Формула повної поверхні призми піраміди. Площа бічної поверхні призми

Загальні відомості про пряму призму

Бічною поверхнею призми (точніше, площею бічної поверхні) називається сумаплощ бічних граней. Повна поверхня призми дорівнює сумі бічної поверхні та площ основ.

Теорема 19.1. Бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи висоту призми, т. е. на довжину бічного ребра.

Доведення. Бічні грані прямої призми – прямокутники. Основи цих прямокутників є сторонами багатокутника, що лежить в основі призми, а висоти дорівнюють довжині бічних ребер. Звідси випливає, що бічна поверхня призми дорівнює

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

де a 1 а n - довжини ребер основи, р - периметр основи призми, а I - довжина бічних ребер. Теорему доведено.

Практичне завдання

Завдання (22) . У похилій призмі проведено переріз, перпендикулярне бічним ребрам і перетинає всі бічні ребра. Знайдіть бічну поверхню призми, якщо периметр перерізу дорівнює р, а бічні ребра дорівнюють l.

Рішення. Площина проведеного перерізу розбиває призму на частини (рис. 411). Піддамо одну з них паралельному переносу, що поєднує підстави призми. При цьому отримаємо пряму призму, у якої основою є переріз вихідної призми, а бічні ребра дорівнюють l. Ця призма має ту саму бічну поверхню, що й вихідна. Таким чином, бічна поверхня вихідної призми дорівнює рl.

Узагальнення пройденої теми

А тепер давайте спробуємо з вами підбити підсумки пройденої теми про призм і пригадаємо, які властивості має призм.


Властивості призми

По-перше, у призми всі її основи є рівними багатокутниками;
По-друге, у призми усі її бічні грані є паралелограмами;
По-третє, у такої багатогранної фігури, як призма, всі бічні ребра рівні;

Також, слід згадати, що такі багатогранники, як призми, можуть бути прямими і похилими.

Яка призма називається прямою?

Якщо ж у призми бічне ребро розташоване перпендикулярно площині її основи, то така призма називається прямою.

Не зайве нагадати, що бічні грані прямої призми є прямокутниками.

Яку призму називають похилою?

А от якщо ж у призми бічне ребро не розташоване перпендикулярно до площини її основи, то можна сміливо стверджувати, що це похила призма.

Яку призму називають правильною?



Якщо в основі прямої призми лежить правильний багатокутник, то така призма є правильною.

Тепер згадаємо властивості, які має правильна призма.

Властивості правильної призми

По-перше, завжди підставами правильної призми є правильні багатокутники;
По-друге, якщо розглядати у правильної призми бічні грані, всі вони завжди бувають рівними прямокутниками;
По-третє, якщо порівнювати розміри бічних ребер, то правильної призмі вони завжди рівні.
По-четверте, правильна призма завжди пряма;
По-п'яте, якщо ж у правильній призмі бічні грані мають форму квадратів, то таку фігуру зазвичай називають напівправильним багатокутником.

Перетин призми

А тепер давайте розглянемо переріз призми:



Домашнє завдання

А тепер давайте спробуємо закріпити вивчену тему за допомогою розв'язання задач.

Давайте намалюємо похилу трикутну призму, у якої відстань між її ребрами дорівнюватиме: 3 см, 4 см і 5 см, а бічна поверхня цієї призми дорівнюватиме 60 см2. Маючи такі параметри, знайдіть бічне ребро цієї призми.

А ви знаєте, що геометричні фігури постійно оточують нас не тільки на уроках геометрії, а й у повсякденному житті зустрічаються предмети, що нагадують ту чи іншу геометричну фігуру.



У кожного будинку, у школі або на роботі є комп'ютер, системний блок якого має форму прямої призми.

Якщо ви візьмете в руки простий олівець, то ви побачите, що основною частиною олівця є призма.

Ідучи центральною вулицею міста, ми бачимо, що у нас під ногами лежить плитка, яка має форму шестикутної призми.

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Різні призми не схожі один на одного. У той же час вони мають багато спільного. Щоб знайти площу підстави призми, потрібно розібратися в тому, який вигляд має.

