуті третьою. Відомо, що різницю двох внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 30 °. Знайти ці кути.
Рішення. Нехай умові відповідає рисунок 6.
Ми знаємо, що дві прямі паралельні, якщо при перетині їх третьої прямої рівні відповідні кути, або внутрішні, або зовнішні навхрест кути, що лежать, або сума внутрішніх, або сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d. Доведемо, що вірні та зворотні теореми, а саме:
Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою, то:
1. відповідні кути рівні;
2. внутрішні навхрест лежачі кути рівні;
3. зовнішні навхрест лежачі кути рівні;
4. сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2d;
5. сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 2d.
Доведемо, наприклад, якщо дві паралельні прямі пересічені третьої прямої, то відповідні кути рівні.
Нехай прямі АВ та СD паралельні, а МN – їх січна (рис.). Доведемо, що відповідні кути 1 та 2 рівні між собою.
Припустимо, що ∠1 та ∠2 не рівні. Тоді при точці можна побудувати ∠МОК, відповідний і рівний ∠2 (рис.).
Але якщо ∠МОК = ∠2, то пряма ОК буде паралельна СD.
Отримали, що через точку проведені дві прямі АВ і ОК, паралельні прямий СD. Але цього не може бути.
Ми дійшли суперечності, тому що припустили, що ∠1 і ∠2 не рівні. Отже, наше припущення є неправильним і ∠1 має дорівнювати ∠2, тобто відповідні кути рівні.
Встановимо співвідношення між рештою кутів. Нехай прямі АВ та СD паралельні, а МN – їх січна (рис.).
Ми щойно довели, що у цьому випадку відповідні кути рівні. Припустимо, що якісь два з них мають по 119°. Обчислимо величину кожного з решти шести кутів. На підставі властивостей суміжних та вертикальних кутівми отримаємо, що чотири кути з восьми матимуть по 119 °, а решта - по 61 °.
Виявилося, що як внутрішні, так і зовнішні навхрест кути, що лежать, попарно рівні, а сума внутрішніх або зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180° (або 2d).
Те саме матиме місце і при будь-якому іншому значенні рівних відповідних кутів.
Наслідок 1. Якщо кожна з двох прямих АВ і СD паралельна одній і тій же третій прямій МN, то перші дві прямі паралельні між собою .
Справді, провівши січу ЕF (рис.), отримаємо:
а) ∠1 = ∠3, оскільки АВ || МN; б) ∠ 2 = ∠3, оскільки СО || МN.
Значить, ∠1 = ∠2, а це кути відповідні при прямих АВ та СD та січній ЕF, отже, прямі АВ та СD паралельні.
Наслідок 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої .
Справді, якщо ЕF ⊥ АВ, то ∠1 = d; якщо АВ | СD, то ∠1 = ∠2.
Отже, ∠2 = dтобто ЕF ⊥ СD.
РОЗДІЛ ІІІ.
ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ
§ 38. Залежність між кутами,
ОСВІТНИМИ ДВОМА ПАРАЛЕЛЬНИМИ ПРЯМИМИ І СІЧНОЮ.
Ми знаємо, що дві прямі паралельні, якщо при перетині їх третьої прямої рівні відповідні кути, або внутрішні, або зовнішні навхрест кути, що лежать, або сума внутрішніх, або сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d. Доведемо, що вірні та зворотні теореми, а саме:
Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою, то:
1) відповідні кути рівні;
2) внутрішні навхрест лежачі кути рівні;
3) зовнішні навхрест лежачі кути рівні;
4) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2
d
;
5) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 2
d
.
Доведемо, наприклад, якщо дві паралельні прямі пересічені третьої прямої, то відповідні кути рівні.
Нехай прямі АВ і СD паралельні, а МN - їх січна (чорт. 202). Доведемо, що відповідні кути 1 і 2 рівні між собою.
Припустимо, що / 1 і / 2 не рівні. Тоді при точці можна побудувати / МОК, відповідний та рівний / 2 (чорт. 203).
Але якщо / МОК = / 2, то пряма ОК буде паралельна СD (§ 35).
Отримали, що через точку проведені дві прямі АВ і ОК, паралельні прямий СD. Але цього не може бути (§ 37).
Ми дійшли суперечності, бо припустили, що / 1 і / 2 не рівні. Отже, наше припущення є неправильним і / 1 повинен дорівнювати / 2, т. Е. Відповідні кути рівні.
Встановимо співвідношення між рештою кутів. Нехай прямі АВ та СD паралельні, а МN – їх січна (чорт. 204).
Ми щойно довели, що у цьому випадку відповідні кути рівні. Припустимо, що якісь два з них мають по 119°. Обчислимо величину кожного з решти шести кутів. На підставі властивостей суміжних і вертикальних кутів ми отримаємо, що чотири кути з восьми матимуть по 119 °, а інші - по 61 °.
Виявилося, що як внутрішні, так і зовнішні навхрест кути, що лежать, попарно рівні, а сума внутрішніх або зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180° (або 2 d).
Те саме матиме місце і при будь-якому іншому значенні рівних відповідних кутів.
Наслідок 1. Якщо кожна з двох прямих АВ і СD паралельна одній і тій же третій прямій МN, то перші дві прямі паралельні між собою (чорт. 205).
Справді, провівши січу ЕF (чорт. 206), отримаємо:
а) /
1 = /
3, оскільки АВ || МN; б) /
2 = /
3, оскільки || МN.
Значить, / 1 = / 2, а це кути відповідні при прямих АВ та СD та січній ЕF, отже, прямі АВ та СD паралельні.
Наслідок 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої (чорт. 207).
Справді, якщо ЕF _|_ АВ, то / 1 = d; якщо АВ | СD, то / 1 = / 2.
Отже, / 2 = dтобто ЕF _|_ СD.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформаціїу будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.