Загальна теорія

Призмою є будь-який багатогранник, бічні сторони якого мають вигляд паралелограма. При цьому в її підставі може бути будь-який багатогранник - від трикутника до n-кутника. Причому підстави призми завжди дорівнюють один одному. Що не стосується бічних граней - вони можуть істотно відрізнятися за розмірами.

При вирішенні завдань зустрічається не тільки площа підстави призми. Може знадобитися знання бічної поверхні, тобто всіх граней, які не є підставами. Повною поверхнею вже буде поєднання всіх граней, які становлять призму.

Іноді у завданнях фігурує висота. Вона є перпендикуляром до основ. Діагоналлю багатогранника є відрізок, який попарно з'єднує дві будь-які вершини, що не належать одній грані.

Слід зазначити, що площа основи прямої призми або похилої не залежить від кута між ними та бічними гранями. Якщо вони однакові фігури у верхній і нижній гранях, їх площі будуть рівними.

Трикутна призма

Вона має в основі фігуру, що має три вершини, тобто трикутник. Він, як відомо, буває різним. Якщо досить згадати, що його площа визначається половиною твору катетів.

Математичний запис виглядає так: S = ½ ав.

Щоб дізнатися площу основи у загальному вигляді, стануть у нагоді формули: Герона і та, в якій береться половина сторони на висоту, проведену до неї.

Перша формула має бути записана так: S = √(р(р-а)(р-в)(р-с)). У цьому записі є напівпериметр (р), тобто сума трьох сторін, розділена на дві.

Друга: S = ½ н а * а.

Якщо потрібно дізнатися площу основи трикутної призми, яка є правильною, трикутник виявляється рівностороннім. Для нього існує своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Чотирикутна призма

Її основою є будь-який із відомих чотирикутників. Це може бути прямокутник або квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожному разі для того, щоб обчислити площу підстави призми, буде потрібна своя формула.

Якщо основа — прямокутник, його площа визначається так: S = ав, де а, в — сторони прямокутника.

Коли йдеться про чотирикутну призму, то площа основи правильної призми обчислюється за формулою для квадрата. Тому що саме він виявляється лежачим у основі. S = а2.

У разі коли основа — це паралелепіпед, знадобиться така рівність: S = а * н а. Буває таке, що дано сторону паралелепіпеда та один із кутів. Тоді для обчислення висоти потрібно скористатися додатковою формулою: н а = в * sin А. Причому кут А прилягає до сторони "в", а висота н а протилежна до цього куту.

Якщо підставі призми лежить ромб, то визначення його площі буде необхідна та сама формула, що у паралелограма (оскільки є його окремим випадком). Але можна скористатися і такою: S = ½ d 1 d 2 . Тут d 1 і d 2 – дві діагоналі ромба.

Правильна п'ятикутна призма

Цей випадок передбачає розбиття багатокутника на трикутники, площі яких простіше дізнатися. Хоча буває, що фігури можуть бути з іншою кількістю вершин.

Оскільки основа призми — правильний п'ятикутник, він може бути розділений п'ять рівносторонніх трикутників. Тоді площа підстави призми дорівнює площі одного такого трикутника (формулу можна переглянути вище), помноженою на п'ять.

Правильна шестикутна призма

За принципом, описаним для п'ятикутної призми, вдається розбити шестикутник основи на 6 рівносторонніх трикутників. Формула площі підстави такої призми подібна до попередньої. Тільки у ній слід множити на шість.

Виглядатиме формула таким чином: S = 3/2 а 2 * √3.

Завдання

№ 1. Дана правильна пряма Її діагональ дорівнює 22 см, висота багатогранника - 14 см. Обчислити площу основи призми та всієї поверхні.

Рішення.Підставою призми є квадрат, але його сторона не відома. Знайти її значення можна з діагоналі квадрата (х), яка пов'язана з діагоналлю призми (d) та її висотою (н). х 2 = d 2 - н 2. З іншого боку, цей відрізок «х» є гіпотенузою в трикутнику, катети якого дорівнюють стороні квадрата. Тобто х2 = а2+а2. Отже виходить, що а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Підставити замість d число 22, а "н" замінити його значенням - 14, то виходить, що сторона квадрата дорівнює 12 см. Тепер просто дізнатися площу основи: 12 * 12 = 144 см 2 .

Щоб дізнатися площу всієї поверхні, потрібно скласти подвоєне значення площі основи та чотиристоронню бічну. Останню легко знайти за формулою для прямокутника: перемножити висоту багатогранника та бік основи. Тобто 14 і 12, це число дорівнюватиме 168 см 2 . Загальна площа поверхні призми виявляється 960 см2.

Відповідь.Площа основи призми дорівнює 144 см 2 . Всієї поверхні - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основі лежить трикутник зі стороною 6 см. При цьому діагональ бічної грані становить 10 см. Обчислити площі: основи та бічній поверхні.

Рішення.Оскільки призма правильна, її основою є рівносторонній трикутник. Тому його площа виявляється дорівнює 6 квадраті, помноженому на ¼ і на корінь квадратний з 3. Просте обчислення призводить до результату: 9√3 см 2 . Це площа однієї підстави призми.

Усі бічні грані однакові і є прямокутниками зі сторонами 6 і 10 см. Щоб обчислити їх площі, достатньо перемножити ці числа. Потім помножити їх на три, бо бічних граней призми саме стільки. Тоді площа бічної поверхні виявляється раною 180 см 2 .

Відповідь.Площа: підстави - 9√3 см 2 , бічної поверхні призми - 180 см 2 .

Елементи призми

Назва Визначення Позначення на кресленні Креслення
Основи Дві грані є конгруентними багатокутниками, що лежать у паралельних площинах. ABCDE , KLMNP
Бічні грані Усі грані, крім підстав. Кожна бічна грань обов'язково паралелограмом. ABLK , BCML , CDNM , DEPN , EAKP
Бічна поверхня Об'єднання бічних граней.
Повна поверхня Об'єднання основ та бічної поверхні.
Бічні ребра Загальні сторони бічних граней. AK , BL , CM , DN , EP
Висота Відрізок, що з'єднує підстави призми та перпендикулярний їм. KR
Діагональ Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, що не належать до однієї грані. BP
Діагональна площина Площина , що проходить через бічне ребро призми та діагональ основи.
Діагональний переріз Перетин призми та діагональної площини. У перерізі утворюється паралелограм, зокрема його окремі випадки - ромб, прямокутник, квадрат. EBLP
Перпендикулярний переріз Перетин призми та площини, перпендикулярної до її бокового ребра.

Властивості призми

  • 1. Підстави призми є рівними багатокутниками.
  • 2. Бічні грані призми є паралелограмами.
  • 3. Бічні ребра призми паралельні та рівні.
  • 4. Обсяг призмидорівнює добутку її висоти на площу основи:
  • 5. Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі її бічної поверхні та подвоєної площі основи.

Види призм

Призми бувають пряміі похилі.

Пряма призма- призма, у якої всі бічні ребра перпендикулярні до основи.

Площа бічної поверхніпрямий призми дорівнює добутку периметра основи висоту.

Похила призма- призма, у якої хоча б одне бічне ребро не перпендикулярне до основи.

Площа бічної поверхніпохилої призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу на довжину бічного ребра. Обсяг похилої призмидорівнює добутку площі перпендикулярного перерізу на бічне ребро.

Правильна призма- Пряма призма, основа якої є правильним багатокутником.

Властивості правильної призми

  • 1. Основи правильної призми є правильними багатокутниками.
  • 2. Бічні грані правильної призми є рівними прямокутниками.
  • 3. Бічні ребра правильної призми рівні.

Див. також

Посилання


Wikimedia Foundation.

2010 .

    Дивитись що таке "Призма (математика)" в інших словниках:

    - (початок) «Математика в дев'яти книгах» (кит. трад. Розділ математики, що займається вивченням властивостей різних фігур (крапок, ліній, кутів, двовимірних та тривимірних об'єктів), їх розмірів та взаємного розташування. Для зручності викладання геометрію поділяють на планіметрію та стереометрію. У… …

    Енциклопедія Кольєра

    Земляков, Олександр Миколайович Файл:Zemlyakov.jpg Олександр Миколайович Земляков (17 квітня 1950(19500417), Бологе 1 січня 2005, Чорноголівка) математик,видатний радянський і російський педагог, автор навчально-педагогічної ... Вікіпедія

    Олександр Миколайович Земляков (17 квітня 1950 (19500417), Бологе 1 січня 2005, Чорноголівка) математик, видатний радянський та російський педагог, автор навчально-педагогічної літератури. Біографія Закінчив у 1967 році із золотою… … Вікіпедія

    Додекаедр Правильний багатогранник або платонове тіло це опуклий багатогранник, що складається з однакових правильних багатокутників і має просторову симетрію … Вікіпедія

Цей термін має й інші значення, див. Пірамідацу (значення). Достовірність цього розділу статті поставлена ​​під сумнів. Необхідно перевірити точність фактів, викладених у цьому розділі. На сторінці обговорення можуть бути … Вікіпедія

У просторовій геометрії під час вирішення завдань із призмами часто виникає проблема з розрахунком площі сторін чи граней, які утворюють ці об'ємні фігури. Ця стаття присвячена питанню визначення площі основи призми та її бічної поверхні.

Фігура призму

Призма в геометрії є просторовою фігурою, що складається з двох паралельних багатокутників, які рівні між собою, і декількох чотирикутників або паралелограмів. Кількість останніх завжди дорівнює числу вершин одного багатокутника. Наприклад, якщо фігура утворена двома паралельними n-кутниками, тоді кількість паралелограмів дорівнюватиме n.

Сполучні n-кутники паралелограми називаються бічними сторонами призми, а їх сумарна площа - це площа бічної поверхні фігури. Самі ж n-кутники називаються основами.

Вище малюнок демонструє приклад призми, виготовленої з паперу. Жовтий прямокутник є її верхньою основою. На другому такому ж підставі постать стоїть. Червоний та зелений прямокутники – це бічні грані.

Які призми трапляються?

Існує кілька типів призмів. Всі вони відрізняються один від одного двома параметрами:

  • видом n-кутника, що утворює основи;
  • кутом між n-кутником та бічними гранями.

Наприклад, якщо основи є трикутниками, тоді і призма називається трикутною, якщо чотирикутниками, як на попередньому малюнку, тоді постать називається чотирикутною призмою, і так далі. Крім цього, n-кутник може бути опуклим або увігнутим, тоді до назви призми також додається ця властивість.

Кут між бічними гранями та основою може бути або прямий, або гострий або тупий. У першому випадку говорять про прямокутну призму, у другому - про похилу або косокутну.

У особливий тип фігур виділяють правильні призми. Вони мають найвищу симетрію серед інших призм. Правильною вона буде лише в тому випадку, якщо є прямокутною та її основа – це правильний n-кутник. Рисунок нижче демонструє набір правильних призм, у яких кількість сторін n-кутника змінюється від трьох до восьми.

Поверхня призми

Під поверхнею розглянутої фігури довільного типу розуміють сукупність усіх точок, що належать граням призми. Поверхня призми зручно вивчати, розглядаючи її розгорнення. Нижче наведено приклад такої розгортки для трикутної призми.

Видно, що вся поверхня утворена двома трикутниками та трьома прямокутниками.

У разі призми загального типу її поверхня складатиметься з двох n-вугільних основ та n чотирикутників.

Розглянемо докладніше питання обчислення площі поверхні призм різних типів.

Площа основи призми правильної

Мабуть, найпростішим завданням при роботі із призмами є проблема знаходження площі основи правильної фігури. Оскільки воно утворене n-кутником, у якого всі кути та довжини сторін є однаковими, то завжди можна розділити його на однакові трикутники, у яких відомі кути та сторони. Сумарна площа трикутників буде площею n-кутника.

Ще один спосіб визначити частину площі поверхні призми (основа) полягає у використанні відомої формули. Вона має такий вигляд:

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

Тобто площа S n n-кутника однозначно визначається виходячи із знання довжини його сторони a. Деяку складність при розрахунку за формулою може становити обчислення котангенсу, особливо коли n>4 (для n≤4 значення котангенсу - це табличні дані). Для визначення цієї тригонометричної функції рекомендується скористатися калькулятором.

При постановці геометричної задачі слід бути уважним, оскільки може знадобитися знайти площу підстав призми. Тоді отримане за формулою значення слід помножити на два.

Площа основи трикутної призми

На прикладі трикутної призми розглянемо, як можна знайти площу основи цієї фігури.

Спочатку розглянемо простий випадок – правильну призму. Площа підстави обчислюється за наведеною у пункті вище формулою, необхідно підставити до неї n=3. Отримуємо:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

Залишається підставити вираз конкретні значення довжини сторони a рівностороннього трикутника, щоб отримати площу однієї підстави.

Тепер припустимо, що є призма, основа якої є довільним трикутником. Відомі дві сторони a і b і кут між ними α. Ця фігура зображена нижче.

Як у цьому випадку знайти площу основи трикутної призми? Необхідно згадати, що площа будь-якого трикутника дорівнює половині твору сторони та висоти, опущеної на цю сторону. На малюнку проведено висоту h до сторони b. Довжина h відповідає добутку синуса кута альфа на довжину сторони a. Тоді площа всього трикутника дорівнює:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Це і є площа основи зображеної трикутної призми.

Бічна поверхня

Ми розібрали, як знайти площу підстави призми. Бічна поверхня цієї фігури завжди складається із паралелограмів. Для прямих призм паралелограми стають прямокутниками, тому сумарну їх площу легко обчислити:

S = ∑ i = 1 n (a i * b)

Тут b - довжина бічного ребра, a i - довжина сторони i прямокутника, яка збігається з довжиною сторони n-кутника. У разі правильної n-вугільної призми отримуємо простий вираз:

Якщо призма є похилою, для визначення площі її бічної поверхні слід зробити перпендикулярний зріз, розрахувати його периметр P sr і помножити його на довжину бічного ребра.

Рисунок вище показує, як робити цей зріз для похилої п'ятикутної призми.

Вам ще кілька нескладних завдань на вирішення призми. Розглянемо пряму призму з прямокутним трикутником у підставі. Ставиться питання про знаходження обсягу чи площу поверхні. Формула обсягу призми:


Формула площі поверхні призми (загальна):

*У прямої призми бічна поверхня складається з прямокутників і дорівнює добутку периметра основи та висоти призми. Потрібно пам'ятати формулу площі трикутника. В даному випадку маємо прямокутний трикутник – його площа дорівнює половині добутку катетів. Розглянемо завдання:

Основою прямої трикутної призми є прямокутний трикутник з катетами 10 і 15, бічне ребро дорівнює 5. Знайдіть об'єм призми.

Площа основи це площа прямокутного трикутника. Вона дорівнює половині площі прямокутника зі сторонами 10 та 15).

Таким чином, шуканий обсяг дорівнює:

Відповідь: 375

Основою прямої трикутної призми є прямокутний трикутник з катетами 20 і 8. Обсяг призми дорівнює 400. Знайдіть її бічне ребро.

Завдання зворотне попереднього.

Обсяг призми:

Площа основи це площа прямокутного трикутника:

Таким чином

Відповідь: 5

Підставою прямої трикутної призми є прямокутний трикутник з катетами 5 і 12, висота призми дорівнює 8. Знайдіть площу її поверхні.

Площа поверхні призми складається з площ усіх граней – це два рівні за площею основи та бічна поверхня.

Для того, щоб знайти площі всіх граней необхідно знайти третю сторону основи призми (гіпотенузу прямокутного трикутника).

За теоремою Піфагора:

Тепер ми можемо знайти площу основи та площу бічної поверхні. Площа основи дорівнює:

Площа бічної поверхні призми з периметром основи дорівнює:

*Можна обійтися без формули і просто скласти площі трьох прямокутників: